Daudzām problēmām ir jāaprēķina kvadrātiskās funkcijas maksimālā vai minimālā vērtība. Maksimumu vai minimumu var atrast, ja sākotnējā funkcija ir uzrakstīta standarta formā: vai caur parabolas virsotnes koordinātām: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displeja stils f(x)=a(x-h)^(2)+k). Turklāt jebkuras kvadrātiskās funkcijas maksimumu vai minimumu var aprēķināt, izmantojot matemātiskas darbības.

Soļi

Kvadrātiskā funkcija ir uzrakstīta standarta formā

Uzrakstiet funkciju standarta formā. Kvadrātiskā funkcija ir funkcija, kuras vienādojumā ir iekļauts mainīgais x 2 (\displaystyle x^(2)). Vienādojumā var būt vai nav iekļauts mainīgais x (\displaystyle x). Ja vienādojumā ir iekļauts mainīgais, kura eksponents ir lielāks par 2, tas neapraksta kvadrātisko funkciju. Ja nepieciešams, norādiet līdzīgus terminus un pārkārtojiet tos, lai rakstītu funkciju standarta formā.

• Piemēram, ņemot vērā funkciju f(x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Pievienojiet terminus ar mainīgo x 2 (\displaystyle x^(2)) un dalībnieki ar mainīgo x (\displaystyle x) rakstīt vienādojumu standarta formā:
  • f(x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola. Parabolas zari ir vērsti uz augšu vai uz leju. Ja koeficients a (\displaystyle a) ar mainīgo x 2 (\displaystyle x^(2)) a (\displaystyle a)

   • f(x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). Šeit a = 2 (\displaystyle a=2)
   • f (x) = – 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). Tāpēc šeit parabola ir vērsta uz leju.
   • f(x) = x 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). Šeit a = 1 (\displaystyle a=1), tāpēc parabola ir vērsta uz augšu.
   • Ja parabola ir vērsta uz augšu, jums jāmeklē tās minimums. Ja parabola ir vērsta uz leju, meklējiet tās maksimumu.

2. Aprēķināt -b/2a. Nozīme − b 2 a (\displaystyle -(\frac (b)(2a))) ir koordināte x (\displaystyle x) parabolas virsotnes. Ja kvadrātfunkcija ir uzrakstīta standarta formā a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c), izmantojiet koeficientus x (\displaystyle x) Un x 2 (\displaystyle x^(2))šādā veidā:

   • Funkciju koeficientos a = 1 (\displaystyle a=1) Un b = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • Kā otru piemēru apsveriet funkciju. Šeit a = – 3 (\displaystyle a=-3) Un b = 6 (\displaystyle b = 6). Tāpēc aprēķiniet parabolas virsotnes “x” koordinātu šādi:
     • x = − b 2 a (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • x = 1 (\displaystyle x=1)

3. Atrodiet atbilstošo f(x) vērtību. Pievienojiet atrasto “x” vērtību sākotnējai funkcijai, lai atrastu atbilstošo f(x) vērtību. Tādā veidā jūs atradīsit funkcijas minimumu vai maksimumu.

   • Pirmajā piemērā f(x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) jūs esat aprēķinājuši, ka parabolas virsotnes x koordināte ir x = – 5 (\displaystyle x=-5). Sākotnējā funkcijā vietā x (\displaystyle x) aizstājējs − 5 (\displaystyle -5)
     • f(x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25–50–1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • f (x) = – 26 (\displaystyle f(x) = -26)
   • Otrajā piemērā f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) jūs atklājāt, ka parabolas virsotnes x koordināte ir x = 1 (\displaystyle x=1). Sākotnējā funkcijā vietā x (\displaystyle x) aizstājējs 1 (\displaystyle 1) lai viņu atrastu maksimālā vērtība:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = – 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. Pierakstiet savu atbildi. Vēlreiz izlasiet problēmas izklāstu. Ja jums jāatrod parabolas virsotnes koordinātas, atbildē pierakstiet abas vērtības x (\displaystyle x) Un y (\displaystyle y)(vai f (x) (\displaystyle f(x))). Ja jums ir jāaprēķina funkcijas maksimums vai minimums, atbildē pierakstiet tikai vērtību y (\displaystyle y)(vai f (x) (\displaystyle f(x))). Paskatieties vēlreiz uz koeficienta zīmi a (\displaystyle a) lai pārbaudītu, vai esat aprēķinājis maksimālo vai minimumu.

   • Pirmajā piemērā f(x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1) nozīmē a (\displaystyle a) pozitīvs, tātad esat aprēķinājis minimumu. Parabolas virsotne atrodas punktā ar koordinātām (− 5, − 26) (\displaystyle (-5, -26)), un funkcijas minimālā vērtība ir − 26 (\displaystyle -26).
   • Otrajā piemērā f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4) nozīmē a (\displaystyle a) negatīvs, tāpēc esat atradis maksimumu. Parabolas virsotne atrodas punktā ar koordinātām (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1)), un funkcijas maksimālā vērtība ir − 1 (\displaystyle -1).

5. Nosakiet parabolas virzienu. Lai to izdarītu, apskatiet koeficienta zīmi a (\displaystyle a). Ja koeficients a (\displaystyle a) pozitīva, parabola ir vērsta uz augšu. Ja koeficients a (\displaystyle a) negatīvs, parabola ir vērsta uz leju. Piemēram:

   • . Šeit a = 2 (\displaystyle a=2), tas ir, koeficients ir pozitīvs, tāpēc parabola ir vērsta uz augšu.
   • . Šeit a = – 3 (\displaystyle a=-3), tas ir, koeficients ir negatīvs, tāpēc parabola ir vērsta uz leju.
   • Ja parabola ir vērsta uz augšu, jums jāaprēķina funkcijas minimālā vērtība. Ja parabola ir vērsta uz leju, jums jāatrod funkcijas maksimālā vērtība.

6. Atrodiet funkcijas minimālo vai maksimālo vērtību. Ja funkciju raksta caur parabolas virsotnes koordinātām, tad minimums vai maksimums ir vienāds ar koeficienta vērtību k (\displaystyle k). Iepriekš minētajos piemēros:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 - 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Šeit k = – 4 (\displeja stils k=-4). Šī ir funkcijas minimālā vērtība, jo parabola ir vērsta uz augšu.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Šeit k = 2 (\displeja stils k = 2). Šī ir funkcijas maksimālā vērtība, jo parabola ir vērsta uz leju.

7. Atrodiet parabolas virsotnes koordinātas. Ja uzdevums prasa atrast parabolas virsotni, tās koordinātas ir (h , k) (\displaystyle (h,k)). Lūdzu, ņemiet vērā, ka, rakstot kvadrātveida funkciju caur parabolas virsotnes koordinātām, atņemšanas darbība ir jāiekļauj iekavās. (x – h) (\displaystyle (x-h)), tātad vērtība h (\displaystyle h) tiek ņemts ar pretējo zīmi.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 - 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). Šeit saskaitīšanas darbība (x+1) ir ievietota iekavās, kuras var pārrakstīt šādi: (x-(-1)). Tādējādi h = – 1 (\displeja stils h=-1). Tāpēc šīs funkcijas parabolas virsotnes koordinātas ir vienādas ar (− 1, − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Šeit iekavās ir izteiksme (x-2). Tāpēc h = 2 (\displaystyle h = 2). Virsotnes koordinātas ir (2,2).

Kā aprēķināt minimālo vai maksimālo summu, izmantojot matemātikas operācijas

1. Vispirms apskatīsim vienādojuma standarta formu. Uzrakstiet kvadrātfunkciju standarta formā: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Ja nepieciešams, pievienojiet līdzīgus terminus un pārkārtojiet tos, lai iegūtu standarta vienādojumu.

   • Piemēram: .

2. Atrodiet pirmo atvasinājumu. Kvadrātfunkcijas pirmais atvasinājums, kas ir ierakstīts standarta formā, ir vienāds ar f ′ (x) = 2 a x + b (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). Šīs funkcijas pirmo atvasinājumu aprēķina šādi:
     • f′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Pielīdziniet atvasinājumu nullei. Atgādinām, ka funkcijas atvasinājums ir vienāds ar funkcijas slīpumu noteiktā punktā. Pie minimālā vai maksimālā slīpums ir nulle. Tāpēc, lai atrastu funkcijas minimālo vai maksimālo vērtību, atvasinājums jāiestata uz nulli. Mūsu piemērā.

Kā izveidot parabolu? Ir vairāki veidi, kā attēlot kvadrātveida funkciju. Katram no tiem ir savi plusi un mīnusi. Apsvērsim divus veidus.

Sāksim ar kvadrātiskās funkcijas attēlošanu formā y=x²+bx+c un y= -x²+bx+c.

Piemērs.

Grafiksējiet funkciju y=x²+2x-3.

Risinājums:

y=x²+2x-3 ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz augšu. Parabolas virsotņu koordinātas

No virsotnes (-1;-4) izveidojam parabolas y=x² grafiku (kā no koordinātu sākuma. (0;0) vietā - virsotne (-1;-4). No (-1; -4) mēs ejam pa labi par 1 vienību un uz augšu par 1 vienību, tad pa kreisi par 1 un uz augšu par 1; tālāk: 2 - pa labi, 4 - uz augšu, 2 - pa kreisi, 4 - uz augšu; 3 - pa labi, 9 - uz augšu, 3 - pa kreisi, 9 - uz augšu. Ja ar šiem 7 punktiem nepietiek, tad 4 pa labi, 16 uz augšu utt.).

Kvadrātfunkcijas y= -x²+bx+c grafiks ir parabola, kuras atzari ir vērsti uz leju. Lai izveidotu grafiku, mēs meklējam virsotnes koordinātas un no tās izveidojam parabolu y= -x².

Piemērs.

Grafiksējiet funkciju y= -x²+2x+8.

Risinājums:

y= -x²+2x+8 ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz leju. Parabolas virsotņu koordinātas

No augšas mēs izveidojam parabolu y= -x² (1 - pa labi, 1 - uz leju; 1 - pa kreisi, 1 - uz leju; 2 - pa labi, 4 - uz leju; 2 - pa kreisi, 4 - uz leju utt.):

Šī metode ļauj ātri izveidot parabolu un nerada grūtības, ja zināt, kā attēlot funkcijas y=x² un y= -x². Trūkums: ja virsotņu koordinātas ir daļskaitļi, izveidot grafiku nav ļoti ērti. Ja jums ir jāzina precīzas vērtības grafa krustpunktos ar Ox asi, papildus būs jāatrisina vienādojums x²+bx+c=0 (vai -x²+bx+c=0), pat ja šos punktus var tieši noteikt no zīmējuma.

Vēl viens veids, kā konstruēt parabolu, ir pēc punktiem, tas ir, jūs varat atrast vairākus grafikā punktus un novilkt caur tiem parabolu (ņemot vērā, ka taisne x=xₒ ir tās simetrijas ass). Parasti šim nolūkam viņi ņem parabolas virsotni, grafa krustošanās punktus ar koordinātu asīm un 1-2 papildu punktus.

Uzzīmējiet funkcijas y=x²+5x+4 grafiku.

Risinājums:

y=x²+5x+4 ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz augšu. Parabolas virsotņu koordinātas

tas ir, parabolas virsotne ir punkts (-2,5; -2,25).

meklē . Krustošanās punktā ar Ox asi y=0: x²+5x+4=0. Saknes kvadrātvienādojums x1=-1, x2=-4, tas ir, mēs saņēmām divus punktus grafikā (-1; 0) un (-4; 0).

Grafika krustpunktā ar Oy asi x=0: y=0²+5∙0+4=4. Mēs saņēmām punktu (0; 4).

Lai precizētu grafiku, varat atrast papildu punktu. Ņemsim x=1, tad y=1²+5∙1+4=10, tas ir, cits punkts grafikā ir (1; 10). Mēs atzīmējam šos punktus koordinātu plaknē. Ņemot vērā parabolas simetriju attiecībā pret līniju, kas iet caur tās virsotni, mēs atzīmējam vēl divus punktus: (-5; 6) un (-6; 10) un caur tiem izvelkam parabolu:

Grafiksējiet funkciju y= -x²-3x.

Risinājums:

y= -x²-3x ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz leju. Parabolas virsotņu koordinātas

Virsotne (-1,5; 2,25) ir parabolas pirmais punkts.

Grafika krustpunktos ar x asi y=0, tas ir, atrisinām vienādojumu -x²-3x=0. Tās saknes ir x=0 un x=-3, tas ir (0;0) un (-3;0) - vēl divi punkti grafikā. Punkts (o; 0) ir arī parabolas krustpunkts ar ordinātu asi.

Pie x=1 y=-1²-3∙1=-4, tas ir, (1; -4) ir papildu punkts zīmēšanai.

Parabolas konstruēšana no punktiem ir darbietilpīgāka metode, salīdzinot ar pirmo. Ja parabola nekrustojas ar Vērša asi, būs nepieciešami vairāk papildu punktu.

Pirms turpināt konstruēt kvadrātfunkciju grafikus formā y=ax²+bx+c, apskatīsim funkciju grafiku konstruēšanu, izmantojot ģeometriskās transformācijas. Tāpat visērtāk ir konstruēt funkciju grafikus formā y=x²+c, izmantojot kādu no šīm transformācijām — paralēlo tulkošanu.

15. nodarbība.
Izredzes ietekmea, b UnAr uz vietu
kvadrātfunkcijas grafiks

Mērķi: turpināt attīstīt spēju grafiski attēlot kvadrātfunkciju un uzskaitīt tās īpašības; noteikt koeficientu ietekmi A, b Un Ar par kvadrātfunkcijas grafika atrašanās vietu.

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments.

II. Mutiskais darbs.

Nosakiet, kurš funkciju grafiks ir parādīts attēlā:

plkst = X 2 – 2X – 1;

plkst = –2X 2 – 8X;

plkst = X 2 – 4X – 1;

plkst = 2X 2 + 8X + 7;

plkst = 2X 2 – 1.

b)

plkst = X 2 – 2X;

plkst = –X 2 + 4X + 1;

plkst = –X 2 – 4X + 1;

plkst = –X 2 + 4X – 1;

plkst = –X 2 + 2X – 1.

III. Prasmju un iemaņu veidošanās.

Vingrinājumi:

1. Nr.127 (a).

Risinājums

Taisni plkst = 6X + b pieskaras parabolai plkst = X 2 + 8, tas ir, tam ir tikai viens kopīgs punkts gadījumā, ja vienādojums 6 X + b = X 2 + 8 būs vienīgais lēmums.

Šis vienādojums ir kvadrātisks, atradīsim tā diskriminantu:

X 2 – 6X + 8 + b = 0;

D 1 = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D 1 = 0, ja 1 + b= 0, tas ir b= –1.

Atbilde: b= –1.

3. Identificēt koeficientu ietekmi A, b Un Ar par funkciju grafika atrašanās vietu plkst = Ak 2 + bx + Ar.

Studentiem ir pietiekamas zināšanas, lai patstāvīgi veiktu šo uzdevumu. Viņus vajadzētu aicināt pierakstīt visus savus secinājumus piezīmju grāmatiņā, izceļot katra koeficienta “galveno” lomu.

1) Koeficients A ietekmē parabolu zaru virzienu: kad A> 0 – zari ir vērsti uz augšu, ar A < 0 – вниз.

2) Koeficients b ietekmē parabolas virsotnes atrašanās vietu. Plkst b= 0 virsotne atrodas uz ass OU.

3) Koeficients Ar parāda parabolas krustošanās punktu ar asi OU.

Pēc tam var sniegt piemēru, lai parādītu, ko var teikt par koeficientiem A, b Un Ar saskaņā ar funkcijas grafiku.

Nozīme Ar var saukt precīzi: tā kā grafiks krustojas ar asi OU punktā (0; 1), tad Ar = 1.

Koeficients A var salīdzināt ar nulli: tā kā parabolas zari ir vērsti uz leju, tad A < 0.

Koeficienta zīme b var uzzināt no formulas, kas nosaka parabolas virsotnes abscisu: T= , kopš A < 0 и T= 1, tad b> 0.

4. Nosakiet, kurš funkciju grafiks ir parādīts attēlā, pamatojoties uz koeficientu vērtību A, b Un Ar.

plkst = –X 2 + 2X;

plkst = X 2 + 2X + 2;

plkst = 2X 2 – 3X – 2;

plkst = X 2 – 2.

Risinājums

A, b Un Ar:

A> 0, jo parabolas zari ir vērsti uz augšu;

b OU;

Ar= –2, jo parabola krusto ordinātu punktā (0; –2).

plkst = 2X 2 – 3X – 2.

plkst = X 2 – 2X;

plkst = –2X 2 + X + 3;

plkst = –3X 2 – X – 1;

plkst = –2,7X 2 – 2X.

