تأتي الحاجة إلى العمليات على الاحتمالات عندما تكون احتمالات بعض الأحداث معروفة ، ومن الضروري حساب احتمالات الأحداث الأخرى المرتبطة بهذه الأحداث.

يتم استخدام إضافة الاحتمالية عندما يكون من الضروري حساب احتمالية توليفة أو مجموع منطقي للأحداث العشوائية.

مجموع الأحداث أو بعين أ + بأو أ ∪ ب. مجموع حدثين هو حدث يقع فقط في حالة وقوع حدث واحد على الأقل. هذا يعني انه أ + ب- حدث يقع فقط في حالة وقوع حدث أثناء المراقبة أأو حدث بأو في نفس الوقت أو ب.

إذا كانت الأحداث أو بغير متسقة بشكل متبادل ويتم إعطاء احتمالاتها ، ثم يتم حساب احتمال وقوع أحد هذه الأحداث نتيجة تجربة واحدة باستخدام إضافة الاحتمالات.

نظرية إضافة الاحتمالات.إن احتمال وقوع حدثين غير متوافقين بشكل متبادل يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

على سبيل المثال ، تم إطلاق رصاصتين أثناء الصيد. حدث أ- ضرب بطة من اللقطة الأولى ، الحدث في- ضرب من الطلقة الثانية ، الحدث ( أ+ في) - ضرب من الطلقة الأولى أو الثانية أو من رصاصتين. حتى إذا حدثان أو فيأحداث غير متوافقة ، إذن أ+ في- وقوع حدث واحد على الأقل أو حدثين.

مثال 1علبة بها 30 كرة من نفس الحجم: 10 حمراء ، 5 زرقاء و 15 بيضاء. احسب احتمال أخذ كرة ملونة (ليست بيضاء) دون النظر.

حل. لنفترض أن الحدث أ- "الكرة الحمراء تؤخذ" ، والحدث في- "الكرة الزرقاء تؤخذ". ثم الحدث "تؤخذ كرة ملونة (ليست بيضاء)". أوجد احتمال وقوع حدث أ:

والأحداث في:

الأحداث أو في- غير متوافقين ، لأنه إذا تم أخذ كرة واحدة ، فلا يمكن أخذ الكرات ألوان مختلفة. لذلك ، نستخدم إضافة الاحتمالات:

نظرية إضافة الاحتمالات للعديد من الأحداث غير المتوافقة.إذا كانت الأحداث تشكل المجموعة الكاملة من الأحداث ، فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1:

مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة يساوي أيضًا 1:

تشكل الأحداث المتقابلة مجموعة كاملة من الأحداث ، واحتمال حدوث مجموعة كاملة من الأحداث هو 1.

عادة ما يتم الإشارة إلى احتمالات الأحداث المعاكسة بأحرف صغيرة. صو ف. بخاصة،

والتي تتبع منها الصيغ التالية لاحتمالية الأحداث المعاكسة:

مثال 2الهدف في اندفاعة مقسم إلى 3 مناطق. احتمال أن يقوم مطلق النار بإطلاق النار على هدف في المنطقة الأولى هو 0.15 ، في المنطقة الثانية - 0.23 ، في المنطقة الثالثة - 0.17. أوجد احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف واحتمال أن يخطئ الرامي الهدف.

الحل: أوجد احتمال إصابة مطلق النار بالهدف:

أوجد احتمال أن مطلق النار أخطأ الهدف:

المهام الأكثر صعوبة التي تحتاج فيها إلى تطبيق كل من جمع ومضاعفة الاحتمالات - في صفحة "مهام مختلفة لجمع ومضاعفة الاحتمالات".

إضافة احتمالات الأحداث المشتركة

يقال إن حدثين عشوائيين يكونان مشتركين إذا كان وقوع حدث واحد لا يمنع وقوع حدث ثان في نفس الملاحظة. على سبيل المثال ، عند رمي النرد ، الحدث أيعتبر حدوث العدد 4 والحدث في- إسقاط رقم زوجي. نظرًا لأن الرقم 4 هو رقم زوجي ، فإن الحدثين متوافقان. في الممارسة العملية ، هناك مهام لحساب احتمالات حدوث أحد الأحداث المشتركة.

نظرية إضافة الاحتمالات للأحداث المشتركة.إن احتمال وقوع أحد الأحداث المشتركة يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث ، والتي يُطرح منها احتمال التكرار الشائع لكلا الحدثين ، أي ناتج الاحتمالات. معادلة احتمالات الأحداث المشتركة هي كما يلي:

لأن الأحداث أو فيمتوافق ، حدث أ+ فييحدث في حالة حدوث أحد الأحداث الثلاثة المحتملة: أو AB. وفقًا لنظرية إضافة الأحداث غير المتوافقة ، نحسب ما يلي:

حدث أيحدث في حالة حدوث أحد حدثين غير متوافقين: أو AB. ومع ذلك ، فإن احتمال حدوث حدث واحد من عدة أحداث غير متوافقة يساوي مجموع احتمالات كل هذه الأحداث:

بصورة مماثلة:

استبدال التعبيرات (6) و (7) في التعبير (5) ، نحصل على صيغة الاحتمال للأحداث المشتركة:

عند استخدام الصيغة (8) ، يجب مراعاة أن الأحداث أو فييمكن ان يكون:

• مستقل بشكل متبادل
• يعتمد بشكل متبادل.

