A valószínűségekkel kapcsolatos műveletekre akkor van szükség, ha bizonyos események valószínűsége ismert, és ki kell számítani más események valószínűségét, amelyek ezekhez az eseményekhez kapcsolódnak.

A valószínűségi összeadást akkor használjuk, ha véletlenszerű események kombinációjának vagy logikai összegének valószínűségét kell kiszámítani.

Az események összege AÉs B kijelöl A + B vagy A ∪ B. Két esemény összege olyan esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha legalább az egyik esemény bekövetkezik. Ez azt jelenti A + B- olyan esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha a megfigyelés során esemény következik be A vagy esemény B, vagy egyidejűleg AÉs B.

Ha események AÉs B kölcsönösen inkonzisztensek, és adottak a valószínűségeik, akkor a valószínűségek összeadásával számítjuk ki annak valószínűségét, hogy egy kísérlet eredményeként egy ilyen esemény bekövetkezik.

A valószínűségek összeadásának tétele. Annak a valószínűsége, hogy két egymással összeegyeztethetetlen esemény valamelyike ​​bekövetkezik, egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével:

Például vadászat közben két lövést adtak le. Esemény A– kacsa ütés az első lövésből, esemény BAN BEN– találat a második lövésből, esemény ( A+ BAN BEN) - találat az első vagy a második lövésből vagy két lövésből. Tehát ha két esemény AÉs BAN BEN akkor összeférhetetlen események A+ BAN BEN- ezen események közül legalább egy vagy két esemény bekövetkezése.

1. példa Egy dobozban 30 azonos méretű golyó található: 10 piros, 5 kék és 15 fehér. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy színes (nem fehér) golyót vesznek el anélkül, hogy megnéznénk!

Megoldás. Tegyük fel, hogy az esemény A– „elvették a piros labdát”, és az esemény BAN BEN- "Elvitték a kék golyót." Ezután az esemény „egy színes (nem fehér) labdát vesznek”. Keresse meg egy esemény valószínűségét A:

és események BAN BEN:

Események AÉs BAN BEN- kölcsönösen összeférhetetlen, mivel ha egy labdát vesznek el, akkor labdákat nem lehet elvenni különböző színek. Ezért a valószínűségek összeadását használjuk:

Valószínűségek összeadásának tétele több inkompatibilis eseményre. Ha az események alkotják az események teljes halmazát, akkor valószínűségeik összege 1:

Az ellentétes események valószínűségeinek összege szintén egyenlő 1-gyel:

Az ellentétes események egy teljes eseményhalmazt alkotnak, és a teljes eseményhalmaz valószínűsége 1.

Az ellentétes események valószínűségét általában kis betűkkel jelöljük. pÉs q. Különösen,

amelyekből a következő képletek következnek az ellenkező események valószínűségére:

2. példa A műszerfalban lévő cél 3 zónára van osztva. Annak a valószínűsége, hogy egy bizonyos lövész az első zónában lévő célpontra lő, 0,15, a második zónában - 0,23, a harmadik zónában - 0,17. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lövő eltalálja a célt, és annak a valószínűségét, hogy a lövő eltéveszti a célt.

Megoldás: Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lövő eltalálja a célt:

Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lövő eltéveszti a célt:

Nehezebb feladatok, amelyekben a valószínűségek összeadását és szorzását is alkalmazni kell - a „Különféle feladatok a valószínűségek összeadásához és szorzásához” oldalon.

Kölcsönösen közös események valószínűségeinek összeadása

Két véletlenszerű eseményt akkor nevezünk együttesnek, ha az egyik esemény bekövetkezése nem zárja ki egy másik esemény bekövetkezését ugyanabban a megfigyelésben. Például kockadobásnál az esemény A a 4-es szám előfordulását és az eseményt tekintjük BAN BEN- páros szám eldobása. Mivel a 4-es szám páros szám, a két esemény kompatibilis. A gyakorlatban vannak olyan feladatok, amelyekkel kiszámítható az egyik kölcsönösen együttes esemény bekövetkezésének valószínűsége.

Valószínűségek összeadásának tétele közös eseményekre. Annak a valószínűsége, hogy az egyik együttes esemény bekövetkezik, egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, amelyből kivonjuk mindkét esemény közös előfordulásának valószínűségét, vagyis a valószínűségek szorzatát. A közös események valószínűségének képlete a következő:

Mert az események AÉs BAN BEN kompatibilis, esemény A+ BAN BEN akkor következik be, ha a három lehetséges esemény egyike bekövetkezik: vagy AB. Az inkompatibilis események összeadásának tétele szerint a következőképpen számolunk:

Esemény A akkor következik be, ha két összeférhetetlen esemény egyike következik be: vagy AB. Azonban annak a valószínűsége, hogy egy esemény bekövetkezik több összeférhetetlen eseményből, egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével:

Hasonlóképpen:

Ha a (6) és (7) kifejezést behelyettesítjük az (5) kifejezésbe, megkapjuk az együttes események valószínűségi képletét:

A (8) képlet használatakor figyelembe kell venni, hogy az események AÉs BAN BEN lehet:

• egymástól független;
• kölcsönösen függő.

Valószínűségi képlet egymástól független eseményekre:

Valószínűségi képlet kölcsönösen függő eseményekre:

Ha események AÉs BAN BEN inkonzisztensek, akkor az egybeesésük lehetetlen eset, és így P(AB) = 0. Az inkompatibilis események negyedik valószínűségi képlete a következő:

3. példa Az autóversenyzésben, amikor az első autóban vezet, a győzelem valószínűsége, amikor a második autóban vezet. Megtalálja:

• annak a valószínűsége, hogy mindkét autó nyer;
• annak a valószínűsége, hogy legalább egy autó nyer;

1) Annak a valószínűsége, hogy az első autó nyer, nem függ a második autó eredményétől, tehát az események A(első autó nyer) és BAN BEN(második autó nyer) - független események. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét autó nyer:

2) Határozza meg annak valószínűségét, hogy a két autó közül az egyik nyer:

Nehezebb feladatok, amelyekben a valószínűségek összeadását és szorzását is alkalmazni kell - a „Különféle feladatok a valószínűségek összeadásához és szorzásához” oldalon.

Oldja meg saját maga a valószínűségek összeadásának problémáját, majd nézze meg a megoldást

4. példa Két érmét dobnak. Esemény A- a címer elvesztése az első érmén. Esemény B- a címer elvesztése a második érmén. Keresse meg egy esemény valószínűségét C = A + B .

Valószínűségi szorzás

A valószínűségek szorzatát akkor használjuk, ha az események logikai szorzatának valószínűségét kell kiszámítani.

Ebben az esetben a véletlenszerű eseményeknek függetleneknek kell lenniük. Két eseményt egymástól függetlennek mondunk, ha az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a második esemény bekövetkezésének valószínűségét.

Valószínűségszorzó tétel független eseményekre. Két független esemény egyidejű bekövetkezésének valószínűsége AÉs BAN BEN egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával, és a következő képlettel számítják ki:

5. példa Az érmét egymás után háromszor dobják fel. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a címer mindhárom alkalommal kiesik.

Megoldás. Annak a valószínűsége, hogy a címer az érme első feldobásakor, a második és a harmadik alkalommal esik le. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a címer mindhárom alkalommal kiesik:

Oldja meg saját maga a valószínűségek szorzásának problémáit, majd nézze meg a megoldást

6. példa Van egy doboz kilenc új teniszlabdával. A játékhoz három labdát vesznek el, a játék után visszateszik. A labdák kiválasztásakor nem tesznek különbséget játszott és meg nem játszott labdák között. Mekkora a valószínűsége annak, hogy három meccs után már nem lesz kijátszott labda a dobozban?

7. példa Az orosz ábécé 32 betűje van felírva a vágott ábécé kártyákra. Véletlenszerűen, egymás után öt lapot húznak ki, és a megjelenésük sorrendjében helyezik az asztalra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a betűk a „vége” szót alkotják.

8. példa Egy teljes kártyapakliból (52 lap) egyszerre négy kártya kerül ki. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy mind a négy kártya azonos színű.

9. példa Ugyanaz a probléma, mint a 8. példában, de minden kártya a húzás után visszakerül a pakliba.

Bonyolultabb feladatok, amelyekben a valószínűségek összeadását és szorzását egyaránt alkalmazni kell, valamint több esemény szorzatát kell kiszámítani - a "Különféle feladatok a valószínűségek összeadásához és szorzásához" oldalon.

A kölcsönösen független események legalább egyikének bekövetkezésének valószínűsége kiszámítható úgy, hogy az ellentétes események valószínűségeinek szorzatát kivonjuk 1-ből, vagyis a következő képlettel:

10. példa A rakományokat három szállítási móddal szállítják: folyami, vasúti és közúti szállítással. A rakomány folyami szállításának valószínűsége 0,82, vasúton 0,87, közúton 0,90. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az árut a három szállítási mód közül legalább az egyikkel kézbesítik.

Valószínűségek összeadási és szorzási tételei.
Függő és független események

A cím ijesztőnek tűnik, de valójában nagyon egyszerű. Ebben a leckében megismerkedünk az eseményvalószínűségek összeadási és szorzási tételeivel, valamint olyan tipikus feladatokat elemezünk, amelyek a feladat a valószínűség klasszikus meghatározásához biztosan találkozni fog, vagy ami valószínűbb, már találkozott az úton. A cikk anyagainak hatékony tanulmányozásához ismernie kell és meg kell értenie az alapvető kifejezéseket Valószínűségi elméletés tudjon egyszerű aritmetikai műveleteket végrehajtani. Amint látja, nagyon kevésre van szükség, ezért szinte garantált a plusz az eszközben. De másrészt ismét óva intek a felületes hozzáállástól gyakorlati példák- van elég finomság is. Sok szerencsét:

Összeadási tétel az inkompatibilis események valószínűségére: a kettő közül az egyik előfordulásának valószínűsége összeegyeztethetetlen események ill (bármi történjék), egyenlő az alábbi események valószínűségeinek összegével:

Hasonló tény igaz nagyobb számú összeférhetetlen eseményre is, például három összeférhetetlen eseményre és:

Álomtétel =) Az ilyen álom azonban bizonyításra is vonatkozik, ami megtalálható pl tanulási útmutató V.E. Gmurman.

Ismerkedjünk meg új, eddig nem látott fogalmakkal:

Függő és független események

Kezdjük a független eseményekkel. Az események azok független ha az előfordulás valószínűsége ezek közül bármelyik nem függ a figyelembe vett halmaz egyéb eseményeinek megjelenésétől/meg nem jelenésétől (minden lehetséges kombinációban). ... De mit kell kiköszörülni a gyakori kifejezéseket:

Független események valószínűségeinek szorzásának tétele: független események együttes előfordulásának valószínűsége, és egyenlő ezen események valószínűségeinek szorzatával:

Térjünk vissza az 1. lecke legegyszerűbb példájához, amelyben két érme feldobása és a következő események:

- fejek esnek az 1. érmére;
- Fej a 2. érmén.

Határozzuk meg az esemény valószínűségét (az 1. érmén a fejek jelennek meg És A 2. érmén az Eagle fog megjelenni - ne feledje, hogyan kell olvasni események terméke!) . Annak valószínűsége, hogy egy érmére fejek kerüljenek, nem függ egy másik érme feldobásának eredményétől, ezért az események függetlenek.

Hasonlóképpen:
annak a valószínűsége, hogy az 1. érme fejeket fog letenni És a 2. farkon;
annak a valószínűsége, hogy fejek jelennek meg az 1. érmén És a 2. farkon;
annak a valószínűsége, hogy az 1. érme a farokon landol És 2-án sas.

Vegye figyelembe, hogy az események formálódnak teljes csoportés valószínűségeik összege eggyel egyenlő: .

A szorzási tétel nyilvánvalóan nagyobb számú független eseményre is kiterjed, így például ha az események függetlenek, akkor együttes előfordulásuk valószínűsége: . Gyakoroljunk tovább konkrét példák:

3. feladat

Mind a három doboz 10 alkatrészt tartalmaz. Az első dobozban 8 szabvány alkatrész található, a másodikban - 7, a harmadikban - 9. Minden dobozból véletlenszerűen eltávolítanak egy részt. Határozza meg annak valószínűségét, hogy minden alkatrész szabványos.

Megoldás: annak a valószínűsége, hogy bármelyik dobozból kihúzunk egy szabványos vagy nem szabványos alkatrészt, nem függ attól, hogy más dobozokból mely alkatrészek kerülnek ki, tehát a probléma független eseményekről szól. Vegye figyelembe a következő független eseményeket:

– az 1. dobozból kikerül egy szabványos alkatrész;
– a 2. dobozból kikerül egy szabványos alkatrész;
– A 3. fiókból kikerült egy szabvány alkatrész.

A klasszikus definíció szerint:
a megfelelő valószínűségek.

Esemény, amelyre kíváncsiak vagyunk (A szabványos alkatrészt az 1. fiókból veszik És a 2. szabványtól És a 3. szabványtól) a termék kifejezi.

A független események valószínűségeinek szorzásának tétele szerint:

annak a valószínűsége, hogy három dobozból egy szabványos alkatrészt nyernek ki.

Válasz: 0,504

Az élénkítő dobozos gyakorlatok után nem kevésbé érdekes urnák várnak ránk:

4. feladat

Három urnában 6 fehér és 4 fekete golyó található. Minden urnából véletlenszerűen egy golyót húznak. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy: a) mindhárom golyó fehér lesz; b) mindhárom golyó egyforma színű lesz.

A kapott információk alapján találja ki, hogyan kell kezelni a „legyen” tételt ;-) Egy hozzávetőleges mintamegoldás készül akadémikus stílusban, minden esemény részletes leírásával.

Függő események. Az esemény ún függő ha annak a valószínűsége attól függ egy vagy több már megtörtént eseményből. Nem kell messzire mennie a példákért – csak menjen a legközelebbi üzletbe:

- holnap 19:00-kor lesz akciós friss kenyér.

Ennek az eseménynek a valószínűsége sok más eseménytől is függ: holnap szállítanak-e friss kenyeret, elfogy-e este 7 óra előtt vagy sem stb. Különféle körülményektől függően ez az esemény megbízható és lehetetlen is lehet. Tehát az esemény függő.

Kenyér... és ahogy a rómaiak kérték, cirkuszok:

- a vizsgán a hallgató egyszerű jegyet kap.

Ha nem a legelsőre mész, akkor az esemény függő lesz, mivel annak valószínűsége attól függ, hogy az osztálytársak milyen jegyeket húztak már.

Hogyan határozható meg az események függősége/függetlensége?

Néha ez közvetlenül szerepel a probléma állapotában, de leggyakrabban független elemzést kell végeznie. Itt nincs egyértelmű iránymutatás, az események függésének vagy függetlenségének ténye a természetes logikai gondolkodásból következik.

Hogy ne dobjunk mindent egy kupacba, feladatok a függő eseményekhez A következő leckét kiemelem, de most a gyakorlatban leggyakrabban előforduló tételeket vesszük figyelembe:

Problémák összeadási tételekkel inkonzisztens valószínűségekre
és a független események valószínűségének szorzása

Ez a tandem szubjektív értékelésem szerint a vizsgált témával kapcsolatos feladatok mintegy 80%-ában működik. A slágerek és a valószínűségszámítás igazi klasszikusa:

5. feladat

Két lövész adott le egy-egy lövést a célpontra. Az eltalálás valószínűsége az első lövésznél 0,8, a másodiknál ​​0,6. Keresse meg annak valószínűségét, hogy:

a) csak egy lövő találja el a célt;
b) legalább az egyik lövő eltalálja a célt.

Megoldás: Az egyik lövő találati/kihagyási valószínűsége nyilvánvalóan független a másik lövő teljesítményétől.

Vegye figyelembe az eseményeket:
– az 1. lövő célba talál;
- A 2. lövő eltalálja a célt.

Feltétel szerint:.

Keressük meg az ellentétes események valószínűségét - hogy a megfelelő nyilak hiányoznak:

a) Tekintsük az eseményt: - csak egy lövő találja el a célt. Ez az esemény két összeférhetetlen kimenetelből áll:

Az 1. lövész eltalálja És 2. kimarad
vagy
Az 1. hiányozni fog És 2. fog ütni.

A nyelven eseményalgebrák ezt a tényt így írhatjuk le:

Először az inkompatibilis események valószínűségeinek összeadásának tételét, majd a független események valószínűségeinek szorzásának tételét használjuk:

annak a valószínűsége, hogy csak egy találat lesz.

b) Vegye figyelembe az eseményt: - legalább az egyik lövő eltalálja a célt.

Mindenekelőtt GONDOLJUK MEG – mit jelent a "LEGALÁBB EGY" feltétel? BAN BEN ez az eset ez azt jelenti, hogy vagy az 1. lövöldöző eltalál (a 2. nem fog eltalálni) vagy 2. (1. kihagyás) vagy mindkét nyíl egyszerre – összesen 3 összeférhetetlen eredmény.

1. módszer: az előző tétel előkészített valószínűségét figyelembe véve célszerű az eseményt a következő diszjunkt események összegeként ábrázolni:

egy fog kapni (egy esemény, amely 2 összeférhetetlen kimenetelből áll) vagy
Ha mindkét nyíl eltalál, akkor ezt az eseményt betűvel jelöljük.

És így:

A független események valószínűségeinek szorzásának tétele szerint:
annak a valószínűsége, hogy az első lövő eltalálja És A 2. lövész eltalálja.

Az összeférhetetlen események valószínűségeinek összeadásának tétele szerint:
annak a valószínűsége, hogy legalább egy találatot érjen el a cél.

Második módszer: vegye figyelembe az ellenkező eseményt: – mindkét lövő kihagyja.

A független események valószínűségeinek szorzásának tétele szerint:

Ennek eredményeként:

Speciális figyelem figyeljen a második módszerre - általános esetben ez racionálisabb.

Emellett létezik egy alternatív, harmadik megoldási mód is, amely a közös események összegzésének tételén alapul, amelyről fentebb hallgattunk.

! Ha először olvassa az anyagot, akkor a félreértések elkerülése érdekében jobb, ha kihagyja a következő bekezdést.

Harmadik módszer : az események együttesek, ami azt jelenti, hogy összegük azt az eseményt fejezi ki, hogy „legalább egy lövő célba talál” (ld. esemény algebra). Által közös események valószínűségeinek összeadási tételeés a független események valószínűségeinek szorzásának tétele:

Nézzük: események és (0, 1 és 2 találat) teljes csoportot alkotnak, így valószínűségeik összege eggyel egyenlő:
, amelyet ellenőrizni kellett.

Válasz:

A valószínűségelmélet alapos áttanulmányozásával több tucat militarista tartalmú feladattal találkozhatsz, és ami jellemző, utána nem akarsz majd lelőni senkit - a feladatok szinte ajándékba kerülnek. Miért ne lehetne még egyszerűbbé tenni a sablont? Rövidítsük le a bejegyzést:

Megoldás: a feltétel szerint: , a megfelelő lövők eltalálásának valószínűsége. Ekkor a kihagyási valószínűségük:

a) Az összeférhetetlenségi valószínűségek összeadásának és a független események valószínűségeinek szorzásának tételei szerint:
annak a valószínűsége, hogy csak egy lövő találja el a célt.

b) A független események valószínűségeinek szorzásának tétele szerint:
annak a valószínűsége, hogy mindkét lövő elhibázza.

Ezután: annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik lövő célba talál.

Válasz:

A gyakorlatban bármilyen tervezési lehetőséget használhat. Természetesen sokkal gyakrabban járnak a rövid úton, de nem szabad elfelejteni az 1. módszert - bár hosszabb, de értelmesebb - világosabb benne, mit, miért és miértösszeadódik és szoroz. Egyes esetekben a hibrid stílus megfelelő, amikor nagybetűvel Célszerű csak néhány eseményt jelezni.

Hasonló feladatok önálló megoldáshoz:

6. feladat

Két egymástól függetlenül működő érzékelő van beépítve a tűzjelzőhöz. Annak a valószínűsége, hogy az érzékelő működni fog tűz közben, 0,5 és 0,7 az első és a második érzékelő esetében. Határozza meg annak valószínűségét, hogy tűz esetén:

a) mindkét érzékelő meghibásodik;
b) mindkét érzékelő működni fog.
c) Használata összeadási tétel a teljes csoportot alkotó események valószínűségére, határozza meg annak valószínűségét, hogy csak egy érzékelő fog működni tűz közben. Ellenőrizze az eredményt ennek a valószínűségnek a közvetlen kiszámításával (összeadási és szorzási tételekkel).

Itt az eszközök működésének függetlensége közvetlenül az állapotban van megfogalmazva, ami egyébként fontos pontosítás. A mintamegoldás akadémikus stílusban készült.

Mi van akkor, ha egy hasonló feladatban ugyanazokat a valószínűségeket adjuk meg, például 0,9 és 0,9? Neked is pontosan ugyanezt kell döntened! (amit tulajdonképpen a példában már bemutattunk két érmével)

7. feladat

Annak a valószínűsége, hogy az első lövő egy lövéssel célba talál, 0,8. Annak a valószínűsége, hogy az első és a második lövő egy lövés után nem találják el a célt, 0,08. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a második lövész egy lövéssel célba talál?

Ez pedig egy kis kirakó, amely röviden van keretezve. A feltételt lehet tömörebben újrafogalmazni, de az eredetit nem készítem újra - a gyakorlatban már díszesebb kitalációkban kell elmélyednem.

Találkozz vele – ő az, aki mérhetetlen mennyiségű részletet vágott neked =):

8. feladat

Egy munkás három gépet kezel. Annak a valószínűsége, hogy a műszak alatt az első gép beállítást igényel, 0,3, a második - 0,75, a harmadik - 0,4. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a műszak alatt:

a) minden gépet be kell állítani;
b) csak egy gépet kell beállítani;
c) legalább egy gép beállítását igényli.

Megoldás: mivel a feltétel nem mond semmit egyetlen technológiai folyamatról, így az egyes gépek működését a többi gép működésétől függetlennek kell tekinteni.

Az 5. feladat analógiájára itt olyan eseményeket vehetünk figyelembe, amelyek abból állnak, hogy a megfelelő gépeket a műszak alatt módosítani kell, felírhatjuk a valószínűségeket, megkereshetjük az ellenkező események valószínűségét stb. De három tárggyal nem igazán akarom így felvázolni a feladatot - hosszú és unalmas lesz. Ezért észrevehetően jövedelmezőbb itt a „gyors” stílus használata:

Feltétel szerint: - annak a valószínűsége, hogy a műszak alatt a megfelelő gépek hangolást igényelnek. Akkor annak a valószínűsége, hogy nem igényelnek figyelmet:

Az egyik olvasó talált itt egy klassz elírást, nem is javítom =)

a) A független események valószínűségeinek szorzásának tétele szerint:
annak a valószínűsége, hogy a műszak alatt mindhárom gép beállításra szorul.

b) A "Műszak alatt csak egy gépet kell beállítani" esemény három összeférhetetlen kimenetelből áll:

1) 1. gép lesz szükség Figyelem És 2. gép nem fogja igényelni És 3. gép nem fogja igényelni
vagy:
2) 1. gép nem fogja igényelni Figyelem És 2. gép lesz szükség És 3. gép nem fogja igényelni
vagy:
3) 1. gép nem fogja igényelni Figyelem És 2. gép nem fogja igényelni És 3. gép lesz szükség.

Az összeegyeztethetetlenségi valószínűségek összeadásának és a független események valószínűségeinek szorzásának tételei szerint:

- annak a valószínűsége, hogy a műszak alatt csak egy gépet kell állítani.

Azt hiszem, mostanra már világosnak kell lennie, honnan származik a kifejezés

c) Számítsa ki annak valószínűségét, hogy a gépek nem igényelnek beállítást, majd az ellenkező esemény valószínűségét:
– az a tény, hogy legalább egy gép beállítást igényel.

Válasz:

A "ve" tétel az összegen keresztül is megoldható, ahol annak a valószínűsége, hogy a műszak alatt csak két gép igényel beállítást. Ez az esemény viszont 3 összeférhetetlen kimenetet tartalmaz, amelyeket a „legyen” tétel analógiájával írnak alá. Próbálja meg saját maga megtalálni annak valószínűségét, hogy az egyenlőség segítségével ellenőrizze az egész problémát.

9. feladat

Három fegyver lőtt egy sort a célba. Annak a valószínűsége, hogy csak az első fegyverből egy lövéssel ütnek, 0,7, a másodikból - 0,6, a harmadikból - 0,8. Határozza meg annak valószínűségét, hogy: 1) legalább egy lövedék eltalálja a célt; 2) csak két lövedék találja el a célt; 3) a célpontot legalább kétszer eltalálják.

Megoldás és válasz a lecke végén.

És ismét az egybeesésekről: abban az esetben, ha feltétel szerint a kezdeti valószínűségek két vagy akár az összes értéke egybeesik (például 0,7; 0,7 és 0,7), akkor pontosan ugyanazt a megoldási algoritmust kell követni.

A cikk végén egy másik gyakori rejtvényt elemezünk:

10. feladat

A lövő minden lövésnél azonos valószínűséggel találja el a célt. Mennyi ennek a valószínűsége, ha három lövésből legalább egy találat valószínűsége 0,973.

Megoldás: jelöli - az egyes lövések célba találásának valószínűségét.
és át – a kihagyás valószínűsége minden egyes lövésnél.

Írjuk le az eseményeket:
- 3 lövéssel a lövő legalább egyszer célba talál;
- a lövöldöző háromszor elhibázza.

A feltétel szerint, akkor az ellenkező esemény valószínűsége:

Másrészt a független események valószínűségeinek szorzási tétele szerint:

És így:

- a kihagyás valószínűsége minden egyes lövésnél.

Ennek eredményeként:
az egyes lövések eltalálásának valószínűsége.

Válasz: 0,7

Egyszerű és elegáns.

A vizsgált feladatban további kérdések vethetők fel az egyetlen találat, a csak két találat, valamint a három célpontot érő találat valószínűségére vonatkozóan. A megoldási séma pontosan ugyanaz lesz, mint az előző két példában:

Az alapvető érdemi különbség azonban az, hogy vannak ismételt független tesztek, amelyeket szekvenciálisan, egymástól függetlenül és azonos kimenetel valószínűséggel hajtanak végre.

2. feladat. Dobj 4 kockát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy minden dobott kockán ugyanannyi pontot kapunk

Megoldás. Minden csonton összesen 6 arc található. Mindegyik arc kiesése egyformán valószínű. Ha az első kocka dobott, mondjuk 1, akkor a többinek ugyanannak kell lennie. Annak a valószínűsége, hogy egy adott arc úgy esik ki, hogy mind a 4 egyforma kiesik, annak a valószínűségének a szorzata, hogy egy adott arc mind a 4 kockán megjelenik. Az eredményt meg kell szorozni a lapok számával, hiszen 6 különböző szám van.. Jelöljük a kívánt eseményt - "egy esett a kockára", -, akkor az összes kockán négy egyes veszteség lesz. A probléma megoldásához meg kell szorozni az eredményt 6-tal, mert a "kettőt dobott minden kockán", "három dobott minden kockán" ... események kielégítik a probléma feltételét. Tehát a probléma megoldása a következő lesz:

3. feladat. Egy gyakornok diákot megtanítottak fegyverrel lőni egy kannába. Annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltalál egy korsót, 0,03. Hány patront kell előkészíteni ahhoz, hogy 0,94-es valószínűséggel földhöz csapódjon egy doboz?

Megoldás. Írjon egy egyenletet egy esemény bekövetkezésének valószínűségére. Ehhez használja a Bernoulli-képletet, amelyet akkor használunk, ha ugyanazt az eseményt többször is megismétlik. Ha feltételezzük, hogy a kannát a legelső ütés a földhöz csapja, akkor előtte lövések is eldördültek (kihagyással), pl. minden lövés eldördült. Ha az eltalálás valószínűsége , akkor a hiányzás valószínűsége . A kihagyás és az 1 találati esemény valószínűsége felírható:

Az ismert adatokat behelyettesítjük az utolsó képletbe: és a kapott egyenletből kifejezzük:

Vegyük az utolsó kifejezés logaritmusát:

Ahol

Itt az abszolút értéket használjuk, mert a valószínűségek csak pozitívak lehetnek. . A felvételek száma nem lehet egész, tehát végre

4. feladat. Egy kockával 6-szor dobnak fel. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 6 különböző arcot kapunk?

Megoldás. Minden csonton összesen 6 arc található. Mindegyik arc kiesése egyformán valószínű. Az események egymás után következnek be, de nem mindegy, milyen sorrendben. Egy adott arc kiesésének valószínűsége 1 (a kocka el van dobva, és egy arc biztosan megjelenik), ezért a második alkalommal tetszőleges számnak kell megjelennie, kivéve azt, amelyik kiesett (valószínűség), harmadik alkalommal - bármely, kivéve az első kettőt (valószínűség) stb. A kívánt esemény valószínűsége:

5. feladat. Homogén dobókocka szabályos tetraéder alakja van. Az előlapján 1, 2, 3 és 4 számok vannak jelölve. Hányszor kell egy kockával feldobni ahhoz, hogy legalább egy esetben 3-as dobásra számítsunk 0,9-nél nagyobb valószínűséggel?

Megoldás. Összesen 4 arc van a csonton. Valószínűleg mindegyik arc kiesik, de többször is meg kell dobni, ezért a Bernoulli-képlet alapján fogunk dolgozni. Tegyük fel, hogy a th tesztben megjelent a kívánt szám, ezért minden korábbi időpont más volt. Ebben az esetben egy adott arc megjelenésének valószínűsége egyenlő lesz, mivel csak 4 arc van. A "nem jelent meg a kívánt arc, és a kívánt arc egyszer megjelent" esemény valószínűsége felírható:

Az ismert adatokat behelyettesítjük az utolsó képletbe: és a kapott egyenletből fejezzük ki.

Vegyük az utolsó kifejezés logaritmusát:

Ahol

Itt az abszolút értéket használjuk, mert a valószínűségek csak pozitívak lehetnek. . A dobások száma nem lehet nem egész szám, ezért kerekítse fel a legközelebbi egész számra. Feltétel szerint a valószínűségnek 0,9-nél nagyobbnak kell lennie, tehát a válasz >6.

6. feladat. Két vadász egymástól függetlenül lő egy célpontra, és mindegyik lő egy lövést. Az első vadász célba találásának valószínűsége 0,8, a másodiké pedig 0,4. Lövés után egy lyukat találtak a célban. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az első lövöldözőhöz tartozik?

Megoldás. Próbáljuk meg a Bayes-képletet használni. A Bayes-képlet szerint a számláló a kívánt esemény bekövetkezésének valószínűségét tartalmazza, a nevező pedig a lehetséges kimenetelek teljes valószínűségét, amely meghatározza egy lyuk megjelenését a célban, azaz. olyan helyzetekben, amikor az egyik vadász eltalált, a másik pedig elhibázta. Két vadász volt, így csak 2 lehetőség lehetséges: "az első találat, a második elhibázott" és "az első elhibázott, a második találat." Mindkét esemény nem fordulhat elő egyszerre, ezért a valószínűségek összegéről beszélünk. A szükséges esemény bekövetkezésének valószínűsége "első kihagyás, második találat". Az "első találat, második kihagyott" esemény valószínűsége egyenlő , és a második esemény valószínűsége "az első kihagyott, a második találat" egyenlő . Használjuk a javasolt képletet:

7. feladat. Három lövést adnak le egy nem túl magasan repülő kacsára. Az első, második és harmadik lövés eltalálásának valószínűsége 0,1; 0,2 és 0,4. Határozza meg a valószínűségét, hogy legalább két találatot érjen a kacsa!

Megoldás. Mivel a lövések egymás után adódnak le, mérlegelni kell az első, a második vagy a harmadik alkalommal történő kihagyás lehetőségét. A probléma állapotától függően legalább két találatnak kell lennie a kacsán, ami 2 vagy 3 találatot jelent. Három "2 találat" esemény lehet: "ütés, ütés, kihagyás"; "üss, kisassz, üss"; "kihagy, ütés, ütés", mert nem tudni előre, hogy melyik lövés volt hibás. Így van 4 olyan eseményünk, amely nem következhet be egyszerre, ezért az események valószínűségeinek összegéről beszélünk, ti. a teljes valószínűségi képletről. Az "ütés, ütés, ütés" esemény valószínűsége egyenlő ; az "ütés, ütés, kihagyás" esemény valószínűsége ; a "talál, kihagy, ütés" esemény valószínűsége ; A kihagyás, ütés, találat esemény valószínűsége . Most kiszámítjuk a kívánt valószínűséget:

8. feladat. A kémiai elemzéseket végző laboráns két hűtőszekrényben álló reagenseket alkalmaz. Az első hűtőszekrényben az összes tárolt reagensnek csak 10% -a jár le, a másodikban pedig 20%. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a laboratóriumi asszisztens által bármely hűtőszekrényből vett reagens elég friss lesz

Megoldás. Jelöljük az eseményt A-val - a laboráns bármelyik hűtőszekrényből kivesz egy kellően friss reagenst. A laboráns bármelyik hűtőből vesz reagenst, amiből a probléma állapotától függően kettő van. Mert a probléma nem mond semmit a hűtőszekrényekről, akkor bármelyik választása esélyes, pl. egyenlő . A szükséges esemény valószínűsége tehát abban áll, hogy egyidejűleg két esemény következik be - "a hűtőszekrény kiválasztása, a reagens kiválasztása". Annak a valószínűsége, hogy "friss reagenst veszünk az első hűtőszekrényből" egyenlő ; annak a valószínűsége, hogy "friss reagenst veszünk a második hűtőszekrényből" egyenlő . A laboráns csak egyszer vesz fel egy reagenst, így a „vegyél friss reagenst az első hűtőből” és a „vegyél friss reagenst a második hűtőszekrényből” esemény nem fordulhat elő egyszerre, így a valószínűségek összegéről beszélünk. Használjuk a teljes valószínűség képletét. Ekkor a kívánt valószínűség egyenlő lesz:

9. feladat. 5 doboz található benne malachit és márvány díszkövekkel. Két dobozban 2 db márvány és 1 db malachit, az egyikben 10 db malachit, a többiben 3 db márvány és 1 db malachit található. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a kézműves által kiválasztott dobozból véletlenszerűen kivett darab márvány.

Megoldás. Ez a teljes valószínűségi képlet használatának feladata. A mester bármelyik, "véletlenszerűen kiválasztott" dobozból kiválaszt egy díszkövet. Összesen 5 doboz van, feltételezzük, hogy azonosak, így bármelyik doboz kiválasztásának valószínűsége . A szükséges esemény valószínűsége tehát abban áll, hogy egyidejűleg kettő történik - "a doboz és a márvány kiválasztása". Annak a valószínűsége, hogy márványt veszünk az első dobozból: ; annak a valószínűsége, hogy a második dobozból márványt veszünk; annak a valószínűsége, hogy a harmadik dobozból kiveszi a márványt, 0, mert csak malachit van, a negyedik dobozból való márvány felvételének valószínűsége ;