Risinājums

Pamatojoties uz parādīto grafiku, mēs izdarām šādus secinājumus par koeficientiem A, b Un Ar:

A < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b≠ 0, jo parabolas virsotne neatrodas uz ass OU;

Ar= 0, jo parabola krustojas ar asi OU punktā (0; 0).

Visus šos nosacījumus izpilda tikai funkcija plkst = –2,7X 2 – 2X.

5. Saskaņā ar funkcijas grafiku plkst = Ak 2 + bx + Ar A, b Un Ar:

A) b)

Risinājums

a) Parabolas zari ir vērsti uz augšu, tāpēc A > 0.

Parabola krusto ordinātu asi apakšējā pusplaknē, tātad Ar < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b Izmantosim formulu, lai atrastu parabolas virsotnes abscisu: T= . No grafika var redzēt, ka T < 0, и мы определим, что A> 0. Tāpēc b> 0.

b) Līdzīgi nosakām koeficientu zīmes A, b Un Ar:

A < 0, Ar > 0, b< 0.

Studentiem, kuri ir akadēmiski spēcīgi, var tikt dota papildus iespēja aizpildīt Nr.247.

Risinājums

plkst = X 2 + px + q.

a) Saskaņā ar Vietas teorēmu ir zināms, ka, ja X 1 un X 2 – vienādojuma saknes X 2 +
+ px + q= 0 (tas ir, šīs funkcijas nulles), tad X 1 · X 2 = q Un X 1 + X 2 = –R. Mēs to saņemam q= 3 4 = 12 un R = –(3 + 4) = –7.

b) Parabolas krustpunkts ar asi OU dos parametra vērtību q, tas ir q= 6. Ja funkcijas grafiks krustojas ar asi Ak! punktā (2; 0), tad skaitlis 2 ir vienādojuma sakne X 2 + px + q= 0. Vērtības aizstāšana X= 2 šajā vienādojumā, mēs to iegūstam R = –5.

c) Šī kvadrātiskā funkcija sasniedz savu minimālo vērtību parabolas virsotnē, tāpēc , no kurienes R= –12. Pēc nosacījuma, funkcijas vērtība plkst = X 2 – 12X + q punktā x= 6 ir vienāds ar 24. Aizstāšana x= 6 un plkst= 24 šajā funkcijā, mēs to atklājam q= 60.

IV. Pārbaudes darbs.

1. iespēja

1. Grafiksējiet funkciju plkst = 2X 2 + 4X– 6 un atrodiet, izmantojot grafiku:

a) funkcijas nulles;

b) intervāli, kuros plkst> 0 un y < 0;

G) mazākā vērtība funkcijas;

e) funkcijas diapazons.

2. Bez funkcijas grafika plkst = –X 2 + 4X, atrast:

a) funkcijas nulles;

c) funkcijas diapazons.

3. Saskaņā ar funkcijas grafiku plkst = Ak 2 + bx + Ar nosaka koeficientu zīmes A, b Un Ar:

2. iespēja

1. Grafiksējiet funkciju plkst = –X 2 + 2X+ 3 un atrodiet, izmantojot grafiku:

a) funkcijas nulles;

b) intervāli, kuros plkst> 0 un y < 0;

c) funkciju palielināšanas un samazināšanās intervāli;

d) funkcijas lielākā vērtība;

e) funkcijas diapazons.

2. Bez funkcijas grafika plkst = 2X 2 + 8X, atrast:

a) funkcijas nulles;

b) funkciju palielināšanas un samazināšanās intervāli;

c) funkcijas diapazons.

3. Saskaņā ar funkcijas grafiku plkst = Ak 2 + bx + Ar nosaka koeficientu zīmes A, b Un Ar:

V. Nodarbības kopsavilkums.

Bieži uzdotie jautājumi:

– Aprakstiet kvadrātiskās funkcijas konstruēšanas algoritmu.

– Uzskaitiet funkcijas īpašības plkst = Ak 2 + bx + Ar plkst A> 0 un plkst A < 0.

– Kā izredzes ietekmē A, b Un Ar par kvadrātfunkcijas grafika atrašanās vietu?

Mājasdarbs: Nr.127 (b), Nr.128, Nr.248.

