Серед різноманіття геометричних фігур помітно виділяється такий чотирикутник як ромб. Навіть сама його назва не типова для позначення чотирикутників. І хоча в геометрії він зустрічається значно рідше, ніж такі прості фігури, як коло, трикутник, квадрат або прямокутник, його також не можна залишати без уваги.

Нижче наведено визначення, властивості та ознаки ромбів.

Визначення

Ромб - це паралелограм, що має рівні сторони. Ромб називається квадратом, якщо всі його кути прямі. Найбільш яскравим прикладом ромба є зображення бубнової масти гральній карті. Крім того, ромб часто зображували на різних гербах. Прикладом ромба в повсякденному життіможе бути баскетбольне поле.

Властивості

1. Протилежні сторони ромба лежать на паралельних прямих і мають однакову довжину.
2. Перетин діагоналей ромба відбувається під кутом 90 про в одній точці, яка є їхньою серединою.
3. Діагоналі ромба ділять кут, з вершини якого вони вийшли навпіл.
4. З властивостей паралелограма, можна вивести суму квадратів діагоналей. Згідно з формулою вона дорівнює стороні, зведеній у квадратичний ступінь і помноженій на чотири.

Ознаки

Ми повинні чітко розуміти, що будь-який ромб є паралелограмом, але в той же час не будь-який паралелограм має всі показники ромба. Щоб вирізняти ці дві геометричні фігури, потрібно знати ознаки ромба. Нижче перераховані характерні ознакиданої геометричної фігури:

1. Дві будь-які сторони із загальною вершиною рівні.
2. Діагоналі перетинаються під кутом 90 про З.
3. Хоча б одна діагональ ділить кути, з точок вершин яких вона виходить навпіл.

Формули площі

Основна формула:

• S = (AC*BD)/2

Виходячи з властивостей паралелограма:

• S = (AB*H AB)

Виходячи з величини кута між двома суміжними сторонами ромба:

• S = AB2 * sinα

Якщо нам відома довжина радіуса кола, вписаного в ромб:

• S = 4r 2 /(sinα), де:
  • S – площа;
  • AB, AC, BD – позначення сторін;
  • H – висота;
  • r - радіус кола;
  • sinα – синус альфа.

Периметр

Щоб обчислити периметр ромба, достатньо лише помножити довжину будь-якої його сторін на чотири.

Побудова малюнка

У деяких виникають труднощі із побудовою малюнка ромба. Навіть якщо ви вже розібралися з тим, що таке ромб, не завжди ясно, як побудувати його малюнок акуратно та з дотриманням необхідних пропорцій.

Є два способи побудови малюнка ромба:

1. Побудувати спочатку одну діагональ, потім перпендикулярно до неї другу діагональ, а потім з'єднати кінці відрізків суміжних попарно паралельних сторінромба.
2. Відкласти спочатку одну сторону ромба, потім паралельно їй побудувати відрізок, рівний по довжині, і з'єднати кінці цих відрізків попарно паралельно.

Будьте уважні при побудові – якщо на малюнку зробите довжину всіх сторін ромба однаковою, ви отримаєте не ромб, а квадрат.

Цілі уроку

Продовжувати знайомити учнів про таку геометричну фігуру, як ромб;
Закріпити знання про такі поняття, як ромб і квадрат, а також навчитися визначати їхню різницю;
Освіжити знання школярів про властивості та ознаки ромба;
Продовжувати вдосконалювати знання учнів про геометричні фігури у процесі розв'язання задач.
Викликати зацікавленість уроками геометрії.

Завдання уроку

Повторити, узагальнити та закріпити отримані знання про таку геометричну фігуру, як ромб;
Продовжувати формувати вміння та навички побудови геометричних фігур;
Удосконалити навички побудови ромба за допомогою креслярських інструментів;
Продовжувати закріплювати знання школярів із використанням практичних завдань;
Продовжувати розвивати увагу, посидючість та прагнення до пізнавального процесу.

План уроку

1. Розкриття головної теми уроку, визначення геометричної фігури «Ромб».
2. Ознайомлення з властивостями та ознаками ромба.
3. Теореми та їх доказ.
4. Як намалювати ромб. Методи зображення ромба.
5. Як знайти площу ромба?
6. Повторення пройденого матеріалу.
7. Цікаві факти.
8. Домашнє завдання.

Визначення ромба як геометричної фігури

Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Якщо ж ромб має прямі кути, він називається квадратом.

Сам термін "Ромб" у перекладі з грецької мови, позначає "бубон". Звичайно ж у нашому розумінні бубон, як музичний інструмент, має круглу форму. Але це зараз бубни роблять круглими, а в давнину він якраз і мав квадратну форму або форму ромба.

Давайте зупинимося на основних визначеннях ромба і спробуємо зрозуміти, що таке геометрична фігура.

Ромб – це такий рівносторонній паралелограм, який має рівні сторони, але нерівні кути.

На відміну від квадрата, ромб – це односторонній косокутник.

Як завжди, ми отримуємо безліч визначень тієї чи іншої геометричної фігури, але це не означає, що кожен учень повинен сісти і «зазубрити» саме ці визначення. Відмінність у визначеннях – це як широко вони описують нашу геометричну фігуру. Найголовніше, це розуміння про що йдеться у визначенні та можливість уявити фігуру. Якщо ви дотримуватиметеся цих двох правил, то й самі зможете написати або доповнити кілька визначень.

Властивості ромба

2. Другим його властивістю і те, що це діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. У точці перетину діагоналі ромба діляться навпіл.

3. Бісектрисами кутів ромба є його діагоналі.

4. Щоб знайти суму квадратів діагоналей ромба, необхідно квадрат його сторони помножити на чотири.

5. Протилежні сторони ромба рівні;

6. Сума кутів ромба, що належать до однієї сторони, дорівнює 180 градусів.

Ознаки ромба

Паралелограм є ромбом у тому випадку, якщо він відповідає наступним умовам:

1. По-перше, у нього всі сторони рівні між собою;
2. По-друге, діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.
3. По-третє, якщо діагоналі його кутів є бісектрисами.
4. По-четверте, якщо дві суміжні сторони рівні між собою.
5. По-п'яте, якщо хоча б одна з діагоналей є бісектрисою паралелограма.

Теореми та їх доказ

Тепер давайте детальніше розглянемо властивості та ознаки ромба, довівши теореми:

Теорема 1

Теорема 2

З цього виходить що:

1. У ромба дві осі симетрії – діагоналі AC та BD.
2. Його діагоналі взаємно перпендикулярні.
3. А також є бісектрисами його кутів.

Площа ромбу

Площа ромба дорівнює половині твору його діагоналей. Але так як ромб, по суті, це паралелограм, то його площу можна дізнатися, помноживши його сторони на висоту.

Формули площі ромба:

Де: a – є стороною ромба
D – позначається його велика діагональ
d – має позначення менша діагональ
α – це гострий кут
β – є тупим кутом

Площа будь-якої геометричної фігури є частиною поверхні, яка обмежується замкнутим контуром цієї фігури. А величина площі ромба виражається числом квадратних одиниць, що укладаються в нього.

Як намалювати ромб

Щоб намалювати ромб скористаємось властивостями діагоналей ромба. Нам уже відомо, що діагоналі нашої геометричної фігури взаємно перпендикулярні і діляться навпіл у точці перетину. Тому побудова ромба найпростіше розпочати з побудови його діагоналей.

Перший спосіб

І так, в першу чергу вибираємо точку, від якої відкладаємо вліво і право відрізки однієї довжини, вгору і вниз однакові відрізки іншої довжини.

Тепер нам залишається лише з'єднати кінці цих відрізків, і в результаті отримаємо ромб.

Другий спосіб

Ромб можна накреслити без використання діагоналей. І тут потрібно визначити лише кінці діагоналей і потім з'єднати точки відрізками.

Третій спосіб

І нарешті, третій спосіб, креслення ромба можна виконати за допомогою лінійки. Оскільки ми з вами знаємо, що ромб має рівні сторони, спочатку треба намалювати його нижню частину. Потім потрібно відкласти від неї рівний відрізок. Оскільки третя сторона паралельна першої, то з'єднавши кінці першого і третього відрізків, ми отримаємо ромб.

Повторення

Ви вже познайомилися з такою геометричною фігурою, як ромб і розумієте, що квадрат є його окремим випадком.

1. Тож давайте згадаємо визначення, що таке квадрат? Дайте самостійно визначення квадрата.
2. Які властивості має квадрат? Назвіть їх.
3. У чому ж різниця між ромбом і квадратом, якщо квадрат є його окремим випадком?
4. Яку фігуру називають чотирикутником, і чи належить ромб до цієї геометричної фігури?
5. Які види чотирикутників ви вже вивчали? Назвіть їх.
6. Які між ними існують відмінності?

Це цікаво знати

Чи знаєте ви, що якщо взяти прямокутник і з'єднати відрізками середини його сторін, то в результаті ми отримаємо ромб.

А якщо, навпаки, ми з вами візьмемо ромб і спробуємо з'єднати його середини сторін відрізками, ми отримаємо таку геометричну фігуру, як прямокутник.

Якщо ви візьмете паралелограм із рівними висотами, то такий паралелограм є ромбом.

А ви знаєте, що назвою карткової масті бубни, що має ромбічну форму, з'явилося ще в ті часи, коли бубон мав далеко не круглу форму, а вид ромба або квадрата.

Вперше слово "ромб" у своєму лексиконі був використаний Герроном та Паппою Олександрійським.

Домашнє завдання

1. Як ви вважаєте, чи є ромбом паралелограм, який має хоча б один прямий кут?
2. Чи правильне твердження, що кожен паралелограм є ромбом?
3. Якщо діагоналі паралелограма дорівнюють 5 см та 7см, чи може бути ромбом цей паралелограм?
4. Якщо діагоналі паралелограма дорівнюють, то чи може він бути ромбом?
5. Назвіть особливу властивість ромба, яким володіють його діагоналі, крім того, що вони точкою перетину діляться навпіл?
6. Подумайте, де у повсякденному житті застосовується така геометрична фігура, як ромб?

Предмети > Математика > Математика 8 клас

Ромб - чотирикутник, сторони якого рівні та попарно паралельні. На відміну від квадрата, кути у якого прямі, ромб має по два гострі і два тупі кути, що лежать на протилежних сторонах. А ось діагоналі перетинаються під прямим кутом і є одночасно бісектрисами. Крапка перетину діагоналей ділить їх на рівні частини.

Формул для знаходження діагоналей ромба багато, необхідно лише знати вихідні дані та підібрати відповідну.

Як знайти діагональ ромба через бік та кут: коли відомі сторони та один з кутів ромба, застосовують наступні формули: Через бік та половинний кут:

Через бік та іншу діагональ:

Сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату сторони, помноженому на чотири D^2+d^2=4a^2. Звідси можна вивести, що:

Через кут та іншу діагональ:

Через площу та іншу діагональ: традиційною формулою для знаходження площі ромба вважається S = a * h. Але щодо діагоналей вона виглядатиме S=1/2*D*d. Після перетворень отримуємо:

Через периметр та іншу діагональ. І тут формулу виведемо самостійно. Т.к. ромб має рівні сторони, щоб знайти одну з них, периметр поділяємо на 4: a = P/4. Діагоналі перпендикулярні один до одного і утворюють прямий кут. Тоді одна із сторін і половини довжин діагоналей утворюють прямокутний трикутник. Далі скористаємося теоремою Піфагора. Для великої діагоналі вона виглядатиме: D=2*(a^2-(d/2)^2)^1/2. Аналогічно перебування малої діагоналі: d=2*(a^2-(D/2)^2)^1/2.

Знайти меншу діагональ ромба, якщо периметр дорівнює 20 см, велика діагональ дорівнює 8 см.

Дано: Р=20см, D=8 см. Знайдемо довжину однієї сторони ромба, розділивши периметр на чотири a=20/4=5 см. Скористаємося формулою пункту №3 і отримаємо d=(4*5^2-8^2) ^1/2=6 див.

Незважаючи на простоту такої геометричної фігури, як ромб, він таїть у собі багато цікавих моментів. До нього застосовують властивості паралелограма, бісектриси, прямокутного, а іноді і рівнобедреного трикутника. Знаючи формули, легко можна вирішити задачі знаходження діагоналей ромба.

Визначення

Ромб - це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Зауваження

Ромб є окремим випадком паралелограма, так як його протилежні сторони попарно рівні (третя ознака).

Зауваження

Ромб успадковує всі властивості паралелограма.

Властивості ромба

Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.

Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Доведення

Розглянемо ромб $ABCD$, у якому діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються у точці $O$.

Доведемо, що вони перпендикулярні і є бісектрисами кутів ромба.

Справді, оскільки $ABCD$ – окремий випадокпаралелограма, то діагоналі точкою перетину діляться навпіл, тобто $AO=OC, BO=OD$.

Тоді, оскільки $AB=BC=CD=DA$, то $triangle AOB=triangle BOC=triangle COD=triangle AOD$ за третьою ознакою рівності.

Тоді $\angle 1=\angle 2=90^\circ$, оскільки це суміжні кути.

Крім того, $ angle 3 = angle 4 = angle 5 = angle 6 $, $ angle 7 = angle 8 = angle 9 = angle 10 $.

Таким чином, діагоналі перпендикулярні і є бісектрисами кутів ромба.

Слідство

Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники.

Ознаки ромба

Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, цей паралелограм – ромб.

Якщо одна з діагоналей паралелограма є бісектрисою його кута, цей паралелограм – ромб.

Якщо в чотирикутнику $ABCD$ діагональ $AC$ є бісектрисою кутів $angle A$ і $angle C$, а діагональ $BD$ є бісектрисою кутів $B$ і $D$, то $ABCD$ - ромб.

Доведення

Доведемо перший пункт теореми.

Розглянемо паралелограм $ABCD$, у якому $AC\perp BD$.

Доведемо, що $ABCD$ – ромб.

У паралелограмі діагоналі точкою перетину діляться навпіл, отже, $AO=OC, BO=OD$.

Крім того, $ angle 1 = angle 2 = 90 ^ circ $.

Тоді $ triangle AOB = triangle AOD $ за першою ознакою рівності.

Отже $AB=AD$.

Оскільки $ABCD$ – паралелограм, то $BC=AD=AB=CD$, тобто $ABCD$ – ромб.

Доведемо другий пункт теореми.

Розглянемо паралелограм $ABCD$, у якому діагональ $AC$ є бісектрисою кута $ angle A $, тобто $ angle 1 = angle 2 $.

Доведемо, що $ABCD$ – ромб.

$\angle 2=\angle 3$, як навхрест лежать, отже, $\angle 1=\angle 3$.

Тобто $\triangle ABC$ - рівнобедрений і $AB=BC$.

Оскільки $ABCD$ – паралелограм, то $AB=CD, BC=AD$, тобто $AB=BC=CD=AD$, і $ABCD$ – ромб.

Доведемо третій пункт теореми

Зауважимо, що $\triangle ABC=\triangle ADC$ за другою ознакою ($\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, $AC$ - загальна).

Тоді $ angle B = angle D $, а отже, рівні і їх половини: $ angle 5 = angle 6 = angle7 = angle 8 $.

Але тоді трикутники $triangle ABD$ і $triangle BCD$ – рівнобедрені: $AB=AD, BC=CD$.

Крім того $\triangle ABD=\triangle BCD$ за другою ознакою ($BD$ - загальна, $\angle 5=\angle6, \angle 7=\angle 8$).

Отже $AB=BC$ і $AD=CD$.

Таким чином, всі сторони чотирикутника рівні між собою: $AB=BC=CD=DA$.