- — [] квадратичная функция Функция вида y= ax2 + bx + c (a ? 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а>0 ветви параболы… …

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая ФУНКЦИЯ, значение которой зависит от квадрата независимой переменной, х, и задается, соответственно, квадратичным МНОГОЧЛЕНОМ, например: f(x) = 4х2 + 17 или f(x) = х2 + 3х + 2. см. также КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ … Научно-технический энциклопедический словарь

Квадратичная функция - Квадратичная функция — функция вида y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а> 0 ветви параболы направлены вверх, при a< 0 –вниз… …

- (quadratic) Функция, имеющая следующий вид: у=ах2+bх+с, где a≠0 и высшая степень х – квадрат. Квадратное уравнение у=ах2 +bх+с=0 может быть также решено с использованием следующей формулы: х= –b+ √ (b2–4ac) /2а. Эти корни являются действительными … Экономический словарь

Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве S называется всякая функция Q: S→K, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=q(x)+l(x)+c, где q квадратичная функция, l линейная функция, с константа. Содержание 1 Перенос начала отсчета 2… … Википедия

Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве называется всякая функция, имеющая в векторизованной форме вид, где симметричная матрица, линейная функция, константа. Содержание … Википедия

Функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения … Википедия

- – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения… … Википедия

целевая функция - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… … Справочник технического переводчика

Целевая функция - в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… … Экономико-математический словарь

Книги

• Комплект таблиц. Математика. Графики функций (10 таблиц) , . Учебный альбом из 10 листов. Линейная функция. Графическое и аналитическое задание функций. Квадратичная функция. Преобразование графика квадратичной функции. Функция y=sinx. Функция y=cosx.…
• Важнейшая функция школьной математики - квадратичная - в задачах и решениях , Петров Н.Н.. Квадратичная функция является основной функцией школьного курса математики. Это неудивительно. С одной стороны - простота данной функции, а с другой - глубокий смысл. Многие задачи школьного…

Квадратичной функцией называется функция вида:
y=a*(x^2)+b*x+c,
где а - коэффициент при старшей степени неизвестной х,
b - коэффициент при неизвестной х,
а с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Рис.1 Общий вид параболы.

Есть несколько различных способов построения графика квадратичной функции. Мы рассмотрим основной и самый общий из них.

Алгоритм построения графика квадратичной функции y=a*(x^2)+b*x+c

1. Построить систему координат, отметить единичный отрезок и подписать координатные оси.

2. Определить направление ветвей параболы (вверх или вниз).
Для этого надо посмотреть на знак коэффициента a. Если плюс - то ветви направлены вверх, если минус - то ветви направлены вниз.

3. Определить координату х вершины параболы.
Для этого нужно использовать формулу Хвершины = -b/2*a.

4. Определить координату у вершины параболы.
Для этого подставить в уравнение Увершины = a*(x^2)+b*x+c вместо х, найденное в предыдущем шаге значение Хвершины.

5. Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Оу.

6. Найти точки пересечения графика с осью Ох.
Для этого требуется решить квадратное уравнение a*(x^2)+b*x+c = 0 одним из известных способов. Если в уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не пересекает ось Ох.

7. Найти координаты точки пересечения графика с осью Оу.
Для этого подставляем в уравнение значение х=0 и вычисляем значение у. Отмечаем эту и симметричную ей точку на графике.

8. Находим координаты произвольной точки А(х,у)
Для этого выбираем произвольное значение координаты х, и подставляем его в наше уравнение. Получаем значение у в этой точке. Нанести точку на график. А также отметить на графике точку, симметричную точке А(х,у).

9. Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки, до конца координатной оси. Подписать график либо на выноске, либо, если позволяет место, вдоль самого графика.

Пример построения графика

В качестве примера, построим график квадратичной функции заданной уравнением y=x^2+4*x-1
1. Рисуем координатные оси, подписываем их и отмечаем единичный отрезок.
2. Значения коэффициентов а=1, b=4, c= -1. Так как а=1, что больше нуля ветви параболы направлены вверх.
3. Определяем координату Х вершины параболы Хвершины = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Определяем координату У вершины параболы
Увершины = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Отмечаем вершину и проводим ось симметрии.
6. Находим точки пересечения графика квадратичной функции с осью Ох. Решаем квадратное уравнение x^2+4*x-1=0.
х1=-2-√3 х2 = -2+√3. Отмечаем полученные значения на графике.
7. Находим точки пересечения графика с осью Оу.
х=0; у=-1
8. Выбираем произвольную точку B. Пусть она имеет координату х=1.
Тогда у=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Соединяем полученные точки и подписываем график.

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y 2 = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

• x 0 = -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b 2 — 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, то х 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей;
• найти координаты вершины;
• найти пересечение с осью ординат;
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
2. координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4;
4. найдем дискриминант: D = 25 - 16 = 9;
5. ищем корни:

• Х 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• Х 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Пример 2.

Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
2. координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• Х 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое квадратичная функция, и с чем ее едят. Если ты считаешь себя профи по части квадратичных функций, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему .

Начнем с небольшой проверки :

1. Как выглядит квадратичная функция в общем виде (формула)?
2. Как называется график квадратичной функции?
3. Как влияет старший коэффициент на график квадратичной функции?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по .

Итак, ты уже умеешь обращаться с квадратичной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам.

Ну что же, вот она: .

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты .

1. Старший коэффициент отвечает за «крутизну» параболы, или, по-другому, за ее ширину: чем больше, тем парабола у́же (круче), а чем меньше, тем парабола шире (более пологая).
2. Свободный член - это координата пересечения параболы с осью ординат.
3. А коэффициент каким-то образом отвечает за смещение параболы от центра координат. Вот об этом сейчас подробнее.

С чего мы всегда начинаем строить параболу? Какая у нее есть отличительная точка?

Это вершина . А как найти координаты вершины, помнишь?

Абсцисса ищется по такой формуле:

Вот так: чем больше , тем левее смещается вершина параболы.

Ординату вершины можно найти, подставив в функцию:

Подставь сам и посчитай. Что получилось?

Если сделать все правильно и максимально упростить полученное выражение, получится:

Получается, что чем больше по модулю , тем выше будет вершина параболы.

Перейдем, наконец, к построению графика.
Самый простой способ - строить параболу, начиная с вершины.

Пример:

Построить график функции.

Решение:

Для начала определим коэффициенты: .

Теперь вычислим координаты вершины:

А теперь вспоминаем: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом выглядят одинаково. Значит, если мы построим параболу и переместим ее вершиной в точку, получится нужный нам график:

Просто, правда?

Остается только один вопрос: как быстро рисовать параболу? Даже если мы рисуем параболу с вершиной в начале координат, все равно приходится строить ее по точкам, а это долго и неудобно. А ведь все параболы выглядят одинаково, может, есть способ ускорить их рисование?

Когда я учился в школе, учительница математики сказала всем вырезать из картона трафарет в форме параболы, чтобы быстро ее чертить. Но с трафаретом везде ходить не получится, да и на экзамен его взять не разрешат. Значит, не будем пользоваться посторонними предметами, а будем искать закономерность.

Рассмотрим простейшую параболу. Построим ее по точкам:

Закономерность здесь такая. Если из вершины сместиться вправо (вдоль оси) на, и вверх (вдоль оси) на, то попадем в точку параболы. Дальше: если из этой точки сместиться вправо на и вверх на, снова попадем в точку параболы. Дальше: вправо на и вверх на. Дальше что? Вправо на и вверх на. И так далее: смещаемся на вправо, и на следующее нечетное число вверх. То же самое потом проделываем с левой веткой (ведь парабола симметрична, то есть ее ветви выглядят одинаково):

Отлично, это поможет построить из вершины любую параболу со старшим коэффициентом, равным. Например, нам стало известно, что вершина параболы находится в точке. Построй (самостоятельно, на бумаге) эту параболу.

Построил?

Должно получиться так:

Теперь соединяем полученные точки:

Вот и все.

