संभावनाओं पर संचालन की आवश्यकता तब आती है जब कुछ घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात होती हैं, और इन घटनाओं से जुड़ी अन्य घटनाओं की संभावनाओं की गणना करना आवश्यक होता है।

संभाव्यता जोड़ का उपयोग तब किया जाता है जब संयोजन की संभावना या यादृच्छिक घटनाओं के तार्किक योग की गणना करना आवश्यक होता है।

घटनाओं का योग एऔर बीनामित ए + बीया ए ∪ बी. दो घटनाओं का योग एक ऐसी घटना है जो तब घटित होती है जब और केवल यदि इनमें से कम से कम एक घटना घटित होती है। यह मतलब है कि ए + बी- एक घटना जो तभी घटित होती है जब अवलोकन के दौरान कोई घटना घटित होती है एया घटना बी, या एक ही समय में एऔर बी.

यदि घटनाएँ एऔर बीपरस्पर असंगत हैं और उनकी संभावनाएँ दी गई हैं, तो एक परीक्षण के परिणामस्वरूप इनमें से एक घटना घटित होने की संभावना की गणना संभावनाओं को जोड़कर की जाती है।

संभावनाओं के योग का प्रमेय.दो परस्पर असंगत घटनाओं में से एक के घटित होने की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

उदाहरण के लिए, शिकार करते समय दो गोलियाँ चलाई गईं। आयोजन ए- पहले शॉट से डक मारना, घटना में– दूसरे शॉट से हिट, घटना ( ए+ में) - पहले या दूसरे शॉट से या दो शॉट से मारा। तो अगर दो घटनाएँ एऔर मेंतो फिर ये असंगत घटनाएँ हैं ए+ में- इनमें से कम से कम एक घटना या दो घटनाओं का घटित होना।

उदाहरण 1एक डिब्बे में एक ही आकार की 30 गेंदें हैं: 10 लाल, 5 नीली और 15 सफेद। इस संभावना की गणना करें कि एक रंगीन (सफेद नहीं) गेंद बिना देखे ली गई है।

समाधान। चलिए मान लेते हैं कि घटना ए- "लाल गेंद ली गई", और घटना में- "नीली गेंद ले ली गई है।" फिर घटना यह है कि "एक रंगीन (सफ़ेद नहीं) गेंद ली गई"। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए:

और घटनाएँ में:

आयोजन एऔर में- परस्पर असंगत, क्योंकि यदि एक गेंद ली जाती है, तो गेंदें नहीं ली जा सकतीं अलग - अलग रंग. इसलिए, हम संभावनाओं के योग का उपयोग करते हैं:

कई असंगत घटनाओं के लिए संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय।यदि घटनाएँ घटनाओं का पूरा सेट बनाती हैं, तो उनकी संभावनाओं का योग 1 के बराबर है:

विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का योग भी 1 के बराबर होता है:

विपरीत घटनाएँ घटनाओं का एक पूरा सेट बनाती हैं, और घटनाओं के एक पूरे सेट की संभावना 1 है।

विपरीत घटनाओं की संभावनाओं को आमतौर पर छोटे अक्षरों में दर्शाया जाता है। पीऔर क्यू. विशेष रूप से,

जिससे विपरीत घटनाओं की संभावना के लिए निम्नलिखित सूत्र अनुसरण करते हैं:

उदाहरण 2डैश में लक्ष्य को 3 जोन में बांटा गया है। पहले क्षेत्र में एक निश्चित निशानेबाज द्वारा लक्ष्य पर गोली चलाने की संभावना 0.15 है, दूसरे क्षेत्र में - 0.23, तीसरे क्षेत्र में - 0.17। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निशानेबाज़ लक्ष्य को भेदता है और प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निशानेबाज़ लक्ष्य से चूक जाता है।

समाधान: इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निशानेबाज निशाने पर लगेगा:

निशानेबाज़ का निशाना चूक जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

अधिक कठिन कार्य जिनमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए विभिन्न कार्य" ।

पारस्परिक रूप से संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का जोड़

दो यादृच्छिक घटनाओं को संयुक्त कहा जाता है यदि एक घटना का घटित होना उसी अवलोकन में दूसरी घटना के घटित होने को नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, पासा फेंकते समय, घटना एअंक 4 की घटना और घटना मानी जाती है में- एक सम संख्या छोड़ना। चूँकि संख्या 4 एक सम संख्या है, इसलिए दोनों घटनाएँ सुसंगत हैं। व्यवहार में, परस्पर संयुक्त घटनाओं में से किसी एक के घटित होने की संभावनाओं की गणना करने के कार्य हैं।

संयुक्त घटनाओं के लिए संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय।संयुक्त घटनाओं में से एक के घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर होती है, जिसमें से दोनों घटनाओं के सामान्य घटित होने की संभावना को घटा दिया जाता है, अर्थात संभावनाओं का गुणनफल। संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का सूत्र इस प्रकार है:

क्योंकि घटनाएँ एऔर मेंसंगत, घटना ए+ मेंतब होता है जब तीन संभावित घटनाओं में से एक घटित होती है: या अब. असंगत घटनाओं के योग के प्रमेय के अनुसार, हम निम्नानुसार गणना करते हैं:

आयोजन एतब होता है जब दो असंगत घटनाओं में से एक घटित होती है: या अब. हालाँकि, कई असंगत घटनाओं में से एक घटना के घटित होने की संभावना इन सभी घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

इसी प्रकार:

व्यंजक (6) और (7) को व्यंजक (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम संयुक्त घटनाओं के लिए संभाव्यता सूत्र प्राप्त करते हैं:

सूत्र (8) का प्रयोग करते समय यह ध्यान में रखना चाहिए कि घटनाएँ एऔर मेंहो सकता है:

• परस्पर स्वतंत्र;
• परस्पर निर्भर.

परस्पर स्वतंत्र घटनाओं के लिए संभाव्यता सूत्र:

परस्पर निर्भर घटनाओं के लिए संभाव्यता सूत्र:

यदि घटनाएँ एऔर मेंअसंगत हैं, तो उनका संयोग एक असंभव मामला है और, इस प्रकार, पी(अब) = 0. असंगत घटनाओं के लिए चौथा संभाव्यता सूत्र इस प्रकार है:

उदाहरण 3ऑटो रेसिंग में पहली कार में ड्राइविंग करते समय जीतने की संभावना, दूसरी कार में ड्राइविंग करते समय जीतने की संभावना। पाना:

• संभावना है कि दोनों कारें जीतेंगी;
• संभावना है कि कम से कम एक कार जीतेगी;

1) पहली कार के जीतने की संभावना दूसरी कार के परिणाम पर निर्भर नहीं करती, इसलिए घटनाएँ ए(पहली कार जीतती है) और में(दूसरी कार जीतती है) - स्वतंत्र घटनाएँ। दोनों कारों के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

2) दोनों कारों में से एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

अधिक कठिन कार्य जिनमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए विभिन्न कार्य" ।

संभावनाओं को जोड़ने की समस्या को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 4दो सिक्के फेंके जाते हैं. आयोजन ए- पहले सिक्के पर हथियारों के कोट का नुकसान। आयोजन बी- दूसरे सिक्के पर हथियारों के कोट का नुकसान। किसी घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए सी = ए + बी .

संभाव्यता गुणन

संभावनाओं के गुणन का उपयोग तब किया जाता है जब घटनाओं के तार्किक उत्पाद की संभावना की गणना की जानी हो।

इस मामले में, यादृच्छिक घटनाएं स्वतंत्र होनी चाहिए। दो घटनाओं को परस्पर स्वतंत्र कहा जाता है यदि एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना के घटित होने की संभावना प्रभावित नहीं होती है।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए संभाव्यता गुणन प्रमेय।दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता एऔर मेंइन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है और सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

उदाहरण 5सिक्के को लगातार तीन बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि तीनों बार राजचिह्न गिर जाएगा।

समाधान। सिक्के को पहली बार उछालने पर, दूसरी बार और तीसरी बार उछालने पर राजचिह्न गिरने की प्रायिकता। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि राज्य-चिह्न तीनों बार गिर जाएगा:

संभावनाओं को गुणा करने की समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 6नौ नई टेनिस गेंदों वाला एक बॉक्स है। खेल के लिए तीन गेंदें ली जाती हैं, खेल के बाद उन्हें वापस रख दिया जाता है। गेंद चुनते समय, वे खेली गई और न खेली गई गेंदों के बीच अंतर नहीं करते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि तीन गेम के बाद बॉक्स में कोई भी गेंद न खेली जाएगी?

उदाहरण 7कटे हुए वर्णमाला कार्डों पर रूसी वर्णमाला के 32 अक्षर लिखे हुए हैं। एक के बाद एक, पांच कार्ड यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं, और जिस क्रम में वे दिखाई देते हैं उसी क्रम में मेज पर रख दिए जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इन अक्षरों से शब्द "अंत" बनेगा।

उदाहरण 8ताश के पत्तों (52 शीट) के पूरे डेक से एक बार में चार पत्ते निकाले जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ये चारों कार्ड एक ही सूट के हैं।

उदाहरण 9उदाहरण 8 जैसी ही समस्या, लेकिन प्रत्येक कार्ड निकाले जाने के बाद डेक पर वापस आ जाता है।

अधिक जटिल कार्य, जिनमें आपको संभावनाओं के जोड़ और गुणा दोनों को लागू करने की आवश्यकता होती है, साथ ही कई घटनाओं के उत्पाद की गणना करने की आवश्यकता होती है - पृष्ठ पर "संभावनाओं के जोड़ और गुणा के लिए विभिन्न कार्य" ।

पारस्परिक रूप से स्वतंत्र घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की संभावना की गणना विपरीत घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद को 1 से घटाकर, यानी सूत्र द्वारा की जा सकती है:

उदाहरण 10माल परिवहन के तीन तरीकों द्वारा वितरित किया जाता है: नदी, रेल और सड़क परिवहन। संभावना है कि माल नदी परिवहन द्वारा वितरित किया जाएगा 0.82, रेल द्वारा 0.87, सड़क द्वारा 0.90 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि माल परिवहन के तीन तरीकों में से कम से कम एक द्वारा वितरित किया जाएगा।

संभावनाओं के जोड़ और गुणन के प्रमेय।
आश्रित और स्वतंत्र घटनाएँ

शीर्षक डरावना लगता है, लेकिन वास्तव में यह बहुत सरल है। इस पाठ में, हम घटना संभावनाओं के जोड़ और गुणन के प्रमेयों से परिचित होंगे, साथ ही साथ विशिष्ट कार्यों का विश्लेषण भी करेंगे। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के लिए कार्यनिश्चित रूप से मिलेंगे या, अधिक संभावना है, पहले ही आपके रास्ते पर मिल चुके होंगे। इस लेख की सामग्री का प्रभावी ढंग से अध्ययन करने के लिए, आपको बुनियादी शर्तों को जानना और समझना होगा सिद्धांत संभावनाऔर सरल अंकगणितीय परिचालन करने में सक्षम हो। जैसा कि आप देख सकते हैं, बहुत कम की आवश्यकता है, और इसलिए संपत्ति में मोटी रकम की लगभग गारंटी है। लेकिन दूसरी ओर, मैं फिर से सतही रवैये के खिलाफ चेतावनी देता हूं व्यावहारिक उदाहरण- पर्याप्त सूक्ष्मताएँ भी हैं। आपको कामयाबी मिले:

असंगत घटनाओं की संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय: दोनों में से किसी एक के घटित होने की संभावना असंगतघटनाएँ या (कोई बात नहीं क्या), इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

एक समान तथ्य बड़ी संख्या में असंगत घटनाओं के लिए भी सत्य है, उदाहरण के लिए, तीन असंगत घटनाओं के लिए और:

स्वप्न प्रमेय =) हालाँकि, ऐसा स्वप्न भी प्रमाण के अधीन है, जिसे पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, में अध्ययन संदर्शिकावी.ई. Gmurman.

आइए नई, अब तक अनदेखी अवधारणाओं से परिचित हों:

आश्रित और स्वतंत्र घटनाएँ

आइए स्वतंत्र घटनाओं से शुरुआत करें। घटनाएँ हैं स्वतंत्र यदि घटना की संभावना उनमें से कोई निर्भर नहीं करताविचारित सेट की अन्य घटनाओं की उपस्थिति/गैर-उपस्थिति से (सभी संभावित संयोजनों में)। ... लेकिन सामान्य वाक्यांशों को पीसने के लिए इसमें क्या है:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन का प्रमेय: स्वतंत्र घटनाओं के संयुक्त घटित होने की संभावना और इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

आइए पहले पाठ के सबसे सरल उदाहरण पर लौटते हैं, जिसमें दो सिक्के उछाले जाते हैं और निम्नलिखित घटनाएँ होती हैं:

- पहले सिक्के पर चित गिरेंगे;
- दूसरे सिक्के पर चित।

आइए घटना की प्रायिकता ज्ञात करें (पहले सिक्के पर चित दिखाई देगा औरदूसरे सिक्के पर ईगल दिखाई देगा - याद रखें कि कैसे पढ़ना है घटनाओं का उत्पाद!) . एक सिक्के पर चित आने की संभावना दूसरे सिक्के को उछालने के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं।

इसी प्रकार:
संभावना यह है कि पहला सिक्का शीर्ष पर आएगा औरदूसरी पूँछ पर;
पहले सिक्के पर चित आने की प्रायिकता है औरदूसरी पूँछ पर;
संभावना है कि पहला सिक्का पट पर गिरेगा औरदूसरे ईगल पर.

ध्यान दें कि घटनाएँ बनती हैं पूरा समूहऔर उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है: .

गुणन प्रमेय स्पष्ट रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र घटनाओं तक विस्तारित है, इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, तो उनकी संयुक्त घटना की संभावना है:। आइए आगे अभ्यास करें ठोस उदाहरण:

कार्य 3

तीनों बक्सों में से प्रत्येक में 10 भाग हैं। पहले बॉक्स में 8 मानक भाग हैं, दूसरे में - 7, तीसरे में - 9। प्रत्येक बॉक्स से एक भाग यादृच्छिक रूप से हटा दिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी भाग मानक हैं।

समाधान: किसी भी बॉक्स से मानक या गैर-मानक भाग निकालने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि अन्य बॉक्स से कौन से हिस्से निकाले जाएंगे, इसलिए समस्या स्वतंत्र घटनाओं के बारे में है। निम्नलिखित स्वतंत्र घटनाओं पर विचार करें:

- पहले बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया जाता है;
- दूसरे बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया जाता है;
- तीसरी दराज से एक मानक हिस्सा हटा दिया गया है।

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
संगत संभावनाएँ हैं।

वह घटना जिसमें हमारी रुचि है (मानक भाग पहली दराज से लिया जाएगा औरदूसरी कक्षा से औरतीसरी कक्षा से)उत्पाद द्वारा व्यक्त किया जाता है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:

संभावना है कि तीन बक्सों से एक मानक भाग निकाला जाएगा।

उत्तर: 0,504

बक्सों के साथ स्फूर्तिदायक अभ्यासों के बाद, कोई कम दिलचस्प कलश हमारा इंतजार नहीं कर रहे हैं:

कार्य 4

तीन कलशों में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। प्रत्येक कलश से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) सभी तीन गेंदें सफेद होंगी; ख) तीनों गेंदें एक ही रंग की होंगी।

प्राप्त जानकारी के आधार पर, अनुमान लगाएं कि "होना" आइटम से कैसे निपटें ;-) एक अनुमानित नमूना समाधान सभी घटनाओं के विस्तृत विवरण के साथ अकादमिक शैली में डिज़ाइन किया गया है।

आश्रित घटनाएँ. इवेंट कहा जाता है आश्रित यदि इसकी संभावना है निर्भर करता हैएक या अधिक घटनाओं से जो पहले ही घटित हो चुकी हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर जाने की ज़रूरत नहीं है - बस निकटतम स्टोर पर जाएँ:

- कल 19.00 बजे बिक्री पर होगा ताज़ी ब्रेड.

इस घटना की संभावना कई अन्य घटनाओं पर निर्भर करती है: क्या कल ताजी रोटी वितरित की जाएगी, क्या यह शाम 7 बजे से पहले बिक जाएगी या नहीं, आदि। विभिन्न परिस्थितियों के आधार पर, यह घटना विश्वसनीय और असंभव दोनों हो सकती है। तो घटना है आश्रित.

रोटी... और, जैसा कि रोमनों की मांग थी, सर्कस:

- परीक्षा में छात्र को साधारण टिकट मिलेगा।

यदि आप सबसे पहले नहीं जाते हैं, तो घटना निर्भर होगी, क्योंकि इसकी संभावना इस बात पर निर्भर करेगी कि सहपाठियों ने कौन से टिकट पहले ही निकाल लिए हैं।

घटनाओं की निर्भरता/स्वतंत्रता का निर्धारण कैसे करें?

कभी-कभी यह समस्या की स्थिति में सीधे तौर पर कहा जाता है, लेकिन अक्सर आपको एक स्वतंत्र विश्लेषण करना पड़ता है। यहां कोई स्पष्ट दिशानिर्देश नहीं है, और घटनाओं की निर्भरता या स्वतंत्रता का तथ्य प्राकृतिक तार्किक तर्क से आता है।

सब कुछ एक ढेर में न फेंकने के लिए, आश्रित घटनाओं के लिए कार्यमैं अगले पाठ पर प्रकाश डालूँगा, लेकिन अभी हम व्यवहार में प्रमेयों के सबसे सामान्य समूह पर विचार करेंगे:

असंगत संभावनाओं के लिए जोड़ प्रमेयों पर समस्याएँ
और स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करना

मेरे व्यक्तिपरक मूल्यांकन के अनुसार, यह अग्रानुक्रम विचाराधीन विषय पर लगभग 80% कार्यों में काम करता है। हिट्स का एक हिट और संभाव्यता सिद्धांत का एक वास्तविक क्लासिक:

कार्य 5

दो निशानेबाजों ने लक्ष्य पर एक-एक गोली चलाई। पहले निशानेबाज के लिए मारने की संभावना 0.8 है, दूसरे के लिए - 0.6। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि:

क) केवल एक निशानेबाज ही लक्ष्य पर वार करेगा;
बी) कम से कम एक निशानेबाज निशाने पर लगेगा।

समाधान: एक निशानेबाज की हिट/मिस संभावना स्पष्ट रूप से दूसरे निशानेबाज के प्रदर्शन से स्वतंत्र है।

घटनाओं पर विचार करें:
– पहला निशानेबाज़ लक्ष्य पर वार करेगा;
- दूसरा शूटर निशाने पर लगेगा।

शर्त के अनुसार: .

आइए विपरीत घटनाओं की संभावनाएं खोजें - कि संबंधित तीर चूक जाएंगे:

क) घटना पर विचार करें: - केवल एक निशानेबाज ने लक्ष्य पर प्रहार किया। इस घटना में दो असंगत परिणाम शामिल हैं:

पहला शूटर मारेगा औरदूसरी चूक
या
पहला चूक जाएगा औरदूसरा हिट होगा.

जीभ पर घटना बीजगणितइस तथ्य को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

सबसे पहले, हम असंगत घटनाओं की संभावनाओं के योग के प्रमेय का उपयोग करते हैं, फिर - स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय का:

संभावना यह है कि केवल एक ही हिट होगी।

ख) घटना पर विचार करें: - कम से कम एक निशानेबाज निशाने पर लगेगा।

सबसे पहले, आइए सोचें - "कम से कम एक" शर्त का क्या मतलब है? में इस मामले मेंइसका मतलब यह है कि या तो पहला निशानेबाज़ मारेगा (दूसरा वाला चूक जाएगा) यादूसरा (पहला चूक) यादोनों तीर एक साथ - कुल 3 असंगत परिणाम।

विधि एक: पिछले आइटम की तैयार संभाव्यता को देखते हुए, घटना को निम्नलिखित असंयुक्त घटनाओं के योग के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है:

एक मिलेगा (एक घटना जिसमें दो असंगत परिणाम शामिल हैं) या
यदि दोनों तीर टकराते हैं, तो हम इस घटना को अक्षर से दर्शाते हैं।

इस प्रकार:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:
संभावना यह है कि पहला निशानेबाज मार गिराएगा औरदूसरा शूटर मारेगा.

असंगत घटनाओं की संभावनाओं के योग के प्रमेय के अनुसार:
लक्ष्य पर कम से कम एक प्रहार की संभावना है।

विधि दो: विपरीत घटना पर विचार करें:- दोनों निशानेबाज चूक जाएंगे।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:

नतीजतन:

विशेष ध्यानदूसरी विधि पर ध्यान दें - सामान्य स्थिति में यह अधिक तर्कसंगत है।

इसके अलावा, संयुक्त घटनाओं के योग प्रमेय के आधार पर हल करने का एक वैकल्पिक, तीसरा तरीका है, जो ऊपर चुप था।

! यदि आप पहली बार सामग्री पढ़ रहे हैं, तो भ्रम से बचने के लिए, अगले पैराग्राफ को छोड़ देना बेहतर है।

विधि तीन : घटनाएँ संयुक्त हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग घटना को व्यक्त करता है "कम से कम एक निशानेबाज लक्ष्य को मारता है" (चित्र देखें)। घटना बीजगणित). द्वारा संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेयऔर स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन का प्रमेय:

आइए जाँच करें: घटनाएँ और (क्रमशः 0, 1 और 2 हिट)एक पूर्ण समूह बनाएं, इसलिए उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए:
जिसका सत्यापन किया जाना था।

उत्तर:

संभाव्यता के सिद्धांत के गहन अध्ययन से, आपके सामने सैन्यवादी सामग्री के दर्जनों कार्य आएंगे, और, जो विशिष्ट है, उसके बाद आप किसी को भी गोली नहीं मारना चाहेंगे - कार्य लगभग उपहार हैं। टेम्पलेट को और भी सरल क्यों न बनाया जाए? आइए प्रविष्टि को छोटा करें:

समाधान: शर्त के अनुसार:, संबंधित निशानेबाजों को मारने की संभावना है। तो उनकी चूक संभावनाएँ हैं:

ए) असंगत की संभावनाओं के योग और स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:
संभावना यह है कि केवल एक ही निशानेबाज लक्ष्य पर वार करेगा।

बी) स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:
संभावना यह है कि दोनों निशानेबाज चूक जायेंगे।

तब: क्या संभावना है कि निशानेबाजों में से कम से कम एक निशाने पर लगेगा।

उत्तर:

व्यवहार में, आप किसी भी डिज़ाइन विकल्प का उपयोग कर सकते हैं। बेशक, अक्सर वे छोटे रास्ते पर जाते हैं, लेकिन किसी को पहली विधि को नहीं भूलना चाहिए - हालांकि यह लंबी है, यह अधिक सार्थक है - इसमें यह स्पष्ट है, क्या, क्यों और क्योंजोड़ता है और गुणा करता है। कुछ मामलों में, जब एक हाइब्रिड शैली उपयुक्त होती है बड़े अक्षरकेवल कुछ घटनाओं को इंगित करना सुविधाजनक है।

स्वतंत्र समाधान के लिए समान कार्य:

कार्य 6

फायर अलार्म के लिए दो स्वतंत्र रूप से संचालित होने वाले सेंसर लगाए गए हैं। आग लगने के दौरान सेंसर के काम करने की संभावनाएँ पहले और दूसरे सेंसर के लिए क्रमशः 0.5 और 0.7 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आग लगने पर:

ए) दोनों सेंसर विफल हो जाएंगे;
बी) दोनों सेंसर काम करेंगे।
ग) का उपयोग करना एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की संभावनाओं के लिए अतिरिक्त प्रमेय, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आग लगने के दौरान केवल एक सेंसर काम करेगा। इस संभाव्यता की प्रत्यक्ष गणना द्वारा परिणाम की जाँच करें (जोड़ और गुणन प्रमेयों का उपयोग करके).

यहां, उपकरणों के संचालन की स्वतंत्रता को सीधे स्थिति में वर्णित किया गया है, जो, वैसे, एक महत्वपूर्ण स्पष्टीकरण है। नमूना समाधान अकादमिक शैली में डिज़ाइन किया गया है।

क्या होगा यदि, एक समान समस्या में, समान संभावनाएँ दी गई हों, उदाहरण के लिए, 0.9 और 0.9? आपको बिल्कुल वैसा ही निर्णय लेने की आवश्यकता है! (जो, वास्तव में, दो सिक्कों के उदाहरण में पहले ही प्रदर्शित किया जा चुका है)

कार्य 7

पहले निशानेबाज द्वारा एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.8 है। पहले और दूसरे निशानेबाज के एक शॉट मारने के बाद लक्ष्य पर निशाना न लगने की संभावना 0.08 है। दूसरे निशानेबाज द्वारा एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता क्या है?

और यह एक छोटी सी पहेली है, जिसे छोटे तरीके से तैयार किया गया है। स्थिति को अधिक संक्षिप्त रूप से सुधारा जा सकता है, लेकिन मैं मूल का रीमेक नहीं बनाऊंगा - व्यवहार में, मुझे अधिक अलंकृत निर्माणों में उतरना होगा।

उससे मिलें - वह वही है जिसने आपके लिए अनगिनत विवरण काटे हैं =):

कार्य 8

एक कर्मचारी तीन मशीनें चलाता है। संभावना है कि शिफ्ट के दौरान पहली मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी 0.3, दूसरी - 0.75, तीसरी - 0.4। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शिफ्ट के दौरान:

क) सभी मशीनों को समायोजन की आवश्यकता होगी;
बी) केवल एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी;
ग) कम से कम एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी।

समाधान: चूँकि शर्त किसी एक तकनीकी प्रक्रिया के बारे में कुछ नहीं कहती है, तो प्रत्येक मशीन के संचालन को अन्य मशीनों के संचालन से स्वतंत्र माना जाना चाहिए।

टास्क नंबर 5 के अनुरूप, यहां आप उन घटनाओं पर विचार कर सकते हैं जिनमें यह तथ्य शामिल है कि संबंधित मशीनों को शिफ्ट के दौरान समायोजन की आवश्यकता होगी, संभावनाओं को लिखें, विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का पता लगाएं, आदि। लेकिन तीन वस्तुओं के साथ, मैं वास्तव में इस तरह कार्य को पूरा नहीं करना चाहता - यह लंबा और थकाऊ हो जाएगा। इसलिए, यहां "त्वरित" शैली का उपयोग करना अधिक लाभदायक है:

शर्त के अनुसार: - संभावना है कि शिफ्ट के दौरान संबंधित मशीनों को ट्यूनिंग की आवश्यकता होगी। तब संभावनाएँ हैं कि उन पर ध्यान देने की आवश्यकता नहीं होगी:

पाठकों में से एक को यहां एक बढ़िया टाइपो मिला, मैं इसे ठीक भी नहीं करूंगा =)

ए) स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:
संभावना यह है कि शिफ्ट के दौरान सभी तीन मशीनों को समायोजन की आवश्यकता होगी।

बी) घटना "शिफ्ट के दौरान, केवल एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी" में तीन असंगत परिणाम शामिल हैं:

1) पहली मशीन आवश्यकता होगीध्यान औरदूसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी औरतीसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी
या:
2) पहली मशीन आवश्यकता नहीं होगीध्यान औरदूसरी मशीन आवश्यकता होगी औरतीसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी
या:
3) पहली मशीन आवश्यकता नहीं होगीध्यान औरदूसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी औरतीसरी मशीन आवश्यकता होगी.

असंगत की संभावनाओं के योग और स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:

- संभावना है कि शिफ्ट के दौरान केवल एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी।

मुझे लगता है कि अब तक आपको यह स्पष्ट हो जाना चाहिए कि यह अभिव्यक्ति कहां से आई है

ग) इस संभावना की गणना करें कि मशीनों को समायोजन की आवश्यकता नहीं होगी, और फिर विपरीत घटना की संभावना:
- तथ्य यह है कि कम से कम एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी।

उत्तर:

आइटम "वे" को योग के माध्यम से भी हल किया जा सकता है, जहां संभावना है कि शिफ्ट के दौरान केवल दो मशीनों को समायोजन की आवश्यकता होगी। बदले में, इस घटना में 3 असंगत परिणाम शामिल हैं, जो "बी" आइटम के अनुरूप हस्ताक्षरित हैं। समता की सहायता से पूरी समस्या की जाँच करने के लिए स्वयं संभाव्यता खोजने का प्रयास करें।

कार्य 9

तीन बंदूकों ने लक्ष्य पर गोलियां चलाईं। पहली बंदूक से केवल एक गोली मारने की संभावना 0.7 है, दूसरी से - 0.6, तीसरी से - 0.8। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: 1) कम से कम एक प्रक्षेप्य लक्ष्य से टकराता है; 2) केवल दो प्रक्षेप्य लक्ष्य पर प्रहार करेंगे; 3) लक्ष्य पर कम से कम दो बार वार किया जाएगा.

पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

और फिर से संयोगों के बारे में: इस घटना में कि, शर्त के अनुसार, प्रारंभिक संभावनाओं के दो या यहां तक ​​कि सभी मान मेल खाते हैं (उदाहरण के लिए, 0.7; 0.7 और 0.7), तो बिल्कुल उसी समाधान एल्गोरिदम का पालन किया जाना चाहिए।

लेख के अंत में, हम एक और सामान्य पहेली का विश्लेषण करेंगे:

कार्य 10

निशानेबाज प्रत्येक शॉट के साथ समान संभावना के साथ लक्ष्य पर प्रहार करता है। यदि तीन शॉट में कम से कम एक हिट की संभावना 0.973 है तो यह संभावना क्या है?

समाधान: प्रत्येक शॉट के साथ लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता - द्वारा निरूपित करें।
और इसके माध्यम से - प्रत्येक शॉट के साथ चूक की संभावना।

आइए घटनाओं को लिखें:
- 3 शॉट्स के साथ, शूटर कम से कम एक बार लक्ष्य को हिट करेगा;
- शूटर 3 बार चूक जाएगा।

शर्त के अनुसार विपरीत घटना की प्रायिकता:

दूसरी ओर, स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:

इस प्रकार:

- प्रत्येक शॉट के चूकने की संभावना।

नतीजतन:
प्रत्येक शॉट मारने की संभावना है.

उत्तर: 0,7

सरल और सुरुचिपूर्ण.

विचाराधीन समस्या में, केवल एक हिट, केवल दो हिट और लक्ष्य पर तीन हिट की संभावना के बारे में अतिरिक्त प्रश्न उठाए जा सकते हैं। समाधान योजना बिल्कुल पिछले दो उदाहरणों की तरह ही होगी:

हालाँकि, मूलभूत अंतर यह है कि वहाँ हैं बार-बार स्वतंत्र परीक्षण, जो क्रमिक रूप से, एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से और परिणामों की समान संभावना के साथ निष्पादित होते हैं।

कार्य 2. 4 पासे फेंको. फेंके गए प्रत्येक पासे पर समान संख्या में अंक प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

समाधान. प्रत्येक हड्डी पर कुल 6 मुख होते हैं। प्रत्येक चेहरे का परिणाम समान रूप से संभावित है। यदि पहला पासा लुढ़का, मान लीजिए, 1, तो बाकी भी वैसा ही होना चाहिए। किसी विशेष चेहरे के गिरने की संभावना जिससे कि सभी 4 समान चेहरे गिर जाएं, सभी 4 पासों पर एक विशेष चेहरे की उपस्थिति की संभावनाओं का उत्पाद है। परिणाम को फलकों की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए, क्योंकि 6 अलग-अलग संख्याएँ हैं। आइए वांछित घटना को निरूपित करें - "एक पासे पर गिर गया", -, तो सभी घनों पर चार का नुकसान होगा। समस्या का समाधान खोजने के लिए, आपको परिणाम को 6 से गुणा करना होगा, क्योंकि घटनाएँ "सभी पासों पर दो लुढ़के", "सभी पासों पर तीन लुढ़के" ... समस्या की स्थिति को संतुष्ट करती हैं। तो समस्या का समाधान होगा:

कार्य 3. एक प्रशिक्षु छात्र को बंदूक से केन चलाना सिखाया गया। एक बार में जार से टकराने की प्रायिकता 0.03 है। आपको कितने कारतूस तैयार करने की आवश्यकता है ताकि 0.94 की संभावना के साथ एक कैन को जमीन पर गिरा दिया जाए?

समाधान. किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए एक समीकरण लिखें। ऐसा करने के लिए, बर्नौली सूत्र का उपयोग करें, जिसका उपयोग तब किया जाता है जब एक ही घटना की कई पुनरावृत्ति की जाती है। यदि हम मान लें कि कैन को पहली ही मार से जमीन पर गिरा दिया गया है, तो उससे पहले गोली चलाई गई थी (मिस के साथ), यानी। सभी गोलियाँ चलाई गईं। यदि मारने की संभावना है, तो चूक जाने की संभावना है। एक चूक और 1 हिट घटना की संभावना लिखी जा सकती है:

हम ज्ञात डेटा को अंतिम सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: और परिणामी समीकरण से व्यक्त करते हैं:

आइए अंतिम अभिव्यक्ति का लघुगणक लें:

कहाँ

यहां निरपेक्ष मान का उपयोग किया गया है क्योंकि संभावनाएं केवल सकारात्मक हो सकती हैं। . शॉट्स की संख्या पूर्णांक नहीं हो सकती, इसलिए अंततः

कार्य 4. एक पासे को 6 बार उछाला जाता है। 6 अलग-अलग चेहरे मिलने की प्रायिकता क्या है?

समाधान. प्रत्येक हड्डी पर कुल 6 मुख होते हैं। प्रत्येक चेहरे का परिणाम समान रूप से संभावित है। घटनाएँ क्रमिक रूप से घटित होती हैं, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस क्रम में। किसी विशेष चेहरे के गिरने की संभावना 1 है (पासा फेंका जाता है और एक चेहरा निश्चित रूप से दिखाई देगा), इसलिए, दूसरी बार कोई भी संख्या दिखाई देनी चाहिए, जो बाहर गिर गई (संभावना) को छोड़कर, तीसरी बार - कोई भी, पहले दो (संभावना) को छोड़कर, आदि। वांछित घटना की प्रायिकता है:

कार्य 5. सजातीय पासाइसका आकार नियमित चतुष्फलक जैसा है। इसके फलकों पर संख्याएं 1, 2, 3 और 4 अंकित हैं। 0.9 से अधिक संभावना वाले कम से कम एक मामले में 3 के लुढ़कने की उम्मीद करने के लिए आपको कितनी बार पासा उछालने की जरूरत है?

समाधान. हड्डी पर कुल मिलाकर 4 मुख होते हैं। प्रत्येक चेहरे के गिरने की समान संभावना है, लेकिन इसे कई बार फेंकना होगा, इसलिए हम बर्नौली सूत्र के उपयोग पर आधारित होंगे। मान लीजिए कि वें परीक्षण में आवश्यक संख्या आई, इसलिए पिछली सभी बार अलग-अलग थे। इस मामले में, किसी विशेष चेहरे की उपस्थिति की संभावना बराबर होगी, क्योंकि केवल 4 चेहरे हैं। घटना की संभावना "आवश्यक चेहरा दिखाई नहीं दिया और आवश्यक चेहरा एक बार दिखाई दिया" लिखा जा सकता है:

हम ज्ञात डेटा को अंतिम सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: और परिणामी समीकरण से व्यक्त करते हैं।

आइए अंतिम अभिव्यक्ति का लघुगणक लें:

कहाँ

यहां निरपेक्ष मान का उपयोग किया गया है क्योंकि संभावनाएं केवल सकारात्मक हो सकती हैं। . रोल्स की संख्या गैर-पूर्णांक नहीं हो सकती, इसलिए निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करें। शर्त के अनुसार, संभावना 0.9 से अधिक होनी चाहिए, इसलिए उत्तर >6 है।

कार्य 6. दो शिकारी एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से एक लक्ष्य पर गोली चलाते हैं, और उनमें से प्रत्येक एक गोली चलाता है। पहले शिकारी के लिए लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.8 है, और दूसरे के लिए - 0.4। गोली चलाने के बाद लक्ष्य में एक छेद पाया गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह पहले निशानेबाज का है?

समाधान. आइए बेयस सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करें। बेयस सूत्र के अनुसार, अंश में आवश्यक घटना घटित होने की संभावना होती है, और हर में संभावित परिणामों की कुल संभावना होती है, जो लक्ष्य में एक छेद की उपस्थिति निर्धारित करेगी, अर्थात। ऐसी स्थितियाँ जब शिकारियों में से एक ने हमला किया और दूसरा चूक गया। वहाँ दो शिकारी थे, इसलिए केवल 2 विकल्प संभव हैं: "पहला मारा, दूसरा चूका" और "पहला चूका, दूसरा मारा।" दोनों घटनाएँ एक ही समय में घटित नहीं हो सकती हैं, इसलिए हम संभावनाओं के योग के बारे में बात कर रहे हैं। आवश्यक घटना घटित होने की प्रायिकता "पहली चूक, दूसरी हिट" है। "पहली चोट, दूसरी चूक" घटना की प्रायिकता बराबर है , और दूसरी घटना की संभावना "पहली चूक, दूसरी हिट" के बराबर है . आइए अनुशंसित सूत्र का उपयोग करें:

