Як знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку?

Для цього ми слідуємо відомому алгоритму:

1 . Знаходимо ОДЗ функції.

2 . Знаходимо похідну функції

3 . Прирівнюємо похідну до нуля

4 . Знаходимо проміжки, на яких похідна зберігає знак, і за ними визначаємо проміжки зростання та зменшення функції:

Якщо на проміжку I похідна функції 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} зростає у цьому проміжку.

Якщо на проміжку I похідна функції, то функція зменшується у цьому проміжку.

5 . Знаходимо точки максимуму та мінімуму функції.

У точці максимуму функції похідна змінює знак з "+" на "-".

У точці мінімуму функціїпохідна змінює знак з "-" на "+".

6 . Знаходимо значення функції в кінцях відрізка,

• потім порівнюємо значення функції в кінцях відрізка і в точках максимуму, і вибираємо з них найбільше, якщо потрібно знайти найбільше значення функції
• або порівнюємо значення функції в кінцях відрізка і в точках мінімуму, та вибираємо з них найменше, якщо потрібно знайти найменше значенняфункції

Однак, залежно від того, як поводиться функція на відрізку, цей алгоритм можна значно скоротити.

Розглянемо функцію . Графік цієї функції виглядає так:

Розглянемо кілька прикладів вирішення завдань з Відкритого банку завдань для

1 . Завдання B15 (№ 26695)

На відрізку.

1. Функція визначена при всіх дійсних значеннях

Вочевидь, що це рівнянь немає рішень, і похідна за всіх значеннях х позитивна. Отже, функція зростає і набуває найбільшого значення правому кінці проміжку, тобто при х=0.

Відповідь: 5.

2 . Завдання B15 (№ 26702)

Знайдіть найбільше значення функції на відрізку.

1. ОДЗ функції title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Похідна дорівнює нулю при , однак, у цих точках вона не змінює знак:

Отже, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} зростає та приймає найбільше значення у правому кінці проміжку, при .

Щоб стало очевидно, чому похідна не змінює знак, перетворюємо вираз для похідної наступним чином:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Відповідь: 5.

3 . Завдання B15 (№ 26708)

Знайдіть найменше значення функції на відрізку.

1. ОДЗ функції: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Розташуємо коріння цього рівняння на тригонометричному колі.

Проміжку належать два числа: і

Розставимо знаки. Для цього визначимо знак похідної у точці х=0: . При переході через крапки та похідна змінює знак.

Зобразимо зміну знаків похідної функції координатної прямої:

Очевидно, що точка є точкою мінімуму (у ній похідна змінює знак з "-" на "+"), і щоб знайти найменше значення функції на відрізку, потрібно порівняти значення функції в точці мінімуму і в лівому кінці відрізка, .

Процес пошуку найменшого і максимального значення функції на відрізку нагадує цікавий обліт об'єкта (графіка функції) на гелікоптері з обстрілом з далекобійної гармати певних точок і вибором з цих точок дуже особливих точок для контрольних пострілів. Крапки вибираються певним чином і за певними правилами. За якими правилами? Про це ми далі й поговоримо.

Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b] , то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень . Це може статися або в точках екстремуму, або кінцях відрізка. Тому для знаходження найменшого і найбільшого значень функції , безперервний на відрізку [ a, b], потрібно обчислити її значення у всіх критичних точкахі на кінцях відрізка, а потім вибрати з них найменше та найбільше.

Нехай, наприклад, потрібно визначити найбільше значення функції f(x) на відрізку [ a, b]. Для цього слід знайти всі її критичні точки, що лежать на [ a, b] .

Критичною точкою називається точка, в якій функція визначена, а її похіднаабо дорівнює нулю, або немає. Потім слід обчислити значення функції у критичних точках. І, нарешті, слід порівняти між собою за величиною значення функції в критичних точках і кінцях відрізка ( f(a) та f(b)). Найбільше з цих чисел і буде найбільшим значенням функції на відрізку [a, b] .

Аналогічно вирішуються завдання на перебування найменших значень функції .

