Kā segmentā atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības?

Priekš šī mēs sekojam labi zināmajam algoritmam:

1 . Mēs atrodam ODZ funkcijas.

2 . Funkcijas atvasinājuma atrašana

3 . Pielīdziniet atvasinājumu nullei

4 . Mēs atrodam intervālus, kuros atvasinājums saglabā savu zīmi, un no tiem nosaka funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus:

Ja intervālā I funkcijas 0 atvasinājums" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} palielinās šajā intervālā.

Ja intervālā I ir funkcijas atvasinājums, tad funkcija šajā intervālā samazinās.

5 . Mēs atradām funkcijas maksimālie un minimālie punkti.

IN funkcijas maksimālais punkts, atvasinājums maina zīmi no "+" uz "-".

IN funkcijas minimālais punktsatvasinājums maina zīmi no "-" uz "+".

6 . Mēs atrodam funkcijas vērtību segmenta galos,

• tad salīdzinām funkcijas vērtību segmenta galos un maksimālajos punktos, un izvēlieties lielāko no tiem, ja nepieciešams atrast augstākā vērtība funkcijas
• vai salīdzinām funkcijas vērtību segmenta galos un minimālajos punktos, un izvēlieties mazāko no tiem, ja nepieciešams atrast funkcijas mazāko vērtību

Tomēr atkarībā no tā, kā funkcija darbojas intervālā, šo algoritmu var ievērojami samazināt.

Apsveriet funkciju . Šīs funkcijas grafiks izskatās šādi:

Apskatīsim vairākus problēmu risināšanas piemērus no Open Task Bank for

1 . Uzdevums B15 (#26695)

Uz griezuma.

1. Funkcija ir definēta visām x reālajām vērtībām

Acīmredzot šim vienādojumam nav atrisinājumu, un atvasinājums ir pozitīvs visām x vērtībām. Tāpēc funkcija palielinās un iegūst lielāko vērtību intervāla labajā galā, tas ir, pie x=0.

Atbilde: 5.

2 . Uzdevums B15 (Nr. 26702)

Atrodiet funkcijas lielāko vērtību segmentā.

1.ODZ funkcija title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Atvasinājums ir nulle vietā , tomēr šajos punktos tas nemaina zīmi:

Tāpēc title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} palielinās un iegūst lielāko vērtību intervāla labajā galā, pie .

Lai būtu skaidrs, kāpēc atvasinājums nemaina zīmi, mēs pārveidojam atvasinājuma izteiksmi šādi:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2(x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Atbilde: 5.

3 . Uzdevums B15 (#26708)

Atrodiet mazāko funkcijas vērtību intervālā .

1. ODZ funkcijas: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Novietosim šī vienādojuma saknes uz trigonometriskā apļa.

Intervāls satur divus skaitļus: un

Uzliksim zīmes. Lai to izdarītu, mēs nosakām atvasinājuma zīmi punktā x=0: . Ejot cauri punktiem un atvasinājums maina zīmi.

Attēlosim funkcijas atvasinājuma zīmju maiņu uz koordinātu līnijas:

Acīmredzot punkts ir minimālais punkts (kur atvasinājums maina zīmi no "-" uz "+"), un, lai atrastu mazāko funkcijas vērtību intervālā, ir jāsalīdzina funkcijas vērtības minimālajā punktā un segmenta kreisajā galā, .

Funkcijas mazāko un lielāko vērtību atrašanas process segmentā atgādina aizraujošu lidojumu ap objektu (funkcijas grafiks) ar helikopteru, šaujot no liela attāluma lielgabala noteiktos punktos un no šiem punktiem izvēloties ļoti īpašus punktus kontrolšāvieniem. Punkti tiek atlasīti noteiktā veidā un saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Pēc kādiem noteikumiem? Mēs par to runāsim tālāk.

Ja funkcija y = f(x) nepārtraukts intervālā [ a, b] , tad tas sasniedz šo segmentu vismazāk Un augstākās vērtības . Tas var notikt vai nu iekšā ekstremālie punkti vai segmenta galos. Tāpēc, lai atrastu vismazāk Un funkcijas lielākās vērtības , nepārtraukts intervālā [ a, b], jums ir jāaprēķina tās vērtības kopumā kritiskie punkti un segmenta galos, un pēc tam izvēlieties mazāko un lielāko no tiem.

Ļaujiet, piemēram, noteikt funkcijas maksimālo vērtību f(x) segmentā [ a, b] . Lai to izdarītu, atrodiet visus tā kritiskos punktus, kas atrodas [ a, b] .

kritiskais punkts sauc par punktu, kurā definēta funkcija, un viņa atvasinājums ir nulle vai neeksistē. Tad jums vajadzētu aprēķināt funkcijas vērtības kritiskajos punktos. Un, visbeidzot, ir jāsalīdzina funkcijas vērtības kritiskajos punktos un segmenta galos ( f(a) Un f(b) ). Lielākais no šiem skaitļiem būs segmenta funkcijas lielākā vērtība [a, b] .

Problēma atrast funkcijas mazākās vērtības .

Mēs kopā meklējam mazākās un lielākās funkcijas vērtības

Piemērs 1. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā [-1, 2] .

Risinājums. Mēs atrodam šīs funkcijas atvasinājumu. Pielīdziniet atvasinājumu nullei () un iegūstiet divus kritiskos punktus: un . Lai noteiktā segmentā atrastu funkcijas mazākās un lielākās vērtības, pietiek aprēķināt tās vērtības segmenta galos un punktā , jo punkts nepieder segmentam [-1, 2]. Šīs funkciju vērtības ir šādas: , , . No tā izriet, ka mazākā funkcijas vērtība(atzīmēts ar sarkanu grafikā zemāk), kas vienāds ar -7, tiek sasniegts segmenta labajā galā - punktā , un lielākais(arī sarkans grafikā), ir vienāds ar 9, - kritiskajā punktā .

Ja funkcija ir nepārtraukta noteiktā intervālā un šis intervāls nav segments (bet ir, piemēram, intervāls; starpība starp intervālu un segmentu: intervāla robežpunkti nav iekļauti intervālā, bet segmenta robežpunkti ir iekļauti segmentā), tad starp funkcijas vērtībām var nebūt mazākās un lielākās. Tā, piemēram, attēlā redzamā funkcija ir nepārtraukta uz ]-∞, +∞[, un tai nav lielākās vērtības.

Tomēr jebkuram intervālam (slēgtam, atvērtam vai bezgalīgam) pastāv šāda nepārtraukto funkciju īpašība.

4. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā [-1, 3] .

Risinājums. Šīs funkcijas atvasinājumu mēs atrodam kā koeficienta atvasinājumu:

.

Mēs pielīdzinām atvasinājumu nullei, kas dod mums vienu kritisko punktu: . Tas pieder pie intervāla [-1, 3] . Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Salīdzināsim šīs vērtības. Secinājums: vienāds ar -5/13, punktā un vislielākā vērtība vienāds ar 1 punktā .

Mēs turpinām kopā meklēt mazākās un lielākās funkcijas vērtības

Ir skolotāji, kuri, runājot par funkcijas mazāko un lielāko vērtību atrašanu, nesniedz studentiem sarežģītākus piemērus par tikko apskatītajiem, tas ir, tos, kuros funkcija ir polinoms vai daļskaitlis, kuru skaitītājs un saucējs ir polinomi. Bet mēs neaprobežosimies ar šādiem piemēriem, jo ​​skolotāju vidū ir mīļotāji, kas liek studentiem domāt pilnībā (atvasinājumu tabula). Tāpēc tiks izmantots logaritms un trigonometriskā funkcija.

6. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā .

Risinājums. Mēs atrodam šīs funkcijas atvasinājumu kā produkta atvasinājums :

Atvasinājumu pielīdzinām nullei, kas dod vienu kritisko punktu: . Tas pieder segmentam. Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Visu darbību rezultāts: funkcija sasniedz savu minimālo vērtību, vienāds ar 0, punktā un punktā un vislielākā vērtība vienāds ar e² , punktā .

7. piemērs. Atrodiet funkcijas mazāko un lielāko vērtību segmentā .

Risinājums. Mēs atrodam šīs funkcijas atvasinājumu:

Pielīdziniet atvasinājumu nullei:

Vienīgais kritiskais punkts pieder segmentam. Lai atrastu mazākās un lielākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā, mēs atrodam tās vērtības segmenta galos un atrastajā kritiskajā punktā:

Secinājums: funkcija sasniedz savu minimālo vērtību, vienāds ar , punktā un vislielākā vērtība, vienāds ar , punktā .

Lietojumproblēmās mazāko (lielāko) funkciju vērtību atrašana, kā likums, tiek reducēta līdz minimuma (maksimuma) atrašanai. Bet ne paši minimumi vai maksimumi rada lielāku praktisko interesi, bet gan argumenta vērtības, ar kurām tie tiek sasniegti. Risinot lietišķās problēmas, rodas papildu grūtības - funkciju apkopošana, kas apraksta aplūkojamo parādību vai procesu.

8. piemērs Tvertnei ar ietilpību 4, kam ir paralēlskaldņa forma ar kvadrātveida pamatni un augšpusē atvērta, jābūt alvotai. Kādiem jābūt tvertnes izmēriem, lai to pārklātu ar vismazāko materiāla daudzumu?

