Довжина кола позначається буквою Cі обчислюється за такою формулою:

C = 2πR,
де R - радіус кола.

Висновок формули, що виражає довжину кола

Шлях C і C' - довжини кіл радіусів R і R'. Впишемо в кожну з них правильний n-кутник і позначимо через Pn і P"n їх периметри, а через an і a"n їх сторони. Використовуючи формулу для обчислення сторони правильного n-кутника a n = 2R sin (180°/n) отримуємо:
P n = n · a n = n · 2R sin (180 ° / n),
P" n = n · a" n = n · 2R" sin (180 ° / n).
Отже,
Pn/P"n=2R/2R". (1)
Ця рівність справедлива за будь-якого значення n. Тепер необмежено збільшуватимемо число n. Оскільки P n → C, P" n → C", n → ∞, то межа відношення P n / P " n дорівнює C / C". З іншого боку, в силу рівності (1) ця межа дорівнює 2R / 2R". Таким чином, C / C" = 2R / 2R". З цієї рівності випливає, що C / 2R = C" / 2R", тобто . відношення довжини кола до її діаметра є одне й те саме число для всіх кіл.Це число прийнято позначати грецькою літерою π (пі).
З рівності C/2R = π отримуємо формулу для обчислення довжини кола радіуса R:
З = 2πR.

Спочатку розберемося на відміну між колом і окружністю. Щоб побачити цю різницю, достатньо розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченну кількість точок площини, що знаходяться на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то коло воно не належить. Виходить, що коло це і коло, що обмежує його (о-кружність), і незліченну кількість точок, що всередині кола.

Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL=R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).

Відрізок, який з'єднує дві точки кола, є її хордий.

Хорда, що проходить прямо через центр кола, є діаметромцього кола (D) . Діаметр можна обчислити за такою формулою: D=2R

Довжина колаобчислюється за формулою: C=2\pi R

Площа кола: S=\pi R^(2)

Дугого коланазивається та її частина, яка розташовується між двома її точками. Ці дві точки визначають дві дуги кола. Хорда CD стягує дві дуги: CMD та CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.

Центральним кутомназивається такий кут, що знаходиться між двома радіусами.

Довжину дугиможна знайти за формулою:

1. Використовуючи градусний захід: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Використовуючи радіальний захід: CD = \alpha R

Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.

Якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N , то твори відрізків хорд, розділені точкою N , рівні між собою.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Стосовно кола

Стосовно колаприйнято називати пряму, у якої є одна загальна точка з коло.

Якщо ж у прямої є дві спільні точки, її називають січучої.

Якщо провести радіус у точку торкання, він буде перпендикулярний дотичній до кола.

Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашого кола. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з одним, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.

AC = CB

Тепер до кола з нашої точки проведемо дотичну та січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної дорівнюватиме добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можна дійти невтішного висновку: добуток цілого відрізка першої січній з його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другої січній з його зовнішню частину.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Кути в колі

Градусні заходи центрального кутаі дуги, яку той спирається, рівні.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписаний кут- Це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.

Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, оскільки він дорівнює половині цієї дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирається на діаметр, вписаний кут, прямий.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписані кути, що спираються на одну дугу, тотожні.

Опирающиеся однією хорду вписані кути тотожні чи його сума дорівнює 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180 ^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами та заданою основою.

Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг кола, які полягають усередині даного та вертикального кутів.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Кут з вершиною поза коло і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг кола, які полягають усередині кута.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Вписане коло

Вписане коло- Це коло, що стосується сторін багатокутника.

У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.

Коло може бути вписане не в кожен багатокутник.

Площа багатокутника з вписаним колом знаходиться за формулою:

S = pr,

p - напівпериметр багатокутника,

r - радіус вписаного кола.

Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:

r = \frac(S)(p)

Суми довжин протилежних сторінбудуть тотожні, якщо коло вписано у опуклий чотирикутник. І навпаки: у опуклий чотирикутник вписується коло, якщо у ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.

AB + DC = AD + BC

У будь-який з трикутників можна вписати коло. Лише одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, лежатиме центр цього вписаного кола.

Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою:

r = \frac(S)(p) ,

де p = \frac(a + b + c)(2)

Описане коло

Якщо коло проходить через кожну вершину багатокутника, то таке коло прийнято називати описаної біля багатокутника.

У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде центр описаного кола.

Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами багатокутника.

Є така умова: коло можна описати близько чотирикутника лише, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180^(\circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180 (\circ)

Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому одну-єдину. Центр такого кола буде розташований у точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.

Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = frac(abc)(4 S)

a, b, c - Довжини сторін трикутника,

S – площа трикутника.

Теорема Птолемея

Насамкінець, розглянемо теорему Птолемея.

Теорема Птолемея свідчить, що добуток діагоналей тотожний сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

У якій би сфері економіки людина не працювала, мимоволі чи мимоволі вона користується математичними знаннями, накопиченими за багато століть. З пристроями та механізмами, що містять кола, ми стикаємося щодня. Круглу форму має колесо, піца, багато овочів та фруктів у розрізі утворюють коло, а також тарілки, чашки, та й багато іншого. Проте правильно розраховувати довжину кола вміє не кожен.

Щоб обчислити довжину кола, необхідно спочатку згадати, що таке коло. Це безліч усіх точок площини, рівновіддалених від цієї. А коло – це геометричне місце точок площини, що знаходиться всередині кола. Зі сказаного вище, що периметр кола і довжина кола – це одне й те саме.

Способи знаходження довжини кола

Крім математичного способу знаходження периметра кола, є практичні.

• Взяти мотузку або шнур і обернути один раз довкола.
• Потім мотузку виміряти, отримане число і буде довжиною кола.
• Прокатати круглий предмет один раз і порахувати довжину колії. Якщо предмет невеликий, можна кілька разів обмотати його мотузкою, потім розмотати нитку, виміряти і поділити на число витків.
• Знайти необхідну величину за формулою:

L = 2πr = πD ,

де L - довжина, що шукається;

π - константа, приблизно дорівнює 3,14 r - радіус кола, відстань від її центру до будь-якої точки;

D – діаметр, він дорівнює двом радіусам.

Застосування формули, щоб знайти довжину кола

• Приклад 1. Бігова доріжка проходить навколо кола радіусом 47,8 метрів. Знайти довжину цієї бігової доріжки, прийнявши π = 3,14.

L = 2πr =2*3,14*47,8 ≈ 300(м)

Відповідь: 300 метрів

• Приклад 2. Колесо велосипеда обернувшись 10 разів, проїхало 18,85 метра. Знайти радіус колеса.

18,85: 10 = 1,885 (м) – це периметр колеса.

1,885: π = 1,885: 3,1416 ≈ 0,6(м) – шуканий діаметр

Відповідь: діаметр колеса 0,6 метра

Дивовижне число π

Незважаючи на простоту формули, чомусь багатьом важко її запам'ятати. Мабуть, це відбувається через те, що у формулі є ірраціональне число π, яке не присутнє у формулах площі інших фігур, наприклад квадрата, трикутника або ромба. Потрібно просто запам'ятати, що це константа, тобто постійна, що означає відношення довжини кола до діаметра. Близько 4 тисяч років тому люди помітили, що ставлення периметра кола до його радіусу (або діаметру) є однаковим для будь-яких кіл.

Стародавні греки наближали число π дробом 22/7. Довгий час π вираховували як середнє між довжинами вписаних та описаних багатокутників у коло. У третьому столітті нашої ери китайський математик провів обчислення для 3072-кутника та отримав наближене значення π = 3,1416. Необхідно пам'ятати, що π завжди завжди для будь-якого кола. Його позначення грецькою літерою π з'явилося у 18 столітті. Це перша літера грецьких слівπεριφέρεια - коло та περίμετρος - периметр. У вісімнадцятому столітті було доведено, що ця величина є ірраціональною, тобто її не можна уявити у вигляді m/n, де m — ціле, а n – натуральне число.

У шкільній математиці зазвичай не потрібна висока точність обчислень, і π приймається рівним 3,14.

Окружність - замкнута крива, всі точки якої знаходяться на однаковій відстані від центру. Ця фігура є плоскою. Тому вирішення завдання, питання якого полягає в тому, як знайти довжину кола, є досить простим. Усі наявні методи, ми розглянемо у сьогоднішній статті.

Опис фігури

Крім досить простого описового визначення існують ще три математичні характеристики кола, які вже самі по собі містять відповідь на питання, як знайти довжину кола:

• Складається з точок A та B та всіх інших, з яких AB можна побачити під прямим кутом. Діаметр даної фігури дорівнює довжині відрізка, що розглядається.
• Включає виключно такі точки X, що відношення AX/BX незмінне і не дорівнює одиниці. Якщо ця умова не дотримується, то це не коло.
• Складається з точок, для кожної з яких виконується наступна рівність: сума квадратів відстаней до двох інших - це задана величина, яка завжди більша за половину довжини відрізка між ними.

Термінологія

Не у всіх у школі був добрий учитель математики. Тому відповідь на питання, як знайти довжину кола, ускладнюється ще й тим, що не всі знають основні геометричні поняття. Радіус – відрізок, який з'єднує центр фігури з точкою на кривій. Особливим випадком у тригонометрії є одиничне коло. Хорда – відрізок, який з'єднує дві точки кривої. Наприклад, під цю ухвалу підпадає вже розглянутий AB. Діаметр – це хорда, яка проходить через центр. Число π дорівнює довжині одиничного півкола.

Основні формули

З визначень безпосередньо випливають геометричні формули, які дозволяють розрахувати основні характеристики кола:

1. Довжина дорівнює добутку числа і діаметра. Формулу зазвичай записують так: C = π*D.
2. Радіус дорівнює половині діаметра. Його також можна розрахувати, обчисливши приватне від розподілу довжини кола на подвоєне число π. Формула має такий вигляд: R = C/(2* π) = D/2.
3. Діаметр дорівнює частці від розподілу довжини кола на π або подвоєному радіусу. Формула досить проста і виглядає так: D = C/π = 2*R.
4. Площа кола дорівнює добутку числа π і квадрата радіусу. Аналогічно у цій формулі можна використовувати діаметр. У цьому випадку площа дорівнюватиме приватному від ділення добутку числа π і квадрата діаметра на чотири. Формулу можна записати так: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Як знайти довжину кола по діаметру

Для простоти пояснення позначимо літерами, необхідні для розрахунку характеристики фігури. Нехай C - це довжина, що шукається, D - її діаметр, а число π приблизно дорівнює 3,14. Якщо у нас є лише одна відома величина, то завдання вважатимуться вирішеним. Навіщо це потрібно у житті? Припустимо, ми вирішили обнести круглий басейн парканом. Як визначити необхідну кількість стовпчиків? І тут на допомогу приходить уміння, як обчислити довжину кола. Формула виглядає так: C = π D. У нашому прикладі діаметр визначається на основі радіуса басейну і необхідної відстані до забору. Наприклад, припустимо, що наша домашня штучна водойма становить 20 метрів завширшки, а стовпчики ми збираємося ставити на десятиметровій відстані від неї. Діаметр окружності, що вийшла, дорівнює 20 + 10 * 2 = 40 м. Довжина - 3,14 * 40 = 125,6 метрів. Нам знадобляться 25 стовпчиків, якщо проміжок між ними буде близько 5 м.

Довжина через радіус

Як завжди, почнемо з присвоєння характеристик кола букв. Насправді вони є універсальними, тому математикам з різних країнзовсім не обов'язково знати мову один одного. Припустимо, що C - це довжина кола, r - її радіус, а приблизно дорівнює 3,14. Формула виглядає у разі наступним чином: C = 2*π*r. Очевидно, що це абсолютно правильна рівність. Як ми вже розібралися діаметр кола дорівнює її подвоєному радіусу, тому ця формула так і виглядає. У житті цей спосіб теж може часто стати в нагоді. Наприклад, ми печемо торт у спеціальній розсувній формі. Щоб він не забруднився, нам потрібна декоративна обгортка. Але як вирізати коло необхідного розміру. Тут на допомогу приходить математика. Ті, хто знає, як дізнатися довжину кола, відразу скажуть, що потрібно помножити число π на подвоєний радіус форми. Якщо її радіус дорівнює 25 см, то довжина складатиме 157 сантиметрів.

Приклади завдань

Ми вже розглянули кілька практичних випадків отриманих знань про те, як дізнатися про довжину кола. Але часто нас турбують не вони, а реальні математичні завдання, що містяться у підручнику. Адже за них учитель виставляє бали! Тому розглянемо завдання підвищеної складності. Припустимо, що довжина кола становить 26 см. Як знайти радіус такої фігури?

Рішення прикладу

Спочатку запишемо, що нам дано: C = 26 см, π = 3,14. Також згадаємо формулу: C = 2 * π * R. З неї можна витягти радіус кола. Таким чином, R = C/2/π. Тепер приступимо до безпосереднього розрахунку. Спочатку ділимо довжину на дві. Отримуємо 13. Тепер потрібно розділити на значення числа π: 13/3,14 = 4,14 см. Важливо не забути записати відповідь правильно, тобто з одиницями виміру, інакше втрачається весь практичний зміст таких завдань. До того ж, за подібну неуважність можна отримати оцінку на один бал нижче. І як би прикро, доведеться миритися з таким станом речей.

Не такий страшний звір, як його малюють

Ось ми й розібралися з таким непростим на перший погляд завданням. Як виявилося, потрібно просто розуміти значення термінів та запам'ятати кілька легких формул. Математика – це не так страшно, потрібно лише докласти небагато зусиль. Так що геометрія чекає на вас!