Рассмотрим цилиндр вращения радиуса R и высоты h (рис. 383). В основание этого цилиндра впишем правильный многоугольник (на рис. 383 - шестиугольник) и с его помощью построим правильную призму, вписанную в цилиндр. Таким же путем можно описывать вокруг цилиндра правильные призмы с произвольно большим числом боковых граней.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается по определению предел, к которому стремятся площади боковых поверхностей вписанных и описанных вокруг него правильных призм по мере неограниченного удвоения (или вообще увеличения) числа их боковых граней.
То, что такой предел существует, мы сейчас и докажем. Если возьмем вписанную правильную призму, построенную на правильном -угольнике, как на основании, то для ее боковой поверхности будем иметь выражение , где - периметр правильного -угольника, вписанного в круг основания цилиндра. При . Точно такое же вычисление для описанной призмы дает тот же самый результат. Итак, площадь боковой поверхности цилиндра вращения выражается формулой
Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины образующей на периметр (т. е. длину окружности) основания.
Задача 1. Отрезок, соединяющий диаметрально противоположные точки А и В верхнего и нижно оснований цилиндра (рис. 384), равен 10 см и наклонен к плоскости основания под углом в 60°. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение. Проведем через отрезок Л Всечение плоскостью, перпендикулярной к основанию цилиндра. Из треугольника имеем
откуда находим для боковой поверхности цилиндра
Найти угол наклона к той же плоскости диагонали параллелепипеда.
2. В прямом параллелепипеде острый угол основания равен а, а одна из сторон основания равна а. Сечение, проведенное через эту сторону и противоположное ребро верхнего основания, имеет площадь Q, и плоскость его наклонена к плоскости основания под углом . Найти объем и полную поверхность параллелепипеда.
3. Основанием наклонной треугольной призмы служит равнобедренный прямоугольный треугольник, а проекция одного из боковых ребер на плоскость основания совпадает с медианой m одного из катетов треугольника. Найти угол наклона боковых ребер к плоскости основания, если объем призмы равен V.
4. В правильной шестиугольной призме через сторону основания проведены два сечения: 1) содержащее противоположную сторону верхнего основания, 2) содержащее центр верхнего основания. При какой высоте призмы угол между плоскостями сечений имеет наибольшую величину и чему он равен в этом случае?
У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.
Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.
Известно, что площадь окружности равна πr2. Поэтому, формула площади двух окружностей будет иметь вид πr2 + πr2 = 2πr2.
Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать ее, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки и попробуем максимально раскрыть полученную фигуру.
После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру, это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.
Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности и высота цилиндра. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон — S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.
Формула площади боковой поверхности цилиндра
Sбок. = 2πrh
Наконец, если мы сложим площадь всех трех поверхностей, мы получим формулу площади полной...
поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr.
Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr2 + 2πrh = 2πr
r — радиус цилиндра, h — высота цилиндра
Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.
Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: Sбок. = 2πrh
Sбок. = 2 * 3,14 * 2 * 3
Sбок. = 6,28 * 6
Sбок. = 37,68
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.
Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S = 2πr2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 62 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
S = 226,08 + 150,72
Площадь поверхности цилиндра равна 376,8.
Из формулы расчета площади боковой поверхности цилиндра Sбок. = 2πrh следует, что высота равна:
H = Sбок./2πr
Значение радиуса получаем из формулы: d = 2r
Высота цилиндра равна 8.
(No Ratings Yet)
Цилиндр – это фигура, состоящая из цилиндрической поверхности и двух окружностей, расположенных параллельно. Расчет площади цилиндра – это задача геометрического раздела математики, которая решается достаточно просто. Существует несколько методов ее решения, которые в результате всегда сводятся к одной формуле.