У деяких випадках точне число при розподілі певної суми на конкретне число неможливо визначити в принципі. Наприклад, при розподілі 10 на 3, у нас виходить 3,3333333333…..3, тобто, дане число неможливо використовувати для підрахунку конкретних предметів та інших ситуаціях. Тоді дане число слід привести до певного розряду, наприклад, до цілого числа або до десяткового розряду. Якщо ми приведемо 3,3333333333…..3 до цілого числа, то отримаємо 3, а наводячи 3,3333333333…..3 до десяткового розряду, отримаємо 3,3.

Правила округлення

Що таке заокруглення? Це відкидання кількох цифр, які є останніми у ряді точного числа. Так, наслідуючи наш приклад, ми відкинули всі останні цифри, щоб отримати ціле число (3) і відкинули цифри, залишивши лише розряди десятків (3,3). Число можна округляти до сотих та тисячних, десятитисячних та інших чисел. Все залежить від того, наскільки точну кількість потрібно отримати. Наприклад, при виготовленні медичних препаратів кількість кожного з інгредієнтів ліки береться з найбільшою точністю, оскільки навіть тисячна грама може призвести до летального результату. Якщо ж необхідно підрахувати, яка успішність учнів у школі, то найчастіше використовується число з десятковим або сотим розрядом.

Розглянемо інший приклад, у якому застосовуються правила округлення. Наприклад, є число 3,583333, яке необхідно округлити до тисячних – після округлення, за комою у нас має залишитися три цифри, тобто результатом стане число 3,583. Якщо ж це число округлятиме до десятих, то в нас вийде не 3,5, а 3,6, оскільки після «5» стоїть цифра «8», яка дорівнює вже «10» під час округлення. Таким чином, дотримуючись правил округлення чисел, необхідно знати, якщо цифри більше «5», то остання цифра, яку необхідно зберегти, буде збільшена на 1. За наявності цифри, меншої, ніж «5», остання цифра залишається незмінною. Такі правила округлення чисел застосовують незалежно від того, до цілого числа або до десятків, сотих і т.д. необхідно округлити число.

У більшості випадків, при необхідності заокруглення числа, в якому остання цифра «5», цей процес виконується неправильно. Але є ще й таке правило округлення, яке стосується саме таких випадків. Розглянемо з прикладу. Необхідно заокруглити число 3,25 до десятих. Застосовуючи правила заокруглення чисел, отримаємо результат 3,2. Тобто, якщо після «п'яти» немає цифри або стоїть нуль, то остання цифра залишається незмінною, але лише за умови, що вона є парною – у нашому випадку «2» – це парна цифра. Якби нам необхідно було виконати округлення 3,35, то результатом стало б число 3,4. Оскільки, відповідно до правил округлення, за наявності непарної цифри перед «5», яку необхідно забрати, непарна цифра збільшується на 1. Але лише за умови, що після «5» немає значущих цифр. У багатьох випадках можуть застосовуватися спрощені правила, згідно з якими, за наявності за останньою цифрою, що зберігається, значень цифр від 0 до 4, цифра, що зберігається, не змінюється. За наявності інших цифр остання цифра збільшується на 1.

Сьогодні ми розглянемо досить нудну тему, без розуміння якої рухатися далі неможливо. Ця тема називається "округлення чисел" або по-іншому "наближені значення чисел".

Наближені значення

Наближені (або приблизні) значення застосовуються тоді, коли точне значеннячогось знайти неможливо, або це значення не важливо для досліджуваного предмета.

Наприклад, на словах можна сказати, що у місті проживає півмільйона людей, але цей вислів не буде дійсним, оскільки кількість людей у ​​місті змінюється — люди приїжджають та їдуть, народжуються та вмирають. Тому правильніше буде сказати, що у місті проживає приблизнопівмільйона людей.

Ще приклад. О дев'ятій ранку розпочинаються заняття. Ми вийшли з дому о 8.30. Через деякий час дорогою ми зустріли свого товариша, який запитав у нас скільки зараз часу. Коли ми виходили з дому було 8:30, на дорогу ми витратили якийсь невідомий час. Ми не знаємо скільки зараз часу, тому відповідаємо товаришеві: «зараз приблизноблизько дев'ятої години».

У математиці наближені значення вказуються за допомогою спеціального значка. Виглядає він так:

Читається як «приблизно одно».

Щоб вказати приблизне значення чогось, вдаються до такої операції, як округлення чисел.

Округлення чисел

Для знаходження наближеного значення застосовується така операція як округлення чисел.

Слово "округлення" говорить саме за себе. Округлити число означає зробити його круглим. Круглим називається число, яке закінчується банкрутом. Наприклад, наступні числа є круглими,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Будь-яке число можна перетворити на кругле. Процедуру, в якій число перетворюють на кругле, називають округленням числа. Також округленням числа називають процедуру, в якій шукається наближене значення.

Ми вже займалися «округленням» чисел, коли ділили великі числа. Нагадаємо, що для цього ми залишали без зміни цифру, яка утворює старший розряд, а решту цифр замінювали нулями. Але це були лише нариси, які ми робили для полегшення поділу. Свого роду лайфхак. За фактом, це навіть не було заокругленням чисел. Саме тому, на початку цього абзацу ми взяли слово заокруглення в лапки.

Насправді суть округлення полягає в тому, щоб знайти найближче значення від вихідного. При цьому число може бути округлено до певного розряду - до розряду десятків, розряду сотень, розряду тисяч і т.д.

Розглянемо простий приклад заокруглення. Є число 17. Потрібно заокруглити його до розряду десятків.

Не забігаючи вперед, спробуємо зрозуміти, що означає «округлити до розряду десятків». Коли говорять округлити число 17, від нас вимагають знайти найближче кругле число для числа 17. При цьому, в ході цього пошуку, можливо, зміни торкнуться і цифри, яка знаходиться в розряді десятків у числі 17 (тобто одиниці).

Припустимо, що всі числа від 10 до 20 лежать на прямій лінії:

На малюнку видно, що для числа 17 найближче кругле число це 20. Отже, відповідь до завдання такою буде: 17 приблизно дорівнює 20

Ми виявили наближене значення для 17, тобто. округлили його до розряду десятків. Видно, що після округлення у розряді десятків з'явилася нова цифра 2.

Тепер спробуємо знайти наближене число для числа 12. Для цього знову уявімо, що всі числа від 10 до 20 лежать на прямій лінії:

На малюнку видно, що найближче кругле число для 12 це число 10. Отже, відповідь до завдання такою буде: 12 приблизно дорівнює 10

Ми виявили наближене значення для 12, тобто. округлили його до розряду десятків. Цього разу цифра 1, яка стояла у розряді десятків у числі 12, не постраждала від округлення. Чому так сталося ми розглянемо пізніше.

Тепер спробуємо знайти найближче число для числа 15. Знов уявімо, що всі числа від 10 до 20 лежать на прямій лінії:

На малюнку видно, що число 15 однаково віддалено від круглих чисел 10 і 20. Виникає питання: яке із цих двох круглих чисел буде наближеним значенням для числа 15? Для таких випадків умовилися приймати більше за наближене. 20 більше 10, тому наближене значення для 15 буде число 20

Округляти можна і великі числа. Звісно, ​​їм малювати пряму лінію і зображати числа неможливо. Їх існує свій спосіб. Наприклад, округлити число 1456 до розряду десятків.

Ми маємо округлити 1456 до розряду десятків. Розряд десятків починається на п'ятірці:

Тепер про існування перших цифр 1 та 4 тимчасово забуваємо. Залишається число 56

Тепер дивимося, яке кругле число знаходиться ближче до 56. Очевидно, що найближче кругле число для 56 це число 60. Отже, замінюємо число 56 на 60

Значить при округленні числа 1456 до розряду десятків отримаємо 1460

Видно, що після округлення числа 1456 р. до розряду десятків, зміни торкнулися і самого розряду десятків. У новому отриманому числі в розряді десятків тепер 6, а не 5.

Округлювати числа можна не лише до розряду десятків. Округлювати можна також до розряду сотень, тисяч, десяток тисяч тощо.

Після того, як стає зрозуміло, що округлення це ні що інше, як пошук найближчого числа, можна застосовувати готові правила, які значно полегшують округлення чисел.

Перше правило округлення

З попередніх прикладів зрозуміли, що округляючи число до певного розряду, молодші розряди замінюються нулями. Цифри, які замінюються нулями, називають цифрами, що відкидаються.

Перше правило округлення виглядає так:

Якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то остання збережена цифра залишається без змін.

Наприклад, округлимо число 123 до розряду десятків.

У першу чергу знаходимо цифру, що зберігається. Для цього треба прочитати саме завдання. У розряді, про який йдеться в завданні і знаходиться цифра, що зберігається. У завданні сказано: округлити число 123 до розряду десятків.

Бачимо, що у розряді десятків знаходиться двійка. Значить збереженою цифрою є цифра 2

Тепер знаходимо першу з цифр, що відкидаються. Першою з цифр, що відкидаються, є та цифра, яка слідує після збереженої цифрою. Бачимо, що перша цифра після двійки це цифра 3. Значить, цифра 3 є першою цифрою, що відкидається.

Тепер застосовуємо правило заокруглення. Воно каже, що якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то цифра, що зберігається, залишається без змін.

Так і робимо. Залишаємо без зміни цифру, що зберігається, а всі молодші розряди замінюємо нулями. Іншими словами, все що слід після цифри 2 замінюємо нулями (точніше нулем):

Значить при округленні числа 123 до розряду десятків отримуємо наближене йому число 120.

Тепер спробуємо округлити те саме число 123, але вже до розряду сотень.

Нам потрібно заокруглити число 123 до розряду сотень. Знову шукаємо цифру, що зберігається. Цього разу цифрою, що зберігається, є 1, тому що ми округляємо число до розряду сотень.

Тепер знаходимо першу з цифр, що відкидаються. Першою з цифр, що відкидаються, є та цифра, яка слідує після збереженої цифрою. Бачимо, що перша цифра після одиниці це цифра 2. Значить, цифра 2 є першою цифрою, що відкидається:

Тепер застосуємо правило. Воно каже, що якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то цифра, що зберігається, залишається без змін.

Так і робимо. Залишаємо без зміни цифру, що зберігається, а всі молодші розряди замінюємо нулями. Іншими словами, все що слідує після цифри 1 замінюємо нулями:

Значить при округленні числа 123 до сотня, отримуємо наближене йому число 100.

Як видно з прикладів, залежно від того до якого розряду округляють число, залежить, скільки цифр буде замінено нулями.

приклад 3.Округліть число 1234 до розряду десятків.

Тут цифра, що зберігається, це 3. А перша цифра, що відкидається, це 4.

Значить залишаємо цифру (3), що зберігається, без змін, а все що знаходиться після неї замінюємо нулем:

приклад 4.Округліть число 1234 до розряду сотень.

Тут цифра, що зберігається, це 2. А перша цифра, що відкидається, це 3. Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то збережена цифра залишається без змін.

Значить залишаємо цифру (2), що зберігається, без змін, а все що знаходиться після неї замінюємо нулями:

приклад 3.Округліть число 1234 до розряду тисяч.

Тут цифра, що зберігається, це 1. А перша цифра, що відкидається, це 2. Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то збережена цифра залишається без змін.

Значить залишаємо збережену цифру (1) без змін, а все що знаходиться після неї замінюємо нулем:

Друге правило округлення

Друге правило округлення виглядає так:

Якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 5, 6, 7, 8 або 9, то остання цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Наприклад, округлим число 675 до розряду десятків.

У першу чергу знаходимо цифру, що зберігається. Для цього треба прочитати саме завдання. У розряді, про який йдеться в завданні і знаходиться цифра, що зберігається. У завданні сказано: округлити число 675 до розряду десятків.

Бачимо, що у розряді десятків знаходиться сімка. Значить збереженою цифрою є цифра 7

Тепер знаходимо першу з цифр, що відкидаються. Першою з цифр, що відкидаються, є та цифра, яка слідує після збереженої цифрою. Бачимо, що перша цифра після сімки це цифра 5. Значить, цифра 5 є першою цифрою, що відкидається.

У нас перша з цифр, що відкидаються, це 5. Значить ми повинні збільшити на одиницю збережену цифру 7, а все що слід після неї замінити нулем:

Значить при округленні числа 675 до розряду десятків, отримуємо наближене число 680.

Тепер спробуємо округлити те саме число 675, але вже до розряду сотень.

Нам потрібно заокруглити число 675 до розряду сотень. Знову шукаємо цифру, що зберігається. Цього разу цифрою, що зберігається, є 6, тому що ми округляємо число до розряду сотень:

Тепер знаходимо першу з цифр, що відкидаються. Першою з цифр, що відкидаються, є та цифра, яка слідує після збереженої цифрою. Бачимо, що перша цифра після шістки це цифра 7. Значить, цифра 7 є першою цифрою, що відкидається:

Тепер застосовуємо друге правило округлення. Воно говорить, що якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 5, 6, 7, 8 або 9, то остання збережена цифра збільшується на одиницю.

У нас перша з цифр, що відкидаються, це 7. Значить ми повинні збільшити на одиницю збережену цифру 6, а все що слід після неї замінити нулями:

Значить при округленні числа 675 до розряду сотень отримуємо наближене йому число 700.

приклад 3.Округліть число 9876 до розряду десятків.

Тут цифра, що зберігається, це 7. А перша цифра, що відкидається, це 6.

Значить збільшуємо на одиницю цифру (7), що зберігається, а все що знаходиться після неї замінюємо нулем:

приклад 4.Округліть число 9876 до розряду сотень.

Тут цифра, що зберігається, це 8. А перша цифра, що відкидається, це 7. Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 5, 6, 7, 8 або 9, то остання цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Значить збільшуємо на одиницю цифру, що зберігається (8), а все що знаходиться після неї замінюємо нулями:

Приклад 5.Округліть число 9876 до розряду тисяч.

Тут цифра, що зберігається, це 9. А перша цифра, що відкидається, це 8. Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 5, 6, 7, 8 або 9, то остання цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Значить збільшуємо на одиницю цифру, що зберігається (9), а все що знаходиться після неї замінюємо нулями:

Приклад 6.Округлити число 2971 до сотень.

При округленні цього числа до сотень слід бути уважним, тому що цифра, що зберігається тут 9, а перша відкидається цифра це 7. Значить цифра 9 повинна збільшитися на одиницю. Але річ у тому, що після збільшення дев'ятки на одиницю вийде 10, а ця цифра не поміститься до сотень нового числа.

У цьому випадку в розряді сотень нового числа треба записати 0, а одиницю перенести на наступний розряд і скласти з цифрою, яка там знаходиться. Далі замінити всі цифри після збереження нулями:

Округлення десяткових дробів

При округленні десяткових дробів слід бути особливо уважним, тому що десятковий дріб складається з цілої та дробової частини. І кожна з цих двох частин має свої розряди:

Розряди цілої частини:

• розряд одиниць
• розряд десятків
• розряд сотень
• розряд тисяч
• і т.д

Розряди дробової частини:

• розряд десятих
• розряд сотих
• розряд тисячних
• і т.д.

Розглянемо десятковий дріб 123,456 – сто двадцять три цілих чотириста п'ятдесят шість тисячних. Тут ціла частинаце 123, а дробова частина 456. При цьому кожна з цих частин має свої розряди. Дуже важливо не плутати їх:

Для цілої частини застосовуються самі правила округлення, як і округлення звичайних чисел. Відмінність у тому, що після округлення цілої частини та заміни нулями всіх цифр після цифри, що зберігається, дробова частина повністю відкидається.

Наприклад, округлим дріб 123,456 до розряду десятків.Саме до розряду десятків, а не розряду десятих. Дуже важливо не переплутати ці розряди. Розряд десятківзнаходиться в цілій частині, а розряд десятиху дробовій.

Ми маємо округлити 123,456 до розряду десятків. Цифра, що зберігається, тут це 2, а перша з цифр, що відкидаються, це 3

Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то цифра, що зберігається, залишається без змін.

Значить збережена цифра залишиться без змін, а решта заміниться нулем. А що робити з дробовою частиною? Її просто відкидають (прибирають):

Тепер спробуємо округлити той самий дріб 123,456 до розряду одиниць. Цифра, що зберігається, тут буде 3, а перша з цифр, що відкидаються, це 4, яка знаходиться в дробовій частині:

Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то цифра, що зберігається, залишається без змін.

Значить збережена цифра залишиться без змін, а решта заміниться нулем. Дрібна частина, що залишилася, буде відкинута:

123,456 ≈ 123,0

Нуль, який залишився після коми, теж можна відкинути. Отже, остаточна відповідь буде такою:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Тепер займемося округленням дробових частин. Для округлення дробових частин справедливі самі правила, як і округлення цілих елементів. Спробуємо округлити дріб 123,456 до розряду десятих.У розряді десятих знаходиться 4, значить вона є цифрою, що зберігається, а перша відкидається цифра це 5, яка знаходиться в розряді сотих:

Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 5, 6, 7, 8 або 9, то остання цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Значить цифра 4, що зберігається, збільшиться на одиницю, а решта заміниться нулями

123,456 ≈ 123,500

Спробуємо округлити той самий дріб 123,456 до розряду сотих. Цифра, що зберігається, тут це 5, а перша з відкидаються цифр 6, яка знаходиться в розряді тисячних:

Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 5, 6, 7, 8 або 9, то остання цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Значить збережена цифра 5 збільшиться на одиницю, а решта заміниться нулями

123,456 ≈ 123,460

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки