Складывание обыкновенных дробей. Составление системы уравнений.

23.02.2019 Обучение

Действия с дробями.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преобразования - мы вспомнили. Займёмся главным вопросом.

Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, умножать, делить.

Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от действий с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую правильно поставить надо.

Смешанные числа , как я уже говорил, малопригодны для большинства действий. Их всё равно надо переводить в обыкновенные дроби.

А вот действия с обыкновенными дробями похитрее будут. И гораздо важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неизвестными и прочая и прочая ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями ! Действия с обыкновенными дробями - это основа для всей алгебры. Именно по этой причине мы очень подробно разберём здесь всю эту арифметику.

Сложение и вычитание дробей.

Сложить (отнять) дроби с одинаковыми знаменателями каждый сможет (очень надеюсь!). Ну уж совсем забывчивым напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не меняется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа:

Короче, в общем виде:

А если знаменатели разные? Тогда, используя основное свойство дроби (вот оно и опять пригодилось!), делаем знаменатели одинаковыми! Например:

Здесь нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Исключительно с целью сделать знаменатели одинаковыми. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь ! Только 2/5 нам неудобно, а 4/10 очень даже ничего.

Кстати, в этом суть решений любых заданий по математике. Когда мы из неудобного выражения делаем то же самое, но уже удобное для решения .

Ещё пример:

Ситуация аналогичная. Здесь мы из 16 делаем 48. Простым умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа:

Как быть?! Из семёрки девятку трудно сделать! Но мы умные, мы правила знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется «приведём к общему знаменателю»:

Во как! Откуда же я узнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 одновременно. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число умножили на 7, к примеру, то результат уж точно на 7 делиться будет!

Если надо сложить (вычесть) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надо найти знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например:

И какой же общий знаменатель будет? Можно, конечно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Кошмар. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Следовательно, из этих чисел легко получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так далее.

Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений...

Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16.

Итак, со сложением (вычитанием) дробей ясно, надеюсь? Конечно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это удовольствие доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не забыл.

А сейчас мы поделаем те же самые действия, но не с дробями, а с дробными выражениями . Здесь обнаружатся новые грабли, да...

Итак, нам надо сложить два дробных выражения:

Надо сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с помощью умножения ! Уж так основное свойство дроби велит. Поэтому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, глядишь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустое место оставим, потом допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не забыть:

И, конечно, ничего в правой части не перемножаем, скобки не открываем! А теперь, глядя на общий знаменатель правой части, соображаем: чтобы в первой дроби получился знаменатель х(х+1), надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во второй дроби - на х. Получится вот что:

Обратите внимание! Здесь появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их отсутствие. Скобки появляются потому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные кусочки...

В числителе правой части записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, затем раскрываем скобки в числителе правой части, т.е. перемножаем всё и приводим подобные. Раскрывать скобки в знаменателях, перемножать что-то не нужно! Вообще, в знаменателях (любых) всегда приятнее произведение! Получим:

Вот и получили ответ. Процесс кажется долгим и трудным, но это от практики зависит. Порешаете примеры, привыкните, всё станет просто. Те, кто освоил дроби в положенное время, все эти операции одной левой делают, на автомате!

И ещё одно замечание. Многие лихо расправляются с дробями, но зависают на примерах с целыми числами. Типа: 2 + 1/2 + 3/4= ? Куда пристегнуть двойку? Никуда не надо пристёгивать, надо из двойки дробь сделать. Это не просто, а очень просто! 2=2/1. Вот так. Любое целое число можно записать в виде дроби. В числителе - само число, в знаменателе - единица. 7 это 7/1, 3 это 3/1 и так далее. С буквами - то же самое. (а+в) = (а+в)/1, х=х/1 и т.д. А дальше работаем с этим дробями по всем правилам.

Ну, по сложению - вычитанию дробей знания освежили. Преобразования дробей из одного вида в другой - повторили. Можно и провериться. Порешаем немного?)

В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей !

Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.

Дроби имеют вид: ±X/Y, где Y - знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X - числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:

В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.

Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.

Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.

Иными словами дробь - это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.

Если числитель меньше знаменателя - дробь является правильной, если наоборот - неправильной. В состав дроби может входить целое число.

Например, 5 целых 3/4.

Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.

Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс , вам надо понять, что решение дробей , в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.

Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого - три.
Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.

Как решать дроби. Примеры.

К дробям применимы самые разные арифметические операции.

Приведение дроби к общему знаменателю

Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.

Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей

Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20

Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю

Ответ: 15/20

Сложение и вычитание дробей

Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.

Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3

Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4

Умножение и деление дробей

Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:

Умножение - числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
Деление - сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.

Например:

На этом о том, как решать дроби , всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей , что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.

Если вы учитель, то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.

Если материал был полезен, отблагорить наш сайт вы можете, сделав пожертвование.
Любую сумму на развитие проекта вы можете

Общий знаменатель нескольких дробей - это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.

К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.

Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.

Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.

Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, - это неоконченное решение примера!

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями . Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями , нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями

найти НОК всех знаменателей;
проставить к каждой дроби дополнительные множители;
умножить каждый числитель на дополнительный множитель;
полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель;
произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.

Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Мы сказали что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.

Все дроби, которые имеют целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.

Смешанные числа также как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке, мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

Надеемся, что вы досконально изучили все предыдущие уроки. Настоятельно не советуем вам изучать данный урок, если вы полностью не поняли все предыдущие уроки. В противном случае, вы поставите крест на своей математике.

Содержание урока

Сложение целого числа и правильной дроби

Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь . Для того, чтобы решить этот пример, надо число 2 представить в виде дроби . Затем сложить дроби у которых разные знаменатели:

А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Посмотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так:

А конец вот так:

Различие в том, что в первом случае «двойка» и «одна вторая» соединяются значком плюс (+), а во втором случае они записаны вместе. На самом деле, это одно и то же. Дело в том, что это свёрнутая форма записи смешанного числа, а это развёрнутая форма записи.

Когда перед нами стоит смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения «опущен», но на самом деле он существует.

Какой вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно просто опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.

Значит значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем складываем дроби у которых разные знаменатели:

Это первый способ. Второй способ намного легче. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. Другими словами, опустить знак сложения:

Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения . В этом случае, целые части складываются отдельно, а дробные отдельно.

Эти два смешанных числа записаны в свёрнутом виде. Чтобы лучше понять, как складывать смешанные числа, давайте запишем их в развёрнутом виде:

Теперь применим наш любимый , который позволяет группировать слагаемые. Давайте сгруппируем целые части отдельно и дробные отдельно:

Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. Заменяем скобки (2 + 3) на полученную пятёрку:

Теперь вычисляем дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как вычислять такие дроби мы уже знаем. Вычислим дробные части:

Получили . Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь :

А что делать теперь мы уже знаем. Надо просто свернуть полученное смешанное число:

Таким образом, значение выражение равно .

Обычно, подобные примеры решают быстро, не останавливаясь на подробностях. Например, находясь в школе или в вузе, нам пришлось бы записать решение этого примера вот так:

Если в будущем увидите такое сокращённое решение — не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.

Пример 2 . Найти значение выражения

Запишем данное выражение в развёрнутом виде:

Сгруппируем целые части отдельно и дробные отдельно:

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. Заменяем в главном выражении скобки на полученную восьмёрку:

Теперь вычисляем дробные части:

Получили смешанное число . Теперь заменяем в главном выражении скобки на наше полученное смешанное число :

Получили выражение 8 плюс . В данном случае, 8 надо прибавить к целой части . Для этого, смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:

Сгруппируем целые части:

Складываем целые части, получаем 9:

Сворачиваем готовый ответ:

Таким образом, значение выражения равно .

Полное решение выглядит следующим образом:

Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если человек полностью понимает суть темы. Решение «по-шаблону», поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.

Сложение целого и смешанного числа

Встречаются задачи в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число . В этом случае, целые части складываются отдельно, а дробная часть так и остаётся:

Здесь дробь была развёрнута в самом ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены, и в конце целая часть и дробная были свёрнуты. В итоге, получили ответ .

Пример 2. Найти значение выражения

В этом примере, также как и в предыдущем, нужно сначала сложить целые части:

Осталось свернуть целую часть и дробную, но дело в том, что дробная часть представляет из себя неправильную дробь. В этом случае, сначала надо выделить целую часть у этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить как есть. Продолжим этот пример на новой строке:

Вычитание дроби из целого числа

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, найти значение выражения . В этом случае, целое число 2 надо представить в виде дроби , и осуществить вычитание дробей с разными знаменателями:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем осуществим вычитание дробей с разными знаменателями:

Вычитание смешанного числа из целого числа

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Например, найдём значение выражения .

Чтобы решить это пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число перевести в неправильную дробь. После перевода в неправильную дробь, получаем дробь . Далее осуществляем вычитание дробей с разными знаменателями:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим 6 в виде дроби , а смешанное число , в виде неправильной дроби. После перевода в неправильную дробь, получаем дробь . Далее осуществляем вычитание дробей с разными знаменателями:

Вычитание смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найти значение выражения:

Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа и перевести в неправильные дроби, затем осуществить вычитание дробей с разными знаменателями:

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа и в неправильные и осуществляем вычитание дробей с разными знаменателями:

К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, к которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого — а это может выкинуть нас в поле отрицательных чисел, куда нам заходить пока рано.

А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо, оно не такое сложное как сложение и вычитание.

Умножение целого числа на дробь

Любое целое число можно умножить на дробь. Для этого, достаточно умножить это число на числитель дроби.

Например, умножить число 5 на дробь . Чтобы решить это пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби

В ответе получилась неправильная дробь, значит нужно выделить её целую часть. Выделяем:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножаем 3 на числитель дроби

В ответе, получилась неправильная дробь , но мы выделили её целую часть и получили 2.

Также можно было бы сократить эту дробь, т.е. разделить числитель и знаменатель этой дроби на НОД числителя и знаменателя (НОД 6 и 3). Мы всё равно получили бы тот же ответ. Выглядело бы это так:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:

Пример 4. Найти значение выражения

Умножаем число 3 на числитель дроби

Умножение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить и . Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, а затем осуществить умножение этих неправильных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. В ней можно выделить целую часть. Выделяем:

Пример 2. Найти значение выражения

Пример 3. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь — выделим её целую часть:

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю. Ничего нового. Мы это прошли ещё в прошлом уроке.

Например, разделить 3 на . Здесь 3 — это делимое, а — это делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно 3 умножить на дробь обратную делителю . Обратная дробь для делителя — это дробь . Значит умножаем 3 на

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Понятие о НОК
Приведение дробей к одному знаменателю
Как сложить целое число и дробь

1 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Пример 1:

Пример 2:

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

2 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся, что же такое НОК.

3 Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

Разложить эти числа на простые множители
Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

4 Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители . Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.