История и определение целой и дробной части числа

В эпоху Средневековья жил один из величайших английских учёных монах - францисканец Уильям Оккам. Он родился в Оккаме, английском графстве Серрей, где - то между 1285 и 1300 годами, учился и преподавал в Оксфорде, а затем в Париже. Преследуемый из-за своего учения, Оккам нашел себе убежище при дворе Людовика IV Баварского в Мюнхене и, благоразумно не покидая его, прожил там вплоть до своей кончины в 1349 г.

Оккама считают одним из предшественников великих мыслителей Рене Декарта и Иммануила Канта. Согласно его философским воззрениям, реальность есть бытие конкретной вещи, поэтому «тщетно делать с большим то, что можно делать с меньшим». Это высказывание стало основой принципа экономии мышления. Уильям Оккам применял его с такой разящей силой, что он получил впоследствии столь популярное сейчас название «бритвы Оккама».

Для многих людей, не сведущих в математике, общим местом стали вопросы типа «Что же ещё можно открыть в математике?». Учитывая математическую подготовленность спрашивающих, можно предположить, что речь идёт только о математике школьного уровня. Вполне в духе Оккама мы предлагаем вопрошающим, и в первую очередь самим учащимся, некоторые задачи, варьирующие хорошо знакомые им понятия целой и дробной частей числа. На этих задачах мы покажем, как важно рассматривать не каждую задачу в отдельности, а соединять их в систему, разрабатывая общий алгоритм решения. Такой методический приём диктует нам принцип экономии мышления Оккама.

Определение: целой частью числа х называется наибольшее целое число с, не превышающее х, т.е. если [х] = с, c ≤ x < c + 1.

Например: = 2;

[-1,5] = -2.

Обозначается целая часть действительного числа x символом [x] или E(x).

Символ [x] был введён немецким математиком К. Гауссом (1771-1855) в 1808 г. для обозначения целой части числа x .

Функцию у = [х] называют функцией «Антье» (фр. e ntier - целый) и обозначается E(x). Этот знак предложил в 1798 году французский математик А.Лежандр (1752-1833) . По некоторым значениям функции можно построить её график. Он выглядит следующим образом:

Простейшие свойства функции y = [x]:

1. Область определения функции y = [x] есть множество всех действительных чисел R.

2. Область значений функции y = [x] есть множество всех целых чисел Z .

3. Функция y = [x] кусочно-постоянная.

4. Функция y = [x] неубывающая, т. е. для любых х 1 и х 2 из R таких,

что х 1 ≤ х 2 ,имеет место неравенство [ х 1 ] ≤ [ х 2 ].

5. Для любого целого числа n и любого действительного числа x выполняется равенство: = [x] + n.

6. Если х ─ нецелое действительное число, то справедливо следующее равенство [-x] = -[x] - 1.

7. Для любого действительного числа х верно соотношение

[x] ≤ x< [x] + 1,причём равенство [x] = x достигается тогда и только тогда, когда х ─ целое число, т. е. х Z.

Возникает вопрос: «Если есть функция целой части числа, может, есть и функция дробной части числа?»

Определение: дробная часть числа (обозначается {х}) есть разность х - [х].

Например: {3,7} = 0,7

{-2,4} = 0,6.

Построим график функции у = {х}. Он выглядит следующим образом:

Простейшие свойства функции y = {x}:

1. Область определения функции y = {x} есть множество всех действительных чисел R.

2. Область значений функции y = {x} есть полуинтервал и у = {х} поможет выполнить и некоторые задания.

ЗАДАНИЯ:

1) Построить графики функций:

а) y = [ х ] + 5;

б) у = {х} - 2;

в) у = |[ x ]|.

2) Какими могут быть числа х и у, если:

а) [х + у] = у;

б) [х - у] = х;

в) {х - у} = х;

г) {х + у} = у.

3) Что можно сказать о величине разности х - у, если:

а) [х] = [у];

б) {х} = {у}.

4) Что больше: [а] или {а}?

2.1. Простейшие уравнения

К простейшим уравнениям относятся уравнения вида [х] = а.

Уравнения такого вида решаются по определению:

а ≤ х < а +1 , где а - целое число.

Если а - дробное число, то такое уравнение не будет иметь корней.

Рассмотрим пример решения одного из таких уравнений:

[х + 1,3] = - 5. По определению такое уравнение преобразуется в неравенство:

5 ≤ х + 1,3 < - 4. Решим его. Получим -6,3 ≤ х < - 5,3.

Это и будет являться решением уравнения.

Ответ: х[-6,3;-5,3).

Рассмотрим ещё одно уравнение, относящееся к разряду простейших:

[х+1] + [х-2]-[х+3] = 2

Для решения уравнений такого вида необходимо использовать свойство функции целого числа: Если р - целое число, то справедливо равенство

[х ± р] = [х] ± р

Доказательство: х = [х] + {х}

[ [х] + {х} ± р] = [ [х] + {х}] ± р

х = k + а, где k = [х], а = {х}

[ k + a ± p ] = [ k + a ] ± p = [х] ± p .

