З часів дослідів Галілея на Пізанській вежі відомо, що всі тіла падають у поле сили тяжіння з однаковим прискоренням g.

Однак щоденна практика вказує на інше: легка пір'їнка падає повільніше за важку металеву кульку. Зрозуміла і причина цього – опір повітря.

Рівняння руху.Якщо обмежитися випадком поступального руху тіл, що не обертаються, в нерухомому середовищі з опором, то сила опору буде спрямована проти швидкості. У векторному вигляді її можна записати як

де - Абсолютна величина цієї сили, a - модуль швидкості тіла. Врахування опору середовища змінює вигляд рівнянь руху тіла, кинутого під кутом до горизонту:

У наведених рівняннях враховано також виштовхуючу силу Архімеда, що діє на тіло: прискорення вільного падіння gзамінено на меншу величину

де – щільність середовища (для повітря = 1.29 кг/м 3 ), а – середня щільність тіла.

Дійсно, вага тіла в середовищі зменшується на величину сили, що виштовхує Архімеда

Виражаючи об'єм тіла через його середню густину

приходимо до виразу

За наявності опору повітря швидкість падаючого тіла не може зростати безмежно. У межі вона прагне до певного значення, яке залежить від характеристик тіла. Якщо тіло досягло швидкості падіння , то з рівнянь руху слід, що сила опору дорівнює вазі тіла (з урахуванням архімедової сили):

Сила опору, як ми незабаром переконаємося, є функція швидкості падіння. Отже, отриманий вираз для сили опору є рівнянням визначення встановленої швидкості падіння . Зрозуміло, що за наявності середовища енергія тіла частково витрачається подолання її опору.

Число Рейнольдса. Зрозуміло, рівняння руху тіла в рідині неможливо навіть почати вирішувати, поки нам нічого невідомо про модуль сили опору. Величина цієї сили суттєво залежить від характеру обтікання тіла зустрічним потоком газу (або рідини). При малих швидкостях цей потік є ламінарним(тобто шаруватим). Його можна уявити як відносний рух шарів середовища, що не змішуються між собою.

Ламінарний перебіг рідини демонструється на досвіді, показаному на рис. 13.

Як зазначалося у розділі 9.3, при відносному русі шарів рідини чи газу між цими шарами виникають сили опору руху, які називаються силами внутрішнього тертя. Ці сили обумовлені особливою властивістю текучих тіл. в'язкістю, яка характеризується чисельно коефіцієнтом в'язкості. Наведемо характерні значеннядля різних речовин: для повітря ( = 1,8 · 10 -5 Па · с), води ( = 10 -3 Па · с), гліцерину ( = 0,85 Па · с). Еквівалентне позначення одиниць, у яких вимірюється коефіцієнт в'язкості: Па · с = кг · м -1 · с -1 .

Між тілом і середовищем, що рухається, завжди існують сили зчеплення, так що безпосередньо поблизу поверхні тіла шар газу (рідини) повністю затримується, як би «прилипаючи» до нього. Він треться про наступний шар, який трохи відстає від тіла. Той, своєю чергою, відчуває силу тертя із боку ще віддаленого шару тощо. Зовсім далекі від тіла шари можна вважати такими, що покояться. Теоретичний розрахунок внутрішнього тертя для руху кульки діаметром Dпризводить до формулі Стокса:

Підставляючи формулу Стокса у вираз для сили опору під час руху, знаходимо вираз для швидкості падіння кульки в середовищі:

Видно, що чим легше тіло, то менша швидкість його падіння в атмосфері. Отримане рівняння пояснює нам, чому пушинка падає повільніше, ніж сталева кулька.

При вирішенні реальних завдань, наприклад, обчисленні швидкості падіння парашутиста, що встановилася, при затяжному стрибку, не слід забувати, що сила тертя пропорційна швидкості тіла лише для відносно повільного ламінарногозустрічного потоку повітря При збільшенні швидкості тіла навколо нього виникають повітряні вихори, шари перемішуються, рух у якийсь момент стає турбулентним, І сила опору різко зростає. Внутрішнє тертя (в'язкість) перестає грати скільки б там не було помітну роль.

Мал. 9.15 Фотографія струменя рідини при переході від ламінарної течії до турбулентної (число Рейнольдса Re=250)

Виникнення сили опору можна тоді уявити так. Нехай тіло пройшло в середовищі шлях. При силі опору цього витрачається робота

Якщо площа поперечного перерізу тіла дорівнює , то тіло «наштовхнеться» на частинки, що займають об'єм . Повна маса частинок у цьому обсязі дорівнює · Уявимо, що ці частинки повністю захоплюються тілом, набуваючи швидкості . Тоді їхня кінетична енергія стає рівною

Ця енергія не з'явилася нізвідки: вона створена за рахунок роботи зовнішніх сил щодо подолання сили опору. Стало бути, A=До, звідки

Ми бачимо, що тепер сила опору сильніше залежить від швидкості руху, стаючи пропорційною до її другого ступеня (пор. з формулою Стокса). На відміну від сил внутрішнього тертя її часто називають силою динамічного лобового опору.

