कई समस्याओं में, द्विघात फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान की गणना करना आवश्यक होता है। यदि मूल फ़ंक्शन मानक रूप में लिखा गया है: या परवलय शीर्ष के निर्देशांक के माध्यम से अधिकतम या न्यूनतम पाया जा सकता है: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). इसके अलावा, किसी भी द्विघात फलन के अधिकतम या न्यूनतम की गणना गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके की जा सकती है।

कदम

द्विघात फलन मानक रूप में लिखा जाता है

फ़ंक्शन को मानक रूप में लिखें. द्विघात फंक्शनएक फ़ंक्शन है जिसके समीकरण में एक चर शामिल है x 2 (\displaystyle x^(2)). समीकरण में एक चर शामिल हो भी सकता है और नहीं भी एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x). यदि किसी समीकरण में 2 से अधिक घातांक वाला एक चर शामिल है, तो यह एक द्विघात फ़ंक्शन का वर्णन नहीं करता है। यदि आवश्यक हो, तो समान पद लाएँ और फ़ंक्शन को मानक रूप में लिखने के लिए उन्हें पुनर्व्यवस्थित करें।

• उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन दिया गया है f (x) = 3 x + 2 x - x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). एक चर के साथ पद जोड़ें x 2 (\displaystyle x^(2))और एक चर वाले सदस्य एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)समीकरण को मानक रूप में लिखने के लिए:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. द्विघात फलन का ग्राफ एक परवलय होता है। परवलय की शाखाएँ ऊपर या नीचे की ओर इंगित करती हैं। यदि गुणांक ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)एक चर के साथ x 2 (\displaystyle x^(2)) ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x - 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). यहाँ ए = 2 (\displaystyle ए=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). यहाँ, इसलिए परवलय नीचे की ओर इंगित कर रहा है।
   • f (x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). यहाँ ए = 1 (\displaystyle ए=1)इसलिए परवलय ऊपर की ओर इशारा कर रहा है।
   • यदि परवलय ऊपर की ओर निर्देशित है, तो आपको इसके न्यूनतम को देखने की आवश्यकता है। यदि परवलय नीचे की ओर इंगित कर रहा है, तो उसके अधिकतम को देखें।

2. -बी/2ए की गणना करें।अर्थ − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))समन्वय है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)परवलय के शीर्ष पर. यदि द्विघात फलन को मानक रूप में लिखा जाता है a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), के लिए गुणांक का उपयोग करें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)और x 2 (\displaystyle x^(2))इस अनुसार:

   • फ़ंक्शन गुणांक में ए = 1 (\displaystyle ए=1)और बी = 10 (\डिस्प्लेस्टाइल बी=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • दूसरे उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन पर विचार करें। यहाँ a = − 3 (\displaystyle a=-3)और बी = 6 (\डिस्प्लेस्टाइल बी=6). इसलिए, परवलय के शीर्ष के x-निर्देशांक की गणना इस प्रकार करें:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. f(x) का संगत मान ज्ञात कीजिए। f(x) का संगत मान ज्ञात करने के लिए "x" के पाए गए मान को मूल फ़ंक्शन में रखें। इस प्रकार आप फ़ंक्शन का न्यूनतम या अधिकतम पता लगाते हैं।

   • पहले उदाहरण में f (x) = x 2 + 10 x - 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)आपने गणना की कि परवलय के शीर्ष का x-निर्देशांक है x = − 5 (\displaystyle x=-5). मूल फ़ंक्शन में, इसके बजाय एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)विकल्प - 5 (\डिस्प्लेस्टाइल -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x - 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • दूसरे उदाहरण में f (x) = - 3 x 2 + 6 x - 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)आपने पाया कि परवलय के शीर्ष का x-निर्देशांक है x = 1 (\displaystyle x=1). मूल फ़ंक्शन में, इसके बजाय एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)विकल्प 1 (\प्रदर्शन शैली 1)उसे ढूंढने के लिए अधिकतम मूल्य:
     • f (x) = - 3 x 2 + 6 x - 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = - 3 (1) 2 + 6 (1) - 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = - 3 + 6 - 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. उत्तर लिखिए.समस्या की स्थिति को दोबारा पढ़ें. यदि आपको परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो अपने उत्तर में दोनों मान लिखें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x)और वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)(या एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))). यदि आपको किसी फ़ंक्शन की अधिकतम या न्यूनतम गणना करने की आवश्यकता है, तो अपने उत्तर में केवल मान लिखें वाई (\डिस्प्लेस्टाइल वाई)(या एफ (एक्स) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(एक्स))). गुणांक के चिन्ह को पुनः देखें ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)यह जाँचने के लिए कि आपने अधिकतम या न्यूनतम की गणना की है।

   • पहले उदाहरण में f (x) = x 2 + 10 x - 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)अर्थ ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)सकारात्मक है, इसलिए आपने न्यूनतम की गणना की। परवलय का शीर्ष निर्देशांक वाले बिंदु पर स्थित है (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), और फ़ंक्शन का न्यूनतम मान है − 26 (\displaystyle -26).
   • दूसरे उदाहरण में f (x) = - 3 x 2 + 6 x - 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)अर्थ ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)नकारात्मक, तो आपको अधिकतम मिल गया है। परवलय का शीर्ष निर्देशांक वाले बिंदु पर स्थित है (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), और फ़ंक्शन का अधिकतम मान बराबर है − 1 (\displaystyle -1).

5. परवलय की दिशा ज्ञात कीजिए।ऐसा करने के लिए, गुणांक के चिह्न को देखें ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए). यदि गुणांक ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)सकारात्मक, परवलय ऊपर की ओर निर्देशित है। यदि गुणांक ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)नकारात्मक, परवलय नीचे की ओर इंगित कर रहा है। उदाहरण के लिए:

   • . यहाँ ए = 2 (\displaystyle ए=2), अर्थात्, गुणांक धनात्मक है, इसलिए परवलय ऊपर की ओर निर्देशित है।
   • . यहाँ a = − 3 (\displaystyle a=-3), अर्थात्, गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए परवलय नीचे की ओर निर्देशित है।
   • यदि परवलय ऊपर की ओर इंगित कर रहा है, तो आपको फ़ंक्शन के न्यूनतम मान की गणना करने की आवश्यकता है। यदि परवलय नीचे की ओर इंगित कर रहा है, तो फ़ंक्शन का अधिकतम मान ज्ञात करना आवश्यक है।

6. फ़ंक्शन का न्यूनतम या अधिकतम मान ज्ञात करें।यदि फ़ंक्शन परवलय शीर्ष के निर्देशांक के संदर्भ में लिखा गया है, तो न्यूनतम या अधिकतम गुणांक के मान के बराबर है के (\डिस्प्लेस्टाइल के). उपरोक्त उदाहरणों में:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 - 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). यहाँ k = − 4 (\displaystyle k=-4). यह फ़ंक्शन का न्यूनतम मान है क्योंकि परवलय ऊपर की ओर इंगित कर रहा है।
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). यहाँ के = 2 (\डिस्प्लेस्टाइल के=2). यह फ़ंक्शन का अधिकतम मान है क्योंकि परवलय नीचे की ओर इंगित कर रहा है।

7. परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।यदि समस्या में परवलय का शीर्ष ज्ञात करना आवश्यक है, तो इसके निर्देशांक हैं (एच , के) (\डिस्प्लेस्टाइल (एच,के)). ध्यान दें कि जब एक द्विघात फलन परवलय शीर्ष के निर्देशांक के संदर्भ में लिखा जाता है, तो घटाव संक्रिया को कोष्ठक में संलग्न किया जाना चाहिए (x − h) (\displaystyle (x-h)), तो मूल्य एच (\डिस्प्लेस्टाइल एच)विपरीत चिन्ह के साथ लिया गया।

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 - 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). यहां, अतिरिक्त ऑपरेशन (x+1) कोष्ठक में संलग्न है, जिसे निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: (x-(-1))। इस प्रकार, h = − 1 (\displaystyle h=-1). इसलिए, इस फलन के परवलय के शीर्ष के निर्देशांक हैं (- 1 , - 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). यहाँ कोष्ठक में अभिव्यक्ति (x-2) है। इस तरह, एच = 2 (\डिस्प्लेस्टाइल एच=2). शीर्ष निर्देशांक (2,2) हैं।

गणित संक्रियाओं का उपयोग करके न्यूनतम या अधिकतम की गणना कैसे करें

1. आइए पहले समीकरण के मानक रूप पर विचार करें।द्विघात फलन को मानक रूप में लिखें: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). यदि आवश्यक हो, तो मानक समीकरण प्राप्त करने के लिए समान पद लाएँ और उन्हें पुनर्व्यवस्थित करें।

   • उदाहरण के लिए: ।

2. प्रथम व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए।किसी द्विघात फलन का प्रथम अवकलज, जो मानक रूप में लिखा जाता है, बराबर होता है f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\ prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 - 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). इस फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न की गणना निम्नानुसार की जाती है:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\ prime )(x)=4x-4)

3. व्युत्पन्न को शून्य पर सेट करें.याद रखें कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित बिंदु पर फ़ंक्शन के ढलान के बराबर होता है। न्यूनतम या अधिकतम पर ढलान शून्य है। इसलिए, किसी फ़ंक्शन का न्यूनतम या अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को शून्य के बराबर किया जाना चाहिए। हमारे उदाहरण में.

परवलय का निर्माण कैसे करें? किसी द्विघात फलन को ग्राफ़ करने के कई तरीके हैं। उनमें से प्रत्येक के अपने फायदे और नुकसान हैं। आइए दो तरीकों पर विचार करें.

आइए y=x²+bx+c और y= -x²+bx+c जैसे द्विघात फ़ंक्शन को प्लॉट करके प्रारंभ करें।

उदाहरण।

फलन y=x²+2x-3 आलेखित करें।

समाधान:

y=x²+2x-3 एक द्विघात फलन है। ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है। परवलय शीर्ष निर्देशांक

शीर्ष (-1;-4) से हम परवलय y=x² का एक ग्राफ बनाते हैं (जैसा कि मूल से है। (0;0) के बजाय - शीर्ष (-1;-4)। (-1;- से) 4) हम 1 यूनिट से दाईं ओर जाते हैं और 1 से ऊपर, फिर 1 से बाएं और 1 से ऊपर, फिर: 2 - दाएं, 4 - ऊपर, 2 - बाएं, 4 - ऊपर, 3 - दाएं, 9 - ऊपर, 3 - बाएँ, 9 - ऊपर। ये 7 अंक पर्याप्त नहीं हैं, फिर - 4 दाईं ओर, 16 - ऊपर, आदि)।

द्विघात फलन y= -x²+bx+c का ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। एक ग्राफ बनाने के लिए, हम शीर्ष के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं और इससे हम एक परवलय y= -x² बनाते हैं।

उदाहरण।

फलन y= -x²+2x+8 आलेखित करें।

समाधान:

y= -x²+2x+8 एक द्विघात फलन है। ग्राफ़ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर हैं। परवलय शीर्ष निर्देशांक

ऊपर से हम एक परवलय बनाते हैं y = -x² (1 - दाएँ, 1 - नीचे; 1 - बाएँ, 1 - नीचे; 2 - दाएँ, 4 - नीचे; 2 - बाएँ, 4 - नीचे, आदि):

यह विधि आपको शीघ्रता से एक परवलय बनाने की अनुमति देती है और यदि आप जानते हैं कि फ़ंक्शन y=x² और y= -x² को कैसे प्लॉट किया जाए तो इससे कोई कठिनाई नहीं होती है। नुकसान: यदि शीर्ष निर्देशांक हैं भिन्नात्मक संख्याएँ, प्लॉटिंग बहुत सुविधाजनक नहीं है। अगर आपको जानना है सटीक मानऑक्स अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लिए, आपको समीकरण x² + bx + c = 0 (या -x² + bx + c = 0) को अतिरिक्त रूप से हल करना होगा, भले ही ये बिंदु सीधे चित्र से निर्धारित किए जा सकें।

परवलय बनाने का दूसरा तरीका बिंदुओं के आधार पर है, अर्थात, आप ग्राफ़ पर कई बिंदु पा सकते हैं और उनके माध्यम से एक परवलय बना सकते हैं (यह ध्यान में रखते हुए कि रेखा x=xₒ इसकी समरूपता की धुरी है)। आमतौर पर, इसके लिए वे परवलय के शीर्ष, समन्वय अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु और 1-2 अतिरिक्त बिंदु लेते हैं।

फ़ंक्शन y=x²+5x+4 प्लॉट करें.

समाधान:

y=x²+5x+4 एक द्विघात फलन है। ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है। परवलय शीर्ष निर्देशांक

अर्थात्, परवलय का शीर्ष बिंदु (-2.5; -2.25) है।

की तलाश में । ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पर y=0: x²+5x+4=0. जड़ों द्विघात समीकरण x1=-1, x2=-4, यानी हमें ग्राफ़ पर दो बिंदु (-1; 0) और (-4; 0) मिले।

ओए अक्ष x=0 के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर: y=0²+5∙0+4=4. एक अंक मिला (0; 4).

ग्राफ़ को परिष्कृत करने के लिए, आप एक अतिरिक्त बिंदु पा सकते हैं। आइए x=1 लें, फिर y=1²+5∙1+4=10, यानी ग्राफ का एक और बिंदु - (1; 10)। हम इन बिंदुओं को निर्देशांक तल पर अंकित करते हैं। इसके शीर्ष से गुजरने वाली सीधी रेखा के संबंध में परवलय की समरूपता को ध्यान में रखते हुए, हम दो और बिंदु चिह्नित करते हैं: (-5; 6) और (-6; 10) और उनके माध्यम से एक परवलय बनाते हैं:

फलन y= -x²-3x आलेखित करें।

समाधान:

y= -x²-3x एक द्विघात फलन है। ग्राफ़ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर हैं। परवलय शीर्ष निर्देशांक

शीर्ष (-1.5; 2.25) परवलय का पहला बिंदु है।

x-अक्ष y=0 के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, यानी, हम समीकरण -x²-3x=0 को हल करते हैं। इसके मूल x=0 और x=-3 हैं, यानी (0; 0) और (-3; 0) ग्राफ पर दो और बिंदु हैं। बिंदु (o; 0) y-अक्ष के साथ परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु भी है।

x=1 y=-1²-3∙1=-4 पर, यानी (1; -4) प्लॉटिंग के लिए एक अतिरिक्त बिंदु है।

बिंदुओं से परवलय बनाना पहली विधि की तुलना में अधिक समय लेने वाली विधि है। यदि परवलय ऑक्स अक्ष को नहीं काटता है, तो अधिक अतिरिक्त बिंदुओं की आवश्यकता होगी।

y=ax²+bx+c रूप के द्विघात फलनों के ग्राफ़ का निर्माण जारी रखने से पहले, ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग करके फलनों के ग्राफ़ के निर्माण पर विचार करें। इन परिवर्तनों में से किसी एक - समानांतर अनुवाद का उपयोग करके फॉर्म y=x²+c के फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाना भी सबसे सुविधाजनक है।

पाठ 15.
गुणांकों का प्रभावए, बी औरसाथ स्थान के लिए
एक द्विघात फलन का ग्राफ

लक्ष्य:एक द्विघात फलन का ग्राफ़ बनाने और उसके गुणों को सूचीबद्ध करने की क्षमता का निर्माण जारी रखें; गुणांकों के प्रभाव को प्रकट करें ए, बीऔर साथद्विघात फलन के ग्राफ़ के स्थान पर।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. मौखिक कार्य.

निर्धारित करें कि चित्र में कौन सा फ़ंक्शन ग्राफ़ दिखाया गया है:

पर = एक्स 2 – 2एक्स – 1;

पर = –2एक्स 2 – 8एक्स;

पर = एक्स 2 – 4एक्स – 1;

पर = 2एक्स 2 + 8एक्स + 7;

पर = 2एक्स 2 – 1.

बी)

पर = एक्स 2 – 2एक्स;

पर = –एक्स 2 + 4एक्स + 1;

पर = –एक्स 2 – 4एक्स + 1;

पर = –एक्स 2 + 4एक्स – 1;

पर = –एक्स 2 + 2एक्स – 1.

तृतीय. कौशल और क्षमताओं का निर्माण।

व्यायाम:

1. क्रमांक 127(ए).

समाधान

सीधा पर = 6एक्स + बीपरवलय को छूता है पर = एक्स 2 + 8, अर्थात, समीकरण 6 की स्थिति में इसके साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है एक्स + बी = एक्स 2+8 होगा एकमात्र निर्णय.

यह समीकरण द्विघात है, आइए इसका विभेदक ज्ञात करें:

एक्स 2 – 6एक्स + 8 + बी = 0;

डी 1 = 9 – (8 – बी) = 1 + बी;

डी 1 = 0 यदि 1 + बी= 0, अर्थात बी= –1.

उत्तर: बी= –1.

3. गुणांकों के प्रभाव को प्रकट करें ए, बीऔर साथफ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्थान पर पर = ओह 2 + बीएक्स + साथ.

विद्यार्थियों के पास इस कार्य को स्वयं पूरा करने के लिए पर्याप्त ज्ञान है। उन्हें प्रत्येक गुणांक की "मुख्य" भूमिका पर प्रकाश डालते हुए सभी निष्कर्षों को एक नोटबुक में लिखने के लिए आमंत्रित किया जाना चाहिए।

1)गुणांक एपरवलय की शाखाओं की दिशा को प्रभावित करता है: कब ए> 0 - शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं ए < 0 – вниз.

2) गुणांक बीपरवलय के शीर्ष के स्थान को प्रभावित करता है। पर बी= 0 शीर्ष अक्ष पर स्थित है कहां.

3) गुणांक साथअक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु को दर्शाता है कहां.

फिर यह दिखाने के लिए एक उदाहरण दिया जा सकता है कि गुणांकों के बारे में क्या कहा जा सकता है ए, बीऔर साथफ़ंक्शन के ग्राफ़ के अनुसार.

अर्थ साथसटीक रूप से कहा जा सकता है: चूंकि ग्राफ़ अक्ष को पार करता है कहांफिर बिंदु (0; 1) पर साथ = 1.

गुणक एइसकी तुलना शून्य से की जा सकती है: चूँकि परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं ए < 0.

गुणांक चिह्न बीउस सूत्र से पाया जा सकता है जो परवलय के शीर्ष के भुज को निर्धारित करता है: टी= , चूँकि ए < 0 и टी= 1, फिर बी> 0.

4. गुणांकों के मान के आधार पर निर्धारित करें कि चित्र में कौन सा फ़ंक्शन ग्राफ़ दिखाया गया है ए, बीऔर साथ.

पर = –एक्स 2 + 2एक्स;

पर = एक्स 2 + 2एक्स + 2;

पर = 2एक्स 2 – 3एक्स – 2;

पर = एक्स 2 – 2.

समाधान

ए, बीऔर साथ:

ए> 0, चूँकि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं;

बी कहां;

साथ= -2, चूँकि परवलय y-अक्ष को बिंदु (0; -2) पर काटता है।

पर = 2एक्स 2 – 3एक्स – 2.

पर = एक्स 2 – 2एक्स;

पर = –2एक्स 2 + एक्स + 3;

पर = –3एक्स 2 – एक्स – 1;

पर = –2,7एक्स 2 – 2एक्स.

समाधान

दिखाए गए ग्राफ़ के अनुसार, हम गुणांकों के बारे में निम्नलिखित निष्कर्ष निकालते हैं ए, बीऔर साथ:

ए < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

बी≠ 0, चूँकि परवलय का शीर्ष अक्ष पर स्थित नहीं है कहां;

साथ= 0, चूँकि परवलय अक्ष को प्रतिच्छेद करता है कहांबिंदु पर (0; 0).

ये सभी शर्तें केवल फ़ंक्शन द्वारा पूरी की जाती हैं पर = –2,7एक्स 2 – 2एक्स.

5. निर्धारित समारोह पर = ओह 2 + बीएक्स + साथ ए, बीऔर साथ:

ए) बी)

समाधान

a) परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, इसलिए ए > 0.

परवलय y-अक्ष को निचले आधे तल में काटता है, इसलिए साथ < 0. Чтобы узнать знак коэффициента बीहम परवलय के शीर्ष के भुज को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: टी= . ग्राफ़ से यह देखा जा सकता है कि टी < 0, и мы определим, что ए> 0. अत: बी> 0.

बी) इसी प्रकार, हम गुणांकों के चिह्न निर्धारित करते हैं ए, बीऔर साथ:

ए < 0, साथ > 0, बी< 0.

जो छात्र पढ़ाई में मजबूत हैं उन्हें 247 नंबर भी दिया जा सकता है।

समाधान

पर = एक्स 2 + पिक्सल + क्यू।

a) विएटा के प्रमेय से यह ज्ञात होता है कि यदि एक्स 1 और एक्स 2 - समीकरण की जड़ें एक्स 2 +
+ पीएक्स + क्यू= 0 (अर्थात, इस फ़ंक्शन के शून्य), तो एक्स 1 · एक्स 2 = क्यूऔर एक्स 1 + एक्स 2 = –आर. हमें वह मिल गया क्यू= 3 4 = 12 और आर = –(3 + 4) = –7.

बी) अक्ष के साथ परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु कहांपैरामीटर मान देगा क्यू, वह है क्यू= 6. यदि फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष को पार करता है ओहबिंदु (2; 0) पर, संख्या 2 समीकरण का मूल है एक्स 2 + पिक्सल + क्यू= 0. मान प्रतिस्थापित करना एक्स= 2 इस समीकरण में, हमें वह मिलता है आर = –5.

ग) यह द्विघात फलन परवलय के शीर्ष पर अपने सबसे छोटे मान तक पहुंचता है, इसलिए, जहां से आर= -12. शर्त के अनुसार, फ़ंक्शन का मान पर = एक्स 2 – 12एक्स + क्यूबिंदु पर एक्स= 6 बराबर 24. प्रतिस्थापित करना एक्स= 6 और पर= 24 इस फ़ंक्शन में, हम पाते हैं कि क्यू= 60.

चतुर्थ. सत्यापन कार्य.

विकल्प 1

1. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं पर = 2एक्स 2 + 4एक्स– 6 और ग्राफ़ का उपयोग करके खोजें:

ए) फ़ंक्शन के शून्य;

बी) अंतराल जिसमें पर> 0 और य < 0;

घ) फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान;

ई) फ़ंक्शन का दायरा।

2. किसी फ़ंक्शन की योजना नहीं बनाना पर = –एक्स 2 + 4एक्स, पाना:

ए) फ़ंक्शन के शून्य;

ग) फ़ंक्शन का दायरा।

3. निर्धारित समारोह पर = ओह 2 + बीएक्स + साथगुणांकों के चिह्न निर्धारित करें ए, बीऔर साथ:

विकल्प 2

1. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं पर = –एक्स 2 + 2एक्स+3 और ग्राफ़ का उपयोग करके खोजें:

ए) फ़ंक्शन के शून्य;

बी) अंतराल जिसमें पर> 0 और य < 0;

ग) फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल;

जी) उच्चतम मूल्यकार्य;

ई) फ़ंक्शन का दायरा।

2. किसी फ़ंक्शन की योजना नहीं बनाना पर = 2एक्स 2 + 8एक्स, पाना:

ए) फ़ंक्शन के शून्य;

बी) फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के अंतराल;

ग) फ़ंक्शन का दायरा।

3. निर्धारित समारोह पर = ओह 2 + बीएक्स + साथगुणांकों के चिह्न निर्धारित करें ए, बीऔर साथ:

वी. पाठ के परिणाम.

प्रशन

- द्विघात फलन के निर्माण के लिए एल्गोरिदम का वर्णन करें।

- फ़ंक्शन गुणों की सूची बनाएं पर = ओह 2 + बीएक्स + साथपर ए> 0 और ए < 0.

– गुणांक कैसे प्रभावित करते हैं ए, बीऔर साथद्विघात फलन के ग्राफ़ के स्थान पर?

गृहकार्य: क्रमांक 127 (बी), क्रमांक 128, क्रमांक 248.

अनुपूरक: क्रमांक 130.

महत्वपूर्ण लेख!
1. यदि आपको फ़ॉर्मूले के स्थान पर अब्रकदबरा दिखाई देता है, तो अपना कैश साफ़ करें। इसे अपने ब्राउज़र में कैसे करें, यह यहां लिखा गया है:
2. इससे पहले कि आप लेख पढ़ना शुरू करें, सबसे उपयोगी संसाधन के लिए हमारे नेविगेटर पर ध्यान दें

यह समझने के लिए कि यहां क्या लिखा जाएगा, आपको यह अच्छी तरह से जानना होगा कि द्विघात फलन क्या है और इसे किसके साथ खाया जाता है। यदि आप स्वयं को द्विघात कार्यों में माहिर मानते हैं, तो स्वागत है। लेकिन यदि नहीं, तो आपको यह सूत्र पढ़ना चाहिए।

आइए एक छोटी सी शुरुआत करें चेकों:

1. एक द्विघात फलन सामान्य रूप (सूत्र) में कैसा दिखता है?
2. द्विघात फलन के ग्राफ़ का नाम क्या है?
3. अग्रणी गुणांक द्विघात फलन के ग्राफ़ को कैसे प्रभावित करता है?

यदि आप तुरंत इन प्रश्नों का उत्तर दे सकते हैं, तो पढ़ते रहें। यदि कम से कम एक प्रश्न के कारण कठिनाई हुई, तो जाएँ।

तो, आप पहले से ही जानते हैं कि द्विघात फ़ंक्शन को कैसे संभालना है, उसके ग्राफ़ का विश्लेषण करना है और बिंदुओं के आधार पर ग्राफ़ बनाना है।

खैर, यह यहाँ है: .

आइए एक नज़र डालें कि वे क्या करते हैं। कठिनाइयाँ.

1. वरिष्ठ गुणांक परवलय की "स्थिरता" के लिए या, दूसरे शब्दों में, इसकी चौड़ाई के लिए जिम्मेदार है: परवलय जितना बड़ा, संकीर्ण (खड़ा) और परवलय उतना ही छोटा, चौड़ा (चपटा) होगा।
2. मुक्त पद y-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन का निर्देशांक है।
3. और गुणांक किसी तरह निर्देशांक के केंद्र से परवलय के विस्थापन के लिए जिम्मेदार है। अब इसके बारे में और अधिक जानकारी यहां दी गई है।

हम हमेशा परवलय का निर्माण क्यों शुरू करते हैं? उसका विशिष्ट बिंदु क्या है?

यह शिखर. और शीर्ष के निर्देशांक कैसे खोजें, याद रखें?

भुज की खोज निम्नलिखित सूत्र द्वारा की जाती है:

इस तरह: क्या अधिक, विषय बांई ओरपरवलय का शीर्ष हिलता है।

किसी शीर्ष की कोटि को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करके पाया जा सकता है:

अपने आप को प्रतिस्थापित करें और गिनें। क्या हुआ?

यदि आप सब कुछ सही करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाते हैं, तो आपको यह मिलता है:

यह पता चला है कि और भी अधिक सापेक्ष, विषय उच्चइच्छा शिखरपरवलय.

अंत में, चलिए साजिश रचने की ओर बढ़ते हैं।
सबसे आसान तरीका शीर्ष से शुरू करके एक परवलय बनाना है।

उदाहरण:

फ़ंक्शन को प्लॉट करें.

समाधान:

सबसे पहले, आइए गुणांकों को परिभाषित करें:।

आइए अब शीर्ष निर्देशांक की गणना करें:

और अब याद रखें: समान अग्रणी गुणांक वाले सभी परवलय एक जैसे दिखते हैं। इसलिए, यदि हम एक परवलय बनाते हैं और उसके शीर्ष को एक बिंदु पर ले जाते हैं, तो हमें वह ग्राफ मिलता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

सरल, सही?

केवल एक ही प्रश्न बचा है: परवलय को शीघ्रता से कैसे बनाएं? भले ही हम मूल बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय बनाते हैं, फिर भी हमें इसे बिंदु दर बिंदु बनाना पड़ता है, जो लंबा और असुविधाजनक है। लेकिन सभी परवलय एक जैसे दिखते हैं, शायद उनके चित्रण को तेज़ करने का कोई तरीका है?

जब मैं स्कूल में था, मेरे गणित शिक्षक ने सभी को कार्डबोर्ड से एक परवलय के आकार का स्टैंसिल काटने के लिए कहा ताकि वे इसे जल्दी से बना सकें। लेकिन आप स्टेंसिल लेकर हर जगह नहीं चल सकेंगे और उन्हें इसे परीक्षा में ले जाने की अनुमति नहीं दी जाएगी। इसलिए, हम विदेशी वस्तुओं का उपयोग नहीं करेंगे, बल्कि एक पैटर्न की तलाश करेंगे।

सबसे सरल परवलय पर विचार करें. आइए इसे बिंदुओं के आधार पर बनाएं:

यहाँ का नियम यह है. यदि हम ऊपर से दाईं ओर (अक्ष के अनुदिश) और ऊपर की ओर (अक्ष के अनुदिश) आगे बढ़ते हैं, तो हम परवलय के बिंदु पर पहुंच जाएंगे। आगे: यदि इस बिंदु से हम दाईं ओर और ऊपर की ओर बढ़ते हैं, तो हम फिर से परवलय के बिंदु पर पहुंच जाएंगे। अगला: ठीक ऊपर और ऊपर। आगे क्या होगा? ठीक ऊपर और ऊपर। और इसी तरह: दाईं ओर जाएं, और अगली विषम संख्या ऊपर। फिर हम बाईं शाखा के साथ भी ऐसा ही करते हैं (आखिरकार, परवलय सममित है, अर्थात इसकी शाखाएँ समान दिखती हैं):

बढ़िया, इससे शीर्ष से किसी भी परवलय को उच्चतम गुणांक के बराबर बनाने में मदद मिलेगी। उदाहरण के लिए, हमने सीखा है कि परवलय का शीर्ष एक बिंदु पर होता है। इस परवलय की रचना (स्वयं, कागज पर) करें।

बनाना?

यह इस प्रकार होना चाहिए:

अब हम प्राप्त बिंदुओं को जोड़ते हैं:

बस इतना ही।

ठीक है, ठीक है, अब केवल परवलय का निर्माण करें?

बिल्कुल नहीं। अब आइए जानें कि उनके साथ क्या किया जाए, यदि।

आइए कुछ विशिष्ट मामलों पर विचार करें।

बढ़िया, हमने सीखा कि परवलय कैसे बनाया जाता है, अब वास्तविक कार्यों पर अभ्यास करते हैं।

तो, ऐसे कार्यों के ग्राफ़ बनाएं:

उत्तर:

3. शीर्षः .

क्या आपको याद है कि यदि वरिष्ठ गुणांक कम हो तो क्या करें?

हम भिन्न के हर को देखते हैं: यह बराबर है। तो हम इस तरह आगे बढ़ेंगे:

• जल्द आ रहा है
• जल्द आ रहा है
• जल्द आ रहा है

और बाईं ओर भी:

4. शीर्षः .

ओह, इसका क्या करें? यदि शीर्ष रेखाओं के बीच कहीं है तो कोशिकाओं को कैसे मापें?

और हम धोखा देते हैं. सबसे पहले, आइए एक परवलय बनाएं, और उसके बाद ही उसके शीर्ष को एक बिंदु पर ले जाएं। बिल्कुल भी नहीं, आइए इसे और भी पेचीदा बनाएं: आइए एक परवलय बनाएं, और फिर कुल्हाड़ियों को स्थानांतरित करें:- पर नीचे, ए - पर सही:

यह तकनीक किसी भी परवलय के मामले में बहुत सुविधाजनक है, इसे याद रखें।

मैं आपको याद दिला दूं कि हम फ़ंक्शन को इस रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

उदाहरण के लिए: ।

यह हमें क्या देता है?

तथ्य यह है कि कोष्ठक () में से जो संख्या घटाई गई है वह परवलय के शीर्ष का भुज है, और कोष्ठक के बाहर का पद () शीर्ष की कोटि है।

इसका मतलब यह है कि, एक परवलय का निर्माण करने के बाद, आपको बस इसकी आवश्यकता है अक्ष को बाईं ओर और अक्ष को नीचे की ओर ले जाएँ।

उदाहरण: आइए एक फ़ंक्शन ग्राफ बनाएं।

आइए एक पूर्ण वर्ग चुनें:

कौन सा नंबर घटायाकोष्ठक में से? यह (और यह नहीं कि आप बिना सोचे-समझे कैसे निर्णय ले सकते हैं)।

तो, हम एक परवलय बनाते हैं:

अब हम अक्ष को नीचे, यानी ऊपर की ओर शिफ्ट करते हैं:

और अब - बाईं ओर, यानी दाईं ओर:

बस इतना ही। यह एक परवलय को उसके शीर्ष के साथ मूल से एक बिंदु तक ले जाने के समान है, केवल सीधी धुरी पर घूमना टेढ़े परवलय की तुलना में बहुत आसान होता है।

अब, हमेशा की तरह, मैं:

और पुराने एक्सल को इरेज़र से मिटाना न भूलें!

मैं जैसा हूँ जवाबसत्यापन के लिए, मैं आपको इन परवलय के शीर्षों के निर्देशांक लिखूंगा:

क्या सब कुछ फिट हुआ?

यदि हां, तो आप महान हैं! परवलय को कैसे संभालना है यह जानना बहुत महत्वपूर्ण और उपयोगी है, और यहां हमने पाया है कि यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

एक द्विघात फलन का रेखांकन। संक्षेप में मुख्य के बारे में

द्विघात फंक्शनप्रपत्र का एक कार्य है, जहां, और कोई संख्या (गुणांक) हैं, एक स्वतंत्र सदस्य है।

द्विघात फलन का ग्राफ एक परवलय होता है।

परवलय का शीर्ष:
, अर्थात। \displaystyle b जितना बड़ा होगा, परवलय का शीर्ष उतना ही बाईं ओर घूमेगा।
फ़ंक्शन में स्थानापन्न करें, और प्राप्त करें:
, अर्थात। \displaystyle b मॉड्यूलो जितना बड़ा होगा, परवलय का शीर्ष उतना ही ऊंचा होगा

मुक्त पद y-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन का निर्देशांक है।

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियां पढ़ रहे हैं तो आप बहुत अच्छे हैं.

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आपने इस विषय पर सिद्धांत समझ लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह...यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

किसलिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात पर यकीन नहीं दिलाऊंगा, बस एक बात कहूंगा...

जिन लोगों को प्राप्त हुआ एक अच्छी शिक्षा, उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाएं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया। ये आँकड़े हैं.

लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत अधिक अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

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निष्कर्ष के तौर पर...

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