В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей.

Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями

Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей — та, числитель которой меньше.

Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями

В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило:

Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.

Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8

И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей.

Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.

Навигация по странице.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.

Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.

Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример.

Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?

Решение.

Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .

Ответ:

.

Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .

Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно

• привести дроби к общему знаменателю;
• сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Разберем решение примера.

Пример.

Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .

Решение.

Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48 . Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48:12=4 , а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48:16=3 . Получаем и .

Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.

Ответ:

.

Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.

Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .

Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями : если a·d>b·c , то , а если a·d

Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателен (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей.

В этом разделе рассматриваются варианты сравнения дробей, имеющих одинаковые числители или знаменатели.

Правило. Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше).

Например, сравнить дроби:

Правило. Чтобы сравнить правильные дроби с одинаковыми числителями, надо сравнить их знаменатели. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше).

Например, сравнить дроби:

Сравнение правильных, неправильных и смешанных дробей между собой

Правило. Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби.

Правильная дробь но определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби.

Правило. Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть.

Например, сравнить дроби:

Аналогично сравнению натуральных чисел на числовой оси большая дробь стоит правее меньшей дроби.

Открытый урок по теме: Сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

Цели урока:

Дидактическая цель: создать условия для формирования новой учебной информации.

Цели по содержанию:

- обучающие:

1. Познакомить учащихся с правилами сравнения обыкновенных дробей.

2. Научить учащихся формулировать данные правила и применять их на практике.

3. Моделировать с помощью координатной прямой геометрическую интерпретацию отношения «больше - меньше»

- развивающие: развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание;

- воспитательные: развивать познавательный интерес, навыки взаимопроверки, развивать коммуникативные способности во время работы в парах, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели.

Тип урока: изучение нового материала.

Образовательные технологии: технология критического мышления (на этапе открытия новых знаний), обучение в сотрудничестве (работа в парах), здоровье сберегающая технология (применена на этапе физкультминутка, а также на подготовительном этапе).

Ход урока :

I .Организационный момент - 3 минуты.

Девиз урока:”Добывай знания сам!” Отправляемся в экспедицию, а для этого проверим готовность. Ведь чтобы новых знаний набраться, надо на старые опираться!

II .Устные упражнения (5 минут):

А) Прочтите дроби:1/8,1/4,3/8,4/6,1/2,2/8,1/3,2/100,5/60(Слайд 3)

Б) Дробь 2/5.Назовите числитель и знаменатель этой дроби.(Слайд 2)

В) Какая часть фигуры заштрихована? (Слайд 4)

Г) Укажите координату мигающей точки. (Слайд 5)

III. Этап подготовки к активному и сознательному усвоению нового материала (5 минут)

Посмотрим, ребята, какой багаж знаний возьмет в дорогу каждый из вас?

1.У вас на столах лежат путевые листы с заданиями. На слайде (№6) изображены две фигуры. Нужно определить, какая часть каждой фигуры закрашена красным, какая зеленым, какая часть красным и зеленым вместе, а какая желтым. Заполнить таблицу.

Вопросы: Где в жизни мы встречаемся сразу с тремя названными цветами? Что означает каждый цвет?

Класс выполняет самостоятельную работу на листочках. Тем временем двое у доски выполняют индивидуальные задания по карточке.

Приложение 1.

Вариант 1 .

-

2.Индивидуальные задания .

1 ученик : На доске начерчены 4 равных прямоугольника. Закрасить половину первого, две четверти второго, три шестых третьего и шесть двенадцатых четвертого, начиная с левого края. Записать дроби рядом с прямоугольниками.

2 ученик : Начертить на доске координатный луч. Отметить точки с координатами А(3), О(0), В(7), Е(1), С(10). Отметьте точки, которые удалены от точки В на два единичных отрезка, обозначьте и найдите их координаты. Запишите на доске, какие точки лежат:

а) левее точки В:
б) правее точки В:

Сформулируйте правило сравнения натуральных чисел с помощью координатного луча.

IV. Открытие детьми нового знания (18 минут) .

И так, проверим, что каждый из вас возьмет в путь? Не забыли девиз нашей экспедиции?

Открываем тетради и записываем дату и тему.

