Praksē ir diezgan bieži izmantot atvasinājumu, lai aprēķinātu funkcijas lielāko un mazāko vērtību. Šo darbību veicam tad, kad izdomājam, kā minimizēt izmaksas, palielināt peļņu, aprēķināt optimālo ražošanas slodzi utt., tas ir, gadījumos, kad ir jānosaka kāda parametra optimālā vērtība. Lai pareizi atrisinātu šādas problēmas, jums ir labi jāsaprot, kas ir lielākais un mazākā vērtība funkcijas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Parasti šīs vērtības mēs definējam noteiktā intervālā x, kas savukārt var atbilst visam funkcijas domēnam vai tās daļai. Tas var būt kā segments [a; b ] , un atvērts intervāls (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), bezgalīgs intervāls (a ; b), (a ; b ], [a ; b) vai bezgalīgs intervāls - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Šajā rakstā mēs jums pateiksim, kā precīzi aprēķināt lielāko un mazāko vērtību dotā funkcija ar vienu mainīgo y=f(x) y = f (x) .

Pamatdefinīcijas

Sāksim, kā vienmēr, ar pamata definīciju formulēšanu.

1. definīcija

Funkcijas y = f (x) lielākā vērtība noteiktā intervālā x ir vērtība m a x y = f (x 0) x ∈ X, kas jebkurai vērtībai x x ∈ X, x ≠ x 0 veido nevienādību f (x) ≤ f (x) derīgs 0) .

2. definīcija

Funkcijas y = f (x) mazākā vērtība noteiktā intervālā x ir vērtība m i n x ∈ X y = f (x 0) , kas jebkurai vērtībai x ∈ X, x ≠ x 0 veido nevienādību f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Šīs definīcijas ir diezgan acīmredzamas. Vēl vienkāršāk mēs varam teikt tā: lielākā funkcijas vērtība ir tās lielākā vērtība zināmā intervālā pie abscisu x 0, un mazākā ir mazākā pieņemtā vērtība tajā pašā intervālā pie x 0.

3. definīcija

Stacionārie punkti ir tās funkcijas argumenta vērtības, pie kurām tās atvasinājums kļūst par 0.

Kāpēc mums jāzina, kas ir stacionārie punkti? Lai atbildētu uz šo jautājumu, mums jāatceras Fermā teorēma. No tā izriet, ka stacionārs punkts ir punkts, kurā atrodas diferencējamās funkcijas galējais punkts (t.i., tās lokālais minimums vai maksimums). Līdz ar to funkcija noteiktā intervālā ieņems mazāko vai lielāko vērtību tieši vienā no stacionārajiem punktiem.

Funkcija var arī iegūt lielāko vai mazāko vērtību tajos punktos, kuros pati funkcija ir definēta un tās pirmais atvasinājums neeksistē.

Pirmais jautājums, kas rodas, pētot šo tēmu: vai visos gadījumos mēs varam noteikt lielāko vai mazāko funkcijas vērtību noteiktā intervālā? Nē, mēs to nevaram izdarīt, ja noteiktā intervāla robežas sakrīt ar definīcijas apgabala robežām vai ja mums ir darīšana ar bezgalīgu intervālu. Gadās arī, ka funkcijai noteiktā segmentā vai bezgalībā būs bezgalīgi mazas vai bezgala lielas vērtības. Šajos gadījumos nav iespējams noteikt lielāko un/vai mazāko vērtību.

Šie punkti kļūs skaidrāki pēc to attēlošanas grafikos:

Pirmajā attēlā ir parādīta funkcija, kas ņem lielākās un mazākās vērtības (m a x y un m i n y) stacionārajos punktos, kas atrodas segmentā [ - 6 ; 6].

Sīkāk apskatīsim otrajā grafikā norādīto gadījumu. Mainīsim segmenta vērtību uz [ 1 ; 6 ] un mēs atklājam, ka funkcijas maksimālā vērtība tiks sasniegta punktā ar abscisu intervāla labajā malā, bet minimālā - stacionārajā punktā.

Trešajā attēlā punktu abscises attēlo nogriežņa robežpunktus [ - 3 ; 2]. Tie atbilst lielākajai un mazākajai dotās funkcijas vērtībai.

Tagad apskatīsim ceturto attēlu. Tajā funkcija ņem m a x y (lielākā vērtība) un m i n y (mazākā vērtība) atvērtā intervāla stacionārajos punktos (- 6; 6).

Ja ņemam intervālu [ 1 ; 6), tad varam teikt, ka tajā esošās funkcijas mazākā vērtība tiks sasniegta stacionārā punktā. Lielākā vērtība mums būs nezināma. Funkcija varētu iegūt maksimālo vērtību pie x, kas vienāda ar 6, ja x = 6 piederētu intervālam. Tieši šāds gadījums ir parādīts 5. grafikā.

6. grafikā šī funkcija iegūst mazāko vērtību pie intervāla labās robežas (- 3; 2 ], un mēs nevaram izdarīt konkrētus secinājumus par lielāko vērtību.

7. attēlā redzams, ka funkcijai būs m a x y stacionārā punktā, kura abscisa ir vienāda ar 1. Funkcija sasniegs savu minimālo vērtību pie intervāla c robežas labā puse. Pie mīnus bezgalības funkciju vērtības asimptotiski tuvosies y = 3.

Ja ņemam intervālu x ∈ 2 ; + ∞ , tad redzēsim, ka dotā funkcija neuzņems ne mazāko, ne lielāko vērtību. Ja x tiecas uz 2, tad funkcijas vērtībām ir tendence mīnus bezgalība, jo taisne x = 2 ir vertikāla asimptote. Ja abscisai ir tendence palielināties ar bezgalību, tad funkcijas vērtības asimptotiski tuvosies y = 3. Tieši šāds gadījums ir parādīts 8. attēlā.

Šajā rindkopā mēs parādīsim darbību secību, kas jāveic, lai noteiktā segmentā atrastu funkcijas lielāko vai mazāko vērtību.

1. Pirmkārt, atradīsim funkcijas definīcijas domēnu. Pārbaudīsim, vai nosacījumā norādītais segments tajā ir iekļauts.
2. Tagad aprēķināsim šajā segmentā ietvertos punktus, kuros pirmais atvasinājums nepastāv. Visbiežāk tos var atrast funkcijās, kuru arguments ir rakstīts zem moduļa zīmes, vai pakāpju funkcijās, kuru eksponents ir daļēji racionāls skaitlis.
3. Tālāk noskaidrosim, kuri stacionārie punkti iekritīs dotajā segmentā. Lai to izdarītu, jums jāaprēķina funkcijas atvasinājums, pēc tam jāpielīdzina 0 un jāatrisina iegūtais vienādojums un pēc tam jāizvēlas atbilstošās saknes. Ja mēs nesaņemam nevienu stacionāru punktu vai tie neietilpst dotajā segmentā, mēs pārejam pie nākamās darbības.
4. Mēs nosakām, kādas vērtības funkcija iegūs dotajos stacionārajos punktos (ja tādi ir), vai tajos punktos, kuros pirmā atvasinājuma nav (ja tādi ir), vai arī aprēķinām vērtības x = a un x = b.
5. 5. Mums ir vairākas funkciju vērtības, no kurām tagad ir jāizvēlas lielākā un mazākā. Tās būs lielākās un mazākās funkcijas vērtības, kas mums jāatrod.

Apskatīsim, kā pareizi pielietot šo algoritmu, risinot problēmas.

1. piemērs

Stāvoklis: ir dota funkcija y = x 3 + 4 x 2. Nosakiet tā lielākās un mazākās vērtības segmentos [1; 4 ] un [ - 4 ; - 1 ] .

Risinājums:

Sāksim ar dotās funkcijas definīcijas domēna atrašanu. Šajā gadījumā viņai būs daudz no visiem reāli skaitļi, izņemot 0. Citiem vārdiem sakot, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Abi nosacījumā norādītie segmenti atradīsies definīcijas apgabalā.

Tagad mēs aprēķinām funkcijas atvasinājumu saskaņā ar frakciju diferenciācijas likumu:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Mēs uzzinājām, ka funkcijas atvasinājums pastāvēs visos segmentu punktos [1; 4 ] un [ - 4 ; - 1 ] .

Tagad mums ir jānosaka funkcijas stacionārie punkti. Darīsim to, izmantojot vienādojumu x 3 - 8 x 3 = 0. Tam ir tikai viena reāla sakne, kas ir 2. Tas būs stacionārs funkcijas punkts un iekritīs pirmajā segmentā [1; 4 ] .

Aprēķināsim funkcijas vērtības pirmā segmenta galos un šajā punktā, t.i. ja x = 1, x = 2 un x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 g (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Mēs noskaidrojām, ka lielākā funkcijas m a x y x ∈ vērtība [1; 4 ] = y (2) = 3 tiks sasniegts pie x = 1, un mazākais m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – pie x = 2.

Otrajā segmentā nav neviena stacionāra punkta, tāpēc mums ir jāaprēķina funkciju vērtības tikai konkrētā segmenta galos:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Tas nozīmē m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Atbilde: Segmentam [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 segmentam [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Skatīt attēlu:

Pirms šīs metodes izpētes iesakām pārskatīt, kā pareizi aprēķināt vienpusējo robežu un robežu bezgalībā, kā arī apgūt pamatmetodes to atrašanai. Lai atklātā vai bezgalīgā intervālā atrastu funkcijas lielāko un/vai mazāko vērtību, veiciet šādas darbības secīgi.

1. Vispirms jums jāpārbauda, ​​vai dotais intervāls ir šīs funkcijas definīcijas domēna apakškopa.
2. Noteiksim visus punktus, kas ir ietverti vajadzīgajā intervālā un kuros pirmais atvasinājums nepastāv. Tās parasti rodas funkcijām, kurās arguments ir ietverts moduļa zīmē, un jaudas funkcijām ar daļēji racionālu eksponentu. Ja šo punktu trūkst, varat pāriet uz nākamo darbību.
3. Tagad noteiksim, kuri stacionārie punkti ietilps dotajā intervālā. Pirmkārt, mēs pielīdzinām atvasinājumu 0, atrisinām vienādojumu un atlasām piemērotas saknes. Ja mums nav neviena stacionāra punkta vai tie neietilpst norādītajā intervālā, mēs nekavējoties pārejam pie turpmākajām darbībām. Tos nosaka intervāla veids.

• Ja intervālam ir forma [ a ; b) , tad jāaprēķina funkcijas vērtība punktā x = a un vienpusējā robeža lim x → b - 0 f (x) .
• Ja intervālam ir forma (a; b ], tad jāaprēķina funkcijas vērtība punktā x = b un vienpusējā robeža lim x → a + 0 f (x).
• Ja intervālam ir forma (a; b), tad jāaprēķina vienpusējās robežas lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Ja intervālam ir forma [ a ; + ∞), tad mums jāaprēķina vērtība punktā x = a un robeža pie plus bezgalības lim x → + ∞ f (x) .
• Ja intervāls izskatās kā (- ∞ ; b ] , mēs aprēķinām vērtību punktā x = b un robežu mīnus bezgalībā lim x → - ∞ f (x) .
• Ja - ∞ ; b , tad mēs uzskatām vienpusējo robežu lim x → b - 0 f (x) un robežu pie mīnus bezgalības lim x → - ∞ f (x)
• Ja - ∞; + ∞ , tad ņemam vērā mīnus un plus bezgalības robežas lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Beigās ir jāizdara secinājums, pamatojoties uz iegūtajām funkciju vērtībām un ierobežojumiem. Šeit ir pieejamas daudzas iespējas. Tātad, ja vienpusējā robeža ir vienāda ar mīnus bezgalību vai plus bezgalību, tad uzreiz ir skaidrs, ka neko nevar teikt par funkcijas mazākajām un lielākajām vērtībām. Tālāk mēs apskatīsim vienu tipisku piemēru. Detalizēti apraksti palīdzēs jums saprast, kas ir kas. Ja nepieciešams, varat atgriezties pie 4. - 8. attēla materiāla pirmajā daļā.

Nosacījums: dotā funkcija y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Aprēķināt tā lielāko un mazāko vērtību intervālos - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ), 2 ; +∞, [4; + ∞) .

Risinājums

Pirmkārt, mēs atrodam funkcijas definīcijas domēnu. Daļas saucējs satur kvadrātisko trinomu, kuram nevajadzētu pārvērsties par 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Mēs esam ieguvuši funkcijas definīcijas domēnu, kurai pieder visi nosacījumā norādītie intervāli.

Tagad atšķirsim funkciju un iegūsim:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Līdz ar to funkcijas atvasinājumi pastāv visā tās definīcijas jomā.

Pāriesim pie stacionāro punktu atrašanas. Funkcijas atvasinājums kļūst par 0 pie x = - 1 2 . Šis ir stacionārs punkts, kas atrodas intervālos (- 3 ; 1 ] un (- 3 ; 2).

Aprēķināsim funkcijas vērtību pie x = - 4 intervālam (- ∞ ; - 4 ], kā arī robežu pie mīnus bezgalības:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tā kā 3 e 1 6 - 4 > - 1, tas nozīmē, ka m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tas neļauj mums unikāli noteikt mazāko vērtību Mēs varam tikai secināt, ka ir ierobežojums zem - 1, jo tieši šai vērtībai funkcija tuvojas asimptotiski pie mīnus bezgalības.

