Reāla skaitļa veselas un daļējas daļas.
T.S. Karmakova, Harkovas Valsts pedagoģiskās universitātes Algebras katedras asociētā profesore
Dažādos skaitļu teorijas, matemātiskās analīzes, rekursīvo funkciju teorijas un citos matemātikas jautājumos tiek izmantoti reāla skaitļa veselu un daļēju daļu jēdzieni.
Skolu un klašu programmā ar padziļināta izpēte Matemātika ietver jautājumus, kas saistīti ar šiem jēdzieniem, bet tikai 34 rindiņas ir veltītas to izklāstam algebras mācību grāmatā 9. klasei. Apskatīsim šo tēmu tuvāk.
1. definīcija
Reālā skaitļa x veselā daļa ir lielākais veselais skaitlis, kas nepārsniedz x.
Skaitļa veselo skaitļu daļu apzīmē ar simbolu [x] un lasa šādi: “x vesela skaitļa daļa” vai: “x vesela skaitļa daļa”. Dažreiz skaitļa veselo skaitļu daļu apzīmē ar E(x) un lasa šādi: “priekšējais x” vai “priekšējais no x”. Otrais nosaukums nāk no Franču vārds entiere - vesels.
Piemērs.
Aprēķiniet [x], ja x ņem vērtības:
1,5; 3; -1.3; -4.
Risinājums
No [x] definīcijas izriet:
= 1, jo 1 Z, 1 1.5
[3] = 3, jo 3 Z, 3 3
[-1,3]=-2, jo -2 Z, -2 -1.3
[-4] =-4, jo -4 Z, -4 -4.
Reāla skaitļa veselās daļas īpašības.
1*. [x] = x, ja x Z
2*. [x]x*[x]+1
3*. [x + m] = [x] + m, kur m Z
Apskatīsim piemērus šīs koncepcijas izmantošanai dažādos uzdevumos.
1. piemērs
Atrisiniet vienādojumus:
1,1[x] = 3
[x + 1,3] = -5
[x + 1] + [x - 2] - = 5
1,4 [x] - 7 [x] + 10 = 0
Risinājums
1.1 [ x ] = 3. Pēc īpašības 2* šis vienādojums ir ekvivalents nevienādībai 3 x * 4
Atbilde: [ 3 ; 4)
[ x + 1,3 ] = - 5. Pēc 2. īpašuma*:
- 5 x + 1,3 * - 4 - 6,3 x * - 5,3
Atbilde: [ -6,3 ; -5.3)
[x + 1] + [x - 2] - [x + 3] = 5. Pēc 3. īpašuma*:
[x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 5
[x] = 9 9 x * 10 (2 * katrā)
Atbilde: [ 9 ; 10)
1,4 [x] - 7 [x] + 10 = 0 Pieņemsim, ka [x] = t, tad t - 7 t + 10 = 0, t.i.

Atbilde: [ 2 ; 3) [ 5 ; 6)
2. piemērs.
Atrisiniet nevienādības:
2,1[x]2
[x] > 2
[x] 2
[x] [x] - 8 [x] + 15 0

Risinājums
2.1. Saskaņā ar [ x ] un 1* definīciju šo nevienādību apmierina x
Atbilde: [ 2 ;).
2.2. Šīs nevienādības risinājums: x.
Atbilde: [ 3 ;).
2,3 x 2,4 x 2,5 Ļaujiet [ x ] = t, tad šī nevienādība ir ekvivalenta sistēmai
3
Atbilde: [ 3; 6).
2.6. Ļaujiet [x] = t, tad mēs iegūstam.
Atbilde: (-.
4. piemērs.
Grafiksējiet funkciju y = [x]
Risinājums
1). OOF: x R
2). MZF: y Z

3). Jo pie x * [ m ; m + 1), kur m * Z, [ x ] = m, tad y = m, t.i. grafiks attēlo bezgalīgi daudzu horizontālu segmentu kopumu, no kuriem tiek izslēgti to labie gali. Piemēram, x * [ -1 ; 0) * [ x ] = -1 * y = - 1 ; x * [ 0; 1) * [x] = 0 * y = 0.
Piezīme.
1. Mums ir tādas funkcijas piemērs, kuru dažādās jomās nosaka dažādas analītiskās izteiksmes.
2. Apļi iezīmē punktus, kas neietilpst grafikā.
2. definīcija.
Reālā skaitļa x daļējā daļa ir starpība x - [x]. Skaitļa x daļējā daļa tiek attēlota ar simbolu (x).
Piemērs.
Aprēķināt ( x ), ja x ņem vērtību: 2,37 ; -4 ; 3.14. . .; 5 .
Risinājums
(2,37) = 0,37, jo ( 2,37 ) = 2,37 - [ 2,37 ] = 2,37 - 2 = 0,37.
, jo
( 3,14...) = 0,14... , jo (3,14...) = 3,14...-[ 3,14...] = 3,14...-3= 0,14...
(5) = 0, jo (5) = 5 - [5] = 5 - 5 = 0.
Reāla skaitļa daļdaļas īpašības.
1*. ( x ) = x - [ x ]

2*. 0 (x) 3*. (x + m) = (x), kur m * Z
4*. (x) = x, ja x * [0; 1)
5* Ja ( x ) = a, a * [ 0 ; 1), tad x =a +m, kur m * Z
6*. (x) = 0, ja x * Z.
Apskatīsim jēdziena ( x ) izmantošanas piemērus dažādos vingrinājumos.

1. piemērs.
Atrisiniet vienādojumus:
1,1(x) = 0,1
1,2(x) = -0,7
(x) = 2,5
(x + 3) = 3,2
(x) - (x) +
Risinājums
Par 5* risinājums būs daudz
x = 0,1 + m, m * Z
1.2 Ar 2* vienādojumam nav sakņu, x * *
1.3 Ar 2* vienādojumam nav sakņu, x * *
Ar 3* vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam
(x)+ 3 = 3,2 * (x) = 0,2 * x = 0,2 + m, m * Z
1.5. Vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kopai
Atbilde: x =
x =
2. piemērs.
Atrisiniet nevienādības:
2.1(x)0.4
2.2(x)0
( x + 4 )
(x) -0,7 (x) + 0,2 > 0
Risinājums
2,1 ar 5 *: 0,4 + m x 2,2 x 1 *: x * R
Ar 3*: (x) + 4 Ar 5*: m 2.4 Tā kā (x) 0, tad (x) - 1 > 0, tāpēc iegūstam 2 (x) + 1 2.5 Atrisiniet atbilstošo kvadrātvienādojums:
( x ) - 0,7 ( x ) + 0,2 = 0 * Šī nevienādība ir ekvivalenta divu nevienādību kombinācijai:
Atbilde: (0,5 + m; 1 + m) (k; 0,2 + k),
m*Z,k*Z
3. piemērs.
Grafiksējiet funkciju y = ( x )
Būvniecība.
1). OOF: x * R
2). MZF: y * [ 0 ; 1)
3). Funkcija y = (x) ir periodiska un tās periods
T = m, m * Z, jo ja x * R, tad (x+m) * R
un (x-m) * R, kur m * Z un ar 3* (x + m ) =
(x - m) = (x).
Mazākais pozitīvais periods ir 1, jo ja m > 0, tad m = 1, 2, 3, . . . un mazākā pozitīvā vērtība ir m = 1.
4). Tā kā y = ( x ) ir periodiska funkcija ar periodu 1, tad pietiek ar tās grafiku uzzīmēt uz kāda intervāla, kura garums ir 1, piemēram, uz intervāla [ 0 ; 1), tad uz intervāliem, kas iegūti, pārvietojot atlasīto par m, m * Z, grafiks būs vienāds.
A). Ļaujiet x * [ 0 ; 1), tad (x) = x un y = x. Mēs iegūstam to intervālā [ 0 ; 1) šīs funkcijas grafiks attēlo pirmā koordinātu leņķa bisektoru segmentu, no kura tiek izslēgts labais gals.

B). Izmantojot periodiskumu, iegūstam bezgalīgu skaitu segmentu, kas veido 45* leņķi ar Vērša asi, no kuras tiek izslēgts labais gals.
Piezīme.
Apļi atzīmē punktus, kas neietilpst diagrammā.
4. piemērs.
Atrisiniet 17. vienādojumu [ x ] = 95 ( x )
Risinājums
Jo (x) * [0; 1), tad 95 (x)* [0; 95), un līdz ar to 17 [ x ]* [ 0 ; 95). No attiecībām
17 [x]* [0; 95) seko [ x ]* , t.i. [x] var būt 0, 1, 2, 3, 4 un 5.
No šī vienādojuma izriet, ka ( x ) = , t.i. ņemot vērā iegūto vērtību kopu
[ x ] secinām: ( x ), attiecīgi, var būt vienāds ar 0;
Tā kā mums ir jāatrod x un x = [ x ] + ( x ), mēs atklājam, ka x var būt vienāds ar
0 ;
Atbilde:
Piezīme.
Līdzīgs vienādojums tika piedāvāts 1996. gada reģionālās matemātikas olimpiādes desmitklasniekiem 1. kārtā.
5. piemērs.
Grafiksējiet funkciju y = [ ( x ) ].
Risinājums
OOF: x * R, jo (x)* [0; 1) , un skaitļu veselo daļu no intervāla [ 0 ; 1) ir vienāds ar nulli, tad šī funkcija ir ekvivalenta y = 0
y
0 x

6. piemērs.
Izveidojiet koordinātu plaknes punktu kopu, kas apmierina vienādojumu ( x ) =
Risinājums
Tā kā šis vienādojums ir vienāds ar vienādojumu x = , m * Z ar 5*, tad koordinātu plaknē jākonstruē vertikālu līniju kopa x = + m, m * Z
y

0 x
Bibliogrāfija
Algebra 9. klasei: Mācību grāmata. rokasgrāmata skolu un progresīvo klašu skolēniem. studē matemātiku /N. Y. Vilenkin et al., ed. N. Ya. - M. Izglītība, 1995.
V. N. Berezin, I. L. Nikolskaya, L. Yu Berezina Problēmu krājums izvēles un ārpusstundu nodarbībām matemātikā - M. 1985.
A. P. Karps Es pasniedzu matemātikas stundas - M., 1982.g
Žurnāls “Kvant”, 1976, 5.nr
Žurnāls “Matemātika skolā”: 1973 Nr.1, Nr.3; 1981 Nr.1; 1982 Nr.2; 1983 Nr.1; 1984 Nr.1; 1985 Nr.3.

dienas (mēneši, gadi) stundas (minūtes, sekundes)

Datuma elementu atdalītāja veidu nosaka lokalizācijas iestatījumi operētājsistēma Windows. Krievu versijā datuma elementiem tas parasti ir punkts (ja ievadot izmantojat ikonas “–” vai “/”, tās pēc Enter taustiņa nospiešanas arī tiks pārveidotas par punktiem); laika elementiem tas ir kols. Dienas no stundām ir atdalītas ar atstarpi.

Programmas Excel laika pamatvienība ir viena diena. Katrai dienai ir kārtas numurs, kas sākas ar 1, kas atbilst 1900. gada 1. janvārim (datumu skaitīšanas sākumam programmā Excel). Piemēram, 2001. gada 1. janvāris saglabāts kā numurs 36892, jo tik daudz dienu ir pagājušas kopš 1900. gada 1. janvāra. Aprakstītā datu glabāšanas metode ļauj tos apstrādāt tieši tāpat kā parastos skaitļus, piemēram, lai atrastu datumu, kas ir tālu no jebkura cita datuma par vēlamo dienu skaitu nākotnē vai pagātnē, lai atrastu laiku. intervāls starp diviem datumiem, t.i. ieviest datuma aritmētiku.

Datuma formāti ļauj tos parādīt, piemēram, vienā no parastajiem skatiem: 1.01.98; 1.Jan.98; 1.Jan; '98. gada janvāris un tiks aprakstīts vēlāk. Jāsaka, ka, ievadot datus tieši datuma veidā, atbilstošais formāts tiks piešķirts automātiski. Tātad šūnā ievadītā vērtība 5.10.01 sistēma pareizi uztvers kā 2001. gada 5. oktobri. Ievadot datumus, ir atļauti tikai gada pēdējie divi cipari. Šajā gadījumā tos interpretē šādi atkarībā no diapazona, kurā tie atrodas:

00¸29– no 2000. līdz 2029. gadam; 30¸99– no 1930. līdz 1999. gadam

Datuma gadu ir atļauts nenorādīt. Šajā gadījumā tas tiek uzskatīts par kārtējo gadu (datora sistēmas gads). Tātad, ievadiet patīk 5.10 liks būrī kārtējā gada 5. oktobris, piemēram, 2004.g.

Laiks ir daļēja dienas daļa. Tā kā diennaktī ir 24 stundas, viena stunda atbilst 1/24, 12 stundas atbilst vērtībai 0,5 utt. Līdzīgi kā datuma ievadīšanai, laiku var ievadīt tieši laika formātā. Piemēram, ievadot veidlapu 10:15:28 atbildīs 10 stundas 15 minūtes 28 sekundes 1900. gada 0. janvārī, kas skaitliskā formātā ir vienāds ar 0,420138888888889. Datuma aritmētika dabiski tiek atbalstīta laika līmenī.

Norādot laiku, varat ignorēt sekundes un minūtes. Pēdējā gadījumā pēc stundām noteikti ievadiet kolu. Piemēram, ja mēs ievadām rakstzīmes 6: , šūnā mēs atradīsim 6:00 (t.i., 6 stundas 0 minūtes). Ir iespējams apvienot datumu un laiku, atdalot tos ar atstarpi. Jā, ievade 7.2.99 6:12:40 atbilst 1999. gada 7. februārim, 6 stundas 12 minūtes 40 sekundes.

Ir ātrs veids, kā ievadīt datorā saglabāto pašreizējo datumu un laiku - tie ir īsinājumtaustiņi Ctrl+; Un Ctrl+Shift+: attiecīgi.

LOĢISKIE DATI ir viena no divām nozīmēm - PATIESA vai MELI. Tos izmanto kā jebkuras pazīmes vai notikuma esamības/neesamības indikatorus, kā arī var būt argumenti dažām funkcijām. Daudzos gadījumos šo vērtību vietā var izmantot attiecīgi skaitļus 1 vai 0.

MASĪVI faktiski nav datu tips, bet tikai veido organizētu jebkura veida šūnu vai konstantu kopu. Programma Excel masīvu (iespējams, satur daudzas šūnas) apstrādā kā vienu elementu, kuram var attiecināt visu matemātiskās operācijas un relāciju operācijas. Masīvā var būt ne tikai daudzas šūnas, bet arī daudzas konstantes, piemēram, izteiksme (7;-4;9) apraksta trīs ciparu elementu konstantu masīvu. Mēs atgriezīsimies pie jautājuma par masīvu apstrādi vēlāk.

Formulu veidošana

Izklājlapu spēks slēpjas spējā ievietot tajās ne tikai datus, bet arī formulas.

Visām formulām jāsākas ar zīmi “=”, un tās var ietvert konstantes, darbības zīmes, funkcijas, šūnu adreses (piemēram, =5+4/35, =12%*D4, =12*A4-SIN(D3)^2) .

Programmā Excel ir derīgi šādi operatori:

Aritmētiskie operatori(norādīts prioritārā secībā):

– apgriezt (reizināt ar mīnus 1), ^ paaugstināšana,

% ir procentuālā darbība, *, / reizināšana, dalīšana, +, – saskaitīšana, atņemšana.

Darbības tiek veiktas no kreisās puses uz labo prioritārā secībā, ko var mainīt ar iekavām. Formulu piemēri:

formulas regulārā apzīmējumā: šūnu formulas:

=7+5^3/(6*8)

=A5/(C7-4)+(4+F4)/(8-D5)*2,4

2 + SinD32 =2+(SIN(D3))^2.

Piezīmes par % zīmi.

Ja šūnā ievadāt skaitli ar % zīmi, tā faktiskā vērtība būs 100 reizes mazāka. Piemēram, ja ir ievadīti 5%, tiks saglabāts skaitlis 0,05. Tādējādi tiek ievadīts procents un saglabāts koeficients. Šī darbība ir līdzvērtīga procentuālā šūnas formāta iestatīšanai skaitlim 0,05.

Skaidrības labad var būt noderīga procentuālo vērtību ievadīšana formulā (tas ir, izteiksmē, kas sākas ar vienādības zīmi). Pieņemsim, ka jums jāiegūst 5% no skaitļa 200. Varat to uzrakstīt šādi =0,05*200, vai arī =5%*200 vai =200*5%. Abos gadījumos rezultāts būs vienāds - 10. Procentu zīmi var attiecināt arī uz šūnām, piemēram =E4%. Rezultāts būs viena simtā daļa no E4 satura.

Teksta operators–&. Operators tiek izmantots, lai savienotu divas virknes vienā. Tā, piemēram, savienojuma operatora piemērošanas rezultāts formulā = “Pēteris”&” Kuzņecovs” būs frāze “Pēteris Kuzņecovs”.

Relāciju operatori:=, <, >, <=, >=, < >. Operatorus var izmantot gan ar ciparu, gan teksta datiem. To nozīme ir acīmredzama, izņemot, iespējams, zīmes < > . Tie nozīmē nevienlīdzības attiecības.

Izmantojot relāciju zīmes, varat izveidot tādas formulas kā ="F">"D" un =3>8.

Viņu rezultāts pirmajā gadījumā būs vārds TRUE, jo burts F alfabētā nāk aiz burta D (burta F kods ir lielāks par burta D kodu). Otrajā gadījumā acīmredzamu iemeslu dēļ vārds ir FALSE.

Šķiet, ka šādu formulu izmantošana praksē ir maz lietderīga, taču tas tā nav. Ļaujiet, piemēram, noskaidrot, ka visi tabulas skaitļi šūnās A1, A2, A3 un A4 ir lielāki par nulli. To var izdarīt, izmantojot vienkāršu formas izteiksmi (iekavās ir jābūt) =(A1>0)*(A2>0)*(A3>0)*(A4>0).

Ja tas tā patiešām ir, tad aprēķinu rezultāts būs

TRUE*TRUE*TRUE*TRUE=1*1*1*1=1.

Tā kā aritmētiskajās operācijās loģiskā vērtība TRUE tiek interpretēta kā 1 un FALSE kā 0, tad šeit iegūsim skaitli 1. Citādi - 0. Vēlāk (funkcijas IF() iekšpusē) šo apstākli var pareizi apstrādāt.

Vēl viens piemērs. Uzziniet, ka tikai viens no A1, A2, A3, A4 ir lielāks par nulli. Šeit noder izteiksme =(A1>0)+(A2>0)+(A3>0)+(A4>0).

Ja, piemēram, tikai A2 ir lielāks par nulli, tad = FALSE + TRUE + FALSE + FALSE = 0 + 1 + 0 + 0 = 1.

Ja visi skaitļi ir negatīvi, rezultāts būs 0. Ja ir vairāk nekā viens pozitīvs skaitlis, tad rezultāts būs lielāks par 1 (no 2 līdz 4).

komentēt. Programmā Excel iespējams salīdzināt burtus un ciparus savā starpā un pieņemts, ka burts vienmēr ir “lielāks” par ciparu. Tā, piemēram, šūnas, kurā ir atstarpe, vērtība būs lielāka par jebkuru skaitli. Ja jūs tam nepievēršat uzmanību, var rasties grūti atpazīstama kļūda, jo šūna ar atstarpi izskatās tāpat kā tukša šūna, kuras vērtība tiek uzskatīta par nulli. Papildus operatoriem programmā Excel ir daudzas funkcijas, kas ir vissvarīgākais izklājlapu skaitļošanas rīks. Tie tiks apspriesti 4. nodaļā.

Šūnu atsauces var ievadīt tieši no tastatūras, taču tās var uzticamāk un ātrāk norādīt ar peli, kas tiek izmantota kā rādītājs. Šeit tiek garantēta pareiza ievade, jo lietotājs redz tieši (atlasītie objekti ir ierāmēti ar punktētu līniju) un izvēlas tieši tos datus, kurus viņš vēlas iekļaut izteiksmē.

Pieņemsim, ka šūnā A1 jāievada formula ar formu =A2+D4·C1. Šeit (2.4-1. att.) jāveic šāda darbību ķēde:

Tāpat formulās varat iekļaut saites uz blokiem. Pieņemsim, ka A1 jāievada šāda (2.4.-2. att.) summēšanas funkcija: =SUM(A2:D8;E3). Funkcijas nosaukums tiek ievadīts ar krievu burtiem, bet šūnu adreses, protams, latīņu valodā.

Excel rīkjoslā ir īpaši rīki, kas atvieglo formulu ievadīšanu. Tiem var piekļūt, izmantojot ikonas Funkciju vednis Un Automātiskā summēšana(summēšanai).

Tā lielās nozīmes dēļ tagad apsvērsim pēdējo. Automātiskā summēšana ir pieejama, izmantojot pogu å rīkjoslā. Ar tās palīdzību var ļoti vienkārši ieviest summēšanas funkciju, praktiski nepieskaroties tastatūrai. Pieņemsim (2. rinda 2.4-3. att.) šūnā G2 jāaprēķina apgabala B2:F2 blakus esošo šūnu summa. Lai to izdarītu, stāviet uz šūnas G2 un noklikšķiniet uz automātiskās summas pogas. Programma Excel pati ievadīs funkcijas nosaukumu un tās argumentus G2, kā arī iezīmēs paredzēto summēšanas apgabalu ar skrienošu punktētu līniju, tāpēc atliek tikai nospiest taustiņu Enter. Programmā Excel ir (apļi ar punktētu līniju) summēšanas apgabalā nepārtraukta tabulas sadaļa līdz pirmajai vērtībai, kas nav skaitliska, uz augšu vai pa kreisi.

Pieņemsim, ka G4 jums ir jāapkopo dati no šūnu diapazona B4:F4, starp kuriem (pagaidām) ir tukšas. Noklikšķinot uz pogas å šūnā G4 izveidos summēšanas funkciju tikai šūnām E4:F4. Taču situāciju ir viegli labot, uzreiz ar peli izvēloties vajadzīgo summēšanas apgabalu B4:F4 un nospiežot Enter. Ja šūna, kurā tiek aprēķināta summa, neatrodas blakus nevienas summējamās šūnas augšējai/kreisajai malai (attēlā 6. rindiņa), automātiskās summas poga ievadīs tikai funkcijas nosaukumu. Šeit jums jārīkojas kā iepriekš - izmantojiet peli, lai norādītu summēšanas objektu (šeit B6:F6).

Masīvu apstrāde. Formulas, kas izmanto datu attēlojumu kā masīvus, parasti tiek ievadītas blokā visās tā šūnās uzreiz. Piemēram, pieņemsim, ka kolonnā C (2.4.-4. att.) vēlaties iegūt A un B kolonnu elementu reizinājumu. Tipiska metode ir ievadīt C1 formulu formā =A1*B1 un pēc tam kopēt. to uz leju. Tomēr jūs varat darīt savādāk. Izvēlieties turpmākā darba apgabalu C1:C3, ievadiet formulu =A1:A3*B1:B3 un nospiediet taustiņus Ctrl+Shift+Enter. Jūs redzēsiet, ka visās apgabala C1:C3 šūnās ir iegūti atbilstošie pāru reizinājumi, un formulu joslā visiem redzēsiet vienu un to pašu izteiksmi (=A1:A3*B1:B3).

Skaitļa veselo skaitļu un daļskaitļu daļu vēsture un definīcija

Viduslaikos dzīvoja viens no izcilākajiem angļu zinātniekiem, franciskāņu mūks Viljams no Okhemas. Viņš dzimis Okhemā, Anglijas Surejas grāfistē, kaut kad no 1285. līdz 1300. gadam, mācījies un pasniedzis Oksfordā un pēc tam Parīzē. Vajāts savu mācību dēļ, Okhems atrada patvērumu Luisa galmā.IVBavārietis Minhenē un, gudri viņu nepametot, dzīvoja tur līdz savai nāvei 1349. gadā.

Okhems tiek uzskatīts par vienu no lielo domātāju Renē Dekarta un Imanuela Kanta priekštečiem. Pēc viņa filozofiskajiem uzskatiem, realitāte ir konkrētas lietas esamība, tāpēc "velti ar vairāk dara to, ko var izdarīt ar mazāk". Šis apgalvojums kļuva par domāšanas ekonomijas principa pamatu. Viljams Okhems to izmantoja ar tik postošu spēku, ka vēlāk tas saņēma tagad tik populāro nosaukumu “Occam’s razor”.

Daudziem cilvēkiem, kuriem nav labi matemātika, ikdiena kļuva par tādiem jautājumiem kā “Ko vēl var atklāt matemātikā?” Ņemot vērā jautājošo matemātisko sagatavotību, varam pieņemt, ka runa ir tikai par skolas līmeņa matemātiku. Diezgan Okhema garā mēs piedāvājam jautātājiem un, pirmkārt, pašiem studentiem dažus uzdevumus, kas maina viņiem labi zināmo veselo skaitļu un daļskaitļu daļu jēdzienu. Izmantojot šīs problēmas, parādīsim, cik svarīgi ir izskatīt nevis katru problēmu atsevišķi, bet apvienot tās sistēmā, izstrādājot vispārīgu risinājuma algoritmu. Šis metodiskais paņēmiens mums diktē Okhema domāšanas ekonomijas principu.

Definīcija: skaitļa x veselā daļa ir lielākais veselais skaitlis c, kas nepārsniedz x, t.i. ja [x] = c,c ≤ x < c + 1.

Piemēram: = 2;

[-1,5] = -2.

Reāla skaitļa x veselo daļu apzīmē ar simbolu [x] vai E(x).

Simbolu [x] 1808. gadā ieviesa vācu matemātiķis K. Gauss (1771-1855), lai apzīmētu skaitļa x veselo daļu.

Funkciju y = [x] sauc par “Antje” funkciju ( fr. entier — vesels skaitlis) un tiek apzīmēts ar E(x). Šo zīmi 1798. gadā ierosināja franču matemātiķis A. Leģendrs (1752-1833). Izmantojot dažas funkcijas vērtības, varat izveidot tās grafiku. Tas izskatās šādi:

Funkcijas y = [x] vienkāršākās īpašības:

1. Funkcijas y = [x] definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa R.

2. Funkcijas y = [x] diapazons ir visu veselo skaitļu kopa Z.

3. Funkcija y = [x] ir gabalos konstante.

4. Funkcija y = [x] ir nesamazinoša, t.i., jebkuram x 1 un x 2 no R, piemēram,

ka x 1 ≤ x 2 ,nevienlīdzība [ x 1 ] ≤ [ x 2 ].

5. Jebkuram veselam skaitlim n un jebkuram reālam skaitlim x ir spēkā šāda vienādība: = [x] + n.

6. Ja x ─ ir reāls skaitlis, kas nav vesels skaitlis, tad ir spēkā šāda vienādība: [-x] = -[x] - 1.

7. Jebkuram reālam skaitlim x ir patiesa šāda sakarība:

[x] ≤ x< [x] + 1,причём равенство [x] = x достигается тогда и только тогда, когда х ─ vesels skaitlis, t.i., x Z.

Rodas jautājums: "Ja ir funkcija skaitļa veselajai daļai, varbūt ir funkcija arī skaitļa daļējai daļai?"

Definīcija: skaitļa daļēja daļa (apzīmēta ar (x)) ir starpība x - [x].

Piemēram: {3,7} = 0,7

{-2,4} = 0,6.

Uzzīmēsim funkciju y = (x). Tas izskatās šādi:

Funkcijas y = (x) vienkāršākās īpašības:

1. Funkcijas y = (x) definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa R.

2. Funkcijas y = (x) vērtību diapazons ir pusintervāls, un y = (x) palīdzēs izpildīt dažus uzdevumus.

UZDEVUMI:

1) Veidojiet funkciju grafikus:

A) y = [ X ] + 5;

b) y = (x) - 2;

c) y = |[ x]|.

2) Kādi varētu būt skaitļi x un y, ja:

a) [x + y] = y;

b) [x - y] = x;

c) (x–y) = X;

d) (x + y) = y.

3) Ko var teikt par starpības x - y lielumu, ja:

a) [x] = [y];

b) (x) = (y).

4) Kas ir lielāks: [a] vai (a)?

2.1. Vienkāršākie vienādojumi

Vienkāršākie vienādojumi ietver vienādojumus formā [x] = a.

Šāda veida vienādojumi tiek atrisināti pēc definīcijas:

a ≤ x< а +1 , где а - целое число.

Ja a ir daļskaitlis, tad šādam vienādojumam nebūs sakņu.

Apskatīsim risinājuma piemēru viens no šiem vienādojumiem:

[X + 1,3] = - 5. Pēc definīcijas šāds vienādojums pārvēršas nevienādībā:

5 ≤ x + 1,3< - 4. Решим его. Получим -6,3 ≤ х < - 5,3.

Tas būs vienādojuma risinājums.

Atbilde: x [-6,3;-5,3).

Apskatīsim vēl vienu vienādojumu, kas pieder pie vienkāršākās kategorijas:

[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2

Lai atrisinātu šāda veida vienādojumus, ir jāizmanto vesela skaitļa funkcijas īpašība: Ja p ir vesels skaitlis, tad vienādība ir patiesa

[x ± p] = [x] ± p

Pierādījums: x = [x] + (x)

[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± p

x = k+ a, kur k= [x], a = (x)

[ k + a ± lpp ] = [ k + a ] ± lpp= [x] ± lpp.

Atrisināsim piedāvāto vienādojumu, izmantojot pārbaudīto īpašību: Iegūsim [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. Iegūsim līdzīgus vārdus un iegūstam vienkāršāko vienādojumu [x] = 6. Tā risinājums ir pusintervāls x = 1

Pārveidosim vienādojumu par nevienādību: 1 ≤ x 2 -5x+6< 2. Двойное неравенство запишем в форме системы неравенств:

x 2 - 5x + 6< 2,

x 2 - 5x + 6 ≥ 1 un atrisiniet to;

x 2 - 5x + 4<0,

x 2 - 5x + 5>0

Mēs iegūstam x (1;4)

X (-∞;(5 -
)/2]
[(5 +)/2; +∞),

X (1; (5 - )/2]
[(5 +)/2;4).

Atbilde: x (1; (5 - )/2]
[(5 +)/2;4).

PATS ATRISINIET PIEDĀVĀTOS VIENĀDĀJUMU:

1) = 1

2) = 0,487

3) [ x + 4] – [ x + 1] = 2

4) [x 2] = 4

5) [ x] 2 = 4

6) [ x + 1,3] = - 5

7) [x 2 - x + 4] = 2

8) = - 1

9) = 4,2

10) (x) – [x] + x = 0

11) x + (x) + [x] = 0

12) [4x–5] = 7

2.2. Formas vienādojumu atrisināšana [ f ( x )]= g ( x )

Formas vienādojums [ f(x)]= g(x) var atrisināt, reducējot tos līdz vienādojumam

[ x] = a.

Apsvērsim piemērs 1 .

Atrisiniet vienādojumu

Aizstāsim vienādojuma labo pusi ar jaunu mainīgoaun izteiksim no šejienesx

11 a = 16 x + 16, 16 x = 11 a – 16,

Tad
=
=

Tagad atrisināsim vienādojumu
attiecībā pret mainīgoA .

Izvērsīsim veselā skaitļa daļas zīmi pēc definīcijas un uzrakstīsim to, izmantojot nevienādību sistēmu:

No starp
atlasiet visas veselo skaitļu vērtībasa: 3;4;5;6;7 un veiciet apgriezto aizstāšanu:

Atbilde:

2. piemērs.

Atrisiniet vienādojumu:

Sadaliet katru iekavās esošo skaitītāja vārdu ar saucēju:

UN

No skaitļa veselās daļas definīcijas izriet, ka (a+1) ir jābūt veselam skaitlim, kas nozīmē, ka a ir vesels skaitlis.Cipari a, (a+1), (a+2) - trīssecīgi skaitļi, kas nozīmē, ka vienam no tiem ir jābūt dalāmamar 2 un viens ar 3. Tāpēc skaitļu reizinājums dalāsvisu ceļu līdz 6.

Tas irvesels skaitlis. Līdzekļi

Atrisināsim šo vienādojumu.

a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0

(a+1)(a(a+2) - 6) = 0

a + 1 = 0 vai a 2 + 2a – 6 = 0

a = -1 D = 28

a= -1 ±
(nav veseli skaitļi).

Atbilde: -1.

Atrisiniet vienādojumu:

2.3. Grafisks vienādojumu risināšanas veids

1. piemērs.[x] = 2(x)

Risinājums. Atrisināsim šo vienādojumu grafiski. Izveidosim funkciju y = [x] un y = 2(x) grafikus. Atradīsim to krustošanās punktu abscises.

Atbilde: x = 0; x = 1,5.

Dažos gadījumos ir ērtāk izmantot grafiku, lai atrastu grafiku krustošanās punktu ordinātas. Pēc tam aizstājiet iegūto vērtību vienā no vienādojumiem un atrodiet vajadzīgās x vērtības.

Grafiski atrisiniet vienādojumus:

(x) = 1 – x; 6) [|x|] = x;

(x) + 1 = [x]; 7) [|x|] = x + 4;

3x; 8) [|x|] = 3|x| - 1;

3(x) = x; 9) 2(x) – 1 = [x] + 2;

5) (x) = 5x + 2; 10) Cik daudz risinājumu dara

vienādojums 2(x) = 1 - .

2.4. Vienādojumu atrisināšana, ieviešot jaunu mainīgo.

Apskatīsim pirmo piemēru:

(X) 2 -8(x)+7 = 0

Aizstāt (x) ar a, 0 A< 1, получим простое квадратное уравнение

A 2 - 8a + 7 = 0, ko mēs atrisinām, izmantojot teorēmu, kas ir apgriezta Vietas teorēmai:Iegūtās saknes ir a = 7 un a = 1. Veiksim apgriezto nomaiņu un saņemsimdivi jauni vienādojumi: (x) = 7 un (x) = 1. Abiem šiem vienādojumiem nav sakņu.Tāpēc vienādojumam nav atrisinājumu.

Atbilde: risinājumu nav.

Apskatīsim citu gadījumu vienādojuma atrisināšana, ieviešot jaunu

mainīgais:

3[x] 3 + 2[x] 2 + 5[x]-10 = 0

Izdarīsim aizstāšanu [x] = a, az. un mēs iegūstam jaunu kubiskā vienādojumuAiz muguras 3 +2a 2 +5a-10=0. Mēs atrodam šī vienādojuma pirmo sakni, atlasot:a=1 ir vienādojuma sakne. Mēs dalām vienādojumu ar (a-1). Mēs saņemamkvadrātvienādojums 3a 2 + 5a +10=0. Šim vienādojumam ir negatīvsdiskriminējošs, kas nozīmē, ka tam nav risinājumu. Tas ir, a=1 ir vienīgaisvienādojuma sakne. Mēs veicam apgriezto aizstāšanu: [x]=a=1. Mēs atrisinām iegūto vienādojumu, definējot skaitļa veselo daļu: x 2 + 8[x]-9 = 0

3(x-[x]) 2 + 2([x]-x)-16 = 0

[X] 4 -14[x] 2 +25 = 0

(2 (x)+1) 3 – (2(x)-1) 3 = 2

(x-[x]) 2 = 4

5[x] 2 -7[x]-6 = 0

6(x) 2 +(x)-1 =0

1/([x]-1) - 1/([x]+1) = 3-[x]

12(x) 3 -25(x) 2 +(x)+2 = 0

10) 10[x] 3 -11[x] 2 -31[x]-10 = 0

2.5. Vienādojumu sistēmas.

Apsveriet vienādojumu sistēmu:

2[ x] + 3[ y] = 8,

3[ x] – [ y] = 1.

To var atrisināt ar pievienošanu vai aizstāšanu. Koncentrēsimies uz pirmo metodi.

2[ x] + 3[ y] = 8,

9[ x] – 3[ y] = 3.

Pēc abu vienādojumu pievienošanas mēs iegūstam 11[x] = 11. Tātad

[ x] = 1. Aizstājiet šo vērtību sistēmas pirmajā vienādojumā un iegūstiet

[ y] = 2.

[ x] = 1 un [ y] = 2 – sistēmas risinājumi. Tas irx= 18 g

18-x-y

3) 3[x] – 2(y) = 6

[x] 2 – 4(y) = 4

4) 3(x)–4(y) = -6

6(x)–(y) 2 = 3.

3.1. Formas funkciju grafiku uzzīmēšana y = [ f ( x )]

Lai ir funkcijas y = grafiksf(X). Lai attēlotu funkciju y = [f(x)], rīkojieties šādi:

Zīmējiet taisnas līnijas y =n, nn, y =n + 1.

n, y =n+ 1 ar funkcijas y = grafikuf(X). Šie punkti pieder funkcijas y = [ grafikamf( x)], jo to ordinātas ir veseli skaitļi (attēlā tie ir punkti A, B, C,D).

Uzzīmēsim funkciju y = [x]. Priekš šī

Zīmējiet taisnas līnijas y =n, n= 0; -1; +1; -2; +2; ... un apsveriet vienu no svītrām, ko veido taisnas līnijas y =n, y =n + 1.

Atzīmējam taisnes y = krustošanās punktusn, y =n+ 1 ar grafiku

funkcija y = [x]. Šie punkti pieder funkcijas y = [x] grafikam,

jo to koordinātas ir veseli skaitļi.

Lai iegūtu atlikušos funkcijas y = [x] grafika punktus norādītajā joslā, projicējiet to grafikas daļu y = x, kas iekrīt joslā paralēli O asij plkst līdz taisnei y =n, y =n+ 1. Tā kā jebkurš šīs funkcijas grafika daļas punkts My = x, ir šādas ordinātasy 0 , Kasn < y 0 < n+ 1, tad [y 0 ] = n

Katrā citā joslā, kur funkcijas y = x grafikā ir punkti, konstrukcija tiek veikta līdzīgi.

UZDEVUMI NEATKARĪGAM RISINĀJUMAM

Grafiksējiet funkcijas:

3.2. Formas funkciju grafiku uzzīmēšana y = f ([ x ])

Dots kādas funkcijas y = grafiksf(X). Funkcijas y = grafika uzzīmēšanaf([x]) veic šādi:

Lai iegūtu funkcijas grafika atlikušos punktus y =f([x]) funkcijas y = grafika norādītajā joslas daļāf(x) iekrišana šajā joslā tiek projicēta paralēli O asij plkst līdz taisnei y =f( n).

Katrā otrajā joslā, kur funkcijas y = grafikā ir punktif(x), būvniecība tiek veikta līdzīgā veidā.

Apsvērsim funkcijas y = attēlošanu. Lai to izdarītu, mēs uzzīmēsim funkcijas y = grafiku ar punktētu līniju. Tālāk

cipariem.

3. Katrā citā joslā, kur funkcijas y = grafikā ir punkti, konstruēšana tiek veikta līdzīgi.

UZDEVUMI NEATKARĪGAM RISINĀJUMAM

Grafiksējiet funkcijas:

Sauksim šādas attiecības par galvenajām nevienādībām ar [x] un (x): [x] > b un (x) > b. Ērta metode to risināšanai ir grafiskā metode. Paskaidrosim to ar diviem piemēriem.

1. piemērs.[x] ≥ b

Risinājums. Ieviesīsim divas funkcijas y = [x] un y =bun uzzīmējiet to grafikus uz tā paša zīmējuma. Ir skaidrs, ka tad ir jānošķir divi gadījumi:b– vesels un b- ne vesels.

1. gadījums. b- vesels

y=b(bZ)

y=b (b Z)

Attēlā redzams, ka grafiki sakrīt [b; b + 1].

Tāpēc, atrisinot nevienādību [x] ≥b būs stars x ≥ b.

2. gadījums. b- ne vesels.

Šajā gadījumā funkciju y = [x] un y = grafikibnekrustojas. Bet grafika y = [x] daļa, kas atrodas virs taisnes, sākas punktā ar koordinātām ([b] + 1; [ b] + 1). Tādējādi, atrisinot nevienādību [x] ≥b būs stars x ≥ [ b] + 1.

Cita veida pamata nevienlīdzības tiek pētītas tieši tādā pašā veidā. Šo pētījumu rezultāti ir apkopoti tabulā zemāk.

Vairākas nozīmes

[X]≥ b, bZ

x≥ b

[x] ≥b,

[x] >b, b- jebkura

x≥ [b] + 1

[X]≤ b, b- jebkurš [x]< b, b- jebkura jebkura

X< [ b] + 1

[X]< b, bZ

X< b

{ X)≥ b, (x) >b, b≥ 1

Nav risinājumu

(X)≥ b, (x) >b, b < 0

(-∞; +∞)

(X)≥ b, (X)> b, 0 ≤ b< 1

n+b≤ x< 1+n

n+b< x< 1 + n, nZ

{ X) ≤ b, (X)< b, b≥ 1

(-∞; +∞)

(X) ≤ b, (X)< b, b< 0

Nav risinājumu

(X) ≤ b, (X)< b, 0 ≤ b<1

n≤ x≤ b+ n

n< x≤ b+ n, nZ

Apsvērsimpiemērs nevienlīdzības risinājumi:

Aizstāsim [x] uz mainīgo a, kur a ir vesels skaitlis.

>1 ;
>0;
>0;
>0.

Izmantojot intervāla metodi, mēs atrodama > -4 [ x] > -4

a< 1/3 [x]< 1/3.

Lai atrisinātu iegūtās nevienādības, mēs izmantojam sastādīto tabulu:

x ≥ -3,

X< 1. x [-3;1)

Atbilde:[-3;1) .

UZDEVUMI NEATKARĪGAM RISINĀJUMAM.

1) [x]< 2

2) [x]≤ 2

3) [x] > 2.3

4) [x] 2

5) [X] 2 -5[x]-6< 0

6) [x] 2 - 7[x] + 6 0

7) 30[x] 2 -121 [x] + 80< 0

8) [x] 2 + 3[x]-4 0

9) 3(x) 2 -8(x)-4< 0

10) 110[x] 2 -167 [x] + 163 0

11)
> 2

12)
> 1

13)
0

14)
0

1. piemērs.

Pierādiet, ka skaitlis
dalās ar 5 jebkurai dabiskajain.

Pierādījums: Ļaujietn– pāra skaitlis, t.i.n=2 m, KurmN, Piemērs 2. , tad (gadi).

Voronova A.N. Nevienādības ar mainīgo zem veselas daļas zīmes // Matemātika skolā. 2002. Nr.2. P.56-59.

Galkins E.V. Nestandarta uzdevumi matemātikā. Algebra: mācību grāmata. rokasgrāmata 7-11 klašu skolēniem. Čeļabinska: “Vzglyad”, 2004.

Papildnodaļas par 10. klases matemātikas kursu izvēles stundām: Rokasgrāmata skolēniem / Sast. AIZ. Einuhs. M.: Izglītība, 1979. gads.

Erovenko V.A., O.V Mihaskova O.V. Okama metodiskais princips, izmantojot skaitļa veselo skaitļu un daļskaitļu daļu funkciju piemēru // Matemātika skolā. 2003. Nr.3. P.58-66.

7. Kirzimovs V. Vienādojumu un nevienādību atrisināšana, kas satur veselu skaitli un

daļēja daļa cipari // Matemātika. 2002.№30. 26.-28.lpp.

8. Shreiner A.A. “Novadu matemātikas olimpiāžu uzdevumi

Novosibirskas apgabals". Novosibirska 2000.

9. Katalogs “Matemātika”, Maskavas “AST-PRESS” 1997.g.

10. Raihmists R.B. “Funkciju grafiki. Uzdevumi un vingrinājumi." Maskava.

“Skola – prese” 1997.

11. Mordkovičs A.G., Semenovs P.V. un citi “Algebra un analīzes sākums. 10

Klase. 2. daļa. Problēmu grāmata. Profila līmenis" Smoļenska

"Mnemosyne" 2007.

Nodarbības mērķi: iepazīstināt skolēnus ar skaitļa veselo skaitļu un daļēju daļu jēdzienu; formulēt un pierādīt dažas skaitļa veselās daļas īpašības; iepazīstināt skolēnus ar plašu skaitļa veselo skaitļu un daļskaitļu daļu lietojumu klāstu; uzlabot spēju atrisināt vienādojumus un vienādojumu sistēmas, kas satur skaitļa veselas un daļējas daļas.

Aprīkojums: plakāts “Kas dara un domā par sevi no mazotnes, vēlāk kļūst uzticamāks, stiprāks, gudrāks” (V. Šuksins).
Projektors, magnētiskā tāfele, algebras uzziņu grāmata.

Nodarbības plāns.

1. Laika organizēšana.
2. Mājas darbu pārbaude.
3. Jauna materiāla apgūšana.
4. Problēmu risināšana par tēmu.
5. Nodarbības kopsavilkums.
6. Mājasdarbs.

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais punkts: nodarbības tēmas ziņojums; nodarbības mērķa noteikšana; vēstījums par nodarbības posmiem.

II. Mājas darbu pārbaude.

Atbildiet uz studentu jautājumiem par mājasdarbs. Risiniet problēmas, kas radīja grūtības, pildot mājasdarbus.

III. Jauna materiāla apgūšana.

Daudzos algebras uzdevumos ir jāņem vērā lielākais veselais skaitlis, kas nepārsniedz noteiktu skaitli. Šāds vesels skaitlis ir saņēmis īpašu nosaukumu “skaitļa vesela skaitļa daļa”.

1. Definīcija.

Reālā skaitļa x veselā daļa ir lielākais veselais skaitlis, kas nepārsniedz x. Skaitļa x veselo daļu apzīmē ar simbolu [x] vai E(x) (no franču valodas Entier “antier” ─ “vesels”). Piemēram, = 5, [π ] = 3,

No definīcijas izriet, ka [x] ≤ x, jo veselā skaitļa daļa nepārsniedz x.

No otras puses, jo [x] ir lielākais veselais skaitlis, kas apmierina nevienādību, tad [x] +1>x. Tādējādi [x] ir vesels skaitlis, ko nosaka nevienādības [x] ≤ x< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.

Skaitli α = υ ─ [x] sauc par skaitļa x daļēju daļu un apzīmē ar (x). Tad mums ir: 0 ≤ (x)<1 и следовательно, х = [x] + {х}.

2. Dažas antie īpašības.

1. Ja Z ir vesels skaitlis, tad = [x] + Z.

2. Jebkuriem reāliem skaitļiem x un y: ≥ [x] + [y].

Pierādījums: tā kā x = [x] + (x), 0 ≤ (x)<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.

Ja 0 ≤ α<1. ς о = [x] + [у].

Ja 1≤ α<2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и

= [x] + [y] + 1> [x] + [y].

Šis īpašums attiecas uz jebkuru ierobežotu skaitu terminu:

≥ + + + … + .

Aptuvenajos aprēķinos ļoti svarīga ir spēja atrast daudzuma veselo skaitļu daļu. Faktiski, ja mēs zinām, kā atrast vērtības x veselo daļu, tad, ņemot [x] vai [x]+1 kā aptuvenu vērtības x vērtību, mēs pieļausim kļūdu, kuras vērtība nav lielāka par vienu. , kopš

≤ x – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.

Turklāt daudzuma veselās skaitļa daļas vērtība ļauj atrast tās vērtību ar precizitāti 0,5. Šai vērtībai varat ņemt [x] + 0,5.

Iespēja atrast visu skaitļa daļu ļauj noteikt šo skaitli ar jebkādu precizitātes pakāpi. Patiešām, kopš

≤ Nx ≤ +1, tad

Lielākam N kļūda būs maza.

IV. Problēmu risināšana.

(Tos iegūst, ekstrahējot saknes ar precizitāti 0,1 ar deficītu un pārpalikumu). Saskaitot šīs nevienlīdzības, mēs iegūstam

1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.

Tie. 3.1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.

Ņemiet vērā, ka skaitlis 3,25 atšķiras no x ne vairāk kā par 0,15.

2. uzdevums. Atrodiet mazāko naturālo skaitli m, kuram

Pārbaude parāda, ka k = 1 un k = 2 iegūtā nevienādība nepastāv nevienam dabiskajam m, un k = 3 tai ir risinājums m = 1.

Tas nozīmē, ka nepieciešamais skaitlis ir 11.

Atbilde: 11.

Antje in Eqs.

Atrisinot vienādojumus ar mainīgo zem zīmes “veselā skaitļa daļa”, parasti tiek atrisinātas nevienādības vai nevienādību sistēmas.

3. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu:

4. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

Pēc veselā skaitļa daļas definīcijas iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs dubultajai nevienādībai

5. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

Risinājums: ja diviem skaitļiem ir vienāda veselā skaitļa daļa, tad to starpība absolūtajā vērtībā ir mazāka par 1, un tāpēc no šī vienādojuma izriet nevienlīdzība

Un tāpēc, pirmkārt, x≥ 0, un, otrkārt, summā iegūtās dubultās nevienādības vidū visi termini, sākot no trešā, ir vienādi ar 0, tātad x < 7 .

Tā kā x ir vesels skaitlis, atliek tikai pārbaudīt vērtības no 0 līdz 6. Vienādojuma risinājumi ir skaitļi 0,4 un 5.

c) marķēšana.

VI. Mājasdarbs.

Papildu uzdevums (pēc izvēles).

Kāds izmērīja taisnstūra garumu un platumu. Viņš reizināja visu garuma daļu ar visu platuma daļu un ieguva 48; reizina visu garuma daļu ar platuma daļdaļu un ieguva 3,2; reizināta daļēja garuma daļa ar visu platuma daļu un iegūta 1,5. Nosakiet taisnstūra laukumu.