Рас-смот-рим чер-теж. Перед нами окруж-ность с цен-тром в точке О и от-ре-зок АВ, ко-то-рый со-еди-ня-ет две точки окруж-но-сти и про-хо-дит через ее центр. Мы пом-ним, что он на-зы-ва-ет-ся диа-метр. Длину окруж-но-сти при-ня-то обо-зна-чать бук-вой С, а длину диа-мет-ра бук-вой d.

Чтобы уяс-нить смысл по-ня-тия длина окруж-но-сти, вы-пол-ним мыс-лен-ный экс-пе-ри-мент. Пред-ставь-те себе окруж-ность, из-го-тов-лен-ную из тон-кой про-во-ло-ки. Если раз-ре-зать про-во-ло-ку и вы-пря-мить ее, то длина вы-прям-лен-но-го куска про-во-ло-ки и будет дли-ной окруж-но-сти.

2. Отношение длины окружности к ее диаметру. Формула длины окружности

От-но-ше-ние длины окруж-но-сти к ее диа-мет-ру - число по-сто-ян-ное. Этот факт был об-на-ру-жен экс-пе-ри-мен-таль-но. Еще егип-тяне за-ме-ти-ли, если де-лить длину окруж-но-сти на ее диа-метр, то все-гда по-лу-ча-ет-ся одно и то же число. В Древ-нем Егип-те ду-ма-ли, что это число - три, то есть длина окруж-но-сти в три раза боль-ше диа-мет-ра. Затем люди нашли более точ-ное зна-че-ние для этого от-но-ше-ния: или . В этом слу-чае длина окруж-но-сти в раза боль-ше диа-мет-ра. Позд-нее вы-яс-ни-лось, что - это до-ста-точ-но точ-ное, но все-та-ки при-бли-зи-тель-ное зна-че-ние. Более того, по-тре-бо-ва-лось вве-сти осо-бое число - число π. Итак, вер-ным яв-ля-ет-ся утвер-жде-ние: «длина окруж-но-сти в π раз боль-ше диа-мет-ра»

Мы знаем, что диа-метр в два раза боль-ше ра-ди-у-са, тогда у нас по-яв-ля-ет-ся фор-му-ла:

Если ра-ди-ус умно-жить на два и на π, то мы по-лу-чим длину окруж-но-сти.

3. Число π

В гру-бом при-бли-же-нии число π равно трем.

С точ-но-стью до сотых: π = 3,14.

С точ-но-стью до де-ся-ти-ты-сяч-ных: π = 3,1416

Можно за-пи-сать при-бли-жен-ное зна-че-ние числа π с точ-но-стью до мил-ли-он-ных, до мил-ли-ард-ных, но за-пи-сать, чему точно равно число π с по-мо-щью цифр нель-зя! Ока-за-лось, что это число нель-зя вы-ра-зить обык-но-вен-ной дро-бью. По-это-му в фор-му-лах ис-поль-зу-ют букву π, а для прак-ти-че-ских вы-чис-ле-ний при-бли-жен-ное зна-че-ние.

4. Задача на применение формулы длины окружности

Окруж-ность арены во всех цир-ках мира имеет длину 40,8 м. Най-ди-те диа-метр арены, если .

За-пи-шем фор-му-лу и под-ста-вим из-вест-ные зна-че-ния букв. Вме-сто π мы под-ста-ви-ли его при-бли-жен-ное зна-че-ние, по-это-му мы за-ме-ни-ли знак равно, ко-то-рый был в фор-му-ле, на знак при-бли-жен-но равно. Вы-пол-нив неслож-ные пре-об-ра-зо-ва-ния, по-лу-чим, что диа-метр при-бли-зи-тель-но равен 13,6м.

За-ме-тим, что три - это гру-бое при-бли-же-ние числа π. По-про-бу-ем в рас-смот-рен-ной за-да-че под-ста-вить более точ-ное зна-че-ние. Пусть .

Тогда, чтобы найти диа-метр, нужно раз-де-лить 40,8 на 3,14. Вы-пол-ним де-ле-ние. Можно, на-при-мер, вос-поль-зо-вать-ся каль-ку-ля-то-ром. По-лу-чим, что диа-метр со-став-ля-ет 12,99м.

Видно, что ошиб-ка со-ста-ви-ла 61 см. Это зна-чи-тель-ная ошиб-ка. Если вме-сто числа π под-ста-вить его зна-че-ние с точ-но-стью до де-ся-ти-ты-сяч-ных, то вновь по-лу-чен-ный ре-зуль-тат будет от-ли-чать-ся от преды-ду-ще-го на 7 мм. Раз-ни-ца в 7мм для дан-ной за-да-чи несу-ще-ствен-на.