Решим предложенное уравнение, используя доказанное свойство: Получим [х] + 1 + [х] - 2 - [х] - 3 = 2. Приведём подобные слагаемые и получим простейшее уравнение [х] = 6. Его решением является полуинтервал х = 1

Преобразуем уравнение в неравенство: 1 ≤ х 2 -5х+6 < 2. Двойное неравенство запишем в форме системы неравенств:

х 2 - 5х + 6 < 2,

х 2 - 5х + 6 ≥ 1 и решим её;

х 2 - 5х + 4<0,

х 2 - 5х + 5>0

Получаем х(1;4)

х(-∞;(5 -
)/2]
[(5 +)/2; +∞),

х(1; (5 - )/2]
[(5 +)/2;4).

Ответ: х(1; (5 - )/2]
[(5 +)/2;4).

РЕШИТЕ ПРЕДЛОЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНО:

1) = 1

2) = 0,487

3) [ x + 4] – [ x + 1] = 2

4) [х 2 ] = 4

5) [ x ] 2 = 4

6) [ x + 1,3] = - 5

7) [х 2 – x + 4] = 2

8) = - 1

9) = 4,2

10) {x} – [x] + x = 0

11) x + {x} + [x] = 0

12) [ 4x – 5] = 7

2.2 Решение уравнений вида [ f ( x )]= g ( x )

Уравнение вида [ f (x )]= g (x ) можно решить путем сведения их к уравнению

[ x ] = a .

Рассмотрим пример 1 .

Решить уравнение

Заменим правую часть уравнения на новою переменную a и выразим отсюда x

11 a = 16 x + 16, 16 x = 11 a – 16,

Тогда
=
=

Теперь решим уравнение
относительно переменной а .

Раскроем знак целой части по определению и запишем с помощью системы неравенств:

Из промежутка
выберем все целые значения a : 3;4;5;6;7 и проведем обратную замену:

Ответ:

Пример 2.

Решить уравнение:

Разделим каждое слагаемое числителя в скобке на знаменатель:

И

з определения целой части числа следует, что (а+1) должно быть целым, значит и а – целое. Числа а, (а+1), (а+2) - три последовательных числа, значит одно из них обязательно делится на 2, а одно - на 3. Следовательно, произведение чисел делится нацело на 6.

То есть целое число. Значит

Решим это уравнение.

а(а+1)(а+2) - 6(а+1) = 0

(а+1)(а(а+2) - 6) = 0

а + 1 = 0 или а 2 + 2а – 6 = 0

а = -1 D = 28

a = -1 ±
(не являются целыми).

Ответ: -1.

Решите уравнение:

2.3. Графический способ решения уравнений

Пример 1. [х] = 2{х}

Решение. Решим это уравнение графически. Построим графики функций у = [х] и у = 2{х}. Найдём абсциссы точек их пересечения.

Ответ: х = 0; х = 1,5.

В некоторых случаях удобнее по графику найти ординаты точек пересечения графиков. Затем подставить полученное значение в одно из уравнений и найти искомые значения х.

Решите уравнения графически:

{х} = 1 – х; 6) [|х|] = х;

{х} + 1 = [х]; 7) [|х|] = х + 4;

3х; 8) [|х|] = 3|х| - 1;

3{х} = х; 9) 2{х} – 1 = [х] + 2;

5) {х} = 5х + 2; 10) Сколько решений имеет

уравнение 2{х} = 1 - .

2.4. Решение уравнений введением новой переменной.

Рассмотрим первый пример:

{х} 2 -8{х}+7 = 0

Заменим {х} на а, 0 а < 1, получим простое квадратное уравнение

а 2 - 8а + 7 = 0, которое решим по теореме, обратной теореме Виета: Полученные корни а = 7 и а = 1 . Проведем обратную замену и получим два новых уравнения: {х} = 7 и {х} = 1. Оба эти уравнения не имеют корней. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим ещё один случай решения уравнения введением новой

переменной:

3[х] 3 + 2[х] 2 + 5[х]-10 = 0

Проведём замену [х] = а, а z . и получим новое кубическое уравнение За 3 +2а 2 +5а-10=0. Первый корень этого уравнения найдём путём подбора: а=1 - корень уравнения. Делим наше уравнение на (а-1). Получаем квадратное уравнение 3а 2 + 5а +10=0. Это уравнение имеет отрицательный дискриминант, а значит, не имеет решений. То есть, а=1 - единственный корень уравнения. Проводим обратную замену: [х]=а=1. Полученное уравнение решаем по определению целой части числа: х 2 + 8[х]-9 = 0

3(х-[х]) 2 + 2([х]-х)-16 = 0

[х] 4 -14[х] 2 +25 = 0

(2 {x}+1) 3 – (2{x}-1) 3 = 2

(х-[х]) 2 = 4

5[х] 2 -7[х]-6 = 0

6{х} 2 +{х}-1 =0

1/([х]-1) - 1/([х]+1) = 3-[х]

12{х} 3 -25{х} 2 +{х}+2 = 0

10) 10[х] 3 -11[х] 2 -31[х]-10 = 0

2.5. Системы уравнений.

Рассмотрим систему уравнений:

2[ x ] + 3[ y ] = 8,

3[ x ] – [ y ] = 1.

Ее можно решить либо методом сложения, либо подстановкой. Остановимся на первом способе.

2[ x ] + 3[ y ] = 8,

9[ x ] – 3[ y ] = 3.

После сложения двух уравнений получаем 11[ x ] = 11. Отсюда

[ x ] = 1. Подставим это значение в первое уравнение системы и получаем

[ y ] = 2.

[ x ] = 1 и [ y ] = 2 – решения системы. То есть x = 18-y

18-x-y

3) 3[x] – 2{y} = 6

[x] 2 – 4{y} = 4

4) 3{x} – 4{y} = -6

6{x} – {y} 2 = 3.

3.1. Построение графиков функции вида y = [ f ( x )]

Пусть имеется график функции у = f (х). Чтобы построить график функции у = [ f (x )], поступаем следующим образом:

Проводим прямые у = n , n n , у = n + 1.

n , у = n + 1 с графиком функции у = f (х). Эти точки принадлежат графику функции у = [ f ( x )], так как их ординаты целые числа (на рисунке это точки А, В, С, D ).

Построим график функции у = [х]. Для этого

Проводим прямые у = n , n = 0; -1; +1; -2; +2; … и рассматриваем одну из полос, образованных прямыми у = n , у = n + 1.

Отмечаем точки пересечения прямых у = n , у = n + 1 с графиком

функции у = [х]. Эти точки принадлежат графику функции у = [х],

так как их координаты целые числа.

Для получения остальных точек графика функции у = [х] в указанной полосе часть графика у = х, попавшую в полосу, проецируем параллельно оси О у на прямую у = n , у = n + 1. Поскольку любая точка М этой части графика функции y = x , имеет такую ординату y 0 , что n < y 0 < n + 1, то [ y 0 ] = n

В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = х, построение проводится аналогично.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Постройте графики функций:

3.2. Построение графиков функции вида y = f ([ x ])

Пусть дан график некоторой функции у = f (х). Построение графика функции у = f ([х]) осуществляется следующим образом:

Для получения остальных точек графика функции у = f ([х]) в указанной полосе часть графика функции у = f (х), попавшую в эту полосу, проектируем параллельно оси О у на прямую у = f ( n ).

В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = f (х), построение ведётся аналогично.

Рассмотрим построение графика функции у = . Для этого пунктиром построим график функции у = . Далее

числа.

3. В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = , построение ведётся аналогично.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Постройте графики функций:

Назовём основными неравенствами с [х] и {х} следующие соотношения: [х] >b и {х} > b . Удобным методом их решения является графический метод. Поясним его на двух примерах.

Пример 1. [х] ≥ b

Решение. Введём в рассмотрение две функции у = [х] и у = b и начертим их графики на одном и том же чертеже. Ясно, что тогда следует различать два случая: b – целое и b – нецелое.

Случай 1. b – целое

y=b (bZ)

y=b (bZ)

Из рисунка видно, что графики совпадают на [ b ; b + 1].

Следовательно, решением неравенства [х] ≥ b будет луч х ≥ b .

Случай 2. b – нецелое.

В этом случае графики функций у = [х] и у = b не пересекаются. Но часть графика у = [х], лежащая выше прямой, начинается в точке с координатами ([ b ] + 1; [ b ] + 1). Таким образом, решением неравенства [х] ≥ b будет луч х ≥ [ b ] + 1.

Остальные виды основных неравенств исследуются точно так же. Результаты этих исследований сведены ниже в таблицу.

Множество значений

[х] ≥ b, bZ

x ≥ b

[х] ≥ b ,

[х] > b , b - любое

x ≥ [b] + 1

[х] ≤ b , b - любое [х] < b , b - любое любое

х < [ b ] + 1

[х] < b, b Z

х < b

{ х} ≥ b , {х} > b , b ≥ 1

Решений нет

{х} ≥ b , {х} > b , b < 0

(-∞; +∞)

{х} ≥ b , {х} > b , 0 ≤ b < 1

n + b ≤ x < 1 + n

n + b < x < 1 + n, n Z

{ х} ≤ b , {х}< b , b ≥ 1

(-∞; +∞)

{х} ≤ b , {х}< b , b < 0

Решений нет

{х} ≤ b , {х}< b , 0 ≤ b <1

n ≤ x ≤ b + n

n < x ≤ b + n , n Z

Рассмотрим пример решения неравенства:

Заменим [ x ] на переменную а, где а – целое.

>1 ;
>0;
>0;
>0.

Используя метод интервалов, находим a > -4 [ x ] > -4

a < 1/3 [x] < 1/3.

Для решения полученных неравенств воспользуемся составленной таблицей:

х ≥ -3 ,

х < 1. x [-3;1)

Ответ: [-3;1) .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1) [х] < 2

2) [х] ≤ 2

3) [х] > 2,3

4) [х] 2

5) [х] 2 -5[х]-6 < 0

6) [х] 2 - 7[х] + 6 0

7) 30[х] 2 -121[х] + 80 < 0

8) [х] 2 + 3[х]-4 0

9) 3{х} 2 -8{х}-4< 0

10) 110[х] 2 -167[х] + 163 0

11)
> 2

12)
> 1

13)
0

14)
0

Пример 1.

Доказать, что число
делится на 5 при любом натуральном n .

Доказательство: Пусть n – четное число, т.е. n =2 m , где m N , Пример 2. , то (года).

Воронова А.Н. Неравенства с переменной под знаком целой части// Математика в школе. 2002. №2. С.56-59.

Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 7-11 кл. Челябинск: «Взгляд», 2004.

Дополнительные главы по курсу математики 10 класса для факультативных занятий: Пособие для учащихся/ Сост. З.А. Скопец. М.: Просвещение, 1979.

Еровенко В.А., О.В.Михаськова О.В. Методологический принцип Оккама на примере функций целой и дробной частей числа// Математика в школе. 2003. №3 . С.58-66.

7. Кирзимов В. Решение уравнений и неравенств, содержащих целую и

дробную часть числа// Математика. 2002 .№30. С. 26-28.

8. Шрайнер А.А. «Задачи районных математических олимпиад

Новосибирской области». Новосибирск 2000.

9. Справочник «Математика», Москва «АСТ-ПРЕСС» 1997.

10. Райхмист Р.Б. «Графики функций. Задачи и упражнения». Москва.

«Школа – пресс» 1997.

11. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. и др. «Алгебра и начала анализа. 10

класс. Часть 2. Задачник. Профильный уровень» Смоленск

«Мнемозина» 2007.

Цели урока: познакомить учащихся с понятием целой и дробной части числа; сформулировать и доказать некоторые свойства целой части числа; познакомить учащихся с широким спектром применения целой и дробной части числа; совершенствовать умение решать уравнения и системы уравнений, содержащих целую и дробную части числа.

Оборудование: плакат “Кто смолоду делает и думает сам, тот и становится потом надёжнее, крепче, умнее” (В. Шукшин).
Проектор, магнитная доска, справочник по алгебре.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
4. Решение задач по теме.
5. Итоги урока.
6. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент: сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

II. Проверка домашнего задания.

Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию. Решить задачи, вызвавшие затруднения при выполнении домашней работы.

III. Изучение нового материала.

Во многих задачах алгебры приходится рассматривать наибольшее целое число, не превосходящее данного числа. Такое целое число получило специальное название “целая часть числа”.

1. Определение.

Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозначается символом [x] или Е(х) (от французского Entier “антье” ─ “целый”). Например, = 5, [π ] = 3,

Из определения следует, что [x] ≤ х, так как целая часть не превосходит х.

С другой стороны, т.к. [x] – наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, то [x] +1>х. Таким образом, [x] есть целое число, определяющееся неравенствами [x] ≤ х< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.

Число α = υ ─ [x] называют дробной частью числа х и обозначают {х}. Тогда имеем: 0 ≤ {х}<1 и следовательно, х = [x] + {х}.

2. Некоторые свойства антье.

1. Если Z – целое число, то = [x] + Z.

2. Для любых действительных чисел х и у: ≥ [x] + [у].

Доказательство: так как х = [x] + {х}, 0 ≤ {х}<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.

Если 0 ≤ α <1. ς о = [x] + [у].

Если 1≤ α <2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и

= [x] + [у]+1>[x] + [у].

Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых:

≥ + + + … + .

Умение находить целую часть величины очень важно в приближенных вычислениях. В самом деле, если мы умеем находить целую часть величины х, то, приняв [x] или [x]+1 за приближенное значение величины х, мы сделаем погрешность, величина которой не больше единицы, так как

≤ х – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.

Более того, значение целой части величины позволяет найти ее значение с точностью до 0,5. За такое значение можно взять [x] + 0,5.

Умение находить целую часть числа позволяет определить это число с любой степенью точности. Действительно, так как

≤ Nx ≤ +1, то

При большем N ошибка будет мала.

IV. Решение задач.

(Они получаются при извлечении корней с точностью до 0,1 с недостатком и избытком). Сложив эти неравенства, получим

1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.

Т.е. 3,1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.

Заметим, что число 3,25 отличается от х не более чем на 0,15.

Задача 2. Найти наименьшее натуральное число m, для которого

Проверка показывает, что при k = 1 и при k = 2 полученное неравенство, не выполняется ни для какого натурального m, а при к = 3 имеет решение m = 1.

Значит, искомое число равно 11.

Ответ: 11.

Антье в уравнениях.

Решение уравнений с переменной под знаком “целой части” обычно сводится к решению неравенств или систем неравенств.