PAPILDUS: Nr.130.

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat gobbledygook, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt savā pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram, lai atrastu visnoderīgākos resursus

Lai saprastu, kas šeit tiks rakstīts, jums labi jāzina, kas ir kvadrātiskā funkcija un ar ko tā tiek izmantota. Ja uzskatāt sevi par profesionāli, kad runa ir par kvadrātfunkcijām, laipni lūdzam. Bet, ja nē, jums vajadzētu izlasīt pavedienu.

Sāksim ar mazu pārbaudes:

1. Kā kvadrātiskā funkcija izskatās vispārīgā formā (formulā)?
2. Kā sauc kvadrātfunkcijas grafiku?
3. Kā vadošais koeficients ietekmē kvadrātfunkcijas grafiku?

Ja varējāt uzreiz atbildēt uz šiem jautājumiem, turpiniet lasīt. Ja vismaz viens jautājums radīja grūtības, dodieties uz.

Tātad, jūs jau zināt, kā rīkoties ar kvadrātfunkciju, analizēt tās grafiku un izveidot grafiku pēc punktiem.

Nu lūk: .

Īsi atcerēsimies, ko viņi dara izredzes.

1. Vadošais koeficients ir atbildīgs par parabolas “stāvumu” jeb, citiem vārdiem sakot, par tās platumu: jo lielāka, jo šaurāka parabola (stāvāka), un jo mazāka, jo platāka (plakanāka).
2. Brīvais termins ir parabolas un ordinātu asi krustpunkta koordināte.
3. Un koeficients kaut kādā veidā ir atbildīgs par parabolas nobīdi no koordinātu centra. Parunāsim par to tagad sīkāk.

Kur mēs vienmēr sākam būvēt parabolu? Kāds ir tā atšķirīgais punkts?

Šis virsotne. Vai atceraties, kā atrast virsotnes koordinātas?

Abscisu meklē, izmantojot šādu formulu:

Piemēram: nekā vairāk, tie pa kreisi parabolas virsotne kustas.

Virsotnes ordinātu var atrast, aizvietojot ar funkciju:

Aizstājiet to pats un veiciet matemātiku. Kas notika?

Ja visu darāt pareizi un pēc iespējas vienkāršojat iegūto izteiksmi, jūs saņemsiet:

Izrādās, ka jo vairāk modulo, tie augstāks gribu virsotne parabolas.

Beidzot pāriesim pie grafika zīmēšanas.
Vienkāršākais veids ir izveidot parabolu, sākot no augšas.

Piemērs:

Izveidojiet funkcijas grafiku.

Risinājums:

Vispirms noteiksim koeficientus: .

Tagad aprēķināsim virsotnes koordinātas:

Tagad atcerieties: visas parabolas ar vienādu vadošo koeficientu izskatās vienādi. Tas nozīmē, ka, izveidojot parabolu un pārvietojot tās virsotni uz punktu, mēs iegūsim vajadzīgo grafiku:

Vienkārši, vai ne?

Atliek tikai viens jautājums: kā ātri uzzīmēt parabolu? Pat ja mēs uzzīmējam parabolu ar virsotni sākumā, mums tā joprojām ir jāveido punktu pa punktam, un tas ir garš un neērti. Bet visas parabolas izskatās vienādi, varbūt ir kāds veids, kā paātrināt to zīmēšanu?

Kad es mācījos skolā, mana matemātikas skolotāja lika visiem izgriezt no kartona parabolas formas trafaretu, lai viņi varētu to ātri uzzīmēt. Bet jūs nevarēsit visur staigāt ar trafaretu, un jūs nedrīkstat to ņemt līdzi uz eksāmenu. Tas nozīmē, ka mēs neizmantosim svešķermeņus, bet meklēsim rakstu.

Apskatīsim vienkāršāko parabolu. Veidosim to pa punktam:

Šeit ir šāds modelis. Ja no virsotnes nobīdīsimies pa labi (gar asi) par un uz augšu (gar asi) par, tad nonāksim parabolas punktā. Tālāk: ja no šī punkta virzāmies pa labi un uz augšu, mēs atkal nonāksim parabolas punktā. Nākamais: tieši uz un uz augšu. Ko tālāk? Tieši uz un uz augšu. Un tā tālāk: pārvietojiet vienu pa labi un nākamo nepāra skaitli uz augšu. Tad mēs darām to pašu ar kreiso zaru (galu galā parabola ir simetriska, tas ir, tās zari izskatās vienādi):

Lieliski, tas palīdzēs jums izveidot jebkuru parabolu no virsotnes, kuras vadošais koeficients ir vienāds ar. Piemēram, mēs uzzinājām, ka parabolas virsotne atrodas punktā. Konstruējiet (pats, uz papīra) šo parabolu.

Uzcelta?

Tam vajadzētu izskatīties šādi:

Tagad mēs savienojam iegūtos punktus:

Tas ir viss.

Labi, tagad mēs varam būvēt tikai parabolas?

Protams, nē. Tagad izdomāsim, ko ar tiem darīt, ja.

Apskatīsim dažus tipiskus gadījumus.

Lieliski, jūs esat iemācījušies uzzīmēt parabolu. Tagad praktizēsimies izmantot reālas funkcijas.

Tātad, uzzīmējiet šo funkciju grafikus:

Atbildes:

3. Augšpusē: .

Vai atceries, kā rīkoties, ja seniora koeficients ir mazāks?

Mēs skatāmies uz daļskaitļa saucēju: tas ir vienāds. Tātad, mēs virzīsimies šādi:

• pa labi - uz augšu
• pa labi - uz augšu
• pa labi - uz augšu

un arī pa kreisi:

4. Augšpusē: .

Ak, ko mēs varam darīt lietas labā? Kā izmērīt šūnas, ja virsotne atrodas kaut kur starp līnijām? ..

Un mēs krāpsimies. Vispirms uzzīmēsim parabolu un tikai tad pārvietosim tās virsotni uz punktu. Nē, darīsim kaut ko vēl viltīgāku: uzzīmēsim parabolu un tad pārvietot asis:- ieslēgts uz leju, a - ieslēgts pa labi:

Šis paņēmiens ir ļoti ērts jebkuras parabolas gadījumā, atcerieties to.

Atgādināšu, ka funkciju varam attēlot šādā formā:

Piemēram: .

Ko tas mums dod?

Fakts ir tāds, ka skaitlis, kas tiek atņemts no iekavās (), ir parabolas virsotnes abscisa, un termins ārpus iekavām () ir virsotnes ordināta.

Tas nozīmē, ka, izveidojot parabolu, jums vienkārši vajadzēs pārvietojiet asi pa kreisi un asi uz leju.

Piemērs: izveidosim funkcijas grafiku.

Atlasīsim visu kvadrātu:

Kāds numurs atskaitīti no iekavās? Tas (un nevis tas, kā jūs varat izlemt nedomājot).

Tātad, izveidosim parabolu:

Tagad mēs pārvietojam asi uz leju, tas ir, uz augšu:

Un tagad - pa kreisi, tas ir, pa labi:

Tas ir viss. Tas ir tas pats, kas pārvietot parabolu ar tās virsotni no sākuma uz punktu, tikai taisno asi ir daudz vieglāk pārvietot nekā izliektu parabolu.

Tagad, kā parasti, es:

Un neaizmirstiet izdzēst vecās asis ar dzēšgumiju!

Es esmu kā atbildes Lai pārbaudītu, es jums uzrakstīšu šo parabolu virsotņu ordinātas:

Vai viss sanāca?

Ja jā, tad tu esi lielisks! Zināt, kā rīkoties ar parabolu, ir ļoti svarīgi un noderīgi, un šeit mēs uzzinājām, ka tas nemaz nav grūti.

KVADRĀTISKĀS FUNKCIJAS GRAFIKA KONSTRUKCIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Kvadrātiskā funkcija- formas funkcija, kur un ir jebkuri skaitļi (koeficienti), - brīvs termins.

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.

Parabolas virsotne:
, t.i. Jo lielāks \displaystyle b , jo vairāk pa kreisi virzās parabolas virsotne.
Mēs to aizstājam funkcijā un iegūstam:
, t.i. \displaystyle b absolūtajā vērtībā ir lielāks, jo augstāka būs parabolas augšdaļa

Brīvais termins ir parabolas un ordinātu asi krustpunkta koordināte.

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu vienotā valsts eksāmena nokārtošanu, stāšanos koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀKI (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai uzvarētu droši.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 RUR

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!