1. Проверим, как класс справился с заполнением путевых листов .

Беседа с классом (учитель задаёт вопросы и записывает ответы на доске, учащиеся ведут такие же записи в тетрадях).

. (Слайд 6)

1) Как называется фигура А?

На сколько равных долей разбит прямоугольник?

Какая его часть закрашена красным цветом, зеленым цветом, желтым цветом?

Какая часть фигуры больше: та, что закрашена красным цветом или та, что зеленым?

Что можно сказать о дробях и ? Запишите это неравенство в тетрадь.

Какая из дробей больше или ? Запишите. >.

Посмотрите на рисунок и скажите “Какая же из дробей с одинаковыми знаменателями больше?” Та дробь, которая показывает большую долю фигуры.

Посмотрим, как работает наше правило в других случаях?

2) Как называется фигура В?

На сколько долей разбит круг?

Какие дроби вы получили, выполняя задание?

Можно ли сказать, что дроби и равны? Запишите равенство.

А дробь больше дроби ? Почему? Взято больше долей. Запишите неравенство.

Вопрос учителя классу : есть ли ещё равные дроби? Запишите в тетрадь самостоятельно.

2. Что взял с собой в дорогу 1 ученик?

Ученик выходит к доске и объясняет, как он выполнил задание, какие дроби он записал.

Ученики должны заметить, что все заштрихованные части занимают половины прямоугольников. Так как прямоугольники равны, то и дроби равны. Записываем в тетрадь: задача №1.

Учитель на доске, а ученики в тетради записывают: 2/4=1/2, 3/6=1/2, 6/12=1/2, 3/6=6/12.

3. Что взял с собой в дорогу 2 ученик?

К доске выходит любой ученик из класса и проверяет задание с координатным лучом по карточке-заданию. Учитель стирает 0 у точки С (1), ученик записывает новые координаты точек.

Ученик, который выполнял задание на доске, устно формулирует правило сравнения натуральных чисел с помощью координатного луча.

Задание учащимся класса: записать в тетрадь точки с новыми координатами, которые лежат
а) левее точки В:
б) правее точки В:

Какая точка имеет координату равную 1/2? Изобразите ее на нашем луче.

Сформулируйте сами правило сравнения дробей с помощью координатного луча.

V. Физкультминутка (3 минуты)

1. Упражнение для глаз (влево смотрим, вправо, вверх, вниз - 3 раза)

2. “Кулачки”

Руки на коленях,
Кулачки сжаты,
Крепко с напряжением
Пальчики прижаты.
Пальчики сжимаем, сжимаем,
Отпускаем, разжимаем.
Знайте, девочки и мальчики,
Отдыхали ваши пальчики.

3. Учитель показывает выражения на слайдах №№10,11,12,13,14,15. Быстро и громко читает их. Если выражение “верно”, то дети поднимают руки вверх, если нет, то вытягивают перед собой:

а) 6/10 > 3/10,
б) 3/10 > 1,
в) 8/14 > 0,
г) 5/10 < 1/2,
д) А(2/12) лежит левее В (7/12),
е) С(2/5) правее Д(4/10)

VI. Закрепление нового материала ( 5 минут) .

Откройте учебники на стр. 146 учебника, прочитайте оба правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Вопрос: совпадают ли правила в учебнике с нашими открытиями?

VII. Проверка полученных знаний (5 минут)

Наша математическая экспедиция подходит к концу. Мы стоим у подножия высокой горы, название которой “Дроби”. Нам предстоит трудное восхождение. Для того чтобы проверить, как мы научились сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, проведем мини-тестирование. Тесты на столах

Правильность выполнения проверяется с помощью таблиц (слайд 12).

Результаты заносим в таблицу на путевых листах. Взаимопроверка: каждый проверяет работу соседа и подчеркивает ошибки. Без ошибок - оценка “5”одна ошибка- “4”, две ошибки-“3”, три и больше-“2”.

I вариант

VIII. Итог урока (2 минуты) .

1. Повторить ещё раз, чем занимались на уроке.

2. Выставить отметки за работу в экспедиции.

IX. Домашнее задание: № 965,№966,№969