Цели урока

Закрепить знания учеников по теме прямоугольник;
Продолжать знакомить учащихся с определениями и свойствами прямоугольника;
Научить школьников использовать полученные знания по этой теме во время решения задач;
Развить заинтересованность к предмету математики, внимание, логическое мышление;
Воспитывать умение к самоанализу и дисциплине.

Задачи урока

Повторить и закрепить знания школьников о таком понятии, как прямоугольник, отталкиваясь от полученных знаний в предыдущих классах;
Продолжать усовершенствовать знания школьников о свойствах и признаках прямоугольников;
Продолжать формировать навыки в процессе решения заданий;
Вызвать интерес к урокам математики;
Воспитывать интерес к точным наукам и положительное отношение к урокам математики.

План урока

1. Теоретическая часть, общие сведения, определения.
2. Повторение темы «Прямоугольники».
3. Свойства прямоугольника.
4. Признаки прямоугольника.
5. Интересные факты из жизни треугольников.
6. Золотой прямоугольник, общие понятия.
7. Вопросы и задания.

Что такое прямоугольник

В предыдущих классах вы уже изучали темы о прямоугольниках. Теперь давайте освежим память и припомним, что же это за такая фигура, которая носит название прямоугольник.

Прямоугольник - это параллелограмм, четыре угла которого являются прямыми и равняются 90 градусам.

Прямоугольник - это такая геометрическая фигура, состоящая из 4-х сторон и четырех прямых углов.

Противоположные стороны прямоугольника всегда равны.

Если рассматривать определение прямоугольника по евклидовой геометрии, то чтобы четырехугольник считался прямоугольником, необходимо, чтобы в этой геометрической фигуре, хотя бы три угла были прямыми. С этого следует, что и четвертый угол тоже будет девяносто градусам.

Хотя и так понятно, что когда сумма углов четырехугольника не имеет 360 градусов, то эта фигура не является прямоугольником.

В случае, когда у правильного прямоугольника все стороны равны между собой, то такой прямоугольник носит название квадрата.

В некоторых случаях квадрат может выступать в роли ромба, если у такого ромба кроме равных между собой сторон и все углы прямые.

Чтобы доказать причастность какой-либо геометрической фигуры к прямоугольнику, достаточно чтобы эта геометрическая фигура соответствовала как минимум одному из этих требований:

1. квадрат диагонали этой фигуры должен быть равен сумме квадратов 2-х сторон, которые имеют общую точку;
2. диагонали геометрической фигуры должны иметь одинаковую длину;
3. все углы геометрической фигуры должны равняться девяносто градусам.

Если эти условия отвечают хотя бы одному требованию, то перед вами прямоугольник.

Прямоугольник в геометрии является основной базовой фигурой, у которой имеется множество подвидов, со своими особыми свойствами и характеристиками.

Задание: Назовите геометрические фигуры, которые относятся к прямоугольникам.

Прямоугольник и его свойства

А теперь давайте вспомним о свойствах прямоугольника:

У прямоугольника все его диагонали равны;
Прямоугольник – это параллелограмм с параллельными противоположными сторонами;
Стороны прямоугольника в тоже время будут и его высотами;
Прямоугольник имеет равные противоположные стороны и углы;
Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность, притом диагональ прямоугольника будет равна диаметру описанной окружности.
Диагонали прямоугольника разделяют его на 2 равных треугольника;
Следуя теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов 2-х его не противоположных сторон;

Задание:

1. Прямоугольник обладает такими двумя возможностями, при которых его можно поделить на 2 равных прямоугольника. Начертите в тетради два прямоугольника и разделите их так, чтобы получились 2 равных между собой прямоугольника.

2. Опишите вокруг прямоугольника окружность, диаметр которой будет равен диагонали прямоугольника.

3. Можно ли вписать в прямоугольник окружность так, чтобы она касалась всех его сторон, но при условии, что этот прямоугольник не является квадратом?

Признаки прямоугольника

Параллелограмм будет прямоугольником при условии:

1. если у него, по крайней мере один из углов прямой;
2. если все четыре его угла прямые;
3. если противоположные стороны равны;
4. если, хотя бы три угла прямые;
5. если у него его диагонали равны;
6. если квадрат диагонали равен сумме квадратов не противолежащих сторон.

Это интересно знать

Знали ли вы, что если в прямоугольнике, у которого неровные смежные стороны, провести биссектрисы углов, то при их пересечении в итоге получится прямоугольник.

А вот если проведенная биссектриса прямоугольника пересекает одну из его сторон, то она отсекает от этого прямоугольника, равнобедренный треугольник.

А известно ли вам, что еще до того, как Малевич написал свой выдающийся «Черный квадрат», в 1882 году на выставке в Париже представили картину Пола Било, на полотне которой был изображен черный прямоугольник со своеобразным названием «Битва негров в туннеле».

Такая идея с черным прямоугольником вдохновила и других деятелей культуры. Французский писатель юморист Альфонс Алле выпустил целую серию своих работ и со временем появился прямоугольный пейзаж в радикальном красном цвете под названием «Уборка урожая помидоров на берегу Красного моря апоплексическими кардиналами», который также не имел никакого изображения.

Задание

1. Назовите свойство, которое присуще только прямоугольнику?
2. В чем отличие произвольного параллелограмма от прямоугольника?
3. Верно ли утверждение, что любой прямоугольник модет быть параллелограммом? Если это так, то докажите почему?
4. Перечислите четырехугольники, которые являются прямоугольниками.
5. Сформулируйте свойства прямоугольника.

Исторический факт

Прямоугольник Эвклида

Известно ли вам, что прямоугольник Эвклида, который называют золотым сечением, долгий период времени являлся для любого здания имеющего религиозное значение, совершенной и пропорциональной основой строительства в те времена. С его помощью было построено большинство зданий эпохи Возрождения и классических храмов в Древней Греции.

«Золотым» прямоугольником принято называть такой геометрический прямоугольник, отношение большей стороны которого к меньшей равняется золотой пропорции.

Данное отношение сторон этого прямоугольника составило 382 к 618, или примерно 19 к 31. Прямоугольник Эвклида, на то время был самым целесообразным, удобным, безопасным и правильным прямоугольником из всех геометрических форм. Благодаря такой характеристике прямоугольник Эвклида или приближения к нему был использован повсюду. Его применяли в домах, картинах, предметах мебели, окнах, дверях и даже книгах.

Среди индейцев племени навахо прямоугольник сопоставляли с женской формой, так как она считалась обычной, стандартной формой дома, символизирующего женщину, которая этим домом владеет.

Предмети > Математика > Математика 8 класс

Прямоугольник – это в первую очередь геометрическая плоская фигура. Она состоит из четырех точек, которые соединены между собой двумя парами равных отрезков, перпендикулярно пересекающихся только в этих точках.

Прямоугольник определяют через параллелограмм. По-другому, прямоугольник – это параллелограмм, углы которого все прямые, то есть равные 90 градусам. В геометрии Евклида, если у геометрической фигуры 3 из 4 углов равны 90 градусам, то четвёртый угол автоматически равен 90 градусам и такую фигуру можно назвать прямоугольником. Из определения параллелограмма ясно, что прямоугольник – множество разновидностей этой фигуры на плоскости. Из этого следует, что свойства параллелограмма применимы и к прямоугольнику. Например: в прямоугольнике противолежащие стороны равные по своей длине.

При построении диагонали в прямоугольнике она разобьет фигуру на два одинаковых треугольника. На этой и основана теорема Пифагора, в которой говорится о том, что квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его катетов.

Если все стороны правильного прямоугольника равны, то такой прямоугольник называют квадратом. Квадрат также определяется как ромб, у которого все его стороны равны между собой, а все углы прямые.

Площадь прямоугольника находится по формуле: S=a*b, где a — длина данного прямоугольника, b – ширина. Например: площадь прямоугольника со сторонами 4 и 6 см будет равна 4*6=24 сантиметра в квадрате.

Периметр пр ямоугольника рассчитывается по формуле: P= (a+b)*2, где a – длина прямоугольников, b – ширина данного прямоугольника . Например: периметр пр ямоугольника со сторонами 4 и 8 см равен 24 см.

В геометрии прямоугольник – это базовая фигура. Существует множество подвидов прямоугольника, которые имеют особые свойства и характеристики.

География, биология, химия, алгебра, геометрия... Школьникам приходится иметь дело с множеством сведений из самых различных наук. Однако есть области знаний, в которых достаточно просто разобраться, ознакомившись с их основными законами. К ним относится и геометрия. Чтобы познать все тонкости этой науки, надо обязательно познакомиться с ее азами, аксиомами. Ведь без основ в геометрии никуда.

Определение прямоугольника

Прямоугольник - это геометрическая фигура с четырьмя прямыми углами. Определение довольно простое, но не стоит думать, что у школьника не возникнет проблем с изучением такой темы, ведь здесь есть ряд особенностей. Размеры прямоугольника зависят от длины его сторон, которые наиболее часто обозначаются латинскими буквами а и b.

Свойства прямоугольника

• стороны, лежащие друга против друга, равны и параллельны;
• диагонали фигуры равны;
• точка пересечения диагоналей делит их пополам;
• прямоугольник можно поделить на два равных

Признаки прямоугольника

Существует всего три признака, которыми обладает прямоугольник. Вот они:

• параллелограмм с равными диагоналями - это прямоугольник;
• параллелограмм с одним прямым углом - это прямоугольник;
• четырехугольник с тремя прямыми углами - это прямоугольник.

Еще немного интересного

Итак, что такое прямоугольник, теперь понятно, но какую роль он играет в геометрических задачах и при измерениях на практике, еще предстоит разобраться. Так, в первую очередь надо сказать, что это наиболее удобная геометрическая фигура, при помощи которой можно делить площадь на участки и на открытой местности, и в помещениях. Что такое прямоугольник? Как известно, он является четырехугольником. Существует множество разновидностей последнего, среди которых можно назвать трапецию (только две стороны равны), параллелограмм (противоположные стороны параллельны), квадрат (все углы и стороны одинаковые), ромб (параллелограмм с равными сторонами) и другие. Частным же случаем прямоугольника является квадрат, у которого все углы прямые, а стороны равны.

Нельзя говорить о том, что такое прямоугольник, и не упомянуть о том, как же определить его размеры. Площадью этой принято считать произведение ее ширины на длину, а периметр же, как и у любой фигуры, равняется сумме длин всех сторон. В данном случае он также равен удвоенной сумме длины и ширины, поскольку противолежащие стороны прямоугольника равны. Теперь вы знаете, что такое прямоугольник и что с ним делать, решая задачи и постигая секреты такой загадочной и таинственной науки, как геометрия.

4. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диагональ квадрата :

5. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диаметр окружности (описанной):

6. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:

7. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны у этого угла:

8. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника.

Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника.

Формулы для определения угла меж диагоналей прямоугольника:

1. Формула определения угла меж диагоналей прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ.

Решение задач с четырехугольниками - один из наиболее обширных разделов геометрии, доставляющий школьникам немало трудностей. Предлагаем вам разобраться с типичными задачами, в которых требуется найти ширину прямоугольника.

Прежде всего, необходимо вспомнить, что это за фигура и какие ее основные свойства. Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны равны. Горизонтальную сторону называют шириной прямоугольника, а вертикальную - длиной.

Задача 1. Вычисляем ширину, зная периметр

Разберем этот тип задач на примере следующего задания. Дан прямоугольник, периметр которого равен 36 см, а длина - 16 см. Необходимо найти ширину. Периметр - это сумма сторон фигуры. Поскольку противоположные стороны прямоугольника равны, то формула его периметра имеет следующий вид: Р = 2(а+b), где а и b стороны прямоугольника.

Получаем:

• b = Р:2 - а = 36:2-16=2 (см)

Ответ: ширина прямоугольника равна 2 см.

Задача 2. Находим ширину, зная длину и периметр

Немного усложним задание. Теперь необходимо найти ширину прямоугольника, если известно, что она в 5 раз меньше его длины, а периметр треугольника равен 120 см.

Из условия задачи:

• а = 5b

Мы уже знаем, что b = Р:2 - а. Подставляем значения Р и а. Получаем:

• b = 120:2 - 5b;
• 6b = 60;
• b = 60:6
• b = 10 (см).

Ответ: ширина прямоугольника равна 10 см.

Задача 3. Определяем ширину, если известна площадь

Условие задачи: огород имеет прямоугольную форму. Его площадь равна 400 000 м2, а длина 400 м. Какова ширина огорода?

Огород по условию - прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Если нам известна длина и площадь, то ширина будет равняться:

• b = P:a = 400 000:400 = 1000 (м)

Ответ: ширина огорода 1000 м.

Задача 4. Как найти ширину, зная диагональ

Эта задача уже немного сложнее предыдущих. В ней, кроме свойств прямоугольника, необходимо будет вспомнить формулы прямоугольных треугольников. Допустим, что диагональ АС прямоугольника АВСД равна 54,6 см, а соотношение длина-ширина - 16:9. Необходимо найти ширину фигуры.

Треугольник АВС имеет прямой угол, а значит, является прямоугольным. Диагональ - его гипотенуза, а стороны - катеты.

Из условия:

• 16АВ = 9ВС, отсюда АВ = 9ВС:16

По теореме Пифагора:

• АС 2 = АВ 2 +ВС 2

Подставляем цифры:

• 54,62 = (9ВС:16) 2 +ВС 2
• 2981,16 = 81ВС 2:256+ВС 2
• 2981,16 = 337ВС 2:256
• 337ВС 2 = 763176,96
• ВС 2 = 2264,62
• ВС = 47,59 (см)

Ответ: ширина треугольника равна 47,59 см.

Задача 5. Известны диагональ и угол

Дан прямоугольник АВСД, диагональ которого АС равна 8 см, а угол - ВАС 30 градусов. Необходимо найти ширину прямоугольника.

Решение: так как угол АВС прямой, то треугольник АВС прямоугольный, у которого АС - гипотенуза, а АВ и ВС - катеты. Известно, что катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. Получается:

• ВС = АС:2 = 8:2 = 4 (см)

Ответ: ширина прямоугольника равна 4 см.

Как видите, типичные задачи по нахождению ширины прямоугольника довольно просты. Главное, знать формулы и свойства прямоугольника и прямоугольных треугольников.