Der Bedarf an Wahrscheinlichkeitsoperationen entsteht, wenn die Wahrscheinlichkeiten einiger Ereignisse bekannt sind und es notwendig ist, die Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse zu berechnen, die mit diesen Ereignissen verbunden sind.

Die Wahrscheinlichkeitsaddition wird verwendet, wenn die Wahrscheinlichkeit einer Kombination oder einer logischen Summe zufälliger Ereignisse berechnet werden muss.

Summe der Ereignisse A Und B benennen A + B oder A ∪ B. Die Summe zweier Ereignisse ist ein Ereignis, das genau dann eintritt, wenn mindestens eines der Ereignisse eintritt. Das bedeutet es A + B- ein Ereignis, das genau dann eintritt, wenn während der Beobachtung ein Ereignis auftritt A oder Veranstaltung B, oder gleichzeitig A Und B.

Wenn Ereignisse A Und B zueinander inkonsistent sind und ihre Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, wird die Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ereignisse als Ergebnis eines Versuchs eintritt, unter Verwendung der Addition von Wahrscheinlichkeiten berechnet.

Der Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von zwei miteinander unvereinbaren Ereignissen eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Beispielsweise seien bei der Jagd zwei Schüsse abgefeuert worden. Fall A– Eine Ente vom ersten Schuss an treffen, Ereignis IN– Treffer vom zweiten Schuss, Ereignis ( A+ IN) – Treffer aus dem ersten oder zweiten Schuss oder aus zwei Schüssen. Also, wenn zwei Ereignisse A Und IN sind also inkompatible Ereignisse A+ IN- das Eintreten mindestens eines dieser Ereignisse oder zweier Ereignisse.

Beispiel 1 Eine Schachtel enthält 30 gleichgroße Bälle: 10 rote, 5 blaue und 15 weiße. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein farbiger (nicht weißer) Ball ohne hinzusehen genommen wird.

Lösung. Nehmen wir an, dass das Ereignis A– „Der rote Ball ist genommen“ und das Ereignis IN- „Der blaue Ball ist genommen.“ Dann lautet das Ereignis „ein farbiger (nicht weißer) Ball wird genommen“. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A:

und Veranstaltungen IN:

Veranstaltungen A Und IN- gegenseitig unvereinbar, denn wenn ein Ball genommen wird, können keine Bälle genommen werden verschiedene Farben. Daher verwenden wir die Addition von Wahrscheinlichkeiten:

Der Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten für mehrere inkompatible Ereignisse. Wenn die Ereignisse die vollständige Ereignismenge bilden, ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich 1:

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse ist ebenfalls gleich 1:

Entgegengesetzte Ereignisse bilden einen vollständigen Satz von Ereignissen, und die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Satzes von Ereignissen beträgt 1.

Die Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse werden normalerweise in Kleinbuchstaben angegeben. P Und Q. Insbesondere,

Daraus ergeben sich folgende Formeln für die Wahrscheinlichkeit entgegengesetzter Ereignisse:

Beispiel 2 Das Ziel im Armaturenbrett ist in 3 Zonen unterteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Schütze auf ein Ziel in der ersten Zone schießt, beträgt 0,15, in der zweiten Zone – 0,23, in der dritten Zone – 0,17. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft, und die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel verfehlt.

Lösung: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft:

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel verfehlt:

Schwierigere Aufgaben, bei denen Sie sowohl die Addition als auch die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten anwenden müssen – auf der Seite „Verschiedene Aufgaben zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten“ .

Addition von Wahrscheinlichkeiten wechselseitig gemeinsamer Ereignisse

Zwei zufällige Ereignisse werden als gemeinsame Ereignisse bezeichnet, wenn das Auftreten eines Ereignisses das Auftreten eines zweiten Ereignisses in derselben Beobachtung nicht ausschließt. Zum Beispiel beim Würfeln, dem Ereignis A gilt als das Auftreten der Zahl 4 und das Ereignis IN- eine gerade Zahl fallen lassen. Da die Zahl 4 eine gerade Zahl ist, sind die beiden Ereignisse kompatibel. In der Praxis gibt es Aufgaben zur Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeiten eines der miteinander verbundenen Ereignisse.

Der Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten für gemeinsame Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, dass eines der gemeinsamen Ereignisse eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse, von der die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens beider Ereignisse abgezogen wird, also dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten. Die Formel für die Wahrscheinlichkeiten gemeinsamer Ereignisse lautet wie folgt:

Wegen der Ereignisse A Und IN kompatibel, Ereignis A+ IN tritt auf, wenn eines von drei möglichen Ereignissen eintritt: oder AB. Nach dem Satz der Addition inkompatibler Ereignisse berechnen wir wie folgt:

Fall A tritt auf, wenn eines von zwei inkompatiblen Ereignissen eintritt: oder AB. Die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren inkompatiblen Ereignissen ist jedoch gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller dieser Ereignisse:

Ähnlich:

Durch Einsetzen der Ausdrücke (6) und (7) in Ausdruck (5) erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsformel für gemeinsame Ereignisse:

Bei der Verwendung von Formel (8) ist zu berücksichtigen, dass die Ereignisse A Und IN kann sein:

• voneinander unabhängig;
• voneinander abhängig.

Wahrscheinlichkeitsformel für voneinander unabhängige Ereignisse:

Wahrscheinlichkeitsformel für voneinander abhängige Ereignisse:

Wenn Ereignisse A Und IN inkonsistent sind, dann ist ihr Zusammentreffen ein unmöglicher Fall und somit P(AB) = 0. Die vierte Wahrscheinlichkeitsformel für inkompatible Ereignisse lautet wie folgt:

Beispiel 3 Bei Autorennen ist die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Fahren im ersten Auto höher, beim Fahren im zweiten Auto. Finden:

• die Wahrscheinlichkeit, dass beide Autos gewinnen;
• die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Auto gewinnt;

1) Die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Auto gewinnt, hängt nicht vom Ergebnis des zweiten Autos, also den Ereignissen, ab A(erstes Auto gewinnt) und IN(zweites Auto gewinnt) – unabhängige Veranstaltungen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Autos gewinnen:

2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Autos gewinnt:

Schwierigere Aufgaben, bei denen Sie sowohl die Addition als auch die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten anwenden müssen – auf der Seite „Verschiedene Aufgaben zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten“ .

Lösen Sie das Problem der Addition von Wahrscheinlichkeiten selbst und schauen Sie sich dann die Lösung an

Beispiel 4 Es werden zwei Münzen geworfen. Fall A- Verlust des Wappens auf der ersten Münze. Fall B- Wappenverlust auf der zweiten Münze. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses C = A + B .

Wahrscheinlichkeitsmultiplikation

Die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten wird verwendet, wenn die Wahrscheinlichkeit eines logischen Produkts von Ereignissen berechnet werden soll.

In diesem Fall müssen Zufallsereignisse unabhängig sein. Zwei Ereignisse heißen voneinander unabhängig, wenn das Eintreten eines Ereignisses keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des zweiten Ereignisses hat.

Wahrscfür unabhängige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens zweier unabhängiger Ereignisse A Und IN ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse und wird nach der Formel berechnet:

Beispiel 5 Die Münze wird dreimal hintereinander geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen alle drei Male herausfällt.

Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen beim ersten, zweiten und dritten Münzwurf fällt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen alle drei Male herausfällt:

Lösen Sie selbst Probleme zur Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten und schauen Sie sich dann die Lösung an

Beispiel 6 Es gibt eine Kiste mit neun neuen Tennisbällen. Für das Spiel werden drei Bälle genommen, nach dem Spiel werden sie zurückgelegt. Bei der Auswahl der Bälle wird nicht zwischen gespielten und nicht gespielten Bällen unterschieden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach drei Spielen keine unbespielten Bälle mehr in der Box liegen?

Beispiel 7 Auf ausgeschnittenen Alphabetkarten sind 32 Buchstaben des russischen Alphabets geschrieben. Fünf Karten werden nach dem Zufallsprinzip gezogen und in der Reihenfolge ihres Erscheinens auf den Tisch gelegt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Buchstaben das Wort „Ende“ bilden.

Beispiel 8 Aus einem vollen Kartenspiel (52 Blatt) werden vier Karten auf einmal entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier dieser Karten dieselbe Farbe haben.

Beispiel 9 Das gleiche Problem wie in Beispiel 8, aber jede Karte wird nach dem Ziehen wieder in den Stapel zurückgelegt.

Komplexere Aufgaben, bei denen Sie sowohl die Addition als auch die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten anwenden sowie das Produkt mehrerer Ereignisse berechnen müssen, finden Sie auf der Seite „Verschiedene Aufgaben zur Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten“.

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der voneinander unabhängigen Ereignisse eintritt, lässt sich berechnen, indem man das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse von 1 subtrahiert, also nach der Formel:

Beispiel 10 Die Ladungen werden mit drei Transportmitteln geliefert: Fluss-, Schienen- und Straßentransport. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Ladung per Binnenschiff geliefert wird, beträgt 0,82, auf der Schiene 0,87 und auf der Straße 0,90. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Ware mit mindestens einem der drei Transportmittel geliefert wird.

Sätze der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.
Abhängige und unabhängige Veranstaltungen

Der Titel sieht gruselig aus, aber eigentlich ist es sehr einfach. In dieser Lektion machen wir uns mit den Sätzen der Addition und Multiplikation von Ereigniswahrscheinlichkeiten vertraut und analysieren typische Aufgaben, die damit einhergehen Aufgabe zur klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit werden Sie auf jeden Fall treffen oder, was wahrscheinlicher ist, bereits auf Ihrem Weg getroffen haben. Um die Materialien dieses Artikels effektiv studieren zu können, müssen Sie die Grundbegriffe kennen und verstehen Wahrscheinlichkeitstheorie und einfache Rechenoperationen durchführen können. Wie Sie sehen, ist nur sehr wenig erforderlich und somit ist ein sattes Plus an Vermögen nahezu garantiert. Aber andererseits warne ich noch einmal vor einer oberflächlichen Haltung gegenüber praktische Beispiele- Feinheiten gibt es auch genug. Viel Glück:

Der Additionssatz für die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse: die Eintrittswahrscheinlichkeit eines der beiden unvereinbar Veranstaltungen bzw (egal was), ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Eine ähnliche Tatsache gilt auch für eine größere Anzahl inkompatibler Ereignisse, beispielsweise für drei inkompatible Ereignisse und:

Traumsatz =) Allerdings ist auch ein solcher Traum beweispflichtig, der beispielsweise in zu finden ist Studienführer V.E. Gmurman.

Machen wir uns mit neuen, bisher ungesehenen Konzepten vertraut:

Abhängige und unabhängige Veranstaltungen

Beginnen wir mit unabhängigen Veranstaltungen. Veranstaltungen sind unabhängig wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit jeder von ihnen kommt nicht darauf an aus dem Auftreten/Nicht-Auftreten anderer Ereignisse der betrachteten Menge (in allen möglichen Kombinationen). ... Aber was gibt es, um gängige Phrasen herauszuarbeiten:

Der Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse: die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens unabhängiger Ereignisse und ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Kehren wir zum einfachsten Beispiel der 1. Lektion zurück, in dem zwei Münzen geworfen werden und folgende Ereignisse passieren:

- Köpfe fallen auf die 1. Münze;
- Kopf auf der 2. Münze.

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ermitteln (Kopf erscheint auf der ersten Münze). Und Der Adler erscheint auf der 2. Münze - Denken Sie daran, wie man liest Produkt von Ereignissen!) . Die Wahrscheinlichkeit, mit einer Münze „Kopf“ zu bekommen, hängt nicht vom Ergebnis des Werfens einer anderen Münze ab, daher sind die Ereignisse unabhängig voneinander.

Ähnlich:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Münze „Kopf“ erhält Und am 2. Schwanz;
ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf der ersten Münze „Kopf“ erscheint Und am 2. Schwanz;
ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Münze auf Zahl landet Und auf dem 2. Adler.

Beachten Sie, dass sich Ereignisse bilden volle Gruppe und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ist gleich eins: .

Der Multiplikationssatz erstreckt sich offensichtlich auf eine größere Anzahl unabhängiger Ereignisse. Wenn die Ereignisse also beispielsweise unabhängig sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Auftretens: . Lasst uns weiter üben konkrete Beispiele:

Aufgabe 3

Jede der drei Boxen enthält 10 Teile. In der ersten Box befinden sich 8 Standardteile, in der zweiten 7 und in der dritten 9. Aus jeder Box wird ein Teil zufällig entnommen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle Teile Standard sind.

Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, ein Standard- oder Nicht-Standardteil aus einer Box zu extrahieren, hängt nicht davon ab, welche Teile aus anderen Boxen extrahiert werden, daher handelt es sich bei dem Problem um unabhängige Ereignisse. Betrachten Sie die folgenden unabhängigen Ereignisse:

– aus der 1. Box wird ein Normteil entnommen;
– aus der 2. Box wird ein Normteil entnommen;
– Aus der 3. Schublade wurde ein Normteil entnommen.

Nach der klassischen Definition:
sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Veranstaltung, an der wir interessiert sind (Normteil wird aus der 1. Schublade entnommen Und ab der 2. Norm Und ab der 3. Norm) wird durch das Produkt ausgedrückt.

Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Normteil aus drei Kisten entnommen wird.

Antworten: 0,504

Nach belebenden Übungen mit Kisten erwarten uns nicht weniger interessante Urnen:

Aufgabe 4

Drei Urnen enthalten 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. Aus jeder Urne wird zufällig eine Kugel gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) alle drei Kugeln weiß sind; b) Alle drei Kugeln haben die gleiche Farbe.

Erraten Sie anhand der erhaltenen Informationen, wie Sie mit dem Punkt „sein“ umgehen sollen ;-) Es wird eine ungefähre Beispiellösung im akademischen Stil mit einer detaillierten Beschreibung aller Ereignisse entworfen.

Abhängige Ereignisse. Das Ereignis wird aufgerufen abhängig wenn seine Wahrscheinlichkeit kommt darauf an aus einem oder mehreren Ereignissen, die bereits stattgefunden haben. Für Beispiele müssen Sie nicht lange suchen – gehen Sie einfach zum nächstgelegenen Geschäft:

- morgen um 19.00 Uhr im Verkauf frisches Brot.

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses hängt von vielen anderen Ereignissen ab: ob morgen frisches Brot geliefert wird, ob es vor 19 Uhr ausverkauft sein wird oder nicht usw. Abhängig von verschiedenen Umständen kann dieses Ereignis sowohl zuverlässig als auch unmöglich sein. So ist die Veranstaltung abhängig.

Brot ... und, wie die Römer forderten, Zirkusse:

- Bei der Prüfung erhält der Student ein einfaches Ticket.

Wenn Sie nicht der Erste sind, ist die Veranstaltung abhängig, da ihre Wahrscheinlichkeit davon abhängt, welche Tickets die Klassenkameraden bereits gezogen haben.

Wie lässt sich die Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Ereignissen bestimmen?

Manchmal wird dies direkt im Zustand des Problems angegeben, aber meistens muss eine unabhängige Analyse durchgeführt werden. Hier gibt es keine eindeutige Richtlinie, und die Tatsache der Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von Ereignissen ergibt sich aus natürlichen logischen Überlegungen.

Um nicht alles auf einen Haufen zu werfen, Aufgaben für abhängige Ereignisse Ich werde die nächste Lektion hervorheben, aber zunächst betrachten wir die in der Praxis am häufigsten vorkommenden Theoreme:

Probleme zu Additionssätzen für inkonsistente Wahrscheinlichkeiten
und Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Dieses Tandem funktioniert nach meiner subjektiven Einschätzung bei etwa 80 % der Aufgaben zum betrachteten Thema. Ein Volltreffer und ein echter Klassiker der Wahrscheinlichkeitstheorie:

Aufgabe 5

Zwei Schützen feuerten jeweils einen Schuss auf das Ziel ab. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt für den ersten Schützen 0,8, für den zweiten 0,6. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass:

a) nur ein Schütze trifft das Ziel;
b) mindestens einer der Schützen trifft das Ziel.

Lösung: Die Treffer-/Fehlschlagswahrscheinlichkeit eines Schützen ist offensichtlich unabhängig von der Leistung des anderen Schützen.

Betrachten Sie die Ereignisse:
– Der erste Schütze trifft das Ziel.
- Der 2. Schütze trifft das Ziel.

Nach Bedingung: .

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse ermitteln, die die entsprechenden Pfeile verfehlen:

a) Betrachten Sie das Ereignis: - Nur ein Schütze trifft das Ziel. Dieses Ereignis besteht aus zwei inkompatiblen Ergebnissen:

Der erste Schütze trifft Und 2. Fehlschläge
oder
Der 1. wird fehlen Und Der 2. wird treffen.

Auf der Zunge Ereignisalgebren Diese Tatsache kann wie folgt geschrieben werden:

Zuerst verwenden wir den Satz der Addition der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse, dann den Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nur einen Treffer gibt.

b) Betrachten Sie das Ereignis: - Mindestens einer der Schützen trifft das Ziel.

Überlegen wir zunächst einmal: Was bedeutet die Bedingung „MINDESTENS EINE“? IN dieser Fall das bedeutet, dass entweder der erste Schütze trifft (der zweite Schütze verfehlt) oder 2. (1. Fehlschuss) oder beide Pfeile gleichzeitig – insgesamt 3 inkompatible Ergebnisse.

Methode eins: Angesichts der vorbereiteten Wahrscheinlichkeit des vorherigen Elements ist es zweckmäßig, das Ereignis als Summe der folgenden disjunkten Ereignisse darzustellen:

man wird bekommen (ein Ereignis, das wiederum aus zwei inkompatiblen Ergebnissen besteht) oder
Wenn beide Pfeile treffen, bezeichnen wir dieses Ereignis mit dem Buchstaben .

Auf diese Weise:

Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schütze trifft Und Der 2. Schütze trifft.

Nach dem Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel mindestens einmal getroffen wird.

Methode zwei: Betrachten Sie das gegenteilige Ereignis: – Beide Schützen werden verfehlen.

Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

Ergebend:

Besondere Aufmerksamkeit Achten Sie auf die zweite Methode – im Allgemeinen ist sie rationaler.

Darüber hinaus gibt es eine alternative, dritte Lösungsmöglichkeit, die auf dem oben erwähnten Satz der Summierung gemeinsamer Ereignisse basiert.

! Wenn Sie das Material zum ersten Mal lesen, ist es zur Vermeidung von Verwirrung besser, den nächsten Absatz zu überspringen.

Methode drei : Die Ereignisse sind gemeinsam, das heißt, ihre Summe drückt das Ereignis „mindestens ein Schütze trifft das Ziel“ aus (siehe Abb. Ereignisalgebra). Von Satz der Addition von Wahrscheinlichkeiten gemeinsamer Ereignisse und der Satz der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

Schauen wir uns an: Ereignisse und (jeweils 0, 1 und 2 Treffer) bilden eine vollständige Gruppe, daher muss die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich eins sein:
, was überprüft werden sollte.

Antworten:

Mit einem gründlichen Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Sie auf Dutzende Aufgaben mit militaristischem Inhalt stoßen, und was typisch ist, danach werden Sie niemanden mehr erschießen wollen – die Aufgaben sind fast geschenkt. Warum die Vorlage nicht noch einfacher gestalten? Kürzen wir den Eintrag:

Lösung: gemäß der Bedingung: , ist die Wahrscheinlichkeit, die entsprechenden Schützen zu treffen. Dann sind ihre Fehlwahrscheinlichkeiten:

a) Nach den Sätzen der Addition von Wahrscheinlichkeiten inkompatibler und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur ein Schütze das Ziel trifft.

b) Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Schützen ihr Ziel verfehlen.

Dann ist: die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der Schützen das Ziel trifft.

Antworten:

In der Praxis können Sie jede Gestaltungsmöglichkeit nutzen. Natürlich gehen sie viel häufiger den kurzen Weg, aber man sollte die 1. Methode nicht vergessen – sie ist zwar länger, aber sinnvoller – sie ist darin klarer, was, warum und warum addiert und multipliziert. In manchen Fällen ist ein Hybridstil angebracht Großbuchstaben Es ist zweckmäßig, nur einige Ereignisse anzugeben.

Ähnliche Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

Aufgabe 6

Zur Brandmeldung sind zwei unabhängig voneinander arbeitende Sensoren verbaut. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Sensor während eines Brandes funktioniert, beträgt 0,5 bzw. 0,7 für den ersten und zweiten Sensor. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Brand:

a) beide Sensoren fallen aus;
b) Beide Sensoren funktionieren.
c) Verwendung Additionssatz für die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Brand nur ein Sensor funktioniert. Überprüfen Sie das Ergebnis durch direkte Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit (unter Verwendung von Additions- und Multiplikationssätzen).

Dabei wird die Unabhängigkeit der Bedienung von Geräten direkt in der Bedingung formuliert, was übrigens eine wichtige Klarstellung darstellt. Die Musterlösung ist im akademischen Stil gestaltet.

Was wäre, wenn in einem ähnlichen Problem die gleichen Wahrscheinlichkeiten gegeben wären, zum Beispiel 0,9 und 0,9? Sie müssen genau das Gleiche entscheiden! (was im Beispiel mit zwei Münzen tatsächlich bereits demonstriert wurde)

Aufgabe 7

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Schütze mit einem Schuss das Ziel trifft, beträgt 0,8. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel nicht getroffen wird, nachdem der erste und der zweite Schütze einen Schuss abgegeben haben, beträgt 0,08. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Schütze mit einem Schuss das Ziel trifft?

Und das ist ein kleines Puzzle, das kurz gerahmt ist. Die Bedingung kann prägnanter formuliert werden, aber ich werde das Original nicht neu erstellen – in der Praxis muss ich mich mit kunstvolleren Erfindungen befassen.

Lernen Sie ihn kennen – er ist derjenige, der eine unermessliche Menge an Details für Sie herausgeschnitten hat =):

Aufgabe 8

Ein Arbeiter bedient drei Maschinen. Die Wahrscheinlichkeit, dass während der Schicht die erste Maschine angepasst werden muss, beträgt 0,3, die zweite - 0,75, die dritte - 0,4. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass während der Schicht:

a) alle Maschinen müssen angepasst werden;
b) nur eine Maschine muss angepasst werden;
c) Mindestens eine Maschine muss angepasst werden.

Lösung: Da die Bedingung nichts über einen einzelnen technologischen Prozess aussagt, sollte der Betrieb jeder Maschine unabhängig vom Betrieb anderer Maschinen betrachtet werden.

Analog zu Aufgabe Nr. 5 können Sie hier Ereignisse berücksichtigen, die darin bestehen, dass die entsprechenden Maschinen während der Schicht angepasst werden müssen, die Wahrscheinlichkeiten aufschreiben, die Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse ermitteln usw. Aber mit drei Objekten möchte ich die Aufgabe eigentlich nicht so formulieren – das wird langwierig und mühsam. Daher ist es hier deutlich gewinnbringender, den „schnellen“ Stil zu verwenden:

Bedingung: - die Wahrscheinlichkeit, dass während der Schicht die entsprechenden Maschinen abgestimmt werden müssen. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten, dass sie keine Aufmerksamkeit erfordern, wie folgt:

Einer der Leser hat hier einen coolen Tippfehler gefunden, ich werde ihn nicht einmal korrigieren =)

a) Nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der Schicht alle drei Maschinen angepasst werden müssen.

b) Das Ereignis „Während der Schicht muss nur eine Maschine angepasst werden“ besteht aus drei inkompatiblen Ergebnissen:

1) 1. Maschine benötigt Aufmerksamkeit Und 2. Maschine wird nicht erforderlich sein Und 3. Maschine wird nicht erforderlich sein
oder:
2) 1. Maschine wird nicht erforderlich sein Aufmerksamkeit Und 2. Maschine benötigt Und 3. Maschine wird nicht erforderlich sein
oder:
3) 1. Maschine wird nicht erforderlich sein Aufmerksamkeit Und 2. Maschine wird nicht erforderlich sein Und 3. Maschine benötigt.

Nach den Sätzen der Addition von Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer Ereignisse und der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

- die Wahrscheinlichkeit, dass während der Schicht nur eine Maschine angepasst werden muss.

Ich denke, inzwischen sollte Ihnen klar sein, woher der Ausdruck stammt

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschinen nicht angepasst werden müssen, und dann die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses:
– die Tatsache, dass mindestens eine Maschine angepasst werden muss.

Antworten:

Der Punkt „ve“ kann auch durch die Summe gelöst werden, wobei es sich um die Wahrscheinlichkeit handelt, dass während der Schicht nur zwei Maschinen angepasst werden müssen. Dieses Ereignis wiederum beinhaltet 3 inkompatible Ergebnisse, die analog zum Punkt „be“ unterzeichnet werden. Versuchen Sie, selbst die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit Hilfe der Gleichheit das gesamte Problem zu überprüfen.

Aufgabe 9

Drei Kanonen feuerten eine Salve auf das Ziel. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Schuss nur aus der ersten Waffe zu treffen, beträgt 0,7, aus der zweiten - 0,6, aus der dritten - 0,8. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: 1) mindestens ein Projektil das Ziel trifft; 2) nur zwei Projektile treffen das Ziel; 3) Das Ziel wird mindestens zweimal getroffen.

Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Und noch einmal zu Zufällen: Für den Fall, dass aufgrund der Bedingung zwei oder sogar alle Werte der Anfangswahrscheinlichkeiten übereinstimmen (z. B. 0,7; 0,7 und 0,7), sollte genau der gleiche Lösungsalgorithmus befolgt werden.

Zum Abschluss des Artikels analysieren wir ein weiteres häufiges Rätsel:

Aufgabe 10

Der Schütze trifft das Ziel bei jedem Schuss mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer bei drei Schüssen 0,973 beträgt?

Lösung: bezeichnen mit - die Wahrscheinlichkeit, das Ziel bei jedem Schuss zu treffen.
und durch - die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses bei jedem Schuss.

Schreiben wir die Ereignisse auf:
- Bei 3 Schüssen trifft der Schütze das Ziel mindestens einmal;
- Der Schütze wird dreimal verfehlen.

Entsprechend der Bedingung ist dann die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses:

Andererseits gilt nach dem Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse:

Auf diese Weise:

- die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses bei jedem Schuss.

Ergebend:
ist die Wahrscheinlichkeit, jeden Schuss zu treffen.

Antworten: 0,7

Schlicht und elegant.

Im betrachteten Problem können zusätzliche Fragen zur Wahrscheinlichkeit von nur einem Treffer, von nur zwei Treffern und der Wahrscheinlichkeit von drei Treffern auf das Ziel gestellt werden. Das Lösungsschema wird genau das gleiche sein wie in den beiden vorherigen Beispielen:

Der grundlegende inhaltliche Unterschied besteht jedoch darin, dass es sie gibt wiederholte unabhängige Tests, die nacheinander, unabhängig voneinander und mit gleicher Ergebniswahrscheinlichkeit durchgeführt werden.

Aufgabe 2. Wirf 4 Würfel. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit jedem gewürfelten Würfel die gleiche Augenzahl zu erzielen

Lösung. Auf jedem Knochen befinden sich insgesamt 6 Gesichter. Der Fallout jedes Gesichts ist gleich wahrscheinlich. Wenn der erste Würfel beispielsweise eine 1 gewürfelt hat, sollte der Rest gleich sein. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Gesicht herausfällt, sodass alle vier identischen herausfallen, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten, mit denen ein bestimmtes Gesicht auf allen vier Würfeln erscheint. Das Ergebnis muss mit der Anzahl der Gesichter multipliziert werden, da es 6 verschiedene Zahlen gibt. Bezeichnen wir das gewünschte Ereignis - „eine fiel auf den Würfel“, - , dann beträgt der Verlust von vier Einsen auf allen Würfeln . Um eine Lösung für das Problem zu finden, müssen Sie das Ergebnis mit 6 multiplizieren, denn Die Ereignisse „zwei gewürfelt mit allen Würfeln“, „drei gewürfelt mit allen Würfeln“ ... erfüllen die Bedingung des Problems. Die Lösung des Problems lautet also:

Aufgabe 3. Einem Praktikanten wurde beigebracht, mit einer Waffe auf eine Dose zu schießen. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Schuss ein Glas zu treffen, beträgt 0,03. Wie viele Patronen müssen Sie vorbereiten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,94 eine Dose zu Boden fällt?

Lösung. Schreiben Sie eine Gleichung, um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu ermitteln. Verwenden Sie dazu die Bernoulli-Formel, die verwendet wird, wenn mehrere Wiederholungen desselben Ereignisses durchgeführt werden. Wenn wir davon ausgehen, dass die Dose beim ersten Treffer zu Boden geschleudert wird, dann wurden vorher Schüsse abgefeuert (mit einem Fehlschuss), d.h. Alle Schüsse wurden abgefeuert. Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Treffers gleich ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags gleich. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschuss- und 1-Treffer-Ereignisses kann wie folgt geschrieben werden:

Wir setzen die bekannten Daten in die letzte Formel ein: und drücken aus der resultierenden Gleichung aus:

Nehmen wir den Logarithmus des letzten Ausdrucks:

Wo

Da die Wahrscheinlichkeiten nur positiv sein können, wird hier der absolute Wert verwendet. . Die Anzahl der Schüsse kann nicht ganzzahlig sein, also endlich

Aufgabe 4. Ein Würfel wird 6 Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 6 verschiedene Gesichter zu bekommen?

Lösung. Auf jedem Knochen befinden sich insgesamt 6 Gesichter. Der Fallout jedes Gesichts ist gleich wahrscheinlich. Ereignisse treten nacheinander auf, die Reihenfolge spielt jedoch keine Rolle. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Seite herausfällt, beträgt 1 (der Würfel wird geworfen und eine Seite erscheint), daher sollte beim zweiten Mal eine beliebige Zahl erscheinen, außer der herausgefallenen (Wahrscheinlichkeit), beim dritten Mal eine beliebige, außer für die ersten beiden (Wahrscheinlichkeit) usw. Die Wahrscheinlichkeit des gewünschten Ereignisses beträgt:

Aufgabe 5. Homogen Würfel hat die Form eines regelmäßigen Tetraeders. Auf seiner Vorderseite sind die Zahlen 1, 2, 3 und 4 markiert. Wie oft muss man einen Würfel werfen, um zu erwarten, dass in mindestens einem Fall eine 3 mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 0,9 gewürfelt wird?

Lösung. Insgesamt befinden sich auf dem Knochen 4 Gesichter. Die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Gesicht herausfällt, ist gleich groß, aber es muss mehrmals geworfen werden, daher verwenden wir die Bernoulli-Formel. Nehmen wir an, dass im Test die erforderliche Anzahl vorkam, daher waren alle vorherigen Zeiten unterschiedlich. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens eines bestimmten Gesichts gleich, da es nur 4 Gesichter gibt. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „das erforderliche Gesicht erschien nicht und das erforderliche Gesicht erschien einmal“ kann geschrieben werden:

Wir setzen die bekannten Daten in die letzte Formel ein: und drücken aus der resultierenden Gleichung aus.

Nehmen wir den Logarithmus des letzten Ausdrucks:

Wo

Da die Wahrscheinlichkeiten nur positiv sein können, wird hier der absolute Wert verwendet. . Die Anzahl der Würfe darf nicht nicht ganzzahlig sein. Runden Sie daher auf die nächste ganze Zahl auf. Gemäß der Bedingung muss die Wahrscheinlichkeit größer als 0,9 sein, sodass die Antwort >6 ist.

Aufgabe 6. Zwei Jäger schießen unabhängig voneinander auf ein Ziel und jeder von ihnen gibt einen Schuss ab. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen, beträgt für den ersten Jäger 0,8 und für den zweiten 0,4. Nach dem Schießen wurde ein Loch in der Zielscheibe gefunden. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass es dem ersten Schützen gehört?

Lösung. Versuchen wir, die Bayes-Formel zu verwenden. Gemäß der Bayes-Formel enthält der Zähler die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des erforderlichen Ereignisses und der Nenner die Gesamtwahrscheinlichkeit möglicher Ergebnisse, die das Auftreten eines Lochs im Ziel bestimmen, d. h. Situationen, in denen einer der Jäger zuschlägt und der zweite verfehlt. Da es zwei Jäger gab, sind nur zwei Optionen möglich: „Der erste Treffer, der zweite Fehlschuss“ und „Der erste Fehlschlag, der zweite Treffer.“ Beide Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten, wir sprechen also von der Summe der Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des erforderlichen Ereignisses beträgt „erster Fehlschlag, zweiter Treffer“. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „erster Treffer, zweiter verfehlt“ ist gleich , und die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses „das erste verpasst, das zweite getroffen“ ist gleich . Verwenden wir die empfohlene Formel:

Aufgabe 7. Drei Schüsse werden auf eine nicht sehr hoch fliegende Ente abgefeuert. Die Wahrscheinlichkeiten, den ersten, zweiten und dritten Schuss zu treffen, betragen jeweils 0,1; 0,2 und 0,4. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Ente mindestens zwei Mal getroffen wird.

Lösung. Da die Schüsse nacheinander abgefeuert werden, muss man die Möglichkeit in Betracht ziehen, beim ersten Mal, beim zweiten oder beim dritten Mal daneben zu gehen. Je nach Zustand des Problems muss es mindestens zwei Treffer auf der Ente geben, was entweder 2 oder 3 Treffer bedeutet. Es kann drei „2 Treffer“-Ereignisse geben: „Hit, Hit, Miss“; „Treffen, verfehlen, treffen“; „fehlschlagen, treffen, treffen“, weil Es ist nicht im Voraus bekannt, welcher Schuss ein Fehlschuss war. Wir haben also 4 Ereignisse, die nicht gleichzeitig auftreten können, wir sprechen also von der Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, d.h. über die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Hit, Hit, Hit“ ist gleich ; die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Hit, Hit, Miss“ beträgt ; die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Hit, Miss, Hit“ beträgt ; Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlag-, Treffer-, Treffer-Ereignisses beträgt . Nun berechnen wir die gewünschte Wahrscheinlichkeit:

Aufgabe 8. Der Laborant, der chemische Analysen durchführt, verwendet die Reagenzien, die in zwei Kühlschränken stehen. Im ersten Kühlschrank sind von allen gelagerten Reagenzien nur 10 % abgelaufen, im zweiten sind es 20 %. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Reagenz, das ein Laborassistent aus einem Kühlschrank entnimmt, frisch genug ist

Lösung. Bezeichnen wir das Ereignis als A – ein Laborant holt aus einem beliebigen Kühlschrank ein ausreichend frisches Reagenz. Der Laborassistent entnimmt ein Reagenz aus einem beliebigen Kühlschrank, von denen es je nach Zustand des Problems zwei gibt. Weil Das Problem sagt nichts über Kühlschränke aus, dann ist die Wahl eines von ihnen gleich wahrscheinlich, d. h. ist gleich . Die Wahrscheinlichkeit des erforderlichen Ereignisses besteht daher im gleichzeitigen Auftreten von zwei – „der Wahl des Kühlschranks, der Wahl des Reagenzes“. Die Wahrscheinlichkeit, „ein frisches Reagenz aus dem ersten Kühlschrank zu entnehmen“ ist gleich ; die Wahrscheinlichkeit, „ein frisches Reagenz aus dem zweiten Kühlschrank zu entnehmen“ ist gleich . Da der Laborassistent ein Reagenz nur einmal entnimmt, können die beiden Ereignisse „Ein frisches Reagenz aus dem ersten Kühlschrank nehmen“ und „Ein frisches Reagenz aus dem zweiten Kühlschrank nehmen“ nicht gleichzeitig eintreten, wir sprechen also von der Summe der Wahrscheinlichkeiten . Verwenden wir die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Dann ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit gleich:

Aufgabe 9. Es gibt 5 Kisten mit Ziersteinen Malachit und Marmor. Zwei Kisten enthalten 2 Stück Marmor und 1 Stück Malachit, eine enthält 10 Stück Malachit und die anderen enthalten 3 Stück Marmor und 1 Stück Malachit. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus einer vom Handwerker ausgewählten Kiste entnommenes Stück Marmor ist.

Lösung. Dies ist eine Aufgabe zur Verwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Der Meister wählt aus einer beliebigen, „zufällig ausgewählten“ Box einen Zierstein aus. Insgesamt gibt es 5 Kästchen. Es wird davon ausgegangen, dass sie gleich sind. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, ein Kästchen auszuwählen, . Die Wahrscheinlichkeit des gewünschten Ereignisses besteht daher im gleichzeitigen Eintreten von zweien – „der Wahl der Kiste und der Wahl der Murmel“. Die Wahrscheinlichkeit, Murmeln aus der ersten Kiste zu nehmen, beträgt ; die Wahrscheinlichkeit, Murmeln aus der zweiten Kiste zu nehmen, ist; die Wahrscheinlichkeit, die Murmel aus der dritten Kiste zu nehmen, ist 0, weil es gibt nur Malachit, die Wahrscheinlichkeit, Marmor aus der vierten Kiste zu nehmen, ist ;