कार्य 7. बहुत अधिक ऊँचाई पर न उड़ रही एक बत्तख पर तीन गोलियाँ चलाई जाती हैं। पहला, दूसरा और तीसरा शॉट मारने की संभावनाएँ क्रमशः 0.1 हैं; 0.2 और 0.4. बत्तख पर कम से कम दो हिट की संभावना निर्धारित करें।

समाधान. चूँकि गोलियाँ क्रमिक रूप से चलाई जाती हैं, इसलिए किसी को पहली बार, या दूसरी, या तीसरी बार चूकने की संभावना पर विचार करना चाहिए। समस्या की स्थिति के अनुसार, बत्तख पर कम से कम दो हिट होने चाहिए, जिसका अर्थ है या तो 2 हिट या 3। तीन "2 हिट" घटनाएँ हो सकती हैं: "हिट, हिट, मिस"; "मारो, चूको, मारो"; "मिस, हिट, हिट", क्योंकि यह पहले से ज्ञात नहीं है कि कौन सा शॉट चूक गया। इस प्रकार, हमारे पास 4 घटनाएँ हैं जो एक साथ घटित नहीं हो सकती हैं, इसलिए हम घटनाओं की संभावनाओं के योग के बारे में बात कर रहे हैं, अर्थात। कुल संभाव्यता सूत्र के बारे में. घटना "हिट, हिट, हिट" की प्रायिकता बराबर है ; घटना "हिट, हिट, मिस" की संभावना है; "हिट, मिस, हिट" घटना की प्रायिकता है; मिस, हिट, हिट घटना की संभावना है। अब हम वांछित संभाव्यता की गणना करते हैं:

कार्य 8. प्रयोगशाला सहायक, रासायनिक विश्लेषण करते हुए, दो रेफ्रिजरेटर में खड़े अभिकर्मकों का उपयोग करता है। पहले रेफ्रिजरेटर में, सभी संग्रहीत अभिकर्मकों में से, केवल 10% समाप्त हो गए हैं, और दूसरे में - 20%। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रयोगशाला सहायक द्वारा किसी रेफ्रिजरेटर से लिया गया कोई भी अभिकर्मक पर्याप्त ताज़ा होगा

समाधान. आइए इस घटना को ए के रूप में निरूपित करें - एक प्रयोगशाला सहायक किसी भी रेफ्रिजरेटर से पर्याप्त ताजा अभिकर्मक निकालता है। प्रयोगशाला सहायक किसी भी रेफ्रिजरेटर से एक अभिकर्मक लेता है, जो समस्या की स्थिति के अनुसार दो होते हैं। क्योंकि समस्या रेफ्रिजरेटर के बारे में कुछ नहीं कहती है, तो उनमें से किसी का चुनाव समसंभाव्य है, यानी। के बराबर है । इसलिए, आवश्यक घटना की संभावना दो की एक साथ घटना में शामिल होती है - "रेफ्रिजरेटर की पसंद, अभिकर्मक की पसंद।" "पहले रेफ्रिजरेटर से एक ताजा अभिकर्मक लेने" की संभावना के बराबर है ; "दूसरे रेफ्रिजरेटर से एक ताजा अभिकर्मक लेने" की संभावना के बराबर है . प्रयोगशाला सहायक एक अभिकर्मक केवल एक बार लेता है, इसलिए "पहले रेफ्रिजरेटर से एक ताजा अभिकर्मक लें" और "दूसरे रेफ्रिजरेटर से एक ताजा अभिकर्मक लें" दोनों घटनाएं एक ही समय में नहीं हो सकती हैं, इसलिए हम संभावनाओं के योग के बारे में बात कर रहे हैं। आइए कुल संभाव्यता सूत्र का उपयोग करें। तब वांछित प्रायिकता इसके बराबर होगी:

कार्य 9. सजावटी पत्थरों मैलाकाइट और संगमरमर के साथ 5 बक्से हैं। दो बक्सों में संगमरमर के 2 टुकड़े और मैलाकाइट का 1 टुकड़ा है, एक में मैलाकाइट के 10 टुकड़े हैं, और दूसरे में संगमरमर के 3 टुकड़े और मैलाकाइट का 1 टुकड़ा है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शिल्पकार द्वारा चुने गए बक्से से यादृच्छिक रूप से निकाला गया टुकड़ा संगमरमर का है।

समाधान. यह कुल संभाव्यता सूत्र का उपयोग करने का कार्य है। मास्टर किसी भी, "यादृच्छिक रूप से चयनित" बॉक्स से एक सजावटी पत्थर का चयन करता है। कुल मिलाकर 5 बक्से हैं, यह माना जाता है कि वे समान हैं, इसलिए किसी भी बक्से को चुनने की संभावना है। इसलिए, आवश्यक घटना की संभावना दो की एक साथ घटना में शामिल होती है - "बॉक्स की पसंद और संगमरमर की पसंद।" पहले डिब्बे से मार्बल निकालने की प्रायिकता है; दूसरे डिब्बे से मार्बल निकालने की प्रायिकता है; तीसरे डिब्बे से कंचा निकालने की प्रायिकता 0 है, क्योंकि केवल मैलाकाइट है, चौथे डिब्बे से संगमरमर निकालने की प्रायिकता है;