Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 45

Разработка урока по теме

«Теорема об отрезках пересекающихся хорд»,

геометрия, 8 класс.

первой категории

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Борисова Алла Николаевна.

г. Калининград

2016 – 2017 учебный год

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города Калининграда

Предмет – математика (геометрия)

Класс – 8

Тема – «Теорема об отрезках пересекающихся хорд»

Учебно-методическое обеспечение:

Геометрия, 7 - 9: учебник для общеобразовательных учреждений/ Л. С. Атанасян и др., - 17 - е изд., - М.: Просвещение, 2015 г.

Рабочая тетрадь «Геометрия, 8 класс», авторы Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И.И. Юдина/ учебное пособие для учащихся общеобразовательных учреждений/ - М. Просвещение, 2016 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы - Microsoft Office Power Point 2010

Цель: познакомиться с теоремой об отрезках пересекающихся хорд и сформировать навыки по её применению для решения задач.

Задачи урока:

Образовательные:

систематизировать теоретические знания по теме: “Центральные и вписанные углы” и совершенствовать навыки решения задач по данной теме;

сформулировать и доказать теорему об отрезках пересекающихся хорд;

применить теорему при решении геометрических задач;

Развивающие:

развитие познавательного интереса к предмету.

формирование ключевых и предметных компетентностей.

развитие творческих способностей.

развивать у учащихся навыки самостоятельной работы и работы в парах.

Воспитательные:

воспитание познавательной активности, культуры общения, ответственности, самостоятельное развитие зрительной памяти;

воспитывать у учащихся самостоятельность, любознательность, сознательное отношение к изучению математики;

обоснование выбора методов, средств и форм обучения;

оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока.

Оборудование и материалы для урока : проектор, экран, презентация для сопровождения урока.

Тип урока: комбинированный.

Структура урока:

2) Объявляется план урока.

1. Проверка домашнего задания.

2. Повторение.

3. Открытие нового знания.

4. Закрепление.

II . Проверка домашнего задания.

1) три ученика доказывают самостоятельно на доске теорему о вписанном угле.

Первый ученик – случай 1;
Второй ученик – случай 2;
Третий ученик – случай 3.

2) Остальные работают в это время устно с целью повторения пройденного материала.

1. Теоретический опрос (фронтально) (слайд №2) .

Закончите предложение:

Угол называется центральным, если …

Угол называется вписанным, если …

Центральный угол измеряется …

Вписанный угол измеряется …

Вписанные углы равны, если …

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность …

2. Решение задач на готовых чертежах (слайд №3) .

Учитель в это время индивидуально проверяет решение домашнего задания у некоторых учеников.

Доказательство теорем заслушивается всем классом после проверки правильности решений задач на готовых чертежах.

II I. Введение нового материала.

1) Работа в парах. Решить задачу 1 с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала (слайд №4).

2) Доказательство теоремы об отрезках пересекающихся хорд проводим в виде задачи (слайд №5).

Вопросы для обсуждения (слайд №6) :

Что вы можете сказать об углах CAB и CDB?

Об углах AEC и DEB ?

Какими являются треугольники ACE и DBE?

Чему равно отношение их сторон, являющихся отрезками хорд касательных?

Какое равенство можно записать из равенства двух отношений, используя основное свойство пропорции?

Попробуйте сформулировать утверждение, которое вы доказали. На доске и в тетрадях записать формулировку и конспект доказательства теоремы об отрезках пересекающихся хорд. К доске вызывается один человек (слайд №7).

I V. Физкультминутка.

Один учащийся выходит к доске и предлагает простые упражнения для шеи, рук и спины.

V . Закрепление изученного материала.

1) Первичное закрепление.

1 уч-ся с комментированием решает № 667 на доске

Решение .

1) АВА 1 – прямоугольный, так как вписанный угол А 1 ВА опирается на полуокружность.

2) 5 = 3 как вписанные и опирающиеся на одну дугу АВ 1 .

3) 1 = 90° – 5, 4 = 90°– 3, но 3 = 5, поэтому 1= 4. С = ВС · В 1 С.

6) (см);

Ответ:

2) Самостоятельное решение задач.

1. 1 - ая группа учащихся («слабые» учащиеся). Решают самостоятельно № 93, 94 («Рабочая тетрадь», авт. Л.С. Атанасян, 2015 г), учитель при необходимости консультирует учащихся, анализирует результаты выполнения учащимися заданий

2. 2 - ая группа учащихся (остальные учащиеся). Работа над нестандартной задачей. Работают самостоятельно (по необходимости пользуются помощью учителя или соседа по парте). Один учащийся работает на откидной доске. После окончания работы взаимопроверка .

Задача .
Хорды АВ и СD пересекаются в точке S , при чем AS:SB = 2:3, DS = 12 см, SC = 5см , найти АВ .
Решение .

Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x
Согласно свойству хорд AS ∙ SB = CS ∙ SD , тогда
2х ∙ 3х = 5 ∙ 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10.

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10 Ответ : 5√10

VI . Подведение итогов урока, рефлексия деятельности

Подведение итогов урока, мобилизация учащихся на самооценку своей деятельности;

Итак, что вы узнали сегодня на уроке?

Чему научились сегодня на уроке?

Оцени свою деятельность за урок по 5 – бальной системе.

Выставление отметок за урок.

VIII . Домашнее задание

п. 71 (выучить теорию),

№ 659, 661, 666 (б, в).

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда является кусочком секущей? Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть , ну, как у нас – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущих и хордах в окружности? Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе «Теоремы и » - с длины хорды в окружности.

Длина хорды в окружности

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды можно найти по формуле:

Обратите внимание: из этой формулы видно, что если ты знаешь радиус окружности и то, сколько градусов «сидит» в дуге, которую стягивает хорда, то ты можешь считать, что знаешь и длину хорды.

И наоборот , чтобы узнать радиус окружности, достаточно знать длину всего-то одной хорды в окружности и величину соответствующего вписанного угла. А можно центрального? Конечно, можно – центральный угол нужно будет просто-напросто поделить на – и получится вписанный (если не помнишь этого – смотри тему ).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих. Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Вопрос первый: почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ первый: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Ответ второй: Смотри, точки на окружности мы отметили голубым, а «особенную» точку – оранжевым. А теперь погляди внимательно на формулы с произведениями:

В каждом отрезке участвуют «особенная» точка. Крайне важно это помнить, когда имеешь дело с секущими (с хордами почему-то всем легче). Осознай всё это и НИКОГДА НЕ ПИШИ ТАК:

Вопрос третий: а доказывать будем?

Ответ третий: Будем – это совсем несложно и ОЧЕНЬ полезно.

Итак, сперва о хордах. Повторим формулировку.

А теперь попробуем доказать.

Запишем, что же нам даёт это подобие.

Перепишем это отношение в виде произведения:

Докажем? Снова рассмотрим и.

Значит, (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна). Но - как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

Из всего этого следует, что по двум углам (– общий и).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

Перепишем в виде произведения:

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая и «превратится» в касательную? Вот так:

Тут точки и как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Давай докажем то, что сформулировали.

Значит, по теореме об угле между касательной и хордой (заглядываем в раздел « »).

Получилось, что по двум углам (– общий и).

Запишем отношения:

Снова перейдём к произведению:

И снова видим, что нужное утверждение доказано.

И в третий раз напомню о секрете : важно помнить не только то, но в большей степени то, что на картинке с касательной и секущей есть два «хитро» подобных треугольника и. Тогда ты сможешь извлекать и дополнительные соотношения.

Ну вот, например:

Видишь, это уже совсем никак не запоминающееся соотношение, а вот если помнить про подобие, то ни дробь, ни произведение запоминать не надо – они сами выйдут, кода понадобятся.

Хорда – это отрезок, который соединяет две произвольные точки одной окружности. Нахождение длины данного элемента окружности – это задача, относящаяся к геометрическому разделу математики. Для ее вычисления необходимо сделать упор на величины, данные в задаче, а также свойства других элементов.

Существует несколько типов задач на нахождение хорды. В каждом из них даны различные значения, которые могут быть использованы для проведения необходимых вычислений.

Как найти хорду окружности — случай 1

Задается окружность, в которой есть радиус R. Если дуга φ стягивается хордой L, при этом φ задана в градусах, то значение длины хорды будет вычисляться следующим образом: L = 2*R*sin(φ/2). Для решения задачи необходимо будет просто подставить числовые значения и вычислить.

Как найти хорду окружности — случай 2

• Задается окружность, центр которой лежит в т. О и хордами АВ и АС, которые пересекают окружность в общей т. А. В этом случае угол, который образуют хорды (ВАС), опирается на диаметр. В данном случае рекомендуется выполнить пояснительный чертеж, чтобы было видно образование равнобедренного треугольника АВС, в котором ВС – основание и диаметр, следовательно, ВО=ОС (как радиусы). Тогда АО является медианой в треугольнике и еще одним радиусом. АВ и АС – стороны треугольника, АВ=АС (т.к. треугольник является равнобедренным). Треугольники АОС и АОВ являются прямоугольными и равнобедренными. Зная радиус, по теореме Пифагора вычисляется хорда: АС 2 =АО 2 +ОС 2 .
• В данном случае можно воспользоваться другой формулой, если известен диаметр и центральный угол, на который опирается хорда: L = 2R*Sin (α/2) = D*Sin (α/2).

Как найти хорду окружности — случай 3

Когда задается окружность с диаметром и хордой и дается угол между ними (α), то необходимо провести перпендикуляр к центру с другой точки пресечения хордой окружности. Получится прямоугольный треугольник. Теорема о проекциях позволяет вывести формулу, которую можно использовать для нахождения хорды: СЕ = 2* R *cos α.

Как найти хорду окружности — полезные свойства

• Хорда, проходящая через центр заданной окружности, будет являться ее диаметром.
• Если в окружности проведено две хорды, которые пересекаются между собой, то срабатывает такое свойство: угол между ними будет равен ½ суммы мер двух дуг: расположенной напротив хорды и той, что находится в углу.
• В случае, когда к заданной окружности проводится касательная, которая образует с хордой угол, то он будет равен значению, полученному в результате деления величины дуги, которую стягивает данная хорда, на 2.

Инструкция

Пусть задана окружность с известным радиусом R, ее хорда L стягивает дугу φ, где φ определена в градусах или радианах. В этом случае вычислите длину хорды по следующей формуле: L = 2*R*sin(φ/2), подставив все известные значения.

Рассмотрим окружность с центром в точке О и заданным радиусом. Искомыми являются две одинаковые хорды АВ и АС, имеющие одну точку пересечения с окружностью (А). При этом известно, что угол, образуемый хордами, опирается на диаметр фигуры. Выполните графическое построение указанных элементов в окружности. Радиус из центра О опустите до точки пересечения хорд А. Хорды при этом будут образовывать треугольник АВС. Для определения длин одинаковых хорд используйте свойства полученного равнобедренного треугольника (АВ=АС). Отрезки ВО и ОС равны (АС по условию - диаметр) и являются радиусами фигуры, следовательно, АО представляет собой медиану треугольника АВС.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, его медиана является одновременно и высотой, то есть, перпендикуляром к основанию. Рассмотрите полученный прямоугольный треугольник АОВ. Катет ОВ известен и равен половине диаметра, то есть, R. Второй катет АО также задан как радиус R. Отсюда, применив теорему Пифагора, выразите неизвестную сторону АВ, которая и является искомой хордой окружности. Вычислите окончательный результат АВ = √(АО² + ОВ²). По условию задачи, длина второй хорды АС равна АВ.

Допустим, задана окружность с диаметром D и хордой СЕ. При этом известен угол, образуемый хордой и диаметром. Вычислить длину хорды можно, используя следующие построения. Нарисуйте окружность с центром в точке О и хорду СЕ, проведите диаметр через центр и одну из точек хорды (С). Известно, что любая хорда соединяет две точки окружности. Опустите из второй точки ее пересечения с окружностью (Е) в центр О радиус ЕО. Таким образом, получается равнобедренный треугольник СЕО с основанием-хордой СЕ. При известном угле у основания ЕСО вычислите хорду с помощью формулы из теоремы о проекциях: СЕ = 2*ОС*cos

Хордой называется отрезок прямой, проведенный внутри круга и соединяющий две точки на окружности. Хорда не проходит через центр круга и этим отличается от диаметра.

Инструкция

Хорда является самым коротким расстоянием между двумя точками на линии окружности. Хорда отличается от диаметра тем, что не проходит через центр круга. Диаметрально противоположные точки окружности находятся на максимально возможном расстоянии друг от друга. Следовательно, любая хорда в окружности меньше диаметра.

Проведите в круге произвольную хорду. Соедините концы полученного отрезка, лежащие на линии окружности, с центром круга. Вы получили треугольник, одна вершина которого расположена в центре круга, а две другие - на окружности. Треугольник равнобедренный, две его стороны являются радиусами окружности, третья сторона - искомая хорда.

Проведите из вершины треугольника, совпадающей с центром круга, высоту на сторону - хорду. Поскольку треугольник равнобедренный, эта высота одновременно является медианой и биссектрисой. Рассмотрите прямоугольные треугольники, на которые высота разделила исходный треугольник. Они равны.

В каждом из двух прямоугольных треугольников гипотенузой является радиус окружности, высота исходного треугольника - общий для двух фигур катет. Второй катет равен половине длины хорды. Если обозначить хорду L, то из соотношений элементов в прямоугольном треугольнике следует:
L/2 = R*Sin (α/2)
где R - радиус окружности,
α - центральный угол между радиусами, соединяющими концы хорды с центром окружности.

Следовательно, длина хорды в окружности равна произведению диаметра окружности на синус половины центрального угла, на который данная хорда опирается:
L = 2R*Sin (α/2) = D*Sin (α/2)

Под катетом подразумевается одна из сторон прямоугольного треугольника, которая вместе с другим катетом образует прямой угол. Если у треугольника нет прямого угла, то и катетов в нем тоже не будет. Для того, чтобы вычислить катет, можно прибегнуть к нескольким способам.

Инструкция

Следствие из теоремы Пифагора.
Сама теорема формульно выражается так:
c? = a? + b? (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).
Зная это, длины катетов a и b можно вычислить так:
a = v(c? - b?);
b = v(c? - a?).

Согласно ряду тригонометрических формул и законов, длины катетов а и b можно будет вычислить, зная углы и две другие стороны прямоугольного треугольника:
a = c*cos?;
b = c*cos?;
a = c*sin?;
b = c*sin?;
a = b*tan?;
b = a*tan?;

Видео по теме

Дугой окружности называется часть окружности, заключенная между двумя ее точками. Ее можно обозначить как AСB, где A и B - ее концы. Длину дуги можно выразить через стягивающую хорду, радиус окружности и угол между радиусами, проведенными к концам хорды.

Инструкция

Пусть ACB - дуга окружности, R - ее радиус, O - центр окружности. Отрезки OB и OC будут являться радиусами окружности. Пусть угол между ними равен?. Тогда ACB = R?, где угол? выражен в радианах, - длина дуги окружности.Если угол? выражен в градусах, то длина дуги окружности равна: ACB = R*pi*?/180.

Хорда AB стягивает дугу AСB. Пусть известна длина хорды AB и угол? между радиусами OA и OB. Треугольник AOB - равнобедренный, так как OA = OB = R.

Высота OE в треугольнике AOB одновременно является его биссектрисой и медианой. Следовательно, угол AOE = AOB/2 = ?/2, а AE = BE = AB/2. Рассмотрите треугольник AEO. Так как OE - высота, то он прямоугольный (угол AOE - прямой). AO - его гипотенуза, а AE - его катет. Отсюда, R = OA = (AB/2)/sin(?/2). Следовательно, ACB = (AB/2)/sin(?/2)*pi*?/180

Видео по теме

Длина характеризует расстояние между начальной и конечной точками отрезка. Различают длину прямой, ломаной и замкнутой линий. Ее находят экспериментальным либо аналитическим способом.

Инструкция

Термин «длина» у большинства людей ассоциируется с соответствующей характеристикой прямой линии. Однако на самом деле, этот параметр имеется у линии любой формы. Так, например, она имеется у окружности.

Окружность представляет собой замкнутый отрезок, который является образующей круга. Если точно следовать определению, то окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от ее центра. Все окружности имеют некоторый радиус, обозначаемый как r, а также диаметр, равный D=2r. Длина этой линии равна значению выражения:C=2πr=πD, где r - радиус окружности, D - диаметр окружности.

Если речь идет о прямой линии, то имеется в виду либо обычный отрезок, либо замкнутая фигура, такая как треугольник или прямоугольник. Для последнего длина является основной характеристикой. Простой отрезок можно измерить экспериментально, а длину стороны у фигуры удобнее всего вычислить. Наиболее просто осуществить эту операцию в отношении прямоугольника.

Частным случаем прямоугольника является равносторонний, называемый квадратом. В условиях некоторых задач приведено только значение площади, а найти необходимо сторону. Поскольку стороны квадрата равны, то она вычисляется по следующей формуле:a = √S.Если прямоугольник не равносторонний, то, зная его площадь и одну из сторон, найдите длину перпендикулярной стороны следующим образом:a=S/b, где S - площадь прямоугольника, b - ширина прямоугольника.

Длина стороны треугольника находится несколько иным способом. Для определения этой величины необходимо знать не только длины остальных сторон, но и значения углов. Если дан прямоугольный треугольник с углом 60° и стороной с, которая является его гипотенузой, длину катета найдите по следующей формуле:a=c*cosα.Кроме того, если в задаче дана площадь треугольника и высота, длину основания можно найти по другой формуле:a=2√S/√√3.

Длину сторон любой фигуры проще всего найти, если она равносторонняя. Например, если вокруг равностороннего треугольника описана окружность, длину стороны этого треугольника вычислите следующим образом:a3=R√3.Для произвольного правильного n-угольника сторону найдите следующим образом:an=2R*sin(α/2)=2r*tg(α/2), где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

Видео по теме

Медиана - геометрическое определение, которое связано с понятием треугольника. Она представляет собой отрезок, соединяющий вершину произвольного треугольника с серединой противоположной стороны. Найти или вычислить длину медианы можно, зная длины сторон произвольного треугольника. Рассмотрим решение задачи на примере.