セグメント上の関数の最大値と最小値を見つけるにはどうすればよいですか?

このため よく知られているアルゴリズムに従います:

1 。 ODZ 関数を見つけます。

2 。 関数の導関数を求める

3 。 導関数をゼロとみなす

4 。 導関数がその符号を保持する間隔を見つけ、そこから関数の増加と減少の間隔を決定します。

区間 I の関数 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} この間隔で増加します。

区間 I 上で関数 の導関数がある場合、関数 この間隔で減少します。

5 。 我々は気づく 関数の最大点と最小点.

の 関数の極大点、導関数の符号が「+」から「-」に変わります。.

の 関数の最小点導関数の符号が「-」から「+」に変わります.

6 。 セグメントの終端で関数の値を見つけます。

• 次に、セグメントの端と最大点での関数の値を比較します。 見つける必要がある場合は、そのうちの最大のものを選択してください 最高値機能
• または、セグメントの端と最小点での関数の値を比較します。 関数の最小値を見つける必要がある場合は、それらの最小値を選択します。

ただし、関数が間隔でどのように動作するかによっては、このアルゴリズムを大幅に削減できます。

機能を考えてみる 。 この関数のグラフは次のようになります。

Open Task Bank の問題解決の例をいくつか考えてみましょう。

1. タスク B15 (#26695)

カット上。

1. 関数は x のすべての実数値に対して定義されています

明らかに、この方程式には解がなく、導関数は x のすべての値に対して正になります。 したがって、関数は増加し、区間の右端、つまり x=0 で最大値をとります。

答え: 5.

2 . タスクB15(No.26702)

関数の最大値を見つける セグメント上で。

1.ODZ機能 title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

導関数は ではゼロですが、次の点では符号が変わりません。

したがって、title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} は増加し、区間の右端の で最大値になります。

導関数の符号が変わらない理由を明確にするために、導関数の式を次のように変換します。

Title="y^(x))=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2(x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

答え: 5.

３． タスク B15 (#26708)

区間上の関数の最小値を見つけます。

1. ODZ 関数: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

この方程式の根を三角円上に置きましょう。

間隔には 2 つの数値が含まれます: および

標識を立てましょう。 これを行うには、点 x=0 における導関数の符号を決定します。 。 点と導関数を通過すると符号が変わります。

関数の導関数の符号の変化を座標線上で描いてみましょう。

明らかに、その点は最小点 (導関数の符号が「-」から「+」に変わる) であり、区間上の関数の最小値を見つけるには、最小点とセグメントの左端での関数の値を比較する必要があります。

セグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるプロセスは、特定の点で長距離砲から発砲し、これらの点からコントロールショット用の非常に特別な点を選択して、ヘリコプターでオブジェクト（関数のグラフ）の周りを魅力的に飛行することを思い出させます。 ポイントは、特定の方法および特定のルールに従って選択されます。 どういうルールで？ これについてはさらに詳しく説明します。

関数の場合 y = f(バツ) 間隔で連続 [ ある, b] を選択すると、このセグメントに到達します 少しでも と 最高値 。 これは次のいずれかで発生する可能性があります 極値点またはセグメントの終わりにあります。 したがって、見つけるには 少しでも と 関数の最大値 、間隔で連続 [ ある, b] 、すべての値を計算する必要があります 重要なポイントそしてセグメントの端で、それらの最小値と最大値を選択します。

たとえば、関数の最大値を決定する必要があるとします。 f(バツ) セグメント [ ある, b] 。 これを行うには、[ にあるすべての重要な点を見つけます。 ある, b] .

臨界点 はその点と呼ばれます 関数が定義されていますと彼女 派生関数はゼロか存在しません。 次に、重要な点で関数の値を計算する必要があります。 そして最後に、重要な点とセグメントの終わりで関数の値を比較する必要があります( f(ある） と f(b））。 これらの数値のうち最大のものは、 区間上の関数の最大値 [ある, b] .

見つけるという問題 関数の最小値 .

関数の最小値と最大値を一緒に探します

例 1. 関数の最小値と最大値を見つける セグメント上で [-1, 2] .

解決。 この関数の導関数を求めます。 導関数をゼロ () に等しくすると、 と の 2 つの臨界点が得られます。 特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるには、セグメントの端と点での値を計算するだけで十分です。これは、点がセグメント [-1, 2] に属していないためです。 これらの関数の値は次のとおりです: 、 、 。 したがって、 最小の関数値(下のグラフで赤でマークされている)、-7 に等しく、セグメントの右端、点 に到達します。 最高の(グラフ上でも赤)、臨界点では 9、- に等しくなります。

関数が特定の区間で連続し、この区間がセグメントではない場合（ただし、たとえば区間ですが、区間とセグメントの違い：区間の境界点は区間に含まれませんが、セグメントの境界点はセグメントに含まれます）、関数の値の間には最小値と最大値が存在しない可能性があります。 したがって、たとえば、次の図に示されている関数は、]-∞、+∞[ で連続しており、最大値を持ちません。

ただし、任意の区間 (閉、開、または無限) に対して、連続関数の次の特性が当てはまります。

例 4. 関数の最小値と最大値を見つける セグメント上で [-1, 3] .

解決。 この関数の導関数を商の導関数として求めます。

.

導関数をゼロとみなすと、次の 1 つの臨界点が得られます。 これは区間 [-1, 3] に属します。 特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるには、セグメントの終端と見つかった臨界点での値を見つけます。

これらの値を比較してみましょう。 結論: この時点で -5/13 に等しい 最大の価値点で 1 に等しい。

関数の最小値と最大値を一緒に探し続けます

関数の最小値と最大値を見つけるというテーマで、今考えたものよりも複雑な例、つまり関数が多項式または分数であり、分子と分母が多項式である例を生徒に与えない教師がいます。 しかし、教師の中には生徒に徹底的に考えさせるのが好きな人もいる（派生表）ので、このような例に限定するつもりはありません。 したがって、対数と三角関数が使用されます。

例 6. 関数の最小値と最大値を見つける セグメント上で .

解決。 この関数の導関数は次のようになります。 製品の派生製品 :

導関数をゼロとみなします。これにより、 1 つの臨界点が得られます。 セグメントに属します。 特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるには、セグメントの終端と見つかった臨界点での値を見つけます。

すべてのアクションの結果: 関数は最小値に達します、0 に等しい、ある点およびある点、および 最大の価値に等しい e² 、その時点で。

例 7. 関数の最小値と最大値を見つける セグメント上で .

解決。 この関数の導関数を求めます。

導関数をゼロと同等にします。

唯一の臨界点はセグメントに属します。 特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるには、セグメントの終端と見つかった臨界点での値を見つけます。

結論： 関数は最小値に達します、点で に等しい、および 最大の価値、 の点で 、 に等しい。

応用極値問題では、最小 (最大) の関数値を見つけることは、原則として、最小 (最大) を見つけることに帰着します。 しかし、実際的により大きな関心があるのは、最小値や最大値そのものではなく、それらが達成される議論の値です。 応用問題を解決する場合、検討中の現象やプロセスを記述する関数をコンパイルするというさらなる困難が生じます。

例8容量 4 のタンクは、底面が正方形で上部が開いた直方体の形状をしており、錫メッキする必要があります。 タンクを最小限の量の材料で覆うには、タンクの寸法はどのくらいにすべきですか?

解決。 させて バツ- ベース側 h- タンクの高さ、 S- カバーを除いた表面積、 V- そのボリューム。 タンクの表面積は次の式で表されます。 は 2 つの変数の関数です。 表現するために S 1 つの変数の関数として、 、どこから という事実を使用します。 見つかった式を置換する hの式に S:

この関数の極値を調べてみましょう。 ]0、+∞[、および のどこでも定義され、微分可能です。

.

