У каждой трапеции имеются две боковые стороны и два основания. Для того, чтобы узнать площадь, периметр или другие параметры этой фигуры, нужно знать хотя бы одну из боковых сторон. Также нередко по условиям задач требуется находить боковую сторону прямоугольной трапеции.

Инструкция

Начертите прямоугольную трапецию ABCD. Боковые стороны этой фигуры обозначьте, соответственно, как AB и DC. Первая боковая сторона DC совпадает с высотой трапеции. Она перпендикулярна двум основаниям прямоугольной трапеции.
Существует несколько способов нахождения боковых сторон. Так например, если в задаче дана вторая боковая сторона BA и угол ABH=60, то первую высоту найдите наиболее простым из способов, проведя высоту BH:
BH=AB*sin?
Поскольку BH=CD, то СD=AB*sin?=?3AB/2

Если, наоборот, дана сторона трапеции, обозначенная, как CD, а требуется найти ее же сторону AB, такая задача решается несколько иным образом. Так как BH=CD, и при этом, BH представляет собой катет треугольника ABH, можно сделать вывод, что сторона AB равна:
AB=BH/sin?=2BH/?3

Задачу можно решить и в том случае, если значения углов неизвестны, при условии, что даны два основания и боковая сторона AB. Однако, в этом случае можно найти только сторону CD, которая является высотой трапеции. Первоначально, зная значения оснований, найдите длину отрезка AH. Он равен разности большего и меньшего оснований, поскольку известно, что BH=CD:
AH=AD-BC
Затем, используя теорему Пифагора, найдите высоту BH, равную стороне CD:
BH=?AB^2-AH^2

Если у прямоугольной трапеции есть диагональ BD и угол 2?, как показано на рисунке 2, то сторону AB можно найти также по теореме Пифагора. Для этого, сначала вычислите длину основания AD:
AD=BD*cos2?
Затем найдите сторону AB следующим образом:
AB=?BD^2-AD^2
После этого докажите подобие треугольников ABD и BCD. Так как у этих треугольников одна общая сторона - диагональ, и при этом, два угла равны, как видно из рисунка, то эти фигуры подобны. На основании этого доказательства найдите вторую боковую сторону. Если известно верхнее основание и диагональ, то сторону найдите обычным образом с использованием стандартной теоремы косинусов:
c^2=а^2+b^2-2ab cos ?, где а, b, с - стороны треугольника, ? - угол между сторонами а и b.

Трапеция представляет собой обычный четырехугольник, обладающий добавочным свойством параллельности двух своих сторон, которые называются основаниями. Поэтому этот вопрос, во-первых, следует понимать с точки зрения отыскания боковых сторон. Во-вторых, для задания трапеции требуется не менее четырех параметров.

Инструкция

В данном конкретном случае самым общим ее заданием (не избыточным) следует считать условие: даны длины верхнего и нижнего оснований, а также вектор одной из диагоналей. Индексы координат (дабы написание не было похоже на умножение) будут выделены курсивом).Для графического изображения процесса решения постройте рисунок 1.

Пусть в представленной задаче рассматривается трапеция AВCD. В ней даны длины оснований ВC=b и АD=a, а также диагональ АС, заданная вектором p(px, py). Его длина (модуль) |p|=p=sqrt(((px)^2 +(py)^2). Так как вектор задается еще и углом наклона к оси (в задаче - 0X), то обозначьте его через ф (угол CAD и параллельный ему угол ACB). Далее необходимо применить известную со школьной программы теорему косинусов. При этом искомую величину (длины CD или АВ при составлении уравнения обозначьте через х).

Теперь рассмотрите треугольник ABC. Длина стороны АС равна модулю вектора |p|=p. BC=a. По теореме косинусов x^2=p^2+ a^2-2pacosф. х=AB=sqrt(p^2+ a^2-2pacosф).

