Η ανάγκη για πράξεις στις πιθανότητες προκύπτει όταν είναι γνωστές οι πιθανότητες ορισμένων γεγονότων και είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι πιθανότητες άλλων γεγονότων που σχετίζονται με αυτά τα γεγονότα.

Η πρόσθεση πιθανότητας χρησιμοποιείται όταν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η πιθανότητα ενός συνδυασμού ή ενός λογικού αθροίσματος τυχαίων γεγονότων.

Άθροισμα γεγονότων ΕΝΑΚαι σιορίζω ΕΝΑ + σιή ΕΝΑ ∪ σι. Το άθροισμα δύο γεγονότων είναι ένα γεγονός που συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα. Αυτό σημαίνει ότι ΕΝΑ + σι- ένα γεγονός που συμβαίνει εάν και μόνο εάν συμβεί ένα συμβάν κατά τη διάρκεια της παρατήρησης ΕΝΑή εκδήλωση σι, ή ταυτόχρονα ΕΝΑΚαι σι.

Αν τα γεγονότα ΕΝΑΚαι σιείναι αμοιβαία ασυνεπή και δίνονται οι πιθανότητές τους, τότε η πιθανότητα να συμβεί ένα από αυτά τα συμβάντα ως αποτέλεσμα μιας δοκιμής υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την προσθήκη πιθανοτήτων.

Το θεώρημα της πρόσθεσης των πιθανοτήτων.Η πιθανότητα να συμβεί ένα από τα δύο αμοιβαία ασύμβατα γεγονότα είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων:

Για παράδειγμα, έπεσαν δύο πυροβολισμοί ενώ κυνηγούσαν. Εκδήλωση ΕΝΑ– χτύπημα πάπιας από την πρώτη βολή, συμβάν ΣΕ– χτύπημα από τη δεύτερη βολή, γεγονός ( ΕΝΑ+ ΣΕ) - χτύπημα από την πρώτη ή τη δεύτερη βολή ή από δύο βολές. Αν λοιπόν δύο γεγονότα ΕΝΑΚαι ΣΕείναι ασύμβατα γεγονότα, λοιπόν ΕΝΑ+ ΣΕ- την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά τα συμβάντα ή δύο συμβάντων.

Παράδειγμα 1Ένα κουτί περιέχει 30 μπάλες ίδιου μεγέθους: 10 κόκκινες, 5 μπλε και 15 λευκές. Υπολογίστε την πιθανότητα να ληφθεί μια έγχρωμη (όχι λευκή) μπάλα χωρίς να κοιτάξετε.

Λύση. Ας υποθέσουμε ότι το γεγονός ΕΝΑ– «η κόκκινη μπάλα λήφθηκε», και η εκδήλωση ΣΕ- "Η μπλε μπάλα είναι πιασμένη." Στη συνέχεια, το συμβάν είναι «παίρνεται μια έγχρωμη (όχι λευκή) μπάλα». Βρείτε την πιθανότητα ενός γεγονότος ΕΝΑ:

και εκδηλώσεις ΣΕ:

Εκδηλώσεις ΕΝΑΚαι ΣΕ- αμοιβαία ασύμβατα, αφού αν ληφθεί μία μπάλα, τότε δεν μπορούν να ληφθούν μπάλες διαφορετικά χρώματα. Επομένως, χρησιμοποιούμε την προσθήκη πιθανοτήτων:

Το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανοτήτων για πολλά ασύμβατα γεγονότα.Εάν τα γεγονότα αποτελούν το πλήρες σύνολο των γεγονότων, τότε το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με 1:

Το άθροισμα των πιθανοτήτων των αντίθετων γεγονότων είναι επίσης ίσο με 1:

Τα αντίθετα γεγονότα σχηματίζουν ένα πλήρες σύνολο γεγονότων και η πιθανότητα ενός πλήρους συνόλου γεγονότων είναι 1.

Οι πιθανότητες αντίθετων γεγονότων συνήθως σημειώνονται με μικρά γράμματα. ΠΚαι q. Συγκεκριμένα,

από τον οποίο προκύπτουν οι ακόλουθοι τύποι για την πιθανότητα αντίθετων γεγονότων:

Παράδειγμα 2Ο στόχος στην παύλα χωρίζεται σε 3 ζώνες. Η πιθανότητα ότι ένας συγκεκριμένος σκοπευτής θα πυροβολήσει σε έναν στόχο στην πρώτη ζώνη είναι 0,15, στη δεύτερη ζώνη - 0,23, στην τρίτη ζώνη - 0,17. Βρείτε την πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο και την πιθανότητα ο σκοπευτής να χάσει το στόχο.

Λύση: Βρείτε την πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο:

Βρείτε την πιθανότητα ο σκοπευτής να χάσει τον στόχο:

Πιο δύσκολες εργασίες στις οποίες πρέπει να εφαρμόσετε τόσο πρόσθεση όσο και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων - στη σελίδα "Διάφορες εργασίες για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων" .

Προσθήκη πιθανοτήτων αμοιβαία κοινών γεγονότων

Δύο τυχαία γεγονότα λέγονται κοινά εάν η εμφάνιση ενός γεγονότος δεν αποκλείει την εμφάνιση ενός δεύτερου γεγονότος στην ίδια παρατήρηση. Για παράδειγμα, όταν ρίχνετε ένα ζάρι, το γεγονός ΕΝΑθεωρείται η εμφάνιση του αριθμού 4, και το γεγονός ΣΕ- πτώση ζυγού αριθμού. Δεδομένου ότι ο αριθμός 4 είναι ζυγός αριθμός, τα δύο συμβάντα είναι συμβατά. Στην πράξη, υπάρχουν εργασίες για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων εμφάνισης ενός από τα αμοιβαία κοινά γεγονότα.

Το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανοτήτων για κοινά γεγονότα.Η πιθανότητα να συμβεί ένα από τα κοινά γεγονότα είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων, από το οποίο αφαιρείται η πιθανότητα κοινής εμφάνισης και των δύο γεγονότων, δηλαδή το γινόμενο των πιθανοτήτων. Ο τύπος για τις πιθανότητες κοινών γεγονότων έχει ως εξής:

Γιατί τα γεγονότα ΕΝΑΚαι ΣΕσυμβατός, συμβάν ΕΝΑ+ ΣΕσυμβαίνει εάν συμβεί ένα από τα τρία πιθανά συμβάντα: ή ΑΒ. Σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης ασυμβίβαστων γεγονότων, υπολογίζουμε ως εξής:

Εκδήλωση ΕΝΑσυμβαίνει εάν συμβεί ένα από τα δύο ασύμβατα συμβάντα: ή ΑΒ. Ωστόσο, η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος από πολλά ασύμβατα γεγονότα είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων αυτών των γεγονότων:

Ομοίως:

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (6) και (7) στην έκφραση (5), λαμβάνουμε τον τύπο πιθανότητας για κοινά συμβάντα:

Κατά τη χρήση του τύπου (8), θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ότι τα γεγονότα ΕΝΑΚαι ΣΕμπορεί να είναι:

• αμοιβαία ανεξάρτητη?
• αμοιβαία εξαρτώμενη.

Τύπος πιθανότητας για αμοιβαία ανεξάρτητα γεγονότα:

Τύπος πιθανότητας για συμβάντα αμοιβαία εξαρτώμενα:

Αν τα γεγονότα ΕΝΑΚαι ΣΕείναι ασυνεπείς, τότε η σύμπτωσή τους είναι μια αδύνατη περίπτωση και, ως εκ τούτου, Π(ΑΒ) = 0. Ο τέταρτος τύπος πιθανότητας για ασύμβατα συμβάντα είναι ο εξής:

Παράδειγμα 3Στους αγώνες αυτοκινήτου, όταν οδηγείτε στο πρώτο αυτοκίνητο, η πιθανότητα να κερδίσετε, όταν οδηγείτε στο δεύτερο αυτοκίνητο. Εύρημα:

• την πιθανότητα να κερδίσουν και τα δύο αυτοκίνητα.
• την πιθανότητα να κερδίσει τουλάχιστον ένα αυτοκίνητο.

1) Η πιθανότητα να κερδίσει το πρώτο αυτοκίνητο δεν εξαρτάται από το αποτέλεσμα του δεύτερου αυτοκινήτου, επομένως τα γεγονότα ΕΝΑ(το πρώτο αυτοκίνητο κερδίζει) και ΣΕ(νίκες δεύτερου αυτοκινήτου) - ανεξάρτητες εκδηλώσεις. Βρείτε την πιθανότητα να κερδίσουν και τα δύο αυτοκίνητα:

2) Βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει ένα από τα δύο αυτοκίνητα:

Πιο δύσκολες εργασίες στις οποίες πρέπει να εφαρμόσετε τόσο πρόσθεση όσο και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων - στη σελίδα "Διάφορες εργασίες για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων" .

Λύστε μόνοι σας το πρόβλημα της πρόσθεσης πιθανοτήτων και μετά δείτε τη λύση

Παράδειγμα 4Ρίχνονται δύο νομίσματα. Εκδήλωση ΕΝΑ- απώλεια του θυρεού στο πρώτο νόμισμα. Εκδήλωση σι- απώλεια του θυρεού στο δεύτερο νόμισμα. Βρείτε την πιθανότητα ενός γεγονότος ντο = ΕΝΑ + σι .

Πολλαπλασιασμός πιθανοτήτων

Ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων χρησιμοποιείται όταν πρόκειται να υπολογιστεί η πιθανότητα ενός λογικού γινόμενου γεγονότων.

Σε αυτήν την περίπτωση, τα τυχαία συμβάντα πρέπει να είναι ανεξάρτητα. Δύο γεγονότα λέγονται ότι είναι αμοιβαία ανεξάρτητα εάν η εμφάνιση ενός γεγονότος δεν επηρεάζει την πιθανότητα εμφάνισης του δεύτερου γεγονότος.

Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων για ανεξάρτητα γεγονότα.Η πιθανότητα της ταυτόχρονης εμφάνισης δύο ανεξάρτητων γεγονότων ΕΝΑΚαι ΣΕείναι ίσο με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων και υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 5Το κέρμα ρίχνεται τρεις φορές στη σειρά. Βρείτε την πιθανότητα να πέσει το εθνόσημο και τις τρεις φορές.

Λύση. Η πιθανότητα ότι το εθνόσημο θα πέσει στην πρώτη ρίψη ενός νομίσματος, τη δεύτερη και την τρίτη φορά. Βρείτε την πιθανότητα να πέσει το εθνόσημο και τις τρεις φορές:

Λύστε μόνοι σας προβλήματα για τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων και μετά δείτε τη λύση

Παράδειγμα 6Υπάρχει ένα κουτί με εννέα νέες μπάλες τένις. Τρεις μπάλες παίρνονται για το παιχνίδι, μετά το παιχνίδι επανατοποθετούνται. Όταν επιλέγουν μπάλες, δεν κάνουν διάκριση ανάμεσα σε παιγμένες και άπαιχτες μπάλες. Ποια είναι η πιθανότητα μετά από τρία παιχνίδια να μην υπάρχουν άπαιχτες μπάλες στο κουτί;

Παράδειγμα 7 32 γράμματα του ρωσικού αλφαβήτου είναι γραμμένα σε κομμένες κάρτες αλφαβήτου. Πέντε χαρτιά κληρώνονται τυχαία, το ένα μετά το άλλο, και τοποθετούνται στο τραπέζι με τη σειρά που εμφανίζονται. Βρείτε την πιθανότητα τα γράμματα να σχηματίσουν τη λέξη «τέλος».

Παράδειγμα 8Από μια πλήρη τράπουλα (52 φύλλα), αφαιρούνται τέσσερα φύλλα ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα και τα τέσσερα αυτά φύλλα να έχουν το ίδιο χρώμα.

Παράδειγμα 9Το ίδιο πρόβλημα όπως στο παράδειγμα 8, αλλά κάθε φύλλο επιστρέφεται στην τράπουλα αφού κληρωθεί.

Πιο πολύπλοκες εργασίες, στις οποίες πρέπει να εφαρμόσετε τόσο πρόσθεση όσο και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων, καθώς και να υπολογίσετε το γινόμενο πολλών γεγονότων, στη σελίδα "Διάφορες εργασίες για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων" .

Η πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα αμοιβαία ανεξάρτητα γεγονότα μπορεί να υπολογιστεί αφαιρώντας το γινόμενο των πιθανοτήτων αντίθετων γεγονότων από το 1, δηλαδή με τον τύπο:

Παράδειγμα 10Τα φορτία παραδίδονται με τρεις τρόπους μεταφοράς: ποτάμιες, σιδηροδρομικές και οδικές. Η πιθανότητα να παραδοθεί το φορτίο με ποτάμια μεταφορά είναι 0,82, σιδηροδρομικώς 0,87, οδικώς 0,90. Βρείτε την πιθανότητα ότι τα αγαθά θα παραδοθούν με τουλάχιστον έναν από τους τρεις τρόπους μεταφοράς.

Θεωρήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων.
Εξαρτημένες και ανεξάρτητες εκδηλώσεις

Ο τίτλος φαίνεται τρομακτικός, αλλά στην πραγματικότητα είναι πολύ απλός. Σε αυτό το μάθημα, θα εξοικειωθούμε με τα θεωρήματα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων γεγονότων, καθώς και θα αναλύσουμε τυπικές εργασίες που, μαζί με εργασία για τον κλασικό ορισμό της πιθανότηταςσίγουρα θα συναντηθείτε ή, το πιθανότερο, θα έχετε ήδη συναντηθεί στο δρόμο σας. Για να μελετήσετε αποτελεσματικά τα υλικά αυτού του άρθρου, πρέπει να γνωρίζετε και να κατανοείτε τους βασικούς όρους θεωρία πιθανοτήτωνκαι να μπορεί να εκτελεί απλές αριθμητικές πράξεις. Όπως μπορείτε να δείτε, απαιτούνται πολύ λίγα, και ως εκ τούτου ένα λίπος συν στο περιουσιακό στοιχείο είναι σχεδόν εγγυημένο. Αλλά από την άλλη, προειδοποιώ και πάλι ενάντια σε μια επιφανειακή στάση πρακτικά παραδείγματα- υπάρχουν επίσης αρκετές λεπτές αποχρώσεις. Καλή τύχη:

Το θεώρημα πρόσθεσης για τις πιθανότητες ασυμβίβαστων γεγονότων: η πιθανότητα εμφάνισης ενός από τα δύο ασύμβατεςεκδηλώσεις ή (οτι και αν γινει), ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων:

Ένα παρόμοιο γεγονός ισχύει επίσης για μεγαλύτερο αριθμό μη συμβατών συμβάντων, για παράδειγμα, για τρία ασύμβατα συμβάντα και :

Θεώρημα ονείρου =) Ωστόσο, ένα τέτοιο όνειρο υπόκειται επίσης σε απόδειξη, η οποία μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, στο οδηγός μελέτης V.E. Γκμούρμαν.

Ας εξοικειωθούμε με νέες, άγνωστες μέχρι τώρα έννοιες:

Εξαρτημένες και ανεξάρτητες εκδηλώσεις

Ας ξεκινήσουμε με ανεξάρτητες εκδηλώσεις. Οι εκδηλώσεις είναι ανεξάρτητος εάν η πιθανότητα εμφάνισης οποιοσδήποτε από αυτούς δεν εξαρτάταιαπό την εμφάνιση/μη εμφάνιση άλλων γεγονότων του υπό εξέταση συνόλου (σε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς). ... Αλλά τι υπάρχει για να αλέθουμε κοινές φράσεις:

Το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων: η πιθανότητα κοινής εμφάνισης ανεξάρτητων γεγονότων και είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων:

Ας επιστρέψουμε στο απλούστερο παράδειγμα του 1ου μαθήματος, στο οποίο ρίχνονται δύο νομίσματα και τα ακόλουθα γεγονότα:

- τα κεφάλια θα πέσουν στο 1ο νόμισμα.
- Κεφάλια στο 2ο νόμισμα.

Ας βρούμε την πιθανότητα του γεγονότος (τα κεφάλια θα εμφανίζονται στο 1ο νόμισμα ΚαιΟ αετός θα εμφανιστεί στο 2ο νόμισμα - θυμηθείτε πώς να διαβάσετε προϊόν των γεγονότων!) . Η πιθανότητα να πάρει κεφάλια σε ένα νόμισμα δεν εξαρτάται από το αποτέλεσμα της ρίψης ενός άλλου νομίσματος, επομένως, τα γεγονότα και είναι ανεξάρτητα.

Ομοίως:
είναι η πιθανότητα ότι το 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί Καιστη 2η ουρά?
είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν κεφάλια στο 1ο νόμισμα Καιστη 2η ουρά?
είναι η πιθανότητα το 1ο νόμισμα να προσγειωθεί στις ουρές Καιστον 2ο αετό.

Σημειώστε ότι σχηματίζονται συμβάντα πλήρης ομάδακαι το άθροισμα των πιθανοτήτων τους ισούται με μία: .

Το θεώρημα του πολλαπλασιασμού προφανώς επεκτείνεται σε μεγαλύτερο αριθμό ανεξάρτητων γεγονότων, οπότε, για παράδειγμα, εάν τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, τότε η πιθανότητα κοινής εμφάνισής τους είναι: . Ας εξασκηθούμε συγκεκριμένα παραδείγματα:

Εργασία 3

Κάθε ένα από τα τρία κουτιά περιέχει 10 μέρη. Στο πρώτο κουτί υπάρχουν 8 τυπικά μέρη, στο δεύτερο - 7, στο τρίτο - 9. Ένα μέρος αφαιρείται τυχαία από κάθε κουτί. Βρείτε την πιθανότητα όλα τα μέρη να είναι στάνταρ.

Λύση: η πιθανότητα εξαγωγής ενός τυπικού ή μη τυπικού εξαρτήματος από οποιοδήποτε κουτί δεν εξαρτάται από το ποια μέρη θα εξαχθούν από άλλα κουτιά, επομένως το πρόβλημα αφορά ανεξάρτητα συμβάντα. Εξετάστε τα ακόλουθα ανεξάρτητα γεγονότα:

– ένα τυπικό εξάρτημα αφαιρείται από το 1ο κουτί.
– ένα τυπικό εξάρτημα αφαιρείται από το 2ο κουτί.
– Ένα τυπικό εξάρτημα έχει αφαιρεθεί από το 3ο συρτάρι.

Σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό:
είναι οι αντίστοιχες πιθανότητες.

Εκδήλωση που μας ενδιαφέρει (Το τυπικό μέρος θα ληφθεί από το 1ο συρτάρι Καιαπό το 2ο πρότυπο Καιαπό το 3ο πρότυπο)εκφράζεται από το προϊόν.

Σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:

είναι η πιθανότητα να εξαχθεί ένα τυπικό εξάρτημα από τρία κουτιά.

Απάντηση: 0,504

Μετά από αναζωογονητικές ασκήσεις με κουτιά, δεν μας περιμένουν λιγότερο ενδιαφέροντα δοχεία:

Εργασία 4

Τρεις δοχεία περιέχουν 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. Μια μπάλα τραβιέται τυχαία από κάθε δοχείο. Βρείτε την πιθανότητα ότι: α) και οι τρεις μπάλες θα είναι λευκές. β) και οι τρεις μπάλες θα έχουν το ίδιο χρώμα.

Με βάση τις πληροφορίες που λάβατε, μαντέψτε πώς να αντιμετωπίσετε το στοιχείο "be" ;-) Ένα κατά προσέγγιση δείγμα λύσης έχει σχεδιαστεί σε ακαδημαϊκό στυλ με λεπτομερή περιγραφή όλων των γεγονότων.

Εξαρτημένα γεγονότα. Η εκδήλωση ονομάζεται εξαρτώμενος αν η πιθανότητα του Εξαρτάταιαπό ένα ή περισσότερα γεγονότα που έχουν ήδη συμβεί. Δεν χρειάζεται να πάτε μακριά για παραδείγματα - απλώς πηγαίνετε στο πλησιέστερο κατάστημα:

- αύριο στις 19.00 θα είναι σε προσφορά φρέσκο ​​ψωμί.

Η πιθανότητα αυτού του γεγονότος εξαρτάται από πολλά άλλα γεγονότα: αν θα παραδοθεί φρέσκο ​​ψωμί αύριο, αν θα εξαντληθεί πριν τις 7 το απόγευμα ή όχι κ.λπ. Ανάλογα με διάφορες συνθήκες, αυτό το συμβάν μπορεί να είναι αξιόπιστο και αδύνατο. Η εκδήλωση λοιπόν είναι εξαρτώμενος.

Ψωμί… και, όπως ζητούσαν οι Ρωμαίοι, τσίρκο:

- στις εξετάσεις, ο μαθητής θα πάρει ένα απλό εισιτήριο.

Εάν δεν πάτε πρώτα, τότε το γεγονός θα εξαρτηθεί, καθώς η πιθανότητα του θα εξαρτηθεί από τα εισιτήρια που έχουν ήδη κληρώσει οι συμμαθητές.

Πώς να προσδιορίσετε την εξάρτηση/ανεξαρτησία των γεγονότων;

Μερικές φορές αυτό δηλώνεται άμεσα στην κατάσταση του προβλήματος, αλλά τις περισσότερες φορές πρέπει να διεξάγετε μια ανεξάρτητη ανάλυση. Δεν υπάρχει σαφής κατευθυντήρια γραμμή εδώ, και το γεγονός της εξάρτησης ή της ανεξαρτησίας των γεγονότων προκύπτει από τη φυσική λογική.

Για να μην τα ρίχνουμε όλα σε ένα σωρό, εργασίες για εξαρτώμενα συμβάνταΘα επισημάνω το επόμενο μάθημα, αλλά προς το παρόν θα εξετάσουμε την πιο κοινή δέσμη θεωρημάτων στην πράξη:

Προβλήματα σε θεωρήματα πρόσθεσης για ασυνεπείς πιθανότητες
και πολλαπλασιάζοντας τις πιθανότητες ανεξάρτητων γεγονότων

Αυτή η σειρά, σύμφωνα με την υποκειμενική μου εκτίμηση, λειτουργεί στο 80% περίπου των εργασιών στο υπό εξέταση θέμα. Μια επιτυχία και μια πραγματική κλασική θεωρία πιθανοτήτων:

Εργασία 5

Δύο σκοπευτές έριξαν από μία βολή στον στόχο. Η πιθανότητα χτυπήματος για τον πρώτο σκοπευτή είναι 0,8, για τον δεύτερο - 0,6. Βρείτε την πιθανότητα ότι:

α) μόνο ένας σκοπευτής θα χτυπήσει τον στόχο.
β) τουλάχιστον ένας από τους σκοπευτές θα χτυπήσει τον στόχο.

Λύση: Η πιθανότητα χτυπήματος/αστοχίας ενός σουτέρ είναι προφανώς ανεξάρτητη από την απόδοση του άλλου σουτέρ.

Σκεφτείτε τα γεγονότα:
– Ο 1ος σκοπευτής θα χτυπήσει τον στόχο.
- Ο 2ος σκοπευτής θα χτυπήσει τον στόχο.

Κατά όρο: .

Ας βρούμε τις πιθανότητες αντίθετων γεγονότων - που θα χάσουν τα αντίστοιχα βέλη:

α) Εξετάστε το γεγονός: - μόνο ένας σκοπευτής χτυπά το στόχο. Αυτό το συμβάν αποτελείται από δύο ασύμβατα αποτελέσματα:

Ο 1ος σκοπευτής θα χτυπήσει Και 2η αστοχία
ή
Ο 1ος θα χάσει Και 2η θα χτυπήσει.

Στη γλώσσα άλγεβρες γεγονότωναυτό το γεγονός μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Αρχικά, χρησιμοποιούμε το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων, στη συνέχεια - το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:

είναι η πιθανότητα να υπάρξει μόνο ένα χτύπημα.

β) Εξετάστε το γεγονός: - τουλάχιστον ένας από τους σκοπευτές θα χτυπήσει τον στόχο.

Πρώτα απ 'όλα, ΑΣ ΣΚΕΦΤΟΥΜΕ - τι σημαίνει η συνθήκη «ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ»; ΣΕ αυτή η υπόθεσηΑυτό σημαίνει ότι είτε ο 1ος σουτέρ θα χτυπήσει (ο 2ος θα χάσει) ή 2η (1η αστοχία) ήκαι τα δύο βέλη ταυτόχρονα - συνολικά 3 ασύμβατα αποτελέσματα.

Μέθοδος ένα: δεδομένης της προετοιμασμένης πιθανότητας του προηγούμενου στοιχείου, είναι βολικό να αναπαρασταθεί το γεγονός ως το άθροισμα των ακόλουθων ασύνδετων γεγονότων:

ένας θα πάρει (ένα συμβάν που αποτελείται με τη σειρά του από 2 ασύμβατα αποτελέσματα) ή
Εάν χτυπήσουν και τα δύο βέλη, συμβολίζουμε αυτό το συμβάν με το γράμμα .

Ετσι:

Σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:
είναι η πιθανότητα να χτυπήσει ο 1ος σκοπευτής ΚαιΟ 2ος σκοπευτής θα χτυπήσει.

Σύμφωνα με το θεώρημα της πρόσθεσης των πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων:
είναι η πιθανότητα τουλάχιστον ενός χτυπήματος στο στόχο.

Μέθοδος δεύτερη: σκεφτείτε το αντίθετο γεγονός: – και οι δύο σουτέρ θα χάσουν.

Σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:

Σαν άποτέλεσμα:

Ιδιαίτερη προσοχήδώστε προσοχή στη δεύτερη μέθοδο - στη γενική περίπτωση είναι πιο ορθολογική.

Επιπλέον, υπάρχει ένας εναλλακτικός, τρίτος τρόπος επίλυσης, που βασίζεται στο θεώρημα της άθροισης κοινών γεγονότων, το οποίο ήταν σιωπηλό παραπάνω.

! Εάν διαβάζετε το υλικό για πρώτη φορά, τότε για να αποφύγετε τη σύγχυση, είναι καλύτερο να παραλείψετε την επόμενη παράγραφο.

Μέθοδος τρίτη : τα γεγονότα είναι κοινά, πράγμα που σημαίνει ότι το άθροισμά τους εκφράζει το γεγονός «τουλάχιστον ένας σκοπευτής χτυπά τον στόχο» (βλ. άλγεβρα γεγονότων). Με θεώρημα πρόσθεσης πιθανοτήτων κοινών γεγονότωνκαι το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:

Ας ελέγξουμε: εκδηλώσεις και (0, 1 και 2 χτυπήματα αντίστοιχα)σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα, οπότε το άθροισμα των πιθανοτήτων τους πρέπει να είναι ίσο με μία:
, το οποίο επρόκειτο να επαληθευτεί.

Απάντηση:

Με μια ενδελεχή μελέτη της θεωρίας των πιθανοτήτων, θα συναντήσετε δεκάδες εργασίες μιλιταριστικού περιεχομένου και, που είναι χαρακτηριστικό, μετά από αυτό δεν θα θέλετε να πυροβολήσετε κανέναν - οι εργασίες είναι σχεδόν δώρο. Γιατί να μην κάνετε το πρότυπο ακόμα πιο απλό; Ας συντομεύσουμε την καταχώρηση:

Λύση: σύμφωνα με την συνθήκη: , είναι η πιθανότητα να χτυπηθούν οι αντίστοιχοι σκοπευτές. Τότε οι πιθανότητες αστοχίας τους είναι:

α) Σύμφωνα με τα θεωρήματα πρόσθεσης πιθανοτήτων ασυμβίβαστων και πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:
είναι η πιθανότητα ότι μόνο ένας σκοπευτής θα χτυπήσει τον στόχο.

β) Σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:
είναι η πιθανότητα να χάσουν και οι δύο σουτέρ.

Τότε: είναι η πιθανότητα τουλάχιστον ένας από τους σκοπευτές να χτυπήσει τον στόχο.

Απάντηση:

Στην πράξη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε επιλογή σχεδίασης. Φυσικά, πολύ πιο συχνά πηγαίνουν στο σύντομο δρόμο, αλλά δεν πρέπει να ξεχνάμε την 1η μέθοδο - αν και είναι μεγαλύτερη, είναι πιο ουσιαστική - είναι πιο ξεκάθαρη σε αυτήν, τι, γιατί και γιατίαθροίζεται και πολλαπλασιάζεται. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ένα υβριδικό στυλ είναι κατάλληλο όταν κεφαλαία γράμματαΕίναι βολικό να υποδεικνύονται μόνο ορισμένα γεγονότα.

Παρόμοιες εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Εργασία 6

Δύο αισθητήρες που λειτουργούν ανεξάρτητα είναι εγκατεστημένοι για συναγερμό πυρκαγιάς. Οι πιθανότητες να λειτουργήσει ο αισθητήρας κατά τη διάρκεια πυρκαγιάς είναι 0,5 και 0,7 για τον πρώτο και τον δεύτερο αισθητήρα, αντίστοιχα. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε μια πυρκαγιά:

α) και οι δύο αισθητήρες θα αποτύχουν.
β) θα λειτουργήσουν και οι δύο αισθητήρες.
γ) Χρησιμοποιώντας Θεώρημα πρόσθεσης για τις πιθανότητες γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα, βρείτε την πιθανότητα να λειτουργεί μόνο ένας αισθητήρας κατά τη διάρκεια πυρκαγιάς. Ελέγξτε το αποτέλεσμα με άμεσο υπολογισμό αυτής της πιθανότητας (χρησιμοποιώντας θεωρήματα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού).

Εδώ, η ανεξαρτησία της λειτουργίας των συσκευών διευκρινίζεται άμεσα στην κατάσταση, η οποία, παρεμπιπτόντως, είναι μια σημαντική διευκρίνιση. Το δείγμα λύσης έχει σχεδιαστεί σε ακαδημαϊκό στυλ.

Τι γίνεται αν σε ένα παρόμοιο πρόβλημα δίνονται οι ίδιες πιθανότητες, για παράδειγμα, 0,9 και 0,9; Πρέπει να αποφασίσετε ακριβώς το ίδιο! (το οποίο, μάλιστα, έχει ήδη αποδειχθεί στο παράδειγμα με δύο νομίσματα)

Εργασία 7

Η πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο από τον πρώτο σκοπευτή με μία βολή είναι 0,8. Η πιθανότητα να μην χτυπηθεί ο στόχος αφού ο πρώτος και ο δεύτερος σκοπευτής εκτοξεύσουν μία βολή είναι 0,08. Ποια είναι η πιθανότητα να χτυπήσει τον στόχο από τον δεύτερο σκοπευτή με μία βολή;

Και αυτό είναι ένα μικρό παζλ, που πλαισιώνεται με σύντομο τρόπο. Η συνθήκη μπορεί να αναδιατυπωθεί πιο συνοπτικά, αλλά δεν θα ξαναφτιάξω το πρωτότυπο - στην πράξη, πρέπει να εμβαθύνω σε πιο περίτεχνες κατασκευές.

Γνωρίστε τον - είναι αυτός που σας κόβει αμέτρητες λεπτομέρειες =):

Εργασία 8

Ένας εργάτης χειρίζεται τρία μηχανήματα. Η πιθανότητα ότι κατά τη βάρδια το πρώτο μηχάνημα θα χρειαστεί ρύθμιση είναι 0,3, το δεύτερο - 0,75, το τρίτο - 0,4. Βρείτε την πιθανότητα κατά τη διάρκεια της βάρδιας:

α) όλα τα μηχανήματα θα χρειαστούν προσαρμογή·
β) μόνο ένα μηχάνημα θα χρειαστεί προσαρμογή.
γ) τουλάχιστον ένα μηχάνημα θα χρειαστεί ρύθμιση.

Λύση: δεδομένου ότι η συνθήκη δεν λέει τίποτα για μία μόνο τεχνολογική διαδικασία, τότε η λειτουργία κάθε μηχανής θα πρέπει να θεωρείται ανεξάρτητη από τη λειτουργία άλλων μηχανών.

Κατ' αναλογία με το Task No. Αλλά με τρία αντικείμενα, δεν θέλω πραγματικά να σχεδιάσω την εργασία έτσι - θα αποδειχθεί μακρά και κουραστική. Επομένως, είναι αισθητά πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε το "γρήγορο" στυλ εδώ:

Κατά συνθήκη: - η πιθανότητα κατά τη διάρκεια της βάρδιας τα αντίστοιχα μηχανήματα να απαιτήσουν συντονισμό. Τότε οι πιθανότητες ότι δεν θα απαιτήσουν προσοχή είναι:

Ένας από τους αναγνώστες βρήκε ένα ωραίο τυπογραφικό λάθος εδώ, δεν θα το διορθώσω καν =)

α) Σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:
είναι η πιθανότητα κατά τη διάρκεια της βάρδιας και τα τρία μηχανήματα να χρειαστούν ρύθμιση.

β) Το συμβάν "Κατά τη διάρκεια της βάρδιας, μόνο ένα μηχάνημα θα χρειαστεί προσαρμογή" αποτελείται από τρία ασύμβατα αποτελέσματα:

1) 1η μηχανή θα απαιτήσειπροσοχή Και 2η μηχανή δεν θα απαιτήσει Και 3η μηχανή δεν θα απαιτήσει
ή:
2) 1η μηχανή δεν θα απαιτήσειπροσοχή Και 2η μηχανή θα απαιτήσει Και 3η μηχανή δεν θα απαιτήσει
ή:
3) 1η μηχανή δεν θα απαιτήσειπροσοχή Και 2η μηχανή δεν θα απαιτήσει Και 3η μηχανή θα απαιτήσει.

Σύμφωνα με τα θεωρήματα της πρόσθεσης πιθανοτήτων ασυμβίβαστων και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:

- η πιθανότητα κατά τη διάρκεια της βάρδιας μόνο ένα μηχάνημα να χρειάζεται ρύθμιση.

Νομίζω ότι μέχρι τώρα θα πρέπει να είναι σαφές από πού προήλθε η έκφραση

γ) Υπολογίστε την πιθανότητα να μην χρειαστούν προσαρμογή τα μηχανήματα και, στη συνέχεια, την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος:
– το γεγονός ότι τουλάχιστον ένα μηχάνημα θα χρειαστεί ρύθμιση.

Απάντηση:

Το στοιχείο "ve" μπορεί επίσης να λυθεί μέσω του αθροίσματος , όπου είναι η πιθανότητα κατά τη διάρκεια της βάρδιας μόνο δύο μηχανές να απαιτήσουν προσαρμογή. Αυτό το γεγονός, με τη σειρά του, περιλαμβάνει 3 ασύμβατα αποτελέσματα, τα οποία υπογράφονται κατ' αναλογία με το στοιχείο "be". Προσπαθήστε να βρείτε μόνοι σας την πιθανότητα να ελέγξετε το όλο πρόβλημα με τη βοήθεια της ισότητας.

Εργασία 9

Τρία όπλα εκτόξευσαν ένα βόλι στον στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσετε με μία βολή μόνο από το πρώτο όπλο είναι 0,7, από το δεύτερο - 0,6, από το τρίτο - 0,8. Βρείτε την πιθανότητα: 1) τουλάχιστον ένα βλήμα να χτυπήσει το στόχο. 2) μόνο δύο βλήματα θα χτυπήσουν τον στόχο. 3) ο στόχος θα χτυπηθεί τουλάχιστον δύο φορές.

Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Και πάλι για τις συμπτώσεις: σε περίπτωση που, κατά συνθήκη, συμπίπτουν δύο ή και όλες οι τιμές των αρχικών πιθανοτήτων (για παράδειγμα, 0,7, 0,7 και 0,7), τότε θα πρέπει να ακολουθηθεί ακριβώς ο ίδιος αλγόριθμος λύσης.

Ολοκληρώνοντας το άρθρο, θα αναλύσουμε ένα άλλο κοινό παζλ:

Εργασία 10

Ο σκοπευτής χτυπά τον στόχο με την ίδια πιθανότητα σε κάθε βολή. Ποια είναι αυτή η πιθανότητα εάν η πιθανότητα τουλάχιστον ενός χτυπήματος σε τρεις βολές είναι 0,973.

Λύση: συμβολίζει με - την πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με κάθε βολή.
και μέσω - η πιθανότητα αστοχίας με κάθε σουτ.

Ας γράψουμε τα γεγονότα:
- με 3 βολές, ο σκοπευτής θα χτυπήσει τον στόχο τουλάχιστον μία φορά.
- ο σουτέρ θα αστοχήσει 3 φορές.

Σύμφωνα με την συνθήκη, τότε η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος:

Από την άλλη πλευρά, σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων:

Ετσι:

- η πιθανότητα αστοχίας με κάθε σουτ.

Σαν άποτέλεσμα:
είναι η πιθανότητα να χτυπηθεί κάθε βολή.

Απάντηση: 0,7

Απλό και κομψό.

Στο εξεταζόμενο πρόβλημα, μπορούν να τεθούν πρόσθετες ερωτήσεις σχετικά με την πιθανότητα ενός μόνο χτυπήματος, μόνο δύο χτυπημάτων και την πιθανότητα τριών χτυπημάτων στον στόχο. Το σχήμα λύσης θα είναι ακριβώς το ίδιο όπως στα δύο προηγούμενα παραδείγματα:

Ωστόσο, η θεμελιώδης ουσιαστική διαφορά είναι ότι υπάρχουν επαναλαμβανόμενες ανεξάρτητες δοκιμές, τα οποία εκτελούνται διαδοχικά, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και με την ίδια πιθανότητα εκβάσεων.

Εργασία 2. Ρίξτε 4 ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα να λάβετε τον ίδιο αριθμό πόντων σε κάθε ένα από τα ζάρια

Λύση. Υπάρχουν συνολικά 6 όψεις σε κάθε οστό. Η πτώση κάθε προσώπου είναι εξίσου πιθανή. Αν το πρώτο ζάρι έριξε, ας πούμε, 1, τότε τα υπόλοιπα θα πρέπει να είναι ίδια. Η πιθανότητα να πέσει έξω ένα συγκεκριμένο πρόσωπο ώστε να πέσουν και τα 4 πανομοιότυπα είναι το γινόμενο των πιθανοτήτων εμφάνισης ενός συγκεκριμένου προσώπου και στα 4 ζάρια. Το αποτέλεσμα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό των όψεων, αφού υπάρχουν 6 διαφορετικοί αριθμοί. Ας υποδηλώσουμε το επιθυμητό συμβάν - "ένα έλασε στο ζάρι", - , τότε η πτώση τεσσάρων μονάδων σε όλους τους κύβους θα είναι . Για να βρείτε μια λύση στο πρόβλημα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα επί 6, γιατί τα γεγονότα «δύο ρίξανε σε όλα τα ζάρια», «τρεις ρίξανε σε όλα τα ζάρια» ... ικανοποιούν την προϋπόθεση του προβλήματος. Η λύση λοιπόν στο πρόβλημα θα είναι:

Εργασία 3. Ένας ασκούμενος μαθητής διδάχθηκε να πυροβολεί ένα κουτί με όπλο. Η πιθανότητα να χτυπήσετε ένα βάζο με μία βολή είναι 0,03. Πόσα φυσίγγια πρέπει να προετοιμάσετε ώστε με πιθανότητα 0,94 ένα κουτί να χτυπηθεί στο έδαφος;

Λύση. Γράψτε μια εξίσωση για να βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο Bernoulli, ο οποίος χρησιμοποιείται εάν πραγματοποιηθούν πολλές επαναλήψεις του ίδιου γεγονότος. Αν υποθέσουμε ότι το κουτάκι χτυπιέται στο έδαφος με το πρώτο κιόλας χτύπημα, τότε πριν από αυτό ακούγονταν πυροβολισμοί (με αστοχία), δηλ. έπεσαν όλοι οι πυροβολισμοί. Αν η πιθανότητα να χτυπηθεί είναι , τότε η πιθανότητα να χαθεί είναι . Η πιθανότητα ενός συμβάντος αστοχίας και 1 επιτυχίας μπορεί να γραφτεί:

Αντικαθιστούμε τα γνωστά δεδομένα στον τελευταίο τύπο: και εκφράζουμε από την εξίσωση που προκύπτει:

Ας πάρουμε τον λογάριθμο της τελευταίας έκφρασης:

Οπου

Η απόλυτη τιμή χρησιμοποιείται εδώ επειδή οι πιθανότητες μπορούν να είναι μόνο θετικές. . Ο αριθμός των βολών δεν μπορεί να είναι ακέραιος, οπότε τελικά

Εργασία 4. Μια μήτρα πετιέται 6 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να αποκτήσετε 6 διαφορετικά πρόσωπα;

Λύση. Υπάρχουν συνολικά 6 όψεις σε κάθε οστό. Η πτώση κάθε προσώπου είναι εξίσου πιθανή. Τα γεγονότα συμβαίνουν διαδοχικά, αλλά δεν έχει σημασία με ποια σειρά. Η πιθανότητα να πέσει έξω ένα συγκεκριμένο πρόσωπο είναι 1 (η μήτρα πετιέται και θα εμφανιστεί ένα πρόσωπο), επομένως, τη δεύτερη φορά θα πρέπει να εμφανιστεί οποιοσδήποτε αριθμός, εκτός από εκείνον που έπεσε έξω (πιθανότητα), την τρίτη φορά - οποιαδήποτε, εκτός για τα δύο πρώτα (πιθανότητα) κ.λπ. Η πιθανότητα του επιθυμητού συμβάντος είναι:

Εργασία 5. Ομοιογενής ζάριαέχει σχήμα κανονικού τετραέδρου. Οι αριθμοί 1, 2, 3 και 4 είναι σημειωμένοι στις όψεις του. Πόσες φορές χρειάζεται να πετάξετε ένα ζάρι για να περιμένετε ένα 3 να κυλήσει τουλάχιστον σε μία περίπτωση με πιθανότητα μεγαλύτερη από 0,9;

Λύση. Υπάρχουν συνολικά 4 πρόσωπα στο κόκκαλο. Κάθε πρόσωπο είναι εξίσου πιθανό να πέσει έξω, αλλά θα πρέπει να πεταχτεί πολλές φορές, επομένως θα βασιστούμε στη χρήση της φόρμουλας Bernoulli. Ας υποθέσουμε ότι στο τεστ εμφανίστηκε ο απαιτούμενος αριθμός, επομένως όλες οι προηγούμενες φορές ήταν διαφορετικές. Σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα εμφάνισης ενός συγκεκριμένου προσώπου θα είναι ίση, αφού υπάρχουν μόνο 4 πρόσωπα. Η πιθανότητα του γεγονότος "το απαιτούμενο πρόσωπο δεν εμφανίστηκε και το απαιτούμενο πρόσωπο εμφανίστηκε μία φορά" μπορεί να γραφεί:

Αντικαθιστούμε τα γνωστά δεδομένα στον τελευταίο τύπο: και εκφράζουμε από την εξίσωση που προκύπτει.

Ας πάρουμε τον λογάριθμο της τελευταίας έκφρασης:

Οπου

Η απόλυτη τιμή χρησιμοποιείται εδώ επειδή οι πιθανότητες μπορούν να είναι μόνο θετικές. . Ο αριθμός των κυλίνδρων δεν μπορεί να είναι μη ακέραιος, επομένως στρογγυλοποιήστε στον πλησιέστερο ακέραιο. Κατά συνθήκη, η πιθανότητα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 0,9, οπότε η απάντηση είναι >6.

Εργασία 6. Δύο κυνηγοί πυροβολούν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον σε έναν στόχο και ο καθένας από αυτούς κάνει μία βολή. Η πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο για τον πρώτο κυνηγό είναι 0,8 και για τον δεύτερο - 0,4. Μετά τη βολή, βρέθηκε μια τρύπα στον στόχο. Βρείτε την πιθανότητα να ανήκει στον πρώτο σκοπευτή;

Λύση. Ας προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Bayes. Σύμφωνα με τον τύπο Bayes, ο αριθμητής περιέχει την πιθανότητα να συμβεί το απαιτούμενο συμβάν και ο παρονομαστής περιέχει τη συνολική πιθανότητα πιθανών αποτελεσμάτων, που θα καθορίσουν την εμφάνιση μιας τρύπας στον στόχο, δηλ. καταστάσεις όταν ένας από τους κυνηγούς χτύπησε και ο δεύτερος αστόχησε. Υπήρχαν δύο κυνηγοί, επομένως μόνο 2 επιλογές είναι δυνατές: "το πρώτο χτύπημα, το δεύτερο χαμένο" και "το πρώτο χαμένο, το δεύτερο χτύπημα". Και τα δύο γεγονότα δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα, επομένως μιλάμε για το άθροισμα των πιθανοτήτων. Η πιθανότητα να συμβεί το απαιτούμενο συμβάν είναι "πρώτο χάσιμο, δεύτερο χτύπημα". Η πιθανότητα του συμβάντος "πρώτο χτύπημα, δεύτερο χαμένο" είναι ίση με , και η πιθανότητα του δεύτερου γεγονότος "το πρώτο χαμένο, το δεύτερο χτύπημα" είναι ίση με . Ας χρησιμοποιήσουμε τον προτεινόμενο τύπο:

Εργασία 7. Τρεις πυροβολισμοί γίνονται σε μια πάπια που πετά όχι πολύ ψηλά. Οι πιθανότητες να χτυπήσετε την πρώτη, δεύτερη και τρίτη βολή είναι 0,1, αντίστοιχα. 0,2 και 0,4. Προσδιορίστε την πιθανότητα τουλάχιστον δύο χτυπημάτων στην πάπια.

Λύση. Εφόσον οι πυροβολισμοί γίνονται διαδοχικά, πρέπει κανείς να εξετάσει το ενδεχόμενο να χάσει την πρώτη φορά ή τη δεύτερη ή την τρίτη. Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο χτυπήματα στην πάπια, που σημαίνει είτε 2 χτυπήματα είτε 3. Μπορούν να υπάρξουν τρία συμβάντα "2 χτυπήματα": "χτύπημα, χτύπημα, χάσιμο". "χτύπησε, δεσποινίς, χτύπησε"? «δάσου, χτύπα, χτύπα», γιατί δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων ποια βολή ήταν αστοχία. Έτσι, έχουμε 4 γεγονότα που δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα, επομένως μιλάμε για το άθροισμα των πιθανοτήτων των γεγονότων, δηλ. σχετικά με τον τύπο της συνολικής πιθανότητας. Η πιθανότητα του γεγονότος «χτύπησε, χτύπησε, χτύπησε» ισούται με ; η πιθανότητα του γεγονότος "χτύπησε, χτύπησε, έχασε" είναι ; η πιθανότητα του γεγονότος "χτύπησε, χάνω, χτύπησε" είναι ; Η πιθανότητα ενός συμβάντος αστοχίας, χτυπήματος, χτυπήματος είναι . Τώρα υπολογίζουμε την επιθυμητή πιθανότητα:

Εργασία 8. Ο βοηθός εργαστηρίου, πραγματοποιώντας χημικές αναλύσεις, χρησιμοποιεί τα αντιδραστήρια που βρίσκονται σε δύο ψυγεία. Στο πρώτο ψυγείο, από όλα τα αποθηκευμένα αντιδραστήρια, μόνο το 10% είναι ληγμένο και στο δεύτερο - 20%. Βρείτε την πιθανότητα ότι οποιοδήποτε αντιδραστήριο λαμβάνεται από έναν βοηθό εργαστηρίου από οποιοδήποτε ψυγείο θα είναι αρκετά φρέσκο

Λύση. Ας υποδηλώσουμε το συμβάν ως Α - ένας εργαστηριακός βοηθός βγάζει ένα αρκετά φρέσκο ​​αντιδραστήριο από οποιοδήποτε ψυγείο. Ο βοηθός εργαστηρίου παίρνει ένα αντιδραστήριο από οποιοδήποτε ψυγείο, από τα οποία υπάρχουν δύο ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος. Επειδή το πρόβλημα δεν λέει τίποτα για τα ψυγεία, τότε η επιλογή οποιουδήποτε από αυτά είναι πιθανή, δηλ. είναι ίσο με . Η πιθανότητα του απαιτούμενου συμβάντος, επομένως, συνίσταται στην ταυτόχρονη εμφάνιση δύο - «η επιλογή του ψυγείου, η επιλογή του αντιδραστηρίου». Η πιθανότητα να "πάρουμε ένα φρέσκο ​​αντιδραστήριο από το πρώτο ψυγείο" είναι ίση με ; η πιθανότητα να "πάρουμε ένα φρέσκο ​​αντιδραστήριο από το δεύτερο ψυγείο" είναι ίση με . Ο εργαστηριακός βοηθός παίρνει ένα αντιδραστήριο μόνο μία φορά, επομένως και τα δύο συμβάντα στο "πάρε ένα φρέσκο ​​αντιδραστήριο από το πρώτο ψυγείο" και "πάρε ένα φρέσκο ​​αντιδραστήριο από το δεύτερο ψυγείο" δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα, επομένως μιλάμε για το άθροισμα των πιθανοτήτων . Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο συνολικής πιθανότητας. Τότε η επιθυμητή πιθανότητα θα είναι ίση με:

Εργασία 9. Υπάρχουν 5 κουτιά με διακοσμητικές πέτρες μαλαχίτη και μάρμαρο. Δύο κουτιά περιέχουν 2 κομμάτια μάρμαρο και 1 κομμάτι μαλαχίτη, το ένα περιέχει 10 κομμάτια μαλαχίτη και τα άλλα περιέχουν 3 κομμάτια μάρμαρο και 1 κομμάτι μαλαχίτη. Βρείτε την πιθανότητα ένα κομμάτι που λαμβάνεται τυχαία από ένα κουτί που επέλεξε ο τεχνίτης να είναι μάρμαρο.

Λύση. Αυτή είναι μια εργασία για τη χρήση του τύπου συνολικής πιθανότητας. Ο πλοίαρχος επιλέγει μια διακοσμητική πέτρα από οποιοδήποτε, "τυχαία επιλεγμένο" κουτί. Υπάρχουν 5 κουτιά συνολικά, υποτίθεται ότι είναι τα ίδια, επομένως η πιθανότητα επιλογής οποιουδήποτε κουτιού είναι . Η πιθανότητα του απαιτούμενου συμβάντος, λοιπόν, συνίσταται στην ταυτόχρονη εμφάνιση δύο - «η επιλογή του κουτιού και η επιλογή του μαρμάρου». Η πιθανότητα να πάρουμε μάρμαρο από το πρώτο κουτί είναι ? η πιθανότητα να πάρουμε μάρμαρο από το δεύτερο κουτί είναι ? η πιθανότητα να πάρουμε το μάρμαρο από το τρίτο κουτί είναι 0, γιατί υπάρχει μόνο μαλαχίτης, η πιθανότητα να πάρουμε μάρμαρο από το τέταρτο κουτί είναι ?