Шукаємо найменше та найбільше значення функції разом

Приклад 1. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку [-1, 2] .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції. Прирівняємо похідну нулю () та отримаємо дві критичні точки: і . Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку достатньо обчислити її значення на кінцях відрізка та в точці , оскільки точка не належить відрізку [-1, 2]. Ці значення функції - такі: , , . З цього виходить що найменше значення функції(на графіці нижче позначено червоним), що дорівнює -7, досягається на правому кінці відрізка - у точці , а найбільше(теж червоне на графіці), дорівнює 9, - у критичній точці .

Якщо функція безперервна в деякому проміжку і цей проміжок не є відрізком (а є, наприклад, інтервалом; різниця між інтервалом та відрізком: граничні точки інтервалу не входять до інтервалу, а граничні точки відрізка входять у відрізок), то серед значень функції може і не бути найменшого та найбільшого. Так, наприклад, функція, зображена на малюнку нижче, безперервна на ]-∞, +∞[ і не має найбільшого значення.

Однак для будь-якого проміжку (закритого, відкритого чи нескінченного) справедлива наступна властивість безперервних функцій.

Приклад 4. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку [-1, 3] .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції як похідну приватного:

.

Прирівнюємо похідну нулю, що дає одну критичну точку: . Вона належить відрізку [-1, 3]. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та у знайденій критичній точці:

Порівнюємо ці значення. Висновок: , рівного -5/13, у точці та найбільшого значення, рівного 1, у точці .

Продовжуємо шукати найменше та найбільше значення функції разом

Існують викладачі, які за темою знаходження найменшого та найбільшого значень функції не дають студентам для вирішення приклади складніше щойно розглянутих, тобто таких, у яких функція - багаточлен або дріб, чисельник і знаменник якої - багаточлени. Але ми не обмежимося такими прикладами, оскільки серед викладачів бувають любителі змусити студентів думати по повній (таблиці похідних). Тому в хід підуть логарифм та тригонометрична функція.

Приклад 6. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції як похідну твори :

Прирівнюємо похідну нулю, що дає одну критичну точку: . Вона належить відрізку. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та у знайденій критичній точці:

Результат усіх дій: функція досягає найменшого значення, рівного 0, у точці та в точці та найбільшого значення, рівного e², у точці.

Приклад 7. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку .

Рішення. Знаходимо похідну цієї функції:

Прирівнюємо похідну нулю:

Єдина критична точка належить відрізку. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та в знайденій критичній точці:

Висновок: функція досягає найменшого значення, рівного , у точці та найбільшого значення, рівного , у точці .

У прикладних екстремальних задачах знаходження найменшого (найбільшого) значень функції, як правило, зводиться до знаходження мінімуму (максимуму). Але більший практичний інтерес мають самі мінімуми чи максимуми, а ті значення аргументу, у яких досягаються. При вирішенні прикладних завдань виникає додаткова труднощі - складання функцій, що описують явище, що розглядається, або процес.

Приклад 8.Резервуар ємністю 4 має форму паралелепіпеда з квадратною основою і відкритий зверху, потрібно вилудити оловом. Які мають бути розміри резервуара, щоб його покриття пішло найменшу кількість матеріалу?

Рішення. Нехай x- сторона основи, h- Висота резервуара, S- площа поверхні без кришки, V- Його обсяг. Площа поверхні резервуара виражається формулою, тобто. є функцією двох змінних. Щоб виразити Sяк функцію однієї змінної, скористаємося тим, що , звідки . Підставивши знайдений вираз hу формулу для S:

Досліджуємо цю функцію на екстремум. Вона визначена і диференційована всюди ]0, +∞[ , причому

.

Прирівнюємо похідну нулю () і знаходимо критичну точку. Крім того, при похідна не існує, але це значення не входить в область визначення і тому не може бути точкою екстремуму. Отже, єдина критична точка. Перевіримо її на наявність екстремуму, використовуючи другу достатню ознаку. Знайдемо другу похідну. При другому похідному більше нуля (). Значить, при функція досягає мінімуму . Оскільки цей мінімум - єдиний екстремум цієї функції, і є її найменшим значенням. Отже, сторона основи резервуара повинна дорівнювати 2 м, а його висота .

Приклад 9.З пункту A, що знаходиться на лінії залізниці, в пункт Звіддалений від неї на відстані l, повинні переправити вантажі. Вартість провезення вагової одиниці на одиницю відстані залізницею дорівнює, а шосе вона дорівнює. До якої точки Млінії залізниці слід провести шосе, щоб транспортувати вантаж з Ав Збула найбільш економічною (ділянка АВзалізниці передбачається прямолінійним)?

Насправді часто доводиться використовувати похідну у тому, щоб обчислити найбільше і найменше значення функції. Ми виконуємо цю дію тоді, коли з'ясовуємо, як мінімізувати витрати, збільшити прибуток, розрахувати оптимальне навантаження виробництва та інших., тобто у випадках, коли необхідно визначити оптимальне значення будь-якого параметра. Щоб вирішити такі завдання правильно, треба добре розуміти, що таке найбільше та найменше значення функції.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Зазвичай ми визначаємо ці значення в рамках деякого інтервалу x , який може своєю чергою відповідати всій області визначення функції або її частини. Це може бути як відрізок [a; b ] , і відкритий інтервал (a ; b) , (a ; b ) , [ a ; b) , нескінченний інтервал (a ; b) , (a ; b ) , [ a ; b) чи нескінченний проміжок - ∞ ; a , (- ∞ ; a ) , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

У цьому матеріалі ми розповімо, як обчислюється найбільше та найменше значення явно заданої функціїз однією змінною y = f (x) y = f (x).

Основні визначення

Почнемо, як завжди, із формулювання основних визначень.

Визначення 1

Найбільше значення функції y = f (x) на деякому проміжку x – це значення m a x y = f (x 0) x ∈ X , яке за будь-якого значення x x ∈ X , x ≠ x 0 робить справедливою нерівність f (x) ≤ f (x 0).

Визначення 2

Найменше значення функції y = f (x) на деякому проміжку x – це значення m i n x ∈ X y = f (x 0) , яке за будь-якого значення x ∈ X , x ≠ x 0 робить справедливою нерівність f(X f (x) ≥ f(x0) .

Ці визначення є досить очевидними. Ще простіше можна сказати так: найбільше значення функції – це її саме велике значенняна відомому інтервалі при абсцисі x 0 , а найменше – це найменше значення, що приймається на тому ж інтервалі при x 0 .

Визначення 3

Стаціонарними точками називаються такі значення аргументу функції, у яких її похідна звертається до 0 .

Для чого нам потрібно знати, що таке стаціонарні точки? Для відповіді це питання треба згадати теорему Ферма. З неї випливає, що стаціонарна точка – це така точка, в якій знаходиться екстремум функції, що диференціюється (тобто її локальний мінімум або максимум). Отже, функція прийматиме найменше або найбільше значення на певному проміжку саме в одній зі стаціонарних точок.

p align="justify"> Ще функція може приймати найбільше або найменше значення в тих точках, в яких сама функція є певною, а її першої похідної не існує.

Перше питання, яке виникає при вивченні цієї теми: чи у всіх випадках ми можемо визначити найбільше чи найменше значення функції на заданому відрізку? Ні, ми не можемо цього зробити тоді, коли межі заданого проміжку збігатимуться з межами області визначення, або якщо ми маємо справу з нескінченним інтервалом. Буває і так, що функція в заданому відрізку або на нескінченності прийматиме нескінченно малі або нескінченно великі значення. У цих випадках визначити найбільше та/або найменше значення неможливо.

Зрозумілішими ці моменти стануть після зображення на графіках:

Перший малюнок показує нам функцію, яка набуває найбільшого і найменшого значення (m a x y і m i n y) в стаціонарних точках, розташованих на відрізку [ - 6 ; 6].

Докладно розберемо випадок, зазначений на другому графіку. Змінимо значення відрізка на [1; 6] і отримаємо, що найбільше значення функції досягатиметься в точці з абсцисою у правій межі інтервалу, а найменше – у стаціонарній точці.

На третьому малюнку абсциси точок являють собою граничні точки відрізка [-3; 2]. Вони відповідають найбільшому та найменшому значенню заданої функції.

Тепер подивимось на четвертий малюнок. У ньому функція приймає m a x y (найбільше значення) і m i n y (найменше значення) у стаціонарних точках на відкритому інтервалі (-6; 6).

Якщо ми візьмемо інтервал [1; 6) то можна сказати, що найменше значення функції на ньому буде досягнуто в стаціонарній точці. Найбільшого значення нам буде невідомо. Функція могла б прийняти найбільше значення при x , що дорівнює 6 якщо б x = 6 належала інтервалу. Саме цей випадок намальовано на графіку 5 .

На графіку 6 найменше значення дана функція набуває у правій межі інтервалу (- 3 ; 2 ] , а про найбільше значення ми не можемо зробити певних висновків.

На малюнку 7 бачимо, що функція буде мати m a x y в стаціонарній точці, що має абсцису, рівну 1 . Найменшого значення функція досягне на межі інтервалу з правої сторони. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближатимуться до y = 3 .

Якщо ми візьмемо інтервал x ∈ 2; + ∞ , то побачимо, що задана функція не прийматиме на ньому ні найменшого, ні найбільшого значення. Якщо x прагне 2 , то значення функції прагнутимуть мінус нескінченності, оскільки пряма x = 2 – це вертикальна асимптота. Якщо ж абсцис прагне до плюс нескінченності, то значення функції асимптотично наближатимуться до y = 3 . Саме це випадок зображено малюнку 8 .

У цьому пункті ми наведемо послідовність дій, яку потрібно виконати знаходження найбільшого чи найменшого значення функції на певному відрізку.

1. Спочатку знайдемо область визначення функції. Перевіримо, чи входить до неї заданий за умови відрізок.
2. Тепер обчислимо точки, що містяться в даному відрізку, в яких немає першої похідної. Найчастіше їх можна зустріти у функцій, аргумент яких записаний під знаком модуля, або у статечних функцій, показник яких є дрібно раціональним числом.
3. Далі з'ясуємо, які стаціонарні точки потраплять у заданий відрізок. Для цього треба обчислити похідну функції, потім прирівняти її до 0 і вирішити рівняння, що вийшло в результаті, після чого вибрати відповідне коріння. Якщо у нас не вийде жодної стаціонарної точки або вони не потраплятимуть у заданий відрізок, ми переходимо до наступного кроку.
4. Визначимо, які значення прийматиме функція в заданих стаціонарних точках (якщо вони є), або в тих точках, в яких не існує першої похідної (якщо вони є), або обчислюємо значення для x = a і x = b.
5. 5. У нас вийшов ряд значень функції, з яких тепер потрібно вибрати найбільше і найменше. Це й будуть найбільше та найменше значення функції, які нам потрібно знайти.

Подивимося, як правильно застосувати цей алгоритм під час вирішення завдань.

Приклад 1

Умова:задана функція y = x3+4x2. Визначте її найбільше та найменше значення на відрізках [1; 4] і [-4; -1].

Рішення:

Почнемо з знаходження області визначення цієї функції. У цьому випадку їй буде багато всіх дійсних чиселкрім 0 . Іншими словами, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞. Обидва відрізки, задані в умові, будуть знаходитися всередині області визначення.

Тепер обчислюємо похідну функції згідно з правилом диференціювання дробу:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " · x 2 - x 3 + 4 · x 2 " x 4 = = 3 x 2 · x 2 - (x 3 - 4) · 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Ми дізналися, що похідна функції існуватиме у всіх точках відрізків [1; 4] і [-4; -1].

Тепер треба визначити стаціонарні точки функції. Зробимо це за допомогою рівняння x 3 – 8 x 3 = 0 . У нього є тільки один дійсний корінь, що дорівнює 2 . Він буде стаціонарною точкою функції і потрапить у перший відрізок [1; 4].

