Potřeba operací s pravděpodobnostmi přichází, když jsou známy pravděpodobnosti některých událostí a je nutné vypočítat pravděpodobnosti dalších událostí, které jsou s těmito událostmi spojeny.

Sčítání pravděpodobnosti se používá, když je potřeba vypočítat pravděpodobnost kombinace nebo logického součtu náhodných událostí.

Součet událostí A A B určit A + B nebo A ∪ B. Součet dvou událostí je událost, která nastane tehdy a pouze tehdy, když nastane alespoň jedna z událostí. Znamená to, že A + B- událost, která nastane tehdy a jen tehdy, když k události dojde během pozorování A nebo událost B, nebo současně A A B.

Pokud události A A B jsou vzájemně nekonzistentní a jsou dány jejich pravděpodobnosti, pak se pomocí sečtení pravděpodobností vypočítá pravděpodobnost, že jedna z těchto událostí nastane jako výsledek jednoho pokusu.

Věta o sčítání pravděpodobností. Pravděpodobnost, že nastane jedna ze dvou vzájemně neslučitelných událostí, se rovná součtu pravděpodobností těchto událostí:

Například při lovu padly dva výstřely. událost A– zasažení kachny z prvního výstřelu, event V– zásah z druhého výstřelu, event ( A+ V) - zásah z první nebo druhé rány nebo ze dvou ran. Pokud tedy dvě akce A A V jsou tedy neslučitelné události A+ V- výskyt alespoň jedné z těchto událostí nebo dvou událostí.

Příklad 1 Krabice obsahuje 30 míčků stejné velikosti: 10 červených, 5 modrých a 15 bílých. Vypočítejte pravděpodobnost, že barevný (ne bílý) míček sejme bez pohledu.

Řešení. Předpokládejme, že událost A– „červená koule je přijata“ a událost V- "Modrá koule je přijata." Pak je událostí „se bere barevný (ne bílý) míček“. Najděte pravděpodobnost události A:

a události V:

Události A A V- vzájemně neslučitelné, protože pokud se vezme jeden míč, pak míče nelze vzít rozdílné barvy. Proto používáme sčítání pravděpodobností:

Věta o sčítání pravděpodobností pro několik neslučitelných událostí. Pokud události tvoří úplný soubor událostí, pak se součet jejich pravděpodobností rovná 1:

Součet pravděpodobností opačných událostí je také roven 1:

Opačné události tvoří úplný soubor událostí a pravděpodobnost úplného souboru událostí je 1.

Pravděpodobnosti opačných událostí se obvykle označují malými písmeny. p A q. Zejména,

ze kterého vyplývají následující vzorce pro pravděpodobnost opačných událostí:

Příklad 2 Cíl v pomlčce je rozdělen do 3 zón. Pravděpodobnost, že určitý střelec vystřelí na terč v prvním pásmu, je 0,15, ve druhém pásmu - 0,23, ve třetím pásmu - 0,17. Najděte pravděpodobnost, že střelec zasáhne cíl, a pravděpodobnost, že střelec cíl mine.

Řešení: Najděte pravděpodobnost, že střelec zasáhne cíl:

Najděte pravděpodobnost, že střelec mine cíl:

Náročnější úlohy, ve kterých je potřeba uplatnit sčítání i násobení pravděpodobností - na stránce "Různé úlohy na sčítání a násobení pravděpodobností" .

Sčítání pravděpodobností vzájemně společných událostí

Dvě náhodné události jsou považovány za společné, pokud výskyt jedné události nevylučuje výskyt druhé události ve stejném pozorování. Například při hodu kostkou event A se považuje výskyt čísla 4 a event V- vypuštění sudého čísla. Protože číslo 4 je sudé číslo, jsou obě události kompatibilní. V praxi existují úlohy pro výpočet pravděpodobností výskytu některé ze vzájemně společných událostí.

Věta o sčítání pravděpodobností pro společné události. Pravděpodobnost, že dojde k jedné ze společných událostí, se rovná součtu pravděpodobností těchto událostí, od kterého se odečte pravděpodobnost společného výskytu obou událostí, tedy součin pravděpodobností. Vzorec pro pravděpodobnosti společných událostí je následující:

Protože události A A V kompatibilní, event A+ V nastane, pokud dojde k jedné ze tří možných událostí: nebo AB. Podle teorému o sčítání neslučitelných událostí počítáme takto:

událost A nastane, pokud dojde k jedné ze dvou neslučitelných událostí: nebo AB. Pravděpodobnost výskytu jedné události z několika neslučitelných událostí se však rovná součtu pravděpodobností všech těchto událostí:

Podobně:

Dosazením výrazů (6) a (7) do výrazu (5) získáme pravděpodobnostní vzorec pro společné události:

Při použití vzorce (8) je třeba vzít v úvahu, že události A A V může být:

• vzájemně nezávislé;
• vzájemně závislé.

Pravděpodobnostní vzorec pro vzájemně nezávislé události:

Vzorec pravděpodobnosti pro vzájemně závislé události:

Pokud události A A V jsou nekonzistentní, pak je jejich shoda nemožným případem, a proto P(AB) = 0. Čtvrtý pravděpodobnostní vzorec pro neslučitelné události je následující:

Příklad 3 V automobilových závodech, když jedete v prvním autě, pravděpodobnost výhry, když jedete ve druhém autě. Nalézt:

• pravděpodobnost, že vyhrají obě auta;
• pravděpodobnost, že vyhraje alespoň jedno auto;

1) Pravděpodobnost, že vyhraje první vůz, nezávisí na výsledku druhého vozu, tedy na událostech A(první auto vyhrává) a V(vyhrává druhé auto) - nezávislé události. Najděte pravděpodobnost, že vyhrají obě auta:

2) Najděte pravděpodobnost, že jedno ze dvou aut vyhraje:

Náročnější úlohy, ve kterých je potřeba uplatnit sčítání i násobení pravděpodobností - na stránce "Různé úlohy na sčítání a násobení pravděpodobností" .

Vyřešte problém sčítání pravděpodobností sami a pak se podívejte na řešení

Příklad 4 Jsou hozeny dvě mince. událost A- ztráta erbu na první minci. událost B- ztráta erbu na druhé minci. Najděte pravděpodobnost události C = A + B .

Násobení pravděpodobnosti

Násobení pravděpodobností se používá, když se má vypočítat pravděpodobnost logického součinu událostí.

V tomto případě musí být náhodné události nezávislé. Říká se, že dvě události jsou vzájemně nezávislé, pokud výskyt jedné události neovlivňuje pravděpodobnost výskytu druhé události.

Věta o násobení pravděpodobnosti pro nezávislé události. Pravděpodobnost současného výskytu dvou nezávislých událostí A A V se rovná součinu pravděpodobností těchto událostí a vypočítá se podle vzorce:

Příklad 5 Mince se hází třikrát za sebou. Najděte pravděpodobnost, že erb vypadne všechny třikrát.

Řešení. Pravděpodobnost, že erb padne při prvním hodu mincí, podruhé a potřetí. Najděte pravděpodobnost, že erb vypadne všechny třikrát:

Vyřešte si problémy pro násobení pravděpodobností sami a pak se podívejte na řešení

Příklad 6 Je tam krabice s devíti novými tenisovými míčky. Na hru se odeberou tři míče, po hře se vrátí zpět. Při výběru míčů nerozlišují odehrané a neodehrané míče. Jaká je pravděpodobnost, že po třech hrách nebudou v krabici žádné neodehrané míče?

Příklad 7 Na řezaných kartách abecedy je napsáno 32 písmen ruské abecedy. Náhodně se vylosuje pět karet jedna po druhé a položí se na stůl v pořadí, v jakém se objevují. Najděte pravděpodobnost, že písmena vytvoří slovo „konec“.

Příklad 8 Z plného balíčku karet (52 listů) jsou najednou vyjmuty čtyři karty. Najděte pravděpodobnost, že všechny čtyři tyto karty jsou stejné barvy.

Příklad 9 Stejný problém jako v příkladu 8, ale každá karta se po vytažení vrátí do balíčku.

Složitější úlohy, ve kterých je potřeba aplikovat jak sčítání a násobení pravděpodobností, tak i spočítat součin více událostí, na stránce "Různé úlohy pro sčítání a násobení pravděpodobností" .

Pravděpodobnost, že nastane alespoň jedna ze vzájemně nezávislých událostí, lze vypočítat odečtením součinu pravděpodobností opačných událostí od 1, tedy podle vzorce:

Příklad 10 Náklad je doručován třemi druhy dopravy: říční, železniční a silniční dopravou. Pravděpodobnost, že náklad bude doručen říční dopravou je 0,82, po železnici 0,87, po silnici 0,90. Najděte pravděpodobnost, že zboží bude doručeno alespoň jedním ze tří způsobů dopravy.

Věty o sčítání a násobení pravděpodobností.
Závislé a nezávislé události

Název vypadá děsivě, ale ve skutečnosti je velmi jednoduchý. V této lekci se seznámíme s větami o sčítání a násobení pravděpodobností událostí a analyzujeme typické úlohy, které spolu s úloha pro klasickou definici pravděpodobnosti určitě potkáte, nebo spíše už potkali na vaší cestě. Abyste mohli efektivně studovat materiály tohoto článku, musíte znát a rozumět základním pojmům teorie pravděpodobnosti a umět provádět jednoduché aritmetické operace. Jak vidíte, stačí velmi málo, a proto je tučné plus v aktivu téměř zaručeno. Ale na druhou stranu opět varuji před povrchním postojem k praktické příklady- jemností je také dost. Hodně štěstí:

Věta o sčítání pro pravděpodobnosti neslučitelných událostí: pravděpodobnost výskytu jednoho z těchto dvou nekompatibilní akce popř (bez ohledu na to, co), se rovná součtu pravděpodobností těchto událostí:

Podobná skutečnost platí také pro větší počet nekompatibilních událostí, například pro tři nekompatibilní události a :

Snová věta =) I takový sen však podléhá dokazování, které lze nalézt např. v studijní průvodce V.E. Gmurman.

Pojďme se seznámit s novými, dosud nevídanými pojmy:

Závislé a nezávislé události

Začněme nezávislými akcemi. Události jsou nezávislý pokud pravděpodobnost výskytu žádný z nich nezávisí od výskytu/neobjevení se dalších událostí uvažovaného souboru (ve všech možných kombinacích). ... Ale co je tu k vymílání běžných frází:

Věta o násobení pravděpodobností nezávislých událostí: pravděpodobnost společného výskytu nezávislých událostí a je rovna součinu pravděpodobností těchto událostí:

Vraťme se k nejjednoduššímu příkladu z 1. lekce, ve kterém se hází dvěma mincemi a následují následující události:

- hlavy padnou na 1. minci;
- Hlavy na 2. minci.

Pojďme najít pravděpodobnost události (hlavy se objeví na 1. minci A Eagle se objeví na 2. minci - zapamatovat si, jak číst produkt událostí!) . Pravděpodobnost získání hlav na jedné minci nezávisí na výsledku vhození jiné mince, proto jsou události a jsou nezávislé.

Podobně:
je pravděpodobnost, že na 1. minci padnou hlavy A na 2. ocasu;
je pravděpodobnost, že se na 1. minci objeví hlavy A na 2. ocasu;
je pravděpodobnost, že 1. mince dopadne na ocasy A na 2. orla.

Všimněte si, že události se tvoří celá skupina a součet jejich pravděpodobností je roven jedné: .

Věta o násobení se zjevně rozšiřuje na větší počet nezávislých událostí, takže například pokud jsou události nezávislé, pak pravděpodobnost jejich společného výskytu je: . Pojďme cvičit dál konkrétní příklady:

Úkol 3

Každá ze tří krabic obsahuje 10 dílů. V první krabici je 8 standardních dílů, ve druhé - 7, ve třetí - 9. Z každé krabice je náhodně odebrána jedna část. Najděte pravděpodobnost, že všechny díly jsou standardní.

Řešení: pravděpodobnost vyjmutí standardního nebo nestandardního dílu z libovolného boxu nezávisí na tom, které díly budou extrahovány z jiných boxů, takže problém je v nezávislých událostech. Zvažte následující nezávislé události:

– z 1. krabice je odstraněn standardní díl;
– z 2. krabice je odstraněn standardní díl;
– Ze 3. zásuvky byl vyjmut standardní díl.

Podle klasické definice:
jsou odpovídající pravděpodobnosti.

Akce, která nás zajímá (Standardní část bude odebrána z 1. šuplíku A od 2. standardu A od 3. standardu) je vyjádřen součinem.

Podle věty o násobení pravděpodobností nezávislých událostí:

je pravděpodobnost, že jeden standardní díl bude extrahován ze tří krabic.

Odpovědět: 0,504

Po povzbuzujících cvičeních s krabicemi nás čekají neméně zajímavé urny:

Úkol 4

Tři urny obsahují 6 bílých a 4 černé koule. Z každé urny se náhodně vylosuje jeden míček. Najděte pravděpodobnost, že: a) všechny tři koule budou bílé; b) všechny tři koule budou stejné barvy.

Na základě obdržených informací hádejte, jak naložit s položkou „být“ ;-) Je navrženo přibližné vzorové řešení v akademickém stylu s podrobným popisem všech událostí.

Závislé události. Akce se nazývá závislý pokud je jeho pravděpodobnost závisí z jedné nebo více událostí, které se již staly. Pro příklady nemusíte chodit daleko – stačí zajít do nejbližší prodejny:

- zítra v 19:00 bude v prodeji čerstvý chléb.

Pravděpodobnost této události závisí na mnoha dalších událostech: zda zítra bude doručeno čerstvé pečivo, zda bude vyprodáno do 19:00 nebo ne atd. V závislosti na různých okolnostech může být tato událost spolehlivá i nemožná. Takže akce je závislý.

Chléb ... a jak Římané požadovali, cirkusy:

- u zkoušky student získá jednoduchý lístek.

Pokud nepůjdete úplně první, bude událost záviset, protože její pravděpodobnost bude záviset na tom, jaké vstupenky si spolužáci již vylosovali.

Jak určit závislost/nezávislost událostí?

Někdy je to přímo uvedeno ve stavu problému, ale nejčastěji musíte provést nezávislou analýzu. Jednoznačné vodítko zde neexistuje a skutečnost závislosti či nezávislosti událostí vyplývá z přirozené logické úvahy.

Abychom neházeli vše na jednu hromadu, úkoly pro závislé události Zdůrazním následující lekci, ale prozatím zvážíme nejběžnější hromadu vět v praxi:

Problémy o adičních teorémech pro nekonzistentní pravděpodobnosti
a násobení pravděpodobností nezávislých událostí

Tento tandem dle mého subjektivního hodnocení funguje asi v 80 % úloh na zvažované téma. Hit hitů a skutečný klasik teorie pravděpodobnosti:

Úkol 5

Dva střelci vypálili po jedné střele na cíl. Pravděpodobnost zásahu pro prvního střelce je 0,8, pro druhého - 0,6. Najděte pravděpodobnost, že:

a) terč zasáhne pouze jeden střelec;
b) alespoň jeden ze střelců zasáhne terč.

Řešení: Pravděpodobnost zásahu/minutí jednoho střelce je zjevně nezávislá na výkonu druhého střelce.

Zvažte události:
– 1. střelec zasáhne cíl;
- 2. střelec zasáhne cíl.

Podle podmínky: .

Pojďme najít pravděpodobnost opačných událostí - že odpovídající šipky nebudou chybět:

a) Zvažte událost: - terč zasáhne pouze jeden střelec. Tato událost se skládá ze dvou neslučitelných výsledků:

Zasáhne 1. střelec A 2. chybuje
nebo
1. bude chybět A 2. zasáhne.

Na jazyku algebry událostí tuto skutečnost lze zapsat takto:

Nejprve použijeme větu o sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí, pak - větu o násobení pravděpodobností nezávislých událostí:

je pravděpodobnost, že bude pouze jeden zásah.

b) Zvažte událost: - alespoň jeden ze střelců zasáhne terč.

V první řadě SE ZAMYSLEME – co znamená podmínka „ALESPOŇ JEDEN“? V tento případ to znamená, že buď zasáhne 1. střelec (druhý mine) nebo 2. (1. chybuje) nebo obě šipky najednou - celkem 3 neslučitelné výsledky.

Metoda jedna: vzhledem k připravené pravděpodobnosti předchozí položky je vhodné událost reprezentovat jako součet následujících disjunktních událostí:

jeden dostane (událost sestávající ze 2 neslučitelných výsledků) nebo
Pokud zasáhnou obě šipky, označíme tuto událost písmenem .

Tím pádem:

Podle věty o násobení pravděpodobností nezávislých událostí:
je pravděpodobnost, že zasáhne 1. střelec A Zasáhne 2. střelec.

Podle teorému o sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí:
je pravděpodobnost alespoň jednoho zásahu cíle.

Metoda dva: zvažte opačnou událost: – oba střelci budou minout.

Podle věty o násobení pravděpodobností nezávislých událostí:

Jako výsledek:

Speciální pozornost věnujte pozornost druhému způsobu - v obecném případě je racionálnější.

Navíc existuje alternativní, třetí způsob řešení, založený na teorému o sčítání společných událostí, o kterém se výše mlčelo.

! Pokud čtete materiál poprvé, je lepší následující odstavec přeskočit, abyste předešli zmatkům.

Metoda třetí : události jsou společné, to znamená, že jejich součet vyjadřuje událost „alespoň jeden střelec zasáhne cíl“ (viz obr. algebra událostí). Podle věta o sčítání pravděpodobností společných událostí a věta o násobení pravděpodobností nezávislých událostí:

Pojďme zkontrolovat: události a (0, 1 a 2 zásahy v tomto pořadí) tvoří úplnou skupinu, takže součet jejich pravděpodobností se musí rovnat jedné:
, která měla být ověřena.

Odpovědět:

Při důkladném studiu teorie pravděpodobnosti narazíte na desítky úkolů militaristického obsahu, a což je typické, po nich nebudete chtít nikoho zastřelit - úkoly jsou téměř darem. Proč neudělat šablonu ještě jednodušší? Zkrátíme vstup:

Řešení: podle podmínky: , je pravděpodobnost zásahu odpovídajících střelců. Pak jejich pravděpodobnosti chyb jsou:

a) Podle teorémů sčítání pravděpodobností neslučitelných a násobení pravděpodobností nezávislých událostí:
je pravděpodobnost, že pouze jeden střelec zasáhne cíl.

b) Podle věty o násobení pravděpodobností nezávislých událostí:
je pravděpodobnost, že oba střelci netrefí.

Pak: je pravděpodobnost, že alespoň jeden ze střelců zasáhne cíl.

Odpovědět:

V praxi můžete použít jakoukoli možnost designu. Samozřejmě mnohem častěji jdou krátkou cestou, ale nemělo by se zapomínat na 1. způsob - je sice delší, ale smysluplnější - je v něm přehlednější, co, proč a proč sčítá a násobí. V některých případech je hybridní styl vhodný, když velká písmena Je vhodné označit pouze některé události.

Podobné úlohy pro samostatné řešení:

Úkol 6

Pro požární poplach jsou instalována dvě nezávisle pracující čidla. Pravděpodobnost, že senzor bude fungovat během požáru, je 0,5 a 0,7 pro první a druhý senzor. Najděte pravděpodobnost, že při požáru:

a) oba snímače selžou;
b) oba snímače budou fungovat.
c) pomocí sčítací věta pro pravděpodobnosti událostí tvořících úplnou grupu, zjistěte pravděpodobnost, že během požáru bude fungovat pouze jeden senzor. Výsledek zkontrolujte přímým výpočtem této pravděpodobnosti (pomocí věty o sčítání a násobení).

Zde je nezávislost provozu zařízení přímo vyjádřena ve stavu, což je mimochodem důležité upřesnění. Vzorové řešení je navrženo v akademickém stylu.

Co když jsou v podobném problému dány stejné pravděpodobnosti, například 0,9 a 0,9? Musíte se rozhodnout úplně stejně! (což již bylo demonstrováno na příkladu se dvěma mincemi)

Úkol 7

Pravděpodobnost zasažení cíle prvním střelcem jednou ranou je 0,8. Pravděpodobnost, že cíl není zasažen poté, co první a druhý střelec vystřelí jednu ránu, je 0,08. Jaká je pravděpodobnost, že druhý střelec zasáhne cíl jednou ranou?

A to je malý hlavolam, který je zarámovaný krátkým způsobem. Podmínka se dá přeformulovat stručněji, ale originál nebudu předělávat - v praxi se musím vrtat do zdobnějších výmyslů.

Seznamte se s ním - je to on, kdo vám seřízne nezměrné množství detailů =):

Úkol 8

Dělník obsluhuje tři stroje. Pravděpodobnost, že během směny bude první stroj vyžadovat úpravu, je 0,3, druhý - 0,75, třetí - 0,4. Najděte pravděpodobnost, že během směny:

a) všechny stroje budou vyžadovat seřízení;
b) pouze jeden stroj bude vyžadovat seřízení;
c) alespoň jeden stroj bude vyžadovat seřízení.

Řešení: jelikož podmínka nevypovídá nic o jediném technologickém procesu, pak je třeba provoz každého stroje považovat za nezávislý na provozu ostatních strojů.

Analogicky k úkolu č. 5 zde můžete zohlednit události spočívající v tom, že příslušné stroje budou během směny vyžadovat seřízení, zapsat pravděpodobnosti, zjistit pravděpodobnosti opačných událostí atd. Ale se třemi objekty se mi takový úkol opravdu nechce vypracovávat - bude to dlouhé a únavné. Proto je zde výrazně výhodnější použít „rychlý“ styl:

Podle podmínky: - pravděpodobnost, že během směny budou příslušné stroje vyžadovat ladění. Pak pravděpodobnosti, že nebudou vyžadovat pozornost, jsou:

Jeden ze čtenářů zde našel skvělý překlep, ani ho nebudu opravovat =)

a) Podle věty o násobení pravděpodobností nezávislých událostí:
je pravděpodobnost, že během směny budou všechny tři stroje vyžadovat seřízení.

b) Událost „Během směny bude vyžadovat seřízení pouze jeden stroj“ se skládá ze tří neslučitelných výsledků:

1) 1. stroj bude vyžadovat Pozornost A 2. stroj nebude vyžadovat A 3. stroj nebude vyžadovat
nebo:
2) 1. stroj nebude vyžadovat Pozornost A 2. stroj bude vyžadovat A 3. stroj nebude vyžadovat
nebo:
3) 1. stroj nebude vyžadovat Pozornost A 2. stroj nebude vyžadovat A 3. stroj bude vyžadovat.

Podle teorémů sčítání pravděpodobností neslučitelných a násobení pravděpodobností nezávislých událostí:

- pravděpodobnost, že během směny bude vyžadovat seřízení pouze jeden stroj.

Myslím, že už by vám mělo být jasné, odkud ten výraz pochází

c) Vypočítejte pravděpodobnost, že stroje nebudou vyžadovat seřízení, a poté pravděpodobnost opačné události:
– skutečnost, že alespoň jeden stroj bude vyžadovat seřízení.

Odpovědět:

Položku "ve" lze řešit i přes sum , kde je pravděpodobnost, že během směny budou vyžadovat seřízení pouze dva stroje. Tato událost zase obsahuje 3 nekompatibilní výsledky, které jsou podepsány analogicky s položkou „být“. Pokuste se sami najít pravděpodobnost, že pomocí rovnosti prověříte celý problém.

Úkol 9

Tři zbraně vypálily salvu na cíl. Pravděpodobnost zásahu jednou ranou pouze z první zbraně je 0,7, od druhé - 0,6, od třetí - 0,8. Najděte pravděpodobnost, že: 1) alespoň jeden projektil zasáhne cíl; 2) pouze dva projektily zasáhnou cíl; 3) cíl bude zasažen minimálně dvakrát.

Řešení a odpověď na konci lekce.

A znovu o náhodách: v případě, že se podle podmínky shodují dvě nebo dokonce všechny hodnoty počátečních pravděpodobností (například 0,7; 0,7 a 0,7), pak by se měl použít přesně stejný algoritmus řešení.

Na závěr článku budeme analyzovat další společnou hádanku:

Úkol 10

Střelec zasáhne cíl se stejnou pravděpodobností při každém výstřelu. Jaká je tato pravděpodobnost, když pravděpodobnost alespoň jednoho zásahu ze tří výstřelů je 0,973.

Řešení: označte - pravděpodobnost zásahu cíle při každém výstřelu.
a skrz - pravděpodobnost netrefení při každém výstřelu.

Zapišme si události:
- 3 výstřely střelec zasáhne terč alespoň jednou;
- střelec 3x mine.

Podle podmínky pak pravděpodobnost opačné události:

Na druhou stranu, podle věty o násobení pravděpodobností nezávislých událostí:

Tím pádem:

- pravděpodobnost netrefení při každém výstřelu.

Jako výsledek:
je pravděpodobnost zásahu každého výstřelu.

Odpovědět: 0,7

Jednoduché a elegantní.

V uvažovaném problému lze vznést další otázky o pravděpodobnosti pouze jednoho zásahu, pouze dvou zásahů a pravděpodobnosti tří zásahů cíle. Schéma řešení bude přesně stejné jako ve dvou předchozích příkladech:

Zásadní podstatný rozdíl však spočívá v tom, že existují opakované nezávislé testy, které se provádějí postupně, nezávisle na sobě a se stejnou pravděpodobností výsledků.

Úkol 2. Hoď 4 kostkami. Najděte pravděpodobnost získání stejného počtu bodů na každé z hozených kostek

Řešení. Na každé kosti je celkem 6 tváří. Spad každé tváře je stejně pravděpodobný. Pokud padla první kostka, řekněme 1, zbytek by měl být stejný. Pravděpodobnost, že některý obličej vypadne tak, že vypadnou všechny 4 stejné, je součinem pravděpodobností výskytu konkrétního obličeje na všech 4 kostkách. Výsledek je nutné vynásobit počtem tváří, protože různých čísel je 6. Označme požadovanou událost - "jedna padla na kostce", - , pak ztráta čtyř jedniček na všech kostkách bude . Chcete-li najít řešení problému, musíte výsledek vynásobit 6, protože události „dva hodili všemi kostkami“, „tři hodili všemi kostkami“ ... splňují podmínku problému. Takže řešení problému bude:

Úkol 3. Stážista se učil střílet z plechovky. Pravděpodobnost zasažení sklenice jednou ranou je 0,03. Kolik nábojů je potřeba připravit, aby s pravděpodobností 0,94 byla plechovka sražena k zemi?

Řešení. Napište rovnici pro zjištění pravděpodobnosti události. K tomu použijte Bernoulliho vzorec, který se používá, pokud se provádí několik opakování stejné události. Pokud předpokládáme, že plechovka je sražena k zemi hned prvním zásahem, tak před tím se střílelo (s netrefením), tzn. padly všechny výstřely. Pokud je pravděpodobnost zásahu , pak pravděpodobnost chybění je . Pravděpodobnost vynechání a 1 zásahu lze zapsat:

Známá data dosadíme do posledního vzorce: a z výsledné rovnice vyjádříme:

Vezměme si logaritmus posledního výrazu:

Kde

Zde je použita absolutní hodnota, protože pravděpodobnosti mohou být pouze kladné. . Počet výstřelů nemůže být celý, takže konečně

Úkol 4. Kostkou se hází 6krát. Jaká je pravděpodobnost získání 6 různých tváří?

Řešení. Na každé kosti je celkem 6 tváří. Spad každé tváře je stejně pravděpodobný. Události probíhají postupně, ale nezáleží na tom, v jakém pořadí. Pravděpodobnost, že jakákoli konkrétní tvář vypadne, je 1 (kostka je hozena a objeví se jedna tvář), proto by se podruhé mělo objevit libovolné číslo, kromě toho, který vypadl (pravděpodobnost), potřetí - jakékoli, kromě pro první dva (pravděpodobnost) atd. Pravděpodobnost požadované události je:

Úkol 5. Homogenní kostky má tvar pravidelného čtyřstěnu. Na jeho stranách jsou vyznačena čísla 1, 2, 3 a 4. Kolikrát musíte hodit kostkou, abyste očekávali, že padne 3 alespoň v jednom případě s pravděpodobností větší než 0,9?

Řešení. Na kosti jsou celkem 4 tváře. U každého obličeje je stejně pravděpodobné, že vypadne, ale bude nutné ho hodit několikrát, takže budeme vycházet z použití Bernoulliho vzorce. Předpokládejme, že se v tomto testu objevil požadovaný počet, takže všechny předchozí časy byly jiné. V tomto případě bude pravděpodobnost výskytu konkrétního obličeje stejná, protože obličeje jsou pouze 4. Pravděpodobnost události „požadovaný obličej se neobjevil a požadovaný obličej se objevil jednou“ lze zapsat:

Známá data dosadíme do posledního vzorce: a vyjádříme z výsledné rovnice.

Vezměme si logaritmus posledního výrazu:

Kde

Zde je použita absolutní hodnota, protože pravděpodobnosti mohou být pouze kladné. . Počet hodů nemůže být neceločíselný, proto zaokrouhlete nahoru na nejbližší celé číslo. Podle podmínky musí být pravděpodobnost větší než 0,9, takže odpověď je >6.

Úkol 6. Dva lovci střílí nezávisle na sobě na jeden terč a každý z nich provede jeden výstřel. Pravděpodobnost zasažení cíle pro prvního lovce je 0,8 a pro druhého - 0,4. Po střelbě byla nalezena jedna díra v terči. Najděte pravděpodobnost, že patří prvnímu střelci?

