Potrzeba operacji na prawdopodobieństwach pojawia się, gdy znane są prawdopodobieństwa niektórych zdarzeń i konieczne jest obliczenie prawdopodobieństw innych zdarzeń, które są z nimi związane.

Dodawanie prawdopodobieństwa stosuje się, gdy konieczne jest obliczenie prawdopodobieństwa kombinacji lub sumy logicznej zdarzeń losowych.

Suma zdarzeń A I B wyznaczyć A + B Lub A ∪ B. Suma dwóch zdarzeń to zdarzenie, które ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń. To znaczy, że A + B- zdarzenie, które ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zdarzenie ma miejsce podczas obserwacji A lub zdarzenie B lub w tym samym czasie A I B.

Jeśli wydarzenia A I B są wzajemnie sprzeczne i podane są ich prawdopodobieństwa, to prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z tych zdarzeń w wyniku jednej próby oblicza się metodą sumowania prawdopodobieństw.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch wzajemnie niekompatybilnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Na przykład podczas polowania padły dwa strzały. Wydarzenie A– trafienie kaczki od pierwszego strzału, zdarzenie W– trafienie z drugiego strzału, zdarzenie ( A+ W) - trafienie z pierwszego lub drugiego strzału lub z dwóch strzałów. Więc jeśli dwa zdarzenia A I W są zdarzeniami nie do pogodzenia A+ W- wystąpienia co najmniej jednego z tych zdarzeń lub dwóch zdarzeń.

Przykład 1 W pudełku jest 30 kul tego samego rozmiaru: 10 czerwonych, 5 niebieskich i 15 białych. Oblicz prawdopodobieństwo, że kolorowa (nie biała) kula zostanie wybrana bez patrzenia.

Rozwiązanie. Załóżmy, że zdarzenie A– „czerwona bila jest zajęta” i zdarzenie W- "Niebieska piłka jest zajęta." Następnie wydarzenie to „zabiera się kolorową (nie białą) bilę”. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia A:

i wydarzenia W:

Wydarzenia A I W- wzajemnie niekompatybilne, ponieważ jeśli jedna piłka zostanie wzięta, nie można zabrać piłek różne kolory. Dlatego używamy dodawania prawdopodobieństw:

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw kilku niekompatybilnych zdarzeń. Jeśli zdarzenia składają się na pełny zestaw zdarzeń, to suma ich prawdopodobieństw jest równa 1:

Suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwstawnych jest również równa 1:

Zdarzenia przeciwstawne tworzą pełny zestaw zdarzeń, a prawdopodobieństwo pełnego zestawu zdarzeń wynosi 1.

Prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych są zwykle oznaczane małymi literami. P I Q. W szczególności,

z czego wynikają następujące wzory na prawdopodobieństwo zdarzeń przeciwnych:

Przykład 2 Cel w kresce jest podzielony na 3 strefy. Prawdopodobieństwo, że dany strzelec strzeli do celu w pierwszej strefie wynosi 0,15, w drugiej strefie - 0,23, w trzeciej strefie - 0,17. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel i prawdopodobieństwo, że strzelec nie trafi w cel.

Rozwiązanie: Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel:

Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec nie trafi w cel:

Trudniejsze zadania, w których musisz zastosować zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw - na stronie „Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw” .

Dodawanie prawdopodobieństw wzajemnie połączonych zdarzeń

Mówimy, że dwa zdarzenia losowe są połączone, jeśli wystąpienie jednego zdarzenia nie wyklucza wystąpienia drugiego zdarzenia w tej samej obserwacji. Na przykład podczas rzucania kostką zdarzenie A uważa się za wystąpienie liczby 4 i zdarzenia W- opuszczanie liczby parzystej. Ponieważ liczba 4 jest liczbą parzystą, oba zdarzenia są zgodne. W praktyce istnieją zadania obliczania prawdopodobieństw wystąpienia jednego ze wzajemnie połączonych zdarzeń.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń wspólnych. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego ze wspólnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, od której odejmuje się prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia obu zdarzeń, czyli iloczyn prawdopodobieństw. Wzór na prawdopodobieństwa wspólnych zdarzeń jest następujący:

Ponieważ wydarzenia A I W zgodny, zdarzenie A+ W występuje, jeżeli zachodzi jedno z trzech możliwych zdarzeń: lub AB. Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu zdarzeń niekompatybilnych obliczamy następująco:

Wydarzenie A występuje, jeśli wystąpi jedno z dwóch niekompatybilnych zdarzeń: lub AB. Jednak prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zdarzenia z kilku niekompatybilnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw wszystkich tych zdarzeń:

Podobnie:

Podstawiając wyrażenia (6) i (7) do wyrażenia (5), otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo zdarzeń łącznych:

Korzystając ze wzoru (8) należy wziąć pod uwagę, że zdarzenia A I W może być:

• wzajemnie niezależne;
• wzajemnie zależne.

Wzór na prawdopodobieństwo zdarzeń wzajemnie niezależnych:

Wzór na prawdopodobieństwo zdarzeń wzajemnie zależnych:

Jeśli wydarzenia A I W są niespójne, to ich zbieżność jest przypadkiem niemożliwym, a zatem P(AB) = 0. Czwarty wzór prawdopodobieństwa dla niekompatybilnych zdarzeń jest następujący:

Przykład 3 W wyścigach samochodowych podczas jazdy pierwszym samochodem prawdopodobieństwo wygranej podczas jazdy drugim samochodem. Znajdować:

• prawdopodobieństwo, że oba samochody wygrają;
• prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden samochód wygra;

1) Prawdopodobieństwo, że pierwszy samochód wygra, nie zależy od wyniku drugiego samochodu, a więc od zdarzeń A(pierwszy samochód wygrywa) i W(wygrywa drugi samochód) - imprezy niezależne. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba samochody wygrają:

2) Znajdź prawdopodobieństwo, że jeden z dwóch samochodów wygra:

Trudniejsze zadania, w których musisz zastosować zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw - na stronie „Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw” .

Rozwiąż samodzielnie problem dodawania prawdopodobieństw, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 4 Rzuca się dwiema monetami. Wydarzenie A- utrata herbu na pierwszej monecie. Wydarzenie B- utrata herbu na drugiej monecie. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia C = A + B .

Mnożenie prawdopodobieństwa

Mnożenie prawdopodobieństw stosuje się, gdy należy obliczyć prawdopodobieństwo logicznego iloczynu zdarzeń.

W takim przypadku zdarzenia losowe muszą być niezależne. Mówimy, że dwa zdarzenia są wzajemnie niezależne, jeśli zajście jednego zdarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia drugiego.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezależnych. Prawdopodobieństwo równoczesnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń A I W jest równy iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń i jest obliczany według wzoru:

Przykład 5 Moneta jest rzucana trzy razy z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb wypadnie trzy razy.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że herb wypadnie przy pierwszym rzucie monetą, przy drugim i trzecim rzucie. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb wypadnie trzy razy:

Rozwiąż samodzielnie problemy z mnożeniem prawdopodobieństw, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 6 Jest pudełko z dziewięcioma nowymi piłkami tenisowymi. Do gry pobierane są trzy kule, po zakończeniu gry są odkładane. Przy wyborze piłek nie rozróżniają piłek zagranych i nie zagranych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po trzech grach w pudełku nie będzie niegranych piłek?

Przykład 7 Na wyciętych kartach alfabetu zapisane są 32 litery rosyjskiego alfabetu. Losuje się pięć kart, jedną po drugiej i umieszcza na stole w kolejności, w jakiej się pojawiają. Znajdź prawdopodobieństwo, że litery utworzą słowo „koniec”.

Przykład 8 Z pełnej talii kart (52 arkusze) wyjmowane są jednocześnie cztery karty. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie cztery karty są tego samego koloru.

Przykład 9 Ten sam problem, co w przykładzie 8, ale każda karta jest zwracana do talii po dobraniu.

Bardziej złożone zadania, w których musisz zastosować zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw, a także obliczyć iloczyn kilku zdarzeń - na stronie „Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw” .

Prawdopodobieństwo zajścia przynajmniej jednego z wzajemnie niezależnych zdarzeń można obliczyć odejmując od 1 iloczyn prawdopodobieństw przeciwstawnych zdarzeń, czyli według wzoru:

Przykład 10Ładunki dostarczane są trzema rodzajami transportu: rzecznym, kolejowym i drogowym. Prawdopodobieństwo, że ładunek zostanie dostarczony transportem rzecznym wynosi 0,82, koleją 0,87, transportem drogowym 0,90. Znajdź prawdopodobieństwo, że towary zostaną dostarczone co najmniej jednym z trzech rodzajów transportu.

Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw.
Zdarzenia zależne i niezależne

Tytuł wygląda przerażająco, ale w rzeczywistości jest bardzo prosty. Na tej lekcji zapoznamy się z twierdzeniami o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń, a także przeanalizujemy typowe zadania, które wraz z zadanie dla klasycznej definicji prawdopodobieństwa na pewno spotkasz lub, co bardziej prawdopodobne, już spotkałeś na swojej drodze. Aby skutecznie przestudiować materiały zawarte w tym artykule, musisz znać i rozumieć podstawowe pojęcia teoria prawdopodobieństwa i umieć wykonywać proste działania arytmetyczne. Jak widać, potrzeba bardzo niewiele, a zatem gruby plus w aktywach jest prawie gwarantowany. Ale z drugiej strony ponownie ostrzegam przed powierzchownym podejściem do praktyczne przykłady- jest też wystarczająco dużo subtelności. Powodzenia:

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niekompatybilnych: prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch niekompatybilny wydarzenia lub (nieważne co), jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Podobny fakt dotyczy również większej liczby niekompatybilnych zdarzeń, na przykład trzech niekompatybilnych zdarzeń oraz:

Twierdzenie o snach =) Jednak taki sen również podlega dowodom, które można znaleźć np przewodnik po studiach V.E. Gmurman.

Poznajmy nowe, niespotykane dotąd koncepcje:

Zdarzenia zależne i niezależne

Zacznijmy od wydarzeń niezależnych. Wydarzenia są niezależny jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia ktokolwiek z nich nie zależy od pojawienia się/niepojawienia się innych zdarzeń rozpatrywanego zbioru (we wszystkich możliwych kombinacjach). ... Ale co jest w stanie zmielić popularne zwroty:

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych: prawdopodobieństwo łącznego wystąpienia niezależnych zdarzeń i jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Wróćmy do najprostszego przykładu pierwszej lekcji, w której rzucamy dwiema monetami i następującymi zdarzeniami:

- orzeł spadnie na pierwszą monetę;
- Reszka na drugiej monecie.

Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia (na pierwszej monecie pojawią się reszki I Orzeł pojawi się na drugiej monecie - pamiętaj, jak czytać produkt zdarzeń!) . Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła na jednej monecie nie zależy od wyniku rzutu inną monetą, dlatego zdarzenia i są niezależne.

Podobnie:
jest prawdopodobieństwo, że pierwsza moneta wypadnie orzeł I na drugim ogonie;
to prawdopodobieństwo, że na pierwszej monecie pojawią się reszki I na drugim ogonie;
to prawdopodobieństwo, że pierwsza moneta wyląduje na reszce I na 2. orle.

Zauważ, że zdarzenia się tworzą pełna grupa a suma ich prawdopodobieństw jest równa jeden: .

Twierdzenie o mnożeniu oczywiście rozciąga się na większą liczbę niezależnych zdarzeń, więc na przykład, jeśli zdarzenia są niezależne, to prawdopodobieństwo ich łącznego wystąpienia wynosi: . Poćwiczmy dalej konkretne przykłady:

Zadanie 3

Każde z trzech pudełek zawiera 10 części. W pierwszym pudełku jest 8 standardowych części, w drugim - 7, w trzecim - 9. Z każdego pudełka losowo wyjmujemy jedną część. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie części są standardowe.

Rozwiązanie: prawdopodobieństwo wyciągnięcia standardowej lub niestandardowej części z dowolnego pudełka nie zależy od tego, które części zostaną wyodrębnione z innych pudełek, więc problem dotyczy niezależnych zdarzeń. Rozważ następujące niezależne zdarzenia:

– standardowa część jest usuwana z pierwszego pudełka;
– standardowa część jest usuwana z drugiego pudełka;
– Z 3. szuflady usunięto standardową część.

Zgodnie z klasyczną definicją:
to odpowiednie prawdopodobieństwa.

Wydarzenie, które nas interesuje (Część standardowa zostanie pobrana z pierwszej szuflady I od II standardu I od 3 standardu) wyraża się produktem.

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

to prawdopodobieństwo, że z trzech pudełek zostanie pobrana jedna część wzorcowa.

Odpowiedź: 0,504

Po orzeźwiających ćwiczeniach z pudełkami czekają na nas nie mniej ciekawe urny:

Zadanie 4

W trzech urnach jest 6 kul białych i 4 czarne. Z każdej urny losujemy jedną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że: a) wszystkie trzy kule będą białe; b) wszystkie trzy kule będą tego samego koloru.

Na podstawie otrzymanych informacji zgadnij, jak postępować z pozycją „być” ;-) Przybliżone przykładowe rozwiązanie jest zaprojektowane w stylu akademickim ze szczegółowym opisem wszystkich zdarzeń.

Zdarzenia zależne. Zdarzenie nazywa się zależny jeśli jest to prawdopodobieństwo zależy z jednego lub więcej wydarzeń, które już się wydarzyły. Po przykłady nie trzeba daleko szukać - wystarczy udać się do najbliższego sklepu:

- jutro o 19.00 będzie w sprzedaży świeży chleb.

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia zależy od wielu innych zdarzeń: czy świeże pieczywo będzie dostarczone jutro, czy będzie wyprzedane przed godziną 19, czy nie itp. W zależności od różnych okoliczności zdarzenie to może być zarówno pewne, jak i niemożliwe. Więc impreza jest zależny.

Chleb ... i, jak żądali Rzymianie, cyrki:

- na egzaminie student dostanie bilet prosty.

Jeśli nie pójdziesz pierwszy, zdarzenie będzie zależne, ponieważ jego prawdopodobieństwo będzie zależeć od tego, które bilety już wylosowali koledzy z klasy.

Jak określić zależność/niezależność zdarzeń?

Czasami jest to bezpośrednio określone w stanie problemu, ale najczęściej trzeba przeprowadzić niezależną analizę. Nie ma tu jednoznacznej wytycznej, a fakt zależności lub niezależności zdarzeń wynika z naturalnego rozumowania logicznego.

Aby nie wrzucić wszystkiego do jednego worka, zadania dla zdarzeń zależnych Podkreślę następną lekcję, ale na razie rozważymy najczęstszą grupę twierdzeń w praktyce:

Problemy dotyczące twierdzeń o dodawaniu dla niespójnych prawdopodobieństw
i mnożenie prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych

Tandem ten, według mojej subiektywnej oceny, sprawdza się w około 80% zadań z omawianego tematu. Hit hitów i prawdziwy klasyk teorii prawdopodobieństwa:

Zadanie 5

Dwóch strzelców oddało po jednym strzale do celu. Prawdopodobieństwo trafienia dla pierwszego strzelca wynosi 0,8, dla drugiego - 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że:

a) tylko jeden strzelec trafi w cel;
b) przynajmniej jeden ze strzelców trafi w tarczę.

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo trafienia/chybienia jednego strzelca jest oczywiście niezależne od wyników drugiego strzelca.

Rozważ wydarzenia:
– pierwszy strzelec trafi w cel;
- Drugi strzelec trafi w cel.

Według warunku: .

Znajdźmy prawdopodobieństwa wystąpienia przeciwnych zdarzeń - których nie trafią odpowiednie strzałki:

a) Rozważ zdarzenie: - tylko jeden strzelec trafia w cel. To wydarzenie składa się z dwóch niekompatybilnych wyników:

Pierwszy strzelec trafi I 2. chybienie
Lub
1. przegapi I 2 trafi.

Na języku algebry zdarzeń ten fakt można zapisać jako:

Najpierw korzystamy z twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niekompatybilnych, następnie - z twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

jest prawdopodobieństwo, że będzie tylko jedno trafienie.

b) Rozważ zdarzenie: - przynajmniej jeden ze strzelców trafi w cel.

Przede wszystkim POMYŚLMY – co oznacza warunek „NAJMNIEJ JEDEN”? W ta sprawa oznacza to, że albo pierwszy strzelec trafi (drugi spudłuje) Lub 2. miejsce (1. chybienie) Lub obie strzały na raz - w sumie 3 niezgodne wyniki.

Metoda pierwsza: biorąc pod uwagę przygotowane prawdopodobieństwo poprzedniej pozycji, wygodnie jest przedstawić zdarzenie jako sumę następujących rozłącznych zdarzeń:

jeden dostanie (zdarzenie składające się z 2 niekompatybilnych wyników) Lub
Jeśli obie strzały trafiły, oznaczamy to zdarzenie literą .

Zatem:

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
jest prawdopodobieństwo, że pierwszy strzelec trafi I Drugi strzelec trafi.

Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niekompatybilnych:
jest prawdopodobieństwem co najmniej jednego trafienia w cel.

Metoda druga: rozważ zdarzenie odwrotne: – obaj strzelcy spudłują.

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

W rezultacie:

Specjalna uwaga zwróć uwagę na drugą metodę - w ogólnym przypadku jest ona bardziej racjonalna.

Ponadto istnieje alternatywny, trzeci sposób rozwiązania, oparty na twierdzeniu o sumowaniu zdarzeń łącznych, o którym powyżej milczono.

! Jeśli czytasz materiał po raz pierwszy, to aby uniknąć nieporozumień, lepiej pominąć następny akapit.

Metoda trzecia : zdarzenia są łączone, co oznacza, że ​​ich suma wyraża zdarzenie „przynajmniej jeden strzelec trafia w tarczę” (por. algebra zdarzeń). Przez twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń oraz twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

Sprawdźmy: wydarzenia i (odpowiednio 0, 1 i 2 trafienia) tworzą zupełną grupę, więc suma ich prawdopodobieństw musi być równa jeden:
, co należało zweryfikować.

Odpowiedź:

Po dokładnym przestudiowaniu teorii prawdopodobieństwa natkniesz się na dziesiątki zadań o militarnej treści, po czym, co typowe, nie będziesz chciał nikogo zastrzelić - zadania są niemal prezentem. Dlaczego nie uprościć szablonu jeszcze bardziej? Skróćmy wpis:

Rozwiązanie: zgodnie z warunkiem: , jest prawdopodobieństwem trafienia odpowiednich strzelców. Wtedy ich prawdopodobieństwa chybienia wynoszą:

a) Zgodnie z twierdzeniami o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych i mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
jest prawdopodobieństwo, że tylko jeden strzelec trafi w cel.

b) Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
jest prawdopodobieństwo, że obaj strzelcy spudłują.

Wtedy: jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden ze strzelców trafi w cel.

Odpowiedź:

W praktyce możesz użyć dowolnej opcji projektowej. Oczywiście znacznie częściej idą na krótszą drogę, ale nie należy zapominać o pierwszej metodzie - choć jest dłuższa, to ma większe znaczenie - jest w niej wyraźniejsza, co, dlaczego i dlaczego dodaje i mnoży. W niektórych przypadkach odpowiedni jest styl hybrydowy wielkie litery Wygodnie jest wskazać tylko niektóre zdarzenia.

Podobne zadania do samodzielnego rozwiązania:

Zadanie 6

Dla alarmu przeciwpożarowego zainstalowane są dwa niezależnie działające czujniki. Prawdopodobieństwo zadziałania czujnika podczas pożaru wynosi odpowiednio 0,5 i 0,7 dla pierwszego i drugiego czujnika. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pożarze:

a) oba czujniki ulegną awarii;
b) oba czujniki będą działać.
c) za pomocą twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń tworzących zupełną grupę, znajdź prawdopodobieństwo, że podczas pożaru zadziała tylko jeden czujnik. Sprawdź wynik przez bezpośrednie obliczenie tego prawdopodobieństwa (za pomocą twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu).

Tutaj niezależność działania urządzeń jest bezpośrednio wyrażona w stanie, który, nawiasem mówiąc, jest ważnym wyjaśnieniem. Przykładowe rozwiązanie zostało zaprojektowane w stylu akademickim.

Co jeśli w podobnym problemie podane są te same prawdopodobieństwa, na przykład 0,9 i 0,9? Musisz zdecydować dokładnie to samo! (co zresztą zostało już zademonstrowane w przykładzie z dwiema monetami)

Zadanie 7

Prawdopodobieństwo trafienia w cel przez pierwszego strzelca jednym strzałem wynosi 0,8. Prawdopodobieństwo, że cel nie zostanie trafiony po tym, jak pierwszy i drugi strzelec oddają jeden strzał, wynosi 0,08. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w cel przez drugiego strzelca jednym strzałem?

A to jest mała łamigłówka, która jest ujęta w krótki sposób. Warunek można przeformułować bardziej zwięźle, ale nie będę przerabiał oryginału - w praktyce muszę zagłębić się w bardziej ozdobne fabrykacje.

Poznajcie go - to on wyciął dla Was niezliczoną ilość detali =):

Zadanie 8

Pracownik obsługuje trzy maszyny. Prawdopodobieństwo, że podczas zmiany pierwsza maszyna będzie wymagała regulacji wynosi 0,3, druga 0,75, trzecia 0,4. Znajdź prawdopodobieństwo, że podczas zmiany:

a) wszystkie maszyny będą wymagały regulacji;
b) tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji;
c) co najmniej jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Rozwiązanie: ponieważ warunek nie mówi nic o pojedynczym procesie technologicznym, to działanie każdej maszyny należy rozpatrywać niezależnie od działania innych maszyn.

Analogicznie jak w zadaniu nr 5, można tu uwzględnić zdarzenia polegające na tym, że odpowiadające im maszyny będą wymagały regulacji w czasie zmiany, wypisać prawdopodobieństwa, znaleźć prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych itp. Ale przy trzech przedmiotach tak naprawdę nie chcę tak opracowywać zadania - okaże się długie i żmudne. Dlatego zauważalnie bardziej opłaca się tu zastosować styl „szybki”:

Według warunku: - prawdopodobieństwo, że podczas zmiany odpowiednie maszyny będą wymagały strojenia. Wtedy prawdopodobieństwo, że nie będą wymagały uwagi, wynosi:

Jedna z czytelniczek znalazła tu fajną literówkę, nawet jej nie będę poprawiać =)

a) Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
jest prawdopodobieństwo, że podczas zmiany wszystkie trzy maszyny będą wymagały regulacji.

b) Zdarzenie „Podczas zmiany tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji” składa się z trzech niekompatybilnych wyników:

1) 1. maszyna wymagać będzie uwaga I 2. maszyna nie będzie wymagać I trzecia maszyna nie będzie wymagać
Lub:
2) 1. maszyna nie będzie wymagać uwaga I 2. maszyna wymagać będzie I trzecia maszyna nie będzie wymagać
Lub:
3) 1. maszyna nie będzie wymagać uwaga I 2. maszyna nie będzie wymagać I trzecia maszyna wymagać będzie.

Zgodnie z twierdzeniami o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych i mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

- prawdopodobieństwo, że podczas zmiany tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Myślę, że już powinno być dla ciebie jasne, skąd wzięło się to wyrażenie

c) Oblicz prawdopodobieństwo, że maszyny nie będą wymagały regulacji, a następnie prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
– fakt, że co najmniej jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Odpowiedź:

Pozycję „ve” można również rozwiązać za pomocą sumy, gdzie jest prawdopodobieństwo, że podczas zmiany tylko dwie maszyny będą wymagały regulacji. To zdarzenie z kolei zawiera 3 niekompatybilne wyniki, które są sygnowane przez analogię z pozycją „być”. Spróbuj sam znaleźć prawdopodobieństwo sprawdzenia całego problemu za pomocą równości.

Zadanie 9

Trzy pistolety wystrzeliły salwę w cel. Prawdopodobieństwo trafienia tylko jednym strzałem z pierwszego działa wynosi 0,7, z drugiego - 0,6, z trzeciego - 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że: 1) co najmniej jeden pocisk trafi w cel; 2) tylko dwa pociski trafią w cel; 3) cel zostanie trafiony co najmniej dwa razy.

Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

I znowu o zbiegach okoliczności: w przypadku, gdy pod warunkiem, że dwie lub nawet wszystkie wartości początkowych prawdopodobieństw pokrywają się (na przykład 0,7; 0,7 i 0,7), należy zastosować dokładnie ten sam algorytm rozwiązania.

Na zakończenie artykułu przeanalizujemy kolejną wspólną zagadkę:

Zadanie 10

Strzelec trafia w cel z takim samym prawdopodobieństwem każdym strzałem. Jakie jest to prawdopodobieństwo, jeśli prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia na trzy strzały wynosi 0,973.

Rozwiązanie: oznaczamy przez - prawdopodobieństwo trafienia w cel każdym strzałem.
i przez - prawdopodobieństwo chybienia przy każdym strzale.

Zapiszmy wydarzenia:
- przy 3 strzałach strzelec przynajmniej raz trafi w cel;
- strzelec spudłuje 3 razy.

Zgodnie z warunkiem prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

Z drugiej strony, zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

Zatem:

- prawdopodobieństwo chybienia przy każdym strzale.

W rezultacie:
jest prawdopodobieństwo trafienia każdego strzału.

Odpowiedź: 0,7

Prosty i elegancki.

W rozważanym problemie można postawić dodatkowe pytania o prawdopodobieństwo tylko jednego trafienia, tylko dwóch trafień i prawdopodobieństwa trzech trafień w tarczę. Schemat rozwiązania będzie dokładnie taki sam jak w dwóch poprzednich przykładach:

Jednak podstawowa różnica merytoryczna polega na tym, że istnieją powtarzane niezależne testy, które wykonywane są sekwencyjnie, niezależnie od siebie iz takim samym prawdopodobieństwem wyników.

Zadanie 2. Rzuć 4 kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo uzyskania takiej samej liczby oczek na każdej z rzuconych kostek

Rozwiązanie. W sumie na każdej kości znajduje się 6 twarzy. Opad każdej twarzy jest równie prawdopodobny. Jeśli pierwsza kostka wypadła, powiedzmy, 1, reszta powinna być taka sama. Prawdopodobieństwo, że jakakolwiek ścianka wypadnie tak, że wypadną wszystkie 4 identyczne, jest iloczynem prawdopodobieństw pojawienia się określonej ścianki na wszystkich 4 kostkach. Wynik należy pomnożyć przez liczbę ścian, ponieważ różnych liczb jest 6. Oznaczmy pożądane zdarzenie - „jedna wypadła na kostce” - , wtedy utrata czterech jedynek na wszystkich kostkach wyniesie . Aby znaleźć rozwiązanie problemu, musisz pomnożyć wynik przez 6, ponieważ zdarzenia „dwa wyrzucone na wszystkie kości”, „trzy wyrzucone na wszystkie kości”… spełniają warunek problemu. Rozwiązaniem problemu będzie więc:

Zadanie 3. Praktykanta nauczono strzelać z pistoletu do puszki. Prawdopodobieństwo trafienia słoika jednym strzałem wynosi 0,03. Ile nabojów trzeba przygotować, aby z prawdopodobieństwem 0,94 puszka spadła na ziemię?

Rozwiązanie. Napisz równanie, aby znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia. Aby to zrobić, użyj formuły Bernoulliego, która jest używana, jeśli wykonuje się kilka powtórzeń tego samego zdarzenia. Jeśli przyjmiemy, że puszka zostaje przewrócona na ziemię już przy pierwszym trafieniu, to wcześniej padły strzały (chybione), tj. wszystkie strzały zostały oddane. Jeśli prawdopodobieństwo trafienia wynosi , to prawdopodobieństwo spudłowania wynosi . Prawdopodobieństwo chybienia i 1 trafienia można zapisać:

Podstawiamy znane dane do ostatniego wzoru: i wyrażamy z otrzymanego równania:

Weźmy logarytm ostatniego wyrażenia:

Gdzie

Wartość bezwzględna jest tutaj używana, ponieważ prawdopodobieństwa mogą być tylko dodatnie. . Liczba strzałów nie może być liczbą całkowitą, więc ostatecznie

Zadanie 4. Rzuca się 6 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania 6 różnych twarzy?

Rozwiązanie. W sumie na każdej kości znajduje się 6 twarzy. Opad każdej twarzy jest równie prawdopodobny. Wydarzenia następują sekwencyjnie, ale nie ma znaczenia w jakiej kolejności. Prawdopodobieństwo wypadnięcia dowolnej ścianki wynosi 1 (kostka zostaje rzucona i na pewno wypadnie jedna ścianka), dlatego za drugim razem powinna pojawić się dowolna liczba oprócz tej, która wypadła (prawdopodobieństwo), za trzecim razem dowolna, z wyjątkiem dwóch pierwszych (prawdopodobieństwo) itp. Prawdopodobieństwo pożądanego zdarzenia wynosi:

Zadanie 5. Jednorodny kostka do gry ma kształt czworościanu foremnego. Na jej ściankach zaznaczono cyfry 1, 2, 3 i 4. Ile razy trzeba rzucić kostką, aby przynajmniej w jednym przypadku wyrzucić 3 z prawdopodobieństwem większym niż 0,9?

Rozwiązanie. W sumie na kości znajdują się 4 twarze. Każda ścianka wypadnie z równym prawdopodobieństwem, ale trzeba będzie ją kilka razy rzucić, więc będziemy się opierać na wykorzystaniu wzoru Bernoulliego. Załóżmy, że w teście pojawiła się wymagana liczba, więc wszystkie poprzednie czasy były inne. W tym przypadku prawdopodobieństwo pojawienia się określonej twarzy będzie równe, ponieważ twarzy jest tylko 4. Prawdopodobieństwo zdarzenia „wymagana twarz nie pojawiła się, a wymagana twarz pojawiła się raz” można zapisać:

Podstawiamy znane dane do ostatniego wzoru: i wyrażamy z otrzymanego równania.

Weźmy logarytm ostatniego wyrażenia:

Gdzie

Wartość bezwzględna jest tutaj używana, ponieważ prawdopodobieństwa mogą być tylko dodatnie. . Liczba rzutów nie może być różna od liczby całkowitej, więc zaokrąglij w górę do najbliższej liczby całkowitej. Zgodnie z warunkiem prawdopodobieństwo musi być większe niż 0,9, więc odpowiedź to > 6.

Zadanie 6. Dwóch myśliwych strzela niezależnie od siebie do jednego celu, a każdy z nich oddaje jeden strzał. Prawdopodobieństwo trafienia w cel dla pierwszego myśliwego wynosi 0,8, a dla drugiego - 0,4. Po strzale w tarczy znaleziono jedną dziurę. Znajdź prawdopodobieństwo, że należy do pierwszego strzelca?

Rozwiązanie. Spróbujmy skorzystać ze wzoru Bayesa. Zgodnie ze wzorem Bayesa w liczniku jest prawdopodobieństwo zajścia wymaganego zdarzenia, a w mianowniku całkowite prawdopodobieństwo możliwych wyników, które zadecydują o pojawieniu się jednej dziury w tarczy, tj. sytuacje, gdy jeden z myśliwych trafił, a drugi spudłował. Łowców było dwóch, więc możliwe są tylko 2 opcje: „pierwsze trafienie, drugie chybione” i „pierwsze chybienie, drugie trafienie”. Oba zdarzenia nie mogą wystąpić w tym samym czasie, więc mówimy o sumie prawdopodobieństw. Prawdopodobieństwo wystąpienia wymaganego zdarzenia to „pierwsze chybienie, drugie trafienie”. Prawdopodobieństwo zdarzenia „pierwsze trafienie, drugie chybienie” jest równe , a prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia „pierwsze chybione, drugie trafione” jest równe . Skorzystajmy z zalecanej formuły:

Zadanie 7. Padają trzy strzały do ​​kaczki lecącej niezbyt wysoko. Prawdopodobieństwo trafienia pierwszego, drugiego i trzeciego strzału wynosi odpowiednio 0,1; 0,2 i 0,4. Określ prawdopodobieństwo co najmniej dwóch trafień w kaczkę.

Rozwiązanie. Ponieważ strzały oddawane są sekwencyjnie, należy wziąć pod uwagę możliwość spudłowania za pierwszym, drugim lub trzecim razem. W zależności od stanu problemu kaczka musi mieć co najmniej dwa trafienia, co oznacza albo 2 trafienia, albo 3. Mogą wystąpić trzy zdarzenia „2 trafienia”: „trafienie, trafienie, chybienie”; „trafić, chybić, trafić”; „chybić, trafić, trafić”, ponieważ z góry nie wiadomo, który strzał był chybiony. Mamy więc 4 zdarzenia, które nie mogą wystąpić jednocześnie, dlatego mówimy o sumie prawdopodobieństw zdarzeń, tj. o formule prawdopodobieństwa całkowitego. Prawdopodobieństwo zdarzenia „trafienie, trafienie, trafienie” jest równe ; prawdopodobieństwo zdarzenia „trafienie, trafienie, chybienie” wynosi ; prawdopodobieństwo zdarzenia „trafienie, chybienie, trafienie” wynosi ; Prawdopodobieństwo chybienia, trafienia, trafienia wynosi . Teraz obliczamy pożądane prawdopodobieństwo:

Zadanie 8. Asystent laboratoryjny wykonując analizy chemiczne wykorzystuje odczynniki stojące w dwóch lodówkach. W pierwszej lodówce ze wszystkich przechowywanych odczynników tylko 10% jest przeterminowanych, aw drugiej - 20%. Znajdź prawdopodobieństwo, że każdy odczynnik pobrany przez asystenta laboratoryjnego z dowolnej lodówki będzie wystarczająco świeży

Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenie jako A - asystent laboratoryjny wyjmuje z dowolnej lodówki wystarczająco świeży odczynnik. Asystent laboratoryjny pobiera odczynnik z dowolnej lodówki, której są dwa w zależności od stanu problemu. Ponieważ problem nie mówi nic o lodówkach, to wybór którejkolwiek z nich jest równie prawdopodobny, tj. jest równe . Prawdopodobieństwo wymaganego zdarzenia polega więc na równoczesnym wystąpieniu dwóch – „wyboru lodówki, wyboru odczynnika”. Prawdopodobieństwo „wzięcia świeżego odczynnika z pierwszej lodówki” jest równe ; prawdopodobieństwo „wzięcia świeżego odczynnika z drugiej lodówki” jest równe . Asystent laboratoryjny bierze odczynnik tylko raz, więc oba zdarzenia „weź świeży odczynnik z pierwszej lodówki” i „weź świeży odczynnik z drugiej lodówki” nie mogą wystąpić w tym samym czasie, więc mówimy o sumie prawdopodobieństw . Skorzystajmy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Wtedy pożądane prawdopodobieństwo będzie równe:

Zadanie 9. Jest 5 pudełek z kamieniami ozdobnymi malachit i marmur. Dwa pudełka zawierają 2 kawałki marmuru i 1 kawałek malachitu, jedno zawiera 10 kawałków malachitu, a pozostałe 3 kawałki marmuru i 1 kawałek malachitu. Znajdź prawdopodobieństwo, że kawałek losowo wyjęty z pudełka wybranego przez rzemieślnika jest marmurem.

Rozwiązanie. W tym zadaniu należy użyć wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Mistrz wybiera kamień ozdobny z dowolnego, „wybranego losowo” pudełka. W sumie jest 5 pudełek, zakłada się, że są takie same, więc prawdopodobieństwo wybrania dowolnego pudełka wynosi . Prawdopodobieństwo wymaganego zdarzenia polega zatem na równoczesnym wystąpieniu dwóch – „wyboru pudełka i wyboru kulki”. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kulki z pierwszego pudełka wynosi; prawdopodobieństwo wyciągnięcia kulki z drugiego pudełka wynosi ; prawdopodobieństwo wyciągnięcia kulki z trzeciego pudełka wynosi 0, ponieważ jest tylko malachit, prawdopodobieństwo wyciągnięcia marmuru z czwartego pudełka wynosi ;