La necesidad de operaciones sobre probabilidades surge cuando se conocen las probabilidades de algunos eventos, y es necesario calcular las probabilidades de otros eventos que están asociados con estos eventos.

La suma de probabilidades se usa cuando es necesario calcular la probabilidad de una combinación o una suma lógica de eventos aleatorios.

Suma de eventos A Y B designado A + B o A ∪ B. La suma de dos eventos es un evento que ocurre si y solo si ocurre al menos uno de los eventos. Esto significa que A + B- un evento que ocurre si y solo si ocurre un evento durante la observación A o evento B, o al mismo tiempo A Y B.

Si los eventos A Y B son mutuamente inconsistentes y se dan sus probabilidades, entonces la probabilidad de que uno de estos eventos ocurra como resultado de un ensayo se calcula mediante la suma de probabilidades.

El teorema de la suma de probabilidades. La probabilidad de que ocurra uno de dos eventos mutuamente incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:

Por ejemplo, se dispararon dos tiros durante la caza. Evento A– golpear un pato desde el primer tiro, evento EN– golpe del segundo tiro, evento ( A+ EN) - golpe del primer o segundo tiro o de dos tiros. Así que si dos eventos A Y EN son eventos incompatibles, entonces A+ EN- la ocurrencia de al menos uno de estos eventos o dos eventos.

Ejemplo 1 Una caja contiene 30 bolas del mismo tamaño: 10 rojas, 5 azules y 15 blancas. Calcula la probabilidad de que se saque una bola de color (no blanca) sin mirar.

Solución. Supongamos que el evento A– “se toma la bola roja”, y el evento EN- "Se lleva la bola azul". Entonces el evento es “se toma una bola de color (no blanca)”. Encuentre la probabilidad de un evento A:

y eventos EN:

Eventos A Y EN- mutuamente incompatibles, ya que si se toma una bola, entonces no se pueden tomar bolas Colores diferentes. Por lo tanto, usamos la suma de probabilidades:

El teorema de la suma de probabilidades de varios eventos incompatibles. Si los eventos forman el conjunto completo de eventos, entonces la suma de sus probabilidades es igual a 1:

La suma de las probabilidades de eventos opuestos también es igual a 1:

Los eventos opuestos forman un conjunto completo de eventos, y la probabilidad de un conjunto completo de eventos es 1.

Las probabilidades de eventos opuestos generalmente se denotan en letras minúsculas. pag Y q. En particular,

de donde se siguen las siguientes fórmulas para la probabilidad de eventos opuestos:

Ejemplo 2 El objetivo en el tablero se divide en 3 zonas. La probabilidad de que un determinado tirador dispare a un objetivo en la primera zona es 0.15, en la segunda zona - 0.23, en la tercera zona - 0.17. Encuentre la probabilidad de que el tirador dé en el blanco y la probabilidad de que el tirador no dé en el blanco.

Solución: encuentre la probabilidad de que el tirador dé en el blanco:

Encuentre la probabilidad de que el tirador no dé en el blanco:

Tareas más difíciles en las que debe aplicar tanto la suma como la multiplicación de probabilidades: en la página "Diversas tareas para la suma y la multiplicación de probabilidades" .

Adición de probabilidades de eventos mutuamente conjuntos

Se dice que dos eventos aleatorios son conjuntos si la ocurrencia de un evento no impide la ocurrencia de un segundo evento en la misma observación. Por ejemplo, al lanzar un dado, el evento A se considera que es la ocurrencia del número 4, y el evento EN- dejar caer un número par. Como el número 4 es un número par, los dos eventos son compatibles. En la práctica, hay tareas para calcular las probabilidades de que ocurra uno de los eventos mutuamente conjuntos.

El teorema de la suma de probabilidades para eventos conjuntos. La probabilidad de que ocurra uno de los eventos conjuntos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos, de la cual se resta la probabilidad de ocurrencia común de ambos eventos, es decir, el producto de las probabilidades. La fórmula para las probabilidades de eventos conjuntos es la siguiente:

porque los acontecimientos A Y EN compatible, evento A+ EN ocurre si ocurre uno de los tres eventos posibles: o AB. De acuerdo con el teorema de la suma de eventos incompatibles, calculamos de la siguiente manera:

Evento A ocurre si ocurre uno de dos eventos incompatibles: o AB. Sin embargo, la probabilidad de ocurrencia de un evento de varios eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de todos estos eventos:

Similarmente:

Sustituyendo las expresiones (6) y (7) en la expresión (5), obtenemos la fórmula de probabilidad para eventos conjuntos:

Al usar la fórmula (8), se debe tener en cuenta que los eventos A Y EN puede ser:

• mutuamente independientes;
• mutuamente dependientes.

Fórmula de probabilidad para eventos mutuamente independientes:

Fórmula de probabilidad para eventos mutuamente dependientes:

Si los eventos A Y EN son inconsistentes, entonces su coincidencia es un caso imposible y, por lo tanto, PAG(AB) = 0. La cuarta fórmula de probabilidad para eventos incompatibles es la siguiente:

Ejemplo 3 En las carreras de autos, al conducir en el primer automóvil, la probabilidad de ganar al conducir en el segundo automóvil. Encontrar:

• la probabilidad de que ambos autos ganen;
• la probabilidad de que al menos un automóvil gane;

1) La probabilidad de que el primer auto gane no depende del resultado del segundo auto, por lo que los eventos A(primer coche gana) y EN(el segundo auto gana) - eventos independientes. Encuentre la probabilidad de que ambos autos ganen:

2) Halla la probabilidad de que uno de los dos autos gane:

Tareas más difíciles en las que debe aplicar tanto la suma como la multiplicación de probabilidades: en la página "Diversas tareas para la suma y la multiplicación de probabilidades" .

Resuelve el problema de la suma de probabilidades tú mismo y luego mira la solución.

Ejemplo 4 Se lanzan dos monedas. Evento A- pérdida del escudo de armas de la primera moneda. Evento B- pérdida del escudo de armas de la segunda moneda. Encuentre la probabilidad de un evento C = A + B .

multiplicación de probabilidad

La multiplicación de probabilidades se utiliza cuando se va a calcular la probabilidad de un producto lógico de eventos.

En este caso, los eventos aleatorios deben ser independientes. Se dice que dos eventos son mutuamente independientes si la ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de ocurrencia del segundo evento.

Teorema de la multiplicación de probabilidades para eventos independientes. La probabilidad de la ocurrencia simultánea de dos eventos independientes. A Y EN es igual al producto de las probabilidades de estos eventos y se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo 5 La moneda se lanza tres veces seguidas. Calcula la probabilidad de que el escudo de armas se caiga las tres veces.

Solución. La probabilidad de que el escudo de armas caiga en el primer lanzamiento de una moneda, la segunda vez y la tercera vez. Encuentre la probabilidad de que el escudo de armas se caiga las tres veces:

Resuelve problemas para multiplicar probabilidades tú mismo y luego mira la solución.

Ejemplo 6 Hay una caja con nueve pelotas de tenis nuevas. Se toman tres bolas para el juego, después del juego se devuelven. Al elegir bolas, no distinguen entre bolas jugadas y no jugadas. ¿Cuál es la probabilidad de que después de tres juegos no queden bolas sin jugar en la caja?

Ejemplo 7 32 letras del alfabeto ruso están escritas en tarjetas de alfabeto recortadas. Se extraen cinco cartas al azar, una tras otra, y se colocan sobre la mesa en el orden en que aparecen. Halla la probabilidad de que las letras formen la palabra "fin".

Ejemplo 8 De una baraja completa de cartas (52 hojas), se sacan cuatro cartas a la vez. Calcula la probabilidad de que las cuatro cartas sean del mismo palo.

Ejemplo 9 El mismo problema que en el ejemplo 8, pero cada carta se devuelve al mazo después de ser robada.

Tareas más complejas, en las que debe aplicar tanto la suma como la multiplicación de probabilidades, así como calcular el producto de varios eventos, en la página "Diversas tareas para la suma y multiplicación de probabilidades".

La probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos mutuamente independientes se puede calcular restando el producto de las probabilidades de eventos opuestos de 1, es decir, mediante la fórmula:

Ejemplo 10 Las cargas se entregan mediante tres modos de transporte: transporte fluvial, ferroviario y por carretera. La probabilidad de que la carga sea entregada por transporte fluvial es 0,82, por ferrocarril 0,87, por carretera 0,90. Encuentre la probabilidad de que los bienes sean entregados por al menos uno de los tres modos de transporte.

Teoremas de suma y multiplicación de probabilidades.
Eventos dependientes e independientes

El título parece aterrador, pero en realidad es muy simple. En esta lección, nos familiarizaremos con los teoremas de suma y multiplicación de probabilidades de eventos, y analizaremos tareas típicas que, junto con tarea para la definición clásica de probabilidad Definitivamente se encontrarán o, más probablemente, ya se habrán encontrado en su camino. Para estudiar de manera efectiva los materiales de este artículo, debe conocer y comprender los términos básicos. teoría de probabilidad y ser capaz de realizar operaciones aritméticas simples. Como puede ver, se requiere muy poco y, por lo tanto, una gran ventaja en el activo está casi garantizada. Pero, por otro lado, advierto de nuevo contra una actitud superficial hacia ejemplos prácticos- También hay suficientes sutilezas. Buena suerte:

El teorema de la suma de las probabilidades de eventos incompatibles: la probabilidad de ocurrencia de uno de los dos incompatible eventos o (no importa qué), es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos:

Un hecho similar también es cierto para un mayor número de eventos incompatibles, por ejemplo, para tres eventos incompatibles y:

Teorema del sueño =) Sin embargo, tal sueño también está sujeto a prueba, que se puede encontrar, por ejemplo, en guía de estudio V. E. Gmurman.

Vamos a familiarizarnos con conceptos nuevos, hasta ahora no vistos:

Eventos dependientes e independientes

Comencemos con eventos independientes. Los eventos son independiente si la probabilidad de ocurrencia cualquiera de ellos no depende de la aparición/no aparición de otros eventos del conjunto considerado (en todas las combinaciones posibles). ... Pero, ¿qué hay para moler frases comunes?

El teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes: la probabilidad de ocurrencia conjunta de eventos independientes y es igual al producto de las probabilidades de estos eventos:

Volvamos al ejemplo más simple de la lección 1, en la que se lanzan dos monedas y los siguientes eventos:

- caras caerán en la primera moneda;
- Cara en la 2ª moneda.

Encontremos la probabilidad del evento (aparecerá cara en la primera moneda Y El águila aparecerá en la segunda moneda. - recordar cómo leer producto de eventos!) . La probabilidad de obtener cara en una moneda no depende del resultado de lanzar otra moneda, por lo tanto, los eventos y son independientes.

Similarmente:
es la probabilidad de que la primera moneda caiga cara Y en la segunda cola;
es la probabilidad de que salga cara en la primera moneda Y en la segunda cola;
es la probabilidad de que la primera moneda caiga cruz Y en la segunda águila.

Tenga en cuenta que los eventos se forman grupo completo y la suma de sus probabilidades es igual a uno: .

El teorema de la multiplicación obviamente se extiende a un mayor número de eventos independientes, así, por ejemplo, si los eventos son independientes, entonces la probabilidad de que ocurran juntos es: . practiquemos en ejemplos concretos:

Tarea 3

Cada una de las tres cajas contiene 10 piezas. En la primera caja hay 8 partes estándar, en la segunda - 7, en la tercera - 9. Una parte se elimina aleatoriamente de cada caja. Encuentre la probabilidad de que todas las partes sean estándar.

Solución: la probabilidad de extraer una parte estándar o no estándar de cualquier caja no depende de qué partes se extraerán de otras cajas, por lo que el problema se trata de eventos independientes. Considere los siguientes eventos independientes:

– se retira una pieza normalizada de la 1.ª caja;
– se retira una pieza normalizada de la 2ª caja;
– Se ha quitado una pieza estándar del tercer cajón.

Según la definición clásica:
son las probabilidades correspondientes.

Evento que nos interesa (La parte estándar se tomará del 1er cajón Y de la 2ª norma Y del 3er estándar) se expresa por el producto.

Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

es la probabilidad de que se extraiga una pieza estándar de tres cajas.

Respuesta: 0,504

Después de ejercicios tonificantes con cajas, nos esperan urnas no menos interesantes:

Tarea 4

Tres urnas contienen 6 bolas blancas y 4 negras. Se extrae una bola al azar de cada urna. Encuentre la probabilidad de que: a) las tres bolas sean blancas; b) las tres bolas serán del mismo color.

Según la información recibida, adivine cómo tratar el elemento "ser" ;-) Se diseña una solución de muestra aproximada en un estilo académico con una descripción detallada de todos los eventos.

Eventos dependientes. el evento se llama dependiente si su probabilidad depende de uno o más eventos que ya han sucedido. No tiene que ir muy lejos para encontrar ejemplos, solo vaya a la tienda más cercana:

- mañana a las 19.00 estará a la venta pan fresco.

La probabilidad de este evento depende de muchos otros eventos: si el pan fresco se entregará mañana, si se agotará antes de las 7 p. m. o no, etc. Dependiendo de varias circunstancias, este evento puede ser tanto confiable como imposible. Entonces el evento es dependiente.

Pan... y, como exigían los romanos, circo:

- en el examen, el estudiante obtendrá un boleto simple.

Si no va el primero, entonces el evento será dependiente, ya que su probabilidad dependerá de qué boletos ya hayan sorteado los compañeros de clase.

¿Cómo determinar la dependencia/independencia de los eventos?

A veces, esto se establece directamente en la condición del problema, pero la mayoría de las veces debe realizar un análisis independiente. Aquí no hay una pauta inequívoca, y el hecho de la dependencia o independencia de los eventos se deriva del razonamiento lógico natural.

Para no tirar todo en un montón, tareas para eventos dependientes Destacaré la próxima lección, pero por ahora consideraremos el conjunto de teoremas más comunes en la práctica:

Problemas sobre teoremas de suma para probabilidades inconsistentes
y multiplicando las probabilidades de eventos independientes

Este tándem, según mi valoración subjetiva, funciona en alrededor del 80% de las tareas sobre el tema en cuestión. Un éxito de éxitos y un auténtico clásico de la teoría de la probabilidad:

Tarea 5

Dos tiradores dispararon un tiro cada uno al blanco. La probabilidad de acertar para el primer tirador es 0.8, para el segundo - 0.6. Encuentre la probabilidad de que:

a) solo un tirador dará en el blanco;
b) al menos uno de los tiradores dará en el blanco.

Solución: La probabilidad de acertar/fallar de un tirador es obviamente independiente del desempeño del otro tirador.

Considere los eventos:
– El primer tirador dará en el blanco;
- El segundo tirador dará en el blanco.

Por condición: .

Encontremos las probabilidades de eventos opuestos, que las flechas correspondientes fallarán:

a) Considere el evento: - solo un tirador da en el blanco. Este evento consta de dos resultados incompatibles:

El primer tirador acertará Y 2da falla
o
el primero se perderá Y 2do golpeará.

en la lengua álgebras de eventos este hecho se puede escribir como:

Primero, usamos el teorema de la suma de probabilidades de eventos incompatibles, luego, el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

es la probabilidad de que haya un solo acierto.

b) Considere el evento: - al menos uno de los tiradores da en el blanco.

En primer lugar, PENSEMOS: ¿qué significa la condición "AL MENOS UNO"? EN este caso esto significa que el primer tirador acertará (el segundo fallará) o 2do (1er falla) o ambas flechas a la vez: un total de 3 resultados incompatibles.

método uno: dada la probabilidad preparada del ítem anterior, conviene representar el evento como la suma de los siguientes eventos disjuntos:

uno obtendrá (un evento que consiste a su vez en 2 resultados incompatibles) o
Si ambas flechas aciertan, denotamos este evento con la letra .

De este modo:

Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:
es la probabilidad de que el primer tirador acierte Y El segundo tirador acertará.

Según el teorema de la suma de probabilidades de sucesos incompatibles:
es la probabilidad de al menos un acierto en el blanco.

método dos: considere el evento opuesto: – ambos tiradores fallarán.

Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

Como resultado:

Atención especial preste atención al segundo método: en el caso general, es más racional.

Además, existe una tercera forma alternativa de resolver, basada en el teorema de la suma de eventos conjuntos, que no mencionamos anteriormente.

! Si está leyendo el material por primera vez, para evitar confusiones, es mejor omitir el siguiente párrafo.

Método tres : los eventos son conjuntos, lo que significa que su suma expresa el evento "al menos un tirador da en el blanco" (ver Fig. álgebra de eventos). Por teorema de la suma de probabilidades de eventos conjuntos y el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

Veamos: eventos y (0, 1 y 2 hits respectivamente) forman un grupo completo, por lo que la suma de sus probabilidades debe ser igual a uno:
, que estaba por verificar.

Respuesta:

Con un estudio exhaustivo de la teoría de la probabilidad, se encontrará con docenas de tareas de contenido militarista y, lo que es típico, después de eso no querrá dispararle a nadie: las tareas son casi un regalo. ¿Por qué no hacer la plantilla aún más simple? Acortemos la entrada:

Solución: según la condición: , es la probabilidad de acertar a los tiradores correspondientes. Entonces sus probabilidades de fallar son:

a) Según los teoremas de suma de probabilidades de eventos incompatibles y multiplicación de probabilidades de eventos independientes:
es la probabilidad de que solo un tirador dé en el blanco.

b) Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:
es la probabilidad de que ambos tiradores fallen.

Entonces: es la probabilidad de que al menos uno de los tiradores dé en el blanco.

Respuesta:

En la práctica, puede utilizar cualquier opción de diseño. Por supuesto, con mucha más frecuencia van por el camino corto, pero no se debe olvidar el primer método, aunque es más largo, es más significativo, es más claro en él, qué, por qué y por qué suma y multiplica. En algunos casos, un estilo híbrido es apropiado cuando letras mayúsculas Es conveniente indicar sólo algunos eventos.

Tareas similares para solución independiente:

Tarea 6

Se instalan dos sensores que funcionan independientemente para la alarma contra incendios. Las probabilidades de que el sensor funcione durante un incendio son 0,5 y 0,7 para el primer y segundo sensor, respectivamente. Encuentre la probabilidad de que en un incendio:

a) ambos sensores fallarán;
b) ambos sensores funcionarán.
c) usando teorema de adición para las probabilidades de eventos que forman un grupo completo, encuentre la probabilidad de que solo un sensor funcione durante un incendio. Comprobar el resultado mediante el cálculo directo de esta probabilidad (usando teoremas de suma y multiplicación).

Aquí, la independencia del funcionamiento de los dispositivos se explica directamente en la condición, lo que, por cierto, es una aclaración importante. La solución de muestra está diseñada en un estilo académico.

¿Qué pasa si, en un problema similar, se dan las mismas probabilidades, por ejemplo, 0,9 y 0,9? ¡Tienes que decidir exactamente lo mismo! (que, de hecho, ya se ha demostrado en el ejemplo con dos monedas)

Tarea 7

La probabilidad de acertar en el blanco por parte del primer tirador con un disparo es de 0,8. La probabilidad de que no se dé en el blanco después de que el primer y el segundo tirador hagan un tiro es de 0,08. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo tirador dé en el blanco con un tiro?

Y este es un pequeño rompecabezas, que se enmarca de forma breve. La condición se puede reformular de manera más concisa, pero no reharé el original; en la práctica, tengo que profundizar en fabricaciones más ornamentadas.

Conócelo: él es quien cortó una cantidad incalculable de detalles para ti =):

Tarea 8

Un trabajador opera tres máquinas. La probabilidad de que durante el turno la primera máquina requiera ajuste es 0.3, la segunda - 0.75, la tercera - 0.4. Encuentre la probabilidad de que durante el turno:

a) todas las máquinas requerirán ajuste;
b) solo una máquina requerirá ajuste;
c) al menos una máquina requerirá ajuste.

Solución: dado que la condición no dice nada sobre un solo proceso tecnológico, entonces la operación de cada máquina debe considerarse independiente de la operación de otras máquinas.

Por analogía con la Tarea No. 5, aquí puede considerar eventos que consisten en que las máquinas correspondientes requerirán ajustes durante el turno, anotar las probabilidades, encontrar las probabilidades de eventos opuestos, etc. Pero con tres objetos, realmente no quiero dibujar la tarea de esa manera, resultará larga y tediosa. Por lo tanto, es notablemente más rentable usar el estilo "rápido" aquí:

Por condición: - la probabilidad de que durante el turno las máquinas correspondientes requieran puesta a punto. Entonces las probabilidades de que no requieran atención son:

Uno de los lectores encontró un error tipográfico genial aquí, ni siquiera lo corregiré =)

a) Según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:
es la probabilidad de que durante el turno las tres máquinas requieran ajuste.

b) El evento "Durante el turno, solo una máquina requerirá ajuste" consta de tres resultados incompatibles:

1) 1ra máquina requerirá atención Y segunda maquina no requerirá Y tercera maquina no requerirá
o:
2) 1ra máquina no requerirá atención Y segunda maquina requerirá Y tercera maquina no requerirá
o:
3) 1ra máquina no requerirá atención Y segunda maquina no requerirá Y tercera maquina requerirá.

Según los teoremas de suma de probabilidades de eventos incompatibles y multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

- la probabilidad de que durante el turno solo una máquina requiera ajuste.

Creo que a estas alturas ya debería estar claro de dónde viene la expresión.

c) Calcular la probabilidad de que las máquinas no requieran ajuste, y luego la probabilidad del evento contrario:
– el hecho de que al menos una máquina requerirá ajuste.

Respuesta:

El ítem "ve" también se puede resolver mediante la suma , donde es la probabilidad de que durante el turno solo dos máquinas requieran ajuste. Este evento, a su vez, incluye 3 resultados incompatibles, que se firman por analogía con el elemento "ser". Trate de encontrar la probabilidad usted mismo para verificar todo el problema con la ayuda de la igualdad.

Tarea 9

Tres cañones dispararon una andanada al blanco. La probabilidad de acertar con un solo disparo de la primera pistola es 0,7, de la segunda - 0,6, de la tercera - 0,8. Encuentre la probabilidad de que: 1) al menos un proyectil dé en el blanco; 2) solo dos proyectiles darán en el blanco; 3) el objetivo será alcanzado al menos dos veces.

Solución y respuesta al final de la lección.

Y nuevamente sobre las coincidencias: en el caso de que, por condición, coincidan dos o incluso todos los valores de las probabilidades iniciales (por ejemplo, 0.7; 0.7 y 0.7), entonces se debe seguir exactamente el mismo algoritmo de solución.

Como conclusión del artículo, analizaremos otro rompecabezas común:

Tarea 10

El tirador da en el blanco con la misma probabilidad con cada disparo. ¿Cuál es esta probabilidad si la probabilidad de al menos un acierto en tres tiros es 0,973?

Solución: denota por - la probabilidad de dar en el blanco con cada disparo.
ya través - la probabilidad de fallar con cada disparo.

Anotemos los eventos:
- con 3 disparos, el tirador dará en el blanco al menos una vez;
- el tirador fallará 3 veces.

De acuerdo con la condición, entonces la probabilidad del evento opuesto:

Por otro lado, según el teorema de la multiplicación de probabilidades de eventos independientes:

De este modo:

- la probabilidad de fallar con cada disparo.

Como resultado:
es la probabilidad de acertar cada tiro.

Respuesta: 0,7

Sencillo y elegante.

En el problema considerado, se pueden plantear preguntas adicionales sobre la probabilidad de un solo golpe, solo dos golpes y la probabilidad de tres golpes en el objetivo. El esquema de solución será exactamente el mismo que en los dos ejemplos anteriores:

Sin embargo, la diferencia sustantiva fundamental es que hay pruebas independientes repetidas, que se realizan secuencialmente, independientemente unos de otros y con la misma probabilidad de resultados.

Tarea 2. Lanza 4 dados. Encuentre la probabilidad de obtener la misma cantidad de puntos en cada uno de los dados lanzados

Solución. Hay 6 caras en total en cada hueso. Las consecuencias de cada cara son igualmente probables. Si el primer dado salió, digamos, 1, entonces el resto debería ser igual. La probabilidad de que una cara en particular caiga de modo que las 4 idénticas caigan es el producto de las probabilidades de que aparezca una cara en particular en los 4 dados. El resultado debe multiplicarse por el número de caras, ya que hay números diferentes de 6. Denotemos el evento deseado - "uno cayó en el dado", - , entonces la pérdida de cuatro unos en todos los cubos será . Para encontrar una solución al problema, necesitas multiplicar el resultado por 6, porque los eventos "dos tirados en todos los dados", "tres tirados en todos los dados"... satisfacen la condición del problema. Entonces la solución al problema será:

Tarea 3. A un estudiante en formación se le enseñó a disparar una lata con una pistola. La probabilidad de golpear un frasco con un tiro es 0.03. ¿Cuántos cartuchos necesita preparar para que con una probabilidad de 0.94 una lata caiga al suelo?

Solución. Escribe una ecuación para hallar la probabilidad de que ocurra un evento. Para ello, utilice la fórmula de Bernoulli, que se utiliza si se realizan varias repeticiones de un mismo evento. Si asumimos que la lata cae al suelo con el primer golpe, entonces antes de eso se dispararon (sin fallar), es decir todos los tiros fueron disparados. Si la probabilidad de acertar es , entonces la probabilidad de fallar es . La probabilidad de un evento de falla y 1 acierto se puede escribir:

Sustituimos los datos conocidos en la última fórmula: y expresamos a partir de la ecuación resultante:

Tomemos el logaritmo de la última expresión:

Dónde

El valor absoluto se usa aquí porque las probabilidades solo pueden ser positivas. . El número de disparos no puede ser entero, así que finalmente

Tarea 4. Se lanza un dado 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras diferentes?

Solución. Hay 6 caras en total en cada hueso. Las consecuencias de cada cara son igualmente probables. Los eventos ocurren secuencialmente, pero no importa en qué orden. La probabilidad de que caiga cualquier cara en particular es 1 (se lanza el dado y aparecerá una cara), por lo tanto, la segunda vez que debe aparecer cualquier número, excepto el que cayó (probabilidad), la tercera vez - cualquiera, excepto para los dos primeros (probabilidad), etc. La probabilidad del evento deseado es:

Tarea 5. Homogéneo dado tiene la forma de un tetraedro regular. En sus caras están marcados los números 1, 2, 3 y 4. ¿Cuántas veces necesitas lanzar un dado para esperar que salga un 3 al menos en un caso con una probabilidad mayor a 0.9?

Solución. Hay 4 caras en total en el hueso. Cada cara tiene la misma probabilidad de caerse, pero habrá que lanzarla varias veces, por lo que nos basaremos en el uso de la fórmula de Bernoulli. Supongamos que en la prueba ésima apareció el número requerido, por lo tanto todas las veces anteriores fueron diferentes. En este caso, la probabilidad de que aparezca una cara en particular será igual, ya que solo hay caras 4. La probabilidad del evento "la cara requerida no apareció y la cara requerida apareció una vez" se puede escribir:

Sustituimos los datos conocidos en la última fórmula: y expresamos a partir de la ecuación resultante.

Tomemos el logaritmo de la última expresión:

Dónde

El valor absoluto se usa aquí porque las probabilidades solo pueden ser positivas. . El número de tiradas no puede ser un número entero, así que redondee al número entero más cercano. Por condición, la probabilidad debe ser mayor a 0,9, por lo que la respuesta es >6.

Tarea 6. Dos cazadores disparan independientemente uno del otro a un objetivo, y cada uno de ellos hace un tiro. La probabilidad de dar en el blanco para el primer cazador es de 0,8 y para el segundo de 0,4. Después de disparar, se encontró un agujero en el objetivo. ¿Encuentre la probabilidad de que pertenezca al primer tirador?

Solución. Intentemos usar la fórmula de Bayes. De acuerdo con la fórmula de Bayes, el numerador contiene la probabilidad de que ocurra el evento requerido y el denominador contiene la probabilidad total de los posibles resultados, lo que determinará la aparición de un agujero en el objetivo, es decir Situaciones en las que uno de los cazadores golpeó y el segundo falló. Había dos cazadores, por lo que solo son posibles 2 opciones: "el primer golpe, el segundo falló" y "el primero falló, el segundo golpe". Ambos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo, entonces estamos hablando de la suma de las probabilidades. La probabilidad de que ocurra el evento requerido es "primer fallo, segundo acierto". La probabilidad del evento "primer acierto, segundo fallo" es igual a , y la probabilidad del segundo evento "el primero perdido, el segundo acierto" es igual a . Usemos la fórmula recomendada:

Tarea 7. Se disparan tres tiros a un pato que vuela no muy alto. Las probabilidades de acertar el primer, segundo y tercer tiro son 0,1, respectivamente; 0.2 y 0.4. Determine la probabilidad de al menos dos aciertos en el pato.

Solución. Dado que los disparos se realizan secuencialmente, se debe considerar la posibilidad de fallar la primera, o la segunda, o la tercera. De acuerdo con la condición del problema, debe haber al menos dos aciertos en el pato, lo que implica 2 aciertos o 3. Puede haber tres eventos de "2 aciertos": "acierto, acierto, fallo"; "acertar, fallar, acertar"; "perder, golpear, golpear", porque no se sabe de antemano qué tiro falló. Por lo tanto, tenemos 4 eventos que no pueden ocurrir simultáneamente, por lo que estamos hablando de la suma de las probabilidades de los eventos, es decir sobre la fórmula de probabilidad total. La probabilidad del evento "hit, hit, hit" es igual a ; la probabilidad del evento "acertar, acertar, fallar" es ; la probabilidad del evento "acertar, fallar, acertar" es ; La probabilidad de un evento fallido, acertado, acertado es . Ahora calculamos la probabilidad deseada:

Tarea 8. El asistente de laboratorio, realizando análisis químicos, utiliza los reactivos que se encuentran en dos refrigeradores. En el primer refrigerador, de todos los reactivos almacenados, solo el 10% está vencido, y en el segundo, el 20%. Encuentre la probabilidad de que cualquier reactivo tomado por un asistente de laboratorio de cualquier refrigerador sea lo suficientemente fresco

Solución. Denotemos el evento como A: un asistente de laboratorio saca un reactivo suficientemente fresco de cualquier refrigerador. El ayudante de laboratorio toma un reactivo de cualquier refrigerador, de los cuales hay dos según la condición del problema. Porque el problema no dice nada acerca de los refrigeradores, entonces la elección de cualquiera de ellos es equiprobable, es decir es igual a . La probabilidad del evento requerido, por lo tanto, consiste en la ocurrencia simultánea de dos: "la elección del refrigerador, la elección del reactivo". La probabilidad de "tomar un reactivo nuevo del primer refrigerador" es igual a ; la probabilidad de "tomar un reactivo nuevo del segundo refrigerador" es igual a . El asistente de laboratorio toma un reactivo solo una vez, por lo que los dos eventos "tomar un reactivo nuevo del primer refrigerador" y "tomar un reactivo nuevo del segundo refrigerador" no pueden ocurrir al mismo tiempo, por lo que estamos hablando de la suma de probabilidades. . Usemos la fórmula de probabilidad total. Entonces la probabilidad deseada será igual a:

Tarea 9. Son 5 cajas con piedras ornamentales malaquita y marmol. Dos cajas contienen 2 piezas de mármol y 1 pieza de malaquita, una contiene 10 piezas de malaquita y las otras contienen 3 piezas de mármol y 1 pieza de malaquita. Halla la probabilidad de que una pieza tomada al azar de una caja elegida por el artesano sea mármol.

Solución. Esta es una tarea para usar la fórmula de probabilidad total. El maestro selecciona una piedra ornamental de cualquier caja "seleccionada al azar". Hay 5 cajas en total, se supone que son iguales, por lo que la probabilidad de elegir cualquier caja es . La probabilidad del evento requerido, por lo tanto, consiste en la ocurrencia simultánea de dos: "la elección de la caja y la elección de la canica". La probabilidad de sacar una canica de la primera caja es ; la probabilidad de sacar una canica de la segunda caja es ; la probabilidad de sacar la canica de la tercera caja es 0, porque solo hay malaquita, la probabilidad de sacar canica de la cuarta caja es ;