Однак припущення про повному захопленнічастинок середовища тілом, що рухається, виявляється занадто сильним. Насправді будь-яке тіло так чи інакше обтікається потоком, що зменшує силу опору. Прийнято використати так званий коефіцієнт опору C, записуючи силу лобового опору у вигляді:

При турбулентному потоці в деякому інтервалі швидкостей Cне залежить від швидкості руху тіла, але залежить від його форми: скажімо, для диска він дорівнює одиниці, а для кулі приблизно 0,5.

Підставляючи формулу для сили лобового опору в вираз для сили опору при русі, що встановився, приходимо до іншого, ніж раніше отримана формула, виразу для встановлюваної швидкості падіння кулі (при C = 0,5):

Застосовуючи знайдену формулу до руху парашутиста вагою 100 кг з поперечним розміром парашута 10 м, знаходимо

що відповідає швидкості приземлення при стрибку без парашута з висоти 2 м. Видно, що для опису руху парашутиста більше підходить формула, що відповідає турбулентному потоку повітря.

Вираз для сили опору з коефіцієнтом опору зручно використовувати у всьому інтервалі швидкостей. Оскільки при малих швидкостях режим опору змінюється, то коефіцієнт опору в області ламінарної течії та в перехідній ділянці до турбулентної течії залежатиме від швидкості тіла. Однак пряма залежність Cвід неможлива, оскільки коефіцієнт опору безрозмірний. Отже, може бути лише функцією якоїсь безрозмірної комбінації з участю швидкості. Така комбінація, що відіграє важливу роль у гідро- та аеродинаміці, називається числом Рейнольдса(Див. тему 1.3).

Число Рейнольдса - це параметр, що описує зміну режиму під час переходу від ламінарної течії до турбулентної. Таким параметром може бути відношення сили лобового опору до сили внутрішнього тертя. Підставляючи у формулу для сили опору вираз для площі поперечного перерізу кулі, переконуємося, що величина сили лобового опору з точністю до несуттєвих числових факторів визначається виразом

а величина сили внутрішнього тертя – виразом

Відношення цих двох висловів і є числом Рейнольдса:

Якщо йдеться не про рух кулі, то під Dрозуміється характерний розмір системи (скажімо, діаметр труби в задачі про течію рідини). За змістом числа Рейнольдса ясно, що з його малих значеннях домінують сили внутрішнього тертя: в'язкість велика і ми маємо справу з ламінарним потоком. При великих значеннях числа Рейнольдса навпаки домінують сили динамічного лобового опору і потік стає турбулентним.

Число Рейнольдса має значення при моделюванні реальних процесів у менших (лабораторних) масштабах. Якщо для двох течій різних розмірівчисла Рейнольдса однакові, то такі течії подібні, і явища, що виникають в них, можуть бути отримані одне з іншого простою зміною масштабу вимірювання координат і швидкостей. Тому, наприклад, на моделі літака або автомобіля в аеродинамічній трубі можна передбачити та вивчити процеси, що виникнуть у процесі реальної експлуатації.

Коефіцієнт опору. Отже, коефіцієнт опору у формулі для сили опору залежить від числа Рейнольдса:

Ця залежність має складний характер, показаний (для кулі) на рис. 9.16. Теоретично отримати цю криву важко, і зазвичай використовують залежності експериментально виміряні для даного тіла. Однак можлива її якісна інтерпретація.

Мал. 9.16. Залежність коефіцієнта опору від числа Рейнол'дса (римськими цифрами показані області значень Re; яким відповідають різні режими перебігу повітряного потоку)

Область I. Тут число Рейнольдса дуже мало (< 1) и течение потока ламинарно. Экспериментальная кривая описывается в этой области функцией

При підстановці цього значення у знайдену раніше формулу для сили опору та використання та виразу для числа Рейнольдса ми приходимо до формули Стокса. У цій галузі, як говорилося, опір виникає внаслідок в'язкості середовища.

Область II. Тут число Рейнольдса лежить в інтервалі 1< < 2·10 4 . Данная область соответствует переходу от ламинарного к турбулентному течению. Экспериментальные данные свидетельствуют, что при увеличении числа Рейнольдса достигается некоторое его критическое значение, после которого стационарное ламинарное течение становится неустойчивым. Разумеется, это критическое значение не универсально и различается для різних типівтечій. Але його характерна величина близько кількох десятків.

При лише трохи більших критичного значення утворюється нестаціонарний періодичний рух потоку, що характеризується деякою частотою. При подальшому збільшенні періодичний рух ускладнюється, і в ньому з'являються нові частоти. Цим частотам відповідають періодичні рухи (вихори), просторові масштаби яких стають дедалі дрібнішими. Рух набуває більш складного і заплутаного характеру - розвивається турбулентність. У цій галузі коефіцієнт опору продовжує падати зі зростанням, але повільніше. Мінімум досягається при = (4–5)·10 3 після чого Здещо підвищується.

Область III. Ця область відповідає розвиненому турбулентному течії потоку навколо кулі, і з цим режимом ми вже зустрічалися вище. Характерні значення числа Рейнольдса лежать в інтервалі 2·10 4< < 2·10 5 .

Під час руху тіло залишає за собою турбулентний слід, за межами якого перебіг ламінарний. Вихровий турбулентний слід легко спостерігати, наприклад, за кормою корабля. Частина поверхні тіла безпосередньо примикає до області турбулентного сліду, яке передня частина - до області ламінарного течії. Кордон між ними лежить на поверхні тіла називається лінією відриву. Фізичною причиноювиникнення сили опору є різниця тисків на передній та задній поверхнях тіла. Виявляється, що положення лінії відриву визначається властивостями прикордонного шару і залежить від числа Рейнольдса. Тому коефіцієнт опору приблизно постійний у цьому режимі.

Область IV. Однак такий режим обтікання тіла не може підтримуватися до будь-яких великих значень. Якогось моменту передній ламінарний прикордонний шар турбулізується, що відсуває назад лінію відриву. Турбулентний слід за тілом звужується, що призводить до різкого (у 4-5 разів) падіння опору середовища. Це явище, назване кризою опору, відбувається у вузькому інтервалі значень = (2-2,5) · 10 5 . Строго кажучи, наведені теоретичні міркування можуть змінитися при обліку стисливості середовища (повітря, у разі). Однак це проявиться, як ми вже обговорювали, при швидкостях об'єктів, які можна порівняти зі швидкістю звуку.

додаткова інформація

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_70.djvu - Стасенко О.Л. Фізика польоту, Бібліотечка Квант, випуск 70 стор. 17–28 – аеродинамічні сили, що діють на крило.

http://d.theupload.info/down/8osiz73swyx22j1icv3641f3xxe8rtdp/butikov_e_i__kondratev_a_s__fizika_dlja_uglublennogo_izuchen.djvu - Є.І. Бутіков, А.С.Кондратьєв, Навчальний посібник; Кн. 1, Механіка, Фізматліт, 2001 р. - глава V - рух рідин та газів.

Список додаткових посилань

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1998/02/kv0298fizfak.pdf - журнал «Квант» - математичний маятник на похилих поверхнях (П. Хаджі, О. Михайленко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/06/strannyj_mayatnik.htm - журнал "Квант" - математичний маятник з рухомою точкою підвісу (Н. Мінц);

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=physica/lect4.ch1.tex - У лекції розглядаються гармонійні коливання, фазовий портрет маятника, адіабатичні інваріанти.

http://www.plib.ru/library/book/9969.html - Є.І. Бутіков, А.С. Кондратьєв, Навчальний посібник; Кн. 1, Механіка, Фізматліт, 2001 р. – стор. 279–295 (§§ 42,43) – описані затухаючі коливання при сухому терті та власні коливання у різних фізичних системах.

http://mechanics.h1.ru/ - Механіка в школі, визначення основних фізичних величин, вирішення задач.

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=mgivanov - Курс лекцій з механіки для фізико-технічної школи (М.Г. Іванов).

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant63.djvu - Асламазов Л.Г., Варламов А.А. Дивовижна фізика, Бібліотечка Квант, випуск 63, розділ 2 – проста фізика складних явищ.

http://schools.keldysh.ru/sch1275/kross/ - Фізичні кросворди.

http://www.newsland.ru/News/Detail/id/211926/22 - Обговорюється можливість створення звукової та оптичної «шапки-невидимки».

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_40.djvu - Хількевич С.С., Фізика навколо нас, бібліотечка Квант, випуск 40, глава 1, § 5 - як діє суміш вібрація і що відбувається при струшуванні відра з картоплею.

Інструкція

Знайдіть силу опору руху, яка діє на тіло, що рівномірно прямолінійно рухається. Для цього за допомогою динамометра або іншим способом виміряйте силу, яку необхідно додати до тіла, щоб воно рухалося рівномірно та прямолінійно. За третім законом Ньютона вона чисельно дорівнює силі опору руху тіла.

Визначте силу опору руху тіла, що переміщається горизонтальною поверхнею. В цьому випадку сила тертя прямо пропорційна силі реакції опори, яка, у свою чергу, дорівнює силі тяжіння, що діє на тіло. Тому сила опору руху в цьому випадку або сила тертя Fтр дорівнює добутку маси тіла m, яка вимірюється вагами в кілограмах, на прискорення вільного падіння g9,8 м/с² і коефіцієнт пропорційності μ, Fтр=μ∙m∙g. Число μ називається коефіцієнтом тертя і залежить від поверхонь, що входять в контакт під час руху. Наприклад, для тертя сталі деревом цей коефіцієнт дорівнює 0,5.

Розрахуйте силу опору руху тіла, що рухається по похилій площині. Крім коефіцієнта тертя μ, маси тіла m та прискорення вільного падіння g, вона залежить від кута нахилу площини до горизонту α. Щоб знайти силу опору руху в цьому випадку, потрібно знайти добутки коефіцієнта тертя, маси тіла, прискорення вільного падіння і кута косинуса, під яким площина нахилена до горизонту Fтр=μ∙m∙g∙сos(α).

При русі тіла повітря на невисоких швидкостях сила опору руху Fс прямо пропорційна швидкості руху тіла v, Fc=α∙v. Коефіцієнт залежить від властивостей тіла і в'язкості середовища і розраховується окремо. При русі на високих швидкостях, наприклад, при падінні тіла із значною висоти або рухом автомобіля, сила опору прямо пропорційна квадрату швидкості Fc=β∙v². Коефіцієнт додатково розраховується для високих швидкостей.

Для визначення сили опору повітрястворіть умови, за яких тіло почне під дією сили тяжіння рухатися рівномірно та прямолінійно. Розрахуйте значення сили тяжіння, воно дорівнюватиме силі опору повітря. Якщо тіло рухається у повітрі, набираючи швидкість, сила його опору перебуває з допомогою законів Ньютона, і навіть силу опору повітря можна знайти із закону збереження механічної енергії та спеціальних аеродинамічних формул.

Вам знадобиться

• далекомір, ваги, спідометр або радар, лінійка, секундомір.

Інструкція

Перед виміром опорурезистора обов'язково випаяйте його зі старої плати або блоку. Інакше він може бути шунтований іншими деталями схеми, і ви отримаєте неправильні його показання опору.

Відео на тему

Щоб знайти електричний опірпровідника, скористайтеся відповідними формулами. Опір ділянки ланцюга за законом Ома. Якщо відомий матеріал і геометричні розміри провідника, його опір можна розрахувати за допомогою спеціальної формули.

Вам знадобиться

• - Тестер;
• - Штангенциркуль;
• - Лінійка.

Інструкція

Згадайте, що має на увазі поняття резистора. У даному випадкупід резистором треба розуміти будь-який провідник або елемент електричного кола, що має активний резистивний опір. Тепер важливо поставити питання про те, як діє зміна значення опору на значення сили струму і від чого воно залежить. Суть явища опору у тому, що атоми речовини резистора формують свого роду бар'єр проходження електричних зарядів. Чим вищий опір речовини, тим щільніше розташовані атоми у ґратах резистивної речовини. Цю закономірність пояснює закон Ома для ділянки ланцюга. Як відомо, закон Ома для ділянки ланцюга звучить наступним чином: сила струму на ділянці ланцюга прямо пропорційна напрузі на ділянці і обернено пропорційна опору самої ділянки ланцюга.

Зобразіть на аркуші паперу графік залежності сили струму від напруги на резисторі, і навіть від його опору, з закону Ома. Ви отримаєте графік гіперболи у першому випадку та графік прямий у другому випадку. Таким чином, сила струму буде тим більшою, чим більша напруга на резистори і чим менший опір. Причому залежність від опору тут яскравіша, бо вона має вигляд гіперболи.

Зауважте, що опір резистора також змінюється при зміні його температури. Якщо нагрівати резистивний елемент і спостерігати при цьому за зміною сили струму, можна помітити, як при збільшенні температури зменшується сила струму. Ця закономірність пояснюється тим, що при збільшенні температури збільшуються коливання атомів у вузлах кристалічних грат резистора, зменшуючи таким чином вільний простір для проходження заряджених частинок. Іншою причиною, що зменшує силу струму в даному випадку, є той факт, що при збільшенні температури речовини збільшується хаотичний рух частинок, у тому числі заряджених. Таким чином, рух вільних частинок в резисторі стає більш хаотичним, ніж спрямованим, що і позначається на зменшенні сили струму.

Відео на тему

Вступ

Розробка законів (функцій) опору повітря має тривалу історію. Цим займалися видатні вчені та артилеристи, і в результаті проведення численних полігонних стрільб були отримані залежності коефіцієнта лобового опору від числа Маха, які сильно залежать від особливостей обтікання снаряда зустрічним потоком повітря, тобто. головним чином конфігурації головної частини. Однак навіть за наявності цієї залежності обчислення параметрів траєкторії артилерійського снаряда завжди являло собою надзвичайно складне завдання, особливо якщо враховувати такі фактори, як кривизна поверхні та обертання Землі.

Для розрахунку траєкторії снаряда необхідно чисельно інтегрувати систему диференціальних рівнянь зовнішньої балістики за допомогою надзвичайно трудомісткого методу кінцевих різниць, а на початку минулого століття у розпорядженні обчислювачів були лише арифмометри та рахунки. Для нового типу зброї були потрібні свої таблиці, складати їх доводилося роками, попередньо провівши полігонні стрільби визначення параметрів прийнятого закону опору повітря (переважно, коефіцієнта форми снаряда). Відомо, що перші зовнішньобалістичні розрахунки німці проводили, вважаючи густину повітря постійною і рівною середньому значенню в межах висоти траєкторії.

Саме для швидкого складання балістичних таблиць на замовлення армії США у Лабораторії балістичних досліджень. у 1946 р. було створено першу обчислювальну машину «Еніак» ( ENIAC - Electronic Number Integrator And Computer- Електронний цифровий інтегратор та обчислювач). Обчислення на «Еніаку» велися в десятковій системі, а зміни програми вимагалося встановити у певне становище тисячі перемикачів і з'єднати сотні кабелів, і у середньому підготовку машини до обчисленню однієї таблиці йшло два дні копіткої ручної роботи .

Таким чином, прискорення процесу обчислення параметрів траєкторії завжди було актуальним завданням у ствольній, а потім ракетної артилерії. Для отримання адекватних результатів необхідний відповідний математичний опис закону опору. Найбільш популярним у цьому сенсі довгий часбув закон (функція) Сіаччі як емпіричної формули, важливою перевагою якої є безперервна залежність від швидкості снаряда. Однак формула виведена стосовно застарілих тупоголових снарядів, використаних як еталонні. Після появи сучасних снарядів далекобійної конфігурації було створено нові закони опору повітря. Однак, на відміну від формули Сіаччі, вони задані в дискретній (найчастіше в табличній) формі.

