Среди многообразия геометрических фигур заметно выделяется такой четырехугольник, как ромб. Даже само его название не типично для обозначения четырехугольников. И хотя в геометрии он встречается значительно реже, чем такие простые фигуры, как круг, треугольник, квадрат или прямоугольник, его также нельзя оставлять без внимания.

Ниже представлены определение, свойства и признаки ромбов.

Определение

Ромб - это параллелограмм, имеющий равные стороны. Ромб называется квадратом, если все его углы прямые. Наиболее ярким примером ромба является изображение бубновой масти на игральной карте. Кроме того, ромб часто изображали на различных гербах. Примером ромба в повседневной жизни может служить баскетбольное поле.

Свойства

1. Противолежащие стороны ромба лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину.
2. Пересечение диагоналей ромба происходит под углом 90 о в одной точке, которая является их серединой.
3. Диагонали ромба делят угол, из вершины которого они вышли, пополам.
4. Исходя из свойств параллелограмма, можно вывести сумму квадратов диагоналей. Согласно формуле она равна стороне, возведенной в квадратичную степень и умноженной на четыре.

Признаки

Мы должны четко понимать, что любой ромб является параллелограммом, но в то же время не любой параллелограмм обладает всеми показателями ромба. Чтобы отличать эти две геометрические фигуры, нужно знать признаки ромба. Ниже перечислены характерные признаки данной геометрической фигуры:

1. Две любые стороны с общей вершиной равны.
2. Диагонали пересекаются под углом 90 о С.
3. Хотя бы одна диагональ делит углы, из точек вершин которых она выходит, пополам.

Формулы площади

Основная формула:

• S = (AC*BD)/2

Исходя из свойств параллелограмма:

• S = (AB*H AB)

Исходя из величины угла между двумя смежными сторонами ромба:

• S = AB2*sinα

Если нам известна длина радиуса окружности, вписанной в ромб:

• S = 4r 2 /(sinα), где:
  • S - площадь;
  • AB, AC, BD - обозначение сторон;
  • H - высота;
  • r - радиус окружности;
  • sinα - синус альфа.

Периметр

Чтобы вычислить периметр ромба, достаточно лишь умножить длину любой из его сторон на четыре.

Построение рисунка

У некоторых возникают трудности с построением рисунка ромба. Даже если вы уже разобрались с тем, что такое ромб, не всегда ясно, как построить его рисунок аккуратно и с соблюдением необходимых пропорций.

Есть два способа построения рисунка ромба:

1. Построить вначале одну диагональ, затем перпендикулярно к ней вторую диагональ, а потом соединить концы отрезков смежных попарно параллельных сторон ромба.
2. Отложить вначале одну сторону ромба, затем параллельно ей построить отрезок, равный по длине, и соединить концы этих отрезков также попарно параллельно.

Будьте внимательны при построении - если на рисунке сделаете длину всех сторон ромба одинаковой, вы получите не ромб, а квадрат.

Цели урока

Продолжать знакомить учеников о такой геометрической фигуре, как ромб;
Закрепить знания о таких понятиях, как ромб и квадрат, а также научиться определять их разницу;
Освежить знания школьников о свойствах и признаках ромба;
Продолжать совершенствовать знания учащихся о геометрических фигурах в процессе решения задач.
Вызвать заинтересованность к урокам геометрии.

Задачи урока

Повторить, обобщить и закрепить полученные знания о такой геометрической фигуре, как ромб;
Продолжать формировать умения и навыки построения геометрических фигур;
Усовершенствовать навыки построения ромба с помощью чертежных инструментов;
Продолжать закреплять знания школьников с использованием практических заданий;
Продолжать развивать внимание, усидчивость и стремление к познавательному процессу.

План урока

1. Раскрытие главное темы урока, определение геометрической фигуры «Ромб».
2. Ознакомление со свойствами и признаками ромба.
3. Теоремы и их доказательство.
4. Как нарисовать ромб. Способы изображения ромба.
5. Как найти площадь ромба?
6. Повторение пройденного материала.
7. Интересные факты.
8. Домашнее задание.

Определение ромба, как геометрической фигуры

Ромб - это такой параллелограмм, у которого все стороны равны. Если же ромб имеет прямые углы, то он называется квадратом.

Сам термин "Ромб" в переводе с греческого языка, обозначает "бубен". Конечно же в нашем понимании бубен, как музыкальный инструмент, имеет круглую форму. Но это сейчас бубны делают круглыми, а в древние времена он как раз и имел квадратную форму или форму ромба.

Давайте остановимся на основных определениях ромба и попробуем понять, что же являет собой эта геометрическая фигура.

Ромб – это такой равносторонний параллелограмм, у которого равные стороны, но неравные углы.

В отличие от квадрата, ромб – это равносторонний косоугольник.

Как всегда мы получаем множество определений той или иной геометрической фигуры, но это не означает, что каждый ученик должен сесть и «зазубрить» именно эти определения. Отличие в определениях – это насколько широко они описывают нашу геометрическую фигуру. Самое главное, это понимание о чем говориться в определении и возможность представить фигуру. Если вы будете придерживаться этих двух правил, то и сами сможете написать или дополнить парочку определений.

Свойства ромба

2. Вторым его свойством является то, что все диагонали ромба пересекаются под прямым углом. В точке пересечения диагонали ромба делятся пополам.

3. Биссектрисами углов ромба являются его диагонали.

4. Чтобы найти сумму квадратов диагоналей ромба, необходимо квадрат его стороны умножить на четыре.

5. Противолежащие стороны ромба равны;

6. Сумма углов ромба, которые прилежат к одной его стороне, равна 180 градусов.

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом в том случае, если он соответствует следующим условиям:

1. Во-первых, у него все стороны равны между собой;
2. Во-вторых, диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
3. В-третьих, если диагонали его углов являются биссектрисами.
4. В-четвертых, если его две смежные стороны равны между собой.
5. В-пятых, если хотя бы одна из диагоналей является биссектрисой параллелограмма.

Теоремы и их доказательство

Теперь давайте более подробно рассмотрим свойства и признаки ромба, доказав теоремы:

Теорема 1

Теорема 2

Из этого следует, что:

1. У ромба две оси симметрии – диагонали AC и BD.
2. Его диагонали взаимно перпендикулярны.
3. А также являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Но так как ромб, по сути, это параллелограмм, то его площадь можно узнать, умножив его стороны на высоту.

Формулы площади ромба:

Где: a – является стороной ромба
D – обозначается его большая диагональ
d – имеет обозначение меньшая диагональ
α – это острый угол
β – является тупым углом

Площадь любой геометрической фигуры является частью поверхности, которая ограничивается замкнутым контуром данной фигуры. А величина площади ромба выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.

Как нарисовать ромб

Чтобы нарисовать ромб воспользуемся свойствами диагоналей ромба. Нам уже известно, что диагонали нашей геометрической фигуры взаимно перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Поэтому построение ромба проще всего начать с построения его диагоналей.

Первый способ

И так, в первую очередь выбираем точку, от которой откладываем влево и право отрезки одной длины, в вверх и вниз одинаковые отрезки другой длины.

Теперь нам остается только соединить концы этих отрезков, и в результате мы получим ромб.

Второй способ

Ромб можно еще начертить без использования диагоналей. В этом случае нужно определить лишь концы диагоналей и потом соединить точки отрезками.

Третий способ

И наконец, третий способ, черчения ромба можно выполнить при помощи линейки. Так как мы с вами знаем, что ромб имеет равные стороны, то вначале нужно нарисовать его нижнюю часть. Затем необходимо отложить от нее равный отрезок. А так как третья сторона параллельна первой, то соединив концы первого и третьего отрезков, мы получим ромб.

Повторение

Вы уже познакомились с такой геометрической фигурой, как ромб и понимаете, что квадрат является его частным случаем.

1. Поэтому давайте вспомним определение, что такое квадрат? Дайте самостоятельно определение квадрата.
2. Какими свойствами обладает квадрат? Назовите их.
3. В чем все-таки разница между ромбом и квадратом, если квадрат является его частным случаем?
4. Какую фигуру называют четырехугольником, и относится ли ромб к этой геометрической фигуре?
5. Какие виды четырехугольников вы уже изучали? Назовите их.
6. Какие между ними существуют отличия?

Это интересно знать

Известно ли вам, что если взять прямоугольник и соединить отрезками середины его сторон, то в итоге мы получим ромб.

А если, наоборот, мы с вами возьмем ромб и попробуем соединить его середины сторон отрезками, то мы получим такую геометрическую фигуру, как прямоугольник.

Если вы возьмете параллелограмм с равными высотами, то такой параллелограмм является ромбом.

А знаете ли вы, что названием карточной масти бубны, имеющего ромбическую форму, появилось еще в те времена, когда бубен имел далеко не круглую форму, а вид ромба или квадрата.

Впервые слово "ромб" в своем лексиконе был использован Герроном и Паппой Александрийским.

Домашнее задание

1. Как вы думаете, является ли ромбом параллелограмм, который имеет хотя бы один прямой угол?
2. Верно ли утверждение, что каждый параллелограмм является ромбом?
3. Если диагонали параллелограмма равны 5 см и 7см, может ли быть ромбом этот параллелограмм?
4. Если диагонали параллелограмма равны, то может ли он быть ромбом?
5. Назовите особое свойство ромба, которым обладают его диагонали, помимо того, что они точкой пересечения делятся пополам?
6. Подумайте, где в повседневной жизни применяется такая геометрическая фигура, как ромб?

Предмети > Математика > Математика 8 класс

Ромб — четырехугольник, стороны которого равны и попарно параллельны. В отличие от квадрата, углы у которого прямые, ромб имеет по два острых и два тупых угла, лежащих на противоположных сторонах. А вот диагонали пересекаются под прямым углом и являются одновременно биссектрисами. Точка пересечения диагоналей делит их на равные части.

Формул для нахождения диагоналей ромба много, необходимо лишь знать исходные данные и подобрать подходящую.

Как найти диагональ ромба через сторону и угол: когда известны стороны и один из углов ромба, применяют следующие формулы: Через сторону и половинный угол:

Через сторону и другую диагональ:

Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на четыре D^2+d^2=4a^2. Отсюда можно вывести, что:

Через угол и другую диагональ:

Через площадь и другую диагональ: традиционной формулой для нахождения площади ромба считается S=a*h. Но относительно диагоналей она будет выглядеть S=1/2*D*d. После преобразований получаем:

Через периметр и другую диагональ. В этом случае формулу выведем самостоятельно. Т.к. ромб имеет равные стороны, чтобы найти одну из них, периметр делим на 4: a=P/4. Диагонали перпендикулярны друг другу и образуют прямой угол. Тогда одна из сторон и половины длин диагоналей образуют прямоугольный треугольник. Далее воспользуемся теоремой Пифагора. Для большой диагонали она будет выглядеть: D=2*(a^2-(d/2)^2)^1/2. Аналогично для нахождения малой диагонали: d=2*(a^2-(D/2)^2)^1/2.

Найти меньшую диагональ ромба, если периметр равен 20 см, большая диагональ равна 8 см.

Дано: Р=20см, D=8 см. Найдем длину одной стороны ромба, разделив периметр на четыре a=20/4=5 см. Воспользуемся формулой пункта №3 и получим d=(4*5^2-8^2)^1/2=6 см.

Несмотря на кажущуюся простоту такой геометрической фигуры, как ромб, он таит в себе много интересных моментов. К нему применимы свойства параллелограмма, биссектрисы, прямоугольного, а иногда и равнобедренного треугольника. Зная формулы, легко можно решить задачи по нахождению диагоналей ромба.

Определение

Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Замечание

Ромб является частным случаем параллелограмма, так как его противоположные стороны попарно равны (третий признак).

Замечание

Ромб наследует все свойства параллелограмма.

Свойства ромба

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Доказательство

Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Докажем, что они перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Действительно, так как $ABCD$ – частный случай параллелограмма, то диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть $AO=OC, BO=OD$.

Тогда, так как $AB=BC=CD=DA$, то $\triangle AOB=\triangle BOC=\triangle COD=\triangle AOD$ по третьему признаку равенства.

Тогда $\angle 1=\angle 2=90^\circ$, так как это смежные углы.

Кроме того, $\angle 3=\angle 4=\angle 5=\angle 6$, $\angle 7=\angle 8=\angle 9=\angle 10$.

Таким образом диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Следствие

Диагонали ромба разбивают его на четыре равных прямоугольных треугольника.

Признаки ромба

Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.

Если одна из диагоналей параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм – ромб.

Если в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$, а диагональ $BD$ является биссектрисой углов $B$ и $D$, то $ABCD$ – ромб.

Доказательство

Докажем первый пункт теоремы.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором $AC\perp BD$.

Докажем, что $ABCD$ – ромб.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO=OC, BO=OD$.

Кроме того, $\angle 1=\angle 2=90^\circ$.

Тогда $\triangle AOB=\triangle AOD$ по первому признаку равенства.

Следовательно $AB=AD$.

А так как $ABCD$ – параллелограмм, то $BC=AD=AB=CD$, то есть $ABCD$ – ромб.

Докажем второй пункт теоремы.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, то есть $\angle 1=\angle 2$.

Докажем, что $ABCD$ – ромб.

$\angle 2=\angle 3$, как накрест лежащие, следовательно, $\angle 1=\angle 3$.

То есть $\triangle ABC$ – равнобедренный и $AB=BC$.

А так как $ABCD$ – параллелограмм, то $AB=CD, BC=AD$, то есть $AB=BC=CD=AD$, и $ABCD$ – ромб.

Докажем третий пункт теоремы

Заметим, что $\triangle ABC=\triangle ADC$ по второму признаку ($\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, $AC$ – общая).

Тогда $\angle B=\angle D$, а следовательно, равны и их половины: $\angle 5=\angle 6=\angle7=\angle 8$.

Но тогда треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$ – равнобедренные: $AB=AD, BC=CD$.

Кроме того $\triangle ABD=\triangle BCD$ по второму признаку ($BD$ – общая, $\angle 5=\angle6, \angle 7=\angle 8$).

А значит $AB=BC$ и $AD=CD$.

Таким образом все стороны четырёхугольника равны между собой: $AB=BC=CD=DA$.