Řešení. Zkusme použít Bayesův vzorec. Podle Bayesova vzorce obsahuje čitatel pravděpodobnost výskytu požadované události a jmenovatel celkovou pravděpodobnost možných výsledků, které určí vzhled jedné díry v cíli, tzn. situace, kdy jeden z lovců zasáhl a druhý minul. Lovci byli dva, takže jsou možné pouze 2 možnosti: „první zásah, druhý minul“ a „první minul, druhý zásah“. Obě události nemohou nastat současně, proto mluvíme o součtu pravděpodobností. Pravděpodobnost, že nastane požadovaná událost, je „první chyba, druhá rána“. Pravděpodobnost události „první zásah, druhý minul“ se rovná a pravděpodobnost druhé události "první minul, druhý zásah" je rovna . Použijme doporučený vzorec:

Úkol 7. Tři rány jsou vypáleny na kachnu letící nepříliš vysoko. Pravděpodobnost zasažení prvního, druhého a třetího výstřelu je 0,1, v tomto pořadí; 0,2 a 0,4. Určete pravděpodobnost alespoň dvou zásahů kachny.

Řešení. Vzhledem k tomu, že výstřely jsou vypalovány postupně, je třeba vzít v úvahu možnost neúspěchu poprvé, podruhé nebo potřetí. Podle stavu problému musí být na kachně alespoň dva zásahy, což znamená buď 2 zásahy, nebo 3. Mohou existovat tři události „2 zásahy“: „zásah, zásah, chyba“; "udeřit, slečno, trefit"; "miss, hit, hit", protože není předem známo, která střela byla netrefená. Máme tedy 4 události, které nemohou nastat současně, proto mluvíme o součtu pravděpodobností událostí, tzn. o vzorci celkové pravděpodobnosti. Pravděpodobnost události „úder, zásah, zásah“ se rovná ; pravděpodobnost události "zasáhnout, zasáhnout, minul" je ; pravděpodobnost události "zásah, minout, zásah" je ; Pravděpodobnost události miss, hit, hit je . Nyní vypočítáme požadovanou pravděpodobnost:

Úkol 8. Laborant provádějící chemické analýzy používá reagencie stojící ve dvou lednicích. V první chladničce ze všech skladovaných činidel vyprší pouze 10% a ve druhé - 20%. Najděte pravděpodobnost, že jakékoli činidlo odebrané laborantem z jakékoli chladničky bude dostatečně čerstvé

Řešení. Událost označme jako A - laborant vytáhne dostatečně čerstvé činidlo z libovolné lednice. Laborant odebírá reagencie z libovolné lednice, které jsou dvě podle stavu problému. Protože problém nevypovídá nic o lednicích, pak je výběr kterékoli z nich ekvipravděpodobný, tzn. je rovný . Pravděpodobnost požadované události tedy spočívá v současném výskytu dvou – „volba lednice, volba činidla“. Pravděpodobnost „vzít čerstvé činidlo z první lednice“ se rovná ; pravděpodobnost "odběru čerstvého činidla z druhé lednice" se rovná . Laborant odebere činidlo pouze jednou, takže obě události v "vzít čerstvé činidlo z první lednice" a "vzít čerstvé činidlo z druhé lednice" nemohou nastat současně, takže mluvíme o součtu pravděpodobností . Použijme vzorec celkové pravděpodobnosti. Potom bude požadovaná pravděpodobnost rovna:

Úkol 9. Je zde 5 krabic s okrasnými kameny malachit a mramor. Dvě krabice obsahují 2 kusy mramoru a 1 kus malachitu, jedna obsahuje 10 kusů malachitu a další 3 kusy mramoru a 1 kus malachitu. Najděte pravděpodobnost, že náhodně vybraný kus z krabice vybrané řemeslníkem je mramor.

Řešení. Toto je úkol použít vzorec celkové pravděpodobnosti. Mistr vybere okrasný kámen z libovolné, „náhodně vybrané“ krabice. Krabic je celkem 5, předpokládá se, že jsou stejné, takže pravděpodobnost výběru libovolné krabice je . Pravděpodobnost požadované události tedy spočívá v současném výskytu dvou - "volba krabice a volba mramoru." Pravděpodobnost odebrání mramoru z první krabice je ; pravděpodobnost odebrání mramoru z druhé krabice je ; pravděpodobnost odebrání kuličky ze třetího pole je 0, protože existuje pouze malachit, pravděpodobnost odebrání mramoru ze čtvrté krabice je ;