Тема урока

• Властивість діагоналей паралелограма.

Цілі уроку

• Познайомитися з новими визначеннями та згадати деякі вже вивчені.
• Сформулювати та довести властивість діагоналей паралелограма.
• Навчитися застосовувати властивості фігур під час вирішення завдань.
• Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичну мову.
• Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку

• Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку

1. Вступне слово.
2. Повторення раніше вивченого матеріалу.
3. Паралелограм, його властивості та ознаки.
4. Приклади завдань.
5. Самостійна перевірка.

Вступ

«Велике наукове відкриття дає вирішення великої проблеми, але й у вирішенні будь-якого завдання присутня крихта відкриття».

Властивість протилежних сторін паралелограма

У паралелограма протилежні сторони рівні.

Доведення.

Нехай ABCD – цей паралелограм. І нехай його діагоналі перетинаються у точці O.
Так як Δ AOB = Δ COD за першою ознакою рівності трикутників (AOB = ∠ COD, як вертикальні, AO = OC, DO = OB, за властивістю діагоналей паралелограма), то AB = CD. Так само з рівності трикутників ВОС і DOA, випливає, що BC=DA. Теорему доведено.

Властивість протилежних кутів паралелограма

У паралелограма протилежні кути рівні.

Доведення.

Нехай ABCD - даний паралелограм. І нехай його діагоналі перетинаються у точці O.
З доведеного в теоремі про властивості протилежних сторін паралелограма ABC = CDA по трьох сторонах (AB = CD, BC = DA з доведеного, AC - загальна). З рівності трикутників випливає, що ∠ABC = ∠CDA.
Також доводиться, що ∠ DAB = ∠ BCD, яке випливає з ∠ ABD = ∠ CDB. Теорему доведено.

Властивість діагоналей паралелограма

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Доведення.

Нехай ABCD – це паралелограм. Проведемо діагональ AC. Відзначимо на ній середину O. На продовженні відрізка DO відкладемо відрізок OB 1 , що дорівнює DO.
По попередній теоремі AB 1 CD – паралелограм. Тому пряма AB 1 паралельна DC. Але через точку A можна провести лише одну пряму, паралельну DC. Отже, пряма AB 1 збігається із прямою AB.
Також доводиться, що BC 1 збігається із BC. Отже, точка З збігається з 1 . Паралелограм ABCD збігається з паралелограмом AB 1 CD. Отже, діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Теорему доведено.

У підручниках для звичайних шкіл(наприклад, у Погорелові) доводиться вона так: діагоналі ділять паралелограм на 4 трикутники. Розглянемо одну пару і з'ясуємо – вони рівні: підстави у них – протилежні сторони, Що прилягають до нього відповідні кути рівні як вертикальні при паралельних прямих. Тобто відрізки діагоналей попарно рівні. Всі.

Чи все?
Вище доведено, що точка перетину ділить діагоналі навпіл – якщо існує. Саме її існування наведене міркування не доводить жодною мірою. Тобто частина теореми "діагоналі паралелограма перетинаються" залишається недоведеною.

Цікаво, що довести цю частину набагато складніше. Слід це, до речі, із більш загального результату: у будь-якого опуклого чотирикутника діагоналі перетинатимуться, у будь-якого непуклого – не будуть.

Про рівність трикутників по стороні та двом прилеглим до неї кутам (друга ознака рівності трикутників) та інші.

Теоремі про рівність двох трикутників з обох боків і двох прилеглих до неї кутів Фалес знайшов важливе практичне застосування. У гавані Мілета було збудовано далекомір, що визначає відстань до корабля в морі. Він був три вбиті кілочки А, В і С (АВ = ВС) і розмічену пряму СК, перпендикулярну.СА. З появою корабля на прямій СК знаходили точку D таку, щоб точки D, .В та Е виявлялися на одній прямій. Як зрозуміло з креслення, відстань CD землі є шуканою відстанню до корабля.

Запитання

1. Діагоналі квадрата точкою перетину діляться навпіл?
   
2. Діагоналі паралелограма рівні?
3. Протилежні кути паралелограма рівні?
4. Чи сформулюйте визначення паралелограма?
5. Скільки ознак паралелограма?
   
6. Чи може бути ромб паралелограмом?
   

Список використаних джерел

1. Кузнєцов О. В., учитель математики (5-9 клас), м. Київ
2. «Єдиний державний іспит 2006. Математика. Навчально-тренувальні матеріали для підготовки учнів / Рособрнагляд, ІСОП - М.: Інтелект-Центр, 2006 »
3. Мазур К. І. «Рішення основних конкурсних завдань з математики збірника за редакцією М. І. Сканаві»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, І. І. Юдіна «Геометрія, 7 - 9: підручник для загальноосвітніх установ»

Над уроком працювали

Кузнєцов А. В.

Потурнак С.А.

Євген Петров

Поставити питання про сучасну освіту, висловити ідею або вирішити проблему, що назріла Ви можете на Освітній форум, де на міжнародному рівні збирається освітня рада свіжої думки та дії. Створивши блог,Ви не тільки підвищите свій статус як компетентного викладача, а й зробите вагомий внесок у розвиток школи майбутнього. Гільдія Лідерів Освітавідчиняє двері для фахівців вищого рангу та запрошує до співпраці у напрямку створення найкращих у світі шкіл.

Чотирьохкутник, протилежні сторони якого паралельні, є паралелограмом. Діагоналі це прямі, що з'єднують протилежні вершини. Точка їхнього перетину є центром симетрії. У випадку паралелограма є дві діагоналі, D — довга і d — коротка.

Знайти діагональ паралелограма за теоремою косінусів

• Значення косінусів кутів паралелограма α та β.

D = √a^2 + b^2 - 2ab·cosβ

d = √a^2 + b^2 + 2ab·cosβ

D = √a^2 + b^2 + 2ab·cosα

d = √a^2 + b^2 - 2ab·cosα

Знайти діагональ паралелограма через одну відому діагональ та сторони

Для застосування цього методу необхідно знати:

• Довжини сторін паралелограма a та b.

D = √2a^2 + 2b^2 - d^2

Для застосування цього методу необхідно знати:

• Площа паралелограма.
• Довжину однієї із діагоналей D або d.
• Кут між діагоналями або δ.

D = 2S/d·sinγ = 2S/d·sinδ

d = 2S/D·sinγ = 2S/D·sinδ

Частковий випадок визначення довжини діагоналі паралелограма - квадрат

Квадрат - це паралелограм, в якому всі сторони рівні і кути становлять 90 °. Довжини діагоналей у такому разі дорівнюють D=d і можуть бути розраховані за теоремою Піфагора.
D=d=a*√2

Частковий випадок визначення довжини діагоналі паралелограма - прямокутник

Прямокутник - це паралелограм, в якому кути рівні і становлять 90 °. Довжини діагоналей у такому разі дорівнюють D=d і можуть бути розраховані за теоремою Піфагора.
D=d=√(а^2+b^2)

Паралелограм є чотирикутником, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Це визначення вже достатньо, тому що інші властивості паралелограма випливають із нього і доводяться у вигляді теорем.

Основними властивостями паралелограма є:

• паралелограм - це опуклий чотирикутник;
• у паралелограма протилежні сторони попарно рівні;
• у паралелограма протилежні кути попарно рівні;
• діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

Паралелограм - опуклий чотирикутник

Доведемо спочатку теорему про те, що паралелограм є опуклим чотирикутником. Багатокутник є опуклим тоді, коли яка б його сторона не була продовжена до прямої, решта сторін багатокутника виявляться по одну сторону від цієї прямої.

Нехай дано паралелограм ABCD, у якого AB протилежна сторона CD, а BC - протилежна AD. Тоді з визначення паралелограма випливає, що AB | CD, В.С. AD.

У паралельних відрізків немає загальних точок, вони перетинаються. Це означає, що CD лежить з одного боку від AB. Оскільки відрізок BC з'єднує точку B відрізка AB з точкою C відрізка CD, а відрізок AD з'єднує інші точки AB і CD, то відрізки BC і AD також лежать з тієї ж сторони від прямої AB, де лежить CD. Таким чином, всі три сторони – CD, BC, AD – лежать по одну сторону від AB.

Аналогічно доводиться, що стосовно іншим сторонам паралелограма три інші сторони лежать з одного боку.

Протилежні сторони та кути рівні

Однією з властивостей паралелограма є те, що у паралелограмі протилежні сторони та протилежні кути попарно рівні. Наприклад, якщо дано паралелограм ABCD, то він має AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доводиться ця теорема в такий спосіб.

Паралелограм є чотирикутником. Отже, має дві діагоналі. Так як паралелограм - це опуклий чотирикутник, то кожна з них поділяє його на два трикутники. Розглянемо в паралелограмі ABCD трикутники ABC та ADC, отримані в результаті проведення діагоналі AC.

У цих трикутників одна сторона загальна – AC. Кут BCA дорівнює куту CAD, як вертикальні при паралельних BC та AD. Кути BAC та ACD також рівні як вертикальні при паралельних AB та CD. Отже, ∆ABC = ∆ADC по двох кутах та стороні між ними.

У цих трикутниках стороні AB відповідає сторона CD, а стороні BC відповідає AD. Отже, AB = CD та BC = AD.

Куту B відповідає кут D, тобто ∠B = ∠D. Кут A паралелограма є сумою двох кутів - ∠BAC і ∠CAD. Кут C дорівнює складається з ∠BCA і ∠ACD. Оскільки пари кутів дорівнюють одна одній, то ∠A = ∠C.

Таким чином, доведено, що у паралелограмі протилежні сторони та кути рівні.

Діагоналі діляться навпіл

Так як паралелограм - це опуклий чотирикутник, то має дві дві діагоналі, і вони перетинаються. Нехай дано паралелограм ABCD, його діагоналі AC і BD перетинаються у точці E. Розглянемо утворені ними трикутники ABE і CDE.

У цих трикутників сторони AB та CD рівні як протилежні сторони паралелограма. Кут ABE дорівнює куту CDE як навхрест, що лежать при паралельних прямих AB і CD. З цієї причини ∠BAE = ∠DCE. Отже, ∆ABE = ∆CDE по двох кутах та стороні між ними.

Також можна помітити, що кути AEB та CED вертикальні, а отже, теж рівні один одному.

Оскільки трикутники ABE і CDE дорівнюють один одному, то рівні і всі відповідні елементи. Стороні AE першого трикутника відповідає сторона CE другого, отже, AE = CE. Аналогічно BE = DE. Кожна пара рівних відрізків складає діагональ паралелограма. Таким чином доведено, що діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл.