- — [] Квадратна функція Функція виду y = ax2 + bx + c (a ? 0). Графік К.Ф. — парабола, вершина якої має координати [b/2a, (b2 4ac) /4a], при а>0 гілки параболи…

КВАДРАТИЧНА ФУНКЦІЯ, математична ФУНКЦІЯ, значення якої залежить від квадрата незалежної змінної, х, і задається, відповідно, квадратичним МНОГОЧЛЕНОМ, наприклад: f(x) = 4х2 + 17 або f(x) = х2 + 3х + 2. див. також КВАДРАТНЕ РІВНЯННЯ … Науково-технічний енциклопедичний словник

Квадратична функція- Квадратична функція - функція виду y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Графік К.Ф. — парабола, вершина якої має координати [b/2a, (b2 4ac) /4a], при а> 0 гілки параболи спрямовані вгору, при a< 0 –вниз… …

- (quadratic) Функція, що має наступний вигляд: у=ах2+bх+с, де a≠0 і найвищий ступіньх – квадрат. Квадратне рівняння у=ах2 +bх+с=0 може бути вирішене з використанням наступної формули: х= –b+ √ (b2–4ac) /2а. Це коріння є дійсним … Економічний словник

Афінно квадратичною функцією на афінному просторі S називається будь-яка функція Q: S→K, що має у векторизованій формі вигляд Q(x)=q(x)+l(x)+c, де q квадратична функція, l лінійна функція, з константа. Зміст 1 Перенесення початку відліку 2… … Вікіпедія

Афінно квадратичною функцією на афінному просторі називається будь-яка функція, що має у векторизованій формі вигляд, де симетрична матриця, лінійна функція, константа. Зміст … Вікіпедія

Функція на векторному просторі, що задається однорідним багаточленом другого ступеня координат вектора. Зміст 1 Визначення 2 Вікіпедія

- функція, яка в теорії статистичних рішень характеризує втрати при неправильному прийнятті рішень на основі даних, що спостерігаються. Якщо вирішується завдання оцінки параметра сигналу на тлі перешкод, то функція втрат є мірою розбіжності.

цільова функція- - [Я.Н.Лугинський, М.С.Фезі Жилінська, Ю.С.Кабіров. Англо-російський словник з електротехніки та електроенергетики, Москва, 1999 р.] Цільова функція В екстремальних завданнях - функція, мінімум або максимум якої потрібно знайти. Це… … Довідник технічного перекладача

Цільова функція- в екстремальних завданнях функція, мінімум чи максимум якої потрібно знайти. Це є ключовим поняттям оптимального програмування. Знайшовши екстремум Ц.Ф. і, отже, визначивши значення керованих змінних, які щодо нього… … Економіко-математичний словник

Книги

• Набір таблиць. Математика. Графіки функцій (10 таблиць), . Навчальний альбом із 10 аркушів.
• Лінійна функція. Графічне та аналітичне завдання функцій. Квадратична функція. Перетворення графіка квадратичної функції. Функція y=sinx. Функція y=cosx. Найважливіша функція шкільної математики – квадратична – у завданнях та рішеннях, Петров Н.Н.. Квадратична функція є основною функцією шкільного курсу математики. Це не дивно. З одного боку - простота цієї функції, з другого -глибокий зміст

. Багато завдань…
Квадратичною функцією називається функція виду:
y=a*(x^2)+b*x+c,
де а - коефіцієнт при старшому ступені невідомої х,
b - коефіцієнт при невідомій х,
а з – вільний член.

Графіком квадратичної функції є крива, яка називається параболою. Загальний вигляд параболи представлений малюнку нижче.

Рис.1 Загальний вид параболи. є декількарізних способів

побудови графіка квадратичної функції. Ми розглянемо основний і найзагальніший із них.

Алгоритм побудови графіка квадратичної функції y=a*(x^2)+b*x+c

1. Побудувати систему координат, відзначити одиничний відрізок та підписати координатні осі.
2. Визначити напрямок гілок параболи (вгору чи вниз).

І тому треба подивитися на знак коефіцієнта a. Якщо плюс - то гілки спрямовані вгору, якщо мінус - гілки спрямовані вниз.
3. Визначити координату x вершини параболи.

Для цього необхідно використовувати формулу Хвершини = -b/2*a.
4. Визначити координату у вершини параболи.

Для цього підставити до рівняння Вершини = a*(x^2)+b*x+c замість х, знайдене у попередньому кроці значення Хвершини.

5. Нанести отриману точку на графік та провести через неї вісь симетрії, паралельно координатній осі Оу.
6. Знайти точки перетину графіка із віссю Ох. Для цього потрібно вирішитиквадратне рівняння a*(x^2)+b*x+c = 0 одним звідомих способів

. Якщо рівняння немає речових коренів, то графік функції не перетинає вісь Ох.
7. Знайти координати точки перетину графіка із віссю Оу.

Для цього підставляємо рівняння значення х = 0 і обчислюємо значення у. Зазначаємо цю та симетричну їй точку на графіку.
Для цього вибираємо довільне значення координати х і підставляємо його в наше рівняння. Отримуємо значення у цій точці. Нанести крапку на графік. А також відзначити на графіку точку, симетричну точці А (х, у).

9. З'єднати отримані точки на графіку плавною лінією та продовжити графік за крайні точки, до кінця координатної осі. Підписати графік або на виносці, або, якщо дозволяє місце, уздовж графіка.

Приклад побудови графіка

Як приклад, побудуємо графік квадратичної функції, заданої рівнянням y=x^2+4*x-1
1. Малюємо координатні осі, підписуємо їх та відзначаємо одиничний відрізок.
2. Значення коефіцієнтів а = 1, b = 4, c = -1. Так як а = 1, що більше за нуль гілки параболи спрямовані вгору.
3. Визначаємо координату Х вершини параболи Хвершини = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Визначаємо координату У вершини параболи
Увершини = a * (x ^ 2) + b * x + c = 1 * ((-2) ^ 2) + 4 * (-2) - 1 = -5.
5. Відзначаємо вершину та проводимо вісь симетрії.
6. Знаходимо точки перетину графіка квадратичної функції із віссю Ох. Вирішуємо квадратне рівняння x^2+4*x-1=0.
х1=-2-√3 х2 = -2+√3. Зазначаємо отримані значення на графіку.
7. Знаходимо точки перетину графіка із віссю Оу.
х = 0; у=-1
8. Вибираємо довільну точку B. Нехай має координату х=1.
Тоді у = (1) ^ 2 + 4 * (1) -1 = 4.
9. З'єднуємо отримані точки та підписуємо графік.

Що таке парабола знають, мабуть, усі. А ось як її правильно, грамотно використовувати під час вирішення різних практичних завдань, розберемося нижче.

Спочатку позначимо основні поняття, що дає цьому терміну алгебра та геометрія. Розглянемо усі можливі види цього графіка.

Дізнаємося всі основні характеристики цієї функції. Зрозуміємо основи побудови кривої (геометрія). Навчимося знаходити вершину, інші основні величини графіка цього типу.

Дізнаємося: як правильно будується крива за рівнянням, на що треба звернути увагу. Подивимося головне практичне застосуванняцієї унікальної величини у житті людини.

Що таке парабола і як вона виглядає

Алгебра: під цим терміном розуміється графік квадратичної функції.

Геометрія: це крива другого порядку, що має низку певних особливостей:

Канонічне рівняння параболи

На малюнку зображено прямокутну систему координат (XOY), екстремум, напрямок гілок креслення функції вздовж осі абсцис.

Канонічне рівняння має вигляд:

y 2 = 2 * p * x,

де коефіцієнт p – фокальний параметр параболи (AF).

В алгебрі воно запишеться інакше:

y = a x 2 + b x + c (відомий шаблон: y = x 2).

Властивості та графік квадратичної функції

Функція має віссю симетрії та центром (екстремум). Область визначення – всі значення осі абсцис.

Область значень функції – (-∞, М) або (М, +∞) залежить від напрямку гілок кривої. Параметр М тут означає величину функції вершині лінії.

Як визначити, куди спрямовані гілки параболи

Щоб знайти напрямок кривої такого типу з виразу, потрібно визначити знак перед першим параметром виразу алгебри. Якщо а 0 0, то вони спрямовані вгору. Якщо навпаки – вниз.