Otrā intervāla īpatnība ir tāda, ka tajā nav neviena stacionāra punkta un nevienas stingras robežas. Līdz ar to nevarēsim aprēķināt ne lielāko, ne mazāko funkcijas vērtību. Nosakot robežu mīnus bezgalībā un kā argumentam ir tendence uz -3 kreisajā pusē, mēs iegūstam tikai vērtību intervālu:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tas nozīmē, ka funkciju vērtības atradīsies intervālā - 1; +∞

Lai atrastu funkcijas lielāko vērtību trešajā intervālā, nosaka tās vērtību stacionārajā punktā x = - 1 2, ja x = 1. Mums būs jāzina arī vienpusēja robeža gadījumam, kad arguments tiecas uz - 3 labajā pusē:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 g (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Izrādījās, ka funkcijai būs vislielākā vērtība stacionārā punktā m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kas attiecas uz mazāko vērtību, tad to nevaram noteikt. Viss, ko mēs zinām , ir zemākās robežas klātbūtne līdz - 4 .

Intervālam (- 3 ; 2) ņemiet iepriekšējā aprēķina rezultātus un vēlreiz aprēķiniet, ar kādu vienpusēja robeža ir vienāda ar 2 kreisajā pusē:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Tas nozīmē, ka m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, un mazāko vērtību nevar noteikt, un funkcijas vērtības no apakšas ierobežo skaitlis - 4 .

Pamatojoties uz to, ko ieguvām divos iepriekšējos aprēķinos, varam teikt, ka uz intervāla [1; 2) funkcijai būs vislielākā vērtība pie x = 1, bet mazāko nav iespējams atrast.

Intervālā (2 ; + ∞) funkcija nesasniegs ne lielāko, ne mazāko vērtību, t.i. tas ņems vērtības no intervāla - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aprēķinot, ar ko būs vienāda funkcijas vērtība pie x = 4, uzzinām, ka m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , un dotā funkcija plus bezgalībā asimptotiski tuvosies taisnei y = - 1 .

Salīdzināsim katrā aprēķinā iegūto ar dotās funkcijas grafiku. Attēlā asimptoti ir parādīti ar punktētām līnijām.

Tas ir viss, ko mēs vēlējāmies jums pastāstīt par funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanu. Mūsu sniegtās darbību secības palīdzēs jums veikt nepieciešamos aprēķinus pēc iespējas ātrāk un vienkāršāk. Taču atcerieties, ka bieži vien ir lietderīgi vispirms noskaidrot, ar kādiem intervāliem funkcija samazināsies un kādos palielināsies, pēc tam var izdarīt tālākus secinājumus. Tādā veidā jūs varat precīzāk noteikt funkcijas lielāko un mazāko vērtību un pamatot iegūtos rezultātus.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Dažreiz uzdevumos B14 ir “sliktas” funkcijas, kurām ir grūti atrast atvasinājumu. Iepriekš tas notika tikai pārbaudes parauga laikā, bet tagad šie uzdevumi ir tik izplatīti, ka, gatavojoties īstajam vienotajam valsts eksāmenam, tos vairs nevar ignorēt. Šajā gadījumā darbojas citi paņēmieni, no kuriem viens ir monotonija. Definīcija Tiek uzskatīts, ka funkcija f (x) segmentā monotoni pieaug, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir spēkā: x 1

Definīcija. Tiek uzskatīts, ka funkcija f (x) segmentā monotoni samazinās, ja jebkuram šī segmenta punktam x 1 un x 2 ir spēkā: x 1 f (x 2). Citiem vārdiem sakot, pieaugošai funkcijai, jo lielāks x, jo lielāks f(x). Samazinošai funkcijai ir otrādi: jo lielāks x, jo mazāks f(x).

Piemēri. Logaritms palielinās monotoni, ja bāze a > 1, un monotoni samazinās, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, un monotoni samazinās, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, un monotoni samazinās, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0 a 1; x > 0)"> 1, un monotoni samazinās, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Piemēri . monotoni palielinās, ja bāze a > 1, un monotoni samazinās, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Piemēri. Logaritms palielinās monotoni, ja bāze a > 1, un monotoni samazinās, ja 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Piemēri. Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi kā logaritms: tā palielinās, ja a > 1, un samazinās, ja 0 0: 1 un samazinās pie 0 0:"> 1 un samazinās pie 0 0:"> 1 un samazinās pie 0 0:" title="Examples. Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi logaritmam: tā palielinās, ja a > 1 un samazinās par 0 0:"> title="Piemēri. Eksponenciālā funkcija darbojas līdzīgi kā logaritms: tā palielinās, ja a > 1, un samazinās, ja 0 0:"> !}

0) vai uz leju (a 0) vai uz leju (a 9 Parabolas virsotnes koordinātes Visbiežāk funkcijas arguments tiek aizstāts ar formas kvadrātveida trinomu Tā grafiks ir standarta parabola, kurā mūs interesē zari: Parabolas zari var iet uz augšu (par a > 0) vai uz leju (a 0) vai vislielāko (a 0) vai lejup (a 0) vai uz leju (a 0) vai lielāko (a 0) vai uz leju (a 0) vai uz leju (a title="(!) LANG:Parabolas virsotnes koordinātes Visbiežāk funkcijas arguments tiek aizstāts ar kvadrātveida trinomu tādā formā. Tās grafiks ir standarta parabola, kurā mūs interesē zari: Parabolas zari var iet uz augšu (ja > 0) vai uz leju (a

Problēmas priekšlikumā nav segmenta. Tāpēc nav jāaprēķina f(a) un f(b). Atliek ņemt vērā tikai galējos punktus; Bet tāds punkts ir tikai viens - parabolas x 0 virsotne, kuras koordinātas tiek aprēķinātas burtiski verbāli un bez atvasinājumiem.

Tādējādi problēmas risināšana ir ievērojami vienkāršota un sastāv tikai no diviem soļiem: Uzrakstiet parabolas vienādojumu un atrodiet tā virsotni, izmantojot formulu: Atrodiet sākotnējās funkcijas vērtību šajā punktā: f (x 0). Ja nē papildu nosacījumi nē, tā būs atbilde.

0. Parabolas virsotne: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Atrast funkcijas mazāko vērtību: Risinājums: Zem saknes ir kvadrātiskā funkcijaŠīs parabolas funkcijas grafikam ir augšupejoši zari, jo koeficients a = 1 > 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb "> 18 Atrodiet funkcijas mazāko vērtību: Risinājums: Zem saknes ir kvadrātfunkcija Šīs funkcijas grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo koeficients a = 1 > 0. Parabolas virsotne: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parabolas virsotne: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Atrast mazāko vērtību funkcijas: Risinājums: Zem saknes ir kvadrātfunkcija. Šīs funkcijas grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo koeficients a = 1 > 0. Parabolas virsotne: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Atrodiet funkcijas mazāko vērtību: Risinājums: Zem saknes ir kvadrātfunkcija Šīs funkcijas grafiks ir parabola ar zariem uz augšu, jo koeficients a = 1 > 0. Parabolas virsotne: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}

Atrodiet funkcijas mazāko vērtību: Risinājums Saskaņā ar logaritmu kvadrātiskā funkcija atkal ir parabolas grafikā uz augšu, jo a = 1 > 0. Parabolas virsotne: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parabolas augšdaļa: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parabolas virsotne: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Atrast mazāko vērtību no funkcijas: Risinājums Zem logaritma atkal ir kvadrātfunkcija Parabolas grafikā ir uz augšu vērsti zari, jo a = 1 > 0. Parabolas virsotne: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="Atrodiet funkcijas mazāko vērtību: Risinājums Saskaņā ar logaritmu kvadrātiskā funkcija atkal ir parabolas grafikā uz augšu, jo a = 1 > 0. Parabolas virsotne: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Atrodiet funkcijas lielāko vērtību: Risinājums: Eksponents satur kvadrātfunkciju Pārrakstīsim to normālā formā: Acīmredzot šīs funkcijas grafiks ir parabola, atzarojas uz leju (a = 1

Secinājumi no funkcijas domēna Dažkārt, lai atrisinātu uzdevumu B14, nepietiek vienkārši atrast parabolas virsotni. Vēlamā vērtība var atrasties segmenta beigās, nevis galējā punktā. Ja problēma vispār nenorāda segmentu, mēs skatāmies uz sākotnējās funkcijas pieļaujamo vērtību diapazonu. Proti:

0 2. Aritmētika Kvadrātsakne eksistē tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt nulle:" title="1. Logaritma argumentam jābūt pozitīvam: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar nulli:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Logaritma argumentam jābūt pozitīvam: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt nulle: 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar nulli: "> 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Saucējs Daļas daļa nedrīkst būt vienāda ar nulli: "> 0 2. Aritmētika kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt nulle:" title="1. logaritma argumentam jābūt pozitīvam: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmētiskais kvadrāts sakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar nulli:"> title="1. Logaritma argumentam jābūt pozitīvam: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīviem skaitļiem: 3. Daļas saucējs nedrīkst būt nulle:"> !}

Risinājums Zem saknes atkal ir kvadrātfunkcija. Tās grafiks ir parabolisks, bet zari ir vērsti uz leju, jo a = 1
Tagad atradīsim parabolas virsotni: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Punkts x 0 = 1 pieder segmentam ODZ un tas ir labi. Tagad mēs aprēķinām funkcijas vērtību punktā x 0, kā arī ODZ galos: y(3) = y(1) = 0 Tātad, mēs saņēmām skaitļus 2 un 0. Mums tiek lūgts atrast lielākais skaitlis 2. Atbilde: 2

Lūdzu, ņemiet vērā: nevienlīdzība ir stingra, tāpēc gali nepieder ODZ. Tas atšķir logaritmu no saknes, kur segmenta gali mums piestāv diezgan labi. Mēs meklējam parabolas virsotni: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Parabolas virsotne atbilst ODZ: x 0 = 3 ( 1; 5). Bet, tā kā segmenta gali mūs neinteresē, funkcijas vērtību aprēķinām tikai punktā x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Atbilde: -2

Miniatūra un diezgan vienkārša tāda veida problēma, kas kalpo kā glābšanas līdzeklis peldošam studentam. Dabā ir jūlija vidus, tāpēc ir pienācis laiks iekārtoties ar klēpjdatoru pludmalē. Agri no rīta sāka spēlēt teorijas saules stars, lai drīz vien pievērstos praksei, kas, neskatoties uz deklarēto vieglumu, smiltīs satur stikla lauskas. Šajā sakarā iesaku apzinīgi apsvērt dažus šīs lapas piemērus. Lai risinātu praktiskus uzdevumus, ir jāspēj atrast atvasinājumus un saprast raksta materiālu Funkcijas monotonitātes intervāli un ekstrēmas.

Pirmkārt, īsumā par galveno. Nodarbībā par funkciju nepārtrauktība Es sniedzu nepārtrauktības definīciju punktā un nepārtrauktību intervālā. Funkcijas parauga darbība segmentā ir formulēta līdzīgi. Funkcija ir nepārtraukta intervālā, ja:

1) tas ir nepārtraukts intervālā ;
2) nepārtraukts punktā labajā pusē un punktā pa kreisi.

Otrajā rindkopā mēs runājām par t.s vienpusēja nepārtrauktība funkcijas noteiktā punktā. Ir vairākas pieejas tā definēšanai, taču es pieturēšos pie līnijas, kuru sāku iepriekš:

Funkcija ir nepārtraukta punktā labajā pusē, ja tas ir definēts noteiktā punktā un tā labās puses robeža sakrīt ar funkcijas vērtību noteiktā punktā: . Tas ir nepārtraukts punktā pa kreisi, ja definēts noteiktā punktā un tā kreisā robeža ir vienāda ar vērtību šajā punktā:

Iedomājieties, ka zaļie punktiņi ir nagi, kuriem piestiprināta maģiska elastīga josla:

Garīgi paņemiet sarkano līniju rokās. Acīmredzot neatkarīgi no tā, cik tālu mēs stiepjam grafiku uz augšu un uz leju (pa asi), funkcija joprojām paliks ierobežots– augšā žogs, apakšā žogs, un mūsu prece ganās aplokā. Tādējādi uz to ir ierobežota funkcija, kas nepārtraukta intervālā. Matemātiskās analīzes gaitā šis šķietami vienkāršais fakts tiek noteikts un stingri pierādīts. Veierštrāsa pirmā teorēma....Daudzus kaitina, ka matemātikā nogurdinoši tiek pamatoti elementāri apgalvojumi, bet tam ir svarīga nozīme. Pieņemsim, ka kāds frotē viduslaiku iedzīvotājs aiz redzamības robežām debesīs izvilka grafiku, tas tika ievietots. Pirms teleskopa izgudrošanas ierobežotā funkcija kosmosā nemaz nebija acīmredzama! Tiešām, kā jūs zināt, kas mūs sagaida aiz apvāršņa? Galu galā Zeme kādreiz tika uzskatīta par plakanu, tāpēc šodien pat parastai teleportācijai ir nepieciešami pierādījumi =)

Saskaņā ar Veierštrāsa otrā teorēma, nepārtraukts segmentāfunkcija sasniedz savu precīza augšējā robeža un tavs precīza apakšējā mala .

Numuru arī sauc segmenta funkcijas maksimālā vērtība un ir apzīmēti ar , un skaitlis ir funkcijas minimālā vērtība segmentā atzīmēts .

Mūsu gadījumā:

Piezīme : teorētiski ieraksti ir izplatīti .

Aptuveni runājot, lielākā vērtība ir vieta, kur ir augstākais punkts diagrammā, un mazākā vērtība ir zemākais punkts.

Svarīgs! Kā jau uzsvērts rakstā par funkcijas galējība, lielākā funkcijas vērtība Un mazākā funkcijas vērtība – NAV TAS PATS, Kas maksimālā funkcija Un minimālā funkcija. Tātad aplūkotajā piemērā skaitlis ir funkcijas minimums, bet ne minimālā vērtība.

Starp citu, kas notiek ārpus segmenta? Jā, pat plūdi aplūkojamās problēmas kontekstā mūs tas nemaz neinteresē. Uzdevums ietver tikai divu skaitļu atrašanu un tas arī viss!

Turklāt risinājums ir tīri analītisks nav nepieciešams taisīt zīmējumu!

Algoritms atrodas uz virsmas un liecina par sevi no iepriekš redzamā attēla:

1) Atrodiet funkcijas vērtības kritiskie punkti, kas pieder šim segmentam.

Saņemiet vēl vienu bonusu: šeit nav jāpārbauda pietiekams ekstremuma nosacījums, jo, kā tikko parādīts, minimālā vai maksimālā klātbūtne vēl negarantē, kāds ir minimālais vai maksimālā vērtība. Demonstrācijas funkcija sasniedz maksimumu, un pēc likteņa gribas tas pats skaitlis ir segmenta lielākā funkcijas vērtība. Bet, protams, šāda sakritība ne vienmēr notiek.

Tātad pirmajā solī ir ātrāk un vienkāršāk aprēķināt funkcijas vērtības segmentam piederošajos kritiskajos punktos, neuztraucoties par to, vai tajos ir ekstrēmas vai nav.

2) Mēs aprēķinām funkcijas vērtības segmenta galos.

3) No 1. un 2. rindkopā atrodamajām funkciju vērtībām atlasiet mazāko un lielāko skaitli un pierakstiet atbildi.

Apsēžamies zilās jūras krastā un ar papēžiem sitam seklā ūdenī:

1. piemērs

Atrodiet segmenta funkcijas lielāko un mazāko vērtību

Risinājums:
1) Aprēķināsim funkcijas vērtības kritiskajos punktos, kas pieder šim segmentam:

Aprēķināsim funkcijas vērtību otrajā kritiskajā punktā:

2) Aprēķināsim funkcijas vērtības segmenta galos:

3) Ar eksponentiem un logaritmiem iegūti “Bold” rezultāti, kas būtiski apgrūtina to salīdzināšanu. Šī iemesla dēļ bruņosimies ar kalkulatoru vai Excel un aprēķināsim aptuvenās vērtības, neaizmirstot, ka:

Tagad viss ir skaidrs.

Atbilde:

Daļēji racionāls gadījums neatkarīgam risinājumam:

6. piemērs

Atrodiet segmenta funkcijas maksimālo un minimālo vērtību

Nodarbībā par tēmu “Atvasinājuma izmantošana, lai atrastu nepārtrauktas funkcijas lielākās un mazākās vērtības intervālā” tiks apskatītas salīdzinoši vienkāršas problēmas, kā atrast funkcijas lielākās un mazākās vērtības noteiktā intervālā, izmantojot atvasinājumu. .

Tēma: Atvasinājums

Nodarbība: atvasinājuma izmantošana, lai atrastu nepārtrauktas funkcijas lielākās un mazākās vērtības intervālā

Šajā nodarbībā aplūkosim vienkāršāku uzdevumu, proti, tiks dots intervāls, uz šī intervāla tiks dota nepārtraukta funkcija. Mums ir jānoskaidro lielākā un mazākā dotā vērtība funkcijas uz doto starp.

Nr.32.1 (b). Ņemot vērā: , . Uzzīmēsim funkcijas grafiku (skat. 1. att.).

Rīsi. 1. Funkcijas grafiks.

Ir zināms, ka šī funkcija palielinās intervālā, kas nozīmē, ka tā palielinās arī intervālā. Tas nozīmē, ka, ja funkcijas vērtību atradīsit punktos un , tad būs zināmas šīs funkcijas izmaiņu robežas, tās lielākās un mazākās vērtības.

Kad arguments palielinās no līdz 8, funkcija palielinās no līdz .

Atbilde: ; .

Nr. 32.2 (a) Dots: atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības noteiktā intervālā.

Uzzīmēsim šo funkciju (skat. 2. att.).

Ja arguments mainās intervālā , tad funkcija palielinās no -2 līdz 2. Ja arguments palielinās no , tad funkcija samazinās no 2 līdz 0.

Rīsi. 2. Funkciju grafiks.

Atradīsim atvasinājumu.

, . Ja , tad arī šī vērtība pieder dotajam segmentam. Ja tad. Ir viegli pārbaudīt, vai tiek ņemtas citas vērtības un attiecīgie stacionārie punkti atrodas ārpus dotā segmenta. Salīdzināsim funkcijas vērtības segmenta galos un atlasītajos punktos, kuros atvasinājums ir vienāds ar nulli. Mēs atradīsim

;

Atbilde: ;.

Tātad atbilde ir saņemta. Atvasinājums iekšā šajā gadījumā Jūs varat to izmantot, jūs to nevarat izmantot, varat lietot funkcijas īpašības, kas tika pētītas iepriekš. Tas ne vienmēr notiek, dažreiz atvasinājuma izmantošana ir vienīgā metode, kas ļauj atrisināt šādas problēmas.

Ņemot vērā: , . Atrodiet lielākās un mazākās funkcijas vērtības noteiktā segmentā.

Ja iepriekšējā gadījumā varēja iztikt bez atvasinājuma – mēs zinājām, kā funkcija uzvedas, tad šajā gadījumā funkcija ir diezgan sarežģīta. Līdz ar to metodoloģija, ko minējām iepriekšējā uzdevumā, ir pilnībā piemērojama.

1. Atradīsim atvasinājumu. Atradīsim kritiskos punktus, tātad – kritiskos punktus. No tiem mēs atlasām tos, kas pieder šim segmentam: . Salīdzināsim funkcijas vērtību punktos , , . Šim nolūkam mēs atradīsim

Rezultātu ilustrēsim attēlā (skat. 3. att.).

Rīsi. 3. Funkciju vērtību izmaiņu robežas

Mēs redzam, ja arguments mainās no 0 uz 2, funkcija mainās diapazonā no -3 līdz 4. Funkcija nemainās monotoni: tā vai nu palielinās, vai samazinās.

Atbilde: ;.

Tātad, izmantojot trīs piemērus, tika parādīts vispārīgais paņēmiens funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanai intervālā, šajā gadījumā segmentā.

Funkcijas lielāko un mazāko vērtību atrašanas problēmas risināšanas algoritms:

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.

2. Atrodiet funkcijas kritiskos punktus un atlasiet tos punktus, kas atrodas dotajā segmentā.

3. Atrodiet funkcijas vērtības segmenta galos un atlasītajos punktos.

4. Salīdziniet šīs vērtības un izvēlieties lielāko un mazāko.

Apskatīsim citu piemēru.

Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību , .

Iepriekš tika aplūkots šīs funkcijas grafiks (sk. 4. att.).

Rīsi. 4. Funkciju grafiks.

Intervālā šīs funkcijas vērtību diapazons . Punkts - maksimālais punkts. Kad - funkcija palielinās, kad - funkcija samazinās. No zīmējuma ir skaidrs, ka , - neeksistē.

Tātad nodarbībā mēs apskatījām funkcijas lielāko un mazāko vērtību problēmu, ja dotais intervāls ir segments; formulēja algoritmu šādu problēmu risināšanai.

1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un aprēķins 10. klasei ( pamācība skolu un klašu skolēniem ar padziļināta izpēte matemātika).-M.: Izglītība, 1996.g.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināta algebras un matemātiskās analīzes izpēte.-M.: Izglītība, 1997.g.

5. Matemātikas uzdevumu krājums augstskolu reflektantiem (M.I. Skanavi redakcija - M.: Augstskola, 1992).

6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais simulators.-K.: A.S.K., 1997.g.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra un analīzes sākums. 8-11 klase: Rokasgrāmata skolām un klasēm ar padziļinātu matemātikas apguvi (didaktiskie materiāli - M.: Bustard, 2002).

8. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Problēmas par algebru un analīzes principiem (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11. klašu skolēniem - M.: Prosveshchenie, 2003).

9. Karps A.P. Problēmu krājums par algebru un analīzes principiem: mācību grāmata. pabalsts 10-11 klasēm. ar dziļumu pētīta Matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.

10. Glazer G.I. Matemātikas vēsture skolā. 9.-10.klase (rokasgrāmata skolotājiem).-M.: Izglītība, 1983.g

Papildu tīmekļa resursi

2. Dabaszinātņu portāls ().

Pagatavojiet to mājās

Nr. 46.16, 46.17 (c) (Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata vispārējās izglītības iestādēm (profila līmenis) A. G. Mordkoviča redakcijā. - M.: Mnemozina, 2007.)