微分値をゼロ () とみなして臨界点を見つけます。 さらに、 では導関数は存在しませんが、この値は定義範囲に含まれていないため、極値点になることはできません。 したがって、唯一の重要な点です。 2 番目の十分基準を使用して、極値の存在を確認してみましょう。 二次導関数を求めてみましょう。 二次微分値がゼロより大きい場合 ()。 これは、関数が最小値に達すると、 。 なぜならこれは minimum - この関数の唯一の極値であり、その最小値です。 したがって、タンクの底面の側面は2 mに等しく、その高さは等しくなければなりません。

例9段落から あ、線路沿いに位置し、ポイントまで と、そこから離れたところに 私、物品を輸送する必要があります。 単位距離あたりの重量単位の輸送コストは、鉄道では に等しく、高速道路では に等しい。 どの時点まで M鉄道路線は高速道路を経由して貨物を輸送する必要があります あ V と最も経済的でした AB鉄道は直線であると仮定します）？

実際には、関数の最大値と最小値を計算するために導関数を使用するのが非常に一般的です。 このアクションは、コストを最小限に抑え、利益を増やし、生産の最適な負荷を計算する方法を見つけるとき、つまりパラメータの最適値を決定する必要がある場合に実行されます。 このような問題を正しく解決するには、関数の最大値と最小値が何であるかをよく理解する必要があります。

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通常、これらの値は一定の間隔 x 内で定義され、これは関数のスコープ全体またはその一部に対応します。 セグメント [ a ; b ] 、および開区間 (a ; b) 、 (a ; b ] 、 [ a ; b) 、無限区間 (a ; b) 、 (a ; b ] 、 [ a ; b) 、または無限区間 - ∞ ; a 、 (- ∞ ; a ] 、 [ a ; + ∞) 、 (- ∞ ; + ∞) 。

この記事では、最大値と最小値が明示的に計算される方法を説明します。 与えられた関数 1 つの変数 y=f(x) y = f (x) を使用します。

基本的な定義

いつものように、主な定義の定式化から始めます。

定義 1

ある区間 x における関数 y = f (x) の最大値は、値 m a x y = f (x 0) x ∈ X です。これは、任意の値 x x ∈ X 、x ≠ x 0 に対して、不等式 f (x) ≤ f (x 0) が真になります。

定義 2

ある区間 x における関数 y = f (x) の最小値は、値 m i n x ∈ X y = f (x 0) です。これは、任意の値 x ∈ X 、x ≠ x 0 に対して、不等式 f(X f (x) ≥ f (x 0) になります。

これらの定義は非常に明白です。 さらに簡単に、次のように言うこともできます。関数の最大値はその最大値です。 非常に重要横軸 x 0 の既知の間隔での値であり、最小値は x 0 での同じ間隔で許容される最小値です。

定義 3

静止点とは、微分値が 0 になる関数の引数の値です。

なぜ静止点を知る必要があるのでしょうか? この質問に答えるには、フェルマーの定理を思い出す必要があります。 このことから、静止点は微分可能な関数の極値 (つまり、極小値または極大値) が位置する点であることがわかります。 したがって、この関数は、静止点の 1 つにおいて、特定の間隔で最小値または最大値を正確に取得します。

別の関数は、関数自体が明確であり、その一次導関数が存在しない点で最大値または最小値を取ることができます。

このトピックを研究するときに生じる最初の疑問は、どのような場合でも、指定された間隔での関数の最大値または最小値を決定できるかということです。 いいえ、指定された間隔の境界が定義領域の境界と一致する場合、または無限の間隔を扱っている場合は、これを行うことはできません。 また、特定の間隔または無限大の関数が無限に小さい値または無限に大きい値を取ることもあります。 このような場合、最大値および/または最小値を決定することはできません。

これらの瞬間は、グラフに画像を表示するとさらにわかりやすくなります。

最初の図は、区間 [ - 6 ; 6]。

2 番目のグラフに示されているケースを詳しく調べてみましょう。 セグメントの値を [ 1 ; に変更しましょう。 6] そして、関数の最大値は、横軸が区間の右側の境界にある点で達成され、最小値は静止点で達成されることがわかります。