Задача 3. Решить уравнение:

Задача 4. Решить уравнение

По определению целой части полученное уравнение равносильно двойному неравенству

Задача 5. Решить уравнение

Решение: если два числа имеют одинаковую целую часть, то их разность по абсолютной величине меньше 1, и поэтому из данного уравнения следует неравенство

И поэтому, во-первых, x ≥ 0 , а во-вторых, в сумме, стоящей в середине полученного двойного неравенства, все слагаемые, начиная с третьего, равны 0, так что x < 7 .

Поскольку х – целое число, то остается проверить значения от 0 до 6. Решениями уравнения оказываются числа 0,4 и 5.

в) выставление отметок.

VI. Домашнее задание.

Дополнительная задача (по желанию).

Некто измерил длину и ширину прямоугольника. Он умножил целую часть длины на целую часть ширины и получил 48; умножил целую часть длины на дробную часть ширины и получил 3,2; умножил дробную часть длины на целую часть ширины и получил 1,5. Определите площадь прямоугольника.

дни (месяцы, годы) часы (минуты, секунды)

Вид разделителя между элементами дат определяется национальными настройками операционной системы Windows. В русской версии для элементов даты это, обычно, точка (если использовать при вводе значки “–“ или “/”, они после нажатия клавиши Enter также будут преобразованы в точки); для элементов времени – это двоеточие. Дни отделяются от часов пробелом.

Основная единица времени в Excel – один день. Каждый день имеет порядковый номер, начиная с 1, который соответствует 1 января 1900г (начало отсчета дат в Excel). Например, 1 января 2001г. хранится в виде числа 36892, поскольку именно столько дней прошло с 1 января 1900г. Описанный способ хранения дат позволяет их обрабатывать точно так же, как и обычные числа, например, находить дату, отстоящую от любой другой даты на желаемое число дней в будущем или прошлом, находить промежуток времени между двумя датами, т.е. реализовать арифметику дат.

Форматы даты позволяют отображать их, например, в одном из привычных видов: 1.01.98; 1.янв.98; 1.янв; январь 98 года и будут описаны позже. Нужно сказать, что если вводить данные сразу в виде даты, то соответствующий формат будет присвоен автоматически. Так, введенное в клетку значение5.10.01 будет правильно воспринято системой как 5 октября 2001г. При вводе дат допускается указание только двух последних цифр года. В этом случае они интерпретируются следующим образом в зависимости от диапазона, в котором они лежат:

00¸29 – с 2000г по 2029г.; 30¸99 – с 1930г по 1999г.

Допускается не указывать при дате ее год. В этом случае он считается текущим годом (системным годом компьютера). Так, ввод вида5.10 установит в клетке 5 октября текущего, например 2004, года.

Время – это дробная часть при дне-числе. Поскольку в сутках 24 часа, один час соответствует 1/24, 12 часов – значению 0,5 и т.п. Аналогично вводу даты, ввод времени возможен сразу в формате времени. Например, ввод вида 10:15:28 будет соответствовать 10 часам 15 минутам 28 секундам 0 января 1900 года, что в числовом формате равно 0,420138888888889. Арифметика дат, естественно, поддерживается и на уровне времени.

При указании времени можно игнорировать секунды и минуты. В последнем случае после часов следует обязательно ввести двоеточие. Например, если мы введем символы 6: , в клетке обнаружим 6:00 (т.е. 6 часов 0 минут). Возможно совмещение даты и времени, отделяемое пробелом. Так, ввод 7.2.99 6:12:40 соответствует 7 февраля 1999г 6 часам 12 минутам 40 секундам.

Существует быстрый способ ввода текущих в данный момент даты и времени, хранящихся в компьютере, – это клавишные комбинации Ctrl+; и Ctrl+Shift+: соответственно.

ЛОГИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ имеют одно из двух значений – ИСТИНА или ЛОЖЬ . Они используются как индикаторы наличия/от­сутствия какого-либо признака или события, а также могут являться аргументами некоторых функций. Во многих случаях вместо этих значений можно использовать цифры 1 или 0 соответственно.

МАССИВЫ не являются собственно типом данных, а только образуют организованное множество клеток или констант любого типа. Excel рассматривает массив (возможно содержащий множество клеток) как единый элемент, к которому в целом могут быть применены математические операции и операции отношений. Массив может содержать не только множество клеток, но множество констант, например, выражение {7;-4;9} описывает массив констант из трех числовых элементов. Позже мы еще вернемся к вопросу обработки массивов.

Создание формул

Сила электронных таблиц заключается в возможности помещать в них не только данные, но и формулы.

Все формулы должны начинаться со знака “=“ и могут включать константы, знаки операций, функции, адреса клеток (например =5+4/35, =12%*D4, =12*А4-SIN(D3)^2).

В Excel допустимы следующие операторы:

Арифметические операторы (перечислены в порядке приоритетов):

– инвертирование (умножение на минус 1),^ возведение в степень,

% операция процента, *, / умножение, деление, +, – сложение, вычитание.

Операции выполняются слева-направо в порядке их приоритетов, которые могут быть изменены круглыми скобками. Примеры формул:

формулы в обычной записи: клеточные формулы:

=7+5^3/(6*8)

=A5/(C7-4)+(4+F4)/(8-D5)*2,4

2 + SinD32 =2+(SIN(D3))^2.

Замечания к знаку % .

Если вы введете в ячейку число со знаком %, фактическое его значение будет в 100 раз меньше. Например, если введено 5%, запомнится число 0,05. Таким образом, вводится процент, а хранится коэффициент. Такое действие эквивалентно установлению процентного формата клетки для числа 0,05.

Ввод процентов в формулу (т.е. в выражение, начинающееся со знака равно) может иметь смысл для придания наглядности. Положим, вам нужно получить 5% от числа 200. Можно записать так =0,05*200, а можно =5%*200 или =200*5%. В обоих случаях результат будет одинаковым – 10. Знак процента может применяться и к ячейкам, например =E4%. Результатом будет одна сотая часть содержимого Е4.

Текстовый оператор – &. Оператор используется для сцепления двух строк в одну. Так, например, результатом применения оператора сцепления в формуле =“Петр”&” Кузнецов” будет фраза “Петр Кузнецов”.

Операторы отношения :=, <, >, <=, >=, < >. Операторы могут использоваться как с числовыми, так и текстовыми данными. Смысл их очевиден, кроме, может быть, знаков < > . Они означают отношение неравенства.

С помощью знаков отношения можно строить формулы вида ="F">"D" и =3>8.

Их результатом в первом случае явится слово ИСТИНА, поскольку буква F по алфавиту идет после буквы D (код буквы F больше кода буквы D). Во втором случае, по очевидным причинам, – слово ЛОЖЬ.

Применение таких формул на практике кажется малополезным, однако это не так. Пусть, например, нужно выяснить факт того, что все числа, содержащиеся в таблице в клетках A1, A2, A3 и A4, больше нуля. Это можно сделать с помощью простого выражения вида (скобки обязательны) =(A1>0)*(A2>0)*(A3>0)*(A4>0).

Если это действительно так, результатом вычислений явится

ИСТИНА*ИСТИНА*ИСТИНА*ИСТИНА=1*1*1*1=1.

Поскольку в арифметических операциях логическое значение ИСТИНА интерпретируется как 1, а ЛОЖЬ – как 0, здесь мы получим число 1. В противном случае – 0. В дальнейшем (внутри функции ЕСЛИ()), это обстоятельство может быть правильно обработано.

Другой пример. Выяснить факт того, что только одно из A1, A2, A3, A4 больше нуля. Здесь пригодится выражение =(A1>0)+(A2>0)+(A3>0)+(A4>0).

Если, например, только А2 больше нуля то =ЛОЖЬ+ИСТИНА+ЛОЖЬ+ЛОЖЬ=0+1+0+0=1.

Если все числа отрицательны, результатом будет 0. Если положительных чисел больше одного, то результат будет больше 1 (от 2 до 4).

Замечание. В Excel возможно сравнение между собой букв и чисел и принято, что буква всегда “больше” числа. Так, например, значение клетки, содержащей пробел, будет больше любого числа. Если не обращать на это внимание, может возникнуть труднораспознаваемая ошибка, поскольку клетка, содержащая пробел, выглядит так же, как и пустая клетка, значение которой считается нулевым. Кроме операторов, в Excel имеется множество функций, которые являются важнейшим вычислительным инструментом электронных таблиц. Они будут рассмотрены в главе 4.

Ссылки на ячейки могут вводиться непосредственно с клавиатуры, но могут более надежно и более быстро указываться мышью, которая используется как указка. Здесь гарантируется правильный ввод, поскольку пользователь непосредственно видит (выделяемые объекты обрамляются бегущей пунктирной линией) и выбирает именно те данные, которые он хочет включить в выражение.

Положим нам нужно ввести в ячейку А1 формулу вида =А2+D4·С1. Здесь (рис. 2.4-1) следует выполнить следующую цепочку действий:

Аналогичным образом можно включать в формулы ссылки и на блоки. Положим, в А1 нужно ввести следующую (рис. 2.4-2) функцию суммирования: =СУММ(А2:D8;E3). Название функции вводится русскими буквами, а адреса клеток, естественно, латинскими.

В панели инструментов Excel имеются специальные средства, облегчающие ввод формул. Они доступны через пиктограммы Мастер функций и Автосуммирование (для суммирования).

В виду большой важности, рассмотрим сейчас последнюю. Автосуммирование доступно через кнопку å на панели инструментов. С ее помощью можно очень просто реализовать функцию суммирования, практически не прикасаясь к клавиатуре. Пусть (строка 2 на рис. 2.4-3) нам нужно вычислить в клетке G2 сумму смежных ячеек области В2:F2. Для этого следует встать на ячейку G2 и щелкнуть по кнопке автосуммирования. Excel сам введет в G2 название функции и ее аргументы, а также выделит бегущей пунктирной линией предполагаемую область суммирования, так что вам останется только нажать кнопку Enter. Excel включает (обводит бегущим пунктиром) в область суммирования непрерывный участок таблицы до первого нечислового значения вверх или влево.

Пусть, в G4 нужно просуммировать данные из диапазона клеток B4:F4, среди которых есть (пока) и пустые. Щелчок на кнопке å в клетке G4 создаст функцию суммирования только для клеток Е4:F4. Однако легко исправить положение тут же выделив мышью нужную область суммирования B4:F4 и нажав Enter. Если к клетке, где вычисляется сумма, сверху/слева не примыкает никакая клетка-кандидат на суммирование (строка 6 на рисунке), кнопка автосуммирования введет только имя функции. Здесь следует поступить как и ранее – самим указать мышью объект суммирования (здесь В6:F6).

Обработка массивов. Формулы, использующие представление данных как массивов, обычно вводятся в некоторый блок сразу во все его клетки. Например, пусть в столбце С (рис. 2.4-4) требуется получить произведение элементов столбцов А и В. Типичный способ – это ввод в С1 формулы вида =А1*В1 с последующим копированием вниз. Однако можно поступить и по другому. Выделить область С1:С3 будущего произведения, ввести формулу =А1:А3*B1:B3 и нажать клавиши Ctrl+Shift+Enter . Вы обнаружите, что во всех клетках области С1:С3 получены соответствующие попарные произведения, а в строке формул увидите одинаковое для всех них выражение {=А1:А3*B1:B3}.

Целая и дробная части действительного числа.
Т.С. Кармакова, доцент кафедры алгебры ХГПУ
В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других вопросах математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа.
В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9 класса отведено всего 34 строки. Рассмотрим более подробно эту тему.
Определение 1
Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х.
Целая часть числа обозначается символом [х ] и читается так: “целая часть х” или: “целая часть от х ”. Иногда целая часть числа обозначается Е(х) и читается так: “антье х ” или “ антье от х ”. Второе название происходит от французского слова entiere - целый.
Пример.
Вычислить [x], если х принимает значения:
1,5; 3; -1.3; -4.
Решение
Из определения [x] следует:
= 1, т.к. 1 Z, 1 1,5
[ 3 ] = 3, т.к. 3 Z, 3 3
[-1,3]=-2, т.к. -2 Z, -2 -1,3
[-4] =-4, т.к. -4 Z, -4 -4.
Свойства целой части действительного числа.
1*. [ x ] = x , если х Z
2*. [ x ] x * [ x ] + 1
3*. [ x + m ] = [ x ] + m , где m Z
Рассмотрим примеры использования этого понятия в различных задачах.
Пример 1
Решить уравнения:
1.1[ x ] = 3
[ x + 1,3 ] = - 5
[ x + 1 ] + [ x - 2] - = 5
1.4 [ x ] - 7 [ x ] + 10 = 0
Решение
1.1 [ x ] = 3. По свойству 2* данное уравнение равносильно неравенству 3 х * 4
Ответ: [ 3 ; 4)
[ x + 1,3 ] = - 5. По свойству 2* :
- 5 х + 1,3 * - 4 - 6,3 х * - 5,3
Ответ: [ -6,3 ; -5,3)
[ x + 1 ] + [ x - 2 ] - [ x + 3 ] = 5. По свойству 3*:
[ x ] + 1 + [ x ] - 2 - [ x ] - 3 = 5
[ x ] = 9 9 x * 10 (по 2*)
Ответ: [ 9 ; 10)
1.4 [ x ] - 7 [ x ] + 10 = 0 Пусть [ x ] = t , тогда t - 7 t + 10 = 0 , т.е.

Ответ: [ 2 ; 3) [ 5 ; 6)
Пример 2.
Решить неравенства:
2.1 [ x ] 2
[ x ] > 2
[ x ] 2
[ x ] [ x ] - 8 [ x ] + 15 0

Решение
2.1 Согласно определению [ x ] и 1*, этому неравенству удовлетворяют х
Ответ: [ 2 ;).
2.2 Решение этого неравенства: х.
Ответ: [ 3 ;).
2.3 x 2.4 x 2.5 Пусть [ x ] = t , тогда данное неравенство равносильно системе
3
Ответ: [ 3; 6).
2.6 Пусть [ x ] = t , тогда получим.
Ответ: (- .
Пример 4.
Постройте график функции y = [ x ]
Решение
1). ООФ: х R
2). МЗФ: y Z

3). Т.к. при х * [ m ; m + 1), где m * Z , [ x ] = m, то и y = m, т.е. график представляет совокупность бесконечного множества горизонтальных отрезков, из которых исключены их правые концы. Например, х * [ -1 ; 0) * [ x ] = -1 * y = - 1 ; x * [ 0; 1) * [ x ] = 0 * y = 0.
Примечание.
1. Имеем пример функции, которая задается разными аналитическими выражениями на разных участках.
2. Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.
Определение 2.
Дробной частью действительного числа х называется разность х - [ x ]. Дробная часть числа х обозначается символом { x }.
Пример.
Вычислить { x }, если х принимает значение: 2,37 ; -4 ; 3,14 . . .; 5 .
Решение
{ 2,37 } = 0,37 , т.к. { 2,37 } = 2,37- [ 2,37 ] = 2,37 - 2 = 0,37.
, т.к.
{ 3,14…} = 0,14… , т.к. { 3,14…} = 3,14…-[ 3,14…] = 3,14…-3= 0,14…
{ 5 } = 0 , т.к. { 5 } = 5 - [ 5 ] = 5 - 5 = 0.
Свойства дробной части действительного числа.
1*. { x } = x - [ x ]

2*. 0 { x } 3*. { x + m } = { x }, где m * Z
4*. { x } = x , если х * [ 0 ; 1)
5* Если { x } = а, a * [ 0 ; 1), то х =а +m, где m * Z
6*. { x } = 0 , если х * Z.
Рассмотрим примеры применения понятия { x } в различных упражнениях.

Пример 1.
Решить уравнения:
1.1 { x } = 0,1
1.2 { x } = -0,7
{ x } = 2,5
{ x + 3 } = 3,2
{ x } - { x } +
Решение
По 5* решением будет множество
х = 0,1 + m , m * Z
1.2 По 2* уравнение не имеет корней, х * *
1.3 По 2* уравнение не имеет корней, х * *
По 3* уравнение равносильно уравнению
{ x }+ 3 = 3,2 * { x } = 0,2 * x = 0,2 + m , m * Z
1.5 Уравнение равносильно совокупности двух уравнений
Ответ: х =
х =
Пример 2.
Решить неравенства:
2.1 { x } 0,4
2.2 { x } 0
{ x + 4 }
{ x } -0,7 { x } + 0,2 > 0
Решение
2.1 По 5* : 0,4 + m x 2.2 По 1* : х * R
По 3* : {x } + 4 По 5* : m 2.4 Так как { x } 0, то { x } - 1 > 0, следовательно, получим 2 { x } + 1 2.5 Решим соответствующее квадратное уравнение:
{ x } - 0,7 { x } + 0,2 = 0 * Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
Ответ: (0,5 + m ; 1 + m) (k ; 0,2 + k),
m * Z , k * Z
Пример 3.
Построить график функции y = { x }
Построение.
1). ООФ: x * R
2). МЗФ: y * [ 0 ; 1)
3). Функция y = { x } периодическая и ее период
T = m , m * Z, т.к. если х * R, то (x+m) * R
и (x-m) * R, где m * Z и по 3* { x + m } =
{ x - m } = { x }.
Наименьший положительный период равен 1, т.к. если m > 0, то m = 1, 2, 3, . . . и наименьшее положительное значение m = 1.
4). Так как y = { x } - периодическая функция с периодом 1, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке, длиной 1, например, на промежутке [ 0 ; 1), тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного на m, m * Z, график будет таким же.
а). Пусть х * [ 0 ; 1), тогда { x } = x и y = x . Получим, что на промежутке [ 0 ; 1) график данной функции представляет отрезок биссектрисы первого координатного угла, из которого исключен правый конец.

Б). Воспользовавшись периодичностью, получаем бесконечное множество отрезков, образующих с осью Ох угол в 45* , из которых исключен правый конец.
Примечание.
Кружочками отмечены точки, не принадлежащие графику.
Пример 4.
Решить уравнение 17 [ x ] = 95 {x }
Решение
Т.к. { x } * [ 0 ; 1), то 95 { x }* [ 0 ; 95), а, следовательно, и 17 [ x ]* [ 0 ; 95). Из соотношения
17 [ x ]* [ 0 ; 95) следует [ x ]* , т.е. [ x ] может равняться 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , и 5.
Из данного уравнения следует, что { x } = , т.е. с учетом полученного множества значений для
[ x ] делаем вывод: { x }, соответственно, может равняться 0 ;
Т. к. требуется найти х, а х = [ x ] + { x }, то получаем, что х может равняться
0 ;
Ответ:
Примечание.
Аналогичное уравнение предлагалось в 1 туре краевой математической олимпиады для десятиклассников в 1996 году.
Пример 5.
Построить график функции y = [ { x } ].
Решение
ООФ: х * R, т.к. { x }* [ 0 ; 1) , а целая часть чисел из промежутка [ 0 ; 1) равна нулю, то данная функция равносильна y = 0
y
0 x

Пример 6.
Постройте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению { x } =
Решение
Т. к. данное уравнение равносильно уравнению х = , m * Z по 5*, то на координатной плоскости следует построить множество вертикальных прямых х = + m, m * Z
y

0 x
Список литературы
Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изучением математики /Н. Я. Виленкин и др., по ред. Н. Я. Виленкина.- М. Просвещение, 1995 г.
В. Н. Березин, И. Л. Никольская, Л. Ю. Березина Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике - М. 1985
А. П. Карп Даю уроки математики - М., 1982 г.
Журнал “Квант”, 1976, № 5
Журнал “Математика в школе”: 1973 №1, №3; 1981 №1; 1982 №2; 1983 №1; 1984 №1; 1985 №3.