Обчислимо значення функції кінцях першого відрізка й у цій точці, тобто. для x = 1, x = 2 і x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Ми отримали, що найбільше значення функції m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 буде досягнуто за x = 1 , а найменше m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – за x = 2 .

Другий відрізок не включає жодної стаціонарної точки, тому нам треба обчислити значення функції тільки на кінцях заданого відрізка:

y(-1) = (-1) 3 + 4 (-1) 2 = 3

Значить, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y(-4) = - 3 3 4 .

Відповідь:Для відрізка [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 для відрізка [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y(-4) = - 3 3 4 .

на малюнку:

Перед тим як вивчити цей спосіб, радимо вам повторити, як правильно обчислювати односторонню межу та межу на нескінченності, а також дізнатися про основні методи їх знаходження. Щоб знайти найбільше та/або найменше значення функції на відкритому або нескінченному інтервалі, виконуємо послідовно такі дії.

1. Для початку потрібно перевірити, чи буде заданий інтервал бути підмножиною області визначення цієї функції.
2. Визначимо всі точки, які містяться в потрібному інтервалі та в яких не існує першої похідної. Зазвичай вони бувають у функцій, де аргумент укладений у знаку модуля, і у статечних функцій з дрібно раціональним показником. Якщо ж ці точки відсутні, можна переходити до наступного кроку.
3. Тепер визначимо, які стаціонарні точки потраплять до заданого проміжку. Спочатку прирівняємо похідну до 0, розв'яжемо рівняння і підберемо відповідне коріння. Якщо ми не маємо жодної стаціонарної точки або вони не потрапляють у заданий інтервал, то відразу переходимо до подальших дій. Їх визначає вигляд інтервалу.

• Якщо інтервал має вигляд [a; b) то нам треба обчислити значення функції в точці x = a і одностороння межа lim x → b - 0 f (x) .
• Якщо інтервал має вигляд (a; b], то нам треба обчислити значення функції в точці x = b і одностороння межа lim x → a + 0 f (x).
• Якщо інтервал має вигляд (a; b), то нам треба обчислити односторонні межі lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Якщо інтервал має вигляд [a; + ∞) , то треба обчислити значення в точці x = a і межа плюс нескінченності lim x → + ∞ f (x) .
• Якщо інтервал виглядає як (- ∞ ; b ) , обчислюємо значення в точці x = b і межа на мінус нескінченності lim x → - ∞ f (x) .
• Якщо - ∞; b , то вважаємо односторонню межу lim x → b - 0 f (x) і межу на мінус нескінченності lim x → - ∞ f (x)
• Якщо ж - ∞; + ∞ , то вважаємо межі на мінус і плюс нескінченності lim x → + f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Наприкінці потрібно зробити висновок на основі отриманих значень функції та меж. Тут можлива безліч варіантів. Так, якщо одностороння межа дорівнює мінус нескінченності або плюс нескінченності, то відразу зрозуміло, що про найменше і найбільше значення функції сказати нічого не можна. Нижче ми розберемо один типовий приклад. Детальний описдопоможуть вам зрозуміти, що до чого. За потреби можна повернутися до малюнків 4 - 8 у першій частині матеріалу.

Умова: дана функція y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Обчисліть її найбільше та найменше значення в інтервалах - ∞ ; - 4, - ∞; - 3, (-3; 1], (-3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Рішення

Насамперед знаходимо область визначення функції. У знаменнику дробу стоїть квадратний тричлен, який не повинен звертатися до 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Ми отримали область визначення функції, до якої належать всі зазначені в інтервалі.

Тепер виконаємо диференціювання функції та отримаємо:

y " = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 · e 1 x 2 + x - 6 " = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 "(x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Отже, похідні функції існують по всій області її визначення.

Перейдемо до знаходження стаціонарних точок. Похідна функції звертається до 0 при x = - 1 2 . Це стаціонарна точка, яка знаходиться в інтервалах (-3; 1] і (-3; 2).

