Hogyan keressünk egy kört a képlet átmérőjének ismeretében. A csodálatos pi szám. Egy kör érintője.
Bármelyik területen is dolgozik az ember, akarva-akaratlanul, évszázadokon át felhalmozott matematikai tudását használja fel. Naponta találkozunk köröket tartalmazó eszközökkel, mechanizmusokkal. A kerek formának kereke van, pizza, sok zöldség és gyümölcs kört alkot a részben, valamint tányérok, csészék és még sok más. Azonban nem mindenki tudja, hogyan kell helyesen kiszámítani a kerületet.
Matematikailag így írjuk le. Emlékezzünk vissza, hogy sikerült beállítani egy kör átmérőjét a sugarával. Mivel minden probléma nem adja meg a kör sugarát, előfordulhat, hogy az átmérőjükre vonatkozó ismereteinket felhasználnunk kell a területeink rendezéséhez. Más szóval, ha megadjuk egy kör átmérőjét, akkor tudjuk, hogy az átmérő fele egyenlő a sugárral, amelyet beilleszthetünk a területképletünkbe. Most dolgozzunk néhány gyakorlaton.
18 hüvelyk átmérőt kapunk, és tudjuk, hogy egy kör átmérője kétszerese a sugarának, így a sugár meghatározásához csak az átmérő felét kell tennünk. Látjuk, hogy körünk sugara 9 hüvelyk. Emlékszel? Nem változó; Ez egy matematikai állandó. Továbbá nem fogunk aggódni a nagy pontosság miatt, ha az értékről van szó? Csak meg tudjuk határozni? Mint 14, mivel a végső válaszunkat a legközelebbi századra kerekítjük.
A kör kerületének kiszámításához először meg kell emlékezni, hogy mi a kör. Ez a síkban az adott ponttól egyenlő távolságra lévő összes pont halmaza. A kör egy olyan síkban lévő pontok helye, amely egy körön belül van. A fentiekből következik, hogy a kör kerülete és a kör kerülete egy és ugyanaz.
A kör kerületének megtalálásának módjai
A kör kerületének matematikai módszere mellett gyakorlatiak is léteznek.
Most nézzünk egy másik példát, amely egy kicsit több munkát igényel. Töltsük ki a területképletet az általunk ismert változók helyettesítésével. Ahhoz, hogy megszabaduljunk a tértől, meg kell vennünk Négyzetgyök mindkét oldalon. Csak ki kell vonnunk 7-et az egyenlet mindkét oldaláról, és megkapjuk. Most ismerkedjünk meg a körök köreivel.
Néha nem akarjuk megtalálni a teljes körök területeit, hanem a kör kisebb részeit. Ezekben az esetekben szükségünk van egy módszerre a körök ezen részei, az úgynevezett szektorok kiszámítására. Nézzük meg a szektorok definícióját, és nézzük meg, hogyan néznek ki, mielőtt beírnánk a területképletet.
- Vegyünk egy kötelet vagy zsinórt, és egyszer tekerjük körbe.
- Ezután mérje meg a kötelet, a kapott szám lesz a kerülete.
- Görgessen egyszer egy kerek tárgyat, és számítsa ki az út hosszát. Ha nagyon kicsi a tárgy, többször is tekerheti zsineggel, majd tekerje le a cérnát, mérje meg és ossza el a fordulatok számával.
- Keresse meg a kívánt értéket a képlet segítségével:
L = 2πr = πD ,
A körszektor a kör két sugárral és körívvel körülvett része. Figyeljük meg, hogy a körív a körnek csak az a része, amelyet mindkét radián végpontja vesz körül. A körök szektoraival való munka meglehetősen egyszerű lehet, ha tudjuk, hogyan kell alkalmazni a körképletet a körökre. Ha tudjuk, hogy a kör bizonyos számú egybevágó területre van felosztva, egyszerűen bevihetjük a megfelelő tényezőt a területképletünkbe. Például, ha van egy körünk, amely négy egyenlő részre van osztva, és meg akarjuk találni az egyik szakasz területét, akkor a területképletünk a következő lenne.
ahol L a kívánt hosszúság;
π egy állandó, megközelítőleg egyenlő 3,14 r a kör sugara, a távolság a középpontjától bármely pontig;
D az átmérő, ez egyenlő két sugárral.
A képlet alkalmazása a kör kerületének megkeresésére
- 1. példa A futópad egy 47,8 méter sugarú kört fut körbe. Határozza meg ennek a futópadnak a hosszát, feltételezve, hogy π = 3,14.
L \u003d 2πr \u003d 2 * 3,14 * 47,8 ≈ 300 (m)
Más esetekben megadhatjuk a kör sugarán belüli szög mértékét, amelyet középszögnek nevezünk. Ezekhez a gyakorlatokhoz alkalmazhatjuk a szektorképletet, amely. Ez a képlet lényegében azt teszi, amit az előző példában tettünk, mert egyszerűen egy belső szög mértékét egyenértékű törtre konvertálja. A körök 360°-os mértékkel rendelkeznek. Tehát amikor egy adott mértéket elosztunk 360°-kal, csak vesszük a kör kívánt törtrészét, és megszorozzuk a megfelelő terület képletünkkel.
Keresse meg az alábbi árnyékolt szektorterületet. Végeredményben leegyszerűsödik az ágazatokra vonatkozó területképlet első tényezője? mert. Az a tény, hogy ezt a frakciót leegyszerűsítik? azt jelenti, hogy a szektor területe a teljes kör területének háromnyolcada. Ha a kört nyolc egybevágó darabra osztjuk, akkor ezt látni fogjuk központi sarok 135° egy háromnyolcas szektort hoz létre - a teljes kör területét.
Válasz: 300 méter
- 2. példa: Egy 10-szer megforduló kerékpárkerék 18,85 métert tett meg. Keresse meg a kerék sugarát.
18,85: 10 = 1,885 (m) a kerék kerülete.
1,885: π \u003d 1,885: 3,1416 ≈ 0,6 (m) - a kívánt átmérő
Válasz: kerékátmérő 0,6 méter
A csodálatos π szám
A képlet látszólagos egyszerűsége ellenére sokak számára valamilyen oknál fogva nehéz megjegyezni. Nyilvánvalóan ennek az az oka, hogy a képlet tartalmaz egy π irracionális számot, amely nem szerepel más alakzatok, például négyzet, háromszög vagy rombusz területképleteiben. Csak emlékeznie kell arra, hogy ez egy állandó, vagyis egy állandó, ami a kerület és az átmérő arányát jelenti. Körülbelül 4 ezer évvel ezelőtt az emberek észrevették, hogy a kör kerületének és sugarának (vagy átmérőjének) aránya minden kör esetében azonos.
Most már tudjuk, hogyan kell megmérni a kör kisebb szakaszait, és össze tudjuk hasonlítani ezeket a szakaszokat a kör egészével. Ahhoz, hogy hozzáférjen olyan geometriákhoz, mint pl. Hagyja abba a harcot, és kezdjen el tanulni még ma, több ezer ingyenes forrás segítségével! A kör területének megtalálásához egy rövid képletre van szükség. De nem minden probléma vagy kihívás biztosítja a képlet használatához szükséges összes alkatrészt. Felveheti a birtokában lévő információkat, beleértve az átmérőt is, és kitalálhatja, hogy mire lesz szüksége a területhez. Miután megértette ezeket a lépéseket, bármely kör területét megtalálhatja, méretétől függetlenül.
Az ókori görögök a π számot a 22/7 törttel közelítették. Hosszú ideig a π-t a körbeírt és körülírt sokszögek hosszának átlagaként számították ki. Az i.sz. harmadik században egy kínai matematikus számítást végzett egy 3072 gonra, és hozzávetőlegesen π = 3,1416 értéket kapott. Nem szabad megfeledkezni arról, hogy π minden körben mindig állandó. A görög π betűs jelölése a 18. században jelent meg. Ez az első levél görög szavakπεριφέρεια - kerület és περίμετρος - kerület. A tizennyolcadik században bebizonyosodott, hogy ez a mennyiség irracionális, vagyis nem ábrázolható m/n-ként, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám.
A területképlet használata előtt ellenőrizze, hogy megvan-e a kör átmérője vagy sugara. A sugár csak a kör felénél fut, de az átmérő az egyik oldalról a másikra fut, áthaladva a középponton. Ha csak a kör átmérője van, alakítsa át sugárra. Ne próbálkozzon addig, amíg az átmérőt sugárra nem konvertálta. A sugár az átmérő hosszának fele. Osszuk el az átmérőt 2-vel, hogy megkapjuk a sugarat, például: egy 10-es átmérőjű körnek van sugara.
