Несмотря на то, что математика — царица наук, а арифметика — царица математики, самую большую сложность в изучении у школьников вызывает геометрия. Планиметрия — раздел геометрии, который изучает плоские фигуры. Одной из таких фигур является ромб. Большинство задач по решению четырехугольников сводятся к нахождению их площадей. Систематизируем известные формулы и различные способы расчета площади ромба.
Ромб — это параллелограмм, все четыре стороны которого равны. Напомним, что у параллелограмма есть четыре угла и четыре попарно параллельные равные стороны. Как любой четырехугольник, ромб имеет ряд свойств, которые сводятся к следующим: при пересечении диагонали образуют угол, равный 90 градусов (AC ⊥ BD), точка пересечения делит каждую на два равных отрезка. Диагонали ромба также являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.). Отсюда следует, что они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Сумма длин диагоналей, возведенных во вторую степень, равна длине стороны во второй степени, умноженной на 4, т.е. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Существует множество методов, используемых в планиметрии для расчета площади ромба, применение которых зависит от исходных данных. Если известны длина стороны и любой угол, можно воспользоваться следующей формулой: площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла. Из курса тригонометрии известно, что sin (π — α) = sin α, а значит, в расчетах можно использовать синус любого угла — как острого, так и тупого. Частным случаем является ромб, у которого все углы прямые. Это квадрат. Известно, что синус прямого угла равен единице, поэтому площадь квадрата равна длине его стороны, возведенной во вторую степень.Как видите, существует множество способов для нахождения площади ромба. Конечно, чтобы запомнить каждый из них, потребуется терпение, внимательность и, конечно же, время. Но в дальнейшем вы сможете легко выбрать метод, подходящий для вашей задачи, и убедитесь, что геометрия — это несложно.
Ромб – это особая фигура в геометрии. Благодаря его особым свойствам, существует не одна, а несколько формул, с помощью которых вычисляется площадь ромба. Что это за свойства и какие наиболее распространенные формулы для поиска площади этой фигуры существуют? Давайте разберемся.
Прежде чем выяснить, чему равна площадь ромба, стоит узнать, что же это за фигура.
Ромбом со времен Евклидовой геометрии называется симметричный четырехугольник, все четыре стороны коего являются равными между собою по длине и попарно параллельными.
Название этой фигуры пришло в большинство современных языков из греческого, через посредничество латыни. «Прародителем» слова «ромб», стало греческое существительное ῥόμβος (бубен). Хотя жителям двадцатого века, привыкшим к круглым бубнам, тяжело представить их другой формы, но у эллинов эти музыкальные инструменты традиционно изготавливались не круглой, а ромбовидной формы.
В большинстве современных языков данный математический термин употребляется, как и в латыни: rombus. Однако в английском языке иногда ромбы называют diamond (алмаз или диамант). Такое прозвище данная фигура получила из-за своей особой формы, напоминающей драгоценный камень. Как правило, подобный термин используют не для всех ромбов, а только для тех, у которых угол пересечения его двух сторон равен шестидесяти или сорока пяти градусам.
Впервые эта фигура была упомянута в трудах греческого математика, жившего в первом веке новой эры - Герона Александрийского.
Чтобы найти площадь ромба, в первую очередь нужно знать, какими особенностями обладает данная геометрическая фигура.
Как известно, каждый ромб является параллелограммом, но при этом не всякий параллелограмм – это ромб. Чтобы точно утверждать, что представленная фигура действительно является ромбом, а не простым параллелограммом, она должна соответствовать одному из трех основных признаков, выделяющих ромб. Или всем трем сразу.
По своим свойствам в отдельных случаях ромб одновременно может становиться квадратом. Чтобы наглядно подтвердить это утверждение, достаточно просто повернуть квадрат в любую сторону на сорок пять градусов. Получившаяся фигура окажется ромбом, каждый из углов которого равен девяноста градусам.
Также, чтобы подтвердить, что квадрат является ромбом, можно сопоставить признаки этих фигур: в обоих случаях все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами и пересекаются под углом в девяносто градусов.
В современном мире в интернете можно найти практически все материалы для выполнения необходимых расчетов. Так, существует масса ресурсов, оснащенных программами для автоматического вычисления площади той или иной фигуры. Причем, если (как в случае с ромбом) есть несколько формул для этого, то есть возможность выбирать, какой из них удобнее всего будет воспользоваться. Однако, прежде всего, необходимо самим уметь вычислять площадь ромба без помощи компьютера и ориентироваться в формулах. Для ромба их существует немало, но самые известные из них четыре.
Одним из самых простых и распространенных способов узнать площадь этой фигуры, если есть информация о длине его диагоналей. Если в задаче есть эти данные, в таком случаем можно применить следующую формулу для нахождения площади: S = КМ x LN/2 (КМ и LN – это диагонали ромба KLMN).
Можно проверить достоверность этой формулы на практике. Допустим, у ромба KLMN длина одной его диагонали КМ – 10 см, а второй LN – 8 см. Тогда подставляем эти данные в указанную выше формулу, и получаем следующий результат: S = 10 х 8/ 2= 40 см2.
Существует и другая формула. Как было указано выше в определении ромба, он является не просто четырехугольником, но и параллелограммом, и обладает всеми особенностями данной фигуры. В таком случае для нахождения ее площади вполне целесообразно использовать формулу, применяемую для параллелограмма: S = KL х Z. В данной случае KL – это длинна стороны параллелограмма (ромба), а Z – это длинна высоты, проведенной к данной стороне.
В отдельных задачах длина стороны не предоставлена, зато известен периметр ромба. Поскольку выше была указана формула его нахождения, с ее помощью можно узнать и длину стороны. Итак, периметр фигуры - 10 см. Длину стороны можно узнать, инвертировав формулу периметра и разделив 10 на 4. Результатом окажется 2,5 см - это и есть искомая длина стороны ромба.
Теперь стоит попробовать подставить это число в формулу, зная, что длинна высоты, проведенной к стороне, также равна 2,5 см. Теперь попробуем поставить эти значения в вышеупомянутую формулу площади параллелограмма. Получается, что площадь ромба равна S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см2.
Те, кто уже освоили синусы и косинусы, могут использовать для нахождения площади ромба формулы, содержащие их. Классическим примером служит следующая формула: S = КМ2 х Sin KLM. В данном случае площадь фигуры равна произведению двух сторон ромба, умноженному на синус угла между ними. А поскольку в ромбе все стороны одинаковы, то проще сразу произвести одну сторону в квадрат, как и было показано в формуле.
Проверяем на практике данную схему, причем не просто к ромбу, а к квадрату, у которого, как известно, все углы прямые, а значит, равны девяносто градусам. Допустим, одна из сторон равна 15 см. Также известно, что синус угла в 90° равен единице. Тогда, согласно формуле, S = 15 х 15 х Sin 90°= 255х1=255 см2.
Помимо вышеперечисленных, в отдельных случаях используется еще одна формула, с использованием синуса для определения площади ромба: S = 4 х R2/Sin KLM. В данном варианте используется радиус вписанной в ромб окружности. Он возносится в степень квадрата и умножается на четыре. А весь результат делиться на синус угла, близлежащего к вписанной фигуре.
В качестве примера для простоты вычислений возьмем опять квадрат (синус его угла будет всегда равен единице). Радиус вписанного в него круга – 4,4 см. Тогда площадь ромба будет вычисляться так: S= 4 х 4,42/ Sin 90 °= 77,44 см2
Приведенные выше формулы нахождения радиуса ромба - далеко не единственные в своем роде, однако они являются наиболее простыми для понимания и проведения вычислений.
Ромб (с древнегреческого ῥόμβος и с латинского rombus «бубен») является параллелограммом, для которого характерно наличие одинаковых по длине сторон. В случае, когда углы составляют 90 градусов (или прямой угол), такую геометрическую фигуру называют квадратом. Ромб - геометрическая фигура, разновидность четырехугольников. Может быть и квадратом, и параллелограммом.
Происхождение данного термина
Поговорим немного об истории данной фигуры, что поможет немного раскрыть для себя загадочные тайны древнего мира. Привычное для нас слово, часто встречающееся в школьной литературе, «ромб», берет свое начало от древнегреческого слова «бубен». В Древней Греции эти музыкальные инструменты производились в форме ромба или квадрата (в отличие от современных приспособлений). Наверняка вы заметили, что карточная масть - бубна - обладает ромбической формой. Формирование этой масти восходит к тем временам, когда круглые бубны не использовались в обиходе. Следовательно, ромб - древнейшая историческая фигура, которая была изобретена человечеством задолго до появления колеса.
Впервые такое слово, как «ромб» было употреблено столь известными личностями, как Герон и Папа Александрийский.
Свойства ромба
Признаки ромба
Ромб в тех случаях является параллелограммом, когда отвечает следующим условиям:
Площадь ромба
Площадь ромба можно рассчитать посредством нескольких формул (в зависимости от предоставленного в задаче материала). Далее читайте о том, чему равна площадь ромба.
Инструкция
Чтобы определить площадь, нужно ознакомиться с еще небольшим списком свойств принадлежащих ромбу:
- противоположные углы всегда равны;
Диагонали перпендикулярны друг к другу;
Также диагонали в точке пересечения делятся пополам;
Диагонали делят углы пополам, поэтому являются и биссектрисами;
Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°;
Подробно было написано про диагонали ромба, что не зря, потому что они используются в формуле для нахождения площади.
Первая формула: S=d1*d2/2, где d1,d2 - являются диагоналями ромба.
Вторая формула использует угол ромба, прилежащий к одной из сторон, которая также используется в вычислении.
S=a*2sin(α), где a - сторона ромба; α - угол между сторонами ромба. Найти от данного угла синус не составит сложности, если у вас под рукой имеется калькулятор или вы найдете значения в специальной таблице синусов.
Формула вычисление площади ромба, содержащая синус угла, не единственная. Есть следующий способ:
S=4r^2/sin(α). Все значения известны и понятны, кроме появившегося r - это максимальный радиус окружности, который может поместиться в фигуре.
И последняя формула:
S=a*H, где a, как уточнялось заранее,- это сторона; Н - высота ромба.
Если все стороны плоской геометрической фигуры с параллельными противоположными сторонами (параллелограмма) равны, диагонали пересекаются под углом в 90° и делят пополам углы в вершинах многоугольника, то ее можно назвать ромбом. Эти дополнительные свойства четырехугольника значительно упрощают формулы нахождение его площади.
Инструкция
Если известны длины обеих диагоналей ромба (E и F), то для нахождения площади фигуры (S) рассчитайте значение половины произведения этих двух величин: S=½*E*F.
Если в условиях задачи дана длина одной из сторон (A), а также высота (h) этой геометрической фигуры, то для нахождения площади (S) используйте формулу, применяемую ко всем параллелепипедам. Высота - это перпендикулярный стороне отрезок, соединяющий ее с одной из вершин ромба. Формула вычисления площади с использованием этих данных очень проста - их надо перемножить: S=A*h.