صيغة الاحتمالية للأحداث المستقلة بشكل متبادل:

صيغة الاحتمالية للأحداث التي يعتمد بعضها على بعض:

إذا كانت الأحداث أو فيغير متناسقة ، فإن صدفتهم هي حالة مستحيلة ، وبالتالي ، ص(AB) = 0. صيغة الاحتمال الرابعة للأحداث غير المتوافقة هي كما يلي:

مثال 3في سباق السيارات ، عند القيادة في السيارة الأولى ، احتمالية الفوز ، عند القيادة في السيارة الثانية. يجد:

• احتمال فوز كلتا السيارتين ؛
• احتمال فوز سيارة واحدة على الأقل ؛

1) لا يعتمد احتمال فوز السيارة الأولى على نتيجة السيارة الثانية ، وبالتالي فإن الأحداث أ(تفوز السيارة الأولى) و في(تفوز السيارة الثانية) - أحداث مستقلة. أوجد احتمال فوز كلتا السيارتين:

2) أوجد احتمال فوز إحدى السيارتين:

المهام الأكثر صعوبة التي تحتاج فيها إلى تطبيق كل من جمع ومضاعفة الاحتمالات - في صفحة "مهام مختلفة لجمع ومضاعفة الاحتمالات".

قم بحل مشكلة جمع الاحتمالات بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مثال 4تم طرح عملتين. حدث أ- فقدان شعار النبالة على العملة الأولى. حدث ب- فقدان شعار النبالة على العملة الثانية. أوجد احتمال وقوع حدث ج = أ + ب .

الضرب الاحتمالي

يتم استخدام مضاعفة الاحتمالات عندما يتم حساب احتمال منتج منطقي للأحداث.

في هذه الحالة ، يجب أن تكون الأحداث العشوائية مستقلة. يقال إن حدثين مستقلين بشكل متبادل إذا كان وقوع حدث واحد لا يؤثر على احتمال وقوع الحدث الثاني.

نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة.احتمال حدوث حدثين مستقلين في وقت واحد أو فييساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

مثال 5تم رمي العملة ثلاث مرات متتالية. أوجد احتمال سقوط شعار النبالة في المرات الثلاث.

حل. احتمالية سقوط شعار النبالة عند الرمية الأولى لعملة ، والمرة الثانية ، والمرة الثالثة. أوجد احتمال سقوط شعار النبالة في المرات الثلاث:

قم بحل مسائل ضرب الاحتمالات بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مثال 6يوجد صندوق به تسع كرات تنس جديدة. تؤخذ ثلاث كرات للمباراة ، بعد المباراة يتم إعادتها. عند اختيار الكرات ، فإنها لا تميز بين الكرات التي تم لعبها والكرات التي لم يتم لعبها. ما هو احتمالية عدم وجود كرات لم يتم لعبها في الصندوق بعد ثلاث مباريات؟

مثال 7 32 حرفًا من الأبجدية الروسية مكتوبة على بطاقات أبجدية مقطوعة. يتم رسم خمس بطاقات بشكل عشوائي ، واحدة تلو الأخرى ، وتوضع على الطاولة بالترتيب الذي تظهر به. أوجد احتمالية أن تشكل الأحرف كلمة "end".

المثال 8من مجموعة كاملة من البطاقات (52 ورقة) ، يتم إخراج أربع بطاقات في وقت واحد. أوجد احتمال أن تكون جميع هذه البطاقات الأربعة من نفس النوع.

المثال 9نفس المشكلة كما في المثال 8 ، ولكن يتم إرجاع كل بطاقة إلى سطح السفينة بعد سحبها.

مهام أكثر تعقيدًا ، حيث تحتاج إلى تطبيق كل من جمع ومضاعفة الاحتمالات ، وكذلك حساب ناتج العديد من الأحداث - في الصفحة "مهام مختلفة لجمع ومضاعفة الاحتمالات".

يمكن حساب احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من الأحداث المستقلة بشكل متبادل عن طريق طرح منتج احتمالات الأحداث المعاكسة من 1 ، أي بالمعادلة:

المثال 10يتم تسليم البضائع عن طريق ثلاث وسائل نقل: النهرية والسكك الحديدية والطرق. احتمال تسليم الشحنة عن طريق النقل النهري هو 0.82 ، بالسكك الحديدية 0.87 ، عن طريق البر 0.90. أوجد احتمال تسليم البضاعة بواحد على الأقل من وسائط النقل الثلاثة.

نظريات الجمع وضرب الاحتمالات.
أحداث تابعة ومستقلة

العنوان يبدو مخيفًا ، لكنه في الواقع بسيط جدًا. في هذا الدرس ، سوف نتعرف على نظريات جمع ومضاعفة احتمالات الحدث ، وكذلك تحليل المهام النموذجية التي ، جنبًا إلى جنب مع مهمة للتعريف الكلاسيكي للاحتمالستلتقي بالتأكيد أو ، على الأرجح ، قد اجتمعت بالفعل في طريقك. لدراسة مواد هذه المقالة بشكل فعال ، تحتاج إلى معرفة وفهم المصطلحات الأساسية نظرية الاحتمالاتويكون قادرًا على إجراء عمليات حسابية بسيطة. كما ترى ، مطلوب القليل جدًا ، وبالتالي فإن زيادة الدهون في الأصل مضمونة تقريبًا. لكن من ناحية أخرى ، أحذر مرة أخرى من الموقف السطحي تجاه أمثلة عملية- هناك أيضا ما يكفي من التفاصيل الدقيقة. حظ سعيد:

نظرية الإضافة لاحتمالات الأحداث غير المتوافقة: احتمال حدوث أحدهما غير متوافقأحداث أو (بغض النظر)، يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

حقيقة مماثلة تنطبق أيضًا على عدد أكبر من الأحداث غير المتوافقة ، على سبيل المثال ، لثلاثة أحداث غير متوافقة و:

نظرية الحلم =) ومع ذلك ، فإن مثل هذا الحلم يخضع أيضًا للإثبات ، والذي يمكن العثور عليه ، على سبيل المثال ، في دليل الدراسةفي. جمورمان.

دعنا نتعرف على مفاهيم جديدة غير مرئية حتى الآن:

أحداث تابعة ومستقلة

لنبدأ بأحداث مستقلة. الأحداث مستقل إذا كان احتمال الحدوث أيا منهم لا تعتمدمن ظهور / عدم ظهور الأحداث الأخرى للمجموعة المدروسة (في جميع المجموعات الممكنة). ... ولكن ما هناك لطحن العبارات الشائعة:

نظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة: احتمال حدوث مشترك لأحداث مستقلة ويساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث:

لنعد إلى أبسط مثال للدرس الأول ، حيث يتم رمي عملتين والأحداث التالية:

- ستسقط الرؤوس على العملة الأولى ؛
- رؤوس على العملة الثانية.

لنجد احتمال وقوع الحدث (ستظهر الصورة على العملة الأولى وسيظهر النسر على العملة الثانية - تذكر كيف تقرأ نتاج الأحداث!) . لا تعتمد احتمالية الحصول على وجه لعملة واحدة على نتيجة رمي عملة أخرى ، وبالتالي فإن الأحداث مستقلة.

بصورة مماثلة:
هو احتمال أن تهبط العملة الأولى وعلى الذيل الثاني
هو احتمال ظهور الوجه على العملة الأولى وعلى الذيل الثاني
هو احتمال هبوط العملة الأولى على ذيول وعلى النسر الثاني.

لاحظ أن شكل الأحداث مجموعة كاملةومجموع احتمالاتهم يساوي واحدًا:.

من الواضح أن نظرية الضرب تمتد إلى عدد أكبر من الأحداث المستقلة ، لذلك ، على سبيل المثال ، إذا كانت الأحداث مستقلة ، فإن احتمال حدوثها المشترك هو:. دعونا نتدرب على أمثلة ملموسة:

المهمة 3

كل صندوق من الصناديق الثلاثة يحتوي على 10 أجزاء. يوجد في المربع الأول 8 أجزاء قياسية ، في المربع الثاني - 7 ، في المربع الثالث - 9. تتم إزالة جزء واحد عشوائيًا من كل صندوق. أوجد احتمال أن تكون كل الأجزاء معيارية.

حل: احتمال استخراج جزء قياسي أو غير قياسي من أي صندوق لا يعتمد على الأجزاء التي سيتم استخلاصها من الصناديق الأخرى ، لذا فإن المشكلة تتعلق بالأحداث المستقلة. تأمل الأحداث المستقلة التالية:

- تمت إزالة الجزء القياسي من الصندوق الأول ؛
- تمت إزالة الجزء القياسي من الصندوق الثاني ؛
- تمت إزالة الجزء القياسي من الدرج الثالث.

حسب التعريف الكلاسيكي:
هي الاحتمالات المقابلة.

حدث نحن مهتمون به (سيتم أخذ الجزء القياسي من الدرج الأول ومن المستوى الثاني ومن المعيار الثالث)عن طريق المنتج.

وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:

هو احتمال استخراج جزء قياسي واحد من ثلاثة مربعات.

إجابة: 0,504

بعد تمارين تنشيط مع الصناديق ، لا تنتظرنا الجرار الأقل إثارة للاهتمام:

المهمة 4

ثلاث جرارات تحتوي على 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. يتم سحب كرة واحدة عشوائيًا من كل جرة. أوجد احتمال: أ) أن الكرات الثلاث كلها بيضاء ؛ ب) ستكون الكرات الثلاث جميعها من نفس اللون.

بناءً على المعلومات الواردة ، خمن كيفية التعامل مع عنصر "be" ؛-) تم تصميم حل نموذج تقريبي بأسلوب أكاديمي مع وصف مفصل لجميع الأحداث.

الأحداث التابعة. يسمى الحدث متكل إذا كان احتماله يعتمد علىمن واحد أو أكثر من الأحداث التي حدثت بالفعل. لست مضطرًا للذهاب بعيدًا للحصول على أمثلة - ما عليك سوى الانتقال إلى أقرب متجر:

- غدا الساعة 19.00 سيطرح للبيع خبز طازج.

يعتمد احتمال حدوث هذا الحدث على العديد من الأحداث الأخرى: ما إذا كان سيتم توصيل الخبز الطازج غدًا ، وما إذا كان سيتم بيعه قبل الساعة 7 مساءً أم لا ، وما إلى ذلك. اعتمادًا على الظروف المختلفة ، يمكن أن يكون هذا الحدث موثوقًا ومستحيلًا. لذا فإن الحدث متكل.

الخبز ... وكما طلب الرومان السيرك:

- في الامتحان سيحصل الطالب على تذكرة بسيطة.

إذا لم تذهب إلى البداية ، فسيعتمد الحدث ، لأن احتماله سيعتمد على التذاكر التي رسمها زملاء الدراسة بالفعل.

كيف تحدد التبعية / استقلال الأحداث؟

في بعض الأحيان يتم ذكر ذلك بشكل مباشر في حالة المشكلة ، ولكن في أغلب الأحيان يتعين عليك إجراء تحليل مستقل. لا يوجد دليل واضح هنا ، وحقيقة الاعتماد أو استقلال الأحداث تنبع من التفكير المنطقي الطبيعي.

من أجل عدم رمي كل شيء في كومة واحدة ، المهام للأحداث التابعةسأسلط الضوء على الدرس التالي ، لكن في الوقت الحالي سننظر في مجموعة النظريات الأكثر شيوعًا في الممارسة:

مشاكل في نظريات الجمع للاحتمالات غير المتسقة
وضرب احتمالات الأحداث المستقلة

هذا الترادف ، وفقًا لتقييمي الشخصي ، يعمل في حوالي 80 ٪ من المهام المتعلقة بالموضوع قيد الدراسة. ضرب من الضربات وكلاسيكية حقيقية لنظرية الاحتمالات:

المهمة 5

أطلق اثنان من الرماة رصاصة واحدة على الهدف. احتمال إصابة الرامي الأول هو 0.8 ، والثاني - 0.6. أوجد احتمال أن:

أ) يصيب مطلق نار واحد الهدف ؛
ب) يصيب أحد الرماة على الأقل الهدف.

حل: من الواضح أن احتمال الضربة / الخطأ لأحد الرماة مستقل عن أداء الرامي الآخر.

ضع في اعتبارك الأحداث:
- مطلق النار الأول سيصيب الهدف ؛
- يصيب مطلق النار الثاني الهدف.

حسب الشرط:.

لنجد احتمالات الأحداث المعاكسة - التي ستفقدها الأسهم المقابلة:

أ) ضع في اعتبارك الحدث: - يصيب مطلق نار واحد الهدف. يتكون هذا الحدث من نتيجتين غير متوافقين:

سوف يضرب مطلق النار الأول و 2 يخطئ
أو
الأول سيفتقد وسوف يضرب الثاني.

على اللسان حدث الجبريمكن كتابة هذه الحقيقة على النحو التالي:

أولاً ، نستخدم نظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة ، ثم - نظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:

هو احتمال أن تكون هناك إصابة واحدة فقط.

ب) ضع في اعتبارك الحدث: - أصاب أحد الرماة على الأقل الهدف.

بادئ ذي بدء ، دعنا نفكر - ماذا يعني الشرط "واحد على الأقل"؟ في هذه القضيةهذا يعني أن أيًا من الرامي الأول سيضرب (سيفتقد الثاني) أوالثانية (أول يخطئ) أوكلا السهمين في وقت واحد - ما مجموعه 3 نتائج غير متوافقة.

الطريقة الأولى: بالنظر إلى الاحتمالية المعدة للعنصر السابق ، من الملائم تمثيل الحدث كمجموع للأحداث المنفصلة التالية:

سيحصل المرء (حدث يتكون بدوره من نتيجتين غير متوافقين) أو
إذا ضرب كلا السهمين ، فإننا نشير إلى هذا الحدث بالحرف.

هكذا:

وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال إصابة مطلق النار الأول وسوف يضرب مطلق النار الثاني.

وفقًا لنظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة:
هو احتمال إصابة الهدف بضربة واحدة على الأقل.

الطريقة الثانية: ضع في اعتبارك الحدث المعاكس: - سيفوت كلا الرماة.

وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:

نتيجة ل:

انتباه خاصانتبه إلى الطريقة الثانية - في الحالة العامة ، تكون أكثر عقلانية.

بالإضافة إلى ذلك ، هناك طريقة بديلة ثالثة للحل ، تستند إلى نظرية تلخيص الأحداث المشتركة ، والتي كانت صامتة أعلاه.

! إذا كنت تقرأ المادة لأول مرة ، فمن الأفضل تخطي الفقرة التالية لتجنب الالتباس.

الطريقة الثالثة : الأحداث مشتركة ، مما يعني أن مجموعها يعبر عن الحدث "اصطدم مطلق نار واحد على الأقل بالهدف" (انظر الشكل. حدث الجبر). بواسطة نظرية إضافة احتمالات الأحداث المشتركةونظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:

دعنا نتحقق من: الأحداث و (0 ، 1 و 2 على التوالي)يشكلون مجموعة كاملة ، لذا يجب أن يكون مجموع احتمالاتهم مساويًا لواحد:
، والتي كان من المقرر التحقق منها.

إجابة:

من خلال دراسة شاملة لنظرية الاحتمالية ، ستصادف عشرات المهام ذات المحتوى العسكري ، وهو أمر نموذجي ، بعد ذلك لن ترغب في إطلاق النار على أي شخص - المهام تكاد تكون هدية. لماذا لا تجعل القالب أكثر بساطة؟ لنختصر المدخل:

حل: حسب الشرط: هو احتمال إصابة الرماة المناسبين. ثم تكون احتمالات الخطأ لديهم هي:

أ) وفقًا لنظريات إضافة احتمالات عدم التوافق ومضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال أن يصيب مطلق نار واحد الهدف.

ب) وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال أن يفوت كلا الرماة.

إذن: هو احتمال إصابة أحد الرماة على الأقل بالهدف.

إجابة:

في الممارسة العملية ، يمكنك استخدام أي خيار تصميم. بالطبع ، غالبًا ما يسلكون الطريق القصير ، لكن لا ينبغي لأحد أن ينسى الطريقة الأولى - على الرغم من أنها أطول ، فهي أكثر وضوحًا - فهي أكثر وضوحًا فيها ، ماذا ولماذا ولماذايضيف ويتضاعف. في بعض الحالات ، يكون النمط المختلط مناسبًا عندما بأحرف كبيرةمن الملائم الإشارة إلى بعض الأحداث فقط.

مهام مماثلة لحل مستقل:

المهمة 6

تم تركيب جهازي استشعار يعملان بشكل مستقل لإنذار الحريق. تبلغ احتمالية أن يعمل المستشعر أثناء الحريق 0.5 و 0.7 للمستشعر الأول والثاني على التوالي. أوجد احتمالية حدوث حريق:

أ) سيفشل كلا المستشعرين ؛
ب) سيعمل كلا المستشعرين.
ج) استخدام إضافة نظرية لاحتمالات الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة، أوجد احتمالية أن جهاز استشعار واحد فقط سيعمل أثناء الحريق. تحقق من النتيجة عن طريق الحساب المباشر لهذا الاحتمال (باستخدام نظريات الجمع والضرب).

هنا ، يتم توضيح استقلالية تشغيل الأجهزة بشكل مباشر في الحالة ، والتي ، بالمناسبة ، توضيح مهم. تم تصميم نموذج الحل بأسلوب أكاديمي.

ماذا لو ، في مشكلة مماثلة ، أعطيت نفس الاحتمالات ، على سبيل المثال ، 0.9 و 0.9؟ عليك أن تقرر نفس الشيء بالضبط! (والذي ، في الواقع ، تم توضيحه بالفعل في المثال بعملتين)

المهمة 7

احتمالية إصابة الهدف بالرامي الأول بطلقة واحدة هي 0.8. احتمال عدم إصابة الهدف بعد إطلاق الرماة الأول والثاني طلقة واحدة هو 0.08. ما هو احتمالية إصابة الهدف بالهدف الثاني برصاصة واحدة؟

وهذا لغز صغير ، مؤطر بإيجاز. يمكن إعادة صياغة الشرط بشكل أكثر إيجازًا ، لكنني لن أعيد صياغة الأصل - عمليًا ، يجب أن أتعمق في المزيد من التلفيقات المزخرفة.

قابله - هو الشخص الذي قطع قدرًا غير محسوب من التفاصيل لك =):

المهمة 8

عامل يشغل ثلاث ماكينات. احتمال أن تتطلب الآلة الأولى تعديلًا أثناء التغيير هو 0.3 ، والثاني - 0.75 ، والثالث - 0.4. أوجد الاحتمال أنه أثناء التحول:

أ) تتطلب جميع الآلات التعديل ؛
ب) آلة واحدة فقط تتطلب التعديل ؛
ج) سيتطلب جهاز واحد على الأقل التعديل.

حل: نظرًا لأن الشرط لا يذكر شيئًا عن عملية تكنولوجية واحدة ، فيجب اعتبار تشغيل كل آلة مستقلاً عن تشغيل الآلات الأخرى.

بالقياس مع المهمة رقم 5 ، يمكنك هنا مراعاة الأحداث التي تتكون من حقيقة أن الآلات المقابلة ستتطلب تعديلًا أثناء التحول ، وتدوين الاحتمالات ، والعثور على احتمالات الأحداث المعاكسة ، وما إلى ذلك. لكن مع ثلاثة أشياء ، لا أريد حقًا أن أرسم المهمة من هذا القبيل - ستصبح طويلة ومملة. لذلك ، من المربح بشكل ملحوظ استخدام النمط "السريع" هنا:

حسب الشرط: - احتمال أن تتطلب الآلات المقابلة ضبطًا أثناء المناوبة. ثم الاحتمالات التي لن تتطلب الانتباه هي:

وجد أحد القراء خطأ مطبعيًا رائعًا هنا ، ولن أصححه حتى =)

أ) وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال أن تتطلب الآلات الثلاثة تعديلًا أثناء المناوبة.

ب) يتكون الحدث "أثناء التحول ، آلة واحدة فقط تتطلب التعديل" من ثلاث نتائج غير متوافقة:

1) الجهاز الأول سوف يتطلبانتباه والجهاز الثاني لن تتطلب والجهاز الثالث لن تتطلب
أو:
2) الجهاز الأول لن تتطلبانتباه والجهاز الثاني سوف يتطلب والجهاز الثالث لن تتطلب
أو:
3) الجهاز الأول لن تتطلبانتباه والجهاز الثاني لن تتطلب والجهاز الثالث سوف يتطلب.

وفقًا لنظريات إضافة احتمالات عدم التوافق وضرب احتمالات الأحداث المستقلة:

- احتمال أن تتطلب آلة واحدة فقط الضبط أثناء المناوبة.

أعتقد أنه يجب أن يكون واضحًا لك الآن من أين جاء التعبير

ج) احسب احتمال ألا تتطلب الآلات تعديلًا ، ثم احسب احتمال حدوث حدث معاكس:
- حقيقة أن آلة واحدة على الأقل تتطلب التعديل.

إجابة:

يمكن أيضًا حل العنصر "ve" من خلال المجموع ، حيث يُحتمل أن يتطلب تعديل جهازين فقط أثناء المناوبة. يتضمن هذا الحدث ، بدوره ، 3 نتائج غير متوافقة ، والتي تم توقيعها عن طريق القياس مع عنصر "be". حاول أن تجد احتمالية التحقق من المشكلة بأكملها بمساعدة المساواة.

المهمة 9

أطلقت ثلاث بنادق رصاصة واحدة على الهدف. احتمال إصابة طلقة واحدة فقط من المسدس الأول هو 0.7 ، من الثانية - 0.6 ، من الثالثة - 0.8. أوجد احتمال أن: 1) قذيفة واحدة على الأقل تصيب الهدف ؛ 2) مقذوفان فقط سيصيبان الهدف ؛ 3) سيتم إصابة الهدف مرتين على الأقل.

الحل والجواب في نهاية الدرس.

ومرة أخرى حول المصادفات: في حالة تطابق قيمتين أو حتى جميع قيم الاحتمالات الأولية (على سبيل المثال ، 0.7 و 0.7 و 0.7) ، فيجب اتباع نفس خوارزمية الحل بالضبط.

في ختام المقال ، سنحلل لغزًا شائعًا آخر:

المهمة 10

يصيب مطلق النار الهدف بنفس الاحتمال مع كل طلقة. ما هذا الاحتمال إذا كان احتمال إصابة واحدة على الأقل في ثلاث طلقات هو 0.973.

حل: تشير بـ - احتمالية إصابة الهدف مع كل طلقة.
ومن خلال - احتمال الخطأ مع كل طلقة.

دعنا نكتب الأحداث:
- من خلال 3 طلقات ، سيضرب مطلق النار الهدف مرة واحدة على الأقل ؛
- سيفتقد مطلق النار 3 مرات.

حسب الشرط ، فإن احتمال الحدث المعاكس:

من ناحية أخرى ، وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:

هكذا:

- احتمالية الخطأ مع كل طلقة.

نتيجة ل:
هو احتمال إصابة كل طلقة.

إجابة: 0,7

بسيط وأنيق.

في المشكلة المدروسة ، يمكن طرح أسئلة إضافية حول احتمال حدوث إصابة واحدة فقط ، وضربتين فقط ، واحتمال حدوث ثلاث ضربات على الهدف. سيكون مخطط الحل هو نفسه تمامًا كما في المثالين السابقين:

ومع ذلك ، فإن الاختلاف الجوهري الأساسي هو أن هناك تكرار الاختبارات المستقلة، والتي يتم إجراؤها بالتتابع ، بشكل مستقل عن بعضها البعض وبنفس احتمالية النتائج.

المهمة 2. رمي 4 نرد. أوجد احتمال الحصول على نفس عدد النقاط على كل نرد ملفوف

حل. هناك 6 وجوه في المجموع على كل عظم. تداعيات كل وجه محتملة بنفس القدر. إذا رمي النرد الأول ، على سبيل المثال ، 1 ، فيجب أن يكون الباقي هو نفسه. إن احتمال سقوط أي وجه معين بحيث تسقط جميع الوجوه الأربعة المتطابقة هو نتاج احتمالات ظهور وجه معين على جميع أحجار النرد الأربعة. يجب مضاعفة النتيجة في عدد الوجوه ، لأن هناك 6 أرقام مختلفة. دعنا نشير إلى الحدث المطلوب - "سقط واحد على النرد" ، - ثم خسارة أربعة آحاد على جميع المكعبات. لإيجاد حل للمشكلة ، تحتاج إلى ضرب الناتج في 6 لأن الأحداث "توالت اثنين على كل النرد" ، "توالت ثلاثة على كل النرد" ... تلبية شرط المشكلة. لذا فإن حل المشكلة سيكون:

المهمة 3. تم تعليم الطالب المتدرب إطلاق النار على علبة بمسدس. احتمالية اصطدام البرطمان بطلقة واحدة هي 0.03. كم عدد الخراطيش التي تحتاج إلى تحضيرها بحيث يكون احتمال سقوط العلبة على الأرض 0.94؟

حل. اكتب معادلة لإيجاد احتمال وقوع حدث. للقيام بذلك ، استخدم صيغة برنولي ، والتي يتم استخدامها في حالة إجراء عدة عمليات تكرار لنفس الحدث. إذا افترضنا أن العلبة قد سقطت على الأرض من الضربة الأولى ، فقبل إطلاق تلك الطلقات (مع خطأ) ، أي تم إطلاق جميع الطلقات. إذا كان احتمال الضرب ، فإن احتمال الضرب هو. يمكن كتابة احتمال الخطأ وحدث واحد:

نستبدل البيانات المعروفة في الصيغة الأخيرة: ونعبر عن المعادلة الناتجة:

لنأخذ لوغاريتم التعبير الأخير:

أين

يتم استخدام القيمة المطلقة هنا لأن الاحتمالات يمكن أن تكون موجبة فقط. . لا يمكن أن يكون عدد اللقطات عددًا صحيحًا ، لذا أخيرًا

المهمة 4. رمي النرد 6 مرات. ما هو احتمال الحصول على 6 وجوه مختلفة؟

حل. هناك 6 وجوه في المجموع على كل عظم. تداعيات كل وجه محتملة بنفس القدر. تحدث الأحداث بالتتابع ، لكن لا يهم بأي ترتيب. احتمال سقوط أي وجه معين هو 1 (يتم إلقاء النرد وسيظهر وجه واحد) ، لذلك ، في المرة الثانية التي يجب أن يظهر فيها أي رقم ، باستثناء الرقم الذي سقط (الاحتمال) ، المرة الثالثة - أي ، باستثناء لأول اثنين (الاحتمال) ، إلخ. احتمال الحدث المطلوب هو:

المهمة 5. متجانس حجر النردله شكل رباعي السطوح منتظم. يتم تمييز الأرقام 1 و 2 و 3 و 4 على وجوهها. كم مرة تحتاج إلى إلقاء نرد حتى تتوقع أن يتدحرج الرقم 3 على الأقل في حالة واحدة مع احتمال أكبر من 0.9؟

حل. هناك 4 وجوه في المجموع على العظم. من المحتمل أن يتساقط كل وجه بشكل متساوٍ ، ولكن يجب أن يتم رميها عدة مرات ، لذلك سنستند إلى استخدام صيغة برنولي. لنفترض أنه في الاختبار الرابع ظهر الرقم المطلوب ، لذلك كانت جميع الأوقات السابقة مختلفة. في هذه الحالة ، سيكون احتمال ظهور وجه معين متساويًا ، نظرًا لوجود 4 وجوه فقط. يمكن كتابة احتمال الحدث "لم يظهر الوجه المطلوب وظهر الوجه المطلوب مرة واحدة":

نستبدل البيانات المعروفة في الصيغة الأخيرة: ونعبر عنها من المعادلة الناتجة.

لنأخذ لوغاريتم التعبير الأخير:

أين

يتم استخدام القيمة المطلقة هنا لأن الاحتمالات يمكن أن تكون موجبة فقط. . لا يمكن أن يكون عدد اللفات عددًا غير صحيح ، لذا قم بالتقريب إلى أقرب عدد صحيح. حسب الشرط ، يجب أن يكون الاحتمال أكبر من 0.9 ، لذا فإن الإجابة هي> 6.

المهمة 6. يقوم اثنان من الصيادين بإطلاق النار بشكل مستقل عن بعضهما البعض على هدف واحد ، ويقوم كل منهم بإطلاق رصاصة واحدة. احتمال إصابة الصياد الأول هو 0.8 ، وللثاني - 0.4. بعد إطلاق النار ، تم العثور على ثقب واحد في الهدف. أوجد احتمالية أنه ينتمي إلى مطلق النار الأول؟

حل. دعنا نحاول استخدام صيغة بايز. وفقًا لمعادلة بايز ، يحتوي البسط على احتمالية حدوث الحدث المطلوب ، ويحتوي المقام على الاحتمالية الإجمالية للنتائج المحتملة ، والتي ستحدد مظهر ثقب واحد في الهدف ، أي حالات عندما يضرب أحد الصيادين والثاني يضيع. كان هناك اثنان من الصيادين ، لذلك هناك خياران فقط محتملان: "الضربة الأولى ، والثانية الضائعة" و "الضربة الأولى ، والضربة الثانية". كلا الحدثين لا يمكن أن يحدثا في نفس الوقت ، لذلك نحن نتحدث عن مجموع الاحتمالات. احتمال وقوع الحدث المطلوب هو "الخطأ الأول ، النتيجة الثانية". احتمال وقوع الحدث "الضربة الأولى والثانية الفائتة" يساوي ، واحتمال الحدث الثاني "الضربة الأولى ، النتيجة الثانية" يساوي . دعنا نستخدم الصيغة الموصى بها:

المهمة 7. تم إطلاق ثلاث طلقات على بطة لم تكن عالية جدًا. احتمالات الضرب في الضربات الأولى والثانية والثالثة هي 0.1 على التوالي ؛ 0.2 و 0.4. أوجد احتمال إصابة البطة بضربتين على الأقل.

حل. نظرًا لأن الطلقات يتم إطلاقها بالتتابع ، يجب على المرء أن يفكر في إمكانية الضياع في المرة الأولى أو الثانية أو الثالثة. وفقًا لحالة المشكلة ، يجب أن يكون هناك على الأقل ضربتان على البطة ، مما يعني إما ضربتين أو 3. يمكن أن يكون هناك ثلاث أحداث "ضربتان": "ضرب ، ضرب ، أخطأ" ؛ "ضرب ، ملكة جمال ، ضرب" ؛ "ملكة جمال ، ضرب ، ضرب" ، لأن من غير المعروف مسبقا ما هي الطلقة التي كانت مفقودة. وبالتالي ، لدينا 4 أحداث لا يمكن أن تحدث في وقت واحد ، لذلك نحن نتحدث عن مجموع احتمالات الأحداث ، أي حول صيغة الاحتمالية الإجمالية. احتمال وقوع الحدث "ضرب ، ضرب ، ضرب" يساوي ؛ احتمال وقوع الحدث "ضرب ، ضرب ، يخطئ" هو ؛ احتمال وقوع الحدث "ضرب ، ملكة جمال ، ضرب" هو ؛ احتمالية الخطأ ، الضربة ، الضربة هي. الآن نحسب الاحتمال المطلوب:

المهمة 8. يقوم مساعد المختبر بإجراء التحليلات الكيميائية ، ويستخدم الكواشف الموجودة في ثلاجتين. في الثلاجة الأولى ، من جميع الكواشف المخزنة ، انتهت صلاحية 10 ٪ فقط ، وفي الثانية - 20 ٪. ابحث عن احتمال أن يكون أي كاشف مأخوذ من أي ثلاجة مساعدًا طازجًا بدرجة كافية

حل. دعنا نشير إلى الحدث على أنه أ - يقوم مساعد المختبر بإخراج كاشف جديد بما فيه الكفاية من أي ثلاجة. يأخذ مساعد المختبر كاشفًا من أي ثلاجة ، يوجد اثنان منها حسب حالة المشكلة. لأن المشكلة لا تقول شيئًا عن الثلاجات ، فاختيار أي منها قابل للتجهيز ، أي مساوي ل . وبالتالي ، فإن احتمال الحدث المطلوب يتمثل في حدوث اثنين في وقت واحد - "اختيار الثلاجة ، واختيار الكاشف". احتمال "أخذ كاشف جديد من الثلاجة الأولى" يساوي ؛ احتمال "أخذ كاشف جديد من الثلاجة الثانية" يساوي . يأخذ مساعد المختبر كاشفًا مرة واحدة فقط ، لذلك لا يمكن أن يحدث كلا الحدثين في "أخذ كاشف جديد من الثلاجة الأولى" و "أخذ كاشف جديد من الثلاجة الثانية" في نفس الوقت ، لذلك نحن نتحدث عن مجموع الاحتمالات . دعنا نستخدم صيغة الاحتمال الكلي. ثم يكون الاحتمال المطلوب مساوياً لـ:

المهمة 9. يوجد 5 علب مرصعة بأحجار الزينة من حجر الملاكيت والرخام. صندوقان يحتويان على قطعتين من الرخام وقطعة واحدة من الملكيت ، يحتوي أحدهما على 10 قطع من الملكيت والآخر يحتوي على 3 قطع من الرخام وقطعة واحدة من الملكيت. أوجد احتمال أن تكون القطعة المأخوذة عشوائيًا من صندوق اختاره الحرفي من الرخام.

حل. هذه مهمة لاستخدام صيغة الاحتمال الإجمالي. يختار السيد حجر الزينة من أي مربع "تم اختياره عشوائيًا". هناك 5 مربعات في المجموع ، ويفترض أنها متطابقة ، وبالتالي فإن احتمال اختيار أي مربع هو. وبالتالي ، فإن احتمال الحدث المطلوب يتمثل في حدوث حدثين متزامنين - "اختيار الصندوق واختيار الكرة الرخامية". احتمال أخذ الرخام من الصندوق الأول هو ؛ احتمال أخذ الرخام من الصندوق الثاني هو ؛ احتمال أخذ قطعة الرخام من الصندوق الثالث هو 0 ، لأن لا يوجد سوى الملكيت ، واحتمال أخذ الرخام من الصندوق الرابع هو ؛