Risinājums. Ļaujiet x- pamatnes puse h- tvertnes augstums, S- tās virsmas laukums bez seguma, V- tā apjoms. Tvertnes virsmas laukumu izsaka ar formulu, t.i. ir divu mainīgo funkcija. Izteikt S kā viena mainīgā funkcija mēs izmantojam faktu, ka , no kurienes . Atrastās izteiksmes aizstāšana h formulā S:

Apskatīsim šo funkciju ekstrēmam. Tas ir definēts un diferencējams visur ]0, +∞[ un

.

Mēs pielīdzinām atvasinājumu nullei () un atrodam kritisko punktu. Turklāt pie , atvasinājums neeksistē, bet šī vērtība nav iekļauta definīcijas jomā un tāpēc nevar būt galējības punkts. Tātad, - vienīgais kritiskais punkts. Pārbaudīsim, vai tajā nav ekstrēma, izmantojot otro pietiekamo zīmi. Atradīsim otro atvasinājumu. Kad otrais atvasinājums ir lielāks par nulli (). Tas nozīmē, ka tad, kad funkcija sasniedz minimumu . Jo šis minimums - vienīgais šīs funkcijas galējais rādītājs, tā ir tās mazākā vērtība. Tātad tvertnes pamatnes malai jābūt vienādai ar 2 m un tās augstumam.

9. piemērs No rindkopas A, kas atrodas uz dzelzceļa līnijas, uz punktu AR, attālumā no tā l, preces jāpārvadā. Svara vienības transportēšanas izmaksas uz attāluma vienību pa dzelzceļu ir vienādas ar , un pa šoseju tās ir vienādas ar . Uz kādu brīdi M dzelzceļa līnija ir jātur šoseja, no kuras pārvadāt kravu A V AR bija visekonomiskākais AB tiek pieņemts, ka dzelzceļš ir taisns)?

Praksē ir diezgan bieži izmantot atvasinājumu, lai aprēķinātu funkcijas lielāko un mazāko vērtību. Šo darbību veicam, kad izdomājam, kā minimizēt izmaksas, palielināt peļņu, aprēķināt optimālo ražošanas slodzi utt., tas ir, gadījumos, kad nepieciešams noteikt parametra optimālo vērtību. Lai pareizi atrisinātu šādas problēmas, ir labi jāsaprot, kāda ir funkcijas lielākā un mazākā vērtība.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Parasti šīs vērtības mēs definējam kādā intervālā x , kas savukārt var atbilst visai funkcijas vai tās daļai. Tas var būt vai nu segments [ a ; b ] , un atvērts intervāls (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) , bezgalīgs intervāls (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) vai bezgalīgs intervāls - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Šajā rakstā mēs paskaidrosim, kā tiek precīzi aprēķinātas lielākās un mazākās vērtības. dotā funkcija ar vienu mainīgo y=f(x) y = f (x) .

Pamatdefinīcijas

Mēs sākam, kā vienmēr, ar galveno definīciju formulēšanu.

1. definīcija

Funkcijas y = f (x) lielākā vērtība kādā intervālā x ir vērtība m a x y = f (x 0) x ∈ X , kas jebkurai vērtībai x x ∈ X , x ≠ x 0 padara nevienādību f (x) ≤ f (x 0) par patiesu.

2. definīcija

Funkcijas y = f (x) mazākā vērtība kādā intervālā x ir vērtība m i n x ∈ X y = f (x 0) , kas jebkurai vērtībai x ∈ X , x ≠ x 0 veido nevienādību f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Šīs definīcijas ir diezgan acīmredzamas. Vēl vienkāršāk varat teikt: funkcijas lielākā vērtība ir tās lielākā vērtība liela nozīme zināmā intervālā pie abscises x 0 , un mazākā ir mazākā pieņemtā vērtība tajā pašā intervālā pie x 0 .

3. definīcija

Stacionārie punkti ir tādas funkcijas argumenta vērtības, pie kurām tā atvasinājums kļūst par 0.

Kāpēc mums jāzina, kas ir stacionārie punkti? Lai atbildētu uz šo jautājumu, mums jāatceras Fermā teorēma. No tā izriet, ka stacionārs punkts ir punkts, kurā atrodas diferencējamas funkcijas gals (t.i., tās lokālais minimums vai maksimums). Līdz ar to funkcija noteiktā intervālā ieņems mazāko vai lielāko vērtību tieši vienā no stacionārajiem punktiem.

Cita funkcija var iegūt lielāko vai mazāko vērtību tajos punktos, kuros pati funkcija ir noteikta un tās pirmais atvasinājums neeksistē.

Pirmais jautājums, kas rodas, pētot šo tēmu, ir: vai visos gadījumos mēs varam noteikt funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību noteiktā intervālā? Nē, mēs to nevaram izdarīt, ja dotā intervāla robežas sakritīs ar definīcijas apgabala robežām vai ja mums ir darīšana ar bezgalīgu intervālu. Gadās arī, ka funkcija noteiktā intervālā vai bezgalībā pieņems bezgalīgi mazas vai bezgala lielas vērtības. Šajos gadījumos nav iespējams noteikt lielāko un/vai mazāko vērtību.

