Ціла та дробова частини дійсного числа.
Т.С. Кармакова, доцент кафедри алгебри ХДПУ
У різних питаннях теорії чисел, математичного аналізу, теорії рекурсивних функцій та інших питаннях математики використовуються поняття цілої і дробової частин дійсного числа.
У програму шкіл та класів з поглибленим вивченнямматематики включені питання, пов'язані з цими поняттями, але на їхнє викладення в підручнику алгебри для 9 класу відведено всього 34 рядки. Розглянемо докладніше цю тему.
Визначення 1
Цілою частиною дійсного числа х називається найбільше ціле число, що не перевищує х.
Ціла частина числа позначається символом [х] і читається так: ціла частина х або: ціла частина від х. Іноді ціла частина числа позначається Е(х) і читається так: "антіє х" або "антіє від х". Друга назва походить від французького слова entiere – цілий.
приклад.
Обчислити [x], якщо х приймає значення:
1,5; 3; -1.3; -4.
Рішення
З визначення [x] випливає:
= 1, т.к. 1 Z, 1 1,5
[3] = 3, т.к. 3 Z, 3 3
[-1,3] =-2, т.к. -2 Z, -2 -1,3
[-4] =-4, т.к. -4 Z, -4 -4.
Властивості цілої частини дійсного числа.
1*. [ x ] = x якщо х Z
2*. [ x ] x * [ x ] + 1
3*. [ x + m ] = [ x ] + m , де m Z
Розглянемо приклади використання цього поняття у різних завданнях.
Приклад 1
Розв'язати рівняння:
1.1 [x] = 3
[ x + 1,3 ] = - 5
[ x + 1 ] + [ x - 2] - = 5
1.4 [x] - 7 [x] + 10 = 0
Рішення
1.1 [ x ] = 3. За властивістю 2* дане рівняння рівносильне нерівності 3 х * 4
Відповідь: [3; 4)
[ x + 1,3 ] = - 5. За якістю 2*:
- 5 х + 1,3* - 4 - 6,3 х* - 5,3
Відповідь: [-6,3; -5,3)
[ x + 1 ] + [ x - 2 ] - [ x + 3 ] = 5. За якістю 3*:
[x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 5
[ x ] = 9 9 x * 10 (по 2 *)
Відповідь: [9; 10)
1.4 [ x ] - 7 [ x ] + 10 = 0 Нехай [ x ] = t тоді t - 7 t + 10 = 0 , тобто .

Відповідь: [2; 3) [5; 6)
приклад 2.
Вирішити нерівності:
2.1 [x] 2
[ x ] > 2
[ x ] 2
[ x ] [ x ] - 8 [ x ] + 15 0

Рішення
2.1 Згідно з визначенням [ x ] і 1*, цій нерівності задовольняють х
Відповідь: [2;).
2.2 Вирішення цієї нерівності: х.
Відповідь: [3;).
2.3 x 2.4 x 2.5 Нехай [ x ] = t , тоді дана нерівність рівносильна системі
3
Відповідь: [3; 6).
2.6 Нехай [x] = t, тоді отримаємо.
Відповідь: (- .
приклад 4.
Побудуйте графік функції y = [x]
Рішення
1). ООФ: х R
2). МЗФ: y Z

3). Т.к. при х * [m; m + 1), де m * Z , [ x ] = m, і y = m, тобто. графік представляє сукупність нескінченної множини горизонтальних відрізків, з яких виключені їхні праві кінці. Наприклад, х * [-1; 0) * [x] = -1 * y = - 1; x * [0; 1) * [x] = 0 * y = 0.
Примітка.
1. Маємо приклад функції, що задається різними аналітичними виразами на різних ділянках.
2. Кружочками відзначені точки, що не належать до графіка.
Визначення 2.
Дробовою частиною дійсного числа х називається різниця х - [x]. Дробна частина числа х позначається символом (x).
приклад.
Обчислити (x), якщо х приймає значення: 2,37; -4; 3,14. . .; 5 .
Рішення
(2,37) = 0,37, т.к. (2,37) = 2,37 - [2,37] = 2,37 - 2 = 0,37.
, т.к.
(3,14 ...) = 0,14 ..., т.к. (3,14 ...) = 3,14 ... - [3,14 ...] = 3,14 ... -3 = 0,14 ...
(5) = 0, т.к. (5) = 5 - [5] = 5 - 5 = 0.
Властивості дрібної частини дійсного числа.
1*. ( x ) = x - [ x ]

2*. 0 (x) 3 *. ( x + m ) = ( x ), де m * Z
4*. (x) = x, якщо х * [0; 1)
5* Якщо (x) = а, a * [0; 1), то х = а + m, де m * Z
6*. (x) = 0, якщо х * Z.
Розглянемо приклади застосування поняття (x) у різних вправах.

приклад 1.
Розв'язати рівняння:
1.1 (x) = 0,1
1.2 (x) = -0,7
(x) = 2,5
(x + 3) = 3,2
(x) - (x) +
Рішення
За 5* рішенням буде безліч
х = 0,1 + m, m * Z
1.2 По 2* рівняння не має коріння, х * *
1.3 По 2* рівняння не має коріння, х * *
По 3* рівняння рівносильне рівнянню
(x) + 3 = 3,2 * (x) = 0,2 * x = 0,2 + m, m * Z
1.5 Рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь
Відповідь: х =
х =
приклад 2.
Вирішити нерівності:
2.1 (x) 0,4
2.2 (x) 0
( x + 4 )
(x) -0,7 (x) + 0,2 > 0
Рішення
2.1 По 5*: 0,4 + m x 2.2 По 1*: х * R
По 3* : (x ) + 4 По 5* : m 2.4 Так як ( x ) 0, то ( x ) - 1 > 0, отже, отримаємо 2 ( x ) + 1 2.5 Вирішимо відповідне квадратне рівняння:
(x) - 0,7 (x) + 0,2 = 0 * Дана нерівність рівносильна сукупності двох нерівностей:
Відповідь: (0,5 + m; 1 + m) (k; 0,2 + k),
m * Z , k * Z
приклад 3.
Побудувати графік функції y = (x)
Побудова.
1). ОФ: x * R
2). МЗФ: y * [0; 1)
3). Функція y = ( x ) періодична та її період
T = m, m * Z, т.к. якщо х * R, то (x+m) * R
і (x-m) * R, де m * Z і по 3 * (x + m) =
(x - m) = (x).
Найменший позитивний період дорівнює 1, т.к. якщо m> 0, то m = 1, 2, 3, . . . та найменше позитивне значення m = 1.
4). Оскільки y = ( x ) - періодична функція з періодом 1, досить побудувати її графік на якому-небудь проміжку, довжиною 1, наприклад, на проміжку [ 0 ; 1), тоді на проміжках, одержуваних зсувами обраного на m, m * Z, графік буде таким самим.
а). Нехай х * [0; 1), тоді (x) = x і y = x. Отримаємо, що у проміжку [ 0 ; 1) графік цієї функції представляє відрізок бісектриси першого координатного кута, з якого виключено правий кінець.

б). Скориставшись періодичністю, отримуємо безліч відрізків, що утворюють з віссю Ох кут в 45* , з яких виключений правий кінець.
Примітка.
Кружочками відзначені точки, що не належать до графіка.
приклад 4.
Розв'язати рівняння 17 [x] = 95 (x)
Рішення
Т.к. (x) * [0; 1), то 95 (x) * [0; 95), а, отже, і 17 [x] * [0; 95). Зі співвідношення
17 [x] * [0; 95) слід [x] *, тобто. [x] може дорівнювати 0, 1, 2, 3, 4, і 5.
З цього рівняння слід, що ( x ) = , тобто. з урахуванням отриманої множини значень для
[ x ] робимо висновок: ( x ), відповідно, може дорівнювати 0;
Оскільки потрібно знайти х, а х = [ x ] + ( x ), то отримуємо, що х може дорівнювати
0 ;
Відповідь:
Примітка.
Аналогічне рівняння пропонувалося у 1 турі крайової математичної олімпіади для десятикласників у 1996 році.
Приклад 5.
Побудувати графік функції y = [(x)].
Рішення
ООФ: х * R, т.к. (x) * [0; 1) , а ціла частина чисел із проміжку [0; 1) дорівнює нулю, то дана функція дорівнює Y = 0
y
0 x

Приклад 6.
Побудуйте на координатній площині безліч точок, що задовольняють рівняння (x) =
Рішення
Оскільки дане рівняння рівносильне рівнянню х = , m * Z по 5 *, то на координатній площині слід побудувати безліч вертикальних прямих х = + m, m * Z
y

0 x
Список літератури
Алгебра для 9 класу: Навч. посібник для учнів шкіл та класів з поглибл. вивченням математики/Н. Я. Віленкін та ін, за ред. М. Я. Віленкіна.- М. Просвітництво, 1995 р.
В. Н. Березін, І. Л. Микільська, Л. Ю. Березіна Збірник завдань для факультативних та позакласних занять з математики - М. 1985
А. П. Карп Даю уроки математики - М., 1982
Журнал "Квант", 1976 № 5
Журнал “Математика у шкільництві”: 1973 №1, №3; 1981 №1; 1982 №2; 1983 №1; 1984 №1; 1985 №3.

дні (місяць, роки) години (хвилини, секунди)

Вигляд роздільника між елементами дат визначається національними налаштуваннями операційної системи Windows. У російській версії для елементів дати це зазвичай точка (якщо використовувати при введенні значки “–“ або “/”, вони після натискання клавіші Enter також будуть перетворені в точки); для елементів часу – це двокрапка. Дні відокремлюються від годинника пробілом.

Основна одиниця часу в Excel – один день. Кожен день має порядковий номер, починаючи з 1, який відповідає 1 січня 1900 (початок відліку дат в Excel). Наприклад, 1 січня 2001р. зберігається як числа 36892, оскільки саме стільки днів минуло з січня 1900г. Описаний спосіб зберігання дат дозволяє їх обробляти точно так, як і звичайні числа, наприклад, знаходити дату, віддалену від будь-якої іншої дати на бажане число днів у майбутньому або минулому, знаходити проміжок часу між двома датами, тобто. реалізувати арифметику дат.

Формати дати дозволяють відображати їх, наприклад, в одному зі звичних видів: 1.01.98; 1.січ.98; 1.січ; січень 98 рокуі будуть описані пізніше. Потрібно сказати, що якщо вводити дані відразу як дати, то відповідний формат буде присвоєний автоматично. Так, введене в клітину значення 5.10.01 буде правильно сприйнято системою як 5 жовтня 2001р. При введенні дат допускається вказівка ​​двох останніх цифр року. У цьому випадку вони інтерпретуються таким чином, залежно від діапазону, в якому вони лежать:

00¸29- З 2000р по 2029р.; 30¸99- З 1930г по 1999р.

Допускається не вказувати за дати її року. І тут він вважається поточним роком (системним роком комп'ютера). Так, введення виду 5.10 встановить у клітці 5 жовтня поточного, наприклад 2004 року.

Час - це дрібна частина при дні-числі. Оскільки за добу 24 години, одна година відповідає 1/24, 12 годин – значенню 0,5 тощо. Аналогічно введення дати, введення часу можливе одразу у форматі часу. Наприклад, введення виду 10:15:28 буде відповідати 10 годин 15 хвилин 28 секунд 0 січня 1900, що в числовому форматі дорівнює 0,420138888888889. Арифметика дат, звісно, ​​підтримується і лише на рівні часу.

При вказівці часу можна ігнорувати секунди та хвилини. В останньому випадку після годинника слід обов'язково ввести двокрапку. Наприклад, якщо ми введемо символи 6: , у клітці виявимо 6:00 (Тобто 6 годин 0 хвилин). Можливе суміщення дати та часу, що відокремлюється пробілом. Так, введення 7.2.99 6:12:40 відповідає 7 лютого 1999р 6 годин 12 хвилин 40 секунд.

Існує швидкий спосіб введення поточних дат і часу, що зберігаються в комп'ютері, - це клавішні комбінації Ctrl+;і Ctrl+Shift+:відповідно.

ЛОГІЧНІ ДАНІмають одне із двох значень – ІСТИНАабо Брехня. Вони використовуються як індикатори наявності/відсутності будь-якої ознаки або події, а також можуть бути аргументами деяких функцій. У багатьох випадках замість цих значень можна використовувати цифри 1 чи 0 відповідно.

МАСИВИне є власне типом даних, лише утворюють організоване безліч клітин чи констант будь-якого типу. Excel розглядає масив (можливо містить безліч клітин) як єдиний елемент, якого в цілому можуть бути застосовані математичні операціїта операції відносин. Масив може містити як безліч клітин, але безліч констант, наприклад, вираз (7;-4;9) описує масив констант з трьох числових елементів. Пізніше ми повернемося до питання обробки масивів.

Створення формул

Сила електронних таблиць полягає у можливості поміщати в них не лише дані, а й формули.

Усі формули повинні починатися зі знака “=“ і можуть містити константи, знаки операцій, функції, адреси клітин (наприклад =5+4/35, =12%*D4, =12*А4-SIN(D3)^2).

В Excel допустимі такі оператори:

Арифметичні оператори(перераховані у порядку пріоритетів):

– інвертування (множення на мінус 1), ^ зведення в ступінь,

% операція відсотка, *, / множення, розподіл, +, – додавання, віднімання.

Операції виконуються ліворуч у порядку їх пріоритетів, які можуть бути змінені круглими дужками. Приклади формул:

формули у звичайному записі: клітинні формули:

=7+5^3/(6*8)

=A5/(C7-4)+(4+F4)/(8-D5)*2,4

2 + SinD32 =2+(SIN(D3))^2.

Примітки до знаку %.

Якщо ви введете в комірку число зі знаком %, його фактичне значення буде в 100 разів менше. Наприклад, якщо запроваджено 5%, запам'ятається число 0,05. Отже, вводиться відсоток, а зберігається коефіцієнт. Така дія еквівалентна встановленню процентного формату клітини для числа 0,05.

Введення відсотків у формулу (тобто у вираз, що починається зі знака одно) може мати сенс для надання наочності. Припустимо, вам потрібно отримати 5% від числа 200. Можна записати так = 0,05 * 200, а можна = 5% * 200 або = 200 * 5%. В обох випадках результат буде однаковим – 10. Знак відсотка може застосовуватись і до осередків, наприклад = E4%. Результатом буде одна сота частина вмісту Е4.

Текстовий оператор- &. Оператор використовується для зчеплення двох рядків на один. Так, наприклад, результатом застосування оператора зчеплення у формулі = "Петро"&" Кузнєцов" буде фраза "Петро Кузнєцов".

Оператори відносини:=, <, >, <=, >=, < >. Оператори можуть використовуватися як із числовими, так і текстовими даними. Сенс їх очевидний, крім, можливо, знаків < > . Вони означають ставлення нерівності.

За допомогою знаків відношення можна будувати формули виду = "F"> "D" і = 3>8.

Їх результатом у першому випадку з'явиться слово ІСТИНА, оскільки літера F за алфавітом йде після літери D (код літери F більший за код літери D). У другому випадку, з очевидних причин, – слово брехня.

Застосування таких формул практично здається малокорисним, проте це не так. Нехай, наприклад, потрібно з'ясувати факт того, що всі числа, що містяться в таблиці в клітинах A1, A2, A3 та A4, більші за нуль. Це можна зробити за допомогою простого виразу виду (дужки обов'язкові) = (A1> 0) * (A2> 0) * (A3> 0) * (A4> 0).

Якщо це справді так, результатом обчислень з'явиться

ІСТИНА * ІСТИНА * ІСТИНА * ІСТИНА = 1 * 1 * 1 * 1 = 1.

Оскільки в арифметичних операціях логічне значення ІСТИНА інтерпретується як 1, а БРЕХНЯ – як 0, тут ми отримаємо число 1. Інакше – 0. Надалі (всередині функції ЯКЩО()), ця обставина може бути правильно оброблена.

Інший приклад. З'ясувати факт того, що тільки одне з A1, A2, A3, A4 більше від нуля. Тут знадобиться вираз =(A1>0)+(A2>0)+(A3>0)+(A4>0).

Якщо, наприклад, тільки А2 більше нуля то = Брехня + ІСТИНА + Брехня + Брехня = 0 +1 +0 +0 = 1.

Якщо всі числа негативні, результатом буде 0. Якщо позитивних чисел більше одного, то результат буде більшим за 1 (від 2 до 4).

Зауваження.В Excel можливе порівняння між собою букв і чисел і прийнято, що буква завжди "більше" числа. Так, наприклад, значення клітини, що містить пробіл, буде більшим за будь-яке число. Якщо не звертати на це увагу, може виникнути помилка, що важко розпізнатися, оскільки клітина, що містить пробіл, виглядає так само, як і порожня клітина, значення якої вважається нульовим. Крім операторів, в Excel є безліч функцій, які є найважливішим обчислювальним інструментом електронних таблиць. Вони будуть розглянуті у розділі 4.

Посилання на комірки можуть вводитися безпосередньо з клавіатури, але можуть надійніше і швидше вказуватися мишею, яка використовується як указка. Тут гарантується правильне введення, оскільки користувач безпосередньо бачить (об'єкти, що виділяються, обрамляються пунктирною лінією, що біжить) і вибирає саме ті дані, які він хоче включити у вираз.

Покладемо нам потрібно ввести в комірку А1 формулу виду = А2 + D4 · С1. Тут (рис. 2.4-1) слід виконати такий ланцюжок дій:

Аналогічним чином можна включати формули посилання і на блоки. Припустимо, в А1 потрібно запровадити наступну (рис. 2.4-2) функцію підсумовування: = СУМ (А2: D8; E3). Назва функції вводиться російськими літерами, а адреси клітин, звісно, ​​латинськими.

На панелі інструментів Excel є спеціальні засоби, що полегшують введення формул. Вони доступні через піктограми Майстер функційі Автосумування(Для підсумовування).

Зважаючи на велику важливість, розглянемо зараз останню. Автосумування доступне через кнопку å на панелі інструментів. З її допомогою можна дуже просто реалізувати функцію підсумовування, практично не торкаючись клавіатури. Нехай (рядок 2 на рис. 2.4-3) нам потрібно обчислити в клітині G2 суму суміжних осередків області В2: F2. Для цього слід стати на комірку G2 і клацнути по кнопці підсумовування. Excel сам введе в G2 назву функції та її аргументи, а також виділить пунктирною лінією, що біжить, передбачувану область підсумовування, так що вам залишиться тільки натиснути кнопку Enter. Excel включає (обводить пунктиром, що біжить) в область підсумовування безперервний ділянку таблиці до першого нечислового значення вгору або вліво.

Нехай, G4 потрібно підсумувати дані з діапазону клітин B4: F4, серед яких є (поки) і порожні. Клацніть на кнопці å у клітині G4 створить функцію підсумовування лише клітин Е4:F4. Однак легко виправити положення відразу виділивши мишею потрібну область підсумовування B4: F4 і натиснувши Enter. Якщо до клітини, де обчислюється сума, зверху/ліворуч не примикає жодна клітина-кандидат на підсумовування (рядок 6 малюнку), кнопка автосумування введе лише ім'я функції. Тут слід зробити як і раніше – самим вказати мишею об'єкт підсумовування (тут В6: F6).

Обробка масивів.Формули, що використовують представлення даних як масивів, зазвичай вводяться в деякий блок відразу у всі його клітини. Наприклад, нехай у стовпці С (рис. 2.4-4) потрібно отримати добуток елементів стовпців А і В. Типовий спосіб - це введення в С1 формули виду = А1 * В1 з подальшим копіюванням вниз. Однак можна вчинити і інакше. Виділити область С1:С3 майбутнього твору, запровадити формулу =А1:А3*B1:B3 та натиснути клавіші Ctrl+Shift+Enter. Ви виявите, що у всіх клітинах області С1:С3 отримані відповідні попарні твори, а у рядку формул побачите однаковий для них вираз (=А1:А3*B1:B3).

Історія та визначення цілої та дробової частини числа

В епоху Середньовіччя жив один із найбільших англійських вчених чернець - францисканець Вільям Оккам. Він народився в Оккамі, англійському графстві Серрей, десь між 1285 і 1300 роками, навчався і викладав в Оксфорді, а потім у Парижі. Переслідуваний через своє вчення Оккам знайшов собі притулок при дворі ЛюдовікаIVБаварського в Мюнхені і, розсудливо не залишаючи його, прожив там аж до своєї смерті в 1349 році.

Оккама вважають одним із попередників великих мислителів Рене Декарта та Іммануїла Канта. Згідно з його філософськими поглядами, реальність є буттям конкретної речі, тому «марно робити з великим те, що можна робити з меншим». Цей вислів став основою принципу економії мислення. Вільям Оккам застосовував його з такою разючою силою, що він отримав згодом таку популярну зараз назву «бритви Оккама».

Для багатьох людей, які не знають математики, спільним місцемстали питання типу «Що ще можна відкрити у математиці?». Враховуючи математичну підготовленість запитувачів, можна припустити, що йдеться лише про математику шкільного рівня. Цілком у дусі Оккама ми пропонуємо запитувачам, і в першу чергу самим учням, деякі завдання, що варіюють добре знайомі поняття цілої і дробової частин числа. На цих завданнях ми покажемо, наскільки важливо розглядати не кожну задачу окремо, а з'єднувати їх у систему, розробляючи загальний алгоритм рішення. Такий методичний прийом диктує принцип економії мислення Оккама.

Визначення: Цілою частиною числа х називається найбільше ціле число с, що не перевищує х, тобто. якщо [х] = с,c ≤ x < c + 1.

Наприклад: = 2;

[-1,5] = -2.

Позначається ціла частина дійсного числа символом [x] або E(x).

Символ [x] був введений німецьким математиком К. Гауссом (1771-1855) в 1808 для позначення цілої частини числа x .

Функцію у = [х] називають функцією «Антьє» (фр. entier - цілий) та позначається E(x). Цей знак запропонував 1798 року французький математик А.Лежандр (1752-1833). За деякими значеннями функції можна збудувати її графік. Він виглядає так:

Найпростіші властивості функції y = [x]:

1. Область визначення функції y = [x] є множина всіх дійсних чисел R.

2. Область значень функції y = [x] є множина всіх цілих чисел Z.

3. Функція y = [x] шматково-постійна.

4. Функція y = [x] незнижена, тобто для будь-яких х 1 і х 2 з R таких,

що х 1 ≤ х 2 має місце нерівність [х 1] ≤ [х 2].

5. Для будь-якого цілого числа n та будь-якого дійсного числа x виконується рівність: = [x] + n.

6. Якщо х ─ неціле дійсне число, то справедлива наступна рівність [-x] = -[x] - 1.

7. Для будь-якого дійсного числа х вірне співвідношення

[x] ≤ x< [x] + 1,причём равенство [x] = x достигается тогда и только тогда, когда х ─ ціле число, тобто х Z.

Виникає питання: «Якщо є функція цілої частини числа, може, є функція дробової частини числа?»

Визначення: Дробова частина числа (позначається (х)) є різниця х - [х].

Наприклад: {3,7} = 0,7

{-2,4} = 0,6.

Побудуємо графік функції у = (х). Він виглядає так:

Найпростіші властивості функції y = (x):

1. Область визначення функції y = (x) є множина всіх дійсних чисел R.

2. Область значень функції y = (x) є напівінтервалом і у = (х) допоможе виконати деякі завдання.

ЗАВДАННЯ:

1) Побудувати графіки функцій:

а) y = [ х ] + 5;

б) у = (х) – 2;

в) у = | x]|.

2) Якими можуть бути числа х і у, якщо:

а) [х + у] = у;

б) [х – у] = х;

в) (х - у) = х;

г) (х + у) = у.

3) Що можна сказати про величину різниці х - у, якщо:

а) [х] = [у];

б) (х) = (у).

4) Що більше: [а] чи (а)?

2.1. Найпростіші рівняння

До найпростіших рівнянь відносяться рівняння виду [х] = а.

Рівняння такого виду вирішуються за визначенням:

а ≤ х< а +1 , где а - целое число.

Якщо а - дробове число, то таке рівняння не матиме коріння.

Розглянемо приклад рішення одного з таких рівнянь:

[х + 1,3] = - 5. За визначенням таке рівняння перетворюється на нерівність:

5 ≤ х + 1,3< - 4. Решим его. Получим -6,3 ≤ х < - 5,3.

Це і буде рішенням рівняння.

Відповідь: х [-6,3;-5,3).

Розглянемо ще одне рівняння, що відноситься до розряду найпростіших:

[х+1] + [х-2]-[х+3] = 2

Для вирішення рівнянь такого виду необхідно використовувати властивість функції цілого числа: Якщо р - ціле число, то справедлива рівність

[х ± р] = [х] ± р

Доказ: х = [х] + (х)

[[х] + (х) ± р] = [[х] + (х)] ± р

х = k+ а, де k= [х], а = (х)

[ k + a ± p ] = [ k + a ] ± p= [х] ± p.

Вирішимо запропоноване рівняння, використовуючи доведену властивість: Отримаємо [х] + 1 + [х] - 2 - [х] - 3 = 2. Наведемо подібні доданки і отримаємо найпростіше рівняння [х] = 6. Його рішенням є напівінтервал х = 1

Перетворимо рівняння на нерівність: 1 ≤ х 2 -5х+6< 2. Двойное неравенство запишем в форме системы неравенств:

х 2 - 5х + 6< 2,

х 2 - 5х + 6 ≥ 1 і вирішимо її;

х 2 - 5х + 4<0,

х 2 - 5х + 5>0

Отримуємо х (1;4)

х (-∞;(5 -
)/2]
[(5 +)/2; +∞),

х (1; (5 - )/2]
[(5 +)/2;4).

Відповідь: х (1; (5 - )/2]
[(5 +)/2;4).

ВИРІШІТЬ ПРОПОЗИЦІЇ РІВНЯННЯ САМОСТІЙНО:

1) = 1

2) = 0,487

3) [ x + 4] – [ x + 1] = 2

4) [х 2] = 4

5) [ x] 2 = 4

6) [ x + 1,3] = - 5

7) [х 2 – x + 4] = 2

8) = - 1

9) = 4,2

10) (x) - [x] + x = 0

11) x + (x) + [x] = 0

12) [4x - 5] = 7

2.2 Розв'язання рівнянь виду [ f ( x )]= g ( x )

Рівняння виду [ f(x)]= g(x) можна вирішити шляхом зведення їх до рівняння

[ x] = a.

Розглянемо приклад 1 .

Вирішити рівняння

Замінимо праву частину рівняння на нову зміннуaі висловимо звідсиx

11 a = 16 x + 16, 16 x = 11 a – 16,

Тоді
=
=

Тепер вирішимо рівняння
щодо змінноїа .

Розкриємо знак цілої частини за визначенням та запишемо за допомогою системи нерівностей:

З проміжку
виберемо всі цілі значенняa: 3;4;5;6;7 і проведемо зворотну заміну:

Відповідь:

приклад 2.

Вирішити рівняння:

Розділимо кожен доданок чисельника у дужці на знаменник:

І

з визначення цілої частини числа слід, що (а+1) має бути цілим, отже, і а – ціле.Числа а, (а+1), (а+2) - трипослідовні числа, отже одне з них обов'язково ділитьсяна 2, а одне - на 3. Отже, добуток чисел ділитьсянаціло на 6.

Тобтоціле число. Значить

Вирішимо це рівняння.

а(а+1)(а+2) - 6(а+1) = 0

(а+1)(а(а+2) - 6) = 0

а + 1 = 0 або а 2 + 2а - 6 = 0

а = -1 D = 28

a= -1 ±
(Не є цілими).

Відповідь: -1.

Розв'яжіть рівняння:

2.3. Графічний спосіб розв'язання рівнянь

приклад 1.[х] = 2(х)

Рішення. Вирішимо це рівняння графічно. Побудуємо графіки функцій у = [х] та у = 2(х). Знайдемо абсциси точок їхнього перетину.

Відповідь:х = 0; х = 1,5.

У деяких випадках зручніше за графіком знайти ординати точок перетину графіків. Потім підставити отримане значення в одне з рівнянь і знайти значення x.

Розв'яжіть рівняння графічно:

(х) = 1 - х; 6) [|х|] = х;

(х) + 1 = [х]; 7) [|х|] = х + 4;

3х; 8) [|х|] = 3|х| - 1;

3(х) = х; 9) 2(х) - 1 = [х] + 2;

5) (х) = 5х + 2; 10) Скільки рішень має

рівняння 2(х) = 1 - .

2.4. Розв'язання рівнянь запровадженням нової змінної.

Розглянемо перший приклад:

(х) 2 -8(Х) +7 = 0

Замінимо (х) на а, 0 а< 1, получим простое квадратное уравнение

а 2 - 8а + 7 = 0, яке вирішимо за теоремою, зворотною теоремою Вієта:Отримані коріння а = 7 та а = 1 . Проведемо зворотну заміну та отримаємодва нових рівняння: (х) = 7 і (х) = 1. Обидва ці рівняння не мають коріння.Отже, рівняння немає рішень.

Відповідь: рішень немає.

Розглянемо ще один випадок рішення рівняння запровадженням нової

змінної:

3[х] 3 + 2[х] 2 + 5[х]-10 = 0

Проведемо заміну [х] = а, аz. та отримаємо нове кубічне рівнянняЗа 3 +2а 2 +5а-10 = 0. Перший корінь цього рівняння знайдемо шляхом підбору:а = 1 - корінь рівняння. Ділимо наше рівняння на (а-1). Отримуємоквадратне рівняння 3а 2 + 5а +10 = 0. Це рівняння має негативнийдискримінант, отже, немає рішень. Тобто а=1 - єдинийкорінь рівняння. Проводимо зворотну заміну: [х] = а = 1. Отримане рівняння вирішуємо за визначенням цілої частини числа: х 2 + 8[х]-9 = 0

3(х-[х]) 2 + 2([х]-х)-16 = 0

[х] 4 -14[х] 2 +25 = 0

(2 (x)+1) 3 – (2(x)-1) 3 = 2

(х-[х]) 2 = 4

5[х] 2 -7[х]-6 = 0

6(х) 2 +(х)-1 =0

1/([х]-1) - 1/([х]+1) = 3-[х]

12(х) 3 -25(х) 2 +(х)+2 = 0

10) 10[х] 3 -11[х] 2 -31[х]-10 = 0

2.5. Системи рівнянь.

Розглянемо систему рівнянь:

2[ x] + 3[ y] = 8,

3[ x] – [ y] = 1.

Її можна вирішити або шляхом додавання, або підстановкою. Зупинимося першому способі.

2[ x] + 3[ y] = 8,

9[ x] – 3[ y] = 3.

Після складання двох рівнянь отримуємо 11x] = 11. Звідси

[ x] = 1. Підставимо це значення в перше рівняння системи та отримуємо

[ y] = 2.

[ x] = 1 та [ y] = 2 - рішення системи. Тобтоx= 18-y

18-x-y

3) 3[x] – 2(y) = 6

[x] 2 - 4(y) = 4

4) 3(x) – 4(y) = -6

6(x) – (y) 2 = 3.

3.1. Побудова графіків функції виду y = [ f ( x )]

Нехай є графік функції у =f(х). Щоб побудувати графік функції у = [f(x)], чинимо наступним чином:

Проводимо прямі у =n, nn, у =n + 1.

n, у =n+ 1 з графіком функції у =f(х). Ці точки належать графіку функції у = [f( x)], тому що їх ординати цілі числа (на малюнку це точки А, В, С,D).

Побудуємо графік функції у = [х]. Для цього

Проводимо прямі у =n, n= 0; -1; +1; -2; +2; … і розглядаємо одну зі смуг, утворених прямими у =n, у =n + 1.

Зазначаємо точки перетину прямих у =n, у =n+ 1 з графіком

функції у = [х]. Ці точки належать графіку функції у = [х],

тому що їх координати цілі числа.

Для отримання інших точок графіка функції у = [х] у зазначеній смузі частина графіка у = х, що потрапила в смугу, проектуємо паралельно осі у на пряму у =n, у =n+ 1. Оскільки будь-яка точка М цієї частини графіка функціїy = x, має таку ординатуy 0 , щоn < y 0 < n+ 1, то [y 0 ] = n

У кожній іншій смузі, де є точки графіка функції у = х, побудова проводиться аналогічно.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ

Побудуйте графіки функцій:

3.2. Побудова графіків функції виду y = f ([ x ])

Нехай дано графік деякої функції у =f(х). Побудова графіка функції у =f([х]) здійснюється наступним чином:

Для отримання інших точок графіка функції у =f([х]) у зазначеній смузі частина графіка функції у =f(х), що потрапила в цю смугу, проектуємо паралельно осі у на пряму у =f( n).

У кожній іншій смузі, де є точки графіка функції у =f(х), побудова ведеться аналогічно.

Розглянемо побудову графіка функції у =. І тому пунктиром побудуємо графік функції у = . Далі

числа.

3. У кожній іншій смузі, де є точки графіка функції у =, побудова ведеться аналогічно.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ

Побудуйте графіки функцій:

Назвемо основними нерівностями з [х] та (х) наступні співвідношення: [х] > bта (х) > b. Зручним способом їх вирішення є графічний метод. Пояснимо його на двох прикладах.

приклад 1.[х] ≥ b

Рішення. Введемо на розгляд дві функції у = [х] та у =bі накреслимо їх графіки на тому самому кресленні. Зрозуміло, що тоді слід розрізняти два випадки:b- ціле і b- Неціле.

Випадок 1. b- ціле

y=b (bZ)

y=b (b Z)

З малюнка видно, що графіки збігаються на [b; b + 1].

Отже, розв'язанням нерівності [х] ≥bбуде промінь х ≥ b.

Випадок 2 b- Неціле.

У цьому випадку графіки функцій у = [х] та у =bне перетинаються. Але частина графіка у = [х], що лежить вище за пряму, починається в точці з координатами ([b] + 1; [ b] + 1). Таким чином, розв'язанням нерівності [х] ≥bбуде промінь х ≥ [ b] + 1.

Інші види основних нерівностей досліджуються так само. Результати цих досліджень зведені нижче таблицю.

Безліч значень

[х]≥ b, bZ

x≥ b

[х] ≥b,

[х] >b, b- будь-яке

x≥ [b] + 1

[х]≤ b, b- будь-яке [х]< b, b- будь-яке будь-яке

х< [ b] + 1

[х]< b, bZ

х< b

{ х)≥ b, (х) >b, b≥ 1

Рішень немає

(х)≥ b, (х) >b, b < 0

(-∞; +∞)

(х)≥ b, (х)> b, 0 ≤ b< 1

n + b≤ x< 1 + n

n + b< x< 1 + n, nZ

{ х) ≤ b, (х)< b, b≥ 1

(-∞; +∞)

(х) ≤ b, (х)< b, b< 0

Рішень немає

(х) ≤ b, (х)< b, 0 ≤ b<1

n≤ x≤ b+ n

n< x≤ b+ n, nZ

Розглянемоприклад розв'язання нерівності:

Замінимо [x] на змінну а де а – ціле.

>1 ;
>0;
>0;
>0.

Використовуючи метод інтервалів, знаходимоa > -4 [ x] > -4

a< 1/3 [x]< 1/3.

Для вирішення отриманих нерівностей скористаємося складеною таблицею:

х ≥ -3,

х< 1. x [-3;1)

Відповідь:[-3;1) .

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ.

1) [х]< 2

2) [х]≤ 2

3) [х] > 2,3

4) [х] 2

5) [х] 2 -5[х]-6< 0

6) [х] 2 - 7[х] + 6 0

7) 30[х] 2 -121[х] + 80< 0

8) [х] 2 + 3[х]-4 0

9) 3(х) 2 -8(х)-4< 0

10) 110 [х] 2 -167[х] + 163 0

11)
> 2

12)
> 1

13)
0

14)
0

приклад 1.

Довести, що число
ділиться на 5 при будь-якому натуральномуn.

Доказ: Нехайn– парне число, тобто.n=2 m, деmN, Приклад 2. то (року).

Воронова О.М. Нерівності зі змінною під знаком цілої частини// Математика у шкільництві. 2002. №2. С.56-59.

Галкін Є.В. Нестандартні завдання з математики. Алгебра: Навч. посібник для учнів 7-11 кл. Челябінськ: "Погляд", 2004.

Додаткові розділи з курсу математики 10 класу для факультативних занять: Посібник учнів/ Упоряд. З.А. Скопець. М: Просвітництво, 1979.

Єровенко В.А., О.В.Михаськова О.В. Методологічний принцип Оккама з прикладу функцій цілої і дробової частин числа// Математика у шкільництві. 2003. №3. С.58-66.

7. Кірзімов В. Вирішення рівнянь і нерівностей, що містять цілу і

дробову частинучисла// Математика. 2002. №30. З. 26-28.

8. Шрайнер А.А. «Завдання районних математичних олімпіад

Новосибірській області». Новосибірськ 2000.

9. Довідник "Математика", Москва "АСТ-ПРЕС" 1997.

10. Райхміст Р.Б. Графіки функцій. Завдання та вправи». Москва.

"Школа - прес" 1997.

11. Мордкович А.Г., Семенов П.В. та ін. «Алгебра та початки аналізу. 10

клас. Частина 2. Задачник. Профільний рівень» Смоленськ

"Мнемозина" 2007.

Цілі уроку:познайомити учнів із поняттям цілої та дробової частини числа; сформулювати та довести деякі властивості цілої частини числа; познайомити учнів із широким спектром застосування цілої та дробової частини числа; удосконалювати вміння вирішувати рівняння та системи рівнянь, що містять цілу та дробову частини числа.

Обладнання:плакат "Хто змолоду робить і думає сам, той і стає потім надійніше, міцніше, розумніше" (В. Шукшин).
Проектор, магнітна дошка, довідник з алгебри.

План уроку.

1. Організаційний момент.
2. Перевірка домашнього завдання.
3. Вивчення нового матеріалу.
4. Розв'язання задач на тему.
5. Підсумки уроку.
6. Домашнє завдання.

Хід уроку

I. Організаційний момент:повідомлення теми уроку; постановка мети уроку; повідомлення етапів уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Відповісти на запитання учнів з домашнього завдання. Розв'язати завдання, що викликали труднощі під час домашньої роботи.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

У багатьох завданнях алгебри доводиться розглядати найбільше ціле число, що не перевищує цього числа. Таке ціле число отримало спеціальну назву ціла частина числа.

1. Визначення.

Цілою частиною дійсного числа х називається найбільше ціле число, що не перевищує х. Ціла частина числа х позначається символом [x] або Е(х) (від французького Entier "ант'є" - "цілий"). Наприклад, = 5, [π] = 3,

З визначення випливає, що [x] ≤ х, оскільки ціла частина не перевищує х.

З іншого боку, т.к. [x] – найбільше ціле число, що задовольняє нерівності, то [x] +1> x. Таким чином, [x] є ціле число, що визначається нерівностями [x] ≤ х< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.

Число α = υ ─ [x] називають дрібною частиною числа х і позначають (х). Тоді маємо: 0 ≤ (х)<1 и следовательно, х = [x] + {х}.

2. Деякі властивості антьє.

1. Якщо Z – ціле число, то = [x] + Z.

2. Для будь-яких дійсних чисел х та у: ≥ [x] + [у].

Доказ: оскільки х = [x] + (х), 0 ≤ (х)<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.

Якщо 0 ≤ α<1. ς о = [x] + [у].

Якщо 1≤ α<2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и

= [x] + [у] +1> [x] + [у].

Ця властивість поширюється на будь-яку кінцеву кількість доданків:

≥ + + + … + .

Вміння знаходити цілу частину величини дуже важливо у наближених обчисленнях. Справді, якщо ми вміємо знаходити цілу частину величини х, то, прийнявши [x] або [x]+1 за наближене значення величини х, ми зробимо похибку, величина якої не більше одиниці, оскільки

≤ х – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.

Більше того, значення цілої частини величини дозволяє визначити її значення з точністю до 0,5. За таке значення можна взяти [x]+0,5.

Вміння знаходити цілу частину числа дозволяє визначити це число з будь-яким ступенем точності. Справді, оскільки

≤ Nx ≤ +1, то

При більшому N помилка буде мала.

IV. Вирішення задач.

(Вони виходять при вилученні коренів з точністю до 0,1 з нестачею та надлишком). Склавши ці нерівності, отримаємо

1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.

Тобто. 3,1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.

Зауважимо, що число 3,25 відрізняється від х не більше ніж 0,15.

Завдання 2.Знайти найменше натуральне число m, для якого

Перевірка показує, що при k = 1 і при k = 2 отримана нерівність, не виконується для жодного натурального m, а при до = 3 має рішення m = 1.

Отже, шукане число дорівнює 11.

Відповідь: 11.

Антьє у рівняннях.

Рішення рівнянь зі змінною під знаком "цілої частини" зазвичай зводиться до розв'язання нерівностей або систем нерівностей.

Завдання 3.Вирішити рівняння:

Завдання 4.Вирішити рівняння

За визначенням цілої частини отримане рівняння рівносильне подвійній нерівності

Завдання 5.Вирішити рівняння

Рішення: якщо два числа мають однакову цілу частину, то їхня різниця по абсолютній величині менше 1, і тому з цього рівняння випливає нерівність

І тому, по-перше, x≥ 0 , а по-друге, у сумі, що стоїть у середині отриманої подвійної нерівності, всі доданки, починаючи з третьої, дорівнюють 0, так що x < 7 .

Оскільки х – ціле число, залишається перевірити значення від 0 до 6. Рішеннями рівняння виявляються числа 0,4 і 5.

в) виставлення відміток.

VI. Домашнє завдання.

Додаткове завдання (за бажанням).

Хтось виміряв довжину та ширину прямокутника. Він помножив цілу частину довжини цілу частину ширини і отримав 48; помножив цілу частину довжини на дробову частину ширини та отримав 3,2; помножив дрібну частину довжини на цілу частину ширини і отримав 1,5. Визначте площу прямокутника.