Обчислимо значення функції при x = - 4 для проміжку (- ∞ ; - 4 ] , а також межа на мінус нескінченності:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Оскільки 3 e 1 6 - 4 > - 1 , значить, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ) = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Це не дає нам можливості однозначно визначити найменше значення функції. зробити висновок, що внизу є обмеження - 1, оскільки саме до цього значення функція наближається асимптотично до мінус нескінченності.

Особливістю другого інтервалу є те, що в ньому немає жодної стаціонарної точки та жодної суворої межі. Отже, ні найбільшого, ні найменшого значення функції ми не зможемо обчислити. Визначивши межу на мінус нескінченності та при прагненні аргументу до - 3 з лівого боку, ми отримаємо лише інтервал значень:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Значить значення функції будуть розташовані в інтервалі - 1 ; + ∞

Щоб знайти найбільше значення функції у третьому проміжку, визначимо її значення стаціонарної точці x = - 1 2 , якщо x = 1 . Також нам треба буде знати односторонню межу для того випадку, коли аргумент прагне до - 3 з правого боку:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (-3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

У нас вийшло, що найбільше значення функція набуде в стаціонарній точці m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Що стосується найменшого значення, то його ми не можемо визначити. Все, що нам відомо , – це наявність обмеження знизу до -4.

Для інтервалу (-3; 2) візьмемо результати попереднього обчислення і ще раз підрахуємо, чому дорівнює одностороння межа при прагненні до 2 з лівого боку:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Отже, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 а найменше значення визначити неможливо, і значення функції обмежені знизу числом - 4 .

Виходячи з того, що у нас вийшло у двох попередніх обчисленнях, ми можемо стверджувати, що на інтервалі [1; 2) найбільше значення функція прийме при x = 1, а знайти найменше неможливо.

На проміжку (2 ; + ∞) функція досягне ні найбільшого, ні найменшого значення, тобто. вона прийматиме значення з проміжку - 1; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Обчисливши, чому дорівнює значення функції при x = 4 , з'ясуємо, що m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 і задана функція на плюс нескінченності буде асимптотично наближатися до прямої y = - 1 .

Порівняємо те, що в нас вийшло в кожному обчисленні, з графіком заданої функції. На малюнку асимптоти показано пунктиром.

Це все, що ми хотіли розповісти про знаходження найбільшого та найменшого значення функції. Ті послідовності дій, які ми привели, допоможуть зробити необхідні обчислення максимально швидко та просто. Але пам'ятайте, що часто буває корисно спочатку з'ясувати, на яких проміжках функція зменшуватиметься, а на яких зростатиме, після чого можна робити подальші висновки. Так можна більш точно визначити найбільше та найменше значення функції та обґрунтувати отримані результати.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Іноді завдання B14 трапляються «погані» функції, котрим складно знайти похідну. Раніше таке було лише на пробниках, але зараз ці завдання настільки поширені, що вже не можуть бути ігноровані під час підготовки до ЄДІ. І тут працюють інші прийоми, одне із яких монотонність. Визначення Функція f (x) називається монотонно зростаючою на відрізку , якщо для будь-яких точок x 1 і x 2 цього відрізка виконується таке: x 1

Визначення. Функція f (x) називається монотонно спадаючою на відрізку , якщо для будь-яких точок x 1 і x 2 цього відрізка виконується таке: x 1 f (x 2). Іншими словами, для зростання функції чим більше x, тим більше f (x). Для спадної функції все навпаки: що більше x, то менше f (x).

приклади. Логарифм монотонно зростає, якщо основа a > 1, і монотонно зменшується, якщо 0 0. f(x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 і монотонно зменшується, якщо 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, і монотонно зменшується, якщо 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; 1, і монотонно зменшується, якщо 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Приклади .Логарифм монотонно зростає, якщо основа a > 1, і монотонно зменшується, якщо 0 0. f(x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="приклади. Логарифм монотонно зростає, якщо основа a > 1, і монотонно зменшується, якщо 0 0. f(x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

приклади. Показова функція поводиться аналогічно логарифму: зростає при a > 1 і зменшується при 0 0: 1 і убуває при 0 0:"> 1 і убуває при 0 0:"> 1 і убуває при 0 0:" title="Приклади. Показова функція поводиться аналогічно логарифму: росте при a > 1 і убуває при 0 0:"> title="приклади. Показова функція поводиться аналогічно логарифму: зростає при a > 1 і зменшується при 0 0:"> !}

0) або вниз (a 0) або вниз (a 9Координати вершини параболи Найчастіше аргумент функції замінюється на квадратний тричлен виду. 0) або вниз (a 0) або найбільше (a 0) або вниз (a 0) або вниз (a title="Координати вершини параболи Найчастіше аргумент функції замінюється на квадратний тричлен виду Його графік стандартна парабола, в якій нас цікавлять гілки: Гілки параболи можуть йти вгору (при a > 0) або вниз (a

Відрізок за умови завдання відсутня. Отже, обчислювати f(a) та f(b) не потрібно. Залишається розглянути лише точки екстремуму; Але таких точок лише одна це вершина параболи x 0, координати якої обчислюються буквально усно і без будь-яких похідних.

Таким чином, розв'язання задачі різко спрощується і зводиться до двох кроків: Виписати рівняння параболи і знайти її вершину за формулою: Знайти значення вихідної функції в цій точці: f (x 0). Якщо жодних додаткових умовні, це і буде відповіддю.

0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" title="Знайди найменше значення функції: Рішення: Під коренем стоїть квадратична функціяГрафік цієї функції парабола гілками вгору, оскільки коефіцієнт a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" 18Знайдіть найменше значення функції: Рішення: Під коренем стоїть квадратична функція Графік цієї функції парабола гілками вгору, оскільки коефіцієнт a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3" title="Знайди найменше значення функції: Рішення: Під коренем стоїть квадратична функція Графік цієї функції парабола гілками вгору, оскільки коефіцієнт a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> title="Знайдіть найменше значення функції: Рішення: Під коренем стоїть квадратична функція Графік цієї функції парабола гілками вгору, оскільки коефіцієнт a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · 1) = 6/2 = 3"> !}

Знайдіть найменше значення функції: Рішення Під логарифмом знову квадратична функція. Графік парабола гілками вгору, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1" title="Знайди найменше значення функції: Рішення Під логарифмом знову квадратична функція. Графік парабола гілками вгору, т.к."> title="Знайдіть найменше значення функції: Рішення Під логарифмом знову квадратична функція. Графік парабола гілками вгору, т.к. a = 1 > 0. Вершина параболи: x 0 = b/(2a) = 2/(2 · 1) = 2/2 = 1"> !}

Знайдіть найбільше значення функції: Рішення: У показнику стоїть квадратична функція Перепишемо її у нормальному вигляді: Очевидно, що графік цієї функції парабола, гілки вниз (a = 1

Наслідки з області визначення функції Іноді для вирішення завдання B14 недостатньо просто знайти вершину параболи. Шукане значення може лежати на кінці відрізка, а зовсім не в точці екстремуму. Якщо завдання взагалі не зазначений відрізок, дивимося на область допустимих значень вихідної функції. А саме:

0 2. Арифметичний квадратний коріньіснує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:" тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Аргумент логарифму має бути позитивним: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю: 0 2. Арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:"> 0 2. Арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:"> 0 2.Арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:" корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:"> title="1. Аргумент логарифму має бути позитивним: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел: 3.Знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:"> !}

Рішення Під коренем знову квадратична функція. Її графік парабола, але гілки спрямовані вниз, оскільки a = 1
Тепер знайдемо вершину параболи: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Точка x 0 = 1 належить відрізку ОДЗ і це добре. Тепер вважаємо значення функції в точці x 0, а також на кінцях ОДЗ: y(3) = y(1) = 0 Отже, отримали числа 2 і 0. Нас просять знайти найбільше число 2. Відповідь: 2

Зверніть увагу: нерівність сувора, тому кінці не належать ОДЗ. Цим логарифм відрізняється від кореня, де кінці нас повністю влаштовують. Шукаємо вершину параболи: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Вершина параболи підходить за ОДЗ: x 0 = 3 (1; 5). Але оскільки кінці відрізка нас не цікавлять, вважаємо значення функції лише у точці x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ·) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Відповідь: -2

Нехай функція у =f(х)безперервна на відрізку [ a, b]. Як відомо, така функція на цьому відрізку досягає найбільшого та найменшого значень. Ці значення функція може прийняти або у внутрішній точці відрізка [ a, b], або межі відрізка.

Для знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку [ a, b] необхідно:

1)знайти критичні точки функції в інтервалі ( a, b);

2) обчислити значення функції у знайдених критичних точках;

3) обчислити значення функції на кінцях відрізка, тобто при x=аі х = b;

4) з усіх обчислених значень функції вибрати найбільше та найменше.

приклад.Знайти найбільше та найменше значення функції

на відрізку.

Знаходимо критичні точки:

Ці точки лежать усередині відрізка; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

у точці x= 3 і в точці x= 0.

Дослідження функції на опуклість та точку перегину.

Функція y = f (x) називається опуклою вгоруна проміжку (a, b) , якщо її графік лежить під дотичною, проведеною в будь-якій точці цього проміжку, і називається опуклою вниз (увігнутою)якщо її графік лежить над дотичною.

Точка, при переході через яку опуклість змінюється увігнутістю чи навпаки, називається точкою перегину.

Алгоритм дослідження на опуклість та точку перегину:

1. Знайди критичні точки другого роду, тобто точки в яких друга похідна дорівнює нулю чи немає.

2. Завдати критичні точки на числову пряму, розбиваючи її на проміжки. Знайти знак другої похідної кожному проміжку; якщо , то функція опукла вгору, якщо функція опукла вниз.

3. Якщо при переході через критичну точку другого роду поміняє знак і в цій точці друга похідна дорівнює нулю, то ця точка абсцесу точки перегину. Знайти її ординату.

Асимптоти графіка функції. Дослідження функції асимптоти.

Визначення.Асимптотою графіка функції називається пряма, Що володіє тим властивістю, що відстань від будь-якої точки графіка до цієї прямої прагне нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Існують три види асимптоту: вертикальні, горизонтальні та похилі.

Визначення.Пряма називається вертикальною асимптотоюграфіка функції у = f(х)якщо хоча б одна з односторонніх меж функції в цій точці дорівнює нескінченності, тобто

де - точка розриву функції, тобтоне належить області визначення.

приклад.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – точка розриву.

Визначення.Пряма у =Aназивається горизонтальною асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , якщо

приклад.

Визначення.Пряма у =kх +b (k≠ 0) називається похилою асимптотоюграфіка функції у = f(х)при , де

Загальна схема дослідження функцій та побудови графіків.

Алгоритм дослідження функціїу = f(х) :

1. Знайти область визначення функції D (y).

2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з осями координат (при x= 0 і при y = 0).

3. Дослідити на парність та непарність функції( y (‒ x) = y (x) ‒ парність; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ непарність).

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. Знайти інтервали монотонності функції.

6. Знайти екстремуми функції.

7. Знайти інтервали опуклості (увігнутості) та точки перегину графіка функції.

8. З проведених досліджень побудувати графік функції.

приклад.Дослідити функцію та побудувати її графік.

1) D (y) =

x= 4 ‒ точка розриву.

2) При x = 0,

(0; ‒ 5) ‒ точка перетину з oy.

При y = 0,

3) y(‒ x)= функція загального вигляду(ні парна, ні непарна).

4) Досліджуємо на асимптоти.

а) вертикальні

б) горизонтальні

в) знайдемо похилі асимптоти де

‒рівняння похилої асимптоти

5) У цьому рівнянні не потрібно знайти інтервали монотонності функції.

6)

Ці критичні точки розбивають всю область визначення функції на інтервалі (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10)і (10; +∞). Отримані результати зручно подати у вигляді наступної таблиці.