व्यवहार में, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना काफी आम है। हम यह क्रिया तब करते हैं जब हम यह पता लगाते हैं कि लागत को कैसे कम किया जाए, मुनाफा कैसे बढ़ाया जाए, उत्पादन पर इष्टतम भार की गणना कैसे की जाए, आदि, अर्थात, ऐसे मामलों में जहां हमें किसी पैरामीटर का इष्टतम मूल्य निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। ऐसी समस्याओं को सही ढंग से हल करने के लिए, आपको यह अच्छी तरह से समझने की आवश्यकता है कि सबसे बड़ा और क्या है सबसे छोटा मूल्यकार्य.

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आमतौर पर हम इन मानों को एक निश्चित अंतराल x के भीतर परिभाषित करते हैं, जो बदले में फ़ंक्शन के संपूर्ण डोमेन या उसके भाग के अनुरूप हो सकता है। यह एक खंड की तरह हो सकता है [ए; b ] , और खुला अंतराल (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), अनंत अंतराल (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) या अनंत अंतराल - ∞ ; ए , (- ∞ ; ए ] , [ ए ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

इस लेख में हम आपको बताएंगे कि सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य की स्पष्ट रूप से गणना कैसे करें दिया गया कार्यएक चर y=f(x) y = f (x) के साथ।

बुनियादी परिभाषाएँ

आइए, हमेशा की तरह, बुनियादी परिभाषाओं के निर्माण के साथ शुरुआत करें।

परिभाषा 1

एक निश्चित अंतराल x पर फ़ंक्शन y = f (x) का सबसे बड़ा मान m a x y = f (x 0) x ∈ X है, जो किसी भी मान x x ∈ X, x ≠ x 0 के लिए असमानता f (x) बनाता है ≤ f (x) वैध 0) .

परिभाषा 2

एक निश्चित अंतराल x पर फ़ंक्शन y = f (x) का सबसे छोटा मान m i n x ∈ X y = f (x 0) का मान है, जो किसी भी मान x ∈ X, x ≠ x 0 के लिए असमानता f(X f) बनाता है (एक्स) ≥ एफ (एक्स 0) .

ये परिभाषाएँ बिल्कुल स्पष्ट हैं। और भी सरलता से, हम यह कह सकते हैं: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान एब्सिस्सा x 0 पर ज्ञात अंतराल पर इसका सबसे बड़ा मान है, और सबसे छोटा x 0 पर समान अंतराल पर सबसे छोटा स्वीकृत मान है।

परिभाषा 3

स्थिर बिंदु किसी फ़ंक्शन के तर्क के वे मान हैं जिन पर इसका व्युत्पन्न 0 हो जाता है।

हमें यह जानने की आवश्यकता क्यों है कि स्थिर बिंदु क्या हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए हमें फ़र्मेट के प्रमेय को याद रखना होगा। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक स्थिर बिंदु वह बिंदु है जिस पर अवकलनीय फलन का चरम स्थित होता है (अर्थात, इसका स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम)। नतीजतन, फ़ंक्शन निश्चित अंतराल पर किसी स्थिर बिंदु पर सबसे छोटा या सबसे बड़ा मान लेगा।

एक फ़ंक्शन उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान भी ले सकता है, जहां फ़ंक्शन स्वयं परिभाषित है और इसका पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

इस विषय का अध्ययन करते समय पहला प्रश्न यह उठता है: क्या सभी मामलों में हम किसी दिए गए अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान निर्धारित कर सकते हैं? नहीं, हम ऐसा तब नहीं कर सकते जब किसी दिए गए अंतराल की सीमाएँ परिभाषा क्षेत्र की सीमाओं से मेल खाती हों, या यदि हम एक अनंत अंतराल से निपट रहे हों। ऐसा भी होता है कि किसी दिए गए खंड में या अनंत पर कोई फ़ंक्शन अनंत रूप से छोटे या असीम रूप से बड़े मान लेगा। इन मामलों में, सबसे बड़ा और/या सबसे छोटा मूल्य निर्धारित करना संभव नहीं है।

ग्राफ़ पर दर्शाए जाने के बाद ये बिंदु स्पष्ट हो जाएंगे:

पहला आंकड़ा हमें एक फ़ंक्शन दिखाता है जो खंड पर स्थित स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान (एम ए एक्स वाई और एम आई एन वाई) लेता है [ - 6 ; 6].

आइए दूसरे ग्राफ़ में दर्शाए गए मामले की विस्तार से जाँच करें। आइए खंड का मान बदलकर [ 1 ; 6 ] और हम पाते हैं कि फ़ंक्शन का अधिकतम मान अंतराल की दाहिनी सीमा पर भुज के साथ बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा, और न्यूनतम - स्थिर बिंदु पर।

तीसरी आकृति में, बिंदुओं के भुज खंड के सीमा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं [-3; 2]. वे किसी दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के अनुरूप होते हैं।

अब चौथी तस्वीर पर नजर डालते हैं. इसमें, फ़ंक्शन खुले अंतराल (- 6 ; 6) पर स्थिर बिंदुओं पर m a x y (सबसे बड़ा मान) और m i n y (सबसे छोटा मान) लेता है।

यदि हम अंतराल लें [ 1 ; 6), तो हम कह सकते हैं कि इस पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा। सबसे बड़ा मूल्य हमारे लिए अज्ञात होगा। यदि x = 6 अंतराल से संबंधित है तो फ़ंक्शन x पर अपना अधिकतम मान 6 के बराबर ले सकता है। यह बिल्कुल वैसा ही मामला है जैसा ग्राफ़ 5 में दिखाया गया है।

ग्राफ़ 6 में, यह फ़ंक्शन अंतराल (- 3; 2 ] की दाहिनी सीमा पर अपना सबसे छोटा मान प्राप्त करता है, और हम सबसे बड़े मान के बारे में निश्चित निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं।

चित्र 7 में हम देखते हैं कि फलन में एक स्थिर बिंदु पर m a x y होगा जिसका भुज 1 के बराबर होगा। फ़ंक्शन अंतराल c की सीमा पर अपने न्यूनतम मान तक पहुंच जाएगा दाहिनी ओर. माइनस इनफिनिटी पर, फ़ंक्शन मान स्पर्शोन्मुख रूप से y = 3 तक पहुंच जाएगा।

यदि हम अंतराल x ∈ 2 लेते हैं; + ∞ , तो हम देखेंगे कि दिया गया फ़ंक्शन न तो सबसे छोटा और न ही सबसे बड़ा मान लेगा। यदि x 2 की ओर प्रवृत्त होता है, तो फ़ंक्शन का मान शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होगा, क्योंकि सीधी रेखा x = 2 एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है। यदि एब्सिस्सा प्लस इनफिनिटी की ओर जाता है, तो फ़ंक्शन मान असम्बद्ध रूप से y = 3 तक पहुंच जाएगा। यह बिल्कुल वैसा ही है जैसा चित्र 8 में दिखाया गया है।

इस पैराग्राफ में हम उन क्रियाओं का क्रम प्रस्तुत करेंगे जिन्हें एक निश्चित खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने के लिए निष्पादित करने की आवश्यकता है।

1. सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें। आइए जांचें कि शर्त में निर्दिष्ट खंड इसमें शामिल है या नहीं।
2. आइए अब इस खंड में शामिल उन बिंदुओं की गणना करें जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। अक्सर वे उन फ़ंक्शंस में पाए जा सकते हैं जिनका तर्क मापांक चिह्न के तहत लिखा जाता है, या पावर फ़ंक्शंस में जिनका घातांक एक भिन्नात्मक तर्कसंगत संख्या है।
3. इसके बाद, हम यह पता लगाएंगे कि दिए गए खंड में कौन से स्थिर बिंदु आएंगे। ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है, फिर इसे 0 के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें, और फिर उचित जड़ों का चयन करें। यदि हमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं मिलता है या वे दिए गए खंड में नहीं आते हैं, तो हम अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।
4. हम यह निर्धारित करते हैं कि दिए गए स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन कौन से मान लेगा, या उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई है), या हम x = a और के मानों की गणना करते हैं एक्स = बी.
5. 5. हमारे पास कई फ़ंक्शन मान हैं, जिनमें से अब हमें सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करने की आवश्यकता है। ये फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान होंगे जिन्हें हमें ढूंढना होगा।

आइए देखें कि समस्याओं को हल करते समय इस एल्गोरिदम को सही ढंग से कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण 1

स्थिति:फलन y = x 3 + 4 x 2 दिया गया है। खंडों पर इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें [ 1 ; 4 ] और [-4 ; - 1 ] .

समाधान:

आइए किसी दिए गए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढकर शुरुआत करें। इस मामले में, उसके पास बहुत सारे लोग होंगे वास्तविक संख्या, 0 को छोड़कर। दूसरे शब्दों में, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . शर्त में निर्दिष्ट दोनों खंड परिभाषा क्षेत्र के अंदर होंगे।

अब हम भिन्न विभेदन के नियम के अनुसार फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 एक्स 3

हमने सीखा कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खंडों के सभी बिंदुओं पर मौजूद होगा [ 1 ; 4 ] और [-4 ; - 1 ] .

अब हमें फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु निर्धारित करने की आवश्यकता है। आइए इसे समीकरण x 3 - 8 x 3 = 0 का उपयोग करके करें। इसकी केवल एक ही वास्तविक जड़ है, जो कि 2 है। यह फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु होगा और पहले खंड में आएगा [1; 4 ] .

आइए पहले खंड के अंत में और इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें, अर्थात। x = 1, x = 2 और x = 4 के लिए:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

हमने पाया कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 x = 1 पर प्राप्त किया जाएगा, और सबसे छोटा m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - x = 2 पर।

दूसरे खंड में एक भी स्थिर बिंदु शामिल नहीं है, इसलिए हमें केवल दिए गए खंड के अंत में फ़ंक्शन मानों की गणना करने की आवश्यकता है:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

इसका मतलब है m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

उत्तर:खंड के लिए [1 ; 4 ] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [ 1 ; 4 ] = वाई (2) = 3 , एम आई एन वाई एक्स ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , खंड के लिए [ - 4 ; - 1 ] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

तस्वीर देखने:

इस विधि का अध्ययन करने से पहले, हम आपको यह समीक्षा करने की सलाह देते हैं कि एक तरफा सीमा और अनंत पर सीमा की सही गणना कैसे करें, साथ ही उन्हें खोजने के लिए बुनियादी तरीकों को भी सीखें। किसी खुले या अनंत अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और/या सबसे छोटा मान खोजने के लिए, निम्नलिखित चरणों का क्रमिक रूप से पालन करें।

1. सबसे पहले आपको यह जांचना होगा कि दिया गया अंतराल इस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र का सबसेट है या नहीं।
2. आइए हम उन सभी बिंदुओं को निर्धारित करें जो आवश्यक अंतराल में शामिल हैं और जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। वे आम तौर पर उन कार्यों के लिए होते हैं जहां तर्क मापांक चिह्न में संलग्न होता है, और आंशिक रूप से तर्कसंगत घातांक के साथ शक्ति कार्यों के लिए होता है। यदि ये बिंदु गायब हैं, तो आप अगले चरण पर आगे बढ़ सकते हैं।
3. अब आइए निर्धारित करें कि दिए गए अंतराल में कौन से स्थिर बिंदु आएंगे। सबसे पहले, हम अवकलज को 0 के बराबर करते हैं, समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त मूलों का चयन करते हैं। यदि हमारे पास एक भी स्थिर बिंदु नहीं है या वे निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं आते हैं, तो हम तुरंत आगे की कार्रवाई के लिए आगे बढ़ते हैं। वे अंतराल के प्रकार से निर्धारित होते हैं।

• यदि अंतराल फॉर्म का है [ ए ; बी) , तो हमें बिंदु x = a और एक तरफा सीमा lim x → b - 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल का रूप (a; b ] है, तो हमें बिंदु x = b और एक तरफा सीमा lim x → a + 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल का रूप (ए; बी) है, तो हमें एक तरफा सीमा लिम एक्स → बी - 0 एफ (एक्स), लिम एक्स → ए + 0 एफ (एक्स) की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल फॉर्म का है [ ए ; + ∞), तो हमें बिंदु x = a पर मान और प्लस अनंत lim x → + ∞ f (x) पर सीमा की गणना करने की आवश्यकता है।
• यदि अंतराल (- ∞ ; b ] जैसा दिखता है, तो हम बिंदु x = b पर मान और शून्य से अनंत सीमा x → - ∞ f (x) पर सीमा की गणना करते हैं।
• यदि - ∞ ; b , तो हम एक तरफा सीमा lim x → b - 0 f (x) और शून्य से अनंत lim x → - ∞ f (x) पर सीमा पर विचार करते हैं
• अगर - ∞; + ∞ , फिर हम माइनस और प्लस अनंत lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) पर सीमा पर विचार करते हैं।

1. अंत में, आपको प्राप्त फ़ंक्शन मानों और सीमाओं के आधार पर निष्कर्ष निकालना होगा। यहां कई विकल्प उपलब्ध हैं. इसलिए, यदि एकतरफा सीमा माइनस इनफिनिटी या प्लस इनफिनिटी के बराबर है, तो यह तुरंत स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों के बारे में कुछ भी नहीं कहा जा सकता है। नीचे हम एक विशिष्ट उदाहरण देखेंगे. विस्तृत विवरणआपको यह समझने में मदद मिलेगी कि क्या है। यदि आवश्यक हो, तो आप सामग्री के पहले भाग में चित्र 4 - 8 पर लौट सकते हैं।

शर्त: दिया गया फलन y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4। अंतरालों में इसके सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करें - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [4 ; + ∞) .

समाधान

सबसे पहले, हम फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढते हैं। भिन्न के हर में एक द्विघात त्रिपद होता है, जिसे 0 में नहीं बदलना चाहिए:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

हमने फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन प्राप्त कर लिया है जिससे स्थिति में निर्दिष्ट सभी अंतराल संबंधित हैं।

आइए अब फ़ंक्शन को अलग करें और प्राप्त करें:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 एक्स 2 + एक्स - 6 2

नतीजतन, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न उसकी परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में मौजूद होते हैं।

आइए स्थिर बिंदुओं को खोजने की ओर आगे बढ़ें। फ़ंक्शन का अवकलज x = - 1 2 पर 0 हो जाता है। यह एक स्थिर बिंदु है जो अंतराल (- 3 ; 1 ] और (- 3 ; 2) में स्थित है।

आइए अंतराल (- ∞ ; - 4 ] के लिए x = - 4 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें, साथ ही शून्य से अनंत पर सीमा की गणना करें:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0। 456 लिम x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

चूँकि 3 e 1 6 - 4 > - 1, इसका मतलब है कि m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. यह हमें विशिष्ट रूप से न्यूनतम मान निर्धारित करने की अनुमति नहीं देता है फ़ंक्शन। हम केवल यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि -1 के नीचे एक बाधा है, क्योंकि यह इस मान पर है कि फ़ंक्शन माइनस इनफिनिटी पर स्पर्शोन्मुख रूप से आता है।

दूसरे अंतराल की ख़ासियत यह है कि इसमें एक भी स्थिर बिंदु और एक भी सख्त सीमा नहीं है। परिणामस्वरूप, हम फ़ंक्शन के सबसे बड़े या सबसे छोटे मान की गणना नहीं कर पाएंगे। माइनस इनफिनिटी पर सीमा को परिभाषित करने के बाद और जैसे ही तर्क बाईं ओर -3 की ओर जाता है, हमें केवल मानों का अंतराल मिलता है:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + ∞ लिम एक्स → - ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन मान अंतराल - 1 में स्थित होंगे; +∞

तीसरे अंतराल में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करने के लिए, हम स्थिर बिंदु x = - 1 2 पर इसका मान निर्धारित करते हैं यदि x = 1 है। हमें उस मामले के लिए एकतरफ़ा सीमा जानने की भी आवश्यकता होगी जब तर्क दाहिनी ओर -3 पर हो:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1। 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1। 644 लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 (एक्स + 3) (एक्स - 2) - 4 = 3 ई 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (- 0) - 4 = 3 ई - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

यह पता चला कि फ़ंक्शन एक स्थिर बिंदु m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 पर सबसे बड़ा मान लेगा। सबसे छोटे मान के लिए, हम इसे निर्धारित नहीं कर सकते। हम जो कुछ भी जानते हैं , - 4 की निचली सीमा की उपस्थिति है।

अंतराल (- 3; 2) के लिए, पिछली गणना के परिणाम लें और एक बार फिर से गणना करें कि बाईं ओर 2 की ओर बढ़ने पर एक तरफा सीमा किसके बराबर है:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1। 444 लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = - 4 लिम एक्स → 2 - 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

इसका मतलब यह है कि m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, और सबसे छोटा मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है, और फ़ंक्शन के मान नीचे से संख्या - 4 द्वारा सीमित हैं .

पिछली दो गणनाओं में हमें जो मिला, उसके आधार पर हम कह सकते हैं कि अंतराल पर [ 1 ; 2) फ़ंक्शन x = 1 पर अपना सबसे बड़ा मान लेगा, लेकिन सबसे छोटा मान पाना असंभव है।

अंतराल (2 ; + ∞) पर फ़ंक्शन या तो सबसे बड़े या सबसे छोटे मान तक नहीं पहुंचेगा, यानी। यह -1 श्रेणी से मान लेगा; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + ∞ लिम एक्स → + ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

यह गणना करने पर कि x = 4 पर फ़ंक्शन का मान किसके बराबर होगा, हमें पता चलता है कि m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4, और प्लस इनफिनिटी पर दिया गया फ़ंक्शन स्पर्शोन्मुख रूप से सीधी रेखा y = - 1 तक पहुंचेगा।

आइए प्रत्येक गणना में हमें जो मिला उसकी तुलना दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ से करें। चित्र में, अनंतस्पर्शियों को बिंदीदार रेखाओं द्वारा दिखाया गया है।

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने के बारे में हम आपको बस इतना ही बताना चाहते थे। हमारे द्वारा दिए गए कार्यों का क्रम आपको आवश्यक गणना यथासंभव शीघ्र और सरलता से करने में मदद करेगा। लेकिन याद रखें कि पहले यह पता लगाना अक्सर उपयोगी होता है कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर घटेगा और किस अंतराल पर बढ़ेगा, जिसके बाद आप आगे निष्कर्ष निकाल सकते हैं। इस तरह आप फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को अधिक सटीक रूप से निर्धारित कर सकते हैं और प्राप्त परिणामों को सही ठहरा सकते हैं।

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कभी-कभी समस्या B14 में "खराब" फ़ंक्शन होते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल नमूना परीक्षणों के दौरान होता था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हैं कि वास्तविक एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय इन्हें अनदेखा नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, अन्य तकनीकें काम करती हैं, जिनमें से एक एकरसता है। परिभाषा एक फ़ंक्शन f (x) को खंड पर एकरस रूप से बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित हो: x 1

परिभाषा। एक फ़ंक्शन f (x) को खंड पर नीरस रूप से घटता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड के किसी भी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित हो: x 1 f (x 2)। दूसरे शब्दों में, बढ़ते फलन के लिए, जितना बड़ा x, उतना बड़ा f(x)। घटते फलन के लिए विपरीत सत्य है: जितना बड़ा x, उतना छोटा f(x)।

उदाहरण। यदि आधार a > 1 है, तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है, और यदि 0 0 है तो लघुगणक नीरस रूप से घटता है। f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, और यदि 0 0 है तो एकरस रूप से घटता है। f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, और यदि 0 0 है तो एकरस रूप से घटता है। f (x) = log a x (a > 0) ; a 1; यदि आधार a > 1 है तो एकरस रूप से बढ़ता है, और यदि 0 0 है तो एकरस रूप से घटता है। f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="उदाहरण। यदि आधार a > 1 है, तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है, और यदि 0 0 है तो लघुगणक नीरस रूप से घटता है। f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

उदाहरण। घातांकीय फ़ंक्शन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह > 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है: 1 और 0 0 पर घटता है:"> 1 और 0 0 पर घटता है:"> 1 और 0 0 पर घटता है:" title='उदाहरण। घातीय फ़ंक्शन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह > 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है:"> title="उदाहरण। घातांकीय फ़ंक्शन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह > 1 के लिए बढ़ता है और 0 0 के लिए घटता है:"> !}

0) या नीचे (ए 0) या नीचे (ए 9परवलय के शीर्ष के निर्देशांक अक्सर, फ़ंक्शन के तर्क को प्रपत्र के एक वर्ग ट्रिनोमियल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक परवलय है, जिसमें हम शाखाओं में रुचि रखते हैं: परवलय की शाखाएं ऊपर जा सकती हैं (के लिए) a > 0) या नीचे (a 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (a 0) या सबसे बड़ा (a 0) या नीचे (a 0) या नीचे (a title='(! लैंग: एक परवलय के शीर्ष के निर्देशांक अक्सर, फ़ंक्शन के तर्क को रूप के द्विघात त्रिपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है इसका ग्राफ एक मानक परवलय है, जिसमें हम शाखाओं में रुचि रखते हैं: एक परवलय की शाखाएं ऊपर जा सकती हैं (ए > 0 के लिए) या नीचे (ए

समस्या कथन में कोई खंड नहीं है. इसलिए, f(a) और f(b) की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बना हुआ है; लेकिन ऐसा केवल एक बिंदु है - परवलय x 0 का शीर्ष, जिसके निर्देशांक की गणना शाब्दिक रूप से मौखिक रूप से और बिना किसी व्युत्पन्न के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या को हल करना बहुत सरल हो गया है और केवल दो चरणों तक सीमित हो गया है: परवलय का समीकरण लिखें और सूत्र का उपयोग करके इसका शीर्ष ज्ञात करें: इस बिंदु पर मूल फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें: f (x 0)। अगर कोई नहीं अतिरिक्त शर्तोंनहीं, यही उत्तर होगा.

0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title='फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: मूल के अंतर्गत है द्विघात फंक्शनइस परवलय फ़ंक्शन के ग्राफ़ की शाखाएं ऊपर की ओर हैं, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class='link_thumb ">18फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: मूल के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b/ (2ए) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title=' सबसे छोटा मान ज्ञात करें फ़ंक्शन का: समाधान: मूल के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान: मूल के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a = 1 > 0 है। परवलय का शीर्ष: x 0 = b/ (2ए) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान लघुगणक के अंतर्गत, द्विघात फ़ंक्शन फिर से परवलय के ग्राफ़ की शाखाएं ऊपर की ओर होती हैं a = 1 > 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title='सबसे छोटा मान ज्ञात करें फलन का: समाधान लघुगणक के अंतर्गत फिर से एक द्विघात फलन है। परवलय के ग्राफ की शाखाएं ऊपर की ओर हैं, क्योंकि a = 1 > 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें: समाधान लघुगणक के अंतर्गत, द्विघात फ़ंक्शन फिर से परवलय के ग्राफ़ की शाखाएं ऊपर की ओर होती हैं a = 1 > 0. परवलय का शीर्ष: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान खोजें: समाधान: घातांक में एक द्विघात फ़ंक्शन होता है आइए इसे सामान्य रूप में फिर से लिखें: जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, शाखाएं नीचे की ओर हैं (a = 1)

फ़ंक्शन के डोमेन से परिणाम कभी-कभी समस्या B14 को हल करने के लिए केवल परवलय का शीर्ष ज्ञात करना पर्याप्त नहीं होता है। वांछित मान खंड के अंत में हो सकता है, चरम बिंदु पर बिल्कुल नहीं। यदि समस्या किसी खंड को बिल्कुल भी निर्दिष्ट नहीं करती है, तो हम मूल फ़ंक्शन के अनुमेय मानों की सीमा को देखते हैं। अर्थात्:

0 2. अंकगणित वर्गमूलकेवल गैर-नकारात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:" title='1. लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:" class="link_thumb"> 26 !} 1. लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए: 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए: "> 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. हर भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए: "> 0 2. अंकगणित में वर्गमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं का होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:" title='1. The लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्ग मूल केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं से मौजूद है: 3. भिन्न का हर शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:"> title="1. लघुगणक का तर्क सकारात्मक होना चाहिए: y = log a f (x) f (x) > 0 2. अंकगणितीय वर्गमूल केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं से मौजूद होता है: 3. भिन्न का हर शून्य नहीं होना चाहिए:"> !}

समाधान मूल के अंतर्गत पुनः एक द्विघात फलन है। इसका ग्राफ़ परवलयिक है, लेकिन शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित हैं, क्योंकि a = 1 है
आइए अब परवलय का शीर्ष ज्ञात करें: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 बिंदु x 0 = 1 खंड ODZ से संबंधित है और यह है अच्छा। अब हम बिंदु x 0 पर और साथ ही ODZ के सिरों पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं: y(3) = y(1) = 0 तो, हमें संख्याएं 2 और 0 मिलीं। हमें खोजने के लिए कहा गया है सबसे बड़ी संख्या 2. उत्तर: 2

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए अंत ODZ से संबंधित नहीं है। यह लघुगणक को मूल से भिन्न करता है, जहां खंड के सिरे हमारे लिए काफी उपयुक्त होते हैं। हम परवलय के शीर्ष की तलाश कर रहे हैं: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 परवलय का शीर्ष ODZ में फिट बैठता है: x 0 = 3 ( 1;5). लेकिन चूँकि हमें खंड के सिरों में कोई दिलचस्पी नहीं है, हम फ़ंक्शन के मान की गणना केवल बिंदु x 0 पर करते हैं:

Y मिनट = y(3) = लॉग 0.5 (6 ) = = लॉग 0.5 (18 9 5) = लॉग 0.5 4 = 2 उत्तर: -2

इस तरह का एक छोटा और काफी सरल कार्य जो एक तैरते हुए छात्र के लिए जीवन रक्षक के रूप में कार्य करता है। यह प्रकृति में जुलाई के मध्य का समय है, इसलिए समुद्र तट पर अपने लैपटॉप के साथ आराम करने का समय है। सुबह-सुबह, अभ्यास पर ध्यान केंद्रित करने के लिए, सिद्धांत की धूप बजने लगी, जिसमें घोषित आसानी के बावजूद, रेत में कांच के टुकड़े शामिल थे। इस संबंध में, मेरा सुझाव है कि आप इस पृष्ठ के कुछ उदाहरणों पर ईमानदारी से विचार करें। व्यावहारिक कार्यों को हल करने में आपको सक्षम होना चाहिए डेरिवेटिव खोजेंऔर लेख की सामग्री को समझें एकरसता अंतराल और कार्य की चरम सीमा.

सबसे पहले, संक्षेप में मुख्य बात के बारे में। के बारे में पाठ में कार्य की निरंतरतामैंने एक बिंदु पर निरंतरता और एक अंतराल पर निरंतरता की परिभाषा दी। किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का अनुकरणीय व्यवहार इसी तरह तैयार किया जाता है। एक फलन एक अंतराल पर सतत होता है यदि:

1) यह अंतराल पर निरंतर है;
2) एक बिंदु पर निरंतर दायी ओरऔर बिंदु पर बाएं.

दूसरे पैराग्राफ में हमने तथाकथित के बारे में बात की एकतरफ़ा निरंतरताएक बिंदु पर कार्य करता है। इसे परिभाषित करने के कई दृष्टिकोण हैं, लेकिन मैं उस पंक्ति पर कायम रहूंगा जो मैंने पहले शुरू की थी:

बिंदु पर फलन सतत है दायी ओर, यदि इसे किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी दाहिनी ओर की सीमा किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है: . यह बिंदु पर निरंतर है बाएं, यदि किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी बाईं ओर की सीमा इस बिंदु पर मान के बराबर है:

कल्पना करें कि हरे बिंदु वे नाखून हैं जिनके साथ एक जादुई इलास्टिक बैंड जुड़ा हुआ है:

मानसिक रूप से लाल रेखा को अपने हाथों में लें। जाहिर है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम ग्राफ़ को कितनी दूर ऊपर और नीचे (अक्ष के साथ) खींचते हैं, फ़ंक्शन अभी भी बना रहेगा सीमित- शीर्ष पर एक बाड़, नीचे एक बाड़, और हमारा उत्पाद मेढक में चरता है। इस प्रकार, एक अंतराल पर निरंतर एक फलन उस पर परिबद्ध होता है. गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह प्रतीत होता है कि सरल तथ्य बताया गया है और सख्ती से सिद्ध किया गया है। वीयरस्ट्रैस का पहला प्रमेय....बहुत से लोग इस बात से नाराज़ हैं कि गणित में प्राथमिक कथनों को कठिनता से प्रमाणित किया जाता है, लेकिन इसका एक महत्वपूर्ण अर्थ है। मान लीजिए कि टेरी मध्य युग के एक निश्चित निवासी ने दृश्यता की सीमा से परे आकाश में एक ग्राफ खींचा, इसे डाला गया। दूरबीन के आविष्कार से पहले, अंतरिक्ष में सीमित कार्य बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं था! वास्तव में, आप कैसे जानते हैं कि क्षितिज पर हमारा क्या इंतजार है? आख़िरकार, पृथ्वी को कभी चपटा माना जाता था, इसलिए आज साधारण टेलीपोर्टेशन के लिए भी प्रमाण की आवश्यकता होती है =)

के अनुसार वीयरस्ट्रैस का दूसरा प्रमेय, एक खंड पर निरंतरफ़ंक्शन अपने तक पहुंचता है सटीक ऊपरी सीमाऔर तुम्हारा सटीक निचला किनारा .

नंबर भी कहा जाता है खंड पर फ़ंक्शन का अधिकतम मानऔर द्वारा निरूपित किये जाते हैं, और संख्या है खंड पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मानचिह्नित ।

हमारे मामले में:

टिप्पणी : सिद्धांत रूप में, रिकॉर्डिंग आम हैं .

मोटे तौर पर कहें तो, सबसे बड़ा मान वह है जहां ग्राफ़ पर उच्चतम बिंदु है, और सबसे छोटा मान वह है जहां सबसे निचला बिंदु है।

महत्वपूर्ण!जैसा कि लेख में पहले ही जोर दिया जा चुका है समारोह की चरम सीमा, सबसे बड़ा फ़ंक्शन मानऔर सबसे छोटा फ़ंक्शन मान – एक ही नहीं, क्या अधिकतम कार्यऔर न्यूनतम कार्य. इसलिए, विचाराधीन उदाहरण में, संख्या फ़ंक्शन का न्यूनतम है, लेकिन न्यूनतम मान नहीं है।

वैसे, सेगमेंट के बाहर क्या होता है? हाँ, यहाँ तक कि बाढ़ भी, विचाराधीन समस्या के सन्दर्भ में, इसमें हमारी कोई दिलचस्पी नहीं है। कार्य में केवल दो संख्याएँ ढूँढना शामिल है और बस!

इसके अलावा, समाधान पूरी तरह से विश्लेषणात्मक है कोई चित्र बनाने की आवश्यकता नहीं!

एल्गोरिथ्म सतह पर है और उपरोक्त आंकड़े से खुद को सुझाता है:

1) फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें महत्वपूर्ण बिंदु, जो इस सेगमेंट से संबंधित हैं.

एक और बोनस पकड़ें: यहां चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि, जैसा कि अभी दिखाया गया है, न्यूनतम या अधिकतम की उपस्थिति अभी तक गारंटी नहीं देता, न्यूनतम क्या है या अधिकतम मूल्य. प्रदर्शन फ़ंक्शन अधिकतम तक पहुंचता है और, भाग्य की इच्छा से, वही संख्या खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है। लेकिन, ज़ाहिर है, ऐसा संयोग हमेशा नहीं होता है।

इसलिए, पहले चरण में, सेगमेंट से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करना तेज़ और आसान है, बिना इस बात की परवाह किए कि उनमें एक्स्ट्रेमा हैं या नहीं।

2) हम खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।

3) बिंदु 1 और 2 में पाए गए फ़ंक्शन मानों में से सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का चयन करें और उत्तर लिखें।

हम नीले समुद्र के तट पर बैठते हैं और अपनी एड़ियों से उथले पानी से टकराते हैं:

उदाहरण 1

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

समाधान:
1) आइए इस खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें:

आइए दूसरे महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:

2) आइए खंड के अंत में फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

3) "बोल्ड" परिणाम घातांक और लघुगणक के साथ प्राप्त किए गए थे, जो उनकी तुलना को काफी जटिल बनाता है। इस कारण से, आइए अपने आप को एक कैलकुलेटर या एक्सेल से लैस करें और अनुमानित मानों की गणना करें, यह न भूलें:

अब सब कुछ स्पष्ट हो गया है.

उत्तर:

स्वतंत्र समाधान के लिए भिन्नात्मक-तर्कसंगत उदाहरण:

उदाहरण 6

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें

विषय पर पाठ "अंतराल पर एक निरंतर फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना" व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी दिए गए अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की अपेक्षाकृत सरल समस्याओं की जांच करेगा। .

विषय: व्युत्पन्न

पाठ: एक अंतराल पर एक सतत कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना

इस पाठ में हम एक सरल समस्या पर विचार करेंगे, अर्थात् एक अंतराल दिया जाएगा, इस अंतराल पर एक सतत फलन दिया जाएगा। हमें किसी दिए गए का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करना होगा कार्यकिसी दिए गए पर बीच में.

क्रमांक 32.1 (बी)। दिया गया: , । आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़.

ज्ञातव्य है कि यह फलन अन्तराल पर बढ़ता है अर्थात् अन्तराल पर भी बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि यदि आप किसी फ़ंक्शन का मान बिंदुओं और पर पाते हैं, तो इस फ़ंक्शन के परिवर्तन की सीमाएं, इसके सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात हो जाएंगे।

जब तर्क 8 से बढ़ जाता है, तो फ़ंक्शन से बढ़ जाता है।

उत्तर: ; .

संख्या 32.2 (ए) दिया गया: किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें।

आइए इस फ़ंक्शन को प्लॉट करें (चित्र 2 देखें)।

यदि अंतराल पर तर्क बदलता है, तो फ़ंक्शन -2 से बढ़कर 2 हो जाता है। यदि तर्क अंतराल पर बढ़ता है, तो फ़ंक्शन 2 से घटकर 0 हो जाता है।

चावल। 2. फ़ंक्शन ग्राफ़।

आइए व्युत्पन्न खोजें।

, . यदि, तो यह मान भी दिए गए खंड से संबंधित है। तो अगर। यह जांचना आसान है कि क्या यह अन्य मान लेता है और संबंधित स्थिर बिंदु दिए गए खंड के बाहर आते हैं। आइए खंड के अंत में और चयनित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की तुलना करें जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। हम ढूंढ लेंगे

;

उत्तर: ;.

तो जवाब मिल गया. व्युत्पन्न में इस मामले मेंआप इसका उपयोग कर सकते हैं, आप इसका उपयोग नहीं कर सकते, आप फ़ंक्शन के उन गुणों को लागू कर सकते हैं जिनका पहले अध्ययन किया गया था। ऐसा हमेशा नहीं होता है; कभी-कभी व्युत्पन्न का उपयोग ही एकमात्र तरीका है जो आपको ऐसी समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

दिया गया: , । किसी दिए गए खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

यदि पिछले मामले में व्युत्पन्न के बिना करना संभव था - हम जानते थे कि फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, तो इस मामले में फ़ंक्शन काफी जटिल है। इसलिए, हमने पिछले कार्य में जिस पद्धति का उल्लेख किया था वह पूरी तरह से लागू है।

1. आइए व्युत्पन्न खोजें। आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, इसलिए - महत्वपूर्ण बिंदु। उनमें से हम उन लोगों का चयन करते हैं जो इस खंड से संबंधित हैं:। आइए, बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करें। इसके लिए हम ढूंढेंगे

आइए चित्र में परिणाम को स्पष्ट करें (चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. फ़ंक्शन मानों में परिवर्तन की सीमाएँ

हम देखते हैं कि यदि तर्क 0 से 2 तक बदलता है, तो फ़ंक्शन -3 से 4 की सीमा में बदलता है। फ़ंक्शन एकरस रूप से नहीं बदलता है: यह या तो बढ़ता है या घटता है।

उत्तर: ;.

इसलिए, तीन उदाहरणों का उपयोग करते हुए, एक अंतराल पर, इस मामले में एक खंड पर, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने की सामान्य तकनीक का प्रदर्शन किया गया।

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

2. फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु ढूंढें और उन बिंदुओं का चयन करें जो किसी दिए गए खंड पर हैं।

3. खंड के अंत में और चयनित बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें।

4. इन मूल्यों की तुलना करें और सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

आइए एक और उदाहरण देखें.

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर पहले विचार किया गया था (चित्र 4 देखें)।

चावल। 4. फ़ंक्शन ग्राफ़।

अंतराल पर, इस फ़ंक्शन के मानों की सीमा . बिंदु - अधिकतम बिंदु. कब-कार्य बढ़ता है, कब-कार्य घटता है। चित्र से यह स्पष्ट है कि, - अस्तित्व में नहीं है।

इसलिए, पाठ में हमने किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों की समस्या को देखा जब दिया गया अंतराल एक खंड है; ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार किया।

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अतिरिक्त वेब संसाधन

2. प्राकृतिक विज्ञान का पोर्टल ()।

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संख्या 46.16, 46.17 (सी) (बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 (दो भागों में)। सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक (प्रोफ़ाइल स्तर) ए.जी. मोर्दकोविच द्वारा संपादित। - एम.: मेनेमोज़िना, 2007।)