확률에 대한 연산의 필요성은 일부 사건의 확률을 알고 있을 때 발생하며 이러한 사건과 관련된 다른 사건의 확률을 계산해야 합니다.

확률 덧셈은 무작위 사건의 조합 또는 논리적 합의 확률을 계산해야 할 때 사용됩니다.

이벤트 합계 ㅏ그리고 비가리키다 ㅏ + 비또는 ㅏ ∪ 비. 두 이벤트의 합은 이벤트 중 적어도 하나가 발생하는 경우에만 발생하는 이벤트입니다. 그것은 의미합니다 ㅏ + 비- 관찰하는 동안 이벤트가 발생하는 경우에만 발생하는 이벤트 ㅏ또는 이벤트 비, 또는 동시에 ㅏ그리고 비.

만약 이벤트 ㅏ그리고 비서로 불일치하고 확률이 주어진 경우, 이러한 사건 중 하나가 한 시행의 결과로 발생할 확률은 확률을 더하여 계산됩니다.

확률 추가 정리.서로 양립할 수 없는 두 사건 중 하나가 발생할 확률은 다음 사건의 확률의 합과 같습니다.

예를 들어, 사냥하는 동안 두 발이 발사되었습니다. 이벤트 ㅏ– 첫 번째 샷에서 오리를 때리는 이벤트 안에– 두 번째 샷부터 명중, 이벤트( ㅏ+ 안에) - 첫 번째 또는 두 번째 샷 또는 두 개의 샷에서 히트. 그래서 이벤트가 두 개라면 ㅏ그리고 안에호환되지 않는 이벤트인 경우 ㅏ+ 안에- 이러한 이벤트 중 적어도 하나 또는 두 개의 이벤트 발생.

예 1상자에는 같은 크기의 공 30개가 들어 있습니다(빨간색 10개, 파란색 5개, 흰색 15개). 색이 있는(흰색이 아닌) 공을 보지 않고 가져갈 확률을 계산하십시오.

해결책. 이벤트라고 가정하자 ㅏ– "빨간 공을 가져갔다", 그리고 이벤트 안에- "파란 공이 잡혔습니다." 그런 다음 이벤트는 "(흰색이 아닌) 유색 공을 가져갑니다"입니다. 이벤트의 확률 찾기 ㅏ:

및 이벤트 안에:

이벤트 ㅏ그리고 안에- 하나의 공을 가져가면 공을 가져갈 수 없기 때문에 상호 양립 불가능 다른 색상. 따라서 확률 추가를 사용합니다.

호환되지 않는 여러 사건에 대한 확률 추가 정리.사건이 사건의 완전한 집합을 구성하는 경우 확률의 합은 1과 같습니다.

반대 사건의 확률의 합도 1과 같습니다.

반대 사건은 완전한 사건 집합을 형성하며 완전한 사건 집합의 확률은 1입니다.

반대 사건의 확률은 일반적으로 소문자로 표시됩니다. 피그리고 큐. 특히,

반대 사건의 확률에 대한 다음 공식은 다음과 같습니다.

예 2대시의 대상은 3개의 영역으로 나뉩니다. 특정 범인이 첫 번째 구역의 목표물을 쏠 확률은 0.15, 두 번째 구역은 0.23, 세 번째 구역은 0.17입니다. 범인이 목표물에 맞을 확률과 목표물을 빗나갈 확률을 구하십시오.

솔루션: 범인이 목표물에 맞을 확률을 찾으십시오.

범인이 목표물을 놓칠 확률을 찾으십시오.

확률의 덧셈과 곱셈을 모두 적용해야 하는 더 어려운 작업 - "확률의 덧셈과 곱셈을 위한 다양한 작업" 페이지에서 .

상호 공동 이벤트의 확률 추가

하나의 사건의 발생이 동일한 관찰에서 두 번째 사건의 발생을 배제하지 않는 경우 두 개의 무작위 사건은 결합(joint)이라고 합니다. 예를 들어, 주사위를 던질 때 이벤트 ㅏ숫자 4의 발생으로 간주되며 이벤트는 안에- 짝수를 버립니다. 숫자 4는 짝수이므로 두 이벤트가 호환됩니다. 실제로 상호 공동 이벤트 중 하나가 발생할 확률을 계산하는 작업이 있습니다.

공동 사건에 대한 확률 추가 정리.공동 사건 중 하나가 발생할 확률은 이러한 사건의 확률의 합과 같으며 여기서 두 사건의 공통 발생 확률, 즉 확률의 곱을 뺍니다. 공동 사건의 확률에 대한 공식은 다음과 같습니다.

이벤트 때문에 ㅏ그리고 안에호환, 이벤트 ㅏ+ 안에세 가지 가능한 이벤트 중 하나가 발생하면 발생합니다. 또는 AB. 양립할 수 없는 사건의 추가 정리에 따라 다음과 같이 계산합니다.

이벤트 ㅏ두 가지 호환되지 않는 이벤트 중 하나가 발생하면 발생합니다. 또는 AB. 그러나 서로 양립할 수 없는 여러 사건에서 하나의 사건이 발생할 확률은 이러한 모든 사건의 확률을 합한 것과 같습니다.

비슷하게:

식 (6)과 (7)을 식 (5)로 대체하면 공동 이벤트에 대한 확률 공식을 얻습니다.

공식 (8)을 사용할 때 다음 이벤트를 고려해야 합니다. ㅏ그리고 안에다음과 같을 수 있습니다.

• 상호 독립;
• 상호 의존적.

서로 독립적인 사건에 대한 확률 공식:

상호 종속 사건에 대한 확률 공식:

만약 이벤트 ㅏ그리고 안에일치하지 않으면 일치가 불가능한 경우이므로 피(AB) = 0. 양립할 수 없는 사건에 대한 네 번째 확률 공식은 다음과 같습니다.

예 3자동차 경주에서 1차로 운전할 때, 2차로 운전할 때 우승할 확률. 찾다:

• 두 차가 이길 확률;
• 적어도 한 대의 자동차가 이길 확률;

1) 첫 번째 자동차가 이길 확률은 두 번째 자동차의 결과에 따라 달라지지 않으므로 이벤트는 ㅏ(첫 차 승리) 및 안에(두 번째 자동차 승) - 독립 이벤트. 두 자동차가 모두 이길 확률을 찾으십시오.

2) 두 자동차 중 하나가 이길 확률을 구하십시오.

확률의 덧셈과 곱셈을 모두 적용해야 하는 더 어려운 작업 - "확률의 덧셈과 곱셈을 위한 다양한 작업" 페이지에서 .

확률 추가 문제를 직접 해결한 다음 해결 방법 살펴보기

예 4두 개의 동전이 던져집니다. 이벤트 ㅏ- 첫 번째 동전의 문장 손실. 이벤트 비- 두 번째 동전의 문장 손실. 이벤트의 확률 찾기 씨 = ㅏ + 비 .

확률 곱셈

확률의 곱셈은 사건의 논리적 곱의 확률을 계산할 때 사용됩니다.

이 경우 랜덤 이벤트는 독립적이어야 합니다. 한 사건의 발생이 두 번째 사건의 발생 확률에 영향을 미치지 않는 경우 두 사건을 상호 독립이라고 합니다.

독립 사건에 대한 확률 곱셈 정리.독립적인 두 사건이 동시에 일어날 확률 ㅏ그리고 안에이러한 사건의 확률의 곱과 같으며 다음 공식으로 계산됩니다.

실시예 5동전을 연속으로 세 번 던집니다. 문장이 세 번 모두 떨어질 확률을 구하십시오.

해결책. 동전을 처음 던질 때, 두 번째, 세 번째 던질 때 문장이 떨어질 확률. 문장이 세 번 모두 떨어질 확률을 구하십시오.

확률을 곱하는 문제를 직접 해결하고 솔루션을 살펴보십시오.

실시예 6 9개의 새 테니스 공이 들어 있는 상자가 있습니다. 게임을 위해 세 개의 공을 가져오고 게임이 끝나면 다시 넣습니다. 공을 선택할 때 그들은 플레이된 공과 플레이되지 않은 공을 구분하지 않습니다. 3경기 후에 상자에 사용하지 않은 공이 없을 확률은 얼마입니까?

실시예 7잘라낸 알파벳 카드에는 32개의 러시아 알파벳이 쓰여 있습니다. 5장의 카드가 무작위로 하나씩 뽑혀 나오는 순서대로 테이블 위에 놓입니다. 글자가 "끝"이라는 단어를 형성할 확률을 찾으십시오.

실시예 8전체 카드 덱(52장)에서 한 번에 4장의 카드를 꺼냅니다. 이 네 장의 카드가 모두 같은 무늬일 확률을 구하십시오.

실시예 9예제 8과 같은 문제지만 각 카드는 뽑힌 후 다시 덱으로 돌아갑니다.

확률의 덧셈과 곱셈을 모두 적용하고 여러 이벤트의 곱을 계산해야 하는 더 복잡한 작업 - "확률의 덧셈과 곱셈을 위한 다양한 작업" 페이지에서 .

서로 독립적인 사건 중 적어도 하나가 발생할 확률은 1에서 반대 사건의 확률 곱을 빼서 계산할 수 있습니다. 즉, 다음 공식을 사용합니다.

실시예 10화물은 강, 철도 및 도로 운송의 세 가지 운송 모드로 운송됩니다. 화물이 하천으로 운송될 확률은 0.82, 철도로 0.87, 도로로 0.90입니다. 상품이 세 가지 운송 모드 중 적어도 하나에 의해 배송될 확률을 찾으십시오.

확률의 덧셈과 곱셈의 정리.
종속 및 독립 이벤트

제목은 무섭게 보이지만 실제로는 매우 간단합니다. 이 단원에서는 이벤트 확률의 덧셈 및 곱셈 정리에 대해 알아보고 일반적인 작업을 분석합니다. 확률의 고전적 정의를 위한 작업확실히 만나거나 이미 만났을 가능성이 큽니다. 이 기사의 자료를 효과적으로 연구하려면 기본 용어를 알고 이해해야 합니다. 확률 이론간단한 산술 연산을 수행할 수 있습니다. 보시다시피 거의 필요하지 않으므로 자산의 뚱뚱한 플러스가 거의 보장됩니다. 그러나 다른 한편으로 나는 피상적인 태도에 대해 다시 한 번 경고합니다. 실용적인 예-미묘함도 충분합니다. 행운을 빌어요:

양립할 수 없는 사건의 확률에 대한 덧셈 정리: 둘 중 하나가 발생할 확률 호환되지 않는이벤트 또는 (무슨 일이 있어도), 는 다음 이벤트의 확률 합계와 같습니다.

호환되지 않는 이벤트가 많은 경우에도 유사한 사실이 적용됩니다. 예를 들어 3개의 호환되지 않는 이벤트와

꿈의 정리 =) 그러나 그러한 꿈은 예를 들어 다음에서 찾을 수 있는 증거의 대상이기도 합니다. 학습 가이드 V.E. 그무르만.

지금까지 볼 수 없었던 새로운 개념에 대해 알아봅시다.

종속 및 독립 이벤트

독립 이벤트부터 시작하겠습니다. 이벤트는 독립적인 발생확률이라면 그들 중 하나 의존하지 않는다고려된 세트의 다른 이벤트의 출현/비출현에서(가능한 모든 조합에서). ... 그러나 일반적인 문구를 갈기 위해 무엇이 있습니까?

독립 사건의 확률 곱셈 정리: 독립적인 사건의 공동 발생 확률이며 이러한 사건의 확률의 곱과 같습니다.

두 개의 동전을 던지고 다음 이벤트가 발생하는 첫 번째 수업의 가장 간단한 예로 돌아가 보겠습니다.

- 첫 번째 동전에 앞면이 표시됩니다.
- 2번째 동전에 앞면이 있습니다.

사건의 확률을 구해봅시다(첫 번째 동전에 앞면이 나타날 것입니다) 그리고독수리는 두 번째 동전에 나타납니다 - 읽는 방법을 기억 이벤트 제품!) . 한 동전에서 앞면이 나올 확률은 다른 동전을 던진 결과에 의존하지 않으므로 이벤트 및 는 독립적입니다.

비슷하게:
첫 번째 동전이 앞면이 나올 확률 그리고두 번째 꼬리에;
첫 번째 동전에 앞면이 나올 확률 그리고두 번째 꼬리에;
첫 번째 동전이 뒷면에 떨어질 확률 그리고두 번째 독수리에.

이벤트가 형성됩니다. 전체 그룹확률의 합은 1과 같습니다. .

곱셈 정리는 분명히 더 많은 수의 독립적인 사건으로 확장되므로, 예를 들어 사건이 독립적인 경우 이들의 공동 발생 확률은 다음과 같습니다. 에 연습하자 구체적인 예:

작업 3

세 개의 상자에는 각각 10개의 부품이 들어 있습니다. 첫 번째 상자에는 8개의 표준 부품이 있고 두 번째에는 7개, 세 번째에는 9개가 있습니다. 각 상자에서 한 부품이 무작위로 제거됩니다. 모든 부품이 표준일 확률을 구하십시오.

해결책: 임의의 상자에서 표준 또는 비표준 부품이 추출될 확률은 다른 상자에서 어떤 부품이 추출되는지에 따라 달라지지 않으므로 문제는 독립적인 이벤트에 관한 것입니다. 다음 독립 이벤트를 고려하십시오.

– 첫 번째 상자에서 표준 부품이 제거됩니다.
– 두 번째 상자에서 표준 부품이 제거됩니다.
– 3번째 서랍에서 표준 부품이 제거되었습니다.

고전적 정의에 따르면:
해당 확률입니다.

관심있는 이벤트 (표준 부분은 첫 번째 서랍에서 가져옵니다. 그리고 2차 기준부터 그리고 3차 기준부터)제품으로 표현됩니다.

독립 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:

세 개의 상자에서 하나의 표준 부품이 추출될 확률입니다.

답변: 0,504

상자로 운동을 활성화하면 그다지 흥미로운 항아리가 우리를 기다리고 있습니다.

작업 4

3개의 항아리에는 6개의 흰색 공과 4개의 검은색 공이 들어 있습니다. 각 항아리에서 무작위로 하나의 공을 뽑습니다. 다음과 같은 확률을 구하십시오. a) 세 개의 공이 모두 흰색일 것입니다. b) 세 개의 공은 모두 같은 색입니다.

받은 정보를 바탕으로 "be" 항목을 처리하는 방법을 추측합니다. ;-) 대략적인 샘플 솔루션은 모든 이벤트에 대한 자세한 설명과 함께 아카데믹 스타일로 설계되었습니다.

종속 이벤트. 이벤트가 호출됩니다. 매달린 확률이 달려있다이미 발생한 하나 이상의 이벤트에서. 예를 들어 멀리 갈 필요는 없습니다. 가장 가까운 매장으로 가세요.

-내일 19.00에 판매됩니다 신선한 빵.

이 이벤트의 확률은 신선한 빵이 내일 배달되는지 여부, 오후 7시 이전에 매진되는지 여부 등 다른 많은 이벤트에 따라 달라집니다. 다양한 상황에 따라 이 이벤트는 신뢰할 수도 있고 불가능할 수도 있습니다. 그래서 이벤트는 매달린.

빵 ... 그리고 로마인들이 요구한대로 서커스 :

- 시험에서 학생은 간단한 티켓을 받게 됩니다.

가장 먼저 가지 않으면 동급생이 이미 뽑은 티켓에 따라 확률이 달라지기 때문에 이벤트는 종속됩니다.

이벤트의 종속성/독립성을 결정하는 방법은 무엇입니까?

때때로 이것은 문제의 상태에 직접적으로 언급되지만 대부분의 경우 독립적인 분석을 수행해야 합니다. 여기에는 명확한 지침이 없으며 사건의 의존성 또는 독립성은 자연스러운 논리적 추론에 따릅니다.

모든 것을 한 더미에 버리지 않으려면 종속 이벤트에 대한 작업다음 수업을 강조하겠습니다. 하지만 지금은 실제로 가장 일반적인 정리를 고려할 것입니다.

일치하지 않는 확률에 대한 덧셈 정리의 문제
독립 사건의 확률 곱하기

내 주관적인 평가에 따르면 이 탠덤은 고려 중인 주제에 대한 작업의 약 80%에서 작동합니다. 히트의 히트와 확률 이론의 진정한 고전:

작업 5

두 명의 사수가 목표물에 각각 한 발씩 발사했습니다. 첫 번째 사수의 타격 확률은 0.8이고 두 번째 사수의 경우 0.6입니다. 다음과 같은 확률을 찾으십시오.

a) 단 한 명의 사수만 목표물에 명중합니다.
b) 저격수 중 적어도 한 명은 목표물을 맞힐 것입니다.

해결책: 한 선수의 명중/실패 확률은 분명히 다른 선수의 성과와 무관합니다.

이벤트를 고려하십시오.
– 첫 번째 사수는 목표물을 맞힐 것입니다.
- 2번째 사수가 목표물에 명중합니다.

조건별: .

대응하는 화살표가 놓칠 반대 사건의 확률을 찾아봅시다.

a) 이벤트를 고려하십시오. - 단 한 명의 사수가 목표물에 명중합니다. 이 이벤트는 두 가지 호환되지 않는 결과로 구성됩니다.

첫 번째 사수가 맞을 것입니다 그리고두 번째 미스
또는
1위는 그리울거야 그리고 2타가 뜹니다.

혀에 이벤트 대수이 사실은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

먼저, 호환되지 않는 사건의 확률 추가 정리를 사용한 다음 독립 사건의 확률 곱셈 정리를 사용합니다.

한 번만 맞을 확률입니다.

b) 이벤트를 고려하십시오. - 저격수 중 최소 한 명이 목표물에 맞을 것입니다.

먼저 생각해 봅시다. "AT LEAST ONE"이라는 조건이 무엇을 의미합니까? 안에 이 경우이것은 첫 번째 슈터가 맞을 것이라는 것을 의미합니다(두 번째 슈터는 놓칠 것입니다). 또는 2위(첫 번째 미스) 또는한 번에 두 화살표 - 총 3개의 호환되지 않는 결과.

방법 1: 이전 항목의 준비된 확률이 주어지면 이벤트를 다음 분리 이벤트의 합으로 표시하는 것이 편리합니다.

하나는 얻을 것이다 (양립할 수 없는 2개의 결과로 구성된 이벤트) 또는
두 화살표가 모두 맞으면 이 이벤트를 문자로 표시합니다.

따라서:

독립 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:
첫 번째 사수가 명중할 확률 그리고 2탄이 터집니다.

양립할 수 없는 사건의 확률 추가 정리에 따르면:
목표물에 적어도 한 번 명중할 확률입니다.

방법 2: 반대 이벤트를 고려하십시오. – 두 저격수 모두 빗나갈 것입니다.

독립 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:

결과적으로:

특별한주의두 번째 방법에주의하십시오. 일반적으로 더 합리적입니다.

또한 위에서 침묵했던 합동 이벤트 합산 정리에 기반한 대안적인 세 번째 해결 방법이 있습니다.

! 자료를 처음 읽는 경우 혼란을 피하기 위해 다음 단락을 건너뛰는 것이 좋습니다.

방법 3 : 이벤트가 결합되어 있으며, 이는 합계가 "적어도 한 명의 사수가 목표물에 명중"하는 이벤트를 표현함을 의미합니다(그림 1 참조). 이벤트 대수). 에 의해 공동 사건의 확률 추가 정리독립 사건의 확률 곱셈 정리:

확인하자: 이벤트 및 (각각 0, 1, 2 히트)완전한 그룹을 형성하므로 확률의 합은 1과 같아야 합니다.
, 확인해야했습니다.

답변:

확률 이론에 대한 철저한 연구를 통해 군국주의 콘텐츠의 수십 가지 작업을 접하게 될 것이며 일반적으로 그 후에는 누구도 쏘고 싶지 않을 것입니다. 작업은 거의 선물입니다. 템플릿을 더 간단하게 만드는 것은 어떻습니까? 항목을 줄이겠습니다.

해결책: 조건에 따라 , 는 해당 저격수를 맞힐 확률입니다. 그러면 실패 확률은 다음과 같습니다.

a) 양립할 수 없는 확률의 덧셈과 독립 사건의 확률의 곱셈 정리에 따르면:
단 한 명의 사수가 목표물에 명중할 확률입니다.

b) 독립 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:
두 저격수가 모두 빗나갈 확률입니다.

그때: 저격수 중 적어도 한 명이 목표물에 맞을 확률입니다.

답변:

실제로 모든 디자인 옵션을 사용할 수 있습니다. 물론 훨씬 더 자주 그들은 짧은 길을 가지만 첫 번째 방법을 잊어서는 안됩니다. 더 길지만 더 의미가 있습니다. 더 명확합니다. 무엇을, 왜, 왜더하고 곱합니다. 경우에 따라 다음과 같은 경우 하이브리드 스타일이 적합합니다. 대문자일부 이벤트만 표시하는 것이 편리합니다.

독립 솔루션에 대한 유사한 작업:

작업 6

화재 경보를 위해 독립적으로 작동하는 2개의 센서가 설치되어 있습니다. 화재 시 센서가 작동할 확률은 첫 번째 센서와 두 번째 센서에 대해 각각 0.5와 0.7입니다. 화재 발생 확률을 구하십시오:

a) 두 센서 모두 실패합니다.
b) 두 센서가 모두 작동합니다.
c) 사용 완전한 그룹을 형성하는 사건의 확률에 대한 덧셈 정리, 화재 시 하나의 센서만 작동할 확률을 구하십시오. 이 확률을 직접 계산하여 결과 확인 (덧셈과 곱셈 정리 사용).

여기에서 장치 작동의 독립성은 조건에서 직접 설명되며 이는 중요한 설명입니다. 샘플 솔루션은 아카데믹 스타일로 디자인되었습니다.

비슷한 문제에서 예를 들어 0.9와 0.9와 같이 동일한 확률이 주어지면 어떻게 될까요? 당신은 정확히 동일하게 결정해야합니다! (실제로 두 개의 동전으로 예에서 이미 시연되었습니다)

작업 7

한 발로 첫 번째 사수가 목표물을 맞힐 확률은 0.8입니다. 첫 번째와 두 번째 사수가 한 발을 쏜 후 목표물이 맞지 않을 확률은 0.08입니다. 한 발로 두 번째 사수가 목표물을 맞힐 확률은 얼마입니까?

그리고 이것은 짧은 방식으로 짜여진 작은 퍼즐입니다. 조건을 더 간결하게 재구성할 수 있지만 원본을 다시 만들지는 않겠습니다. 실제로는 더 화려한 조작을 조사해야 합니다.

그를 만나보세요 - 그는 당신을 위해 헤아릴 수 없는 양의 세부 사항을 잘라낸 사람입니다 =):

작업 8

작업자는 세 대의 기계를 작동합니다. 교대 중에 첫 번째 기계에 조정이 필요할 확률은 0.3, 두 번째 기계는 0.75, 세 번째 기계는 0.4입니다. 이동 중에 다음과 같은 확률을 찾으십시오.

a) 모든 기계는 조정이 필요합니다.
b) 하나의 기계만 조정이 필요합니다.
c) 최소한 하나의 기계는 조정이 필요합니다.

해결책: 조건이 단일 기술 프로세스에 대해 아무 말도 하지 않기 때문에 각 기계의 작동은 다른 기계의 작동과 독립적인 것으로 간주되어야 합니다.

작업 번호 5와 유사하게 여기에서 해당 기계가 교대 중에 조정이 필요하고 확률을 기록하고 반대 이벤트의 확률을 찾는다는 사실로 구성된 이벤트를 고려할 수 있습니다. 그러나 세 가지 개체를 사용하면 그렇게 작업을 작성하고 싶지 않습니다. 길고 지루할 것입니다. 따라서 여기에서 "빠른" 스타일을 사용하는 것이 눈에 띄게 더 유리합니다.

조건별: - 교대 중에 해당 기계에 튜닝이 필요할 확률. 그런 다음 주의가 필요하지 않을 확률은 다음과 같습니다.

독자 중 한 명이 여기서 멋진 오타를 발견했습니다. 수정조차 하지 않겠습니다 =)

a) 독립 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면:
교대 중에 세 기계 모두 조정이 필요할 확률입니다.

b) "교대하는 동안 하나의 기계만 조정이 필요합니다" 이벤트는 세 가지 호환되지 않는 결과로 구성됩니다.

1) 1차 머신 필요할 것이다주목 그리고두 번째 기계 필요하지 않습니다 그리고세 번째 기계 필요하지 않습니다
또는:
2) 1차 머신 필요하지 않습니다주목 그리고두 번째 기계 필요할 것이다 그리고세 번째 기계 필요하지 않습니다
또는:
3) 1차 머신 필요하지 않습니다주목 그리고두 번째 기계 필요하지 않습니다 그리고세 번째 기계 필요할 것이다.

양립할 수 없는 확률의 덧셈과 독립적인 사건의 확률의 곱셈 정리에 따르면:

- 교대 중에 하나의 기계만 조정이 필요할 확률.

지금쯤이면 그 표현이 어디에서 왔는지 분명해졌을 것입니다.

c) 기계가 조정을 필요로 하지 않을 확률과 반대 이벤트의 확률을 계산합니다.
– 최소한 하나의 기계가 조정이 필요하다는 사실.

답변:

항목 "ve"는 합계를 통해 해결할 수도 있습니다. 여기서 는 교대 중에 두 대의 기계만 조정이 필요할 확률입니다. 이 이벤트에는 "be" 항목과 유사하게 서명된 3개의 호환되지 않는 결과가 포함됩니다. 평등의 도움으로 전체 문제를 확인할 확률을 직접 찾으십시오.

작업 9

세 개의 총이 목표물에 발리를 발사했습니다. 첫 번째 총에서 한 번만 타격 할 확률은 0.7, 두 번째에서 0.6, 세 번째에서 0.8입니다. 다음과 같은 확률을 구하십시오. 1) 최소 하나의 발사체가 목표물에 명중합니다. 2) 두 개의 발사체만 목표물에 맞을 것입니다. 3) 대상은 최소 두 번 명중합니다.

수업이 끝날 때 솔루션 및 답변.

그리고 다시 우연의 일치에 대해 : 조건에 따라 초기 확률의 두 개 또는 모든 값이 일치하는 경우 (예 : 0.7, 0.7 및 0.7) 정확히 동일한 솔루션 알고리즘을 따라야합니다.

이 기사의 결론에서 우리는 또 다른 일반적인 퍼즐을 분석할 것입니다.

작업 10

사수는 각 샷에서 동일한 확률로 목표물을 명중합니다. 세 발 중 적어도 한 번은 맞을 확률이 0.973이라면 이 확률은 얼마인가?

해결책: 표시 - 각 샷으로 대상을 명중시킬 확률.
및 통과 - 각 샷의 미스 확률.

이벤트를 적어 봅시다.
- 3발의 사격으로 사수는 최소 한 번은 목표물을 맞추게 됩니다.
- 범인은 3번 빗나갑니다.

조건에 따라 반대 사건의 확률은 다음과 같습니다.

한편 독립 사건의 확률 곱셈 정리에 따르면 다음과 같습니다.

따라서:

- 각 샷의 미스 확률.

결과적으로:
각 샷을 칠 확률입니다.

답변: 0,7

간단하고 우아합니다.

고려 된 문제에서 대상에 대한 단 하나의 적중, 두 번의 적중 및 세 번의 적중 확률에 대한 추가 질문을 제기 할 수 있습니다. 솔루션 구성표는 앞의 두 가지 예와 정확히 동일합니다.

그러나 근본적인 실질적인 차이점은 반복된 독립 테스트, 서로 독립적으로 그리고 동일한 결과 확률로 순차적으로 수행됩니다.

작업 2. 주사위 4개를 던집니다. 각각의 굴린 주사위에서 같은 수의 점수를 얻을 확률을 구하십시오.

해결책. 각 뼈에는 총 6개의 얼굴이 있습니다. 각 얼굴의 낙진은 똑같이 발생합니다. 첫 번째 주사위를 굴리면(예: 1) 나머지는 동일해야 합니다. 특정 얼굴이 떨어져서 4개의 동일한 얼굴이 모두 떨어질 확률은 4개의 주사위 모두에서 특정 얼굴이 나타날 확률의 곱입니다. 6 개의 다른 숫자가 있기 때문에 결과에 면의 수를 곱해야합니다 원하는 이벤트를 표시합시다- "하나는 주사위에 떨어졌습니다", - , 모든 큐브에서 4 개의 손실은 . 문제에 대한 해결책을 찾으려면 결과에 6을 곱해야 합니다. "주사위 2개", "주사위 3개" ... 문제의 조건을 만족합니다. 따라서 문제에 대한 해결책은 다음과 같습니다.

작업 3. 연습생은 총으로 캔을 쏘는 법을 배웠습니다. 원샷으로 항아리를 맞출 확률은 0.03입니다. 0.94의 확률로 캔이 땅에 떨어질 확률이 있으려면 몇 개의 카트리지를 준비해야 합니까?

해결책. 이벤트가 발생할 확률을 찾는 방정식을 작성하십시오. 이렇게 하려면 동일한 이벤트가 여러 번 반복되는 경우에 사용되는 Bernoulli 공식을 사용합니다. 첫 번째 명중으로 캔이 땅에 떨어졌다고 가정하면 그 전에 샷이 발사되었습니다 (미스 포함). 모든 샷이 발사되었습니다. 맞을 확률이 이면 놓칠 확률은 입니다. 미스 및 1 히트 이벤트의 확률은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

알려진 데이터를 마지막 공식으로 대체하고 결과 방정식에서 표현합니다.

마지막 표현식의 로그를 취합시다.

어디

확률이 양수일 수만 있기 때문에 여기에서는 절대값을 사용합니다. . 샷 수는 정수일 수 없으므로 최종적으로

작업 4. 주사위를 6번 던집니다. 6개의 다른 얼굴을 얻을 확률은 얼마입니까?

해결책. 각 뼈에는 총 6개의 얼굴이 있습니다. 각 얼굴의 낙진은 똑같이 발생합니다. 이벤트는 순차적으로 발생하지만 순서는 중요하지 않습니다. 어떤 특정한 면이 빠질 확률은 1(주사위를 던지고 한 면이 반드시 나타날 것임)이므로, 빠진 면(확률)을 제외한 모든 숫자가 두 번째로 나타나야 하는 경우, 세 번째는 임의, 처음 두 개(확률) 등을 제외하고 원하는 이벤트의 확률은 다음과 같습니다.

작업 5. 동종의 주사위정사면체 모양을 하고 있다. 얼굴에 숫자 1, 2, 3, 4가 표시되어 있습니다. 0.9보다 큰 확률로 적어도 한 번에 3이 나올 것으로 기대하려면 주사위를 몇 번 던져야 합니까?

해결책. 뼈에는 총 4개의 얼굴이 있습니다. 각각의 면이 빠질 확률은 동일하지만 여러 번 던져야 하므로 베르누이 공식을 이용하여 진행하겠습니다. th 테스트에서 필요한 숫자가 나타났으므로 이전 시간이 모두 다르다고 가정합니다. 이 경우 얼굴이 4개뿐이므로 특정 얼굴이 나타날 확률은 같을 것입니다. "필요한 얼굴이 나타나지 않고 필요한 얼굴이 한 번만 나타났습니다"라는 이벤트의 확률은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

알려진 데이터를 마지막 공식으로 대체하고 결과 방정식에서 표현합니다.

마지막 표현식의 로그를 취합시다.

어디

확률이 양수일 수만 있기 때문에 여기에서는 절대값을 사용합니다. . 롤 수는 정수가 아니므로 가장 가까운 정수로 반올림합니다. 조건에 따라 확률은 0.9보다 커야 하므로 답은 >6입니다.

작업 6. 두 명의 사냥꾼이 하나의 목표물을 서로 독립적으로 쏘고 각각 한 발을 쏜다. 첫 번째 사냥꾼의 목표물을 맞출 확률은 0.8이고 두 번째 사냥꾼은 0.4입니다. 총격 후 목표물에서 구멍 하나가 발견되었습니다. 그것이 첫 번째 범인에게 속할 확률을 찾으십니까?

해결책. Bayes 공식을 사용해 봅시다. Bayes 공식에 따르면 분자는 필요한 이벤트가 발생할 확률을 포함하고 분모는 가능한 결과의 총 확률을 포함하며 이는 목표에 구멍 하나의 모양을 결정합니다. 사냥꾼 중 한 명이 맞고 두 번째가 놓친 상황. 두 명의 사냥꾼이 있었기 때문에 "첫 번째 히트, 두 번째 놓친"과 "첫 번째 놓친 두 번째 히트"의 두 가지 옵션 만 가능합니다. 두 사건이 동시에 발생할 수 없으므로 확률의 합에 대해 이야기하고 있습니다. 필요한 이벤트가 발생할 확률은 "첫 번째 실패, 두 번째 적중"입니다. "첫 번째 적중, 두 번째 실패" 이벤트의 확률은 다음과 같습니다. , 두 번째 이벤트 "첫 번째 놓친 두 번째 히트"의 확률은 다음과 같습니다. . 권장 공식을 사용해 보겠습니다.

작업 7. 그다지 높이 날지 않는 오리에게 세 발을 발사합니다. 첫 번째, 두 번째, 세 번째 샷을 칠 확률은 각각 0.1입니다. 0.2 및 0.4. 오리에 적어도 두 번 명중할 확률을 결정합니다.

해결책. 사격은 순차적으로 이루어지기 때문에 1차, 2차, 3차를 놓칠 가능성을 염두에 두어야 한다. 문제의 조건에 따라 오리에 적어도 2개의 안타가 있어야 하며, 이는 2안타 또는 3안타를 의미합니다. 3개의 "2안타" 이벤트가 있을 수 있습니다. "히트, 미스, 히트"; "미스, 히트, 히트" 때문에 어떤 샷이 빗나갔는지는 미리 알 수 없습니다. 따라서 동시에 발생할 수 없는 4개의 사건이 있으므로 사건의 확률의 합, 즉 전체 확률 공식에 대해 "히트, 히트, 히트" 이벤트의 확률은 다음과 같습니다. ; "히트, 히트, 미스" 이벤트의 확률은 ; 이벤트 "히트, 미스, 히트"의 확률은 ; 미스, 히트, 히트 이벤트의 확률은 입니다. 이제 원하는 확률을 계산합니다.

작업 8. 화학 분석을 수행하는 실험실 조교는 두 개의 냉장고에 있는 시약을 사용합니다. 첫 번째 냉장고에는 저장된 모든 시약 중 10%만 만료되고 두 번째 냉장고에는 20%가 만료됩니다. 실험실 조교가 냉장고에서 가져온 시약이 충분히 신선할 확률을 구하십시오.

해결책. 이벤트를 A로 표시하겠습니다. 실험실 조교는 냉장고에서 충분히 신선한 시약을 꺼냅니다. 실험실 조교는 문제의 상태에 따라 두 가지가 있는 냉장고에서 시약을 가져옵니다. 왜냐하면 문제는 냉장고에 대해 아무 것도 말해주지 않는다면, 그 중 하나를 선택하는 것은 동등할 것입니다. 동일하다 . 따라서 필요한 이벤트의 확률은 "냉장고 선택, 시약 선택"이라는 두 가지 동시 발생으로 구성됩니다. "첫 번째 냉장고에서 신선한 시약을 꺼낼" 확률은 ; "두 번째 냉장고에서 신선한 시약을 꺼낼" 확률은 . 실험실 조교는 시약을 한 번만 가져가므로 "첫 번째 냉장고에서 신선한 시약을 가져오십시오"와 "두 번째 냉장고에서 신선한 시약을 가져오십시오"의 두 이벤트가 동시에 발생할 수 없으므로 확률의 합에 대해 이야기하고 있습니다. . 총 확률 공식을 사용합시다. 그러면 원하는 확률은 다음과 같습니다.

작업 9. 공작석과 대리석으로 장식된 5개의 상자가 있습니다. 두 개의 상자에는 대리석 2개와 공작석 1개가 들어 있고, 하나에는 공작석 10개, 나머지 상자에는 대리석 3개와 공작석 1개가 들어 있습니다. 장인이 선택한 상자에서 무작위로 꺼낸 조각이 대리석일 확률을 구하십시오.

해결책. 총 확률 공식을 사용하는 작업입니다. 마스터는 임의의 "무작위로 선택된" 상자에서 장식용 돌을 선택합니다. 총 5개의 상자가 있고, 같은 상자라고 가정하므로 어떤 상자를 선택할 확률은 입니다. 따라서 필요한 사건의 확률은 "상자의 선택과 대리석의 선택"이라는 두 가지가 동시에 발생하는 것으로 구성됩니다. 첫 번째 상자에서 구슬을 꺼낼 확률은 ; 두 번째 상자에서 구슬을 꺼낼 확률은 ; 세 번째 상자에서 구슬을 꺼낼 확률은 0입니다. 왜냐하면 공작석만 있고 네 번째 상자에서 대리석을 가져올 확률은 입니다.