3 番目の図では、点の横座標はセグメント [ - 3 ; 2]。 これらは、指定された関数の最大値と最小値に対応します。

それでは4枚目の写真を見てみましょう。 この関数では、開区間 (-6 ; 6) 内の静止点で m a x y (最大値) と min i n y (最小値) を受け取ります。

間隔 [ 1 ; 6) の場合、その関数の最小値は静止点で到達すると言えます。 最大値はわかりません。 x = 6 が区間に属する場合、この関数は x が 6 に等しい最大値を取る可能性があります。 このケースを図 5 に示します。

グラフ 6 では、この関数は区間の右側の境界 (- 3 ; 2 ] で最小値を取得しますが、最大値について明確な結論を引き出すことはできません。

図 7 では、関数が静止点で m a x y を持ち、横座標が 1 に等しいことがわかります。 関数は、次の区間の境界で最小値に達します。 右側。 マイナス無限大では、関数の値は y = 3 に漸近します。

区間 x ∈ 2 を取ると、 + ∞ の場合、指定された関数は最小値も最大値も取らないことがわかります。 x が 2 になる傾向がある場合、直線 x = 2 は垂直漸近線であるため、関数の値はマイナス無限大になる傾向があります。 横軸がプラスの無限大になる傾向がある場合、関数の値は漸近的に y = 3 に近づきます。 これは図 8 に示すケースです。

この段落では、特定の間隔で関数の最大値または最小値を見つけるために実行する必要がある一連のアクションを示します。

1. まず、関数のドメインを見つけてみましょう。 条件に指定したセグメントが含まれているか確認してみましょう。
2. 次に、このセグメントに含まれる一次導関数が存在しない点を計算してみましょう。 ほとんどの場合、これらは引数がモジュラス符号の下で記述される関数、または指数が分数有理数であるべき乗関数で見られます。
3. 次に、どの静止点が特定のセグメントに該当するかを見つけます。 これを行うには、関数の導関数を計算し、それを 0 とみなして、結果の方程式を解き、適切な根を選択する必要があります。 静止点が 1 つも得られない場合、または静止点が特定のセグメントに該当しない場合は、次のステップに進みます。
4. 指定された静止点 (存在する場合)、または一次導関数が存在しない点 (存在する場合) で関数がどのような値を取るかを決定するか、 x = a および x = b の値を計算します。
5. 5. 一連の関数値があり、そこから最大値と最小値を選択する必要があります。 これは、見つける必要がある関数の最大値と最小値になります。

問題を解決するときにこのアルゴリズムを正しく適用する方法を見てみましょう。

例1

状態：関数 y = x 3 + 4 x 2 が与えられます。 セグメント [ 1 ; ] の最大値と最小値を決定します。 4 ] および [-4 ; -1] 。

解決：

この関数のドメインを見つけることから始めましょう。 この場合は全てセットとなります 実数 0 を除く。 言い換えると、D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ 。 条件で指定された両方のセグメントは定義領域内になります。

ここで、分数の微分の規則に従って関数の導関数を計算します。

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

関数の導関数はセグメントのすべての点に存在することがわかりました [1; 4 ] および [-4 ; -1] 。

次に、関数の静止点を決定する必要があります。 これを方程式 x 3 - 8 x 3 = 0 でやってみましょう。 実ルートは 1 つだけ、つまり 2 です。 これは関数の静止点となり、最初のセグメント [1;] に入ります。 4]。

最初のセグメントの終点と指定された点、つまり次の点における関数の値を計算してみましょう。 x = 1 、 x = 2 および x = 4 の場合:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

関数 m a x y x ∈ [ 1 ; の最大値が得られました。 4 ] = y (2) = 3 は x = 1 で達成され、最小の m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2 で。

2 番目のセグメントには静止点が含まれていないため、指定されたセグメントの端でのみ関数値を計算する必要があります。

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

したがって、 m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , min i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 。

答え：セグメント [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , min i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3、セグメント [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , min i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 。

画像を参照してください:

この方法を学習する前に、片側極限と無限遠極限を正しく計算する方法を確認し、それらを求める基本的な方法を学習することをお勧めします。 開いた区間または無限区間で関数の最大値および/または最小値を見つけるには、次の手順を順番に実行します。

1. まず、指定された間隔が指定された関数のドメインのサブセットになるかどうかを確認する必要があります。
2. 必要な区間に含まれ、一次導関数が存在しないすべての点を決定してみましょう。 通常、これらは引数がモジュールの符号で囲まれている関数や、分数有理指数を持つべき乗関数で発生します。 これらの点が不足している場合は、次のステップに進むことができます。
3. ここで、どの静止点が指定された間隔に該当するかを決定します。 まず、微分値を 0 とみなして方程式を解き、適切な根を見つけます。 静止点が 1 つも存在しない場合、またはそれらが指定された間隔内に収まらない場合は、直ちに次のアクションに進みます。 これらは間隔のタイプによって決まります。

• 間隔が [ a ; b) の場合、点 x = a における関数の値と片側極限 lim x → b - 0 f (x) を計算する必要があります。
• 区間の形式が (a ; b ] の場合、点 x = b における関数の値と片側極限 lim x → a + 0 f (x) を計算する必要があります。
• 区間の形式が (a ; b) の場合、片側極限 lim x → b - 0 f (x) 、 lim x → a + 0 f (x) を計算する必要があります。
• 間隔が [ a ; + ∞) の場合、点 x = a における値と、プラス無限大 lim x → + ∞ f (x) の極限を計算する必要があります。
• 区間が (- ∞ ; b ] の場合、点 x = b での値とマイナス無限大 lim x → - ∞ f (x) での極限を計算します。
• - ∞の場合; b の場合、片側極限 lim x → b - 0 f (x) とマイナス無限大での極限 lim x → - ∞ f (x) を検討します。
• - ∞の場合; + ∞ の場合、マイナスおよびプラスの無限大 lim x → + ∞ f (x) 、lim x → - ∞ f (x) の極限を検討します。

1. 最後に、得られた関数の値と制限に基づいて結論を導く必要があります。 ここには多くのオプションがあります。 したがって、片側制限がマイナス無限大またはプラス無限大に等しい場合、関数の最小値と最大値については何も言えないことがすぐにわかります。 以下に、典型的な例を 1 つ取り上げます。 詳細な説明何が何であるかを理解するのに役立ちます。 必要に応じて、資料の最初の部分の図 4 ～ 8 に戻ることができます。

条件: 関数 y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 が与えられたとします。 区間内の最大値と最小値を計算します - ∞ ; -4、-∞; - 3 、 (- 3 ; 1 ] 、 (- 3 ; 2) 、 [ 1 ; 2) 、 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) 。

解決

まず最初に、関数のドメインを見つけます。 分数の分母は二乗三項式であり、0 になるべきではありません。

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

条件で指定されたすべての間隔が属する関数のスコープを取得しました。

次に、関数を微分して次を取得しましょう。

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 "= 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 " x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6 "(x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 × 2 + × - 6 × 2 + × - 6 2

したがって、関数の導関数はその定義の領域全体に存在します。

静止点の検索に進みましょう。 関数の導関数は x = -1 2 で 0 になります。 これは、 (- 3 ; 1 ] と (- 3 ; 2) の範囲内にある静止点です。

区間 (- ∞ ; - 4 ] の x = - 4 での関数の値と、マイナス無限大での極限を計算してみましょう。

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0。 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 であるため、m a x y x ∈ (- ∞; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 となります。これでは、関数の最小値を一意に決定する機会は得られません。関数がマイナス無限大で漸近的に近づくのは - 1 以下の限界があると結論付けることしかできません。

2 番目の区間の特徴は、単一の静止点も単一の厳密な境界も持たないことです。 したがって、関数の最大値も最小値も計算できません。 マイナス無限大で制限を定義し、引数が左側の - 3 になる傾向があるため、値の範囲のみを取得します。

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

これは、関数値が間隔 - 1 に配置されることを意味します。 +∞

3 番目の区間で関数の最大値を見つけるには、 x = 1 の場合、静止点 x = - 1 2 での値を決定します。 また、引数が右側の 3 になる傾向がある場合の片側極限を知る必要もあります。

