كيفية إيجاد دائرة تعرف قطر المعادلة. العدد المذهل بي. ظل لدائرة.
في أي مجال من مجالات الاقتصاد يعمل الشخص ، عن قصد أو عن غير قصد ، يستخدم المعرفة الرياضية التي تراكمت على مدى قرون عديدة. نواجه أجهزة وآليات تحتوي على دوائر كل يوم. الشكل الدائري به عجلة ، وبيتزا ، والعديد من الخضار والفواكه في المقطع تشكل دائرة ، بالإضافة إلى الأطباق والأكواب وغير ذلك الكثير. ومع ذلك ، لا يعرف الجميع كيفية حساب المحيط بشكل صحيح.
نصفها رياضيًا كـ. تذكر أننا تمكنا من تحديد قطر الدائرة بنصف قطرها. نظرًا لأن كل مشكلة لن تعطينا نصف قطر الدائرة ، فقد نحتاج إلى استخدام معرفتنا بأقطارها لمساعدتنا في فرز مناطقنا. بعبارة أخرى ، إذا علمنا بقطر دائرة ، فإننا نعلم أن نصف القطر يساوي نصف القطر ، وهو ما يمكننا التعويض عنه في صيغة المساحة. الآن دعونا نعمل على بعض التمارين.
لدينا قطر 18 بوصة ونعلم أن قطر الدائرة يساوي ضعف نصف قطرها ، لذلك كل ما علينا فعله لإيجاد نصف القطر هو أخذ نصف القطر. نلاحظ أن نصف قطر دائرتنا يساوي 9 بوصات. هل تذكر؟ ليس متغير. هذا ثابت رياضي. أيضًا ، لن نقلق بشأن الدقة العالية عندما يتعلق الأمر بالقيمة؟ هل يمكننا فقط تحديد؟ مثل 14 ، حيث سيتم تقريب إجابتنا النهائية لأقرب جزء من مائة.
لحساب محيط الدائرة ، عليك أولاً أن تتذكر ماهية الدائرة. هذه هي مجموعة جميع النقاط في المستوى على مسافة متساوية من المعطى. الدائرة هي موضع النقاط في مستوى داخل دائرة. مما سبق ، يترتب على ذلك أن محيط الدائرة ومحيطها واحد.
طرق إيجاد محيط الدائرة
بالإضافة إلى الطريقة الرياضية لإيجاد محيط الدائرة ، هناك أيضًا طرق عملية.
الآن دعونا نلقي نظرة على مثال آخر يتطلب المزيد من العمل. لنكمل صيغة المساحة بالتعويض عن المتغيرات التي نعرفها. للتخلص من المربع ، علينا أن نأخذ الجذر التربيعيعلى كلا الجانبين. كل ما نحتاجه هو طرح 7 من كلا طرفي المعادلة ونحصل على ذلك. دعنا الآن نتعرف على دوائر الدوائر.
في بعض الأحيان لا نريد العثور على مناطق بها دوائر كاملة وبدلاً من ذلك نجد أجزاء أصغر من الدائرة. في هذه الحالات ، نحتاج إلى طريقة لحساب هذه الأجزاء من الدوائر ، والتي تسمى القطاعات. لنلقِ نظرة على تعريف القطاعات ونرى كيف تبدو قبل إدخال صيغة المنطقة.
- خذ حبلًا أو سلكًا ولفه مرة واحدة.
- ثم قم بقياس الحبل ، سيكون الرقم الناتج هو المحيط.
- قم بتدوير كائن دائري مرة واحدة وحساب طول المسار. إذا كان الكائن صغيرًا جدًا ، يمكنك لفه بخيوط عدة مرات ، ثم فك الخيط ، والقياس والقسمة على عدد الدورات.
- ابحث عن القيمة المطلوبة باستخدام الصيغة:
L = 2πr = πD ,
القطاع الدائري هو جزء من دائرة محاط بنصف قطر وقوس دائري. لاحظ أن القوس الدائري ليس سوى جزء من الدائرة محاط بنقطتي النهاية لكلا الراديان. يمكن أن يكون العمل مع قطاعات الدوائر أمرًا سهلاً للغاية إذا عرفنا كيفية تطبيق صيغة الدائرة للدوائر. إذا علمنا أن الدائرة مقسمة إلى عدد معين من المساحات المتطابقة ، فيمكننا ببساطة إدخال العامل المناسب في صيغة المساحة. على سبيل المثال ، إذا كانت لدينا دائرة مقسمة إلى أربعة أقسام متساوية وأردنا إيجاد مساحة أحد هذه الأقسام ، فستكون صيغة المساحة لدينا.
حيث L هو الطول المطلوب ؛
π ثابت ، يساوي تقريبًا 3.14 r هو نصف قطر الدائرة ، المسافة من مركزها إلى أي نقطة ؛
D هو القطر ، وهو يساوي نصف قطر.
تطبيق المعادلة لإيجاد محيط الدائرة
- مثال 1. تدور المشاية حول دائرة نصف قطرها 47.8 مترًا. أوجد طول جهاز المشي هذا ، بافتراض π = 3.14.
L = 2πr = 2 * 3.14 * 47.8 ≈ 300 (م)
في حالات أخرى ، قد نحصل على قياس زاوية داخل نصف قطر دائرة ، تسمى الزاوية المركزية. بالنسبة لهذه التمارين ، يمكننا تطبيق معادلة القطاع ، والتي. تقوم هذه الصيغة بشكل أساسي بما فعلناه في المثال السابق لأنها ببساطة تحول قياس درجة الزاوية الداخلية إلى كسر مكافئ. الدوائر لها درجات قياس 360 درجة. لذلك عندما نقسم مقياسًا معينًا على 360 درجة ، فإننا نأخذ كسر الدائرة الذي نريده ونضربه في صيغة المنطقة اليمنى.
حدد موقع منطقة القطاع المظللة أدناه. هل تم تبسيط العامل الأول في صيغة المنطقة للقطاعات في النهاية؟ لأن. حقيقة أن هذا الفصيل يتم تبسيطه؟ يعني أن مساحة القطاع تساوي ثلاثة أثمان مساحة الدائرة بأكملها. إذا قسمنا الدائرة إلى ثماني قطع متطابقة ، فسنرى ذلك الزاوية المركزية 135 درجة يخلق قطاعًا من ثلاثة أثمان - مساحة الدائرة بأكملها.
الجواب: 300 متر
- مثال 2. قطعت عجلة دراجة ، استدارت 10 مرات ، مسافة 18.85 مترًا. أوجد نصف قطر العجلة.
18.85: 10 = 1.885 (م) هو محيط العجلة.
1.885: π \ u003d 1.885: 3.1416 ≈ 0.6 (م) - القطر المطلوب
الجواب: قطر العجلة 0.6 متر
الرقم المذهل
على الرغم من البساطة الواضحة للصيغة ، يصعب على الكثيرين تذكرها لسبب ما. على ما يبدو ، هذا يرجع إلى حقيقة أن الصيغة تحتوي على رقم غير منطقي π ، وهو غير موجود في صيغ المنطقة لأشكال أخرى ، على سبيل المثال ، مربع أو مثلث أو معين. عليك فقط أن تتذكر أن هذا ثابت ، أي ثابت ، أي نسبة المحيط إلى القطر. منذ حوالي 4 آلاف عام ، لاحظ الناس أن نسبة محيط الدائرة إلى نصف قطرها (أو قطرها) هي نفسها بالنسبة لأي دوائر.
الآن نعرف كيفية قياس الأقسام الأصغر من الدائرة ويمكننا مقارنة هذه الأقسام بمساحة الدائرة ككل. للوصول إلى الأشكال الهندسية مثل. توقف عن القتال وابدأ التعلم اليوم مع آلاف الموارد المجانية! يتطلب إيجاد مساحة الدائرة صيغة قصيرة. ولكن لن تمنحك كل مشكلة أو تحد كل الأجزاء التي تحتاجها لاستخدام الصيغة. يمكنك أخذ المعلومات التي لديك ، بما في ذلك القطر ، ومعرفة ما ستحتاج إلى تحديده للمنطقة. بمجرد أن تفهم هذه الخطوات ، يمكنك إيجاد مساحة أي دائرة ، بغض النظر عن حجمها.
قرّب الإغريق القدماء الرقم π بالكسر 22/7. لفترة طويلة ، تم حساب π كمتوسط بين أطوال المضلعات المحفورة والمحدودة في دائرة. في القرن الثالث الميلادي ، أجرى عالم رياضيات صيني حسابًا لـ 3072-gon وحصل على قيمة تقريبية لـ π = 3.1416. يجب أن نتذكر أن π ثابت دائمًا لأي دائرة. ظهر تسميتها بالحرف اليوناني π في القرن الثامن عشر. هذا هو الحرف الأول كلمات يونانيةπεριφέρεια - محيط و περίμετρος - محيط. في القرن الثامن عشر ، ثبت أن هذه الكمية غير منطقية ، أي لا يمكن تمثيلها كـ m / n ، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي.
قبل أن تتمكن من استخدام صيغة المساحة ، تحقق مما إذا كان لديك قطر أو نصف قطر دائرتك. يمتد نصف القطر فقط في منتصف الطريق حول الدائرة ، لكن القطر يمتد على طول الطريق من جانب إلى آخر ، ويمر عبر المركز. إذا كان لديك قطر الدائرة فقط ، فحولها إلى نصف قطر. لا تحاول حتى تقوم بتحويل القطر إلى نصف قطر. نصف القطر نصف طول القطر. قسّم القطر على 2 للحصول على نصف القطر ، على سبيل المثال: دائرة قطرها 10 سيكون لها نصف قطر.
بمجرد إيجاد نصف القطر ، ارجع إلى صيغة المساحة. على سبيل المثال ، افترض أنك تريد إيجاد مساحة دائرة قطرها 18 سم. تذكر أن تربيع رقم يعني ضرب وقته في نفسه ، أي 9 تربيع 9 مرات. بعد استبدال القيم الموجودة في الصيغة ، اجعل من السهل العثور على الحل بالطريقة التالية.
في الرياضيات المدرسية ، عادةً لا تكون هناك حاجة إلى دقة عالية في الحسابات ، و تؤخذ تساوي 3.14.
الدائرة عبارة عن منحنى مغلق تقع جميع نقاطه على نفس المسافة من المركز. هذا الرقم مسطح. لذلك ، فإن حل المشكلة ، السؤال الذي يدور حول كيفية إيجاد محيط الدائرة ، بسيط للغاية. جميع الطرق المتاحة ، سننظر فيها في مقال اليوم.
ما دمت تبدأ بتحديد ما إذا كان لديك قطر أو نصف قطر بعناية ، يمكنك تطبيق صيغة المساحة على أي دائرة باستخدام هذه الخطوات. إذا كنت تعمل بحافة فارغة ، فمن السهل قياس القطر الخارجي ، ولكن إذا كنت بحاجة إلى قياس عجلة مدمجة ، فإن المحور سوف يعترض طريق شريط القياس. ثم تحتاج إلى قياس المحيط. من الممكن أيضًا قياس اثنين طرق مختلفة، وفكرة جيدة. كما يقول النجارون "قسوا مرتين واقطعوا مرة واحدة" أو في هذه الحالة قسوا مرتين واختروا الإبر مرة واحدة.
يمكنك قياس محيط الحافة بلف شريط القياس على طول الحافة. ثم تحصل على القطر من الدائرة. لا تثق بشريط قياس القماش المستخدم على الملابس. استخدم شريط قياس معدني كما هو موضح في الصورة أدناه.
أوصاف الشكل
بالإضافة إلى التعريف الوصفي البسيط إلى حد ما ، هناك ثلاث خصائص رياضية أخرى للدائرة ، والتي تحتوي في حد ذاتها على إجابة لسؤال كيفية العثور على محيط الدائرة:
- يتكون من النقطتين A و B وجميع النقاط الأخرى التي يمكن من خلالها رؤية AB بزوايا قائمة. قطر هذا الشكل يساوي طول المقطع قيد النظر.
- يشمل النقاط X فقط بحيث تكون النسبة AX / BX ثابتة ولا تساوي واحدًا. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فهو ليس دائرة.
- يتكون من نقاط ، لكل منها المساواة التالية: مجموع المسافات المربعة إلى الاثنين الآخرين هو قيمة معينة ، والتي تكون دائمًا أكبر من نصف طول المقطع بينهما.
المصطلح
لم يكن لدى الجميع في المدرسة مدرس رياضيات جيد. لذلك ، فإن الإجابة على السؤال حول كيفية العثور على محيط الدائرة معقدة أيضًا بسبب حقيقة أنه لا يعرف الجميع المفاهيم الهندسية الأساسية. نصف القطر هو قطعة تربط مركز الشكل بنقطة على المنحنى. حالة خاصة في علم المثلثات دائرة الوحدة. الوتر هو قطعة مستقيمة تربط نقطتين على منحنى. على سبيل المثال ، يندرج AB الذي تم اعتباره بالفعل تحت هذا التعريف. القطر عبارة عن وتر يمر عبر المركز. الرقم π يساوي طول نصف دائرة الوحدة.
فيما يلي خطوات قياس الحافة باستخدام الدائرة. قم بتثبيت اللسان في فتحة الصمام ولف الشريط على طول الحافة ، مع القياس المحيط العامفي قاع الحفرة. إذا كنت تنام في فصل الرياضيات للصف السادس: π هو الحرف اليوناني لنسبة محيط أي دائرة إلى قطرها. Π هي وظيفة ذات مفتاح واحد في الآلات الحاسبة العلمية ، يتم تنفيذها على عدد كبير منمنازل عشرية ، ولكن 142 قريبة بدرجة كافية إذا كان لديك آلة حاسبة بأربع وظائف أو تعمل على الورق.
- توجد علامة تبويب في نهاية الشريط.
- اقسم المحيط على π لتحصل على قطر الثقب.
- لتسريع حساب الورق ، يمكنك الجمع بين الخطوتين 2 و 3 عن طريق الضرب في.
الصيغ الأساسية
تتبع الصيغ الهندسية مباشرة من التعريفات ، والتي تسمح لك بحساب الخصائص الرئيسية للدائرة:
- الطول يساوي حاصل ضرب العدد π والقطر. عادة ما تكتب الصيغة على النحو التالي: C = π * D.
- نصف القطر نصف القطر. يمكن أيضًا حسابه عن طريق حساب حاصل قسمة المحيط على ضعف الرقم π. تبدو الصيغة كما يلي: R = C / (2 * π) = D / 2.
- القطر يساوي محيط مقسومًا على π أو ضعف نصف القطر. الصيغة بسيطة للغاية وتبدو كما يلي: D = C / π = 2 * R.
- مساحة الدائرة تساوي حاصل ضرب العدد π ومربع نصف القطر. وبالمثل ، يمكن استخدام القطر في هذه الصيغة. في هذه الحالة ، ستساوي المساحة حاصل قسمة حاصل ضرب العدد π ومربع القطر على أربعة. يمكن كتابة الصيغة على النحو التالي: S = π * R 2 = π * D 2/4.
ضع علامة على السلك ، واسحبه بشكل مسطح وقياس الطول. العجلة ذات الحلمات غير المجوفة ، سيجلس الكابل بجانبها ويكون القياس للحافة العارية. يجب عليك قياس العمق إلى الثقوب المتكلمة إذا كانت غائرة أو إذا قمت بقياس القطر الخارجي للحافة.
يمكنك استخدام أداة مؤقتة مثل تلك الموجودة على اليمين - مسمار وصمولة ومسطرة معدنية صغيرة. ضع مسطرة على حافة الشفاه. إذا كانت الحافة بها فتحات تحدث فجوة ، فسوف يبرز البرغي إلى أسفل العروة. قم بفك الجوز حتى يستقر على المسطرة. ثم استخدم مسطرة لقياس الطول بين الصامولة ونهاية البرغي. اطرح سمك المسطرة. مرة أخرى ، إذا كانت المسطرة تقيس البوصة فقط ، فستحتاج إلى تحويلها إلى ملليمترات.
كيفية إيجاد محيط الدائرة من القطر
لتبسيط التفسير ، نشير بالحروف إلى خصائص الشكل الضروري للحساب. دع C هو الطول المطلوب ، D هو قطره ، ودع pi يكون 3.14 تقريبًا. إذا كانت لدينا كمية واحدة معروفة ، فيمكن اعتبار المشكلة محلولة. لماذا هو ضروري في الحياة؟ لنفترض أننا قررنا إحاطة حوض سباحة دائري بسياج. كيف تحسب العدد المطلوب من الأعمدة؟ وهنا تأتي القدرة على حساب محيط الدائرة للإنقاذ. الصيغة هي كما يلي: C = π D. في مثالنا ، يتم تحديد القطر بناءً على نصف قطر البركة والمسافة المطلوبة إلى السياج. على سبيل المثال ، لنفترض أن خزان منزلنا الاصطناعي يبلغ عرضه 20 مترًا ، وسنضع أعمدة على مسافة عشرة أمتار منه. قطر الدائرة الناتجة 20 + 10 * 2 = 40 م الطول - 3.14 * 40 = 125.6 متر. سنحتاج إلى 25 عمودًا إذا كانت الفجوة بينهما حوالي 5 أمتار.
إذا قمت بقياس محيط الحافة في التجويف ، فقم بقياس العمق من التجويف إلى الفتحة الغائرة إذا كانت الثقوب المتحدثة غائرة. إذا كنت جيدًا في حمل الأشياء بين يديك ، فيمكنك حتى إجراء قياس العمق باستخدام مسمار أو دراجة ، كما هو موضح في الصورة على اليسار. أدخل الإبرة في الجزء السفلي من تجويف ثقب الإبرة وحرك يدك لأسفل الإبرة حتى يستقر ظفر إصبعك برفق على جانب فتحة الوصول.
ثم ، كما هو موضح في الشكل على اليمين ، انقل هذا القياس إلى المسطرة ، مع وضع ظفرك برفق على نهايته. القياس ، الذي يُقاس بمسامير أو عمود ، هو الفرق في نصف القطر - المسافة من مركز العجلة إلى الخارج. تستخدم الآلات الحاسبة للكلام قطرًا يبلغ ضعف نصف القطر لأنه لا يوجد شيء في وسط الحافة الفارغة لقياسه. لذلك ، عندما تذهب إلى الحسابات النهائية ، ستطرح ضعف العمق الذي قمت بقياسه باستخدام الترباس أو تكلم.
الطول من خلال نصف القطر
كما هو الحال دائمًا ، لنبدأ بتخصيص دوائر الحروف للخصائص. في الواقع ، هم عالميون ، لذا فإن علماء الرياضيات من دول مختلفةليس من الضروري معرفة لغة بعضنا البعض. افترض أن C هو محيط دائرة ، و r هو نصف قطرها ، و π تساوي 3.14 تقريبًا. تبدو الصيغة كما يلي في هذه الحالة: C = 2 * π * r. من الواضح أن هذه المساواة صحيحة تمامًا. كما اكتشفنا بالفعل ، قطر الدائرة يساوي ضعف نصف قطرها ، لذا تبدو هذه الصيغة على هذا النحو. في الحياة ، يمكن أن تكون هذه الطريقة مفيدة أيضًا. على سبيل المثال ، نخبز كعكة في شكل منزلق خاص. حتى لا تتسخ ، نحتاج إلى غلاف زخرفي. لكن كيف تقطع دائرة بالحجم المطلوب. هذا هو المكان الذي تأتي فيه الرياضيات للإنقاذ. أولئك الذين يعرفون كيفية معرفة محيط الدائرة سيقولون على الفور أنك بحاجة إلى ضرب الرقم π في ضعف نصف قطر الشكل. إذا كان نصف قطرها 25 سم ، فسيكون الطول 157 سم.
حساب قطر طرف الحافة
أنت الآن بحاجة إلى حساب قطر الاشتعال. اسحب حاسبة جيبك أو تطبيق الهاتف الذكي. سنحسب قطر التراكم الخاص بنا باستخدام مجموعتي القياس لدينا ونرى كيف تقارن النتائج. الضرب في 4 يعطي 2 مم. العمق المقاس من خارج الإطار إلى فتحة السماعة هو 11 مم. مرتين 22 مم ، لذلك قطر الحافة 2 مم.
عمق الثقوب السميكة للمكبر 5 مم ؛ ضعف حجم 10 مم ، لذلك يبلغ قطر الحافة 5 مم. وبذلك حصلنا على 2 مم بقياس القطر و 5 مم بقياس المحيط. أخيرًا: إذا قمت بالقياس الجزء العلويحلمات المتحدث ، لقد انتهيت. إذا قمت بقياس حافة فارغة ، فقم بإضافة ضعف ارتفاع الحلمة المحززة - حوالي 4 مم. يجب أن يتطابق هذا القياس مع طريقة ديمون رينارد المحددة.
أمثلة المهام
لقد درسنا بالفعل العديد من الحالات العملية للمعرفة المكتسبة حول كيفية معرفة محيط الدائرة. لكن في كثير من الأحيان لا نهتم بها ، ولكن مع المشاكل الرياضية الحقيقية التي يحتوي عليها الكتاب المدرسي. بعد كل شيء ، يعطي المعلم نقاط لهم! لذلك ، دعونا ننظر في مشكلة التعقيد المتزايد. لنفترض أن المحيط يبلغ 26 سم ، فكيف نحسب نصف قطر مثل هذا الشكل؟
باستخدام شريط بمقياس خاص ، يقوم هذا النظام بحساب القطر لك - مما يوفر الوقت ، والوقت هو المال إذا كنت تبني الكثير من العجلات. يشتمل نظام ساذرلاند على أداة لإيجاد قطر الجنط الفعال للإشعال. يوضح Howard Sutherland نظام قطر الحافة في الفيديو أدناه.
"محيط" الشكل هو المسافة حوله. لحساب محيط الشكل ، يجب عليك إضافة طول جميع أضلاعه. على سبيل المثال ، إذا كان عرض المستطيل 5 سم وطوله 3 سم ، فسيكون محيطه كذلك. "مساحة" الشكل هي عدد الوحدات المربعة التي تغطيها ، أي حجم سطح الشكل.
مثال على الحل
بادئ ذي بدء ، دعنا نكتب ما تم إعطاؤه لنا: C \ u003d 26 سم ، π \ u003d 3.14. تذكر أيضًا الصيغة: C = 2 * π * R. منه يمكنك استخراج نصف قطر الدائرة. وهكذا ، R = C / 2 / π. الآن دعنا ننتقل إلى الحساب المباشر. أولًا ، اقسم الطول على اثنين. نحصل على 13. الآن نحتاج إلى القسمة على قيمة الرقم π: 13 / 3.14 \ u003d 4.14 سم. من المهم ألا ننسى تدوين الإجابة بشكل صحيح ، أي بوحدات القياس ، وإلا فإن العملية كلها فقد معنى هذه المشاكل. بالإضافة إلى ذلك ، لمثل هذا الإهمال ، يمكنك الحصول على درجة أقل من نقطة واحدة. ومهما كان الأمر مزعجًا ، عليك أن تتحمل هذا الوضع.
نظرًا لأنه يتم حساب مساحة الشكل بضرب طول الشكل في عرضه ، يتم قياسه بـ "الوحدات المربعة". تتضمن الأمثلة الأخرى للوحدات المربعة: المربعات بالمليمترات والسنتيمترات المربعة. على سبيل المثال ، إذا كان عرض المستطيل 5 سم وطوله 3 سم ، فستكون مساحته كذلك.
هناك العديد من الأشكال التي تتبع صيغ منطقة بسيطة. مساحة متوازي الأضلاع = الارتفاع × الارتفاع. نظرًا لحقيقة أن حجم الشكل يتم حسابه بضرب طول الشكل في عرضه بعمقه ، فإنه يقاس بـ "الوحدات المكعبة".
الوحش ليس مخيفًا كما هو مرسوم
لذلك توصلنا إلى مثل هذه المهمة الصعبة للوهلة الأولى. كما اتضح ، تحتاج فقط إلى فهم معنى المصطلحات وتذكر بعض الصيغ السهلة. الرياضيات ليست مخيفة جدًا ، ما عليك سوى بذل القليل من الجهد. حتى الهندسة في انتظارك!