Вывод: В рас-смот-рен-ной за-да-че оп-ти-маль-ным было зна-че-ние π с точ-но-стью до сотых. Такую точ-ность ис-поль-зу-ют при ре-ше-нии боль-шин-ства прак-ти-че-ских задач.

5. Формула площади круга

Для вы-во-да этой фор-му-лы наших ма-те-ма-ти-че-ских зна-ний пока недо-ста-точ-но. По-это-му мы огра-ни-чим-ся неко-то-ры-ми рас-суж-де-ни-я-ми на эту тему, а для ре-ше-ния задач будем ис-поль-зо-вать го-то-вую фор-му-лу. Как по-лу-ча-ют эту фор-му-лу, вы узна-е-те в стар-ших клас-сах. Рас-смот-рим чер-теж.

6. Задача на применение формулы площади круга

Диа-метр круга равен 14 см. най-ди-те его пло-щадь, если .

Сна-ча-ла най-дем ра-ди-ус круга. Для этого раз-де-лим диа-метр по-по-лам. По-лу-чим, что ра-ди-ус равен 7см. Под-ста-вим в фор-му-лу вме-сто букв их зна-че-ния. Со-кра-тим по-лу-чен-ную дробь на 7. Итак, пло-щадь круга при-мер-но равна 154 .

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/dlina-okruzhnosti-ploschad-kruga?seconds=0&chapter_id=341

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=S5oVau-eyrs

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=XtRa6BudCTo

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=r7Zsq89ClDI

источник теста - http://testedu.ru/test/matematika/6-klass/masshtab-dlina-okruzhnosti-i-ploshhad-kruga.html

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/dlina-okruzhnosti-i-ploshhad-kruga0.html

Круг – это видимая совокупность множества точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра. Чтобы найти его площадь, необходимо знать, что такое радиус, диаметр, число π и окружность.

Величины, участвующие в расчете площади круга

Расстояние, ограниченное центральной точкой круга и любой из точек окружности, называется радиусом этой геометрической фигуры. Длины всех радиусов одного круга одинаковы. Отрезок между 2 любыми точками окружности, который проходит через центральную точку, называется диаметром. Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2.

Для подсчета площади круга применяется значение числа π. Эта величина равна отношению длины окружности к длине диаметра круга и имеет неизменное значение. Π = 3,1415926. Длина окружности высчитывается по формуле L=2πR.

Найти площадь круга через радиус

Следовательно, площадь круга равна произведению числа π на радиус окружности, возведенный во 2 степень. В качестве примера примем длину радиуса окружности равной 5 см. Тогда площадь круга S будет равна 3,14*5^2=78,5 кв. см.

Площадь круга через диаметр

Площадь круга можно также подсчитать, зная величину диаметра круга. В таком случае S = (π/4)*d^2, где d – диаметр круга. Возьмем тот же пример, где радиус равен 5 см. Тогда его диаметр будет равен 5*2=10 см. Площадь круга S = 3,14/4*10^2=78,5 кв.см. Результат, равный итогу вычислений в первом примере, подтверждает правильность расчетов в обоих случаях.

Площадь круга через длину окружности

Если радиус круга представить через длину окружности, то формула будет иметь следующий вид: R=(L/2)π. Подставим это выражение в формулу площади круга и в результате получим S=(L^2)/4π. Рассмотрим пример, в котором длина окружности равна 10 см. Тогда площадь круга S = (10^2)/4*3,14=7,96 кв. см.

Площадь круга через длину стороны вписанного квадрата

Если в круг вписан квадрат, то длина диаметра круга равна длине диагонали квадрата. Зная величину стороны квадрата, можно легко узнать диаметр круга по формуле: d^2=2a^2. Другими словами диаметр во 2 степени равен стороне квадрата во 2 степени, умноженной на 2.

Вычислив значение длины диаметра круга, можно узнать и его радиус, после чего воспользоваться одной их формул определения площади круга.

Площадь сектора круга

Сектор – это часть круга, ограниченная 2 радиусами и дугой между ними. Чтобы узнать его площадь, нужно измерить угол сектора. После этого необходимо составить дробь, в числителе которой будет значение угла сектора, а в знаменателе – 360. Чтобы высчитать площадь сектора, значение, полученное в результате деления дроби, нужно умножить на площадь круга, вычисленную по одной из вышеперечисленных формул.