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 。 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 。 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

この関数は静止点 m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 で最大値をとることがわかりました。最小値については決定できません。わかっているのは、下から - 4 までの制限が存在することだけです。

区間 (- 3 ; 2) については、前の計算の結果を使用して、左側から 2 に向かう傾向がある場合の片側制限が何に等しいかをもう一度計算してみましょう。

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 。 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

したがって、 m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 となり、最小値は決定できず、関数の値は下から数値 - 4 によって制限されます。

前の 2 つの計算で行ったことに基づいて、区間 [ 1 ; 2) 関数は x = 1 で最大値を取り、最小値を見つけることは不可能です。

区間 (2 ; + ∞) では、関数は最大値にも最小値にも到達しません。 間隔 - 1 から値を取得します。 +∞ 。

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4 で関数の値が何に等しくなるかを計算すると、 m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 であり、プラス無限大における与えられた関数は線 y = - 1 に漸近します。

各計算で得られた結果を、指定された関数のグラフと比較してみましょう。 図では、漸近線は点線で示されています。

関数の最大値と最小値を見つけることについて話したかったのはこれだけです。 ここで説明した一連のアクションは、必要な計算をできるだけ早く簡単に行うのに役立ちます。 ただし、関数がどの間隔で減少し、どの間隔で増加するかを最初に調べてから、さらに結論を導き出すことが役立つことがよくあることを覚えておいてください。 したがって、関数の最大値と最小値をより正確に決定し、結果を正当化することができます。

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問題 B14 には、導関数を見つけるのが難しい「悪い」関数が存在することがあります。 以前は、これはプローブ上でのみ行われていましたが、現在ではこれらのタスクは非常に一般的になっており、この試験の準備をする際に無視することはできなくなりました。 この場合、他のトリックが機能します。その 1 つは単調性です。 定義 このセグメントの任意の点 x 1 および x 2 について次の条件が当てはまる場合、関数 f (x) はセグメント上で単調増加と呼ばれます: x 1

意味。 このセグメントの任意の点 x 1 および x 2 に対して x 1 f (x 2) が成立する場合、関数 f (x) はセグメント上で単調減少と呼ばれます。 言い換えれば、増加関数の場合、x が大きくなるほど、f(x) も大きくなります。 減少関数の場合はその逆が当てはまり、x が大きくなるほど f(x) は小さくなります。

例。 対数は、底が a > 1 の場合は単調増加し、0 0 の場合は単調減少します。 f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1、0 0 の場合単調減少。 f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1、0 0 の場合単調減少。 f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LAN) G:例. 対数は、底 a > 1 の場合は単調増加し、0 0 の場合は単調減少します。 f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="例。 対数は、底が a > 1 の場合は単調増加し、0 0 の場合は単調減少します。 f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

例。 指数関数は対数と同様に動作します。a > 1 の場合は増加し、0 0 の場合は減少します。 1、0 0 で減少:"> 1、0 0 で減少:"> 1、0 0 で減少:" title="例。指数関数は対数と同様に動作します。a > 1 では増加し、0 0 では減少します。"> title="例。 指数関数は対数と同様に動作します。a > 1 の場合は増加し、0 0 の場合は減少します。"> !}

0) または下 (0) または下 (9)放物線の頂点座標 ほとんどの場合、関数の引数は、次の形式の正方三項式で置き換えられます。 そのグラフは、分岐に関心がある標準放物線です。次の形式の三項式です。 そのグラフは、分岐に関心がある標準放物線です。放物線の分岐は、上に行くことも (a > 0 の場合)、下に行くこともできます (a

問題の状態にセグメントがありません。 したがって、f(a) と f(b) を計算する必要はありません。 極値点のみを考慮する必要があります。 しかし、そのような点は 1 つだけあります。これは放物線 x 0 の頂点であり、その座標は文字通り口頭で導関数なしで計算されます。

したがって、問題の解決は大幅に簡略化され、わずか 2 つのステップに減ります。放物線の方程式を書き出し、次の公式を使用してその頂点を見つけます。この点での元の関数の値を求めます: f (x 0)。 何もない場合 追加の条件いいえ、それが答えでしょう。

0. 放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title=" 関数の最小値を見つけます: 解決策: 根の下は 二次関数係数 a = 1 > 0 であるため、この関数のグラフは上に枝がある放物線です。放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18関数の最小値を見つけます: 解決策: ルートの下に二次関数があります。この関数のグラフは、係数 a \u003d 1\u003e 0 であるため、上に分岐した放物線です。放物線の頂点: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3 0. 放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. 放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. 放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title=" Find関数の最小値: 解決策: ルートの下に 2 次関数があります。係数 a = 1 > 0 であるため、この関数のグラフは上に分岐した放物線です。放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="関数の最小値を見つけます: 解決策: ルートの下に二次関数があります。この関数のグラフは、係数 a \u003d 1\u003e 0 であるため、上に分岐した放物線です。放物線の頂点: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> !}

関数の最小値を見つけます。 解 対数の下は再び 2 次関数です。 a = 1 > 0。放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. 放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. 放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. 放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title=" Find関数の最小値: 解 対数の下は再び二次関数 a = 1 > 0 であるため、上に枝分かれした放物線グラフ 放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="関数の最小値を見つけます。 解 対数の下は再び 2 次関数です。 a = 1 > 0。放物線の頂点: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

関数の最大値を見つけます: 解決策: 指数には 2 次関数が含まれています

関数の定義域からの結果 問題 B14 を解決するには、放物線の頂点を見つけるだけでは不十分な場合があります。 目的の値がセグメントの終端に存在し、極値点に存在しない可能性があります。 問題でセグメントがまったく指定されていない場合は、元の関数の許容値の範囲を調べます。 つまり:

0 2. 算術 平方根非負の数値からのみ存在します: 3. 分数の分母はゼロであってはなりません:" title="1. 対数の引数は正でなければなりません: y = log a f (x) f (x) > 0 2. 算術平方根は非負の数値からのみ存在します: 3. 分数の分母はゼロであってはなりません:" class="link_thumb"> 26 !} 1. 対数の引数は正でなければなりません: y = log a f (x) f (x) > 0 2. 算術平方根は非負の数値からのみ存在します: 3. 分数の分母はゼロであってはなりません: 0 2. 算術平方根は非負の数値からのみ存在します: 3. 分数の分母はゼロであってはなりません: "> 0 2. 算術平方根は非負の数値からのみ存在します: 3. 分数の分母はゼロであってはなりません:"> 0 2. 算術平方根は非負の数値からのみ存在します: 3. 分数の分母はゼロであってはなりません:" タイトル="(!LAN G: 1. 対数の引数は正でなければなりません: y = log a f (x) f (x) > 0 2. 算術平方根は非負の数値からのみ存在します: 3. 分数の分母はゼロであってはなりません:"> title="1. 対数の引数は正でなければなりません: y = log a f (x) f (x) > 0 2. 算術平方根は非負の数値からのみ存在します: 3. 分数の分母はゼロであってはなりません:"> !}

解決策 平方根も二次関数です。 グラフは放物線ですが、a = 1 であるため枝は下向きになります。
次に放物線の頂点を見つけてみましょう: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 点 x 0 = 1 は ODZ セグメントに属しており、これで問題ありません。 ここで、点 x 0 および ODZ の終端における関数の値を考慮します。 y (3) \u003d y (1) \u003d 0 したがって、数値 2 と 0 が得られます。最大の数値 2 を見つけるように求められます。 答え: 2

注意: 不等式は厳密であるため、両端は ODZ に属しません。 このように、対数はルートとは異なり、セグメントの端が非常に適切です。 放物線の頂点を探します：x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 しかし、セグメントの端には興味がないので、点 x 0 における関数の値のみを考慮します。

Y min = y(3) = log 0.5 (6 ) = = log 0.5 (18 9 5) = log 0.5 4 = 2 答え: -2

機能させましょう y=f（バツ）間隔で連続 [ a、b]。 知られているように、このような関数はこの間隔で最大値と最小値に達します。 関数は、セグメントの内部点のいずれかでこれらの値を取得できます。 a、b]、またはセグメントの境界上にあります。

区間上の関数の最大値と最小値を見つけるには [ a、b] 必要：

1) 区間内の関数の臨界点を見つけます ( a、b);

2) 見つかった臨界点における関数の値を計算します。

3) セグメントの端にある関数の値を計算します。つまり、 バツ=あそしてx = b;

4) 関数のすべての計算値から、最大値と最小値を選択します。

例。関数の最大値と最小値を見つける

セグメント上で。

重要なポイントを見つける:

これらの点はセグメントの内側にあります。 y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

時点で バツ= 3 そしてその時点で バツ= 0.

凸関数と変曲点の検討。

関数 y = f (バツ) 呼ばれた 凸状その間 (ある, b) 、そのグラフがこの区間の任意の点で引かれた接線の下にあり、次のように呼ばれる場合 下に凸（凹）グラフが接線の上にある場合。

凸面が凹面に、またはその逆に置き換わる移行点を といいます。 変曲点.

凸性と変曲点を検討するためのアルゴリズム:

1. 第 2 種の臨界点、つまり 2 次導関数がゼロに等しいか存在しない点を見つけます。

2. 数直線上に重要な点を配置し、数直線を間隔に分割します。 各区間の二次導関数の符号を見つけます。 の場合、関数は上に凸であり、 の場合、関数は下に凸です。

3. 第 2 種臨界点を通過するときに符号が変化し、この時点で 2 次微分値がゼロに等しい場合、この点は変曲点の横座標になります。 その縦座標を求めます。

関数のグラフの漸近線。 漸近線への関数の調査。

意味。関数のグラフの漸近線はと呼ばれます 真っ直ぐこれには、グラフの点を原点から無制限に削除すると、グラフの任意の点からこの線までの距離がゼロになる傾向があるという特性があります。

漸近線には 3 つのタイプがあります。 垂直、水平、傾斜。

意味。直接電話 垂直漸近線関数グラフ y = f(x)、この時点での関数の片側極限の少なくとも 1 つが無限大に等しい場合、つまり

ここで、 は関数の不連続点です。つまり、関数は定義域に属しません。

例。

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

バツ= 2 - 限界点。

意味。真っ直ぐ y=あ呼ばれた 水平漸近線関数グラフ y = f(x)で、もし

例。

意味。真っ直ぐ y=k× +b (k≠ 0) と呼ばれます 斜めの漸近線関数グラフ y = f(x)どこで

関数とプロットの研究のための一般的なスキーム。

機能調査アルゴリズムy = f(x) :

1. 関数のドメインを見つける D (y).

2. (可能であれば) グラフと座標軸の交点を見つけます ( バツ= 0 および y = 0).

3. 偶数関数と奇数関数を調査します ( y (‒ バツ) = y (バツ) ‒ パリティ; y(‒ バツ) = ‒ y (バツ) ‒ 奇数）。

4. 関数のグラフの漸近線を見つけます。

5. 関数の単調性の区間を見つけます。

6. 関数の極値を見つけます。

7. 関数のグラフの凸（凹）の間隔と変曲点を求めます。

8. 実施された調査に基づいて、関数のグラフを作成します。

例。関数を調べてグラフをプロットします。

1) D (y) =

バツ= 4 - 限界点。

2) いつ バツ = 0,

(0; – 5) – との交点 オイ.

で y = 0,

3) y(‒ バツ)= 関数 一般的な見解(偶数でも奇数でもない)。

4) 漸近線を調べます。

a) 垂直

b) 水平

c) 斜めの漸近線を見つけます。

‒斜線漸近方程式

5) この式では、関数の単調性の区間を求める必要はありません。

6)

これらの臨界点は、関数の領域全体を区間 (˗∞; ˗2)、(˗2; 4)、(4; 10)、および (10; +∞) で分割します。 得られた結果を次の表の形式で示すと便利です。