Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Для этого мы следуем известному алгоритму :
1 . Находим ОДЗ функции.
2 . Находим производную функции
3 . Приравниваем производную к нулю
4 . Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции 0" title="f^{prime}(x)>0">, то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
5 . Находим точки максимума и минимума функции .
В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-" .
В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+" .
6 . Находим значение функции в концах отрезка,
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:
Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для
1 . Задание B15 (№ 26695)
На отрезке .
1. Функция определена при всех действительных значениях х
Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.
Ответ: 5.
2 . Задание B15 (№ 26702)
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
1. ОДЗ функции title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:
Следовательно, title="3/{cos^2{x}}>=3">, значит, title="3/{cos^2{x}}-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .
Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:
Title="y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0">
Ответ: 5.
3 . Задание B15 (№ 26708)
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
1. ОДЗ функции : title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.
Промежутку принадлежат два числа: и
Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки и производная меняет знак.
Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:
Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .
Процесс поиска наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке напоминает увлекательный облёт объекта (графика функции) на вертолёте с обстрелом из дальнобойной пушки определённых точек и выбором из этих точек совсем особенных точек для контрольных выстрелов. Точки выбираются определённым образом и по определённым правилам. По каким правилам? Об этом мы далее и поговорим.
Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .
Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .
Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .
Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, - в критической точке .
Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.
Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .
Решение. Находим производную данной функции как производную частного:
.
Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .
Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.
Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :
Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .
Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции:
Приравниваем производную нулю:
Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .
В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.
Пример 8. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?
Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :
Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём
.
Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .
Пример 9. Из пункта A , находящегося на линии железной дороги, в пункт С , отстоящий от неё на расстоянии l , должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?
На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала x , который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [ a ; b ] , так и открытый интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , бесконечный интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) либо бесконечный промежуток - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
В этом материале мы расскажем, как вычисляется наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x) y = f (x) .
Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.
Определение 1
Наибольшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке x – это значение m a x y = f (x 0) x ∈ X , которое при любом значении x x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f (x) ≤ f (x 0) .
Определение 2
Наименьшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке x – это значение m i n x ∈ X y = f (x 0) , которое при любом значении x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f(X f (x) ≥ f (x 0) .
Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее самое большое значение на известном интервале при абсциссе x 0 , а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x 0 .
Определение 3
Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0 .
Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.
Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.
Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.
Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:
Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (m a x y и m i n y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [ - 6 ; 6 ] .
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [ - 3 ; 2 ] . Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.
Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает m a x y (наибольшее значение) и m i n y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (- 6 ; 6) .
Если мы возьмем интервал [ 1 ; 6) , то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x , равном 6 , если бы x = 6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5 .
На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала (- 3 ; 2 ] , а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.
На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь m a x y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1 . Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 .
Если мы возьмем интервал x ∈ 2 ; + ∞ , то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2 , то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x = 2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 . Именно этот случай изображен на рисунке 8 .
В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.
Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.
Пример 1
Условие: задана функция y = x 3 + 4 x 2 . Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [ 1 ; 4 ] и [ - 4 ; - 1 ] .
Решение:
Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0 . Иными словами, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.
Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:
y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " · x 2 - x 3 + 4 · x 2 " x 4 = = 3 x 2 · x 2 - (x 3 - 4) · 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [ 1 ; 4 ] и [ - 4 ; - 1 ] .
Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x 3 - 8 x 3 = 0 . У него есть только один действительный корень, равный 2 . Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [ 1 ; 4 ] .
Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x = 1 , x = 2 и x = 4:
y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Мы получили, что наибольшее значение функции m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 будет достигнуто при x = 1 , а наименьшее m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – при x = 2 .
Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Значит, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Ответ: Для отрезка [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , для отрезка [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
См. на рисунке:
Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.
Условие: дана функция y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .
Решение
Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.
Теперь выполним дифференцирование функции и получим:
y " = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 · e 1 x 2 + x - 6 " = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.
Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x = - 1 2 . Это стационарная точка, которая находится в интервалах (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .
Вычислим значение функции при x = - 4 для промежутка (- ∞ ; - 4 ] , а также предел на минус бесконечности:
y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Поскольку 3 e 1 6 - 4 > - 1 , значит, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение - 1 , поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.
Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к - 3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Значит, значения функции будут расположены в интервале - 1 ; + ∞
Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x = - 1 2 , если x = 1 . Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к - 3 с правой стороны:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 . Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до - 4 .
Для интервала (- 3 ; 2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
Значит, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом - 4 .
Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [ 1 ; 2) наибольшее значение функция примет при x = 1 , а найти наименьшее невозможно.
На промежутке (2 ; + ∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка - 1 ; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Вычислив, чему будет равно значение функции при x = 4 , выясним, что m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y = - 1 .
Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Иногда в задачах B14 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ. В этом случае работают другие приемы, один из которых монотонность. Определение Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее: x 1
Определение. Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее: x 1 f (x 2). Другими словами, для возрастающей функции чем больше x, тем больше f (x). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x, тем меньше f (x).
Примеры. Логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Примеры. Логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Примеры. Логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)">
Примеры. Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0: 1 и убывает при 0 0:"> 1 и убывает при 0 0:"> 1 и убывает при 0 0:" title="Примеры. Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0:"> title="Примеры. Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0:">
0) или вниз (a 0) или вниз (a 9 Координаты вершины параболы Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график стандартная парабола, в которой нас интересуют ветви: Ветви параболы могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a 0) или наибольшее (a 0) или вниз (a 0) или вниз (a 0) или наибольшее (a 0) или вниз (a 0) или вниз (a title="Координаты вершины параболы Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график стандартная парабола, в которой нас интересуют ветви: Ветви параболы могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a
Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a) и f (b) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума; Но таких точек всего одна это вершина параболы x 0, координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.
Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам: Выписать уравнение параболы и найти ее вершину по формуле: Найти значение исходной функции в этой точке: f (x 0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.
0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" title="Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" title="Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> title="Найдите наименьшее значение функции: Решение: Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3">
Найдите наименьшее значение функции: Решение Под логарифмом снова квадратичная функция.График парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1" title="Найдите наименьшее значение функции: Решение Под логарифмом снова квадратичная функция.График парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> title="Найдите наименьшее значение функции: Решение Под логарифмом снова квадратичная функция.График парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболы: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1">
Найдите наибольшее значение функции: Решение: В показателе стоит квадратичная функция Перепишем ее в нормальном виде: Очевидно, что график этой функции парабола, ветви вниз (a = 1
Следствия из области определения функции Иногда для решения задачи B14 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:
0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:" title="1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:" class="link_thumb"> 26 1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю: 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:"> 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:"> 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:" title="1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:"> title="1. Аргумент логарифма должен быть положительным: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел: 3.Знаменатель дроби не должен равняться нулю:">
Решение Под корнем снова квадратичная функция. Ее график парабола, но ветви направлены вниз, поскольку a = 1
Теперь найдем вершину параболы: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Точка x 0 = 1 принадлежит отрезку ОДЗ и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x 0, а также на концах ОДЗ: y(3) = y(1) = 0 Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее это число 2. Ответ: 2
Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают. Ищем вершину параболы: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Вершина параболы подходит по ОДЗ: x 0 = 3 (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x 0:
Y min = y(3) = log 0,5 (6 ·) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Ответ: -2
Пусть функция у = f (х) непрерывна на отрезке [a, b ]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b ], либо на границе отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b ] необходимо:
1)найти критические точки функции в интервале (a, b );
2)вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x = а и х = b ;
4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке .
Находим критические точки:
Эти точки лежат внутри отрезка ; y (1) = ‒ 3; y (2) = ‒ 4; y (0) = ‒ 8; y (3) = 1;
в точке x = 3 и в точкеx = 0.
Функция y = f (x ) называется выпуклойвверх на промежутке (a , b ) , если ее график лежит под касательной, проведенной в любой точке этого промежутка, и называется выпуклой вниз (вогнутой) , если ее график лежит над касательной.
Точка, при переходе через которую выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называется точкой перегиба .
Алгоритм исследования на выпуклость и точку перегиба:
1. Найдеми критические точки второго рода, то есть точки в которых вторая производная равна нулю или не существует.
2. Нанести критические точки на числовую прямую, разбивая ее на промежутки. Найти знак второй производной на каждом промежутке; если , то функция выпуклая вверх, если, то функция выпуклая вниз.
3. Если при переходе через критическую точку второго рода поменяет знак и в этой точке вторая производная равна нулю, то эта точка ‒ абсцисса точки перегиба. Найти ее ординату.
Определение. Асимптотой графика функции называется прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от любой точки графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Существуют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Определение. Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции у = f (х) , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть
где ‒ точка разрыва функции, то естьне принадлежит области определения.
Пример.
D (y ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x = 2 ‒ точка разрыва.
Определение. Прямая у = A называется горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х) при , если
Пример.
x | |||
y |
Определение. Прямая у = k х + b (k ≠ 0) называется наклонной асимптотой графика функции у = f (х) при , где
Алгоритм исследования функции у = f (х) :
1. Найти область определения функцииD (y ).
2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат (при x = 0 и при y = 0).
3. Исследовать на четность и нечетность функции(y (‒ x ) = y (x ) ‒ четность; y (‒ x ) = ‒ y (x ) ‒ нечетность).
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти интервалы монотонности функции.
6. Найти экстремумы функции.
7. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.
8. На основании проведенных исследований построить график функции.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
1) D (y ) =
x = 4 ‒ точка разрыва.
2) При x = 0,
(0; ‒ 5) ‒ точка пересечения с oy .
При y = 0,
3) y (‒ x )= функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
4) Исследуем на асимптоты.
а) вертикальные
б) горизонтальные
в) найдем наклонные асимптоты где
‒уравнение наклонной асимптоты
5) В данном уравнении не требуется найти интервалы монотонности функции.
6)
Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервале (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)и (10; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы.