Безсумнівно, у свідомості образ функції асоціюється з рівністю і відповідної йому лінією – графіком функції. Наприклад, - функціональна залежність, графіком якої є квадратична парабола з вершиною на початку координат і спрямованими вгору гілками; - функція синуса, відома своїми хвилями.

У цих прикладах у лівій частині рівності знаходиться y, а в правій частині – вираз, що залежить від аргументу x. Інакше кажучи, маємо рівняння, дозволене щодо y . Подання функціональної залежності у вигляді такого виразу називається явним завданням функції(або функцією у явному вигляді). І цей тип завдання функції є для нас найзвичнішим. У більшості прикладів та завдань нам постають саме явні функції. Про диференціювання функцій однієї змінної, заданих у явному вигляді, ми вже подробиці поговорили.

Однак, функція має на увазі відповідність між безліччю значень величини x і безліччю значень y , причому ця відповідність не обов'язково встановлюється будь-якою формулою або аналітичним виразом. Тобто, існує безліч способів завдання функції, крім звичного.

У цій статті ми розглянемо неявні функції та способи знаходження їх похідних. Як приклади функцій, заданих неявно, можна навести або .

Як ви помітили, неявна функція визначається співвідношенням . Але не всі такі співвідношення між x та y задають функцію. Наприклад, жодна пара дійсних чисел x і y не задовольняє рівності , отже, це співвідношення неявну функцію не задає.

Може явно визначати закон відповідності між величинами x і y , причому кожному значенню аргументу x може відповідати як одне (у цьому випадку маємо однозначну функцію) так і кілька значень функції (у цьому випадку функцію називають багатозначною). Наприклад, значення x = 1 відповідає два дійсних значення y = 2 і y = -2 неявно заданої функції .

Неявну функцію привести до явного вигляду далеко не завжди можливо, інакше не довелося диференціювати самі неявні функції. Наприклад, - не перетворюється на явний вигляд, а - перетворюється.

Тепер до діла.

Щоб знайти похідну неявно заданої функції, необхідно продиференціювати обидві частини рівності за аргументом x , вважаючи y – функцією від x і після цього виразити .

Диференціювання виразів, що містять x та y(x) , проводиться з використанням правил диференціювання та правила знаходження похідної складної функції . Давайте одразу докладно розберемо кілька прикладів, щоби далі не було питань.

приклад.

Продиференціювати вирази по x, вважаючи y функцією від x.

Рішення.

Так як y – це функція від x , то це складна функція. Її можна умовно уявити як f(g(x)) , де f – функція зведення куб, а g(x) = y . Тоді за формулою похідної складної функції маємо: .

При диференціюванні другого виразу виносимо константу за знак похідної та діємо як у попередньому випадку (тут f – функція синуса, g(x) = y):

Для третього виразу застосовуємо формулу похідної праці:

Послідовно застосовуючи правила, продиференціюємо останній вираз:

Ось тепер можна переходити до знаходження похідної неявно заданої функції, при цьому всі знання є.

приклад.

Знайти похідну неявної функції.

Рішення.

Похідна неявно заданої функції завжди представляється як виразу, що містить x і y : . Щоб дійти такого результату, продиференціюємо обидві частини рівності:

Дозволимо отримане рівняння щодо похідної:

Відповідь:

.

ЗАУВАЖЕННЯ.

Для закріплення матеріалу вирішимо ще приклад.

Як відомо, неявно задана функція однієї змінної визначається так: функція незалежної змінної x називається неявною, якщо вона задана рівнянням, не дозволеним щодо y:

приклад 1.11.

Рівняння

неявно ставить дві функції:

А рівняння

не ставить жодної функції.

Теорема 1.2 (існування неявної функції).

Нехай функція z =f(х,у) та її приватні похідні f"x і f"y визначені і безперервні в околиці UM0 точки M0(x0y0). Крім того, f(x0,y0)=0 і f"(x0,y0)≠0, тоді рівняння (1.33) визначає в околиці UM0 неявну функцію y= y(x), безперервну і диференційовану в деякому інтервалі D з центром точці x0, причому y(x0)=y0.

Без підтвердження.

З теореми 1.2 слід, що у цьому інтервалі D:

тобто має місце тотожність по

де "повна" похідна знаходиться згідно (1.31)

Тобто (1.35) дає формулу знаходження похідної неявно заданої функції однієї змінної x .

Аналогічно визначається і неявна функція двох і більше змінних.

Наприклад, якщо в деякій області V простору Oxyz виконується рівняння:

то за деяких умов на функцію F воно неявно задає функцію

При цьому за аналогією з (1.35) її похідні приватні знаходяться так:

приклад 1.12. Вважаючи, що рівняння

неявно задає функцію

знайти z"x, z"y.

тому згідно (1.37) отримуємо відповідь.

11.Використання приватних похідних у геометрії.

12. Екстремуми функції двох змінних.

Поняття максимуму, мінімуму, екстремуму функції двох змінних аналогічні відповідним поняттям функції однієї незалежної змінної (див. п. 25.4).

Нехай функцію z = ƒ(х;у) визначено в деякій ділянці D, точка N(x0;y0) Î D.

Точка (х0;у0) називається точкою максимуму функції z=ƒ(х;у), якщо існує така d-околиця точки (х0;у0), що для кожної точки (х;у), відмінної від (хо;уо), з цієї околиці виконується нерівність ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).

А податково визначається точка мінімуму функції: всім точок (х; у), відмінних від (х0;у0), з d-околиці точки (хо;уо) виконується нерівність: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0).

На малюнку 210: N1 - точка максимуму, а N2 - точка мінімуму функції z = f (x; у).

Значення функції у точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум та мінімум функції називають її екстремумами.

Зазначимо, що, з визначення, точка екстремуму функції лежить усередині області визначення функції; максимум і мінімум мають локальний (місцевий) характер: значення функції у точці (х0; у0) порівнюється з її значеннями у точках, досить близьких до (х0; у0). В області D функція може мати кілька екстремумів або не мати жодного.

46.2. Необхідні та достатні умови екстремуму

Розглянемо умови існування екстремуму функції.

Теорема 46.1 (необхідні умови екстремуму). Якщо точці N(x0;y0) диференційована функція z=ƒ(х;у) має екстремум, її приватні похідні у цій точці дорівнюють нулю: ƒ"x(х0;у0)=0, ƒ"y(х0;у0 ) = 0.

Зафіксуємо одну із змінних. Покладемо, наприклад, у = у0. Тоді отримаємо функцію ƒ(х;у0)=φ(х) однієї змінної, яка має екстремум при х = х0. Отже, згідно з необхідною умовою екстремуму функції однієї змінної (див. п. 25.4), φ "(х0) = 0, тобто ƒ" x (х0; y0) = 0.

Аналогічно можна показати, що ƒ"y(х0; у0) = 0.

Геометрично рівності ƒ"x(х0;у0)=0 і ƒ"y(х0;у0)=0 означають, що в точці екстремуму функції z=ƒ(х;у) дотична площина до поверхні, що зображує функцію ƒ(х;у ), паралельна площині Оху, тому що рівняння дотичної площини є z = z0 (див. формулу (45.2)).

З мітка. Функція може мати екстремум у точках, де хоча б одна з приватних похідних не існує. Наприклад, функція має максимум у точці О(0;0) (див. рис. 211), але не має у цій точці приватних похідних.

Точка, в якій окремі похідні першого порядку функції z ≈ ƒ(х; у) дорівнюють нулю, тобто f"x=0, f"y=0, називається стаціонарною точкою функції z.

Стаціонарні точки та точки, в яких хоча б одна приватна похідна не існує, називаються критичними точками.

У критичних точках функція може мати екстремум, а може не мати. Рівність нуля приватних похідних є необхідною, але не достатньою умовою існування екстремуму. Розглянемо, наприклад, функцію z = ху. Для неї точка О(0; 0) є критичною (у ній z"x=у та z"y - х звертаються в нуль). Однак екстремуму в ній функція z=ху не має, тому що в досить малій околиці точки О(0; 0) знайдуться точки для яких z>0 (точки I та III чвертей) і z< 0 (точки II и IV четвертей).

Таким чином, для знаходження екстремумів функції в цій галузі необхідно кожну критичну точку функції піддати додатковому дослідженню.

Теорема 46.2 (достатня умова екстремуму). Нехай у стаціонарній точці (хо;уо) та деякому її околиці функція ƒ(х;у) має безперервні приватні похідні до другого порядку включно. Обчислимо в точці (х0; у0) значення A = f "xx (x0; y0), В = ƒ" xy (х0; у0), С = """ y (х0; у0). Позначимо

1. якщо Δ > 0, то функція ƒ(х;у) у точці (х0;у0) має екстремум: максимум, якщо А< 0; минимум, если А > 0;

2. якщо Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

У випадку Δ = 0 екстремум у точці (х0; у0) може бути, може не бути. Потрібні додаткові дослідження.

ЗАВДАННЯ

1.

приклад.Знайти проміжки зростання та зменшення функції . Рішення.Першим кроком є знаходження обросту визначення функції. У прикладі вираз у знаменнику має звертатися в нуль, отже, . Переходимо до похідної функції: Для визначення проміжків зростання та зменшення функції за достатньою ознакою вирішуємо нерівності і на області визначення. Скористайтеся узагальненням методу інтервалів. Єдиним дійсним коренем чисельника є x = 2, а знаменник звертається в нуль при x = 0. Ці точки розбивають область визначення інтервали, у яких похідна функції зберігає знак. Зазначимо ці точки на числовій прямій. Плюсами та мінусами умовно позначимо інтервали, на яких похідна позитивна чи негативна. Стрілки знизу схематично показують зростання або зменшення функції на відповідному інтервалі. Таким чином, і . У точці x = 2функція визначена та безперервна, тому її слід додати і до проміжку зростання та до проміжку спадання. У точці x = 0функція не визначена, тому цю точку не включаємо в інтервали, що шукаються. Наводимо графік функції зіставлення з нею отриманих результатів. Відповідь:функція зростає при , зменшується на інтервалі (0; 2] .

2.

Приклади.

Встановити інтервали опуклості та увігнутості кривої y = 2 – x 2 .

Знайдемо yі визначимо, де друга похідна позитивна і де негативна. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Так як y"" = e x > 0 за будь-яких x, то крива усюди увігнута.

y = x 3 . Так як y"" = 6x, то y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 при x> 0. Отже, при x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 увігнута.

3.

4. Дано функцію z=x^2-y^2+5x+4y, вектор l=3i-4j і точка А(3,2). Знайти dz/dl (я так зрозумів похідна функції у напрямку вектора), gradz(A), |gradz(A)|. Знайдемо приватні похідні: z(по х)=2x+5 z(по y)=-2y+4 Знайдемо значення похідних у точці А(3,2): z(по х)(3,2)=2*3+ 5=11 z(по y)(3,2)=-2*2+4=0 Звідки, gradz(A)=(11,0)=11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Похідна функції z у напрямку вектора l: dz/dl=z(х)*cosa+z(у)*cosb, a,b-кути вектора l з осями координат. cosa=lх/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Формула похідної функції, заданої неявно. Доказ та приклади застосування цієї формули. Приклади обчислення похідних першого, другого та третього порядку.

Похідна першого порядку

Нехай функція задана неявним чином за допомогою рівняння
(1) .
І нехай це рівняння, при певному значенні, має єдине рішення. Нехай функція є функцією, що диференціюється в точці , причому
.
Тоді, при цьому значенні, існує похідна, яка визначається за формулою:
(2) .

Доведення

Для доказу розглянемо функцію як складну функцію від змінної:
.
Застосуємо правило диференціювання складної функції та знайдемо похідну за змінною від лівої та правої частин рівняння
(3) :
.
Оскільки похідна від постійної дорівнює нулю і , то
(4) ;
.

Формулу доведено.

Похідні вищих порядків

Перепишемо рівняння (4), використовуючи інші позначення:
(4) .
При цьому і є складними функціями від змінної:
;
.
Залежність визначає рівняння (1):
(1) .

Знаходимо похідну за змінною від лівої та правої частини рівняння (4).
За формулою похідної складної функції маємо:
;
.
За формулою похідної твори:

.
За формулою похідної суми:


.

Оскільки похідна правої частини рівняння (4) дорівнює нулю, то
(5) .
Підставивши сюди похідну, отримаємо значення похідної другого порядку у неявному вигляді.

Диференціюючи, аналогічно, рівняння (5), ми отримаємо рівняння, що містить похідну третього порядку :
.
Підставивши сюди знайдені значення похідних першого та другого порядків, знайдемо значення похідної третього порядку.

Продовжуючи диференціювання, можна знайти похідну будь-якого порядку.

Приклади

Приклад 1

Знайдіть похідну першого порядку від функції, заданої неявно рівнянням:
(П1) .

Рішення за формулою 2

Знаходимо похідну за формулою (2):
(2) .

Перенесемо всі змінні в ліву частину, щоб рівняння набуло вигляду .
.
Звідси.

Знаходимо похідну за вважаючи постійною.
;
;
;
.

Знаходимо похідну за змінною, вважаючи змінну постійною.
;
;
;
.

За формулою (2) знаходимо:
.

Ми можемо спростити результат, якщо зауважимо, що відповідно до вихідного рівняння (П.1), . Підставимо:
.
Помножимо чисельник і знаменник на :
.

Рішення другим способом

Вирішимо цей приклад другим способом. Для цього знайдемо похідну змінної лівої та правої частин вихідного рівняння (П1).

Застосовуємо:
.
Застосовуємо формулу похідного дробу:
;
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції:
.
Диференціюємо вихідне рівняння (П1).
(П1) ;
;
.
Помножуємо на та групуємо члени.
;
.

Підставимо (з рівняння (П1)):
.
Помножимо на:
.

Приклад 2

Знайти похідну другого порядку від функції , заданої неявно за допомогою рівняння:
(П2.1) .

Диференціюємо вихідне рівняння, за змінною , вважаючи, що є функцією від :
;
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.

Диференціюємо вихідне рівняння (П2.1):
;
.
З вихідного рівняння (П2.1) випливає, що . Підставимо:
.
Розкриваємо дужки та групуємо члени:
;
(П2.2) .
Знаходимо похідну першого порядку:
(П2.3) .

Щоб знайти похідну другого порядку, диференціюємо рівняння (П2.2).
;
;
;
.
Підставимо вираз похідної першого порядку (П2.3):
.
Помножимо на:

;
.
Звідси знаходимо похідну другого порядку.

Приклад 3

Знайти похідну третього порядку від функції , заданої неявно за допомогою рівняння:
(П3.1) .

Диференціюємо вихідне рівняння за змінною вважаючи, що є функцією від .
;
;
;
;
;
;
(П3.2) ;

Диференціюємо рівняння (П3.2) по змінній.
;
;
;
;
;
(П3.3) .

Диференціюємо рівняння (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4) .

З рівнянь (П3.2), (П3.3) та (П3.4) знаходимо значення похідних при .
;
;
.

Похідна функції заданої неявно.
Похідна параметрично заданої функції

У цій статті ми розглянемо ще два типові завдання, які часто зустрічаються в контрольні роботиз вищої математики. Для того, щоб успішно освоїти матеріал, необхідно вміти знаходити похідні хоча б на середньому рівні. Навчитися знаходити похідні практично з нуля можна на двох базових уроках та Похідна складної функції. Якщо з навичками диференціювання все гаразд, тоді поїхали.

Похідна функції, заданої неявно

Або коротше – похідна неявної функції. Що таке неявна функція? Давайте спочатку згадаємо саме визначення функції однієї змінної:

Функція однієї змінної-Це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної відповідає одне і тільки одне значення функції.

Змінна називається незалежної змінноїабо аргументом.
Змінна називається залежною змінноюабо функцією .

Досі ми розглядали функції, задані в явномувигляді. Що це означає? Влаштуємо аналіз польотів на конкретних прикладах.

Розглянемо функцію

Ми бачимо, що ліворуч у нас самотній «гравець», а праворуч – тільки «ікси». Тобто функція у явному виглядівиражена через незалежну змінну.

Розглянемо іншу функцію:

Тут змінні та розташовані «впереміш». Причому ніякими способами неможливовисловити "ігрок" тільки через "ікс". Що за способи? Перенесення доданків із частини у частину зі зміною знака, винесення за дужки, перекидання множників за правилом пропорції та інших. Перепишіть рівність і спробуйте виразити «гравець» у вигляді: . Можна крутити-крутити рівняння годинником, але у вас цього не вийде.

Дозвольте познайомити: приклад неявної функції.

У курсі математичного аналізу доведено, що неявна функція існує(проте не завжди), у неї є графік (так само, як і у «нормальної» функції). У неявної функції так само існуєперша похідна, друга похідна і т.д. Як кажуть, усі права секс-меншин дотримані.

І цьому уроці ми навчимося знаходити похідну від функції, заданої неявно. Це не так складно! Усі правила диференціювання, таблиця похідних елементарних функцій залишаються у силі. Різниця в одному своєрідному моменті, який ми розглянемо зараз.

Так, і повідомлю хорошу новину – розглянуті нижче завдання виконуються за досить жорстким та чітким алгоритмом без каменю перед трьома доріжками.

Приклад 1

1) На першому етапі навішуємо штрихи на обидві частини:

2) Використовуємо правила лінійності похідної (перші два правила уроку Як знайти похідну? Приклади рішень):

3) Безпосереднє диференціювання.
Як диференціювати і зрозуміло. Що робити там, де під штрихами є «Ігреки»?

- просто до неподобства, похідна від функції дорівнює її похідній: .

Як диференціювати
Тут у нас складна функція. Чому? Начебто під синусом лише одна літера «ігрок». Але, річ у тому, що лише одна буква «ігрок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(Див. визначення на початку уроку). Отже, синус – зовнішня функція, – внутрішня функція. Використовуємо правило диференціювання складної функції :

Твір диференціюємо за звичайним правилом :

Зверніть увагу, що теж складна функція, будь-який «ігрок з наворотами» – складна функція:

Саме оформлення рішення має виглядати приблизно так:


Якщо є дужки, то розкриваємо їх:

4) У лівій частині збираємо доданки, в яких є «ігрок» зі штрихом. У праву частину – переносимо все інше:

5) У лівій частині виносимо похідну за дужки:

6) І за правилом пропорції скидаємо ці дужки у знаменник правої частини:

Похідна знайдена. Готово.

Цікаво відзначити, що у неявному вигляді можна переписати будь-яку функцію. Наприклад, функцію можна переписати так: . І диференціювати її за щойно розглянутим алгоритмом. Насправді фрази «функція, задана у неявному вигляді» та «неявна функція» відрізняються одним смисловим нюансом. Фраза «функція, задана в неявному вигляді» більш загальна та коректна, – ця функція задана у неявному вигляді, але тут можна виразити «гравець» і уявити функцію у явному вигляді. Під словами «неявна функція» частіше розуміють «класичну» неявну функцію, коли «ігрек» висловити не можна.

Слід також відзначити, що «неявне рівняння» може неявно задавати відразу дві або навіть більшу кількість функцій, так, наприклад, рівняння кола неявно задає функції , , які визначають півкола. та нюансами, це була просто інформація для загального розвитку.

Другий спосіб вирішення

Увага!З другим способом можна ознайомитись лише у тому випадку, якщо Ви вмієте впевнено знаходити приватні похідні. Початківці вивчати математичний аналіз та чайники, будь ласка, не читайте та пропустіть цей пунктІнакше в голові буде повна каша.

Знайдемо похідну неявної функції другим способом.

Переносимо всі складові в ліву частину:

І розглядаємо функцію двох змінних:

Тоді нашу похідну можна знайти за формулою
Знайдемо приватні похідні:

Таким чином:

Другий спосіб рішення дозволяє виконати перевірку. Але оформляти їм чистовий варіант завдання небажано, оскільки приватні похідні освоюють пізніше, і студент, який вивчає тему «Похідна функції однієї змінної», знати приватні похідні як би ще не повинен.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Приклад 2

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Навішуємо штрихи на обидві частини:

Використовуємо правила лінійності:

Знаходимо похідні:

Розкриваємо всі дужки:

Переносимо всі доданки в ліву частину, інші – в праву частину:

Остаточна відповідь:

Приклад 3

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку.

Не рідкість, коли після диференціювання виникають дроби. У таких випадках дробів потрібно позбавлятися. Розглянемо ще два приклади.

Приклад 4

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Укладаємо обидві частини під штрихи та використовуємо правило лінійності:

Диференціюємо, використовуючи правило диференціювання складної функції та правило диференціювання приватного :

Розкриваємо дужки:

Тепер нам потрібно позбутися дробу. Це можна зробити і пізніше, але раціональніше зробити відразу. У знаменнику дробу знаходиться . Примножуємо на . Якщо докладно, то це виглядатиме так:

Іноді після диференціювання утворюється 2-3 дроби. Якби в нас був ще один дріб, наприклад, то операцію потрібно було б повторити – помножити кожен доданок кожної частинина

У лівій частині виносимо за дужку:

Остаточна відповідь:

Приклад 5

Знайти похідну від функції, заданої неявно

Це приклад самостійного рішення. Єдине, в ньому, перед тим як позбутися дробу, попередньо потрібно буде позбутися триповерховості самого дробу. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Похідна параметрично заданої функції

Не напружуємось, у цьому параграфі теж все досить просто. Можна записати загальну формулупараметрично заданої функції, але для того, щоб було зрозуміло, я відразу запишу конкретний приклад. У параметричної формі функція визначається двома рівняннями: . Часто рівняння записують під фігурними дужками, а послідовно: , .

Змінна називається параметромі може приймати значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Розглянемо, наприклад, значення і підставимо його в обидва рівняння: . Або по-людськи: «якщо ікс дорівнює чотирьом, то ігрок дорівнює одиниці». На координатній площині можна відзначити точку, і ця точка відповідатиме значенню параметра. Аналогічно можна знайти точку будь-якого значення параметра «те». Як і для «звичайної» функції, для американських індіанців параметрично заданої функції всі права також дотримані: можна побудувати графік, знайти похідні тощо. До речі, якщо потрібно побудувати графік параметрично заданої функції, можете скористатися моєю програмою .

У найпростіших випадках є можливість уявити функцію у явному вигляді. Виразимо з першого рівняння параметр: – і підставимо його на друге рівняння: . В результаті отримано звичайну кубічну функцію.

У «важчих» випадках такий фокус не прокочує. Але це не біда, тому що для знаходження похідної параметричної функції існує формула:

Знаходимо похідну від «гравця за змінною те»:

Всі правила диференціювання та таблиця похідних справедливі, природно, і для літери, таким чином, якоїсь новизни у самому процесі знаходження похідних немає. Просто подумки замініть у таблиці всі «ікси» на літеру «те».

Знаходимо похідну від «ікса за змінною те»:

Тепер тільки залишилося підставити знайдені похідні до нашої формули:

Готово. Похідна, як і сама функція, також залежить від параметра .

Що стосується позначень, то у формулі замість запису можна було просто записати без підрядкового індексу, оскільки це «звичайна» похідна «ікс». Але в літературі завжди зустрічається варіант, тому я не відхилятимуся від стандарту.

Приклад 6

Використовуємо формулу

У даному випадку:

Таким чином:

Особливістю знаходження похідної параметричної функції є той факт, що на кожному кроці результат вигідно максимально спрощувати. Так, у розглянутому прикладі при знаходженні я розкрив дужки під коренем (хоча міг цього не робити). Великий шанс, що при підстановці та формулі багато речей добре скоротяться. Хоча зустрічаються, звичайно, приклади і з кострубатими відповідями.

Приклад 7

Знайти похідну від функції, заданої параметрично

Це приклад самостійного рішення.

у статті Найпростіші типові завдання з похідноюми розглядали приклади, у яких потрібно було знайти другу похідну функції. Для параметрично заданої функції також можна знайти другу похідну, і вона за такою формуле: . Цілком очевидно, що для того, щоб знайти другу похідну, потрібно спочатку знайти першу похідну.

Приклад 8

Знайти першу та другу похідні від функції, заданої параметрично

Спочатку знайдемо першу похідну.
Використовуємо формулу

В даному випадку:

Вчимося знаходити похідні функцій, заданих неявно, тобто заданих деякими рівняннями, що зв'язують між собою змінні xі y. Приклади функцій, заданих неявно:

,

,

Похідні функцій, заданих неявно, або похідні неявних функцій, досить просто. Зараз розберемо відповідне правило і приклад, а потім з'ясуємо, для чого взагалі це потрібно.

Щоб знайти похідну функції, заданої неявно, потрібно продиференціювати обидві частини рівняння по иксу. Ті доданки, в яких присутній тільки ікс, звернуться до звичайної похідної функції від ікса. А доданки з греком потрібно диференціювати, користуючись правилом диференціювання складної функції, оскільки ігрок - це функція від ікса. Якщо дуже просто, то в отриманій похідній доданку з іксом має вийти: похідна функції від ігрека, помножена на похідну від ігрека. Наприклад, похідна доданку запишеться як , похідна доданку запишеться як . Далі з цього потрібно висловити цей " гравець штрих " і буде отримана шукана похідна функції, заданої неявно. Розберемо це з прикладу.

приклад 1.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння по іксу, вважаючи, що гравець - функція від ікса:

Звідси отримуємо похідну, яка потрібна в завданні:

Тепер дещо про неоднозначну властивість функцій, заданих неявно, і чому потрібні особливі правила диференціювання. У частині випадків можна переконатися, що підстановка задане рівняння (див. приклади вище) замість грека його виразу через ікс призводить до того, що це рівняння звертається в тотожність. Так. наведене вище рівняння неявно визначає такі функції:

Після підстановки вираження грека в квадраті через ікс у початкове рівняння отримуємо тотожність:

.

Вирази, які ми підставляли, вийшли шляхом розв'язання рівняння щодо гравця.

Якби ми стали диференціювати відповідну явну функцію

то отримали відповідь як у прикладі 1 - від функції, заданої неявно:

Але не будь-яку функцію, задану неявно, можна уявити у вигляді y = f(x) . Так, наприклад, задані неявно функції

не виражаються через елементарні функції, тобто ці рівняння не можна дозволити щодо гравця. Тому і існує правило диференціювання функції, заданої неявно, яке ми вже вивчили і далі послідовно застосовуватимемо в інших прикладах.

приклад 2.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Виражаємо гравець штрих і - на виході - похідна функції, заданої неявно:

приклад 3.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса:

.

приклад 4.Знайти похідну функції, заданої неявно:

.

Рішення. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса:

.

Виражаємо та отримуємо похідну:

.

Приклад 5.Знайти похідну функції, заданої неявно:

Рішення. Переносимо доданки в правій частині рівняння в ліву частину і праворуч залишаємо нуль. Диференціюємо обидві частини рівняння з ікса.