Jak znaleźć okrąg znając średnicę wzoru. Niesamowita liczba pi. Styczna do okręgu.
W jakimkolwiek obszarze gospodarki człowiek pracuje, świadomie lub nieświadomie, wykorzystuje wiedzę matematyczną zgromadzoną przez wiele stuleci. Z urządzeniami i mechanizmami zawierającymi kręgi spotykamy się na co dzień. Okrągły kształt ma koło, pizzę, wiele warzyw i owoców w sekcji tworzącej koło, a także talerze, kubki i wiele innych. Jednak nie wszyscy wiedzą, jak poprawnie obliczyć obwód.
Opisujemy to matematycznie jako. Przypomnijmy, że udało nam się ustalić średnicę koła na podstawie jego promienia. Ponieważ nie każdy problem da nam promień koła, być może będziemy musieli wykorzystać naszą wiedzę o ich średnicach, aby pomóc nam uporządkować nasze obszary. Innymi słowy, jeśli mamy daną średnicę koła, wiemy, że połowa średnicy jest równa promieniowi, który możemy podstawić do naszego wzoru na pole. Teraz popracujmy nad kilkoma ćwiczeniami.
Mamy średnicę 18 cali i wiemy, że średnica koła jest dwa razy większa od jego promienia, więc wystarczy, że obliczymy promień, biorąc połowę średnicy. Widzimy, że promień naszego koła wynosi 9 cali. Pamiętasz? Nie zmienna; Jest to stała matematyczna. Poza tym nie będziemy się martwić o wysoką precyzję, jeśli chodzi o wartość? Czy możemy po prostu zdefiniować? Na przykład 14 od naszej ostatecznej odpowiedzi zostanie zaokrąglona do najbliższej części setnej.
Aby obliczyć obwód koła, musisz najpierw pamiętać, czym jest okrąg. Jest to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie równoodległych od podanego. Okrąg to zbiór punktów na płaszczyźnie znajdującej się wewnątrz okręgu. Z powyższego wynika, że obwód koła i obwód koła są jednym i tym samym.
Sposoby znajdowania obwodu koła
Oprócz matematycznego sposobu znajdowania obwodu koła istnieją również praktyczne.
Teraz spójrzmy na inny przykład, który wymaga nieco więcej pracy. Wypełnijmy wzór na pole, podstawiając znane nam zmienne. Aby pozbyć się kwadratu, musimy wziąć Pierwiastek kwadratowy po obu stronach. Musimy tylko odjąć 7 od obu stron równania i otrzymamy. Nauczmy się teraz o kręgach kręgów.
Czasami nie chcemy znajdować obszarów pełnych okręgów i zamiast tego szukamy mniejszych części koła. W takich przypadkach potrzebujemy sposobu na obliczenie tych części okręgów, zwanych sektorami. Przyjrzyjmy się definicji sektorów i zobaczmy, jak wyglądają przed wprowadzeniem wzoru na obszar.
- Weź linę lub sznurek i owiń go raz.
- Następnie zmierz linę, wynikowa liczba będzie obwodem.
- Rzuć raz okrągłym przedmiotem i oblicz długość ścieżki. Jeśli przedmiot jest bardzo mały, możesz owinąć go kilka razy sznurkiem, następnie rozwinąć nić, zmierzyć i podzielić przez liczbę zwojów.
- Znajdź wymaganą wartość za pomocą wzoru:
L = 2πr = πD ,
Okrągły wycinek to część koła otoczona dwoma promieniami i łukiem kołowym. Zauważ, że łuk kołowy to tylko część koła otoczona punktami końcowymi obu radianów. Praca z sektorami okręgów może być całkiem łatwa, jeśli wiemy, jak zastosować formułę okręgu dla okręgów. Jeśli wiemy, że okrąg jest podzielony na pewną liczbę przystających obszarów, możemy po prostu wprowadzić odpowiedni czynnik do naszego wzoru na pole. Na przykład, jeśli mamy okrąg podzielony na cztery równe sekcje i chcemy znaleźć obszar jednej z tych sekcji, nasza formuła pola byłaby taka.
gdzie L jest pożądaną długością;
π jest stałą, w przybliżeniu równą 3,14 r jest promieniem koła, odległością od jego środka do dowolnego punktu;
D jest średnicą, jest równa dwóm promieniom.
Zastosowanie wzoru do znalezienia obwodu koła
- Przykład 1. Bieżnia porusza się po okręgu o promieniu 47,8 metra. Znajdź długość tej bieżni, zakładając, że π = 3,14.
L \u003d 2πr \u003d 2 * 3,14 * 47,8 ≈ 300 (m)
W innych przypadkach możemy otrzymać miarę kąta w promieniu koła, zwaną kątem środkowym. Do tych ćwiczeń możemy zastosować formułę sektorową, która. Ta formuła zasadniczo robi to, co zrobiliśmy w poprzednim przykładzie, ponieważ po prostu konwertuje miarę stopnia kąta wewnętrznego na ułamek równoważny. Okręgi mają stopnie miary 360°. Kiedy więc dzielimy daną miarę przez 360°, po prostu bierzemy żądany ułamek koła i mnożymy go przez nasz wzór na pole właściwe.
Znajdź zacieniony obszar sektora poniżej. Czy pierwszy czynnik wzoru powierzchniowego dla sektorów jest docelowo uproszczony? ponieważ. Fakt, że ta frakcja jest upraszczana? oznacza, że pole sektora to trzy ósme pola całego koła. Jeśli podzielimy koło na osiem przystających części, zobaczymy to centralny róg 135° tworzy sektor trzech ósmych - pole całego koła.
Odpowiedź: 300 metrów
- Przykład 2. Koło roweru, obracając się 10 razy, przejechało 18,85 metra. Znajdź promień koła.
18,85: 10 = 1,885 (m) to obwód koła.
1,885: π \u003d 1,885: 3,1416 ≈ 0,6 (m) - pożądana średnica
Odpowiedź: średnica koła 0,6 metra
Niesamowita liczba π
Pomimo pozornej prostoty formuły, z jakiegoś powodu wielu osobom trudno jest ją zapamiętać. Najwyraźniej wynika to z faktu, że wzór zawiera liczbę niewymierną π, której nie ma we wzorach na pola innych figur, na przykład kwadratu, trójkąta czy rombu. Trzeba tylko pamiętać, że jest to stała, czyli stała, czyli stosunek obwodu do średnicy. Około 4 tysiące lat temu ludzie zauważyli, że stosunek obwodu koła do jego promienia (lub średnicy) jest taki sam dla każdego koła.
Teraz wiemy, jak mierzyć mniejsze części koła i możemy porównać te części z obszarem koła jako całości. Aby uzyskać dostęp do geometrii, takich jak. Przestań walczyć i zacznij uczyć się już dziś z tysiącami darmowych zasobów! Znalezienie pola koła wymaga krótkiej formuły. Ale nie każdy problem lub wyzwanie da ci wszystkie części potrzebne do zastosowania formuły. Możesz wziąć posiadane informacje, w tym średnicę, i dowiedzieć się, co będzie potrzebne do podjęcia decyzji dla danego obszaru. Gdy zrozumiesz te kroki, możesz znaleźć obszar dowolnego koła, niezależnie od jego wielkości.
Starożytni Grecy przybliżali liczbę π ułamkiem 22/7. Przez długi czas π obliczano jako średnią między długościami wielokątów wpisanych i opisanych na okręgu. W III wieku naszej ery chiński matematyk wykonał obliczenia dla 3072-gonów i uzyskał przybliżoną wartość π = 3,1416. Należy pamiętać, że π jest zawsze stałe dla dowolnego koła. Jego oznaczenie z grecką literą π pojawiło się w XVIII wieku. To jest pierwsza litera greckie słowaπεριφέρεια - obwód i περίμετρος - obwód. W XVIII wieku udowodniono, że wielkość ta jest niewymierna, to znaczy nie może być przedstawiona jako m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n liczbą naturalną.
Zanim użyjesz wzoru na pole, sprawdź, czy znasz średnicę lub promień swojego okręgu. Promień biegnie tylko w połowie okręgu, ale średnica biegnie od jednej strony do drugiej, przechodząc przez środek. Jeśli masz tylko średnicę koła, zamień ją na promień. Nie próbuj, dopóki nie przeliczysz średnicy na promień. Promień jest równy połowie długości średnicy. Podziel średnicę przez 2, aby uzyskać promień, na przykład: okrąg o średnicy 10 miałby promień.
Po znalezieniu promienia wróć do wzoru na pole. Załóżmy na przykład, że chcesz znaleźć obszar koła o średnicy 18 centymetrów. Pamiętaj, że podniesienie liczby do kwadratu oznacza pomnożenie jej czasu przez samą siebie, więc 9 kwadratów 9 razy. Po zastąpieniu wartości we wzorze ułatw znalezienie rozwiązania w następujący sposób.
W matematyce szkolnej zwykle nie jest potrzebna duża dokładność obliczeń, a π przyjmuje się jako równe 3,14.
Okrąg jest zamkniętą krzywą, której wszystkie punkty znajdują się w tej samej odległości od środka. Ta figura jest płaska. Dlatego rozwiązanie problemu, którego pytaniem jest, jak znaleźć obwód koła, jest dość proste. Wszystkie dostępne metody rozważymy w dzisiejszym artykule.
Tak długo, jak zaczniesz od dokładnego określenia, czy masz średnicę, czy promień, możesz zastosować wzór pola do dowolnego okręgu, wykonując te czynności. Jeśli pracujesz z pustą felgą, łatwo jest zmierzyć średnicę zewnętrzną, ale jeśli musisz zmierzyć zabudowane koło, oś będzie przeszkadzać taśmie mierniczej. Następnie musisz zmierzyć obwód. Możliwe jest również zmierzenie dwóch różne sposoby, i dobry pomysł. Jak mówią stolarze „zmierz dwa razy i raz utnij” lub w tym przypadku zmierz dwa razy i wybierz igły raz.
Możesz zmierzyć obwód obręczy, owijając taśmę mierniczą dookoła obręczy. Następnie otrzymujesz średnicę z koła. Nie ufaj taśmie mierniczej używanej na ubraniach. Użyj metalowej taśmy mierniczej, jak pokazano na poniższym rysunku.
Opisy rysunków
Oprócz dość prostej definicji opisowej istnieją jeszcze trzy matematyczne cechy koła, które same w sobie zawierają odpowiedź na pytanie, jak znaleźć obwód koła:
- Składa się z punktów A i B oraz wszystkich innych, z których AB widać pod kątem prostym. Średnica tej figury jest równa długości rozpatrywanego odcinka.
- Zawiera tylko takie punkty X, że stosunek AX/BX jest stały i różny od jeden. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, to nie jest to koło.
- Składa się z punktów, z których dla każdego zachodzi następująca równość: suma kwadratów odległości do pozostałych dwóch jest daną wartością, która jest zawsze większa niż połowa długości odcinka między nimi.
Terminologia
Nie każdy w szkole miał dobrego nauczyciela matematyki. Dlatego odpowiedź na pytanie, jak znaleźć obwód koła, komplikuje również fakt, że nie wszyscy znają podstawowe pojęcia geometryczne. Promień to odcinek łączący środek figury z punktem na krzywej. Szczególnym przypadkiem w trygonometrii jest koło jednostkowe. Cięciwa to odcinek linii łączący dwa punkty na krzywej. Na przykład rozważany już AB mieści się w tej definicji. Średnica to akord przechodzący przez środek. Liczba π jest równa długości półkola jednostkowego.
Poniżej przedstawiono kroki, aby zmierzyć obręcz za pomocą koła. Zaczep zaczep w otworze zaworu i owiń taśmę dookoła obręczy, mierząc ogólny obwód na dnie otworu. Jeśli spałeś na matematyce w szóstej klasie: π to grecka litera oznaczająca stosunek obwodu dowolnego koła do jego średnicy. Π to jednoprzyciskowa funkcja kalkulatorów naukowych, wykonywana na duża liczba miejsc po przecinku, ale 142 jest wystarczająco blisko, jeśli masz czterofunkcyjny kalkulator lub pracujesz na papierze.
- Na końcu wstążki znajduje się zakładka.
- Podziel obwód przez π, aby uzyskać średnicę otworu.
- Aby przyspieszyć obliczanie papieru, możesz połączyć kroki 2 i 3, mnożąc przez.
Podstawowe formuły
Wzory geometryczne wynikają bezpośrednio z definicji, które pozwalają obliczyć główne cechy koła:
- Długość jest równa iloczynowi liczby π i średnicy. Formuła jest zwykle zapisywana w następujący sposób: C = π*D.
- Promień to połowa średnicy. Można to również obliczyć, obliczając iloraz podzielenia obwodu przez dwukrotność liczby π. Formuła wygląda następująco: R = C/(2* π) = D/2.
- Średnica jest równa obwodowi podzielonemu przez π lub dwukrotności promienia. Formuła jest dość prosta i wygląda następująco: D = C/π = 2*R.
- Pole koła jest równe iloczynowi liczby π i kwadratu promienia. Podobnie w tym wzorze można użyć średnicy. W tym przypadku pole będzie równe ilorazowi dzielenia iloczynu liczby π i kwadratu średnicy przez cztery. Formułę można zapisać w następujący sposób: S = π*R 2 = π*D 2 /4.
Zaznacz drut, rozciągnij go płasko i zmierz długość. koło z niewpuszczanymi nyplami szprych, linka będzie prowadzona obok nich, a pomiar dotyczy gołej obręczy. Musisz zmierzyć głębokość otworów na szprychy, jeśli są zagłębione lub jeśli zmierzyłeś zewnętrzną średnicę obręczy.
Możesz użyć prowizorycznego narzędzia, takiego jak to po prawej - śruby z nakrętką i małej metalowej linijki. Umieść linijkę na kołnierzach obręczy. Jeśli obręcz ma zagłębione otwory na szprychy, śruba będzie wystawać do dolnej części ucha. Odkręć nakrętkę, aż spocznie na linijce. Następnie za pomocą linijki zmierz długość między nakrętką a końcem śruby. Odejmij grubość linijki. Ponownie, jeśli twoja linijka mierzy tylko cale, musisz przekonwertować ją na milimetry.
Jak znaleźć obwód koła na podstawie średnicy
Dla uproszczenia wyjaśnienia oznaczymy literami cechy figury niezbędne do obliczenia. Niech C będzie pożądaną długością, D jego średnicą i niech pi będzie w przybliżeniu równe 3,14. Jeśli mamy tylko jedną znaną wielkość, problem można uznać za rozwiązany. Dlaczego jest to potrzebne w życiu? Załóżmy, że decydujemy się na ogrodzenie okrągłego basenu ogrodzeniem. Jak obliczyć wymaganą liczbę kolumn? I tu z pomocą przychodzi umiejętność obliczenia obwodu koła. Wzór jest następujący: C = π D. W naszym przykładzie średnica jest określana na podstawie promienia basenu i wymaganej odległości od ogrodzenia. Załóżmy na przykład, że nasz domowy sztuczny zbiornik ma szerokość 20 metrów i zamierzamy ustawić słupki w odległości dziesięciu metrów od niego. Średnica powstałego koła wynosi 20 + 10 * 2 = 40 m. Długość wynosi 3,14 * 40 = 125,6 metra. Będziemy potrzebować 25 kolumn, jeśli odstęp między nimi wynosi około 5 m.
Jeśli zmierzyłeś obwód obręczy w otworze, zmierz głębokość od otworu do zagłębionego otworu na szprychę, jeśli otwory na szprychy są zagłębione. Jeśli jesteś dobry w trzymaniu przedmiotów w dłoniach, możesz nawet wykonać pomiar głębokości za pomocą gołej śruby lub roweru, jak pokazano na obrazku po lewej stronie. Włóż igłę do dolnej części zagłębienia otworu na igłę i przesuń dłoń w dół igły, aż paznokieć palca wskazującego lekko oprze się o otwór dostępowy.
Następnie, jak pokazano na rysunku po prawej stronie, przenieś ten pomiar na linijkę, lekko opierając paznokieć na jej końcu. Miarą, mierzoną śrubą lub szprychą, jest różnica w promieniu - odległość od środka koła na zewnątrz. Kalkulatory mowy używają średnicy, która jest dwa razy większa od promienia, ponieważ w środku pustej krawędzi nie ma nic, co mogłoby ją zmierzyć. Tak więc, kiedy przejdziesz do końcowych obliczeń, dwukrotnie odejmiesz głębokość, którą zmierzyłeś za pomocą śruby lub szprychy.
Długość przez promień
Jak zwykle zacznijmy od przypisania kółek literowych do cech. W rzeczywistości są uniwersalne, więc matematycy z różne kraje nie jest konieczna wzajemna znajomość języka. Załóżmy, że C to obwód koła, r to jego promień, a π wynosi około 3,14. Formuła w tym przypadku wygląda następująco: C = 2*π*r. Oczywiście jest to absolutnie poprawna równość. Jak już ustaliliśmy, średnica koła jest równa dwukrotności jego promienia, więc ten wzór wygląda tak. W życiu ta metoda też często może się przydać. Na przykład pieczemy ciasto w specjalnej formie ślizgowej. Aby się nie zabrudził, potrzebujemy ozdobnego opakowania. Ale jak wyciąć koło o pożądanym rozmiarze. Tu na ratunek przychodzi matematyka. Ci, którzy wiedzą, jak znaleźć obwód koła, natychmiast powiedzą, że musisz pomnożyć liczbę π przez dwukrotność promienia kształtu. Jeśli jego promień wynosi 25 cm, długość wyniesie 157 centymetrów.
Obliczanie średnicy końcówki obręczy
Teraz musisz obliczyć średnicę zapłonu. Wyciągnij kalkulator kieszonkowy lub aplikację na smartfona. Obliczymy naszą średnicę akumulacji przy użyciu obu naszych zestawów pomiarowych i zobaczymy, jak porównamy wyniki. Mnożenie przez 4 daje 2 mm. Zmierzona głębokość od zewnętrznej krawędzi obręczy do otworu na szprychę wynosi 11 mm. Dwukrotność to 22 mm, więc średnica końcówki wynosi 2 mm.
Głębokość pogrubionych otworów szprych wynosi 5 mm; dwa razy większy niż 10 mm, więc średnica końcówki wynosi 5 mm. W ten sposób otrzymaliśmy 2 mm mierząc średnicę i 5 mm mierząc obwód. Wreszcie: jeśli zmierzyłeś Górna część sutki do szprych, gotowe. Jeśli mierzyłeś pustą obręcz, dodaj dwa razy wysokość nypla szprychowego - około 4 mm. Ten pomiar powinien pasować do metody podanej przez Damona Rinarda.
Przykłady zadań
Rozważaliśmy już kilka praktycznych przypadków zdobytej wiedzy, jak znaleźć obwód koła. Ale często nie dotyczą nas one, ale prawdziwe problemy matematyczne, które są zawarte w podręczniku. W końcu nauczyciel daje im punkty! Dlatego rozważmy problem o zwiększonej złożoności. Załóżmy, że obwód wynosi 26 cm Jak znaleźć promień takiej figury?
Używając taśmy ze specjalną podziałką, system ten oblicza średnicę za Ciebie - oszczędzając czas, a czas to pieniądz, jeśli budujesz wiele kół. System Sutherland zawiera narzędzie do znajdowania efektywnej średnicy felgi do zapłonu. Howard Sutherland demonstruje system średnicy obręczy na poniższym filmie.
„Obwód” kształtu to odległość wokół niego. Aby obliczyć obwód kształtu, musisz dodać długość wszystkich jego boków. Na przykład, jeśli prostokąt ma 5 cm szerokości i 3 cm długości, jego obwód będzie wynosił. „Pole” kształtu to liczba jednostek kwadratowych, które go pokrywają, czyli wielkość powierzchni figury.
Przykładowe rozwiązanie
Na początek zapiszmy, co nam dano: C \u003d 26 cm, π \u003d 3,14. Zapamiętaj też wzór: C = 2* π*R. Z niego można wyodrębnić promień okręgu. Zatem R= C/2/π. Przejdźmy teraz do bezpośrednich obliczeń. Najpierw podziel długość przez dwa. Otrzymujemy 13. Teraz musimy podzielić przez wartość liczby π: 13 / 3,14 \u003d 4,14 cm Ważne jest, aby nie zapomnieć o poprawnym zapisaniu odpowiedzi, to znaczy z jednostkami miary, w przeciwnym razie cała praktyczna sens takich problemów jest stracony. Ponadto za taką nieuwagę można uzyskać wynik o jeden punkt niższy. I bez względu na to, jak irytujące może to być, musisz znosić ten stan rzeczy.
Ponieważ powierzchnia kształtu jest obliczana przez pomnożenie długości kształtu przez jego szerokość, jest mierzona w „jednostkach kwadratowych”. Inne przykłady jednostek kwadratowych to: kwadraty w milimetrach i centymetry do kwadratu. Na przykład, jeśli prostokąt ma 5 cm szerokości i 3 cm długości, jego pole będzie wynosić.
Istnieje kilka kształtów, które są zgodne z prostymi formułami powierzchni. Pole równoległoboku = wysokość × wysokość. Ze względu na to, że objętość figury oblicza się mnożąc długość figury przez jej szerokość i głębokość, jest ona mierzona w „jednostkach sześciennych”.
Bestia nie jest taka straszna, jak ją malują
Więc na pierwszy rzut oka wymyśliliśmy tak trudne zadanie. Jak się okazało, wystarczy zrozumieć znaczenie terminów i zapamiętać kilka prostych formuł. Matematyka nie jest taka straszna, wystarczy trochę się postarać. Więc geometria czeka na Ciebie!
