Egy háromszög körülírt körének átmérője. „Körülírt kör” lecke összefoglalása. Hogyan találjuk meg a háromszög körül körülírt kör sugarát - az általános képlet
Ebben a részben egy háromszög körüli (gyakran "közel") körülírt körről fogunk beszélni. Először is adjunk egy definíciót.
1. A körülírt kör léte és középpontja
Itt felmerül a kérdés: létezik-e ilyen kör bármely háromszögre? Kiderült, hogy igen, mindenkinek. És ráadásul most megfogalmazunk egy tételt, amely arra a kérdésre is választ ad, hogy hol van a körülírt kör középpontja.
Képletek egy téglalap átlójának hosszának meghatározásához
Képlet egy téglalap oldalán, átmérőjével és β szögével. Ezt a téglalap átlójának nevezzük bármely olyan szakasz esetében, amely a téglalap egymással szemben lévő sarkainak két csúcsát összeköti. A téglalap átlójának képlete a téglalap két oldala alapján.
A képlet egy téglalap átlójának területére és mindkét oldalára. A téglalap kerülete mentén és mindkét oldalán átlójának képlete. A téglalap átlójának képlete a körülírt kör sugara alapján. A téglalap átlójának képlete a kör kerülete mentén.
Nézd, így:
Szedjük össze a bátorságunkat, és bizonyítsuk be ezt a tételt. Ha már olvastad a „”” témát, rájöttél, hogy miért metszik egymást a három felező egy ponton, akkor könnyebb lesz, de ha még nem olvastad, ne aggódj: most mindent kitalálunk ki.
A bizonyítást a pontok helye (LPT) fogalmával fogjuk elvégezni.
A téglalap átlójának képlete az átlóval szomszédos szög szinuszában és a szöggel ellentétes oldal hosszában. A téglalap átlójának képlete az átlóval szomszédos szög koszinuszában és a szöggel szomszédos oldal hosszában. A téglalap átlójának képlete az átlók és a téglalap területe közötti hegyesszög szinuszában.
Képletek a téglalap kerülete hosszának meghatározásához
A téglalap kerületét a téglalap összes oldalának hosszának összegének nevezzük. A téglalap kerületének képlete a téglalap két oldala alapján. A téglalap kerületének képlete adott területtel és mindkét oldallal. A téglalap kerületének képlete az átló mentén és mindkét oldalon.
Nos, például a golyókészlet kerek tárgyak "geometriai helye"? Persze nem, mert van kerek... görögdinnye. De vajon képes-e beszélni egy emberhalmaz, egy „geometrikus hely”? Egyik sem, mert vannak babák, akik nem tudnak beszélni. Az életben általában nehéz példát találni valódi „pontok geometriai helyére”. A geometria egyszerűbb. Itt van például, amire szükségünk van:
A téglalap kerületének képlete a körülírt kör sugarában és mindkét oldalán. A téglalap kerületének képlete a körülírt kör és mindkét oldal átmérője alapján. Ezt a téglalap területének nevezik a téglalap oldalai által határolt térben, vagyis a téglalap kerületi területén belül.
Képletek a téglalap területének meghatározásához
A kétoldalas téglalap területének képlete. A téglalap területének képlete a kerület mentén és mindkét oldalon. A téglalap területének képlete az átló mentén és mindkét oldalon. A képlet egy téglalap területének az átló mentén és az átlók közötti hegyesszög szinuszára.
Itt a halmaz a középső merőleges, és a "" tulajdonság az, hogy "egyenlő távolságra (pont) legyen a szakasz végeitől."
Ellenőrizzük? Tehát két dologról kell meggyőződnie:
Csatlakoztassa a és ezzel. Ekkor a vonal a mediánt és a magasságot jelöli. Tehát, - egyenlő szárúak, - megbizonyosodtunk arról, hogy a merőleges felezővonalon fekvő bármely pont egyenlő távolságra van az és a pontoktól.
Téglalap körül határolt kör
A téglalap területének képlete a körülírt kör és bármely oldal sugara alapján. A körben lévő téglalap területének képlete egy kör és mindkét oldalon. Téglalap körül határolt körnek nevezzük, a téglalap négy csúcsán átmenő körre, amelynek középpontja a téglalap átlóinak metszéspontja.
Képletek egy téglalap köré körülírt kör sugarának meghatározásához
A két oldalon átmenő téglalap által határolt kör sugarának képlete. A négyzet kerülete és mindkét oldala mentén egy téglalap köré körülírt kör sugarának képlete. A téglalap körül leírt kör sugarának képlete a téglalap területe és egyik oldalának hosszában.
Vegye - a középső és csatlakoztassa és. Megvan a medián. De - feltétel szerint egyenlő szárú, nemcsak a medián, hanem a magasság is, vagyis a medián merőleges. Ez azt jelenti, hogy a pont pontosan a felező merőlegesen fekszik.
Minden! Teljesen igazoltuk azt a tényt, hogy a szakaszra merőleges felező a szakasz végétől egyenlő távolságra lévő pontok helye.
A téglalap átlója mentén egy téglalap köré körülírt kör sugarának képlete. A téglalap körüli kör sugarának képlete a kör kerületi átmérőjével. A téglalap körül leírt kör sugarának képlete az átlóval szomszédos szög szinuszával és az ezzel a szöggel ellentétes oldal hosszával.
Az adott sokszöget körülvevő kör a körülírt kör. A legtöbben hallották a kerület és a sugár kifejezéseket, de a behatárolt kör kevésbé ismert kifejezés. Képzeljen el egy 2D-s sokszöget egyenes oldalakkal, például egy háromszöggel. Képzeljünk el egy kört egy háromszög körül úgy, hogy az érintse mindhárom csúcsát; ez egy korlátozott kör. A sugár kiszámításához használjon néhány egyszerű algebrát és egy számológépet.
Ez mind szép és jó, de elfelejtettük a körülírt kört? Egyáltalán nem, csak egy "hídfőt" készítettünk a támadáshoz.
Tekintsünk egy háromszöget. Rajzoljunk két medián merőlegest és mondjuk az és szakaszokra. Valamikor keresztezik egymást, amit meg fogunk nevezni.
Ellenőrizze az összes mérést, és győződjön meg arról, hogy az iránytű azt mutatja, hogy nem változik, miközben köröz.
- Rendkívül fontos a pontos és pontos mérés.
- Nem minden sokszögnek lehet korlátos köre.
Így a hatszögbe írt kör területe egyenlő. Most forduljunk a feliratos négyzethez. Mivel a négyzet átlója egyenlő a gyökéridők oldalával, megvan. Ekkor a négyzetbe írt kör sugara fele akkora lesz, mint az oldal. Így látni fogja, hogy a háromszögbe írt kör sugara fele a háromszögbe körülírt kör sugarának, mivel a kör kerületét egy osztott közeg írja le 1-gyel arányos két részre, majd a sugarat a beírt körből lesz.
És most figyelem!
A pont a merőleges felezőn fekszik;
a pont a merőleges felezőn fekszik.
Ez pedig azt jelenti, és.
Ebből több dolog következik:
Először, a pontnak a szakaszra merőleges harmadik felezőn kell feküdnie.
Körmérés és közelítés
Így a beírt kör területe lesz. És a probléma annak bizonyítása, hogy ezeknek a területeknek az összege egyenlő a belső kör területével. Adjuk meg tehát a koronák területének összegét. Ez a koronák területének összege. Láthatjuk, hogy 3 sugarú körünk van. Ez a cikk egy hipotézist javasol, amely ürügyet ad a mezopotámiai időszak matematikájának néhány szempontjának figyelembevételére.
Két hatszög között kört képezve, amelynek kerülete könnyen kiszámítható, majd az oldalak számát egymás után megkétszerezve egy 96 oldalú sokszögű keretet kap. Valószínűleg egyszerűbb a teljesítmény értékelése számértékek megadásával.
Vagyis a merőleges felezőnek is át kell haladnia a ponton, és mindhárom merőleges felező egy pontban metszi egymást.
Másodszor: ha olyan kört rajzolunk, amelynek középpontja egy pontban és egy sugárban van, akkor ez a kör is átmegy a ponton és a ponton, vagyis ez lesz a körülírt kör. Ez azt jelenti, hogy már létezik, hogy a három merőleges felező metszéspontja bármely háromszög körülírt kör középpontja.
Itt látjuk a megfigyelési módszerek érdekességét és hatékonyságát: egyrészt közelítést adnak, másrészt lehetővé teszik a tökéletes hiba ellenőrzését. Tudomásom szerint Arkhimédész az első, aki kifejezetten megindokolja a körre vonatkozó eredményeit, és lépésről lépésre számos érvet ad fel, amelyek megmagyarázzák, miért igaz, amit állít. De nem ő az első, akit érdekel a kör és annak mértéke. Nagyon ősi bizonyítékaink vannak, egy Egyiptomban és néhány másik Mezopotámiában, amelyek ebbe az irányba mutatnak.
És van néhány "babiloni" agyagtábla, amely ugyanabból az időszakból származik, és a korong kerülete mentén vagy területén. Ez a cikk témája. A séta kezdődhet, de még mielőtt elindulna Babilonba, Kr.e. 17. vagy 18. században. Találtak egy babiloni agyagtáblát, amely megadja a hatszög kerületének és a körülírt kör kerületének arányát.
És az utolsó dolog: az egyediségről. Világos (majdnem), hogy a pontot egyedi módon lehet megszerezni, és ezért a kör is egyedi. Nos, „majdnem” – ezt rád bízzuk. Itt bebizonyítottuk a tételt. Kiabálhatsz "Hurrá!".
És ha a probléma a "keresse meg a körülírt kör sugarát"? Vagy fordítva, a sugár adott, de valami mást kell találni? Van-e képlet, amely a körülírt kör sugarát a háromszög többi eleméhez köti?
És gyakran hozzáadják őket ilyen vagy olyan formában. Ez volt a második, ami problémát okozott: vajon a babilóniaiak valóban megtalálták ezt az értéket kísérletileg? Jelenleg az élmény könnyen használható, varrómérővel és különböző átmérőjű használati tárgyakkal: serpenyővel, serpenyővel, konzervdobozokkal. Megmérjük a kerületet és az átmérőt, és megtörténik az osztás. A különbségek a harmadik tizedesjegyben voltak. Ilyen precíz ipari cikkek persze nincsenek, és milliméterben besorolt varrómérők sem.
Mérésre vékonyabb: kötél, bőrszíj, feszültség alatt nyúlhat és könnyedén összehúzódhat. Másrészt a szárított papirusz kérge nem nyúlik meg. Sajnos nekem nem volt. Nyilván nincsenek besorolva, de ez nem komoly: minket két hossz aránya érdekel: a kerülettől és az átmérőtől, és nem maguktól a hosszoktól. Könnyű megkerülni egy tárgyat rattannal és megvágni. Érdekes módon kevésbé könnyű pontosan vágni a rattan szálat, hogy megfeleljen az átmérőnek. Valóban, a kerámia felső széle gyakran lekerekített.
Nagyon gyakran a geometriai feladatok megoldásánál segédfigurákkal kell műveleteket végrehajtani. Például keresse meg egy beírt vagy körülírt kör sugarát stb. Ez a cikk bemutatja, hogyan találhatja meg a háromszöget körülvevő kör sugarát. Vagy más szóval annak a körnek a sugara, amelybe a háromszög be van írva.
Ezért rögzíteni kell a rattant a kerület mentén, majd le kell vágni a második rattan kést, amely megfelel az első belső átmérőjének. Marad a két hossz arányának kiszámítása azok ismerete nélkül pontos értékeket, ami az osztódás eredetéhez való visszatéréssel tehető meg. 
A legjobb teljesítményem 6-8-szoros, azaz 6-szoros volt, csodálatos pihenéssel. Ezek a kísérletek azonban meggyőztek arról, hogy a babilóniaiak nem kaptak kísérleti értéket, legalábbis nem ezen az úton. De ebben az esetben két kérdés merül fel.
Hogyan találjuk meg a háromszög körül körülírt kör sugarát - az általános képlet
Az általános képlet a következő: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), ahol R a körülírt kör sugara, p a háromszög kerülete osztva 2-vel (fél kerület). a, b, c a háromszög oldalai.
Határozzuk meg a háromszög körülírt kör sugarát, ha a = 3, b = 6, c = 7.
1. kérdés: Ha nem kísérleti, akkor elméleti, geometriai. 
Így a kör P kerülete nagyobb, mint a hatszögé, és a köztük lévő arány egyenlő. Teljesen természetes, hogy megbecsüljük egy kör kerületét, amely ismeretlen ahhoz képest, amit magához a hatszöghöz képest ismerünk.
Később meglátjuk, mit gondoljunk erről. 1. hipotézis: A babilóniaiak ezer évvel korábban ismerték a Pitagorasz-tételt. 2. hipotézis: Tudták, hogy egész oldalakból álló téglalapokat találtak. Talán nem mindegyik, de legalább azok, amelyeknek a hipotenusza és az egyik oldal egész egész szám.
Így a fenti képlet alapján kiszámítjuk a fél kerületet:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.
Cserélje be az értékeket a képletben, és kapja meg:
R = 3 x 6 x 7/4√8(8-3)(8-6)(8-7) = 126/4√(8 x 5 x 2 x 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.
Válasz: R = 126/16√5
Hogyan találjuk meg egy egyenlő oldalú háromszögre körülírt kör sugarát
Egy egyenlő oldalú háromszögre körülírt kör sugarának meghatározásához van egy meglehetősen egyszerű képlet: R = a/√3, ahol a az oldalának a mérete.
Természetesen nincs bizonyíték arra, hogy a babilóniaiak ezt tették volna. Erre csak egy új agyagtábla felfedezése képes. Sőt, ez az elképzelés az 1. hipotézisen alapul, és valóban tudták-e a babilóniaiak, hogyan kell ilyen háromszögeket találni? 
Az utolsó 15 sor 4 oszlopra van osztva, amelyek első két sora határozza meg a tartalmat. A 4. oszlop a jelet, majd az 1-től a számokat tartalmazza.
Példa: Egy egyenlő oldalú háromszög oldala 5. Határozza meg a körülírt kör sugarát!
Mivel egy egyenlő oldalú háromszög minden oldala egyenlő, a probléma megoldásához csak be kell írnia az értékét a képletbe. A következőt kapjuk: R = 5/√3.
Válasz: R = 5/√3.
Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszögre körülírt kör sugarát
A képlet így néz ki: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, ahol a és b a lábak, c pedig a hipotenuzus. Ha egy derékszögű háromszögben összeadjuk a lábak négyzeteit, akkor megkapjuk a befogó négyzetét. Amint a képletből látható, ez a kifejezés a gyökér alatt található. A befogó négyzetének gyökerét kiszámítva magát a hosszt kapjuk. A kapott kifejezést 1/2-vel megszorozva végül az 1/2 × c = c/2 kifejezéshez jutunk.
Az 1., 2. és 3. oszlop derékszögű háromszögekre vonatkozik. A 2. és 3. oszlop az egyes háromszögek legkisebb oldalát és befogóját adja meg. Az 1. oszlop adja meg az arány négyzetét a jobb sarok két oldalán. Például az 5. sor a szexuális rendszerben kezdődik.
Ez túl pontos ahhoz, hogy igaz legyen, de ellenőrizheti, hogy ez más karakterláncoknál is így van-e. Vita van arról, hogy a babilóniaiak milyen módszerekkel állították össze ezt a táblázatot. Az írnok másolatában is vannak hibák és apró rejtélyek, mint például a 11-es sor, amely 45-öt és 1 15-öt ad oldalként, vagyis decimális számozásban: 45, és mindkettő a 15 többszöröse, és ez a háromszög nem más, mint egy háromszög. oldalakról. Miért nem ebben a formában adják meg, sokkal egyszerűbb? És mi lehet az előnye, ha inkább a lejtő négyzetét adjuk meg, mint magát a lejtőt?
Példa: Számítsa ki a körülírt kör sugarát, ha a háromszög szára 3 és 4. Helyettesítse be az értékeket a képletbe. A következőt kapjuk: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.
Ebben a kifejezésben 5 a hipotenusz hossza.
Válasz: R = 2,5.
Hogyan találjuk meg egy egyenlő szárú háromszögre körülírt kör sugarát
A képlet így néz ki: R = a² / √ (4a² - b²), ahol a a háromszög combjának hossza, b pedig az alap hossza.
Példa: Számítsa ki egy kör sugarát, ha a csípője = 7 és az alapja = 8.
Megoldás: Ezeket az értékeket behelyettesítjük a képletbe, és a következőt kapjuk: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).
R = 49/√(196-64) = 49/√132. A választ közvetlenül így is le lehet írni.
Válasz: R = 49/√132
Online források a kör sugarának kiszámításához
Nagyon könnyű összezavarodni ezekben a képletekben. Ezért, ha szükséges, használhatja online számológépek, amely segít a sugár megtalálásával kapcsolatos problémák megoldásában. Az ilyen mini programok működési elve nagyon egyszerű. Helyettesítse be az oldal értékét a megfelelő mezőbe, és kapjon kész választ. A válasz kerekítésére többféle lehetőség közül választhat: tizedesjegyekre, századokra, ezredekre stb.