Як знайти вершину параболи за формулою

Знаходження екстремуму є основним етапом під час вирішення безлічі практичних завдань. Звичайно, можна відкрити спеціальні онлайн калькуляториАле краще це вміти робити самому.

Як її визначити? Є спеціальна формула. Коли b дорівнює 0, треба шукати координати цієї точки.

Формули знаходження вершини:

• x 0 = -b/(2*a);
• y0 = y(x0).

приклад.

Є функція у = 4 * x 2 + 16 * x - 25. Знайдемо вершини цієї функції.

Для такої лінії:

• х = -16 / (2 * 4) = -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Отримуємо координати вершини (-2, -41).

Зміщення параболи

Класичний випадок, коли у квадратичній функції y = a x 2 + b x + c, другий та третій параметри дорівнюють 0, а = 1 – вершина знаходиться в точці (0; 0).

Рух осями абсцис або ординат обумовлено зміною параметрів b і c відповідно.Зсув лінії на площині буде здійснюватися рівно на кількість одиниць, чому дорівнює значення параметра.

приклад.

Маємо: b=2, c=3.

Це означає, що класичний вид кривої зрушить на 2 одиничних відрізкапо осі абсцис і на 3 - по осі ординат.

Як будувати параболу за квадратним рівнянням

Школярам важливо засвоїти, як правильно накреслити параболу за заданими параметрами.

Аналізуючи вирази та рівняння, можна побачити наступне:

1. Точка перетину шуканої лінії з вектором ординат матиме значення, що дорівнює величині с.
2. Всі точки графіка (осі абсцис) будуть симетричні щодо основного екстремуму функції.

Крім того, місця перетину з ОХ можна знайти, знаючи дискримінант (D) такої функції:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Для цього потрібно прирівняти вираз до нуля.

Наявність коренів параболи залежить від результату:

• D 0 , то х 1,2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D = 0, то х 1, 2 = -b/(2*a);
• D 0 0, то немає точок перетину з вектором ОХ.

Отримуємо алгоритм побудови параболи:

• визначити напрямок гілок;
• знайти координати вершини;
• знайти перетин з віссю ординат;
• знайти перетин з віссю абсцис.

приклад 1.

Дана функція у = х 2 - 5 * х + 4. Необхідно побудувати параболу. Діємо за алгоритмом:

1. а = 1, отже, гілки спрямовані нагору;
2. координати екстремуму: х = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. з віссю ординат перетинається у значенні у = 4;
4. знайдемо дискримінант: D = 25 – 16 = 9;
5. шукаємо коріння:

• Х 1 = (5 + 3)/2 = 4; (4, 0);
• Х 2 = (5 – 3) / 2 = 1; (1, 0).

приклад 2.

Для функції у = 3 * х 2 - 2 * х - 1 потрібно побудувати параболу. Діємо за наведеним алгоритмом:

1. а = 3, отже, гілки спрямовані нагору;
2. координати екстремуму: х = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. з віссю у перетинатиметься у значенні у = -1;
4. знайдемо дискримінант: D = 4 + 12 = 16. Значить коріння:

• Х 1 = (2 + 4)/6 = 1; (1; 0);
• Х 2 = (2 – 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

За отриманими точками можна побудувати параболу.

Директриса, ексцентриситет, фокус параболи

З канонічного рівняння, фокус F має координати (p/2, 0).

Пряма АВ - директриса (свого роду хорда параболи певної довжини). Її рівняння: х = -р/2.

Ексцентриситет (константа) = 1.

Висновок

Ми розглянули тему, яку вивчають школярі у середній школі. Тепер ви знаєте, дивлячись на квадратичну функцію параболи, як знайти її вершину, в яку сторону будуть направлені гілки, чи є зміщення по осях, і, маючи алгоритм побудови, зможете накреслити її графік.

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор за найкориснішими ресурсами для

Щоб зрозуміти, що тут буде написано, тобі потрібно добре знати, що таке квадратична функція, і з чим її їдять. Якщо ти вважаєш себе профі щодо квадратичних функцій, ласкаво просимо. Але якщо ні, тобі варто прочитати тему.

Почнемо з невеликої перевірки:

1. Як виглядає квадратична функція у загальному вигляді (формула)?
2. Як називається графік квадратичної функції?
3. Як впливає старший коефіцієнт графік квадратичної функції?

Якщо ти одразу зміг відповісти на ці питання, продовжуй читати. Якщо хоч одне питання викликало труднощі, перейди .

Отже, ти вже вмієш поводитися з квадратичною функцією, аналізувати її графік та будувати графік за точками.

Ну що ж, ось вона: .

Давай коротко згадаємо, що роблять коефіцієнти.

1. Старший коефіцієнт відповідає за «крутість» параболи, або, по-іншому, за її ширину: чим більше, тим парабола вже (крутіше), а чим менше, тим парабола ширше (полога).
2. Вільний член – це координата перетину параболи з віссю ординат.
3. А коефіцієнт якимось чином відповідає за усунення параболи від центру координат. Ось про це зараз докладніше.

З чого ми починаємо будувати параболу? Яка має відмінна точка?

Це вершина. А як знайти координати вершини, пам'ятаєш?

Абсцис шукається за такою формулою:

Ось так: чим більше, тим ліворучзміщується вершина параболи.

Ординату вершини можна знайти, підставивши у функцію:

Підстав сам і порахуй. Що вийшло?

Якщо зробити все правильно і максимально спростити отриманий вираз, вийде:

Виходить, що чим більше за модулем, тим вищебуде вершинапараболи.

Перейдемо нарешті до побудови графіка.
Найпростіший спосіб – будувати параболу, починаючи з вершини.

Приклад:

Побудувати графік функції.

Рішення:

Спочатку визначимо коефіцієнти: .

Тепер обчислимо координати вершини:

А тепер згадуємо: усі параболи з однаковим старшим коефіцієнтом виглядають однаково. Значить, якщо ми побудуємо параболу і перемістимо її вершиною в точку, вийде потрібний графік:

Просто, правда?

Залишається лише одне питання: як швидко малювати параболу? Навіть якщо ми малюємо параболу з вершиною на початку координат, все одно доводиться будувати її за точками, а це довго й незручно. Адже всі параболи виглядають однаково, може, є спосіб прискорити їхнє малювання?

Коли я навчався у школі, вчителька математики сказала всім вирізати з картону трафарет у формі параболи, щоб швидко її креслити. Але з трафаретом скрізь ходити не вийде, та й на іспит його взяти не дозволять. Значить, не користуватимемося сторонніми предметами, а шукатимемо закономірність.

Розглянемо найпростішу параболу. Побудуємо її за точками:

Закономірність тут така. Якщо з вершини зміститися вправо (вздовж осі) на, і вгору (вздовж осі) на то потрапимо в точку параболи. Далі: якщо з цієї точки зміститися вправо і вгору, знову потрапимо в точку параболи. Далі: праворуч і нагору. Далі що? Праворуч і вгору. І так далі: зміщуємося на право, і на наступне непарне число вгору. Те саме потім проробляємо з лівою гілкою (адже парабола симетрична, тобто її гілки виглядають однаково):

Відмінно, це допоможе побудувати з вершини будь-яку параболу зі старшим рівним коефіцієнтом. Наприклад, нам стало відомо, що вершина параболи знаходиться у точці. Побудуй (самостійно, на папері) цю параболу.

Збудував?

Повинно вийти так:

Тепер з'єднуємо отримані точки:

От і все.

ОК, ну що ж, тепер будувати лише параболи з?

Звичайно, ні. Зараз розберемося, що з ними робити, якщо.

Розглянемо кілька типових випадків.

Добре, параболу малювати навчилися, давай тепер потренуємося на реальних функціях.

Отже, намалюй графіки таких функцій:

Відповіді:

3. Вершина: .

Пам'ятаєш, що робити, якщо старший коефіцієнт менший?

Дивимося на знаменник дробу: він дорівнює. Отже, рухатимемося так:

• вправо - вгору
• вправо - вгору
• вправо - вгору

і так само вліво:

4. Вершина: .

Ой, а що з цим робити? Як відміряти клітини, якщо вершина десь між лініями?

А ми схитруємо. Намалюємо спочатку параболу, а вже потім перемістимо її вершиною в крапку. Навіть ні, зробимо ще хитрішим: Намалюємо параболу, а потім перемістимо осі:- на вниз, а - на праворуч:

Цей прийом дуже зручний у разі будь-якої параболи, запам'ятай його.

Нагадаю, що ми можемо уявити функцію в такому вигляді:

Наприклад: .

Що нам це дає?

Справа в тому, що число, яке віднімається від дужок () - це абсцис вершини параболи, а доданок за дужками () - ордината вершини.

Це означає, що, збудувавши параболу, потрібно буде просто змістити вісь наліво і вісь на вниз.

Приклад: збудуємо графік функції.

Виділимо повний квадрат:

Яке число віднімаєтьсяз у дужках? Це (а не як можна вирішити не подумавши).

Отже, будуємо параболу:

Тепер зміщуємо вісь на вниз, тобто на вгору:

А тепер - наліво, тобто направо:

От і все. Це те саме, як перемістити параболу вершиною з початку координат в точку, тільки прямі вісь рухати набагато легше, ніж криву параболу.

Тепер, як завжди, сам:

І не забувай прати гумкою старі осі!

Я як відповідейдля перевірки напишу тобі ординати вершин цих парабол:

Все зійшлося?

Якщо так, то ти молодець! Вміти поводитися з параболою – дуже важливо та корисно, і тут ми з'ясували, що це зовсім не важко.

ПОБУДУВАННЯ ГРАФІКА КВАДРАТИЧНОЇ ФУНКЦІЇ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратична функція- функція виду, де, і - будь-які числа (коефіцієнти), - вільний член.

Графік квадратичної функції-парабола.

Вершина параболи:
, тобто. чим більше \displaystyle b тим лівіше зміщується вершина параболи.
Підставляємо у функцію, і отримуємо:
, тобто. чим \displaystyle b більше за модулем , тим вище буде вершина параболи

Вільний член – це координата перетину параболи з віссю ординат.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали гарна освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Багато завдань потрібно обчислити максимальне чи мінімальне значення квадратичної функції. Максимум або мінімум можна знайти, якщо вихідна функція записана у стандартному вигляді: або через координати вершини параболи: f(x) = a(x−h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). Більше того, максимум або мінімум будь-якої квадратичної функції можна обчислити за допомогою математичних операцій.

Кроки

Квадратична функція записана у стандартному вигляді

Запишіть функцію у стандартному вигляді.Квадратична функція - це функція, рівняння якої включає змінну x 2 (\displaystyle x^(2)). Рівняння може містити або не містити змінну x (\displaystyle x). Якщо рівняння включає змінну з показником ступеня більше ніж 2, воно не описує квадратичну функцію. Якщо потрібно, наведіть подібні члени та переставте їх, щоб записати функцію у стандартному вигляді.

• Наприклад, дана функція f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Складіть члени зі змінною x 2 (\displaystyle x^(2))та члени зі змінною x (\displaystyle x), щоб записати рівняння у стандартному вигляді:
  • f(x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Графік квадратичної функції є параболою. Гілки параболи спрямовані вгору чи вниз. Якщо коефіцієнт a (\displaystyle a)при змінній x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f(x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Тут a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Тут тому парабола спрямована вниз.
   • f(x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Тут a = 1 (\displaystyle a=1)тому парабола спрямована вгору.
   • Якщо парабола спрямована нагору, потрібно шукати її мінімум. Якщо парабола спрямована донизу, шукайте її максимум.

2. Обчисліть -b/2a.Значення − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))– це координата x (\displaystyle x)вершини параболи. Якщо квадратична функція записується у стандартному вигляді a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), скористайтесь коефіцієнтами при x (\displaystyle x)і x 2 (\displaystyle x^(2))наступним чином:

   • У функції коефіцієнти a = 1 (\displaystyle a=1)і b = 10 (\displaystyle b = 10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Як другий приклад розглянемо функцію. Тут a = − 3 (\displaystyle a=-3)і b = 6 (\displaystyle b = 6). Тому координату «x» вершини параболи обчисліть так:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x = 1)

3. Знайдіть відповідне значення f(x).Підставте знайдене значення x у вихідну функцію, щоб знайти відповідне значення f(x). Так ви знайдете мінімум чи максимум функції.

   • У першому прикладі f(x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)ви вирахували, що координата «х» вершини параболи дорівнює x = − 5 (\displaystyle x=-5). У вихідній функції замість x (\displaystyle x)підставте − 5 (\displaystyle -5)
     • f(x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (−5) 2 + 10 (−5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f(x) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f(x) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • У другому прикладі f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)ви знайшли, що координата «х» вершини параболи дорівнює x = 1 (\displaystyle x = 1). У вихідній функції замість x (\displaystyle x)підставте 1 (\displaystyle 1), щоб знайти її максимальне значення:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f(x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f(x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Запишіть відповідь.Перечитайте умову завдання. Якщо потрібно знайти координати вершини параболи, у відповіді запишіть обидва значення x (\displaystyle x)і y (\displaystyle y)(або f(x) (\displaystyle f(x))). Якщо необхідно визначити максимум або мінімум функції, у відповіді запишіть тільки значення y (\displaystyle y)(або f(x) (\displaystyle f(x))). Ще раз подивіться на знак коефіцієнта a (\displaystyle a), щоб перевірити, що ви вирахували: максимум або мінімум.

   • У першому прикладі f(x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)значення a (\displaystyle a)позитивний, тому ви обчислили мінімум. Вершина параболи лежить у точці з координатами (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26)), а мінімальне значення функції дорівнює − 26 (\displaystyle -26).
   • У другому прикладі f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)значення a (\displaystyle a)негативний, тому ви знайшли максимум. Вершина параболи лежить у точці з координатами (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), а максимальне значення функції дорівнює − 1 (\displaystyle -1).

5. Визначте напрямок параболи.Для цього подивіться на знак коефіцієнта a (\displaystyle a). Якщо коефіцієнт a (\displaystyle a)позитивний, парабола спрямована нагору. Якщо коефіцієнт a (\displaystyle a)негативний, парабола спрямована вниз. Наприклад:

   • . Тут a = 2 (\displaystyle a=2)тобто коефіцієнт позитивний, тому парабола спрямована вгору.
   • . Тут a = − 3 (\displaystyle a=-3)тобто коефіцієнт негативний, тому парабола спрямована вниз.
   • Якщо парабола спрямована нагору, потрібно обчислити мінімальне значення функції. Якщо парабола спрямована донизу, необхідно знайти максимальне значення функції.

6. Знайдіть мінімальне або максимальне значення функції.Якщо функція записана через координати вершини параболи, мінімум чи максимум дорівнює значенню коефіцієнта k (\displaystyle k). У наведених вище прикладах:

   • f(x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Тут k = − 4 (\displaystyle k=-4). Це мінімальне значення функції, тому що парабола спрямована нагору.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Тут k = 2 (\displaystyle k=2). Це максимальне значення функції, тому що парабола спрямована вниз.

7. Знайдіть координати вершини параболи.Якщо завдання потрібно знайти вершину параболи, її координати рівні (h, k) (\displaystyle (h,k)). Зверніть увагу, коли квадратична функція записана через координати вершини параболи, у дужки має бути укладена операція віднімання (x − h) (\displaystyle (x-h))тому значення h (\displaystyle h)береться із протилежним знаком.

   • f(x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Тут у дужки укладено операцію додавання (x+1), яку можна переписати так: (x-(-1)). Таким чином, h = − 1 (\displaystyle h=-1). Тому координати вершини параболи цієї функції рівні (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Тут у дужках знаходиться вираз (x-2). Отже, h = 2 (\displaystyle h = 2). Координати вершини дорівнюють (2,2).

Як обчислити мінімум чи максимум за допомогою математичних операцій

1. Спочатку розглянемо стандартний вид рівняння.Запишіть квадратичну функцію у стандартному вигляді: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Якщо потрібно, наведіть таких членів і переставте їх, щоб отримати стандартне рівняння.

   • Наприклад: .

2. Знайдіть першу похідну.Перша похідна квадратичної функції, яка записана у стандартному вигляді, дорівнює f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f(x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Перша похідна цієї функції обчислюється так:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Похідну прирівняйте до нуля.Нагадаємо, що похідна функції дорівнює кутовому коефіцієнту функції у певній точці. У мінімумі чи максимумі кутовий коефіцієнт дорівнює нулю. Тому, щоб знайти мінімальне чи максимальне значення функції, похідну потрібно прирівняти до нуля. У прикладі.