Найбільш поширеним у Росії (раніше - в СРСР) законом опору повітря, використовуваним при розрахунку траєкторій артилерійських снарядів, є закон 1943 р. Однак досі відсутнє подання цього закону у вигляді безперервної залежності від швидкості снаряда, що ускладнює проведення розрахунків на ЕОМ. У цьому роботі пропонується спосіб приведення закону Сіаччі до закону 1943 р. з допомогою відповідного коефіцієнта узгодження як функції, безупинно залежить від швидкості снаряда. Показано, що розбіжність результатів розрахунку пропонованої апроксимації з табличними даними не перевищує допустимого з практичної точки зору.

Застосування методики показано на конкретному прикладі.

1 Загальна формуладля сили опору повітря

На малюнку 1 показано схему сил, прикладених до снаряда на траєкторії: - сила тяжіння; - рівнодіюча аеродинамічних сил, тобто. сила опору повітря. Вона прикладена у центрі тиску З, що не збігається з центром маси O. Відстань між цими точками визначається за формулою Гобара. На малюнку - кут атаки, тобто. кут між віссю снаряда та дотичною до траєкторії в даній точці (на дотичній лежить вектор швидкості снаряда); - Кут між вектором швидкості та горизонтом. Якщо силу перенести до центру мас Проі одночасно прикласти до цієї точки врівноважуючу силу (), виникає пара сил, що створює перекидаючий момент (його враховують при дослідженні руху снаряда як твердого тіла). Силу , прикладену в центрі мас, розкладають на дві складові: - сила лобового опору (вона лежить на дотичній до траєкторії і спрямована у бік, зворотний до вектора швидкості) і - підйомна сила. Надалі розглядаємо спрощену схему застосування зазначених сил, вважаючи і вважаючи, що сила спрямована по осі снаряда; у разі і .

Малюнок 1 - Сили, що додаються до снаряда на траєкторії

Структуру фундаментального вираження для сили опору повітря одержують за допомогою теорії подібності та розмірностей, що лежить в основі методів фізичного моделювання:

де – щільність повітря; - площа міделевого перерізу снаряда ( d -калібр); - Швидкісний натиск; - Коефіцієнт лобового опору; - Число Маха; a -швидкість звуку у цій точці траєкторії; - Число Рейнольдса; - Кінематичний коефіцієнт в'язкості.

Залежність визначають дослідним шляхом для снарядів типової («еталонної») форми . Подібність процесів обтікання снарядів повітряним потоком найчастіше не забезпечується через відмінність конфігурації головної частини, і, щоб мати можливість використовувати наявні дослідні дані, вводять коефіцієнт форми снаряда

,

що враховує неповноту умов подібності. Даний коефіцієнт порівняно слабо залежить від швидкості снаряда, та його зручно використовувати як коефіцієнт узгодження розрахунку з визначення дальності стрільби з досвідом. І тут враховуються як форма снаряда, і інші фізичні чинники, які впливають рух снаряда.

Перетворюючи формулу (1), одержують вираз для «прискорення опору повітря»

де q- Маса снаряда. Далі вводять функцію

де y- Висота; - Щільність повітря на поверхні Землі в точці пострілу. Крім того, для отримання більш зручних для практичних розрахунків значень відповідних величин, вводять множник

де кг/м 3 – щільність повітря для нормальних артилерійських умов. Тоді (2), з урахуванням (1), матиме вигляд

У цьому виразі фігурує балістичний коефіцієнт

..

Зазвичай приймають, що , тобто.

.

Тут введено коефіцієнт відносної маси («поперечне навантаження»), де d- у дециметрах. Видно, що балістичний коефіцієнт (а, отже, і сила опору повітря) змінюється обернено пропорційно калібру.

носить назву закону опору повітря так часто називають і залежність. Опускаючи постійний множник (4), можна записати пропорційне співвідношення

.

Як відомо, швидкість звуку

де - показник адіабати для повітря, що зазвичай приймається рівним 1,4; R -універсальна газова постійна; - «віртуальна» температура, яка враховує вологість повітря; T -абсолютна температура; e -тиск водяної пари; h -тиск вологого повітря/

Еталонні закони опору повітря наведені до швидкості звуку нормальних умовах м/с, тому аргумент перетворять:

.

-

так звана віртуальна швидкість. Таким чином,

Відповідно,

.

Залежність зазвичай задають по:

Провівши досить громіздкі обчислення, пов'язані з інтегруванням відповідних виразів, отримаємо

2 Закони опору повітря

Л. Ейлер при вирішенні задачі про політ снаряда користувався функцією встановлено Ньютоном і застосовується в основному для дозвукових швидкостей. Однією з першої була статечна функція Маіївського-За-буд-ського

При складанні цієї формули як еталонний був прийнятий снаряд старої форми, що має коротку головну, довгу циліндричну та зап'ясну частини. Коефіцієнти вибиралися так, щоб на межах областей значення опору були однакові, але при цьому на графіці з'являються кутові точки, внаслідок чого похідні опору за швидкістю терплять у цих точках кінцеві розриви. Крім того, при розрахунку траєкторії її незручно ділити на ряд ділянок за швидкістю. Нині практично цей закон немає.

Базуючись на роботах Маіївського-Забудського та дослідах кінця XIXстоліття, італійський балістик Франческо Сіаччі запропонував нову функцію опору повітря, що носить його ім'я (1888). Сіаччі також прийняв за еталонний снаряд старої форми, але згладив кутові точки на графіку. Великою заслугою Сіаччі є емпірична апроксимація закону опору повітря в запропонованій їм формі (5) :

Цей закон багаторазово апробований практично і знаходить широке застосування під час розрахунку траєкторій, за відповідному значенні коефіцієнта форми. При малих швидкостях закон Сіаччі близький до квадратичного, а за великих - до лінійного.

З розвитком артилерії основним стає сучасний снаряд далекобійної форми, що має подовжену головну частину та порівняно коротку хвостову частину. Досвіди щодо створення нової функції проводилися після Першої світової війни у ​​низці країн, наприклад, у 1921-1923 роках. у Франції (закони Гарньє та Дюпуї).

У нашій країні було створено закон опору повітря 1930 р. На його основі складено таблиці зовнішньої балістики АНІІ, проте з'ясувалося, що цей закон дає неточні результати при розрахунку траєкторії з великими початковими швидкостями; крім того, коефіцієнт форми сучасних снарядів по відношенню до функції 1930 помітно коливається при різних швидкостях.

3 Закон 1943 р.

Перед Великою Вітчизняною війноюв СРСР було розпочато роботи зі встановлення нової функції опору повітря на основі обробки результатів стрільб сучасними снарядами далекобійної форми. Ці роботи було закінчено 1943 р., нова функція дістала назву закон Артилерійської академії ім. Ф.Е. Дзержинського, чи навіть закон 1943 р. у своїй. було виявлено помилку функції Сіаччі, що виявляється при швидкості снаряда понад 1410 м/с. Закон 1943 р. прийнято нашій країні як основного. Стосовно цієї функції проводяться всі балістичні розрахунки, хоча через наявність таблиць знаходять застосування також функції 1930 і Сіаччі.

Повна таблиця закону 1943 р. міститься у книзі; у скороченому вигляді вона наведена в , поряд із законами Сіаччі та 1930 р. У функцію 1943 р. задана в межах обмеженого діапазону (), розбитого на ділянки:

Є такий опис закону 1943 р.:

Таблиця 1 - Перехідний множник

Перехідний множник помітно залежить від швидкості, так що усереднення його в межах того чи іншого діапазону швидкостей може призвести до помилок розрахунку в іншому діапазоні.

Коефіцієнти форми для сучасних снарядів (ОФ) стосовно закону 1943 р. змінюються не більше , а стосовно функції Сіаччі .

Таким чином, відомі способиописи закону 1943 р. задають його дискретно (по точках або піддіапазонах), емпіричного описи у вигляді єдиної безперервної функції швидкості в межах всього діапазону зміни числа Маха, подібного до закону Сіаччі, закон не має. Дискретність опису закону 1943 незручна при обчисленні траєкторій на ЕОМ, у зв'язку з чим його намагаються виражати через закон Сіаччі, вводячи перехідний множник, що коригує, однак і цей множник заданий дискретно. Тому на практиці часто вважають за краще використовувати саме закон Сіаччі, але при деякому коефіцієнті форми i, що визначається за відомими умовами стрілянини.

4 Апроксимація закону 1943 р.

Можна запропонувати такий спосіб корекції закону Сіаччі та приведення його до закону 1943 року. Визначивши за табличними даними (дискретну) залежність коефіцієнта форми від швидкості, потім апроксимувати її як безперервну функцію швидкості і потім проводити перерахунок наступним чином:

Результати реалізації цієї ідеї в середовищі пакета MathCAD представлені на малюнку 2, де 1 - ; 2 - табличний закон 1943 р; 3 – функція узгодження ; 4- апроксимація функції узгодження; 5 - .

Функція узгодження апроксимується поліномом 3-го порядку:

коефіцієнти якого визначено за допомогою функції MathCAD linfit, що відноситься до лінійної комбінації апроксимуючих формул:

; ; ; .

Малюнок 2 - Апроксимація закону 1943:

З малюнка 2 видно, що апроксимуюча крива в цілому досить близька до табличної залежності, за винятком ділянки в районі максимуму, проте це не повинно призвести до суттєвої помилки, особливо при високих швидкостях снаряда ().

Таким чином, приймаємо наступний емпіричний опис закону 1943:

У таблиці 2 дано порівняння даних, наведених у роботі, з одержуваними за пропонованою апроксимацією: 1 - табличні значення; 2 - розрахунок за цією методикою; 3 – відхилення, %.

Таблиця 2 - Порівняння апроксимуючих та табличних значень

Видно, що відмінність результатів розрахунку апроксимації від табличних значень з практичної точки зору цілком припустима.

5 Приклад розрахунку

Застосування запропонованої апроксимації проілюструємо на прикладі розрахунку параметрів траєкторії снаряда лінкора «Бісмарк», який був проведений автором під час математичного моделювання обстрілу англійського лінійного крейсера «Худ» 24 травня 1941 року. Докладний опис«Дуелі» двох видатних кораблів наведено в .

У роботі читаємо: «…коефіцієнт форми iслід розглядати як параметр, що дозволяє узгоджувати результати теоретичних розрахунків із досвідченими даними. Наприклад, нехай на підставі стрільб снарядами певного типу при фіксованих значеннях початкової швидкості та кута кидання знайдено дослідну дальність стрільби. Х.…За величинами Х, і можна визначити коефіцієнт форми снаряда i. Якщо розрахунок траєкторії проводити з використанням коефіцієнта, що задовольняє виразу при тих же значеннях і, то отримаємо дальність стрільби, що збігається з дослідною. Цей метод застосовується визначення коефіцієнта форми під час складання таблиць стрільби конкретного зброї».

Відповідні обчислення проводять, використовуючи відому систему рівнянь, що описують рух снаряда як матеріальної точки:

де - Кут нахилу дотичної до траєкторії (вектора швидкості) щодо горизонту.

Саме так було визначено коефіцієнт iдля снарядів «Бісмарка», На лінкорі були встановлені вісім 380-мм гармат (по дві в кожній із чотирьох веж) 38cm /52 SK C /34. Відомо що максимальна дальність 35550 м досягається при масі снаряда 800 кг, дульної швидкості 820 м/с та вугіллі піднесення. Методом підбору, використовуючи відповідну програму чисельного рішення системи (9), було визначено і .

У роботі наведено параметри траєкторії під час стрільби з різними кутами піднесення; у таблиці 3 дається порівняння цих даних з результатами розрахунку, отриманими за допомогою закону Сіаччі при (у знаменнику). Розбіжність між цими даними становить одиниці та частки відсотка. Закон Сіаччі був використаний, оскільки розрахунки, проведені німцями, могли бути отримані лише за допомогою цього закону. Це підтверджується відомостями у статті, в якій наведено результати розрахунків зовнішньої балістики «Бісмарка», виконані в 1939-1940 роках. під час добудови лінкора на судноверфі «Блом та Фосс». Ці результати також представлені і в графічній формі на Інтернет-сайті лінійного крейсера «Худ».

Таблиця 3 - Порівняння даних з результатами розрахунку за запропонованою методикою

Розбіжність між необхідними значеннями кута піднесення, а також кінцевими параметрами траєкторії невелика. Найближчим до німецьких даних є результати розрахунку за законом Сіаччі, що свідчить про використання саме цього закону. Коефіцієнт форми закону 1943 р. трохи менше одиниці, тобто. снаряди «Бісмарка» мали «дальнобійнішу» форму порівняно з еталонними снарядами, використаними при отриманні закону 1943 р.

Висновок

Основні результати роботи зводяться до наступного.

1) Розглянуто можливість приведення закону опору повітря 1943, прийнятого в Росії як основного при розрахунку траєкторій артилерійських снарядів, до закону Сіаччі. Перевагою останнього є безперервна залежність від швидкості снаряда, проте цей закон отримано для застарілих, тупоголових снарядів і може бути безпосередньо використаний при розрахунку сучасних, тобто. далекобійних, снарядів.

2) Коригуючий множник запропонований у вигляді аналітичної апроксимації послідовності дискретних коефіцієнтів узгодження, що є безперервною функцією числа Маха. Завдяки застосуванню запропонованої апроксимації спрощується обчислення параметрів траєкторії на ЕОМ.

3) Показано, що відмінність результатів розрахунку за запропонованою методикою від табличних значень не перевищує допустиме з практичної точки зору.

4) Наведено приклад використання запропонованої апроксимації.

Список літератури

1. Єфремов А.К. Реконструкція проектування наддальнобійного знаряддя - «Паризької гармати» // Известия РАРАН. 2010. Вип.3 (65). З. 105-116.

2. Дмитрієвський А.А., Лисенко Л.М. Зовнішня балістика: навч. для вузів. 4-те вид. М: Машинобудування, 2005. 608с.

3. Вентцель Д.А., Окунєв Б.М., Шапіро Я.М. Зовнішня балістика. Ч. I. Л.: Арт. акад. ім. Ф.Е.Дзержинського, 1933.

4. Шапіро Я.М. Зовнішня балістика. М: Оборонгіз, 1946.

5. Гантмахер Ф.Р., Левін М.А. Теорія польоту некерованих ракет. М.: Фізматгіз, 1959. 360с.

6. Правдін В.М., Шанін А.П. Балістика некерованих літальних апаратів. Сніжинськ: Вид-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 1999. 496с.

7. Єфремов А.К. Автономні інформаційні та керуючі системи. У 4 т. т. 4 / За ред. А.Б. Борзова. М: ТОВ НДЦ «Інженер», ТОВ «Оніко-М», 2011. 330 с.

8. Мюлленгейм-Рехберг Б.Б., тло. Лінкор "Бісмарк": пров. з англ. / За ред. А.К. Єфремова. М: Ексмо, 2006.

9. Балістика ствольних систем / РАРАН; за ред. Л.М. Лисенко та А.М. Ліпанова. М: Машинобудування, 2006.

10. Campbell J. Naval Weapons of World War Two. London: Conway Maritime Press, 2002.

11. Jurens W.J. The Loss of HMS Hood - Re-Examination // Warship International. 1987. Vol. 24, no 2. P. 122-180.

12. Obercommando der Kriegsmarine, Unterlagen und Richtlinien zur Bestimmung der Hauptkampfentfernung und der Geschoswahl. Берлін. 1940.

Георгій Олександров

При падінні повітря тіло рухається під дією двох сил: постійної сили земного тяжіння, спрямованої вертикально вниз, і сили опору повітря, що збільшується в міру падіння і спрямованої вертикально вгору. Рівнодіюча сили тяжкості та сили опору повітря дорівнює їх різниці і на початку падіння спрямована вниз.

Сила опору викликається, по-перше, тертям повітря поверхню тіла і, по-друге, зміною руху потоку, викликаним тілом. У повітряному потоці, зміненому присутністю тіла, тиск на передній стороні тіла зростає, а на задній - знижується порівняно з тиском у непорушеному потоці. Таким чином, створюється різниця тисків, що гальмує тіло, що рухається або захоплює тіло, занурене в потік. Рух повітря позаду тіла набуває безладного вихрового характеру.

Легко переконатися, що опір повітря істотно впливає характер падіння тіл. Якщо одночасно випустити з рук камінь і шматок вати приблизно однакового об'єму, то камінь впаде на Землю швидко, тоді як вату опускатиме набагато повільніше. Якщо ж сказати з цього шматка вати щільну кульку, то швидкість її падіння збільшиться. Аналогічну ситуацію можна спостерігати і при падінні двох однакових аркушів паперу, один з яких зім'ятий у грудку - він впаде швидше.

У багатьох випадках опір повітря незначно впливає на падіння тіл і їх можна знехтувати. Але якщо падіння відбувається з дуже великої висоти, то опір повітря буде помітно впливати на падіння навіть дуже важких тіл.

Для невеликих твердих тіл опір повітря біля Землі невеликий. Але якщо спостерігати падінням легких тіл великого обсягу, можна помітити, що вони рухаються рівноприскорено і дуже недовго. При падінні швидкість таких тіл поступово зростає, але одночасно зростає і сила опору повітря, що діє на ці тіла. Це триває до того часу, року, сила опору повітря не врівноважує силу тяжкості. У цей момент зростання швидкості припиниться, і тіло падатиме далі з постійною швидкістю, тобто рівномірно. Таку швидкість можна назвати граничною швидкістю падаючого тіла.

Значення цієї швидкості залежить від розмірів, форми та маси тіл. Легкі крапельки води, порошинки пушинки, досягають граничної швидкості дуже швидко, пролетівши трохи більше п'яти метрів, - і з цією швидкістю, що встановилася, опускається далі вже рівномірно. Швидкість крапель дощу біля Землі зазвичай становить 7-8 м/с; що менше крапля, то менше і швидкість її падіння; якби краплі дощу падали у безповітряному просторі, то при падінні на землю з висоти 2 км вони досягали б, незалежно від їх розмірів, швидкості 200 м/с; такої ж швидкості при падінні з тієї ж висоти в безповітряному просторі досягло б і інше тіло. За такої швидкості удари крапель дощу були б дуже неприємні! Для парашутиста в затяжному стрибку гранична швидкість становить приблизно 50 м/с, а при розкритому парашуті гранична швидкість парашутиста знижується до 5-6 м/с.

Відмінність у граничній швидкості різних тіл однакової формиале різних розмірів пояснюється залежністю опору середовища від розмірів тіла. Виявляється, що опір приблизно пропорційно поперечним розмірам тіла. Диск, куля і сигароподібне тіло однакового поперечного перерізу при одній і тій же швидкості падіння будуть відчувати різні за величиною дії сил опору повітря: для диска воно буде в 25, а для кульки - в 5 разів більше, ніж для сигарообразного тіла.

Тому різним тілам, залежно від їх призначення, надають відповідної форми: авіаційним бомбам надають спеціальну обтічний форму, при якій опір повітря мало; робиться це з тією метою, щоб бомба досягала землі з якомога більшою швидкістю і краще пробивала перешкоди (бліндаж, палубу корабля тощо). Навпаки, парашутист повинен досягати землі із невеликою швидкістю. Тому парашуту надають таку форму, при якій опір повітря його руху було б якомога більше. Гранична швидкість падіння людини із розкритим парашутом становить 5-7 м/сек. Досягнення граничної швидкості парашутистом відбувається інакше, ніж при простому падінні тіла. Спочатку парашутист падає із закритим парашутом і через малого опору повітря досягає швидкості в десятки метрів за секунду. При розкритті парашута опір повітря різко зростає і, перевищуючи у багато разів силу тяжкості, уповільнює падіння до граничної швидкості.

Опір повітря дещо змінює характер руху. Під час руху тіла вгору і сила земного тяжіння, і сила опору повітря спрямовані вниз. Тому швидкість тіла зменшується швидше, ніж за відсутності опору повітря. Тому швидкість такого тіла зменшується до нуля на висоті, менше тієї, на яку б тіло піднялося без опору повітря. При наступному падінні опір уповільнює наростання швидкості тіла, і тому тіло повертається на Земля не з тією швидкістю, з якою воно було кинуто, і з меншою. Тому час підйому вгору реальних умовах менше часу падіння.

Вплив опору повітря на характер руху тіл особливо великий великих швидкостях. Так, куля, що вилетіла зі рушниці вертикально вгору зі швидкістю 600 м/с, могли б досягти за відсутності сил опору повітря майже 18-кілометрової висоти, але насправді злітає «всього» на 2-3 км.

D = 1/2(р x cd x A x V 2 )

D- Опір повітря;
р- (вимовляється "ро") - густина повітря;
А- Площа перерізу;
cd- Коефіцієнт опору;
V- Швидкість повітря.