Miután megtalálta a sugarat, térjen vissza a területképlethez. Tegyük fel például, hogy meg akarja találni egy 18 centiméter átmérőjű kör területét. Ne feledje, hogy egy szám négyzetre emelése azt jelenti, hogy az idejét meg kell szorozni önmagával, tehát 9 négyzet 9-szer. Miután lecserélte az értékeket a képletben, a következő módon könnyítse meg a megoldást.
Az iskolai matematikában általában nincs szükség nagy számítási pontosságra, és a π-t 3,14-nek veszik.
A kör egy zárt görbe, amelynek minden pontja azonos távolságra van a középponttól. Ez az alak lapos. Ezért a probléma megoldása, amelynek kérdése az, hogy hogyan találjuk meg a kör kerületét, meglehetősen egyszerű. Az összes elérhető módszert a mai cikkben megvizsgáljuk.
Mindaddig, amíg gondosan meghatározza, hogy van-e átmérője vagy sugara, a területképletet bármelyik körre alkalmazhatja ezekkel a lépésekkel. Ha üres felnivel dolgozol, könnyen megmérheted a külső átmérőt, de ha felépített kereket kell mérned, akkor a tengely akadályozza a mérőszalagot. Ezután meg kell mérni a kerületet. Lehetőség van kettő mérésére is különböző utak, és jó ötlet. Ahogy az ácsok mondják: "mérj kétszer és vágj egyszer", vagy ebben az esetben kétszer mérj és egyszer válassz tűt.
A felni kerületét úgy mérheti meg, hogy a mérőszalagot teljesen körbetekeri. Ezután megkapja az átmérőt a körből. Ne bízzon a ruházaton használt szövet mérőszalagban. Használjon fém mérőszalagot az alábbi képen látható módon.
Ábra leírások
A meglehetősen egyszerű leíró definíción kívül a körnek még három matematikai jellemzője van, amelyek önmagukban tartalmazzák a választ arra a kérdésre, hogy hogyan lehet megtalálni a kör kerületét:
- Az A és B pontokból, valamint az összes többiből áll, amelyekből AB derékszögben látható. Ennek az ábrának az átmérője megegyezik a vizsgált szegmens hosszával.
- Csak az X pontokat tartalmazza úgy, hogy az AX/BX arány állandó, és nem egyenlő eggyel. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor ez nem kör.
- Pontokból áll, amelyek mindegyikére érvényes a következő egyenlőség: a másik kettő távolságának négyzetes összege egy adott érték, amely mindig nagyobb, mint a közöttük lévő szakasz hosszának fele.
Terminológia
Az iskolában nem mindenkinek volt jó matektanára. Ezért a kör kerületének meghatározására vonatkozó kérdés megválaszolását az is bonyolítja, hogy nem mindenki ismeri az alapvető geometriai fogalmakat. Sugár - egy szegmens, amely összeköti az ábra közepét a görbe pontjával. A trigonometria speciális esete az egységkör. Az akkord egy olyan szakasz, amely a görbe két pontját köti össze. Például a már figyelembe vett AB ebbe a definícióba tartozik. Az átmérő a középponton áthaladó húr. A π szám egyenlő az egységnyi félkör hosszával.
Az alábbiakban bemutatjuk a felni kör segítségével történő mérésének lépéseit. Akassza be a fület a szelepfuratba, és tekerje körbe a szalagot a perem körül, mérve általános kerülete a lyuk alján. Ha aludtál a 6. osztályos matematika órán: a π a görög betű, amely bármely kör kerületének és átmérőjének arányát jelenti. A Π egy egygombos függvény a tudományos számológépeken, amelyen végrehajtható nagyszámú tizedesjegyek, de a 142 elég közel van, ha négyfunkciós számológépünk van, vagy papíron dolgozunk.
- A szalag végén egy fül található.
- Osszuk el a kerületet π-vel, hogy megkapjuk a furat átmérőjét.
- A papírszámítás felgyorsítása érdekében kombinálhatja a 2. és 3. lépést a szorzással.
Alapképletek
A definíciókból közvetlenül következnek a geometriai képletek, amelyek lehetővé teszik a kör fő jellemzőinek kiszámítását:
- A hosszúság egyenlő a π szám és az átmérő szorzatával. A képletet általában a következőképpen írják fel: C = π*D.
- A sugár az átmérő fele. Kiszámítható úgy is, hogy a kerületet elosztjuk a π szám kétszeresével. A képlet így néz ki: R = C/(2* π) = D/2.
- Az átmérő egyenlő a kerület π-vel vagy a sugár kétszeresével osztva. A képlet meglehetősen egyszerű, és így néz ki: D = C/π = 2*R.
- A kör területe egyenlő a π szám és a sugár négyzetének szorzatával. Hasonlóképpen, az átmérő is használható ebben a képletben. Ebben az esetben a terület egyenlő lesz a π szám és az átmérő négyzetének szorzata néggyel. A képlet a következőképpen írható fel: S = π*R 2 = π*D 2 /4.
Jelölje meg a vezetéket, húzza laposra és mérje meg a hosszát. kerék nem süllyesztett küllős mellbimbóval, a kábel mellettük ül, és a mérés a csupasz felnire vonatkozik. Meg kell mérni a mélységet a küllőlyukakig, ha azok süllyesztettek, vagy ha megmérte a felni külső átmérőjét.
Használhat egy rögtönzött szerszámot, mint a jobb oldalon - csavart és anyát, valamint egy kis fém vonalzót. Helyezzen vonalzót a peremperemekre. Ha a felniben süllyesztett küllőlyukak vannak, a csavar kinyúlik a fül aljáig. Csavarja le az anyát, amíg az a vonalzón nem fekszik. Ezután egy vonalzóval mérje meg az anya és a csavar vége közötti hosszt. Vonjuk ki a vonalzó vastagságát. Ismét, ha a vonalzó csak hüvelyket mér, át kell konvertálnia milliméterre.
Hogyan találjuk meg a kör kerületét az átmérőből
Az egyszerűség kedvéért betűkkel jelöljük az ábra számításhoz szükséges jellemzőit. Legyen C a kívánt hosszúság, D az átmérője, és pi körülbelül 3,14. Ha csak egy ismert mennyiségünk van, akkor a probléma megoldottnak tekinthető. Miért van rá szükség az életben? Tegyük fel, hogy úgy döntünk, hogy egy kerek medencét kerítéssel körbekerítünk. Hogyan lehet kiszámítani a szükséges oszlopok számát? És itt segít a kör kerületének kiszámításának képessége. A képlet a következő: C = π D. Példánkban az átmérőt a medence sugara és a kerítéstől való szükséges távolság alapján határozzuk meg. Tegyük fel például, hogy az otthoni mesterséges víztározónk 20 méter széles, és oszlopokat fogunk elhelyezni tőle tíz méter távolságra. A kapott kör átmérője 20 + 10 * 2 = 40 m. A hossza 3,14 * 40 = 125,6 méter. 25 oszlopra lesz szükségünk, ha a köztük lévő távolság körülbelül 5 m.
Ha megmérte a perem kerületét a furatban, akkor mérje meg a mélységet a furattól a süllyesztett küllőlyukig, ha a küllőlyukak süllyesztettek. Ha ügyes vagy a tárgyak kézben tartásában, akár csupasz csavarral vagy kerékpárral is mélységmérést végezhetsz, ahogy a bal oldali képen is látható. Szúrja be a tűt a tűlyuk mélyedésének aljába, és csúsztassa le a kezét a tűn, amíg a mutatóujj körme enyhén a hozzáférési lyuk oldalán nem fekszik.
Ezután a jobb oldali ábrán látható módon vigye át ezt a mérést a vonalzóra, enyhén támasztva a körmét a végére. A csavarral vagy küllővel mért mérés a sugár különbsége - a kerék középpontja és a külső távolsága. A beszédszámítógépek a sugár kétszeresének megfelelő átmérőt használnak, mivel az üres él közepén nincs semmi a méréshez. Tehát amikor a végső számításokhoz megy, duplán kivonja a csavarral vagy küllővel mért mélységet.
Hosszúság a sugáron keresztül
Mint mindig, kezdjük azzal, hogy betűköröket rendelünk a jellemzőkhöz. Valójában univerzálisak, tehát a matematikusok különböző országok nem szükséges ismerni egymás nyelvét. Tegyük fel, hogy C a kör kerülete, r a sugara, és π hozzávetőlegesen 3,14. A képlet ebben az esetben így néz ki: C = 2*π*r. Nyilvánvalóan ez egy abszolút helyes egyenlőség. Amint azt már kitaláltuk, egy kör átmérője a sugarának kétszerese, tehát ez a képlet így néz ki. Az életben ez a módszer is sokszor jól jöhet. Például süteményt sütünk speciális csúszó formában. Annak érdekében, hogy ne szennyeződjön, szükségünk van egy dekoratív csomagolásra. De hogyan kell vágni a kívánt méretű kört. Itt a matematika jön a segítségre. Azok, akik tudják, hogyan kell megtudni a kör kerületét, azonnal azt mondják, hogy meg kell szorozni a π számot az alakzat sugarának kétszeresével. Ha a sugara 25 cm, akkor a hossza 157 centiméter.
Felnicsúcs átmérő számítása
Most ki kell számítania a gyújtás átmérőjét. Húzza ki zsebszámológépét vagy okostelefon-alkalmazását. Kiszámoljuk a felhalmozási átmérőnket mindkét mérési készletünk segítségével, és megnézzük, hogyan hasonlítják össze az eredményeket. 4-gyel megszorozva 2 mm-t kapunk. A mért mélység a peremen kívülről a küllőlyukig 11 mm. Kétszer 22 mm, tehát a hegy átmérője 2 mm.
A küllők megvastagodott furatainak mélysége 5 mm; kétszer akkora, mint 10 mm, így a csúcs átmérője 5 mm. Így az átmérő mérésével 2 mm-t, a kerület mérésével 5 mm-t kaptunk. Végül: ha mért felső rész küllők-bimbók, kész. Ha üres peremet mért, adjon hozzá a küllős mellbimbó magasságának kétszeresét - körülbelül 4 mm-t. Ennek a mérésnek meg kell egyeznie Damon Rinard megadott módszerével.
Feladatpéldák
A megszerzett ismereteknek több gyakorlati esetét is megvizsgáltuk már a kör kerületének megállapítására vonatkozóan. De gyakran nem ezekkel foglalkozunk, hanem a valódi matematikai problémákkal, amelyeket a tankönyv tartalmaz. Hiszen a tanár pontokat ad értük! Ezért tekintsünk egy megnövekedett összetettségű problémát. Tegyük fel, hogy a kerülete 26 cm Hogyan lehet megtalálni egy ilyen alak sugarát?
Speciális skálájú szalag segítségével ez a rendszer kiszámítja az átmérőt Ön helyett – időt takarít meg, és az idő pénz, ha sok kereket épít. A Sutherland rendszer tartalmaz egy eszközt a gyújtás effektív peremátmérőjének meghatározására. Howard Sutherland bemutatja a felni átmérő rendszerét az alábbi videóban.
Az alakzat "körlete" a körülötte lévő távolság. Az alakzat kerületének kiszámításához hozzá kell adni az összes oldalának hosszát. Például, ha egy téglalap 5 cm széles és 3 cm hosszú, akkor a kerülete ez lesz. Egy alakzat "területe" az azt lefedő négyzetegységek száma, vagyis az alakzat felületének mérete.
Példa megoldás
Először is írjuk fel, hogy mi adatik nekünk: C \u003d 26 cm, π \u003d 3,14. Emlékezzünk a képletre is: C = 2* π*R. Ebből kivonhatja a kör sugarát. Így R= C/2/π. Most folytassuk a közvetlen számítással. Először oszd el a hosszát kettővel. 13-at kapunk. Most el kell osztanunk a π szám értékével: 13 / 3,14 \u003d 4,14 cm Fontos, hogy ne felejtsük el helyesen, azaz mértékegységekkel felírni a választ, különben az egész gyakorlati az ilyen problémák értelme elvész. Ezenkívül egy ilyen figyelmetlenségért egy ponttal alacsonyabb pontszámot kaphat. És bármilyen bosszantó is legyen, el kell viselnie ezt az állapotot.
Mivel egy alakzat területét úgy számítják ki, hogy az alakzat hosszát megszorozzák a szélességével, ezért "négyzetegységekben" mérik. További példák a négyzetegységekre: a négyzetek milliméterben és a centiméteres négyzetek. Például, ha egy téglalap 5 cm széles és 3 cm hosszú, akkor a területe ez lesz.
Számos alakzat létezik, amelyek egyszerű területképleteket követnek. A paralelogramma területe = magasság × magasság. Tekintettel arra, hogy egy figura térfogatát úgy számítják ki, hogy egy alakzat hosszát megszorozzák a szélességével és a mélységével, "köbegységben" mérik.
A fenevad nem olyan ijesztő, mint ahogy le van festve
Így rájöttünk egy ilyen nehéz feladatra első pillantásra. Mint kiderült, csak meg kell értenie a kifejezések jelentését, és emlékeznie kell néhány egyszerű képletre. A matematika nem olyan ijesztő, csak egy kis erőfeszítést kell tennie. Tehát a geometria rád vár!
Olvassa el még...
