Площадь сектора круга и площадь сегмента учить не нужно! Дорогие друзья! Вы, наверное, не раз просматривали справочник с математическими формулами, и, наверняка, возникала мысль: «Да разве возможно их все выучить?». Скажу вам, что возможно, но зачем? Зачем забивать голову массой формул, постоянно повторять их, ужасаться тому, что какую-то забыл и снова повторять? Не надо!

На самом деле достаточно запомнить треть всех формул, базовых формул или ещё меньше. Далее вы поймёте о чём идёт речь. Все остальные формулы можно быстро вывести, зная основу, применяя логику, и запомнив принципы, которым нужно следовать.

Приведу пример, существует 32 формулы приведения, учить их – это бессмысленное занятие. Как быстро вспомнить любую из них — изложено в статье « » , посмотрите.

В этой статье мы рассмотрим, как быстро восстановить в памяти формулы площади сектора круга, площади его сегмента, длину дуги окружности. Именно эти формулы понадобятся для решения ряда по планиметрии, которые разберем в следующей статье. Итак, «базовые» формулы, их нужно выучить и знать!

Площади круга (формула):

Формула длины окружности:

Изобразим сектор, соответствующий определённому центральному углу n:

Рассуждаем логически: если площадь круга равна S= ПR 2 , то площадь соответствующая сектору в один градус будет равна 1/360 от площади круга (мы знаем, что вся окружность — это угол в 360 градусов), то есть

Далее понятно, что площадь сектора, соответствующая центральному углу в n градусов равна произведению одной тристашестидесятой площади круга и центрального угла n (соответствующего сектору), то есть

Вот вам и формула площади сектора.

Или можно выстроить рассуждение следующим образом:

Сектор в 1 градус — это 1/360 часть круга, соответственно сектор в n градусов — это n/360 часть круга. То есть площадь сектора будет равна произведению площади круга и этой части:

Всё просто. Необходимо из площади сектора вычесть площадь треугольника (он обозначен жёлтым цветом). Площадь треугольника, как мы знаем, равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними (эту формулу нужно знать, она не сложная). В данном случае это:

Значит,

Вот вам и площадь сегмента!

Площадь сегмента, где центральный угол больше 180 градусов находится просто:

Из площади круга вычитаем площадь полученного нами сегмента:

Угол 360 – n градусов это угол, который соответствует изображённому сектору (жёлтый цвет):

То есть, другими словами, к его площади мы прибавляем площадь треугольника и получаем площадь оговоренного сегмента.

Аналогичным образом определяем длину дуги окружности. Как уже сказано, длина окружности равна:

Значит, длина дуги окружности соответствующая одному градусу будет равна одной тристашестидесятой от 2πR, то есть

Получили длину дуги окружности. Конечно, данную информацию учителя дают ученикам, и ничего такого секретного вы не узнали. Но, уверен, статья принесёт вам пользу.

Повторюсь, что самое главное — знать формулы площади круга и длины окружности, а далее работает только логика.

Предлагаю посмотреть дополнительный урок Дмирия Тарасова на эту тему. Рассматриваются формулы длины дуги окружности и площади сектора, где центральный угол задан в радианной мере.

На этом всё. Успехов Вам!!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.

• Окружность — линия, ограничивающая круг.
• Дуга — часть окружности.
• Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
• Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

• Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
• Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
• Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

; длина хорды ;
высота сегмента ; центральный угол .

2. Даны диаметр D и длина хорды X

; длина дуги ;
высота сегмента ; центральный угол .

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

; диаметр ;
длина хорды ; высота сегмента .

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

; длина дуги ;
диаметр ; высота сегмента .

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

; диаметр ;
длина дуги ; длина хорды .

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X

7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем . Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности ;
площадь круга ;
площадь сектора ;
площадь сегмента ;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

И круг - геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. есть граничная ломаная линия (кривая) круга ,

Определение. Окружность - замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности.

Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия.

Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами, сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R ). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D ).

Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам .

d = 2r
D = 2R

Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14.

Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C ). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру:

C = ¶d
C = 2¶r

• Примеры
• Дано: d = 100 см.
• Длина окружности: C = 3,14 * 100 см = 314 см
• Дано: d = 25 мм.
• Длина окружности: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

Секущая окружности и дуга окружности

Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги. Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй.

Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности.

Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности.

Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше - большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой , уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности.

Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности.

Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга.

Так как круг - это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь.

Правило. Площадь круга (S ) равна произведению квадрата радиуса (r 2 ) на число ¶.

• Примеры
• Дано: r = 100 см
• Площадь круга:
• S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
• Дано: d = 50 мм
• Площадь круга:
• S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами . Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности .

«Признаки равенства треугольников» - Виды треугольников. Высота треугольника Признаки равенства треугольников. Трисектрисы угла. Любой треугольник имеет три медианы. Первое упоминание о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах. Свойство медиан, биссектрис и высот треугольников. Равносторонний и равнобедренный треугольник.

«Лист бумаги» - В геометрии бумагу применяют для того чтобы: писать, рисовать; резать; сгибать. Всем известный факт горения бумаги в геометрии не используется. Геометрия и лист бумаги. Паскаль. Из бумаги вырезан треугольник. Листок из тетради. Среди множества возможных действий с бумагой немаловажное место занимает то, что ее можно резать.

«История геометрии» - Древний Египет. Средние века. «Начала» состоят из 13 книг. Возникновение и развитие геометрии. В геометрии Любачевского существуют треугольники с попарно параллельными сторонами. Древняя Греция. В геометрии много формул, фигур, теорем, задач, аксиом. Фалес ввел понятие движения, в частности поворота.

«Доказательство теоремы Пифагора» - Значение теоремы состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Алгебраическое доказательство. Значение теоремы Пифагора. И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век. Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Теорема Пифагора. Доказательство Евклида.

«Фалес Милетский» - ФАЛЕС - древнегреческий мыслитель, родоначальник античной философии и науки. Иногда бывает необходимо измерить расстояние до недоступного предмета. Определение расстояния с помощью спички. Фалес открыл продолжительность года и разделил его на 365 дней. Фалес Милетский. Фалес предсказал солнечное затмение 28 мая 585 года до н.э.

«Правильные многогранники» - Икосаэдр – самый обтекаемый. Модель Солнечной системы И.Кеплера. Правильные многогранники встречаются в живой природе. «Космический кубок» Кеплера. Правильный додекаэдр оставлен из двенадцати правильных пятиугольников. Сумма плоских углов икосаэдра при каждой вершине равна 300?. Правильный икосаэдр.

Всего в теме 41 презентация