Šie mirkļi kļūs saprotamāki pēc attēla grafikos:

Pirmajā attēlā parādīta funkcija, kas iegūst lielākās un mazākās vērtības (m a x y un m i n y) stacionārajos punktos, kas atrodas intervālā [ - 6 ; 6].

Sīkāk apskatīsim otrajā grafikā norādīto gadījumu. Mainīsim segmenta vērtību uz [ 1 ; 6] un iegūstam, ka lielākā funkcijas vērtība tiks sasniegta punktā ar abscisu intervāla labajā malā, bet mazākā - stacionārajā punktā.

Trešajā attēlā punktu abscises attēlo nogriežņa robežpunktus [ - 3 ; 2]. Tie atbilst dotās funkcijas lielākajai un mazākajai vērtībai.

Tagad apskatīsim ceturto attēlu. Tajā funkcija ņem m a x y (lielākā vērtība) un m i n y (mazākā vērtība) stacionārajos punktos atvērtajā intervālā (- 6 ; 6) .

Ja ņemam intervālu [ 1 ; 6) , tad varam teikt, ka tajā esošās funkcijas mazākā vērtība tiks sasniegta stacionārā punktā. Mēs neuzzināsim maksimālo vērtību. Funkcija varētu iegūt lielāko vērtību pie x, kas vienāda ar 6, ja x = 6 piederētu intervālam. Tieši šis gadījums ir parādīts 5. attēlā.

6. grafikā šī funkcija iegūst mazāko vērtību intervāla labajā malā (- 3 ; 2 ] ), un mēs nevaram izdarīt konkrētus secinājumus par lielāko vērtību.

7. attēlā redzams, ka funkcijai būs m a x y stacionārajā punktā ar abscisu, kas vienāda ar 1 . Funkcija sasniedz savu minimālo vērtību pie intervāla robežas ar labā puse. Pie mīnus bezgalības funkcijas vērtības asimptotiski tuvosies y = 3 .

Ja ņemam intervālu x ∈ 2 ; + ∞ , tad redzēsim, ka dotā funkcija neuzņems tai ne mazāko, ne lielāko vērtību. Ja x tiecas uz 2, tad funkcijas vērtībām ir tendence mīnus bezgalība, jo taisne x = 2 ir vertikāla asimptote. Ja abscisai ir tendence uz plus bezgalību, tad funkcijas vērtības asimptotiski tuvosies y = 3. Šis ir gadījums, kas parādīts 8. attēlā.

Šajā rindkopā mēs sniegsim darbību secību, kas jāveic, lai noteiktā intervālā atrastu funkcijas lielāko vai mazāko vērtību.

1. Vispirms atradīsim funkcijas domēnu. Pārbaudīsim, vai nosacījumā norādītais segments tajā ir iekļauts.
2. Tagad aprēķināsim šajā segmentā ietvertos punktus, kuros pirmais atvasinājums nepastāv. Visbiežāk tos var atrast funkcijās, kuru arguments ir rakstīts zem moduļa zīmes, vai pakāpju funkcijās, kuru eksponents ir daļēji racionāls skaitlis.
3. Tālāk mēs noskaidrojam, kuri stacionārie punkti ietilpst noteiktā segmentā. Lai to izdarītu, jums jāaprēķina funkcijas atvasinājums, pēc tam jāpielīdzina 0 un jāatrisina iegūtais vienādojums un pēc tam jāizvēlas atbilstošās saknes. Ja mēs nesaņemam nevienu stacionāru punktu vai tie neietilpst noteiktā segmentā, mēs pārejam pie nākamās darbības.
4. Noskaidrosim, kādas vērtības funkcija iegūs dotajos stacionārajos punktos (ja tādi ir) vai tajos punktos, kur pirmā atvasinājuma nav (ja tāds ir), vai arī aprēķināsim vērtības x = a un x = b .
5. 5. Mums ir virkne funkciju vērtību, no kurām tagad jāizvēlas lielākā un mazākā. Šīs būs lielākās un mazākās funkcijas vērtības, kas mums jāatrod.

Apskatīsim, kā pareizi pielietot šo algoritmu, risinot problēmas.

1. piemērs

Stāvoklis: ir dota funkcija y = x 3 + 4 x 2. Nosakiet tā lielāko un mazāko vērtību segmentos [1; 4 ] un [ - 4 ; - 1 ] .

Risinājums:

Sāksim ar šīs funkcijas domēna atrašanu. Šajā gadījumā tas būs visu komplekts reāli skaitļi izņemot 0. Citiem vārdiem sakot, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Abi nosacījumā norādītie segmenti atradīsies definīcijas apgabalā.

Tagad mēs aprēķinām funkcijas atvasinājumu saskaņā ar daļskaitļa diferenciācijas likumu:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Mēs uzzinājām, ka funkcijas atvasinājums pastāvēs visos segmentu punktos [1; 4 ] un [ - 4 ; - 1 ] .

Tagad mums ir jānosaka funkcijas stacionārie punkti. Darīsim to ar vienādojumu x 3 - 8 x 3 = 0. Tam ir tikai viena reāla sakne, kas ir 2. Tas būs stacionārs funkcijas punkts un iekritīs pirmajā segmentā [1; 4 ] .

Aprēķināsim funkcijas vērtības pirmā segmenta galos un dotajā punktā, t.i. ja x = 1 , x = 2 un x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Esam ieguvuši, ka funkcijas m a x y x ∈ lielākā vērtība [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 tiks sasniegts pie x = 1 , un mazākais m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pie x = 2 .

Otrais segments neietver stacionārus punktus, tāpēc mums ir jāaprēķina funkciju vērtības tikai konkrētā segmenta galos:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Tādējādi m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Atbilde: Segmentam [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 segmentam [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Skatīt attēlu:

Pirms šīs metodes apguves iesakām pārskatīt, kā pareizi aprēķināt vienpusējo robežu un robežu bezgalībā, kā arī apgūt pamatmetodes to atrašanai. Lai atklātā vai bezgalīgā intervālā atrastu funkcijas lielāko un/vai mazāko vērtību, secīgi veicam šādas darbības.

1. Vispirms ir jāpārbauda, ​​vai dotais intervāls būs dotās funkcijas domēna apakškopa.
2. Noteiksim visus punktus, kas ir ietverti vajadzīgajā intervālā un kuros pirmais atvasinājums nepastāv. Parasti tie rodas funkcijās, kur arguments ir ietverts moduļa zīmē, un jaudas funkcijās ar daļēji racionālu eksponentu. Ja šo punktu trūkst, varat pāriet uz nākamo darbību.
3. Tagad mēs nosakām, kuri stacionārie punkti ietilpst noteiktā intervālā. Pirmkārt, mēs pielīdzinām atvasinājumu 0, atrisinām vienādojumu un atrodam piemērotas saknes. Ja mums nav neviena stacionāra punkta vai tie neietilpst norādītajā intervālā, mēs nekavējoties pārejam pie turpmākajām darbībām. Tos nosaka intervāla veids.

• Ja intervāls izskatās kā [ a ; b) , tad jāaprēķina funkcijas vērtība punktā x = a un vienpusējā robeža lim x → b - 0 f (x) .
• Ja intervālam ir forma (a ; b ] , tad jāaprēķina funkcijas vērtība punktā x = b un vienpusējā robeža lim x → a + 0 f (x) .
• Ja intervālam ir forma (a ; b) , tad jāaprēķina vienpusējās robežas lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Ja intervāls izskatās kā [ a ; + ∞) , tad jāaprēķina vērtība punktā x = a un plus bezgalības robeža lim x → + ∞ f (x) .
• Ja intervāls izskatās kā (- ∞ ; b ] , mēs aprēķinām vērtību punktā x = b un robežu mīnus bezgalībā lim x → - ∞ f (x) .
• Ja - ∞ ; b , tad mēs uzskatām vienpusējo robežu lim x → b - 0 f (x) un robežu mīnus bezgalībā lim x → - ∞ f (x)
• Ja - ∞ ; + ∞ , tad ņemam vērā mīnus un plus bezgalības robežas lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Beigās ir jāizdara secinājums, pamatojoties uz iegūtajām funkcijas un robežvērtībām. Šeit ir daudz iespēju. Tātad, ja vienpusējā robeža ir vienāda ar mīnus bezgalību vai plus bezgalību, tad uzreiz ir skaidrs, ka par funkcijas mazāko un lielāko vērtību neko nevar teikt. Tālāk mēs aplūkosim vienu tipisku piemēru. Detalizēti apraksti palīdzēt saprast, kas ir kas. Ja nepieciešams, varat atgriezties pie 4. - 8. attēla materiāla pirmajā daļā.

Nosacījums: dota funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Aprēķināt tā lielāko un mazāko vērtību intervālos - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ), 2 ; +∞, [4; +∞) .

Risinājums

Pirmkārt, mēs atrodam funkcijas domēnu. Daļas saucējs ir kvadrātveida trijstūris, kuram nevajadzētu būt līdz 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 2) +

Esam ieguvuši funkcijas apjomu, kuram pieder visi nosacījumā norādītie intervāli.

Tagad atšķirsim funkciju un iegūsim:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 " x 2 + x - 6 - 1 x 6 " ( x - 6 - 1 x 6) = 2 + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Līdz ar to funkcijas atvasinājumi pastāv visā tās definīcijas jomā.

Pāriesim pie stacionāro punktu atrašanas. Funkcijas atvasinājums kļūst par 0 pie x = - 1 2 . Šis ir stacionārs punkts, kas atrodas intervālos (- 3 ; 1 ] un (- 3 ; 2).

Aprēķināsim funkcijas vērtību pie x = - 4 intervālam (- ∞ ; - 4 ] , kā arī robežu pie mīnus bezgalības:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tā kā 3 e 1 6 - 4 > - 1, tad m a x y x ∈ (- ∞; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tas nedod mums iespēju unikāli noteikt funkcijas mazāko vērtību. Varam tikai secināt, ka pastāv robeža, kas ir zemāka par šo vērtību, jo funkcija tuvojas - 1 min.

Otrā intervāla iezīme ir tāda, ka tam nav neviena stacionāra punkta un nevienas stingras robežas. Tāpēc mēs nevaram aprēķināt ne lielāko, ne mazāko funkcijas vērtību. Definējot robežu pie mīnus bezgalības un kā argumentam ir tendence uz -3 kreisajā pusē, mēs iegūstam tikai vērtību diapazonu:

limits x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = e = 3 + 3 ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tas nozīmē, ka funkciju vērtības atradīsies intervālā -1; +∞

Lai atrastu funkcijas maksimālo vērtību trešajā intervālā, nosakām tās vērtību stacionārajā punktā x = - 1 2, ja x = 1 . Mums jāzina arī vienpusējā robeža gadījumam, kad arguments tiecas uz - 3 labajā pusē:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 g (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = 1 ( - 3 ) = 3 0 - 4 = - 4

Izrādījās, ka funkcijai būs vislielākā vērtība stacionārā punktā m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kas attiecas uz mazāko vērtību, mēs to nevaram noteikt. Viss, ko mēs zinām, ir robežas klātbūtne no apakšas līdz - 4 .

Intervālam (- 3 ; 2) ņemsim iepriekšējā aprēķina rezultātus un vēlreiz aprēķināsim, ar ko vienāda vienpusējā robeža, tiecoties uz 2 no kreisās puses:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 2 ( 2 ) - 4 = 2 = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Tādējādi m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , un mazāko vērtību nevar noteikt, un funkcijas vērtības no apakšas ierobežo skaitlis - 4 .

Pamatojoties uz to, ko mēs darījām divos iepriekšējos aprēķinos, mēs varam apgalvot, ka intervālā [1; 2) funkcijai būs vislielākā vērtība pie x = 1, un nav iespējams atrast mazāko.

Intervālā (2 ; + ∞) funkcija nesasniegs ne lielāko, ne mazāko vērtību, t.i. tas ņems vērtības no intervāla - 1; +∞ .

limits x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ ∞) = ∞ + 4 lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aprēķinot, ar ko būs vienāda funkcijas vērtība pie x = 4, mēs uzzinām, ka m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , un dotā funkcija plus bezgalībā asimptotiski tuvosies taisnei y = - 1 .

Salīdzināsim katrā aprēķinā iegūto ar dotās funkcijas grafiku. Attēlā asimptoti ir parādīti ar punktētām līnijām.

Tas ir viss, ko mēs gribējām runāt par funkcijas lielākās un mazākās vērtības atrašanu. Mūsu sniegtās darbību secības palīdzēs jums veikt nepieciešamos aprēķinus pēc iespējas ātrāk un vienkāršāk. Taču atcerieties, ka bieži vien ir lietderīgi vispirms noskaidrot, kādos intervālos funkcija samazināsies un kādos palielināsies, pēc tam var izdarīt turpmākus secinājumus. Tātad jūs varat precīzāk noteikt funkcijas lielāko un mazāko vērtību un pamatot rezultātus.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Dažreiz uzdevumos B14 ir "sliktas" funkcijas, kurām ir grūti atrast atvasinājumu. Iepriekš tas bija tikai zondēs, bet tagad šie uzdevumi ir tik izplatīti, ka, gatavojoties šim eksāmenam, tos vairs nevar ignorēt. Šajā gadījumā darbojas citi triki, no kuriem viens ir monotonitāte. Definīcija Funkciju f (x) sauc par monotoni pieaugošu segmentā, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir spēkā sekojošais: x 1

Definīcija. Funkciju f (x) sauc par monotoni samazinošu segmentā, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir spēkā: x 1 f (x 2). Citiem vārdiem sakot, pieaugošai funkcijai, jo lielāks x, jo lielāks f(x). Samazinošai funkcijai ir otrādi: jo lielāks x, jo mazāks f(x).

Piemēri. Logaritms palielinās monotoni, ja bāze a > 1 un monotoni samazinās, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, un monotoni samazinās, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, un samazinās monotoni, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, un samazinās monotoni, ja 0 0. f (x) > LAN = 0. f (x a) G:Piemēri. Logaritms palielinās monotoni, ja bāze a > 1, un monotoni samazinās, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Piemēri. Logaritms palielinās monotoni, ja bāze a > 1 un monotoni samazinās, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Piemēri. Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi kā logaritms: tā pieaug par > 1 un samazinās par 0 0: 1 un samazinās pie 0 0:"> 1 un samazinās pie 0 0:"> 1 un samazinās pie 0 0:" title="Examples. Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi logaritmam: palielinās, ja a > 1, un samazinās, ja 0 0:"> title="Piemēri. Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi kā logaritms: tā pieaug par > 1 un samazinās par 0 0:"> !}

0) vai uz leju (a 0) vai uz leju (a 9 Parabolas virsotnes koordinātes Visbiežāk funkcijas arguments tiek aizstāts ar formas kvadrātveida trinomu Tā grafs ir standarta parabola, kurā mūs interesē zari: formas trinomiāls Tās grafs ir standarta parabola, kurā mūs interesē zari: Parabolas zari var iet uz augšu (par a > 0) vai uz leju (a

Problēmas stāvoklī nav segmenta. Tāpēc nav jāaprēķina f(a) un f(b). Atliek ņemt vērā tikai galējos punktus; Bet tāds punkts ir tikai viens - tā ir parabolas x 0 virsotne, kuras koordinātas tiek aprēķinātas burtiski verbāli un bez atvasinājumiem.

Tādējādi uzdevuma risinājums ir ievērojami vienkāršots un samazināts līdz tikai diviem soļiem: Uzrakstiet parabolas vienādojumu un atrodiet tā virsotni, izmantojot formulu: Atrodiet sākotnējās funkcijas vērtību šajā punktā: f (x 0). Ja neviena papildu nosacījumi nē, tā būtu atbilde.

0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title=" Atrodiet funkcijas mazāko vērtību: Risinājums: Zem saknes ir kvadrātiskā funkcijaŠīs funkcijas grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo koeficients a = 1 > 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 Find the smallest value of the function: Solution: There is a quadratic function under the root. The graph of this function is a parabola with branches up, since the coefficient a \u003d 1\u003e 0. Top of the parabola: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 1/6 (6) = b/2 6 G: Atrodiet funkcijas mazāko vērtību: Risinājums: Zem saknes atrodas kvadrātiskā funkcija Šīs funkcijas grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo koeficients a = 1 > 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Find the smallest value of the function: Solution: There is a quadratic function under the root. The graph of this function is a parabola with branches up, since the coefficient a \u003d 1\u003e 0. Top of the parabola: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> !}

Atrodiet funkcijas mazāko vērtību: Risinājums Zem logaritma atkal ir kvadrātfunkcija. a = 1 > 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 1/2 (2) = 1/2 (2) G: Atrodiet funkcijas mazāko vērtību: Risinājums Zem logaritma atkal kvadrātfunkcija Parabola grafiks ar zariem uz augšu, jo a = 1 > 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="Atrodiet funkcijas mazāko vērtību: Risinājums Zem logaritma atkal ir kvadrātfunkcija. a = 1 > 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Atrodiet funkcijas lielāko vērtību: Risinājums: Eksponents satur kvadrātfunkciju

Sekas no funkcijas apgabala Dažkārt, lai atrisinātu uzdevumu B14, nepietiek tikai ar parabolas virsotnes atrašanu. Vēlamā vērtība var atrasties segmenta beigās, nevis galējā punktā. Ja uzdevumā segments vispār nav norādīts, mēs aplūkojam sākotnējās funkcijas pieļaujamo vērtību apgabalu. Proti:

0 2. Aritmētika Kvadrātsakne eksistē tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt nulle:" title="1. Logaritma argumentam jābūt pozitīvam: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: daļskaitlis nedrīkst būt 3. De:nominator" class="link_thumb"> 26 !} 1. Logaritma argumentam jābūt pozitīvam: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar nulli: 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar nulli: "> 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar nulli:"> 0 eksistējošais tikai denominālais skaitlis no n. daļdaļas inators nedrīkst būt vienāds ar nulli:" title="(!LAN G: 1. Logaritma argumentam jābūt pozitīvam: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar nulli:"> title="1. Logaritma argumentam jābūt pozitīvam: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar nulli:"> !}

Risinājums Kvadrātsakne atkal ir kvadrātiskā funkcija. Tās grafiks ir parabola, bet zari ir vērsti uz leju, jo a = 1
Tagad atradīsim parabolas virsotni: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Punkts x 0 = 1 pieder ODZ segmentam, un tas ir labi. Tagad mēs ņemam vērā funkcijas vērtību punktā x 0, kā arī ODZ galos: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 Tātad, mēs saņēmām skaitļus 2 un 0. Mums tiek lūgts atrast lielāko skaitli 2. Atbilde: 2

Lūdzu, ņemiet vērā: nevienlīdzība ir stingra, tāpēc gali nepieder ODZ. Tādā veidā logaritms atšķiras no saknes, kur segmenta gali mums piestāv diezgan labi. Mēs meklējam parabolas augšdaļu: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Bet, tā kā segmenta gali mūs neinteresē, mēs ņemam vērā funkcijas vērtību tikai punktā x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Atbilde: -2

Ļaujiet funkcijai y=f(X) nepārtraukts intervālā [ a, b]. Kā zināms, šāda funkcija šajā segmentā sasniedz maksimālo un minimālo vērtību. Funkcija var ņemt šīs vērtības vai nu segmenta iekšējā punktā [ a, b] vai uz segmenta robežas.

Lai atrastu lielākās un mazākās funkcijas vērtības intervālā [ a, b] nepieciešams:

1) atrodiet funkcijas kritiskos punktus intervālā ( a, b);

2) aprēķina funkcijas vērtības atrastajos kritiskajos punktos;

3) aprēķina funkcijas vērtības segmenta galos, tas ir, par x=A un x = b;

4) no visām aprēķinātajām funkcijas vērtībām izvēlieties lielāko un mazāko.

Piemērs. Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību

segmentā.

Kritisko punktu atrašana:

Šie punkti atrodas segmenta iekšpusē; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

punktā x= 3 un punktā x= 0.

Funkcijas izliekuma un lēciena punkta izpēte.

Funkcija y = f (x) sauca izliekta starp (a, b) , ja tā grafiks atrodas zem pieskares, kas novilkta jebkurā šī intervāla punktā, un tiek izsaukta izliekta uz leju (ieliekta) ja tā grafiks atrodas virs pieskares.

Tiek saukts pārejas punkts, caur kuru izliekums tiek aizstāts ar ieliekumu vai otrādi lēciena punkts.

Algoritms izliekuma un lēciena punkta izpētei:

1. Atrodiet otrā veida kritiskos punktus, tas ir, punktus, kuros otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē.

2. Ievietojiet kritiskos punktus uz skaitļu līnijas, sadalot to intervālos. Atrodi katrā intervālā otrā atvasinājuma zīmi; ja , tad funkcija ir izliekta uz augšu, ja, tad funkcija ir izliekta uz leju.

3. Ja, ejot cauri otra veida kritiskajam punktam, tas maina zīmi un šajā punktā otrais atvasinājums ir vienāds ar nulli, tad šis punkts ir lēciena punkta abscisa. Atrodi tās ordinātas.

Funkcijas grafika asimptotes. Funkcijas izpēte asimptotos.

Definīcija. Funkcijas grafika asimptoti sauc taisni, kam ir tāda īpašība, ka attālumam no jebkura grafika punkta līdz šai līnijai ir tendence uz nulli, neierobežoti noņemot grafika punktu no sākuma.

Ir trīs veidu asimptoti: vertikāli, horizontāli un slīpi.

Definīcija. Tiešais zvans vertikālā asimptote funkciju grafiks y = f(x), ja vismaz viena no funkcijas vienpusējām robežām šajā punktā ir vienāda ar bezgalību, tas ir

kur ir funkcijas pārtraukuma punkts, tas ir, tā neietilpst definīcijas jomā.

Piemērs.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - lūzuma punkts.

Definīcija. Taisni y=A sauca horizontālā asimptote funkciju grafiks y = f(x) pie , ja

Piemērs.

Definīcija. Taisni y=kx +b (k≠ 0) tiek izsaukts slīps asimptote funkciju grafiks y = f(x) kur

Vispārīga shēma funkciju izpētei un uzzīmēšanai.

Funkciju izpētes algoritmsy = f(x) :

1. Atrodiet funkcijas domēnu D (y).

2. Atrodiet (ja iespējams) grafa krustošanās punktus ar koordinātu asīm (ar x= 0 un plkst y = 0).

3. Izpētiet pāra un nepāra funkcijas ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritāte; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ nepāra).

4. Atrodiet funkcijas grafa asimptotus.

5. Atrast funkcijas monotonitātes intervālus.

6. Atrodiet funkcijas galējību.

7. Atrodiet funkcijas grafika izliekuma (ieliekuma) un lēciena punktu intervālus.

8. Pamatojoties uz veikto pētījumu, sastādiet funkcijas grafiku.

Piemērs. Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

1) D (y) =

x= 4 - lūzuma punkts.

2) Kad x = 0,

(0; – 5) – krustošanās punkts ar oi.

Plkst y = 0,

3) y(‒ x)= funkciju vispārējs skats(ne pāra, ne nepāra).

4) Mēs izmeklējam asimptotus.

a) vertikāli

b) horizontāli

c) atrast slīpi asimptotus kur

‒slīpu asimptotu vienādojums

5) Šajā vienādojumā nav nepieciešams atrast funkcijas monotonitātes intervālus.

6)

Šie kritiskie punkti sadala visu funkcijas domēnu intervālā (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) un (10; +∞). Iegūtos rezultātus ir ērti attēlot šādas tabulas veidā.