Забавный пример применения теории игр есть в фэнтезийной книжке Энтони Пирса «Бравый голем»

Много текста

– Смысл того, что я сейчас вам всем продемонстрирую, – начал Гранди, – заключается в наборе необходимого количества баллов. Баллы могут быть самыми различными – все зависит от комбинации решений, которые принимаются участниками игры. К примеру, предположим, что каждый участник свидетельствует против своего товарища по игре. В этом случае каждому участнику можно присудить по одному очку!
– Одно очко! – сказала Морская Ведьма, проявляя к игре неожиданный интерес. Очевидно, колдунья хотела удостовериться в том, что у голема нет никаких шансов, чтобы демон Ксант остался им доволен.
– А теперь давайте предположим, что каждый из участников игры не свидетельствует против своего товарища! – продолжал Гранди. – В этом случае каждому можно присудить по три балла. Я хочу особенно отметить, что покуда все участники действуют одинаково, то им присуждается одинаковое количество баллов. Ни у кого нет никаких преимуществ перед другим.
– Три очка! – сказала вторая ведьма.
– Но вот теперь мы вправе предложить, что один из игроков начал давать показания против второго, а второй все равно молчит! – сказал Гранди. – В таком случае тот, кто эти показания дает, получает сразу пять очков, а тот, который молчит, не получает ни одного очка!
– Ага! – в один голос воскликнули обе ведьмы, хищно облизывая губы. Было видно, что обе они явно собирались получить по пять очков.
– Я все время терял очки! – воскликнул демон. – Но ведь ты пока только обрисовал ситуацию, а способа ее разрешения еще не представил! Так в чем заключается твоя стратегия? Не надо тянуть время!
– Погоди, сейчас я все объясню! – воскликнул Гранди. – Каждый из нас четверых – нас тут двое големов и две ведьмы – будет сражаться против своих противников. Конечно же, ведьмы постараются никому ни в чем не уступить…
– Конечно! – воскликнули снова обе ведьмы в унисон. Они отлично понимали голема с полуслова!
– А второй голем будет следовать моей тактике, – продолжал Гранди невозмутимо. Он посмотрел на своего двойника. – Ты, конечно, в курсе?
– Да, конечно! Я ведь твоя копия! Я прекрасно все понимаю, что ты думаешь!
– Вот и отлично! В таком случае, давайте-ка сделаем первый ход, чтобы демон смог сам все увидеть. В каждом поединке будет несколько раундов, чтобы вся стратегия смогла проявиться до конца и произвела впечатление целостной системы. Пожалуй, мне следует начать.

– Теперь каждый из нас должен наносить отметки на своих листках бумаги! – обратился голем к ведьме. – Сначала следует нарисовать улыбающееся лицо. Это будет означать, что мы не будем давать показания на товарища по заключению. Можно также нарисовать насупленное лицо, которое означает, что мы думаем только о себе и нужные показания на своего товарища даем. Мы оба сознаем, что лучше было бы, если бы никто не оказался тем самым насупленным лицом, но ведь, с другой стороны, насупленное лицо получает определенные преимущества перед улыбающимся! Но суть заключается в том, что каждый из нас не знает, что выберет другой! Не будем знать до тех пор, покуда партнер по игре не откроет своего рисунка!
– Начинай ты, сволочь! – выругалась ведьма. Она, как всегда, не могла обойтись без бранных эпитетов!
– Готово! – воскликнул Гранди, нарисовав большое улыбающееся лицо на своем листочке бумаги таким образом, чтобы ведьма не смогла увидеть, что он изобразил там. Ведьма сделала свой ход, тоже изобразив лицо. Надо думать, она непременно изобразила недобрую физиономию!
– Ну, а теперь нам остается только показать друг другу наши рисунки, – объявил Гранди. Обернувшись назад, он открыл рисунок публике и показал его во все стороны, чтобы рисунок смогли увидеть все. Что-то недовольно ворча, то же самое сделала и Морская Ведьма.
Как Гранди и рассчитывал, с рисунка колдуньи смотрело злое, недовольное лицо.
– Теперь вы, уважаемые зрители, – сказал Гранди торжественно, – видите, что ведьма предпочла давать на меня показания. Я не собираюсь этого делать. Таким образом, Морская Ведьма набирает пять очков. А я, соответственно, не получаю ни одного балла. И тут…
По рядам зрителей снова прокатился легкий шумок. Все явно сочувствовали голему и страстно желали, чтобы Морская Ведьма проиграла.
Но ведь игра только-только началась! Если только его стратегия была верной…
– Теперь мы можем перейти ко второму раунду! – объявил Гранди торжественно. – Мы снова должны повторить ходы. Каждый рисует лицо, которое ему ближе!
Так и сделали. Гранди изображал теперь хмурое, недовольное лицо.
Как только игроки показали свои рисунки, публика увидела, что теперь оба они изобразили злые лица.
– По два очка каждому! – сказал Гранди.
– Семь два в мою пользу! – заорала ведьма радостно. – Ты никуда отсюда не выберешься, мерзавец!
– Начинаем снова! – воскликнул Гранди. Они сделали по очередному рисунку и показали их публике. Снова те же самые злые лица.
– Каждый из нас повторил предыдущий ход, повел себя эгоистично, а потому, как мне кажется, лучше никому не присуждать очков! – заявил голем.
– Но я все равно веду в игре! – сказала ведьма, радостно потирая руки.
– Ладно, не шуми! – сказал Гранди. – Игра ведь не закончилась. Посмотрим, что будет! Итак, уважаемая публика, мы начинаем четвертый по счету раунд!
Игроки снова сделали рисунки, показав публике то, что они изобразили на своих листках. Оба листка снова явили зрителям те же злые физиономии.
– Восемь – три! – закричала ведьма, заливаясь злобным смехом. – Своей дурацкой стратегией ты выкопал себе могилу, голем!
– Пятый раунд! – закричал Гранди. Повторилось то же самое, что и в прежние раунды, – снова злые лица, только счет изменился – он стал девять – четыре в пользу колдуньи.
– Теперь последний, шестой раунд! – возвестил Гранди. Его предварительные расчеты показывали, что именно этот раунд должен стать судьбоносным. Теперь теория должна была подтвердиться либо быть опровергнута практикой.
Несколько быстрых и нервных движений карандаша по бумаге – и оба рисунка предстали перед глазами публики. Снова два лица, теперь даже с оскаленными зубами!
– Десять – пять в мою пользу! Моя игра! Я победила! – загоготала Морская Ведьма.

– Ты действительно выиграла, – согласился Гранди мрачно. Аудитория зловеще молчала.
Демон шевельнул было губами, чтобы что-то сказать.

– Но наше состязание еще не закончено! – крикнул звонко Гранди. – Это ведь была только первая часть игры.
– Да вам целую вечность подавай! – заворчал демон Ксант недовольно.
– Это верно! – сказал Гранди спокойно. – Но ведь один тур ничего не решает, только методичность указывает на лучший результат.
Теперь голем подошел к другой ведьме.
– Я хотел бы сыграть этот тур с другим противником! – объявил он. – Каждый из нас будет изображать лица, как это было в предыдущий раз, потом будет демонстрировать нарисованное публике!
Так они и сделали. Результат был таким же, как и в прошлый раз – Гранди нарисовал улыбающуюся рожицу, а ведьма – так вообще череп. Она сразу набрала преимущество в целых пять баллов, оставив Гранди позади.
Оставшиеся пять раундов окончились с теми результатами, которых и можно было ожидать. Снова счет стал десять – пять в пользу Морской Ведьмы.
– Голем, мне очень нравится твоя стратегия! – хохотала колдунья.
– Итак, вы просмотрели два тура игры, уважаемые зрители! – воскликнул Гранди. – Я, таким образом, набрал десять очков, а мои соперницы – двадцать!
Публика, которая тоже вела подсчет очков, скорбно закивала головами. Их подсчет совпал с подсчетами голема. Только облако по имени Фракто казалось весьма довольным, хотя, конечно, ведьме оно тоже не симпатизировало.
Но Рапунцелия одобряюще улыбнулась голему – она продолжала верить в него. Она, возможно, осталась единственной, кто верил ему теперь. Гранди надеялся, что он оправдает это безграничное доверие.
Теперь Гранди подошел к своему третьему сопернику – своему двойнику. Он должен был стать его последним противником. Быстро чиркнув карандашами по бумаге, големы показали листочки публике. Все увидели две смеющихся рожицы.
– Заметьте, дорогие зрители, каждый из нас предпочел быть добрым сокамерником! – воскликнул Гранди. – А посему никто из нас не получил в этой игре необходимого преимущества перед соперником. Таким образом, мы оба получаем по три балла и приступаем к следующему раунду!
Второй раунд начался. Результат был тот же, что и в предыдущий раз. Затем оставшиеся раунды. И в каждый раунд оба противника набирали опять по три балла! Это было просто невероятно, но публика была готова подтвердить все происходящее.

Наконец и этот тур подошел к концу, и Гранди, быстро водя своим карандашиком по бумаге, стал подсчитывать результат. Наконец он объявил торжественно:
– Восемнадцать на восемнадцать! В общей сложности я набрал двадцать восемь очков, а мои соперники набрали тридцать восемь!
– Значит, ты проиграл, – возвестила Морская Ведьма радостно. – Победителем станет, таким образом, кто-то из нас!
– Возможно! – спокойно отозвался Гранди. Теперь наступал еще один важный момент. Если все пройдет так, как им и было задумано…
– Нужно довести дело до конца! – воскликнул второй голем. – Мне ведь тоже еще нужно сразиться с двумя Морскими Ведьмами! Игра еще не закончена!
– Да, конечно, давай! – сказал Гранди. – Но только руководствуйся стратегией!
– Да, конечно! – заверил его двойник.
Этот голем подошел к одной из ведьм, и тур начался. Завершился он с тем же результатом, с которым из подобного раунда вышел сам Гранди – счет был десять-пять в пользу колдуньи. Ведьма прямо-таки сияла от невыразимой радости, а публика угрюмо замолчала. Демон Ксант выглядел несколько уставшим, что было не слишком добрым предзнаменованием.
Теперь пришло время заключительного раунда – одна ведьма должна была сражаться против второй. Каждая имела в активе по двадцать очков, которые она смогла получить, сражаясь с големами.
– А теперь, если ты позволишь набрать мне хотя бы несколько лишних очков… – заговорщицки прошептала Морская Ведьма своему двойнику.
Гранди старался сохранить спокойствие хотя бы внешне, хотя в душе его бушевал ураган противоречивых чувств. Его удача сейчас зависела от того, насколько верно он предугадал возможное поведение обеих ведьм – ведь характер их был, в сущности, одним и тем же!
Сейчас наступал самый, пожалуй, критический момент. Но если он ошибся!
– С какой это стати я должна тебе уступать! – прокаркала вторая ведьма первой. – Я сама хочу набрать больше очков и выбраться отсюда!
– Ну, если ты так нахально ведешь себя, – завопила претендентка, – то я тебя сейчас отделаю так, что ты больше не будешь похожа на меня!
Ведьмы, одарив друг друга ненавидящими взглядами, начертили свои рисунки и показали их публике. Конечно же, ничего другого, кроме двух черепов, там оказаться просто не могло! Каждая набрала по одному очку.
Ведьмы, осыпая друг друга проклятьями, приступили ко второму раунду. Результат опять тот же самый – снова два коряво нарисованных черепа. Ведьмы, таким образом, набрали еще по одному очку. Публика старательно все фиксировала.
Так продолжалось и в дальнейшем. Когда тур закончился, усталые ведьмы обнаружили, что каждая из них набрала по шесть очков. Снова ничья!
– Теперь давайте подсчитаем получившиеся результаты и все сравним! – торжествующе сказал Гранди. – Каждая из ведьм набрала по двадцать шесть очков, а големы набрали по двадцать восемь баллов. Итак, что мы имеем? А имеем мы тот результат, что големы имеют большее количество очков!
По рядам зрителей прокатился вздох удивления. Взволнованные зрители стали писать на своих листочках столбики цифр, проверяя правильность подсчета. Многие за это время просто не считали количество набранных баллов, считая, что результат игры им уже известен. Обе ведьмы стали рычать от негодования, непонятно, кого именно обвиняя в происшедшем. Глаза демона Ксанта вновь загорелись настороженным огнем. Его доверие оправдалось!
– Я прошу вас, уважаемая публика, обратить внимание на тот факт, – поднял руку Гранди, требуя от зрителей успокоиться, – что ни один из големов не выиграл ни единого раунда. Но окончательная победа все-таки будет за одним из нас, из големов. Результаты будут более красноречивыми, если состязание продолжится и дальше! Я хочу сказать, дорогие мои зрители, что в вечном поединке моя стратегия будет неизменно оказываться выигрышной!
Демон Ксант с интересом прислушивался к тому, что говорил Гранди. Наконец он, испуская клубы пара, открыл рот:
– А в чем конкретно заключается твоя стратегия?
– Я называю ее «Быть твердым, но честным»! – пояснил Гранди. – Я начинаю игру честно, но затем начинаю проигрывать, потому что мне попадаются очень специфические партнеры. Поэтому в первом раунде, когда оказывается, что Морская Ведьма начинает давать против меня показания, я автоматически остаюсь проигравшим и во втором раунде – и так продолжается до конца. Результат может быть другим, ежели ведьма переменит свою тактику ведения игры. Но поскольку ей такое даже в голову прийти не может, мы продолжали играть по предыдущему шаблону. Когда я начал играть со своим двойником, то он хорошо отнесся ко мне, а я хорошо относился к нему в следующем раунде игры. Поэтому игра у нас пошла тоже по-другому и несколько однообразно, поскольку мы не хотели изменять тактику…
– Но ведь вы не выиграли ни единого тура! – удивленно возразил демон.
– Да, а эти ведьмы не проиграли ни одного тура! – подтвердил Гранди. – Но ведь победа не автоматически достается тому, за кем остались туры. Победа достается тому, кто набрал большее количество баллов, а это совсем другое дело! Мне удалось набрать больше очков, когда мы играли вместе с моим двойником, чем когда я играл с ведьмами. Их эгоистическое отношение принесло им сиюминутную победу, но в плане более долгосрочном оказалось, что именно из-за этого обе они проиграли игру целиком. Часто случается и такое!

3.4.1. Основные понятия теории игр

В настоящее время многие решения проблем в производственной,экономической или коммерческой деятельности зависят от субъективных качеств лица, принимающего решение. При выборе решений в условиях неопределенности всегда неизбежен элемент произвола, а следовательно, и риска.

Задачами о принятии решений в условиях полной или частичной неопределенности занимается теория игр и статистических решений. Неопределенность может принимать форму противодействия другой стороны, которая преследует противоположные цели, препятствует теми или другими действиями или состояниями внешней среды. В таких случаях приходится учитывать возможные варианты поведения противоположной стороны.

Возможные варианты поведения обеих сторон и их исходов для каждого сочетания альтернатив и состояний можно представить в виде математической модели, которая называется игрой. Обе стороны конфликта не могут точно предсказать взаимные действия. Несмотря на такую неопределенность, принимать решения приходится каждой стороне конфликта.

Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций. Основными ограничениями этой теории являются предположение о полной ("идеальной") разумности противника и принятие при разрешении конфликта наиболее осторожного " перестраховочного" решения.

Конфликтующие стороны называются игроками , одна реализация игры – партией, исход игры – выигрышем или проигрышем.

Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами действия и его реализацию.

Личным ходом называют сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действия и его осуществление.

Случайным ходом называют выбор игроком, осуществляемый не волевым решением игрока, а каким либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, сдача карт и т.п.) одного из возможных вариантов действия и его осуществление.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действия при каждом личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры

Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры, содержащей личные и случайные ходы, обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же самое, минимально возможный средний проигрыш).

В зависимости от причин, вызывающих неопределенность исходов, игры можно разделить на следующие основные группы:

- Комбинаторные игры, в которых правила в принципе дают возможность каждому игроку проанализировать все разнообразные варианты поведения и, сравнив эти варианты выбрать из них наилучший. Неопределенность здесь состоит в слишком большом количестве вариантов, которые надо проанализировать.

- Азартные игры, в которых исход оказывается неопределенным в силу влияния случайных факторов.

- Стратегические игры, в которых неопределенность исхода вызвана тем, что каждый из игроков, принимая решение, не знает, какой стратегии будут придерживаться другие участники игры, так как отсутствует информация о последующих действиях противника (партнера).

- Игра называется парной , если в игре участвуют два игрока.

- Игра называется множественной , если в игре участвуют больше двух игроков.

- Игра называется с нулевой суммой , если каждый игрок выигрывает за счет других, а сумма выигрыша и проигрыша одной стороны равны другой.

- Парная игра с нулевой суммой называется антагонистической игрой.

- Игра называется конечной , если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий. В противном случае - игра бесконечная.

- Одношаговые игры, когда игрок выбирает одну из стратегий и делает один ход.

- В многошаговых играх игроки для достижения своих целей делают ряд ходов, которые могут ограничиваться правилами игры или могут продолжаться до тех пор, пока у одного из игроков не останется ресурсов для продолжения игры.

- Деловые игры имитируют организационно-экономические взаимодействия в различных организациях и предприятиях. Преимущества игровой имитации перед реальным объектом таковы:

Наглядность последействий принимаемых решений;

Переменный масштаб времени;

Повторение имеющегося опыта с изменением установок;

Переменный охват явлений и объектов.

Элементами игровой модели являются:

- Участники игры.

- Правила игры.

- Информационный массив, отражающий состояние и движение моделируемой системы.

Проведение классификации и группировки игр позволяет для однотипных игр найти общие методы поиска альтернатив в принятии решения, выработать рекомендации по наиболее рациональному образу действий в ходе развития конфликтных ситуаций в различных сферах деятельности.

3.4.2. Постановка игровых задач

Рассмотрим конечную парную игру с нулевой суммой. Игрок А имеет m стратегий (А 1 А 2 А m), а игрок В – n стратегий (В 1 , В 2 Вn). Такая игра называется игрой размерностью m х n. Пусть а ij - выигрыш игрока А в ситуации, когда игрок А выбрал стратегию А i , а игрок В выбрал стратегию В j . Выигрыш игрока в данной ситуации обозначим b ij . Игра с нулевой суммой, следовательно, а ij = - b ij . Для проведения анализа достаточно знать выигрыш только одного из игроков, допустим А.

Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегии (А i , В j),однозначно определяет исход игры. Если игра содержит также случайные ходы, то ожидаемый выигрыш – это среднее значение (математическое ожидание).

Предположим, что значения а ij известны для каждой пары стратегий(А i , В j). Составим прямоугольную таблицу, строки которой соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В. Эта таблица называется платежной матрицей .

Цель игрока А максимизировать свой выигрыш, а цель игрока В минимизировать свой проигрыш.

Таким образом, платежная матрица имеет вид:

Задача состоит в определении:

1) Наилучшей (оптимальной) стратегии игрока А из стратегий А 1 А 2 А m ;

2) Наилучшей (оптимальной) стратегии игрока В из стратегий В 1 , В 2 Вn.

Для решения задачи применяется принцип, согласно которому участники игры одинаково разумны и каждый из них делает все для того, чтобы добиться своей цели.

3.4.3. Методы решения игровых задач

Принцип минимакса

Проанализируем последовательно каждую стратегию игрока А. Если игрок А выбирает стратегию А 1 , то игрок В может выбрать такую стратегию В j , при которой выигрыш игрока А будет равен наименьшему из чисел a 1j . Обозначим его a 1:

то есть a 1 – минимальное значение из всех чисел первой строки.

Это можно распространить на все строки. Поэтому игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой число a i - максимально.

Величина a - гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок а при любом поведении игрока В. Величина a называется нижней ценой игры.

Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить свой проигрыш, то есть обратить выигрыш игрока А в минимум. Для выбора оптимальной стратегии он должен найти максимальное значение выигрыша в каждом столбце и среди них выбрать наименьшее.

Обозначим через b j максимальное значение в каждом столбце:

Наименьшее значение b j обозначим b.

b = min max a ij

b называется верхней границей игры. Принцип, диктующий игрокам выбор игрокам соответствующих стратегий, называется принципом минимакса.

Существуют матричные игры, для которых нижняя цена игры равна верхней, такие игры называются играми с седловой точкой. В этом случае g=a=b называется чистой ценой игры, а стратегии А * i , В * j , позволяющие достичь этого значения - оптимальными. Пара (А * i , В * j)называется седловой точкой матрицы, так как элемент a ij .= g одновременно является минимальным в i-строке и максимальным в j- столбце. Оптимальные стратегии А * i , В * j , и чистая цена являются решением игры в чистых стратегиях, т. е. без привлечения механизма случайного выбора.

Пример 1.

Пусть дана платежная матрица. Найти решение игры, т. е. определить нижнюю и верхнюю цены игры и минимаксные стратегии.

Здесь a 1 =min a 1 j =min(5,3,8,2) =2

a =max min a ij = max(2,1,4) =4

b = min max a ij =min(9,6,8,7) =6

таким образом, нижней цене игры (a=4) соответствует стратегия А 3 .Выбирая эту стратегию, игрок А достигнет выигрыша не менее 4 при любом поведении игрока В. Верхней цене игры (b=6) соответствует стратегия игрока В. Эти стратегии являются минимаксными. Если обе стороны будут придерживаться этих стратегий, выигрыш будет равен 4 (a 33).

Пример 2.

Дана платежная матрица. Найти нижнюю и верхнюю цены игры.

a =max min a ij = max(1,2,3) =3

b = min max a ij =min(5,6,3) =3

Следовательно, a =b=g=3. Седловой точкой является пара (А * 3 , В * 3). Если матричная игра содержит седловую точку, то ее решение находится по принципу минимакса.

Решение игр в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не содержит седловой точки (aсмешанной стратегией .

Для применения смешанных стратегий требуются следующие условия:

1) В игре отсутствует седловая точка.

2) Игроками используется случайная смесь чистых стратегий с соответствующими вероятностями.

3) Игра многократно повторяется в одних и тех же условиях.

4) При каждом из ходов игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком.

5) Допускается усреднение результатов игр.

В теории игр доказано, что любая парная игра с нулевой суммой имеет по крайней мере одно решение в смешанных стратегиях, отсюда следует, что каждая конечная игра имеет цену g. g - средний выигрыш, приходящийся на одну партию, удовлетворяющий условию a<=g<=b . Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает следующим свойством: каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии.

Стратегии игроков в их оптимальных смешанных стратегиях называются активными.

Теорема об активных стратегиях.

Применение оптимальной смешанной стратегии обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш(или минимальный средний проигрыш), равный цене игры g, независимо от того, какие действия предпринимает другой игрок, если он только не выходит за пределы своих активных стратегий.

Введем обозначения:

Р 1 Р 2 … Р m - вероятности использования игроком А стратегий А 1 А 2 ….. А m ;

Q 1 Q 2 …Q n вероятности использования игроком В стратегий В 1 , В 2….. Вn

Смешанную стратегию игрока А запишем в виде:

А 1 А 2 …. А m

Р 1 Р 2 … Р m

Смешанную стратегию игрока B запишем в виде:

B 1 B 2 …. B n

Зная платежную матрицу А, можно определить средний выигрыш (математическое ожидание) М(А,P,Q):

М(А,P,Q)=S Sa ij Р i Q j

Средний выигрыш игрока А:

a =max minМ(А,P,Q)

Средний проигрыш игрока В:

b = min maxМ(А,P,Q)

Обозначим через Р А * и Q В * векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям, при которых выполняется:

max minМ(А,P,Q) = min maxМ(А,P,Q)= М(А,P А * ,Q В *)

При этом выполняется условие:

maxМ(А,P,Q В *) <=maxМ(А,P А * ,Q В *)<= maxМ(А,P А * ,Q)

Решить игру – это означает найти цену игры и оптимальные стратегии.

Геометрический метод определения цены игры и оптимальных стратегий

(Для игры 2Х2)

На оси абсцисс откладывается отрезок длиной 1.Левый конец этого отрезка соответствует стратегии А 1 , правый – стратегии А 2 .

По оси ординат откладываются выигрыши а 11 и а 12 .

По линии, параллельной оси ординат из точки 1 откладываются выигрыши а 21 и а 22 .

Если игрок В применяет стратегию В 1 , то соединяем точки а 11 и а 21 , если – В 2, то – а 12 и а 22 .

Средний выигрыш изображается точкой N, точка пересечения прямых В 1 В 1 и В 2 В 2 .Абсцисса этой точки равна Р 2 , а ордината цене игры - g.

По сравнению с прежней технологией выигрыш составляет 55%.

В практической деятельности часто приходится принимать решения в условиях противодействия другой стороны, которая может преследовать противоположные или иные цели, препятствовать теми или иными действиями или состояниями внешней среды достижению намеченной цели. Причем, эти воздействия противоположной стороны могут носить пассивный или активный характер. В таких случаях приходится учитывать возможные варианты поведения противоположной стороны, ответные действия и их возможные последствия.

Возможные варианты поведения обеих сторон и их исходов для каждого сочетания вариантов и состояний часто представляют в видематематической модели,которую называют игрой .

Если в качестве противодействующей стороны выступает неактивная, пассивная сторона, которая сознательно не противодействует достижению намеченной цели, то такую игру называют игрой с «природой». Под природой понимают обычно совокупность обстоятельств, в которых приходится принимать решения (неясность погодных условий, неизвестность поведения клиентов в коммерческой деятельности, неопределенность реакции населения на новые виды товаров и услуг и т. д.)

В других ситуациях противоположная сторона активно, сознательно противостоит достижению намеченной цели. В подобных случаях происходит столкновение противоположных интересов, мнений, идей. Такие ситуации называются конфликтными , а принятие решений в конфликтной ситуации затрудняется из-за неопределенности поведения противника. Известно, что противник сознательно стремится предпринять наименее выгодные для вас действия, чтобы обеспечить себе наибольший успех. Неизвестно, в какой мере противник умеет оценить обстановку и возможные последствия, как он оценивает ваши возможности и намерения. Обе стороны не могут предсказать взаимные действия. Несмотря на такую неопределенность, принимать решение приходится каждой стороне конфликта

В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом и т. д. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера и учитывать неизвестные заранее его возможные действия.

Необходимость обоснования оптимальных решений в конфликтных ситуациях привела к возникновению теории игр.

Теория игр - это математическая теория конфликтных ситуаций . Исходными положениями этой теории являются предположение о полной «идеальной» разумности противника и принятие при разрешении конфликта наиболее осторожного решения.

Конфликтующие стороны называются игроками , одна реализация игры – партией , исход игры – выигрышем или проигрышем . Любое возможное для игрока действие (в рамках заданных правил игры) называется его стратегией .