ОК, ну что же, теперь строить только параболы с?

Конечно, нет. Сейчас разберемся, что с ними делать, если.

Рассмотрим несколько типичных случаев.

Отлично, параболу рисовать научились, давай теперь потренируемся на настоящих функциях.

Итак, нарисуй графики таких функций:

Ответы:

3. Вершина: .

Помнишь, что делать, если старший коэффициент меньше?

Смотрим на знаменатель дроби: он равен. Значит, будем двигаться так:

• вправо - вверх
• вправо - вверх
• вправо - вверх

и так же влево:

4. Вершина: .

Ой, а что с этим делать? Как отмерять клетки, если вершина где-то между линиями?..

А мы схитрим. Нарисуем сперва параболу, а уже потом переместим ее вершиной в точку. Даже нет, поступим еще хитрее: Нарисуем параболу, а потом переместим оси: - на вниз , а - на вправо :

Этот прием очень удобен в случае любой параболы, запомни его.

Напомню, что мы можем представить функцию в таком виде:

Например: .

Что это нам дает?

Дело в том, что число, которое вычитается из в скобках () - это абсцисса вершины параболы, а слагаемое за скобками () - ордината вершины.

Это значит, что, построив параболу, нужно будет просто сместить ось на влево и ось на вниз.

Пример: построим график функции.

Выделим полный квадрат:

Какое число вычитается из в скобках? Это (а не, как можно решить не подумав).

Итак, строим параболу:

Теперь смещаем ось на вниз, то есть на вверх:

А теперь - на влево, то есть на вправо:

Вот и все. Это то же самое, как переместить параболу вершиной из начала координат в точку, только прямые ось двигать намного легче, чем кривую параболу.

Теперь, как обычно, сам:

И не забывай стирать ластиком старые оси!

Я в качестве ответов для проверки напишу тебе ординаты вершин этих парабол:

Все сошлось?

Если да, то ты молодец! Уметь обращаться с параболой - очень важно и полезно, и здесь мы выяснили, что это совсем не трудно.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратичная функция - функция вида, где, и -- любые числа (коэффициенты), - свободный член.

График квадратичной функции - парабола .

Вершина параболы:
, т.е. чем больше \displaystyle b , тем левее смещается вершина параболы.
Подставляем в функцию, и получаем:
, т.е. чем \displaystyle b больше по модулю , тем выше будет вершина параболы

Свободный член - это координата пересечения параболы с осью ординат.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: или через координаты вершины параболы: f (x) = a (x − h) 2 + k {\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.

Шаги

Квадратичная функция записана в стандартном виде

Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция - это функция, уравнение которой включает переменную x 2 {\displaystyle x^{2}} . Уравнение может включать или не включать переменную x {\displaystyle x} . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.

• Например, дана функция f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 {\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4} . Сложите члены с переменной x 2 {\displaystyle x^{2}} и члены с переменной x {\displaystyle x} , чтобы записать уравнение в стандартном виде:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4}

1. График квадратичной функции представляет собой параболу. Ветви параболы направлены вверх или вниз. Если коэффициент a {\displaystyle a} при переменной x 2 {\displaystyle x^{2}} a {\displaystyle a}

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6} . Здесь a = 2 {\displaystyle a=2}
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8} . Здесь , поэтому парабола направлена вниз.
   • f (x) = x 2 + 6 {\displaystyle f(x)=x^{2}+6} . Здесь a = 1 {\displaystyle a=1} , поэтому парабола направлена вверх.
   • Если парабола направлена вверх, нужно искать ее минимум. Если парабола направлена вниз, ищите ее максимум.

2. Вычислите -b/2a. Значение − b 2 a {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} – это координата x {\displaystyle x} вершины параболы. Если квадратичная функция записывается в стандартном виде a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} , воспользуйтесь коэффициентами при x {\displaystyle x} и x 2 {\displaystyle x^{2}} следующим образом:

   • В функции коэффициенты a = 1 {\displaystyle a=1} и b = 10 {\displaystyle b=10}
     • x = − 10 (2) (1) {\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}}
     • x = − 10 2 {\displaystyle x=-{\frac {10}{2}}}
   • В качестве второго примера рассмотрим функцию . Здесь a = − 3 {\displaystyle a=-3} и b = 6 {\displaystyle b=6} . Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
     • x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
     • x = − 6 (2) (− 3) {\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}}
     • x = − 6 − 6 {\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}}
     • x = − (− 1) {\displaystyle x=-(-1)}
     • x = 1 {\displaystyle x=1}

3. Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.

   • В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна x = − 5 {\displaystyle x=-5} . В исходной функции вместо x {\displaystyle x} подставьте − 5 {\displaystyle -5}
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 {\displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1}
     • f (x) = 25 − 50 − 1 {\displaystyle f(x)=25-50-1}
     • f (x) = − 26 {\displaystyle f(x)=-26}
   • Во втором примере f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} вы нашли, что координата «х» вершины параболы равна x = 1 {\displaystyle x=1} . В исходной функции вместо x {\displaystyle x} подставьте 1 {\displaystyle 1} , чтобы найти ее максимальное значение:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 {\displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4}
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 {\displaystyle f(x)=-3+6-4}
     • f (x) = − 1 {\displaystyle f(x)=-1}

4. Запишите ответ. Перечитайте условие задачи. Если нужно найти координаты вершины параболы, в ответе запишите оба значения x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Если необходимо вычислить максимум или минимум функции, в ответе запишите только значение y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Еще раз посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} , чтобы проверить, что вы вычислили: максимум или минимум.

   • В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} значение a {\displaystyle a} положительное, поэтому вы вычислили минимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами (− 5 , − 26) {\displaystyle (-5,-26)} , а минимальное значение функции равно − 26 {\displaystyle -26} .
   • Во втором примере f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} значение a {\displaystyle a} отрицательное, поэтому вы нашли максимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами (1 , − 1) {\displaystyle (1,-1)} , а максимальное значение функции равно − 1 {\displaystyle -1} .

5. Определите направление параболы. Для этого посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} . Если коэффициент a {\displaystyle a} положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент a {\displaystyle a} отрицательный, парабола направлена вниз. Например:

   • . Здесь a = 2 {\displaystyle a=2} , то есть коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх.
   • . Здесь a = − 3 {\displaystyle a=-3} , то есть коэффициент отрицательный, поэтому парабола направлена вниз.
   • Если парабола направлена вверх, нужно вычислить минимальное значение функции. Если парабола направлена вниз, необходимо найти максимальное значение функции.

6. Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента k {\displaystyle k} . В приведенных выше примерах:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 {\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} . Здесь k = − 4 {\displaystyle k=-4} . Это минимальное значение функции, потому что парабола направлена вверх.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 {\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} . Здесь k = 2 {\displaystyle k=2} . Это максимальное значение функции, потому что парабола направлена вниз.

7. Найдите координаты вершины параболы. Если в задаче требуется найти вершину параболы, ее координаты равны (h , k) {\displaystyle (h,k)} . Обратите внимание, когда квадратичная функция записана через координаты вершины параболы, в скобки должна быть заключена операция вычитания (x − h) {\displaystyle (x-h)} , поэтому значение h {\displaystyle h} берется с противоположным знаком.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 {\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} . Здесь в скобки заключена операция сложения (x+1), которую можно переписать так: (x-(-1)). Таким образом, h = − 1 {\displaystyle h=-1} . Поэтому координаты вершины параболы этой функции равны (− 1 , − 4) {\displaystyle (-1,-4)} .
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 {\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} . Здесь в скобках находится выражение (x-2). Следовательно, h = 2 {\displaystyle h=2} . Координаты вершины равны (2,2).

Как вычислить минимум или максимум с помощью математических операций

1. Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: f (x) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.

   • Например: .

2. Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна f ′ (x) = 2 a x + b {\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b} .

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 {\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} . Первая производная этой функции вычисляется следующим образом:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 {\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4}

3. Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере.