ความจำเป็นในการดำเนินการกับความน่าจะเป็นเกิดขึ้นเมื่อทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่าง และจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์เหล่านี้

การบวกความน่าจะเป็นจะใช้เมื่อจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมหรือผลรวมเชิงตรรกะของเหตุการณ์สุ่ม

ผลรวมของเหตุการณ์ กและ ขกำหนด ก + ขหรือ ก ∪ ข. ผลรวมของสองเหตุการณ์คือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้น มันหมายความว่า ก + ข- เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเหตุการณ์เกิดขึ้นระหว่างการสังเกต กหรือเหตุการณ์ ขหรือในเวลาเดียวกัน กและ ข.

หากเหตุการณ์ กและ ขไม่สอดคล้องกันและให้ค่าความน่าจะเป็น จากนั้นความน่าจะเป็นที่หนึ่งในเหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้นจากผลการทดลองหนึ่งครั้งจะคำนวณโดยใช้การบวกของความน่าจะเป็น

ทฤษฎีบทของการบวกของความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นที่หนึ่งในสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเกิดขึ้นจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ตัวอย่างเช่น ยิงปืนสองนัดขณะล่าสัตว์ เหตุการณ์ ก– ตีเป็ดตั้งแต่ช็อตแรก เหตุการณ์ ใน– ตีจากนัดที่สอง เหตุการณ์ ( ก+ ใน) - โดนจากนัดที่หนึ่งหรือสองหรือจากสองนัด ดังนั้นหากสองเหตุการณ์ กและ ในเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แล้ว ก+ ใน- เกิดเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์หรือสองเหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 1กล่องหนึ่งมีลูกบอลขนาดเดียวกัน 30 ลูก: สีแดง 10 ลูก สีน้ำเงิน 5 ลูก และสีขาว 15 ลูก คำนวณความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสี (ไม่ใช่สีขาว) ถูกจับโดยไม่ดู

สารละลาย. สมมติว่าเหตุการณ์ ก– “ลูกบอลสีแดงถูกยึด” และกิจกรรม ใน- "ลูกบอลสีน้ำเงินถูกยึดแล้ว" จากนั้นเหตุการณ์คือ "ลูกบอลสี (ไม่ใช่สีขาว) ถูกจับ" ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ก:

และกิจกรรมต่างๆ ใน:

เหตุการณ์ กและ ใน- เข้ากันไม่ได้เพราะถ้าหยิบลูกเดียวก็แย่งลูกไม่ได้ สีที่ต่างกัน. ดังนั้นเราจึงใช้การบวกของความน่าจะเป็น:

ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์หากเหตุการณ์ประกอบกันเป็นชุดของเหตุการณ์ทั้งหมด ผลรวมของความน่าจะเป็นจะเท่ากับ 1:

ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามก็เท่ากับ 1 ด้วย:

เหตุการณ์ตรงข้ามก่อตัวเป็นชุดของเหตุการณ์ทั้งหมด และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งชุดคือ 1

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามมักจะแสดงด้วยตัวอักษรขนาดเล็ก หน้าและ ถาม. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

จากสูตรต่อไปนี้สำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม:

ตัวอย่างที่ 2เป้าหมายในเส้นประแบ่งออกเป็น 3 โซน ความน่าจะเป็นที่นักกีฬาบางคนจะยิงไปที่เป้าหมายในโซนแรกคือ 0.15 ในโซนที่สอง - 0.23 ในโซนที่สาม - 0.17 จงหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงโดนเป้าหมายและความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงพลาดเป้า

วิธีแก้ไข: ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงเข้าเป้า:

ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงพลาดเป้าหมาย:

งานที่ยากขึ้นซึ่งคุณต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณความน่าจะเป็น - ในหน้า "งานต่างๆ สำหรับการบวกและการคูณความน่าจะเป็น" .

การบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมกัน

มีการกล่าวถึงเหตุการณ์สุ่มสองเหตุการณ์ว่าเกิดขึ้นร่วมกันหากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้ขัดขวางการเกิดเหตุการณ์ที่สองในการสังเกตเดียวกัน ตัวอย่างเช่นเมื่อโยนลูกเต๋าเหตุการณ์ กถือเป็นการเกิดขึ้นของเลข 4 และเหตุการณ์ ใน- ทิ้งเลขคู่ เนื่องจากเลข 4 เป็นเลขคู่ ทั้งสองเหตุการณ์จึงเข้ากันได้ ในทางปฏิบัติมีงานสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ร่วมกันอย่างใดอย่างหนึ่ง

ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมความน่าจะเป็นที่หนึ่งในเหตุการณ์ร่วมจะเกิดขึ้นเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ ซึ่งลบความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นทั่วไปของทั้งสองเหตุการณ์ นั่นคือผลคูณของความน่าจะเป็น สูตรสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมมีดังนี้:

เพราะเหตุการณ์ กและ ในเข้ากันได้, เหตุการณ์ ก+ ในเกิดขึ้นหากหนึ่งในสามเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เกิดขึ้น: หรือ เอบี. ตามทฤษฎีบทของการบวกเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ เราคำนวณดังนี้:

เหตุการณ์ กจะเกิดขึ้นหากหนึ่งในสองเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้เกิดขึ้น: หรือ เอบี. อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์หนึ่งจากเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้หลายเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดเหล่านี้:

ในทำนองเดียวกัน:

การแทนที่นิพจน์ (6) และ (7) เป็นนิพจน์ (5) เราได้สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ร่วม:

เมื่อใช้สูตร (8) ควรคำนึงถึงเหตุการณ์ กและ ในเป็นไปได้:

• เป็นอิสระต่อกัน
• พึ่งพาอาศัยกัน

สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน:

สูตรความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาอาศัยกัน:

หากเหตุการณ์ กและ ในไม่สอดคล้องกัน ดังนั้น ความบังเอิญจึงเป็นเรื่องที่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น พี(เอบี) = 0 สูตรความน่าจะเป็นที่สี่สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้มีดังนี้

ตัวอย่างที่ 3ในการแข่งรถ เมื่อขับในรถคันแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะ เมื่อขับในรถคันที่สอง หา:

• ความน่าจะเป็นที่รถทั้งสองคันจะชนะ
• ความน่าจะเป็นที่รถอย่างน้อยหนึ่งคันจะชนะ

1) ความน่าจะเป็นที่รถคันแรกจะชนะไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลของรถคันที่ 2 ดังนั้นเหตุการณ์ต่างๆ ก(รถคันแรกชนะ) และ ใน(รถคันที่สองชนะ) - เหตุการณ์อิสระ ค้นหาความน่าจะเป็นที่รถทั้งสองคันจะชนะ:

2) ค้นหาความน่าจะเป็นที่หนึ่งในสองคันจะชนะ:

งานที่ยากขึ้นซึ่งคุณต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณความน่าจะเป็น - ในหน้า "งานต่างๆ สำหรับการบวกและการคูณความน่าจะเป็น" .

แก้ปัญหาการบวกความน่าจะเป็นด้วยตัวคุณเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 4โยนเหรียญสองเหรียญ เหตุการณ์ ก- การสูญเสียตราแผ่นดินในเหรียญแรก เหตุการณ์ ข- การสูญเสียตราแผ่นดินในเหรียญที่สอง ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ค = ก + ข .

การคูณความน่าจะเป็น

การคูณความน่าจะเป็นจะใช้เมื่อต้องคำนวณความน่าจะเป็นของผลคูณเชิงตรรกะของเหตุการณ์

ในกรณีนี้ เหตุการณ์สุ่มต้องเป็นอิสระต่อกัน กล่าวกันว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกันหากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ส่งผลต่อความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ที่สอง

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน กและ ในเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ และคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่างที่ 5เหรียญถูกโยนสามครั้งติดต่อกัน จงหาความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะหลุดออกทั้ง 3 ครั้ง

สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะตกลงในการโยนเหรียญครั้งแรก ครั้งที่สอง และครั้งที่สาม จงหาความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะหลุดออกทั้ง 3 ครั้ง:

แก้ปัญหาสำหรับการคูณความน่าจะเป็นด้วยตัวคุณเอง แล้วดูวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 6มีกล่องพร้อมลูกเทนนิสใหม่ 9 ลูก ลูกบอลสามลูกสำหรับเกมหลังจากจบเกมพวกเขาจะถูกนำกลับมา เมื่อเลือกลูกบอล พวกเขาจะไม่แยกแยะระหว่างลูกบอลที่เล่นแล้วและยังไม่ได้เล่น ความน่าจะเป็นที่หลังจากสามเกมจะไม่มีลูกบอลที่ไม่ได้เล่นในกล่องเป็นเท่าไหร่?

ตัวอย่างที่ 7ตัวอักษรรัสเซีย 32 ตัวเขียนบนการ์ดตัวอักษรแบบตัด ไพ่ห้าใบจะถูกสุ่มออกมา ทีละใบ และวางบนโต๊ะตามลำดับที่ปรากฏ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ตัวอักษรจะประกอบเป็นคำว่า "end"

ตัวอย่างที่ 8จากไพ่เต็มสำรับ (52 แผ่น) ไพ่สี่ใบจะถูกดึงออกมาพร้อมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งสี่ใบนี้จะมีดอกเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 9ปัญหาเดียวกับตัวอย่างที่ 8 แต่ไพ่แต่ละใบจะถูกส่งกลับสำรับหลังจากจั่ว

งานที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งคุณต้องใช้ทั้งการบวกและการคูณความน่าจะเป็น ตลอดจนคำนวณผลคูณของเหตุการณ์ต่างๆ - ในหน้า "งานต่างๆ สำหรับการบวกและการคูณความน่าจะเป็น" .

ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งในเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกันจะเกิดขึ้นสามารถคำนวณได้โดยการลบผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามออกจาก 1 นั่นคือตามสูตร:

ตัวอย่างที่ 10สินค้าถูกจัดส่งโดยการขนส่ง 3 รูปแบบ ได้แก่ การขนส่งทางแม่น้ำ ทางรถไฟ และทางถนน ความน่าจะเป็นที่สินค้าจะถูกส่งโดยการขนส่งทางแม่น้ำคือ 0.82 โดยทางรถไฟ 0.87 ทางถนน 0.90 ค้นหาความน่าจะเป็นที่สินค้าจะถูกจัดส่งโดยการขนส่งอย่างน้อยหนึ่งในสามรูปแบบ

ทฤษฎีบทการบวกและการคูณความน่าจะเป็น
เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

ชื่อเรื่องดูน่ากลัว แต่จริงๆ แล้วเรียบง่ายมาก ในบทเรียนนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับทฤษฎีบทของการบวกและการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตลอดจนวิเคราะห์งานทั่วไปที่พร้อมด้วย งานสำหรับคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นจะเจอแน่นอนหรือน่าจะเจอระหว่างทางแล้ว เพื่อศึกษาเนื้อหาของบทความนี้อย่างมีประสิทธิภาพ คุณจำเป็นต้องรู้และเข้าใจคำศัพท์พื้นฐาน ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายได้ อย่างที่คุณเห็น จำเป็นต้องใช้น้อยมาก ดังนั้นจึงรับประกันการบวกไขมันในสินทรัพย์ได้เกือบทั้งหมด แต่ในทางกลับกัน ฉันเตือนอีกครั้งถึงทัศนคติที่ฉาบฉวย ตัวอย่างการปฏิบัติ- มีรายละเอียดปลีกย่อยเพียงพอ ขอให้โชคดี:

ทฤษฎีบทการบวกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้: ความน่าจะเป็นของการเกิดอย่างใดอย่างหนึ่ง เข้ากันไม่ได้เหตุการณ์หรือ (ไม่ว่าอะไรก็ตาม)เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

ข้อเท็จจริงที่คล้ายกันนี้ยังเป็นความจริงสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จำนวนมาก เช่น สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สามเหตุการณ์ และ :

ทฤษฎีบทความฝัน =) อย่างไรก็ตาม ความฝันดังกล่าวยังต้องได้รับการพิสูจน์เช่นกัน ซึ่งสามารถพบได้ใน คู่มือการศึกษาวี.อี. Gmurman.

มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดใหม่ที่ไม่เคยเห็นมาก่อน:

เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระ

เริ่มจากกิจกรรมอิสระกันก่อน เหตุการณ์คือ เป็นอิสระ หากความน่าจะเป็นเกิดขึ้น อะไรก็ได้ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจากลักษณะที่ปรากฏ/ไม่ปรากฏของเหตุการณ์อื่นๆ ของชุดที่พิจารณา (ในทุกชุดที่เป็นไปได้) ... แต่สิ่งที่ต้องบดขยี้วลีทั่วไป:

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ: ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์อิสระร่วมกันและเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

กลับไปที่ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของบทเรียนที่ 1 ซึ่งมีการโยนเหรียญ 2 เหรียญและเหตุการณ์ต่อไปนี้:

- หัวจะตกลงบนเหรียญที่ 1
- หัวที่ 2 เหรียญ

มาหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (หัวจะปรากฏบนเหรียญที่ 1 และนกอินทรีจะปรากฏบนเหรียญที่ 2 - จำวิธีการอ่าน ผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์!) . ความน่าจะเป็นที่จะออกตัวบนเหรียญหนึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลของการโยนเหรียญอีกเหรียญหนึ่ง ดังนั้นเหตุการณ์จึงเป็นอิสระต่อกัน

ในทำนองเดียวกัน:
คือความน่าจะเป็นที่เหรียญที่ 1 จะออกหัว และที่หางที่ 2;
คือความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏบนเหรียญที่ 1 และที่หางที่ 2;
คือความน่าจะเป็นที่เหรียญที่ 1 จะออกก้อย และบนนกอินทรีตัวที่ 2

โปรดทราบว่ารูปแบบเหตุการณ์ เต็มกลุ่มและผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับหนึ่ง: .

เห็นได้ชัดว่าทฤษฎีบทการคูณขยายไปสู่จำนวนเหตุการณ์อิสระที่มากขึ้น ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นร่วมกันคือ: มาฝึกกันเลย ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม:

ภารกิจที่ 3

แต่ละกล่องมี 10 ส่วน ในกล่องแรกมี 8 ส่วนมาตรฐานในส่วนที่สอง - 7 ในส่วนที่สาม - 9 ส่วนหนึ่งจะถูกสุ่มออกจากแต่ละกล่อง จงหาความน่าจะเป็นที่ทุกส่วนจะเป็นมาตรฐาน

สารละลาย: ความน่าจะเป็นในการแยกส่วนมาตรฐานหรือไม่ได้มาตรฐานออกจากกล่องใด ๆ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าส่วนใดจะถูกแยกออกจากกล่องอื่น ดังนั้นปัญหาจึงเกี่ยวกับเหตุการณ์อิสระ พิจารณาเหตุการณ์อิสระต่อไปนี้:

– นำชิ้นส่วนมาตรฐานออกจากกล่องที่ 1
– ชิ้นส่วนมาตรฐานถูกนำออกจากกล่องที่ 2
– ชิ้นส่วนมาตรฐานถูกนำออกจากลิ้นชักที่ 3

ตามคำจำกัดความแบบคลาสสิก:
เป็นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

เหตุการณ์ที่เราสนใจ (ส่วนมาตรฐานจะนำมาจากลิ้นชักที่ 1 และจากมาตรฐานที่ 2 และจากมาตรฐานที่ 3)แสดงโดยผลิตภัณฑ์

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

คือความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนมาตรฐานหนึ่งชิ้นจะถูกแยกออกจากกล่องสามกล่อง

คำตอบ: 0,504

หลังจากออกกำลังกายด้วยกล่องแล้ว โกศที่น่าสนใจไม่น้อยกำลังรอเราอยู่:

ภารกิจที่ 4

สามโกศบรรจุลูกบอลสีขาว 6 ลูกและสีดำ 4 ลูก สุ่มจับลูกบอลหนึ่งลูกจากแต่ละโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ ก) ลูกบอลทั้งสามลูกจะเป็นสีขาว b) ลูกบอลทั้งสามลูกจะเป็นสีเดียวกัน

จากข้อมูลที่ได้รับ ให้เดาว่าจะจัดการกับรายการ "เป็น" อย่างไร ;-) โซลูชันตัวอย่างโดยประมาณได้รับการออกแบบในรูปแบบวิชาการพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของเหตุการณ์ทั้งหมด

เหตุการณ์ขึ้นอยู่กับ. เหตุการณ์นี้เรียกว่า ขึ้นอยู่กับ หากความน่าจะเป็น พึ่งพาจากเหตุการณ์หนึ่งหรือหลายเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องไปหาตัวอย่างที่ไหนไกล เพียงไปที่ร้านค้าที่ใกล้ที่สุด:

- พรุ่งนี้เวลา 19.00 น. จะลดราคา ขนมปังสด.

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์อื่น ๆ อีกมากมาย: ขนมปังสดใหม่จะถูกส่งในวันพรุ่งนี้หรือไม่ ขายหมดก่อน 19.00 น. หรือไม่ ฯลฯ เหตุการณ์นี้อาจมีทั้งความน่าเชื่อถือและเป็นไปไม่ได้ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ต่างๆ เหตุการณ์จึงเป็น ขึ้นอยู่กับ.

ขนมปัง ... และตามที่ชาวโรมันเรียกร้อง ละครสัตว์:

- ในการสอบนักเรียนจะได้รับตั๋วธรรมดา

หากคุณไม่ได้ไปคนแรก เหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับเนื่องจากความน่าจะเป็นจะขึ้นอยู่กับตั๋วที่เพื่อนร่วมชั้นจับฉลากไปแล้ว

จะกำหนดการพึ่งพา/ความเป็นอิสระของเหตุการณ์ได้อย่างไร

บางครั้งสิ่งนี้ระบุไว้โดยตรงในเงื่อนไขของปัญหา แต่บ่อยครั้งที่คุณต้องทำการวิเคราะห์อย่างอิสระ ไม่มีแนวทางที่ชัดเจนในที่นี้ และข้อเท็จจริงของการพึ่งพาอาศัยกันหรือความเป็นอิสระของเหตุการณ์ต่าง ๆ เป็นไปตามเหตุผลเชิงตรรกะตามธรรมชาติ

เพื่อไม่ให้โยนทุกอย่างในกองเดียว งานสำหรับเหตุการณ์ที่ขึ้นต่อกันฉันจะเน้นบทเรียนถัดไป แต่สำหรับตอนนี้เราจะพิจารณาทฤษฎีบทที่พบบ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ:

โจทย์ทฤษฎีบทการบวกสำหรับความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกัน
และทวีคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

ตามการประเมินอัตนัยของฉันควบคู่นี้ทำงานในประมาณ 80% ของงานในหัวข้อที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ความนิยมและทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกที่แท้จริง:

ภารกิจที่ 5

นักกีฬาสองคนยิงทีละนัดไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะโดนสำหรับมือปืนคนแรกคือ 0.8 สำหรับวินาที - 0.6 ค้นหาความน่าจะเป็นที่:

ก) นักกีฬาเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะเข้าเป้า;
b) ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนจะยิงเข้าเป้า

สารละลาย: ความน่าจะเป็นในการตี/พลาดของผู้ยิงคนหนึ่งไม่ขึ้นกับผลงานของอีกคนหนึ่งอย่างชัดเจน

พิจารณาเหตุการณ์:
– ผู้ยิงคนที่ 1 จะยิงเข้าเป้า
- นักกีฬาคนที่ 2 จะยิงเข้าเป้า

ตามเงื่อนไข: .

มาหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม - ลูกศรที่เกี่ยวข้องจะพลาดไป:

ก) พิจารณาเหตุการณ์: - มีนักกีฬาเพียงคนเดียวที่เข้าเป้า เหตุการณ์นี้ประกอบด้วยสองผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้:

นักกีฬาคนที่ 1 จะโจมตี และพลาดครั้งที่ 2
หรือ
ที่ 1 จะพลาด และที่ 2 จะตี

บนลิ้น พีชคณิตเหตุการณ์ข้อเท็จจริงนี้สามารถเขียนเป็น:

ขั้นแรก เราใช้ทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ จากนั้น - ทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

คือความน่าจะเป็นที่จะมีการโจมตีเพียงครั้งเดียว

b) พิจารณาเหตุการณ์: - ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนจะยิงเข้าเป้า

ก่อนอื่นมาคิดกัน - เงื่อนไข "อย่างน้อยหนึ่ง" หมายถึงอะไร? ใน กรณีนี้ซึ่งหมายความว่าผู้ยิงคนที่ 1 จะโดน (คนที่ 2 จะพลาด) หรือครั้งที่ 2 (ครั้งที่ 1 พลาด) หรือลูกศรทั้งสองพร้อมกัน - ผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมด 3 รายการ

วิธีที่หนึ่ง: ด้วยความน่าจะเป็นที่เตรียมไว้ของรายการก่อนหน้า จึงสะดวกที่จะแทนเหตุการณ์เป็นผลรวมของเหตุการณ์ที่ไม่ต่อเนื่องกันต่อไปนี้:

หนึ่งจะได้รับ (เหตุการณ์ที่ประกอบด้วย 2 ผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้) หรือ
หากลูกศรทั้งสองโดน เราจะแสดงเหตุการณ์นี้ด้วยตัวอักษร

ดังนั้น:

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงคนที่ 1 จะโดน และนักกีฬาคนที่ 2 จะโจมตี

ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้:
คือความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

วิธีที่สอง: พิจารณาเหตุการณ์ตรงกันข้าม: – ผู้ยิงทั้งสองจะพลาด

ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ผลที่ตามมา:

ความสนใจเป็นพิเศษให้ความสนใจกับวิธีที่สอง - ในกรณีทั่วไปจะมีเหตุผลมากกว่า

นอกจากนี้ยังมีทางเลือกอื่น วิธีที่สาม ในการแก้ปัญหาตามทฤษฎีบทของการสรุปเหตุการณ์ร่วมซึ่งเงียบไปข้างต้น

! หากคุณกำลังอ่านเนื้อหาเป็นครั้งแรก เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน จะเป็นการดีกว่าหากข้ามย่อหน้าถัดไป

วิธีที่สาม : เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกัน ซึ่งหมายความว่าผลรวมของเหตุการณ์นั้นแสดงถึงเหตุการณ์ “ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนยิงถูกเป้าหมาย” (ดูรูปที่ พีชคณิตเหตุการณ์). โดย ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ร่วมและทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ตรวจสอบกัน: เหตุการณ์และ (0, 1 และ 2 ครั้งตามลำดับ)สร้างกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นจะต้องเท่ากับหนึ่ง:
ซึ่งจะต้องมีการตรวจสอบ

คำตอบ:

ด้วยการศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างถี่ถ้วน คุณจะพบกับภารกิจมากมายที่เป็นเนื้อหาทางทหาร ซึ่งเป็นเรื่องปกติ หลังจากนั้นคุณจะไม่ต้องการยิงใครเลย - ภารกิจนั้นแทบจะเป็นของกำนัล ทำไมไม่ทำเทมเพลตให้เรียบง่ายกว่านี้ มาย่อรายการให้สั้นลง:

สารละลาย: ตามเงื่อนไข: คือความน่าจะเป็นที่จะชนผู้ยิงที่เกี่ยวข้อง จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะพลาดคือ:

ก) ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นที่เข้ากันไม่ได้และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงเพียงคนเดียวจะเข้าเป้า

b) ตามทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงทั้งสองจะพลาด

จากนั้น: คือความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงอย่างน้อยหนึ่งคนจะยิงถูกเป้าหมาย

คำตอบ:

ในทางปฏิบัติ คุณสามารถใช้ตัวเลือกการออกแบบใดก็ได้ แน่นอนว่าพวกเขาไปทางสั้นบ่อยกว่า แต่ก็ไม่ควรลืมวิธีที่ 1 - แม้ว่ามันจะยาวกว่า แต่ก็มีความหมายมากกว่า - มันชัดเจนกว่า อะไร ทำไม และทำไมเพิ่มขึ้นและทวีคูณ ในบางกรณี สไตล์ไฮบริดจะเหมาะสมเมื่อ ตัวพิมพ์ใหญ่สะดวกในการระบุเหตุการณ์บางอย่างเท่านั้น

งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ภารกิจที่ 6

มีการติดตั้งเซ็นเซอร์ที่ทำงานแยกกันสองตัวสำหรับสัญญาณเตือนอัคคีภัย ความน่าจะเป็นที่เซ็นเซอร์จะทำงานระหว่างเกิดไฟไหม้คือ 0.5 และ 0.7 สำหรับเซ็นเซอร์ตัวที่หนึ่งและตัวที่สองตามลำดับ ค้นหาความน่าจะเป็นที่เกิดไฟไหม้:

ก) เซ็นเซอร์ทั้งสองจะล้มเหลว
b) เซ็นเซอร์ทั้งสองจะทำงาน
ค) การใช้ ทฤษฎีบทการบวกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ค้นหาความน่าจะเป็นที่เซ็นเซอร์เพียงตัวเดียวจะทำงานระหว่างเกิดไฟไหม้ ตรวจสอบผลลัพธ์โดยการคำนวณความน่าจะเป็นนี้โดยตรง (ใช้ทฤษฎีบทการบวกและการคูณ).

ที่นี่ความเป็นอิสระของการทำงานของอุปกรณ์ถูกสะกดโดยตรงในเงื่อนไขซึ่งเป็นคำชี้แจงที่สำคัญ สารละลายตัวอย่างออกแบบมาอย่างเป็นวิชาการ

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าในปัญหาที่คล้ายกัน มีความน่าจะเป็นเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น 0.9 และ 0.9 คุณต้องตัดสินใจเหมือนกัน! (ซึ่งอันที่จริงได้แสดงให้เห็นในตัวอย่างแล้ว 2 เหรียญ)

ภารกิจที่ 7

ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายโดยผู้ยิงคนแรกด้วยการยิงหนึ่งครั้งคือ 0.8 ความน่าจะเป็นที่ไม่โดนเป้าหมายหลังจากผู้ยิงคนแรกและคนที่สองยิงหนึ่งนัดคือ 0.08 ความน่าจะเป็นที่จะยิงเข้าเป้าโดยผู้ยิงคนที่สองด้วยการยิงนัดเดียวเป็นเท่าใด

และนี่คือจิ๊กซอว์ตัวเล็กๆ ที่ตีกรอบสั้นๆ เงื่อนไขสามารถปรับเปลี่ยนให้รัดกุมกว่านี้ได้ แต่ฉันจะไม่สร้างของเดิมขึ้นใหม่ - ในทางปฏิบัติ ฉันต้องเจาะลึกถึงการประดิษฐ์ที่หรูหรามากขึ้น

พบเขา - เขาคือผู้ที่ตัดรายละเอียดจำนวนมหาศาลสำหรับคุณ =):

ภารกิจที่ 8

คนงานใช้เครื่องจักรสามเครื่อง ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะเครื่องแรกจะต้องมีการปรับเปลี่ยนคือ 0.3, ที่สอง - 0.75, ที่สาม - 0.4 ค้นหาความน่าจะเป็นระหว่างกะ:

a) เครื่องจักรทั้งหมดจะต้องมีการปรับแต่ง
b) ต้องมีการปรับเปลี่ยนเครื่องจักรเพียงเครื่องเดียว
c) ต้องมีการปรับเครื่องจักรอย่างน้อยหนึ่งเครื่อง

สารละลาย: เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับกระบวนการทางเทคโนโลยีเพียงขั้นตอนเดียว ดังนั้น การทำงานของเครื่องจักรแต่ละเครื่องจึงควรได้รับการพิจารณาโดยไม่ขึ้นกับการทำงานของเครื่องจักรอื่นๆ

โดยการเปรียบเทียบกับงานหมายเลข 5 ที่นี่คุณสามารถเข้าสู่เหตุการณ์การพิจารณาซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าเครื่องจักรที่เกี่ยวข้องจะต้องมีการปรับเปลี่ยนระหว่างกะ เขียนความน่าจะเป็น ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม ฯลฯ แต่ด้วยวัตถุสามอย่าง ฉันไม่ต้องการร่างงานแบบนั้น - มันจะใช้เวลานานและน่าเบื่อ ดังนั้นจึงมีผลกำไรมากกว่าการใช้สไตล์ "รวดเร็ว" ที่นี่:

ตามเงื่อนไข: - ความน่าจะเป็นที่ระหว่างการเปลี่ยนกะเครื่องจักรที่เกี่ยวข้องจะต้องมีการปรับแต่ง จากนั้นความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะไม่ต้องการความสนใจคือ:

ผู้อ่านคนหนึ่งพบการพิมพ์ผิดที่นี่ ฉันจะไม่แก้ไขด้วยซ้ำ =)

ก) ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:
คือความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรทั้งสามเครื่องจะต้องมีการปรับเปลี่ยนระหว่างกะ

b) เหตุการณ์ "ระหว่างกะ เครื่องจักรเพียงเครื่องเดียวจะต้องมีการปรับเปลี่ยน" ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้สามประการ:

1) เครื่องที่ 1 จะต้องความสนใจ และเครื่องที่2 จะไม่ต้องการ และเครื่องที่3 จะไม่ต้องการ
หรือ:
2) เครื่องที่ 1 จะไม่ต้องการความสนใจ และเครื่องที่2 จะต้อง และเครื่องที่3 จะไม่ต้องการ
หรือ:
3) เครื่องที่ 1 จะไม่ต้องการความสนใจ และเครื่องที่2 จะไม่ต้องการ และเครื่องที่3 จะต้อง.

ตามทฤษฎีบทของการบวกความน่าจะเป็นที่เข้ากันไม่ได้และการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

- ความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะจะต้องมีการปรับเปลี่ยนเครื่องจักรเพียงเครื่องเดียว

ฉันคิดว่าตอนนี้คุณน่าจะเข้าใจแล้วว่าสำนวนนี้มาจากไหน

ค) คำนวณความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรจะไม่ต้องการการปรับแต่ง จากนั้นจึงคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม:
– ความจริงที่ว่าต้องมีการปรับเปลี่ยนเครื่องจักรอย่างน้อยหนึ่งเครื่อง

คำตอบ:

รายการ "ve" ยังสามารถแก้ไขได้ด้วยผลรวม ซึ่งความน่าจะเป็นที่ระหว่างกะจะต้องมีการปรับเปลี่ยนเครื่องจักรเพียงสองเครื่องเท่านั้น ในทางกลับกัน เหตุการณ์นี้รวมถึงผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้ 3 รายการ ซึ่งลงนามโดยการเปรียบเทียบกับรายการ "be" พยายามหาความน่าจะเป็นด้วยตัวคุณเองเพื่อตรวจสอบปัญหาทั้งหมดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน

ภารกิจที่ 9

ปืนสามกระบอกระดมยิงไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นในการยิงนัดเดียวจากปืนกระบอกแรกคือ 0.7 จากปืนที่สอง - 0.6 จากกระบอกที่สาม - 0.8 จงหาความน่าจะเป็นที่: 1) กระสุนอย่างน้อยหนึ่งนัดเข้าเป้า; 2) มีเพียงสองโพรเจกไทล์เท่านั้นที่จะโดนเป้าหมาย; 3) เป้าหมายจะถูกโจมตีอย่างน้อยสองครั้ง

เฉลยและเฉลยท้ายบทเรียน.

และอีกครั้งเกี่ยวกับความบังเอิญ: ในกรณีที่ตามเงื่อนไขแล้วค่าความน่าจะเป็นเริ่มต้นสองค่าหรือแม้กระทั่งทั้งหมดตรงกัน (เช่น 0.7; 0.7 และ 0.7) ควรปฏิบัติตามอัลกอริทึมการแก้ปัญหาเดียวกันทุกประการ

ในบทสรุปของบทความ เราจะวิเคราะห์ปริศนาทั่วไปอื่น:

ภารกิจที่ 10

ผู้ยิงเข้าเป้าด้วยความน่าจะเป็นเท่ากันในแต่ละนัด ความน่าจะเป็นนี้คืออะไร หากความน่าจะเป็นอย่างน้อยหนึ่งครั้งในการยิงสามครั้งคือ 0.973

สารละลาย: แสดงโดย - ความน่าจะเป็นที่จะชนเป้าหมายในแต่ละนัด
และผ่าน - ความน่าจะเป็นของการพลาดในแต่ละช็อต

ลองเขียนเหตุการณ์:
- ด้วยการยิง 3 นัด ผู้ยิงจะยิงถูกเป้าหมายอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
- ผู้ยิงจะพลาด 3 ครั้ง

ตามเงื่อนไข ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม:

ในทางกลับกัน ตามทฤษฎีบทของการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ:

ดังนั้น:

- ความน่าจะเป็นของการพลาดในแต่ละนัด

ผลที่ตามมา:
คือความน่าจะเป็นในการยิงแต่ละครั้ง

คำตอบ: 0,7

เรียบง่ายและสง่างาม

ในปัญหาที่พิจารณาแล้ว สามารถตั้งคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของการโจมตีเพียงครั้งเดียว การโจมตีสองครั้งเท่านั้น และความน่าจะเป็นของการโจมตีเป้าหมายสามครั้ง รูปแบบการแก้ปัญหาจะเหมือนกับในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ทุกประการ:

อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างที่เป็นสาระสำคัญพื้นฐานก็คือมี การทดสอบอิสระซ้ำแล้วซ้ำอีกซึ่งดำเนินการตามลำดับ เป็นอิสระจากกัน และมีความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เท่ากัน

ภารกิจที่ 2. โยนลูกเต๋า 4 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเท่ากันในแต่ละลูกเต๋าที่ทอย

สารละลาย. มีทั้งหมด 6 ใบหน้าในแต่ละกระดูก ผลกระทบของใบหน้าแต่ละคนมีโอกาสเท่าเทียมกัน หากลูกเต๋าลูกแรกออก เช่น 1 ลูกเต๋าที่เหลือควรเหมือนกัน ความน่าจะเป็นของหน้าใดหน้าหนึ่งหลุดออกมาจนหน้าเหมือนกันทั้ง 4 หน้าหลุดออกมาเป็นผลคูณของความน่าจะเป็นของหน้าหน้าใดหน้าหนึ่งที่ปรากฏบนลูกเต๋าทั้ง 4 ลูก ผลลัพธ์ต้องคูณด้วยจำนวนหน้าเนื่องจากมีตัวเลขต่างกัน 6 ตัว เรามาระบุเหตุการณ์ที่ต้องการ - "คนหนึ่งล้มตาย" - จากนั้นการสูญเสียสี่ตัวในลูกบาศก์ทั้งหมดจะเป็น . ในการหาวิธีแก้ปัญหาคุณต้องคูณผลลัพธ์ด้วย 6 เพราะ เหตุการณ์ "ทอยลูกเต๋าทั้งหมด 2 ลูก", "ทอยลูกเต๋าทั้งหมด 3 ลูก" ... ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาจะเป็น:

ภารกิจที่ 3. นักเรียนฝึกงานได้รับการสอนให้ยิงปืนด้วยกระป๋อง ความน่าจะเป็นที่จะชนโถด้วยกระสุนนัดเดียวคือ 0.03 คุณต้องเตรียมคาร์ทริดจ์จำนวนเท่าใดเพื่อให้มีโอกาส 0.94 กระป๋องที่จะล้มลงกับพื้น

สารละลาย. เขียนสมการเพื่อหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ในการดำเนินการนี้ ให้ใช้สูตร Bernoulli ซึ่งใช้ในกรณีที่เกิดเหตุการณ์เดียวกันซ้ำหลายครั้ง หากเราสันนิษฐานว่ากระป๋องถูกกระแทกกับพื้นจากการตีครั้งแรก ก่อนหน้านั้นมีการยิงปืน (พลาด) เช่น ทุกนัดถูกยิง หากความน่าจะเป็นที่จะโดนคือ ความน่าจะเป็นที่จะพลาดก็คือ ความน่าจะเป็นของการพลาดและ 1 เหตุการณ์สามารถเขียนได้:

เราแทนที่ข้อมูลที่ทราบลงในสูตรสุดท้าย: และแสดงจากสมการผลลัพธ์:

ลองใช้ลอการิทึมของนิพจน์สุดท้าย:

ที่ไหน

ใช้ค่าสัมบูรณ์ที่นี่เนื่องจากความน่าจะเป็นสามารถเป็นค่าบวกได้เท่านั้น . จำนวนนัดไม่สามารถเป็นจำนวนเต็มได้ในที่สุด

ภารกิจที่ 4. ลูกเต๋าถูกโยน 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้ใบหน้าที่แตกต่างกัน 6 หน้าเป็นเท่าไหร่?

สารละลาย. มีทั้งหมด 6 ใบหน้าในแต่ละกระดูก ผลกระทบของใบหน้าแต่ละคนมีโอกาสเท่าเทียมกัน เหตุการณ์เกิดขึ้นตามลำดับ แต่ไม่สำคัญว่าจะเป็นลำดับใด ความน่าจะเป็นที่หน้าใดหน้าหนึ่งจะหลุดออกไปคือ 1 (โยนลูกเต๋าแล้วหน้าเดียวจะปรากฏขึ้นแน่นอน) ดังนั้นในครั้งที่สอง ตัวเลขใด ๆ ควรปรากฏขึ้น ยกเว้นหน้าเดียวที่หลุดออกมา (ความน่าจะเป็น) ครั้งที่สาม - อะไรก็ได้ ยกเว้นสองตัวแรก (ความน่าจะเป็น) เป็นต้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการคือ:

ภารกิจที่ 5. เป็นเนื้อเดียวกัน ลูกเต๋ามีสัณฐานเหมือนจัตุรมุขปกติ ตัวเลข 1, 2, 3 และ 4 ถูกทำเครื่องหมายไว้บนหน้า คุณต้องทอยลูกเต๋ากี่ครั้งเพื่อที่จะได้ 3 ทอยอย่างน้อยใน 1 กรณีที่มีความน่าจะเป็นมากกว่า 0.9

สารละลาย. มีทั้งหมด 4 ใบหน้าบนกระดูก แต่ละหน้ามีโอกาสหลุดออกเท่าๆ กัน แต่จะต้องโยนหลายครั้ง ดังนั้น เราจะยึดตามสูตรแบร์นูลลี สมมติว่าในการทดสอบที่ th จำนวนที่ต้องการปรากฏขึ้น ดังนั้นครั้งก่อนหน้านี้ทั้งหมดจึงแตกต่างกัน ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของใบหน้าใดใบหน้าหนึ่งจะเท่ากันเนื่องจากมีเพียง 4 ใบหน้าเท่านั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "ใบหน้าที่ต้องการไม่ปรากฏและใบหน้าที่ต้องการปรากฏขึ้นครั้งเดียว" สามารถเขียนได้:

เราแทนที่ข้อมูลที่ทราบลงในสูตรสุดท้าย: และแสดงจากสมการผลลัพธ์

ลองใช้ลอการิทึมของนิพจน์สุดท้าย:

ที่ไหน

ใช้ค่าสัมบูรณ์ที่นี่เนื่องจากความน่าจะเป็นสามารถเป็นค่าบวกได้เท่านั้น . จำนวนม้วนไม่สามารถเป็นจำนวนเต็มได้ ดังนั้นให้ปัดขึ้นเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุด ตามเงื่อนไข ความน่าจะเป็นต้องมากกว่า 0.9 ดังนั้นคำตอบคือ >6

ภารกิจที่ 6. นักล่าสองคนยิงเป้าหมายเดียวโดยอิสระจากกัน และแต่ละคนก็ยิงนัดเดียว ความน่าจะเป็นที่จะไปถึงเป้าหมายสำหรับนักล่าคนแรกคือ 0.8 และครั้งที่สอง - 0.4 หลังจากยิงไปแล้วพบรูหนึ่งรูในเป้าหมาย ค้นหาความน่าจะเป็นของผู้ยิงคนแรก?

สารละลาย. มาลองใช้สูตรเบยส์กัน ตามสูตรของ Bayes ตัวเศษประกอบด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการเกิดขึ้น และตัวส่วนประกอบด้วยความน่าจะเป็นทั้งหมดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ซึ่งจะกำหนดลักษณะของหลุมหนึ่งในเป้าหมาย เช่น สถานการณ์เมื่อนักล่าคนหนึ่งตีและคนที่สองพลาด มีนักล่าสองคน ดังนั้นมีเพียง 2 ตัวเลือกเท่านั้น: "โจมตีครั้งแรก พลาดครั้งที่สอง" และ "พลาดครั้งแรก โจมตีครั้งที่สอง" ทั้งสองเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ดังนั้นเรากำลังพูดถึงผลรวมของความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการคือ "พลาดครั้งแรก โจมตีครั้งที่สอง" ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "โจมตีครั้งแรก พลาดครั้งที่สอง" เท่ากับ และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สอง "พลาดครั้งแรก ตีสอง" เท่ากับ . ลองใช้สูตรที่แนะนำ:

ภารกิจที่ 7. ยิงปืนใส่เป็ด 3 นัดที่บินไม่สูงนัก ความน่าจะเป็นที่จะยิงนัดที่หนึ่ง สอง และสามคือ 0.1 ตามลำดับ 0.2 และ 0.4 กำหนดความน่าจะเป็นของเป็ดอย่างน้อยสองครั้ง

สารละลาย. เนื่องจากกระสุนถูกยิงตามลำดับ เราต้องพิจารณาความเป็นไปได้ที่จะพลาดในครั้งแรก ครั้งที่สอง หรือครั้งที่สาม ตามเงื่อนไขของปัญหา ต้องมีอย่างน้อย 2 ครั้งบนเป็ด ซึ่งหมายถึง 2 ครั้งหรือ 3 เหตุการณ์ "2 ครั้ง" สามารถมีได้ 3 เหตุการณ์: "ตี ตี พลาด"; "ตี, พลาด, ตี"; "พลาดโดนตบ" เพราะ ไม่ทราบล่วงหน้าว่านัดไหนพลาด ดังนั้นเราจึงมี 4 เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ดังนั้นเรากำลังพูดถึงผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ นั่นคือ เกี่ยวกับสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "ตี ตี ตี" เท่ากับ ; ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "ตี ตี พลาด" คือ ; ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "โดน, พลาด, โดน" คือ ; ความน่าจะเป็นของการพลาด ตี ตี เหตุการณ์คือ ตอนนี้เราคำนวณความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ภารกิจที่ 8. ผู้ช่วยห้องปฏิบัติการทำการวิเคราะห์ทางเคมี ใช้รีเอเจนต์ในตู้เย็นสองตู้ ในตู้เย็นตู้แรก น้ำยาที่เก็บไว้ทั้งหมดจะหมดอายุเพียง 10% และในตู้เย็นที่สอง - 20% ค้นหาความน่าจะเป็นที่น้ำยาที่ผู้ช่วยห้องปฏิบัติการนำมาจากตู้เย็นจะมีความสดเพียงพอ

สารละลาย. ให้เราระบุเหตุการณ์เป็น A - ผู้ช่วยห้องปฏิบัติการนำน้ำยาที่สดใหม่เพียงพอออกจากตู้เย็นทุกเครื่อง ผู้ช่วยห้องปฏิบัติการใช้น้ำยาจากตู้เย็นใด ๆ ซึ่งมีสองอย่างตามเงื่อนไขของปัญหา เพราะ ปัญหาไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับตู้เย็น ดังนั้นตัวเลือกของตู้เย็นใด ๆ ก็เป็นสิ่งที่เท่าเทียมกันนั่นคือ เท่ากับ . ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการจึงประกอบด้วยการเกิดขึ้นพร้อมกันของสอง - "ทางเลือกของตู้เย็น, ทางเลือกของรีเอเจนต์" ความน่าจะเป็นของ "การนำรีเอเจนต์ใหม่จากตู้เย็นเครื่องแรก" เท่ากับ ; ความน่าจะเป็นของ "การนำรีเอเจนต์ใหม่จากตู้เย็นที่สอง" เท่ากับ . ผู้ช่วยห้องปฏิบัติการใช้สารทำปฏิกิริยาเพียงครั้งเดียว ดังนั้นทั้งสองเหตุการณ์ใน "นำสารทำปฏิกิริยาใหม่จากตู้เย็นใบแรก" และ "นำสารทำปฏิกิริยาสดจากตู้เย็นใบที่สอง" ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ดังนั้นเรากำลังพูดถึงผลรวมของความน่าจะเป็น . ลองใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ:

ภารกิจที่ 9. มี 5 กล่องพร้อมหินมาลาไคต์และหินอ่อนประดับ สองกล่องบรรจุหินอ่อน 2 ชิ้นและมาลาไคต์ 1 ชิ้น กล่องหนึ่งมีมาลาไคต์ 10 ชิ้น ส่วนอีกกล่องมีหินอ่อน 3 ชิ้นและมาลาไคต์ 1 ชิ้น ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่สุ่มหยิบมาจากกล่องที่ช่างเลือกเลือกคือหินอ่อน

สารละลาย. นี่เป็นงานที่ต้องใช้สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด มาสเตอร์เลือกหินประดับจากกล่องใดก็ได้ "สุ่มเลือก" มีทั้งหมด 5 กล่อง สันนิษฐานว่าเหมือนกัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะเลือกกล่องใดกล่องหนึ่งคือ ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการจึงประกอบด้วยการเกิดขึ้นพร้อมกันของสอง - "การเลือกกล่องและการเลือกหินอ่อน" ความน่าจะเป็นที่จะได้หินอ่อนจากกล่องแรกคือ ; ความน่าจะเป็นในการหยิบหินอ่อนจากกล่องที่สองคือ ; ความน่าจะเป็นที่จะหยิบหินอ่อนจากกล่องที่สามคือ 0 เพราะ มีเพียงมาลาไคต์เท่านั้น ความน่าจะเป็นที่จะหยิบหินอ่อนจากกล่องที่สี่คือ ;