Kvadrātvienādojums — viegli atrisināms! *Turpmāk “KU”. Draugi, šķiet, ka matemātikā nevar būt nekā vienkāršāka par šāda vienādojuma atrisināšanu. Bet kaut kas man teica, ka daudziem cilvēkiem ir problēmas ar viņu. Es nolēmu redzēt, cik daudz seansu pēc pieprasījuma mēnesī sniedz Yandex. Lūk, kas notika, skatieties:

Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka aptuveni 70 000 cilvēku mēnesī meklē šo informāciju, kāds šai vasarai sakars ar to, un kas notiks starp skolas gads— būs divreiz vairāk pieprasījumu. Tas nav pārsteidzoši, jo šo informāciju meklē tie puiši un meitenes, kuri jau sen beiguši skolu un gatavojas vienotajam valsts eksāmenam, un arī skolēni cenšas atsvaidzināt atmiņu.

Neskatoties uz to, ka ir daudz vietņu, kas stāsta, kā atrisināt šo vienādojumu, es nolēmu arī sniegt savu ieguldījumu un publicēt materiālu. Pirmkārt, es vēlos, lai apmeklētāji nāk uz manu vietni, pamatojoties uz šo pieprasījumu; otrkārt, citos rakstos, kad uznāks tēma “KU”, iedošu saiti uz šo rakstu; treškārt, es jums pastāstīšu nedaudz vairāk par viņa risinājumu, nekā parasti tiek teikts citās vietnēs. Sāksim! Raksta saturs:

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar šādu formu:

kur koeficienti a,bun c ir patvaļīgi skaitļi ar a≠0.

Skolas kursā materiāls tiek sniegts šādā formā - vienādojumi ir sadalīti trīs klasēs:

1. Viņiem ir divas saknes.

2. *Ir tikai viena sakne.

3. Viņiem nav sakņu. Šeit ir īpaši vērts atzīmēt, ka tiem nav īstu sakņu

Kā tiek aprēķinātas saknes? Tikai!

Mēs aprēķinām diskriminantu. Zem šī “briesmīgā” vārda slēpjas ļoti vienkārša formula:

Sakņu formulas ir šādas:

*Šīs formulas jāzina no galvas.

Jūs varat nekavējoties pierakstīt un atrisināt:

Piemērs:

1. Ja D > 0, tad vienādojumam ir divas saknes.

2. Ja D = 0, tad vienādojumam ir viena sakne.

3. Ja D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Apskatīsim vienādojumu:

Šajā sakarā, kad diskriminants ir vienāds ar nulli, skolas kurss saka, ka tiek iegūta viena sakne, šeit tā ir vienāda ar deviņām. Viss ir pareizi, tā ir, bet...

Šī ideja ir nedaudz nepareiza. Patiesībā ir divas saknes. Jā, jā, nebrīnieties, jūs iegūstat divas vienādas saknes, un, lai būtu matemātiski precīzi, atbildē ir jāraksta divas saknes:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet tas tā ir - neliela atkāpe. Skolā to var pierakstīt un teikt, ka ir viena sakne.

Tagad nākamais piemērs:

Kā zināms, negatīva skaitļa sakni nevar ņemt, tāpēc risinājumi iekšā šajā gadījumā Nē.

Tas ir viss lēmumu pieņemšanas process.

Kvadrātiskā funkcija.

Tas parāda, kā risinājums izskatās ģeometriski. Tas ir ārkārtīgi svarīgi saprast (nākotnē vienā no rakstiem mēs detalizēti analizēsim kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumu).

Šī ir formas funkcija:

kur x un y ir mainīgie

a, b, c – doti skaitļi, ar a ≠ 0

Grafiks ir parabola:

Tas ir, izrādās, ka, atrisinot kvadrātvienādojumu ar “y”, kas vienāds ar nulli, mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar x asi. Var būt divi no šiem punktiem (diskriminants ir pozitīvs), viens (diskriminants ir nulle) un neviens (diskriminants ir negatīvs). Sīkāka informācija par kvadrātiskā funkcija Jūs varat apskatīt Innas Feldmanes raksts.

Apskatīsim piemērus:

1. piemērs: Atrisiniet 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atbilde: x 1 = 8 x 2 = –12

*Varēja uzreiz dalīt vienādojuma kreiso un labo pusi ar 2, tas ir, vienkāršot. Aprēķini būs vienkāršāki.

2. piemērs: Izlemiet x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2–4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0

Mēs noskaidrojām, ka x 1 = 11 un x 2 = 11

Atbildē atļauts rakstīt x = 11.

Atbilde: x = 11

3. piemērs: Izlemiet x 2–8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 – 4∙1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminants ir negatīvs, reālos skaitļos risinājuma nav.

Atbilde: nav risinājuma

Diskriminants ir negatīvs. Ir risinājums!

Šeit mēs runāsim par vienādojuma atrisināšanu gadījumā, ja tiek iegūts negatīvs diskriminants. Vai jūs kaut ko zināt par kompleksajiem skaitļiem? Es šeit nestāstīšu par to, kāpēc un kur tie radušies un kāda ir to īpašā loma un nepieciešamība matemātikā; šī ir tēma lielam atsevišķam rakstam.

Kompleksā skaitļa jēdziens.

Nedaudz teorijas.

Komplekss skaitlis z ir formas skaitlis

z = a + bi

kur ir a un b reāli skaitļi, i ir tā sauktā iedomātā vienība.

a+bi – tas ir VIENS SKAITS, nevis papildinājums.

Iedomātā vienība ir vienāda ar sakni no mīnus viens:

Tagad apsveriet vienādojumu:

Mēs iegūstam divas konjugētas saknes.

Nepilns kvadrātvienādojums.

Apskatīsim īpašus gadījumus, kad koeficients “b” vai “c” ir vienāds ar nulli (vai abi ir vienādi ar nulli). Tos var viegli atrisināt bez jebkādiem diskriminācijas līdzekļiem.

1. gadījums. Koeficients b = 0.

Vienādojums kļūst:

Pārveidosim:

Piemērs:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2. gadījums. Koeficients c = 0.

Vienādojums kļūst:

Pārveidosim un faktorinizēsim:

* Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Piemērs:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 vai x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3. gadījums. Koeficienti b = 0 un c = 0.

Šeit ir skaidrs, ka vienādojuma risinājums vienmēr būs x = 0.

Koeficientu derīgās īpašības un modeļi.

Ir īpašības, kas ļauj atrisināt vienādojumus ar lieliem koeficientiem.

Ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība pastāv

a + b+ c = 0, Tas

- ja vienādojuma koeficientiem Ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība pastāv

a+ c =b, Tas

Šīs īpašības palīdz atrisināt noteikta veida vienādojumu.

1. piemērs: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Likmes summa ir 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, kas nozīmē

2. piemērs: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Vienlīdzība ir spēkā a+ c =b, Līdzekļi

Koeficientu likumsakarības.

1. Ja vienādojumā ax 2 + bx + c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 +1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ja vienādojumā ax 2 – bx + c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 +1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 15x2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ja vienād. ax 2 + bx – c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 – 1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ja vienādojumā ax 2 – bx – c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 – 1), un koeficients c skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietas teorēma.

Vietas teorēma ir nosaukta slavenā franču matemātiķa Fransuā Vietas vārdā. Izmantojot Vietas teorēmu, varam izteikt patvaļīga KU sakņu summu un reizinājumu ar tā koeficientiem.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kopumā skaitlis 14 dod tikai 5 un 9. Tās ir saknes. Ar noteiktu prasmi, izmantojot uzrādīto teorēmu, jūs varat nekavējoties mutiski atrisināt daudzus kvadrātvienādojumus.

Vietas teorēma, turklāt. ērts ar to, ka pēc kvadrātvienādojuma atrisināšanas parastajā veidā(izmantojot diskriminantu) iegūtās saknes var pārbaudīt. Es iesaku to darīt vienmēr.

TRANSPORTĒŠANAS METODE

Ar šo metodi koeficients “a” tiek reizināts ar brīvo terminu, it kā tam “uzmests”, tāpēc to sauc "pārsūtīšanas" metode.Šo metodi izmanto, ja vienādojuma saknes var viegli atrast, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Ja A± b+c≠ 0, tad tiek izmantota pārsūtīšanas tehnika, piemēram:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Izmantojot Vietas teorēmu (2) vienādojumā, ir viegli noteikt, ka x 1 = 10 x 2 = 1

Iegūtās vienādojuma saknes ir jādala ar 2 (jo abi tika “izmesti” no x 2), mēs iegūstam

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Kāds ir pamatojums? Paskaties, kas notiek.

(1) un (2) vienādojumu diskriminanti ir vienādi:

Ja paskatās uz vienādojumu saknēm, jūs iegūstat tikai dažādus saucējus, un rezultāts ir tieši atkarīgs no koeficienta x 2:

Otrajam (modificētajam) ir 2 reizes lielākas saknes.

Tāpēc rezultātu dalām ar 2.

*Ja pārrullēsim trīs, rezultātu dalīsim ar 3 utt.

Atbilde: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie un vienotais valsts eksāmens.

Īsi pastāstīšu par tā nozīmi - IR JĀSPĒT LĒMĒT ātri un nedomājot, sakņu un diskriminējošo faktoru formulas jāzina no galvas. Daudzas no problēmām, kas iekļautas vienotā valsts eksāmena uzdevumos, ir saistītas ar kvadrātvienādojuma atrisināšanu (ieskaitot ģeometriskos).

Kaut kas ievērības cienīgs!

1. Vienādojuma rakstīšanas forma var būt “netieša”. Piemēram, ir iespējams šāds ieraksts:

15+ 9x 2 - 45x = 0 vai 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 vai 15 -5x + 10x 2 = 0.

Jums tas jāsakārto standarta formā (lai neapjuktu risinot).

2. Atcerieties, ka x ir nezināms lielums un to var apzīmēt ar jebkuru citu burtu - t, q, p, h un citiem.

Kvadrātvienādojumus mācās 8. klasē, tāpēc šeit nav nekā sarežģīta. Spēja tos atrisināt ir absolūti nepieciešama.

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ax 2 + bx + c = 0, kur koeficienti a, b un c ir patvaļīgi skaitļi, un a ≠ 0.

Pirms konkrētu risinājumu metožu izpētes ņemiet vērā, ka visus kvadrātvienādojumus var iedalīt trīs klasēs:

1. nav sakņu;
2. Ir tieši viena sakne;
3. Viņiem ir divas dažādas saknes.

Šī ir būtiska atšķirība starp kvadrātvienādojumiem un lineārajiem vienādojumiem, kur sakne vienmēr pastāv un ir unikāla. Kā noteikt, cik sakņu ir vienādojumam? Tam ir brīnišķīga lieta - diskriminējošs.

Diskriminējošais

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0. Tad diskriminants ir vienkārši skaitlis D = b 2 − 4ac.

Šī formula ir jāzina no galvas. Tagad nav svarīgi, no kurienes tas nāk. Vēl viena lieta ir svarīga: pēc diskriminanta zīmes jūs varat noteikt, cik sakņu ir kvadrātvienādojumam. Proti:

1. Ja D< 0, корней нет;
2. Ja D = 0, ir tieši viena sakne;
3. Ja D > 0, būs divas saknes.

Lūdzu, ņemiet vērā: diskriminants norāda sakņu skaitu, nevis to pazīmes, kā nez kāpēc uzskata daudzi. Apskatiet piemērus un paši visu sapratīsiet:

Uzdevums. Cik sakņu ir kvadrātvienādojumiem:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Izrakstīsim pirmā vienādojuma koeficientus un atradīsim diskriminantu:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Tātad diskriminants ir pozitīvs, tāpēc vienādojumam ir divas dažādas saknes. Mēs analizējam otro vienādojumu līdzīgi:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Pēdējais atlikušais vienādojums ir:
a = 1; b = –6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminants ir nulle - sakne būs viens.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka katram vienādojumam ir pierakstīti koeficienti. Jā, tas ir garš, jā, tas ir nogurdinoši, taču jūs nesajauksit izredzes un nepieļausiet muļķīgas kļūdas. Izvēlieties pats: ātrums vai kvalitāte.

Starp citu, ja jūs to sapratīsit, pēc kāda laika jums vairs nebūs jāpieraksta visi koeficienti. Tādas operācijas veiksi galvā. Lielākā daļa cilvēku to sāk darīt kaut kur pēc 50–70 atrisinātiem vienādojumiem - kopumā ne tik daudz.

Kvadrātvienādojuma saknes

Tagad pāriesim pie paša risinājuma. Ja diskriminants D > 0, saknes var atrast, izmantojot formulas:

Kvadrātvienādojuma sakņu pamatformula

Ja D = 0, varat izmantot jebkuru no šīm formulām - jūs saņemsiet to pašu skaitli, kas būs atbilde. Visbeidzot, ja D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Pirmais vienādojums:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = –3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ vienādojumam ir divas saknes. Atradīsim tos:

Otrais vienādojums:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ vienādojumam atkal ir divas saknes. Atradīsim viņus

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(līdzināt)\]

Visbeidzot, trešais vienādojums:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ vienādojumam ir viena sakne. Var izmantot jebkuru formulu. Piemēram, pirmais:

Kā redzat no piemēriem, viss ir ļoti vienkārši. Ja zināsi formulas un māki skaitīt, tad problēmu nebūs. Visbiežāk kļūdas rodas, aizstājot formulā negatīvus koeficientus. Šeit atkal palīdzēs iepriekš aprakstītā tehnika: apskatiet formulu burtiski, pierakstiet katru soli - un ļoti drīz jūs atbrīvosities no kļūdām.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Gadās, ka kvadrātvienādojums nedaudz atšķiras no definīcijā norādītā. Piemēram:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2–16 = 0.

Ir viegli pamanīt, ka šajos vienādojumos trūkst viena no terminiem. Šādus kvadrātvienādojumus ir pat vieglāk atrisināt nekā standarta vienādojumus: tiem pat nav jāaprēķina diskriminants. Tātad, ieviesīsim jaunu koncepciju:

Vienādojumu ax 2 + bx + c = 0 sauc par nepilnīgu kvadrātvienādojumu, ja b = 0 vai c = 0, t.i. mainīgā x jeb brīvā elementa koeficients ir vienāds ar nulli.

Protams, ir iespējams ļoti sarežģīts gadījums, kad abi šie koeficienti ir vienādi ar nulli: b = c = 0. Šajā gadījumā vienādojumam ir forma ax 2 = 0. Acīmredzot šādam vienādojumam ir viena sakne: x = 0.

Apskatīsim atlikušos gadījumus. Pieņemsim, ka b = 0, tad iegūstam nepilnu kvadrātvienādojumu formā ax 2 + c = 0. Nedaudz pārveidosim to:

Kopš aritmētikas Kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa, pēdējai vienādībai ir jēga tikai (-c /a) ≥ 0. Secinājums:

1. Ja nepilnā kvadrātvienādojumā formā ax 2 + c = 0 ir izpildīta nevienādība (−c /a) ≥ 0, būs divas saknes. Formula ir dota iepriekš;
2. Ja (-c /a)< 0, корней нет.

Kā redzat, diskriminants nebija vajadzīgs — nepilnīgos kvadrātvienādojumos vispār nav sarežģītu aprēķinu. Patiesībā pat nav jāatceras nevienādība (−c /a) ≥ 0. Pietiek izteikt vērtību x 2 un redzēt, kas atrodas vienādības zīmes otrā pusē. Ja ir pozitīvs skaitlis, būs divas saknes. Ja tas ir negatīvs, tad vispār nebūs sakņu.

Tagad apskatīsim vienādojumus formā ax 2 + bx = 0, kuros brīvais elements ir vienāds ar nulli. Šeit viss ir vienkārši: vienmēr būs divas saknes. Pietiek faktorēt polinomu:

Produkts ir nulle, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle. Lūk, no kurienes nāk saknes. Noslēgumā apskatīsim dažus no šiem vienādojumiem:

Uzdevums. Atrisiniet kvadrātvienādojumus:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nav sakņu, jo kvadrāts nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = –1,5.

Kvadrātvienādojumus mācās 8. klasē, tāpēc šeit nav nekā sarežģīta. Spēja tos atrisināt ir absolūti nepieciešama.

ir vienādojums ar formu ax 2 + bx + c = 0, kur koeficienti a, b un c ir patvaļīgi skaitļi un a ≠ 0.

Pirms konkrētu risinājumu metožu izpētes ņemiet vērā, ka visus kvadrātvienādojumus var iedalīt trīs klasēs:

1. nav sakņu;
2. Ir tieši viena sakne;
3. Viņiem ir divas dažādas saknes.

Šī ir būtiska atšķirība starp kvadrātvienādojumiem un lineārajiem vienādojumiem, kur sakne vienmēr pastāv un ir unikāla. Kā noteikt, cik sakņu ir vienādojumam? Tam ir brīnišķīga lieta - diskriminējošs.

Diskriminējošais

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0. Tad tas ir vienkārši skaitlis D = b 2 − 4ac.

Šī formula ir jāzina no galvas. Tagad nav svarīgi, no kurienes tas nāk. Vēl viena lieta ir svarīga: pēc diskriminanta zīmes jūs varat noteikt, cik sakņu ir kvadrātvienādojumam. Proti:

1. Ja D< 0, корней нет;
2. Ja D = 0, ir tieši viena sakne;
3. Ja D > 0, būs divas saknes.

Lūdzu, ņemiet vērā: diskriminants norāda sakņu skaitu, nevis to pazīmes, kā nez kāpēc uzskata daudzi. Apskatiet piemērus un paši visu sapratīsiet:

Uzdevums. Cik sakņu ir kvadrātvienādojumiem:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Izrakstīsim pirmā vienādojuma koeficientus un atradīsim diskriminantu:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Tātad diskriminants ir pozitīvs, tāpēc vienādojumam ir divas dažādas saknes. Mēs analizējam otro vienādojumu līdzīgi:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Pēdējais atlikušais vienādojums ir:
a = 1; b = –6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminants ir nulle - sakne būs viens.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka katram vienādojumam ir pierakstīti koeficienti. Jā, tas ir garš, jā, tas ir nogurdinoši, taču jūs nesajauksit izredzes un nepieļausiet muļķīgas kļūdas. Izvēlieties pats: ātrums vai kvalitāte.

Starp citu, ja jūs to sapratīsit, pēc kāda laika jums vairs nebūs jāpieraksta visi koeficienti. Tādas operācijas veiksi galvā. Lielākā daļa cilvēku to sāk darīt kaut kur pēc 50–70 atrisinātiem vienādojumiem - kopumā ne tik daudz.

Kvadrātvienādojuma saknes

Tagad pāriesim pie paša risinājuma. Ja diskriminants D > 0, saknes var atrast, izmantojot formulas:

Ja D = 0, varat izmantot jebkuru no šīm formulām - jūs saņemsiet to pašu skaitli, kas būs atbilde. Visbeidzot, ja D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

Atrisiniet kvadrātvienādojumus:

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Pirmais vienādojums:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = –3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ vienādojumam ir divas saknes. Atradīsim tos:

Otrais vienādojums:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ vienādojumam atkal ir divas saknes. Atradīsim viņus

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(līdzināt)\]

Visbeidzot, trešais vienādojums:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ vienādojumam ir viena sakne. Var izmantot jebkuru formulu. Piemēram, pirmais:

Kā redzat no piemēriem, viss ir ļoti vienkārši. Ja zināsi formulas un māki skaitīt, tad problēmu nebūs. Visbiežāk kļūdas rodas, aizstājot formulā negatīvus koeficientus. Šeit atkal palīdzēs iepriekš aprakstītā tehnika: apskatiet formulu burtiski, pierakstiet katru soli - un ļoti drīz jūs atbrīvosities no kļūdām.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Gadās, ka kvadrātvienādojums nedaudz atšķiras no definīcijā norādītā. Piemēram:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2–16 = 0.

Ir viegli pamanīt, ka šajos vienādojumos trūkst viena no terminiem. Šādus kvadrātvienādojumus ir pat vieglāk atrisināt nekā standarta vienādojumus: tiem pat nav jāaprēķina diskriminants. Tātad, ieviesīsim jaunu koncepciju:

Vienādojumu ax 2 + bx + c = 0 sauc, ja b = 0 vai c = 0, t.i. mainīgā x jeb brīvā elementa koeficients ir vienāds ar nulli.

Protams, ir iespējams ļoti sarežģīts gadījums, kad abi šie koeficienti ir vienādi ar nulli: b = c = 0. Šajā gadījumā vienādojuma forma ir ax 2 = 0. Acīmredzot šādam vienādojumam ir viena sakne: x = 0.

Apskatīsim atlikušos gadījumus. Pieņemsim, ka b = 0, tad iegūstam nepilnu kvadrātvienādojumu formā ax 2 + c = 0. Nedaudz pārveidosim to:

Tā kā aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa, pēdējai vienādībai ir jēga tikai tad, ja (-c/a) ≥ 0. Secinājums:

1. Ja nepilnā kvadrātvienādojumā formā ax 2 + c = 0 ir izpildīta nevienādība (−c/a) ≥ 0, būs divas saknes. Formula ir dota iepriekš;
2. Ja (-c/a)< 0, корней нет.

Kā redzat, diskriminants nebija vajadzīgs — nepilnīgos kvadrātvienādojumos vispār nav sarežģītu aprēķinu. Faktiski pat nav jāatceras nevienādība (-c/a) ≥ 0.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana.

Pietiek izteikt vērtību x 2 un redzēt, kas atrodas vienādības zīmes otrā pusē. Ja ir pozitīvs skaitlis, būs divas saknes. Ja tas ir negatīvs, tad vispār nebūs sakņu.

Tagad apskatīsim vienādojumus formā ax 2 + bx = 0, kuros brīvais elements ir vienāds ar nulli. Šeit viss ir vienkārši: vienmēr būs divas saknes. Pietiek faktorēt polinomu:

Produkts ir nulle, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle. Lūk, no kurienes nāk saknes. Noslēgumā apskatīsim dažus no šiem vienādojumiem:

Uzdevums. Atrisiniet kvadrātvienādojumus:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nav sakņu, jo kvadrāts nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = –1,5.

Skatīt arī:

Kvadrātvienādojums ir ax 2 + bx + c = 0.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi ir trīs veidu vienādojumi:

• ax 2 + bx = 0, ja koeficients c = 0.
• ax 2 + c = 0, ja koeficients b = 0.
• ax 2 = 0, ja gan b, gan c ir 0.

Koeficients a pēc kvadrātvienādojuma definīcijas nevar būt vienāds ar nulli.

Nepilnīgus kvadrātvienādojumus ir vieglāk atrisināt nekā pilnīgus kvadrātvienādojumus. Risinājuma metodes atšķiras atkarībā no nepilnīgā kvadrātvienādojuma veida.

Vienkāršākais veids, kā atrisināt vienādojumus, ir ax 2 = 0. Ja a pēc kvadrātvienādojuma definīcijas nevar būt vienāds ar nulli, tad ir skaidrs, ka tikai x 2 un līdz ar to arī pats x var būt vienāds ar nulli. Šāda veida vienādojumiem vienmēr ir viena sakne, tā ir vienāda ar 0.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

Piemēram:

–3x2 = 0
x 2 = 0/–3
x 2 = 0
x = √0
x = 0

Formas ax 2 + c = 0 vienādojumi tiek pārveidoti formā ax 2 = –c un atrisināti līdzīgi kā iepriekšējais. Tomēr ir vai nu divas saknes, vai vairāk nekā viena.

ax 2 + c = 0
cirvis 2 = –c
x 2 = –c/a
x = √(–c/a)

Šeit, ja radikālā izteiksme ir negatīva, tad vienādojumam nav sakņu. Ja pozitīvs, tad būs divas saknes: √(–c/a) un –√(–c/a). Šāda vienādojuma risināšanas piemērs:

4x 2 – 16 = 0
4x2 = 16
x 2 = 16/4
x 2 = 4
x = √4
x 1 = 2; x 2 = –2

Nepilnīgus kvadrātvienādojumus formā ax 2 + bx = 0 risina, izņemot kopējo koeficientu no iekavām. Šajā gadījumā tas ir x. Iegūtais vienādojums ir x(ax + b) = 0. Šim vienādojumam ir divas saknes: vai nu x = 0 vai ax + b = 0. Atrisinot otro vienādojumu, iegūstam x = –b/a. Tādējādi vienādojumiem, kuru forma ir ax 2 + bx = 0, ir divas saknes: x 1 = 0, x 2 = –b/a. Šāda vienādojuma risināšanas piemērs:

3x2 – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x 1 = 0; x 2 = 10/3 = 3, (33)

Kvadrātvienādojuma sakņu atrašana 8. klase

Formula
Kvadrātvienādojuma ax 2 + bx + c = 0 saknes var atrast
formula: , Kur — diskriminējošs

kvadrātvienādojums.

Ir trīs iespējamie noteikumi:

1. noteikums
1. D > 0.

8.2.1. Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

Tad vienādojumam ir 2 dažādas saknes:

Piemērs
2x 2 + 7x – 4 = 0;

a = 2, b = 7, c = -4.

D = 7 2 - 4 2 (- 4) = 81 > 0,

x 1 = -7 — ? 81 2 2 = — 4;

x 2 = -7 + ? 81 2 2 = 1 2 .

2. noteikums
2. D = 0. Tad vienādojumā ir vienīgais sakne.

Piemērs
x 2 – 4x + 4 = 0.

D = (-4) 2 — 4 1 4 = 0, x = — -4 2 1 = 2.

Ņemiet vērā, ka x 2 – 4x + 4 = 0 x = 2.

3. noteikums
3. D

Piemērs
3x 2 - x + 7 = 0.

D = (-1) 2 - 4 3 7 = -83

Ar vienmērīgu otro koeficientu

Noteikums, formulas
Ja b = 2k, tad vienādojuma ax + 2kx + c = 0 saknes atrod pēc formulas:

1. piemērs
1. x + 18x + 32 = 0.

a = 1; b = 18 => k = b2 = 9; c = 32.

D 1 = D4 = (18 2 ) 2 - 1 32 = 49 > 0, kas nozīmē, ka vienādojumam ir 2 saknes:

x 1 = -9 -? 49 1 = -16, x 2 = -9 + 7 = -2.

2. piemērs
2. 3x 2 + 2x + 1 = 0.

a = 3; b2 = 1; c = 1.

D 1 = D4 = 1 2 — 1 3 = -2

3. piemērs
3. 196x2 + 28x + 1 = 0.

a = 196; b2 = -14; c = 1.

D 1 = D4 = (- 14) 2 - 196 = 0, kas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne.

x = 14 196 = 1 14 .

Saīsinātās reizināšanas formulas

Saīsinātās reizināšanas formulas.

— Saīsināto reizināšanas formulu izpēte: summas kvadrāts un divu izteiksmju starpības kvadrāts; divu izteiksmju kvadrātu atšķirība; divu izteiksmju summas kubs un starpības kubs; divu izteiksmju kubu summas un atšķirības.

— Saīsināto reizināšanas formulu pielietošana, risinot piemērus.

Lai vienkāršotu izteiksmes, faktoru polinomus un samazinātu polinomus līdz standarta formai, tiek izmantotas saīsinātas reizināšanas formulas.

Kvadrātvienādojumu risināšana

Saīsinātās reizināšanas formulas ir jāzina no galvas.

Ļaujiet a, b R. Tad:

1. Divu izteiksmju summas kvadrāts ir vienāds ar pirmās izteiksmes kvadrāts plus divkāršs pirmās izteiksmes reizinājums un otrais plus otrās izteiksmes kvadrāts.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Divu izteiksmju starpības kvadrāts ir vienāds ar pirmās izteiksmes kvadrāts mīnus divreiz pirmās izteiksmes reizinājums un otrais plus otrās izteiksmes kvadrāts.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Kvadrātu atšķirība divas izteiksmes ir vienādas ar šo izteiksmju un to summas starpības reizinājumu.

a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)

4. Summas kubs divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās izteiksmes kubu plus trīskāršot pirmās izteiksmes kvadrāta reizinājumu un otro plus trīskāršot pirmās izteiksmes reizinājumu un otrās izteiksmes kvadrātu plus otrās izteiksmes kubu.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Atšķirības kubs divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās izteiksmes kubu, no kura atņemts trīskāršs pirmās izteiksmes kvadrāta reizinājums un otrais plus trīskāršs pirmās izteiksmes reizinājums un otrās izteiksmes kvadrāts mīnus otrās izteiksmes kubs.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kubu summa divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās un otrās izteiksmes summas un šo izteiksmju starpības nepilnīgā kvadrāta reizinājumu.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Kubu atšķirība divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās un otrās izteiksmes starpības reizinājumu ar šo izteiksmju summas nepilno kvadrātu.

Saīsināto reizināšanas formulu pielietojums, risinot piemērus.

1. piemērs.

Aprēķināt

a) Izmantojot formulu divu izteiksmju summas kvadrātam, mēs iegūstam

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Izmantojot formulu divu izteiksmju starpības kvadrātam, iegūstam

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 – 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

2. piemērs.

Aprēķināt

Izmantojot formulu divu izteiksmju kvadrātu starpībai, mēs iegūstam

3. piemērs.

Vienkāršojiet izteiksmi

(x - y) 2 + (x + y) 2

Izmantosim formulas summas kvadrātam un divu izteiksmju starpības kvadrātam

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Saīsinātās reizināšanas formulas vienā tabulā:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

1. Pilna kvadrāta izvēle. Kvadrātvienādojuma sakņu formulas.
2. Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri.
3. Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšana.
4. Kvadrātiskā trinoma faktorēšana.

Nepilns kvadrātvienādojums atšķiras no klasiskajiem (pilnajiem) vienādojumiem ar to, ka tā faktori vai brīvais loceklis ir vienāds ar nulli. Šādu funkciju grafiki ir parabolas. Atkarībā no vispārējā izskata tos iedala 3 grupās. Visu veidu vienādojumu risināšanas principi ir vienādi.

Nepabeigta polinoma veida noteikšanā nav nekā sarežģīta. Vislabāk ir apsvērt galvenās atšķirības, izmantojot vizuālus piemērus:

1. Ja b = 0, tad vienādojums ir ax 2 + c = 0.
2. Ja c = 0, tad jāatrisina izteiksme ax 2 + bx = 0.
3. Ja b = 0 un c = 0, tad polinoms pārvēršas par vienādību, piemēram, ax 2 = 0.

Pēdējais gadījums ir vairāk teorētiska iespēja un nekad nenotiek zināšanu pārbaudes uzdevumos, jo vienīgā pareizā mainīgā x vērtība izteiksmē ir nulle. Nākotnē tiks aplūkotas metodes un piemēri nepilnu 1) un 2) tipa kvadrātvienādojumu risināšanai.

Vispārējs algoritms mainīgo meklēšanai un piemēri ar risinājumiem

Neatkarīgi no vienādojuma veida risinājuma algoritms tiek samazināts līdz šādiem soļiem:

1. Samaziniet izteiksmi līdz formai, kas ir ērta sakņu atrašanai.
2. Veikt aprēķinus.
3. Pierakstiet atbildi.

Vienkāršākais veids, kā atrisināt nepilnīgus vienādojumus, ir faktorēt kreiso pusi un atstāt nulli labajā pusē. Tādējādi formula nepilnīgam kvadrātvienādojumam sakņu atrašanai tiek reducēta līdz x vērtības aprēķināšanai katram no faktoriem.

Jūs varat uzzināt, kā to atrisināt tikai praksē, tāpēc apsvērsim konkrēts piemērs nepilna vienādojuma sakņu atrašana:

Kā redzat, šajā gadījumā b = 0. Faktorizēsim kreiso pusi un iegūstam izteiksmi:

4 (x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Acīmredzot reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Mainīgā lieluma x1 = 0,5 un (vai) x2 = -0,5 vērtības atbilst līdzīgām prasībām.

Lai viegli un ātri tiktu galā ar kvadrātiskā trinoma faktorēšanas problēmu, jums jāatceras šāda formula:

Ja izteiksmē nav brīva termina, problēma ir ievērojami vienkāršota. Pietiks tikai ar kopsaucēja atrašanu un iekavās. Skaidrības labad apsveriet piemēru, kā atrisināt nepilnīgus kvadrātvienādojumus formā ax2 + bx = 0.

Izņemsim mainīgo x no iekavām un iegūstam šādu izteiksmi:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Vadoties pēc loģikas, mēs nonākam pie secinājuma, ka x1 = 0 un x2 = -3.

Tradicionālā risināšanas metode un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Kas notiek, ja lietojat diskriminanta formulu un mēģināsit atrast polinoma saknes, kuru koeficienti ir vienādi ar nulli? Ņemsim piemēru no vienotā valsts eksāmena matemātikā 2017. gada standarta uzdevumu krājuma, atrisināsim to, izmantojot standarta formulas un faktorizācijas metodi.

7x 2 - 3x = 0.

Aprēķināsim diskriminanta vērtību: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Izrādās, ka polinomam ir divas saknes:

Tagad atrisināsim vienādojumu, izmantojot faktoringu, un salīdzināsim rezultātus.

X ⋅ (7 x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Kā redzat, abas metodes dod vienādu rezultātu, taču vienādojuma atrisināšana ar otro metodi bija daudz vienkāršāka un ātrāka.

Vietas teorēma

Bet ko darīt ar Vietas iecienīto teorēmu? Vai šo metodi var izmantot, ja trinomāls ir nepilnīgs? Mēģināsim izprast nepilnīgu vienādojumu apvienošanas aspektus klasiskajā formā ax2 + bx + c = 0.

Faktiski šajā gadījumā ir iespējams pielietot Vietas teorēmu. Nepieciešams tikai izteikt izteiksmi vispārējais izskats, aizstājot trūkstošos vārdus ar nulli.

Piemēram, ar b = 0 un a = 1, lai novērstu sajaukšanas iespēju, uzdevums jāraksta formā: ax2 + 0 + c = 0. Tad sakņu summas un reizinājuma attiecība un polinoma faktorus var izteikt šādi:

Teorētiskie aprēķini palīdz iepazīties ar jautājuma būtību un vienmēr prasa attīstīt prasmes, risinot konkrētas problēmas. Atkal pievērsīsimies vienotā valsts eksāmena standarta uzdevumu uzziņu grāmatai un atradīsim piemērotu piemēru:

Rakstīsim izteiksmi Vjetas teorēmas piemērošanai ērtā formā:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Nākamais solis ir izveidot nosacījumu sistēmu:

Acīmredzot kvadrātiskā polinoma saknes būs x 1 = 4 un x 2 = -4.

Tagad praktizēsim vienādojuma vispārējo formu. Ņemsim šādu piemēru: 1/4× x 2 – 1 = 0

Lai Vietas teorēmu piemērotu izteiksmei, ir jāatbrīvojas no daļskaitļa. Sareizināsim kreiso un labo pusi ar 4 un paskatīsimies uz rezultātu: x2– 4 = 0. Iegūtā vienādība ir gatava atrisināšanai ar Vietas teorēmu, taču atbildi iegūt ir daudz vienkāršāk un ātrāk, vienkārši pārvietojot c = 4 vienādojuma labajā pusē: x2 = 4.

Rezumējot, jāsaka, ka labākais veids Nepilnīgu vienādojumu atrisināšana ar faktoringu ir vienkāršākā un ātrākā metode. Ja sakņu meklēšanas procesā rodas grūtības, varat pievērsties tradicionālajai sakņu atrašanas metodei, izmantojot diskriminantu.

Šajā rakstā mēs aplūkosim nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanu.

Bet vispirms atkārtosim, kādus vienādojumus sauc par kvadrātvienādojumu. Tiek saukts vienādojums formā ax 2 + bx + c = 0, kur x ir mainīgais, un koeficienti a, b un c ir daži skaitļi un a ≠ 0. kvadrāts. Kā redzams, koeficients x 2 nav vienāds ar nulli, un tāpēc koeficienti x vai brīvajam terminam var būt vienādi ar nulli, un tādā gadījumā mēs iegūstam nepilnu kvadrātvienādojumu.

Ir trīs veidu nepilnīgi kvadrātvienādojumi:

1) Ja b = 0, c ≠ 0, tad ax 2 + c = 0;

2) Ja b ≠ 0, c = 0, tad ax 2 + bx = 0;

3) Ja b = 0, c = 0, tad ax 2 = 0.

• Izdomāsim, kā atrisināt vienādojumi formā ax 2 + c = 0.

Lai atrisinātu vienādojumu, mēs pārvietojam brīvo terminu c uz vienādojuma labo pusi, mēs iegūstam

cirvis 2 = ‒s. Tā kā a ≠ 0, mēs sadalām abas vienādojuma puses ar a, tad x 2 = ‒c/a.

Ja ‒с/а > 0, tad vienādojumam ir divas saknes

x = ±√(–c/a) .

Ja ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mēģināsim ar piemēriem saprast, kā atrisināt šādus vienādojumus.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 2x 2 ‒ 32 = 0.

Atbilde: x 1 = - 4, x 2 = 4.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 2x 2 + 8 = 0.

Atbilde: vienādojumam nav atrisinājumu.

• Izdomāsim, kā to atrisināt vienādojumi formā ax 2 + bx = 0.

Lai atrisinātu vienādojumu ax 2 + bx = 0, faktorizēsim to, tas ir, izņemam x no iekavām, iegūstam x(ax + b) = 0. Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds uz nulli. Tad vai nu x = 0, vai ax + b = 0. Atrisinot vienādojumu ax + b = 0, iegūstam ax = - b, no kurienes x = - b/a. Vienādojumam formā ax 2 + bx = 0 vienmēr ir divas saknes x 1 = 0 un x 2 = ‒ b/a. Skatiet diagrammā, kā izskatās šāda veida vienādojumu risinājums.

Nostiprināsim savas zināšanas ar konkrētu piemēru.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x = 0 vai 3x – 12 = 0

Atbilde: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Trešā tipa vienādojumi cirvis 2 = 0 tiek atrisināti ļoti vienkārši.

Ja ax 2 = 0, tad x 2 = 0. Vienādojumam ir divas vienādas saknes x 1 = 0, x 2 = 0.

Skaidrības labad apskatīsim diagrammu.

Atrisinot 4. piemēru, pārliecināsimies, ka šāda veida vienādojumus var atrisināt ļoti vienkārši.

4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 7x 2 = 0.

Atbilde: x 1, 2 = 0.

Ne vienmēr ir uzreiz skaidrs, kāda veida nepilnīgs kvadrātvienādojums mums ir jāatrisina. Apsveriet šādu piemēru.

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Reizināsim abas vienādojuma puses ar kopsaucēju, tas ir, ar 30

Nogriezīsim

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

Atvērsim iekavas

25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.

Dosim līdzīgu

Pārvietosim 99 no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi uz pretējo

Atbilde: nav sakņu.

Mēs apskatījām, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Es ceru, ka tagad jums nebūs nekādu grūtību ar šādiem uzdevumiem. Esiet piesardzīgs, nosakot nepilnīga kvadrātvienādojuma veidu, tad jums veiksies.

Ja jums ir jautājumi par šo tēmu, pierakstieties uz manām nodarbībām, mēs kopīgi atrisināsim radušās problēmas.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.