Хотя квадратное уравнение и имеет два корня, в данном случае необходимо выбрать лишь те, где перед корнем из дискриминанта стоит знак плюс, при этом заведомо исключив отрицательные решения. Это обусловлено тем, что длина стороны трапеции должна быть заведомо положительной.

Итак, искомые решения в виде алгоритмов решения данной задачи получены. Чтобы представить числовое решение остается подставить данные из условия. При этом cosф вычисляется, как направляющий вектор (орт) вектора p=px/sqrt(px^2+py^2).

Обратите внимание

Конечно, возможны и другие исходные данные, например задание двух диагоналей и высоты трапеции. Но в любом случае вам потребуется информация о расстоянии между основаниями трапеции.

Трапеция - геометрическая фигура с четырьмя углами, две стороны которой параллельны друг другу и называются основаниями, а две другие - не параллельны и называются боковыми.

Инструкция

Рассмотрим две задачи с разными начальными данными.Задача 1.Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции , если известно основание BC = b, основание AD = d и угол при боковой стороне BAD = Альфа.Решение:Опустите перпендикуляр (высоту трапеции ) из вершины B до пересечения с большим основание м, получите отрезок BE. Запишите AB по формуле через величину угла: AB = AE/cos(BAD) = AE/cos(Альфа).

Найдите AE. Оно будет равно разности длин двух оснований, деленной пополам. Итак: AE = (AD - BC)/2 = (d - b)/2.Теперь найдите AB = (d - b)/(2*cos(Альфа)).В равнобедренной трапеции длины боковых сторон равны, следовательно, CD = AB = (d - b)/(2*cos(Альфа)).

Задача 2.Найдите боковую сторону трапеции AB, если известно верхнее основание BC = b- нижнее основание AD = d- высота BE = h и угол при противоположной боковой стороне CDA равен Альфа.Решение:Проведите вторую высоту из вершины C до пересечения с нижним основание м, получите отрезок CF. Рассмотрите прямоугольный треугольник CDF, найдите сторону FD по следующей формуле: FD = CD*cos(CDA). Длину боковой стороны CD найдите из другой формулы: CD = CF/sin(CDA). Итак: FD = CF*cos(CDA)/sin(CDA). CF = BE = h, следовательно, FD = h*cos(Альфа)/sin(Альфа) = h*ctg(Альфа).

Рассмотрите прямоугольный треугольник ABE. Зная длины его сторон AE и BE, вы можете найти третью сторону - гипотенузу AB. Вам известна длина стороны BE, AE найдите следующим образом: AE = AD - BC - FD = d - b - h*ctg(Альфа).Используя следующее свойство прямоугольного треугольника - квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов - найдите AB:AB(2) = h(2) + (d - b - h*ctg(Альфа))(2).Значение боковой стороны трапеции AB равно квадратному корню из выражения, расположенного в правой стороне равенства.

Все интересное

Трапеция - математическая фигура, четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна, а другая - нет. Площадь трапеции - одна из основных числовых характеристик. Инструкция1Основная формула подсчета площади трапеции выглядит…

Площадь и периметр - основные числовые характеристики любых геометрических фигур. Нахождение этих величин упрощается благодаря общепринятым формулам, согласно которым можно также вычислить одно через другое с минимумом или полным отсутствием…

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Эти стороны называются основаниями. Их конечные точки соединены отрезками, которые называются боковыми сторонами. У равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
…

Трапеция - четырехугольник с двумя параллельными основаниями и не параллельными боковыми сторонами. Прямоугольная трапеция имеет прямой угол при одной боковой стороне. Инструкция1Периметр прямоугольной трапеции равен сумме длин сторон двух оснований…

Математическая фигура с четырьмя углами называется трапецией, если пара противоположных ее сторон параллельна, а другая пара - нет. Параллельные стороны называют основаниями трапеции, две другие - боковыми. В прямоугольной трапеции один из углов при…

Трапеция, в которой длины боковых сторон равны, а основания параллельны, называется равнобедренной или равнобокой. Обе диагонали в такой геометрической фигуре имеют одинаковую длину, которую в зависимости от известных параметров трапеции можно…

Геометрия — наука, которую начинают изучать еще в школе. Ошибочно думать, что она никак не пригодится в жизни. Иногда необходимы точные размеры фигур, чтобы сделать, к примеру, WEB-дизайн помещения. А фигуры встречаются разные, в том числе и трапеции. Часто надо найти значения их боковых сторон или основания. Давайте в подробностях рассмотрим, как найти боковую сторону данного четырехугольника различной формы, если известны его углы, основания, диагонали, площадь и т.п.

Как найти боковую сторону трапеции, если известны основания?

Трапеция — это четырёхугольник, у которого параллельны лишь две стороны. И эти не пересекающиеся отрезки называются основаниями данной фигуры. Трапеции бывают различных вариантов:

• Равнобокие — это те, у которых боковые стороны равны.
• Прямоугольные — имеют у основания один прямой угол.
• Остроугольные, разносторонние — с двумя острыми углами у основания.
• Тупоугольные, разносторонние — с одним тупым углом у основания.

Рассмотрим вариант нахождения боковой стороны (высоты) прямоугольной трапеции, если вам даны значения оснований.

Чтобы решить данную задачу, вам понадобится сделать следующее:

• Проведите вторую высоту — ВН в четырехугольнике.
• Получившийся отрезок ВН = СД, так как основание ВС параллельно АД.
• Образовавшийся треугольник АВС — равнобедренный, ведь АС — биссектриса, соответственно углы у основания равны и АВ = СВ = 10 см.
• Рассмотрим треугольник АВН, фактически у нас известны две стороны его: ВА и АН. АН = АД — CD = 16 — 10 = 6 см.
• Отсюда по теореме Пифагора: ВН² = АВ² — НА² = 64; ВН = 8 см, соответственно и СД тоже равно 8 сантиметров.

Кроме того, если вам известен угол ВАД, то СД = (АД — ВС) tg α либо СД = АВ sin α.

Большая боковая сторона рассчитывается по следующим формулам:

• АВ² = СД² + (АД — ВС)²
• АВ = (АД — ВС)/cos ∠ВАН
• АВ = CД/sin ∠ВАН

Как найти боковую сторону прямоугольной трапеции, если известны диагонали, площадь, средняя линия?

Если обозначить высоту трапеции — b, большую боковую сторону — c, основания — a и к, диагонали — d1 и d2. Больший угол между ними β, меньший — α, то высоту (боковую сторону трапеции) можно найти по следующим формулам:

b = d2 d1/ (a + к) sin α;

или же b = d2 d1/ (a + к) sin β

Для того чтоб определить b — меньшую сторону прямоугольной трапеции, с — большую сторону фигуры, с известными данными S — площадью, n — средней линией, применяйте следующие расчеты:

b = S/n = 2S/ (a + к)

с = S/n sin α = 2S/ (a + к) sin α

Как найти боковые стороны равнобедренной трапеции?

Итак, у равнобокой трапеции АВ = DC. Если вам даны различные величины, то боковые стороны можно найти по нижеприведенным формулам:

• если известны высота — h и угол — α, то АВ = DC = h/ sin α;
• если даны значения оснований и угол — α , то АВ = DC = (a — b)/ cos α;
• если даны диагонали d и основания, то АВ² = DC² = d² — b a;
• если известны значения средней линии — l, площадь — S, углы — α либо — β (вверху возле основания b, то АВ = DC = S/ l sin α = S/ l sin α.

АВ = DC = S/ (b + a) sin α = S/ (b + a) sin β

В дальнейшем, если вы выучите формулы и научитесь верно рисовать чертежи данных фигур, то решить задачку по геометрии вам не составит труда. Ведь по правильной картинке ответ задачи практически виден сразу.