Смысл игры состоит в том, что каждый из игроков в рамках заданных правил игры стремится применить оптимальную для него стратегию, то есть стратегию, которая приведет к наилучшему для него исходу. Одним из принципов оптимального (целесообразного) поведения является достижение равновесной ситуации, в нарушении которой не заинтересован ни один из игроков.

Именно ситуация равновесия может быть предметом устойчивых договоров между игроками. Кроме того, ситуации равновесия являются выгодными для каждого игрока: в равновесной ситуации каждый игрок получает наибольший выигрыш, в той мере, в какой это от него зависит.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой , стороны, участвующие в конфликте, называются игроками.

Для каждой формализованной игры вводятся правила. В общем случае правилами игры устанавливаются варианты действий игроков; объем информации каждого игрока о поведении партнеров; выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Развитие игры во времени происходит последовательно, по этапам или ходам. Ходом в теории игр называют выбор одного из предусмотренных правилами игры действия и его реализацию. Ходы бывают личные и случайные. Личным ходом называют сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действия и его осуществление. Случайным ходом называют выбор, осуществляемый не волевым решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, пасовка, сдача карт и т. д.).

В зависимости от причин, вызывающих неопределенность исходов, игры можно разделить на следующие основные группы:

Комбинированные игры, в которых правила дают в принципе возможность каждому игроку проанализировать все разнообразные варианты своего поведения и, сравнив эти варианты, избрать тот из них, который ведет к наилучшему для этого игрока исходу. Неопределенность исхода связана обычно с тем, что количество возможных вариантов поведения (ходов) слишком велико и игрок практически не в состоянии их всех перебрать и проанализировать.

Азартные игры , в которых исход оказывается неопределенным в силу влияния различных случайных факторов. Азартные игры состоят только из случайных ходов, при анализе которых применяется теория вероятностей. Азартными играми математическая теория игр не занимается.

Стратегические игры , в которых полная неопределенность выбора обоснована тем, что каждый из игроков, принимая решение о выборе предстоящего хода, не знает, какой стратегии будут придерживаться другие участники игры, причем незнание игрока о поведении и намерениях партнеров носит принципиальный характер, так как отсутствует информация о последующих действиях противника (партнера).

Существуют игры, сочетающие в себе свойства комбинированных и азартных игр, стратегичность игр может сочетаться с комбинаторностью и т. д.

В зависимости от числа участников игры подразделяются на парные и множественные. В парной игре число участников равно двум, во множественной игре число участников более двух. Участники множественной игры могут образовывать коалиции. В этом случае игры называют коалиционными . Множественная игра обращается в парную, если ее участники образуют две постоянные коалиции.

Одним из основных понятий теории игр является стратегия. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе этого игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

Оптимальной стратегией игрока называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры, содержащей личные и случайные ходы, обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный проигрыш независимо от поведения противника.

Игра называется конечной , если число стратегий игроков конечно, и бесконечной , если хотя бы у одного из игроков число стратегий является бесконечным.

В многоходовых задачах теории игр понятия «стратегия» и «вариант возможных действий» существенно отличаются друг от друга. В простых (одноходовых) игровых задачах, когда в каждой партии игры каждый игрок может сделать по одному ходу, эти понятия совпадают, а, следовательно, совокупность стратегий игрока охватывает все возможные действия, которые он может предпринять в любой возможной ситуации и при любой возможной фактической информации.

Различают игры и по сумме выигрыша. Игра называется игрой с нулевой суммо й , если каждый игрок выигрывает за счет других, а сумма выигрыша одной стороны равна сумме проигрыша другой. В парной игре с нулевой суммой интересы игроков прямо противоположны. Парная игра с нулевой суммой называется антагонистической игрой .

Игры, в которых выигрыш одного игрока и проигрыш другого не равны между собой, называются играми с ненулевой суммой .

Существует два способа описания игр: позиционный и нормальный . Позиционный способ связан с развернутой формой игры и сводится к графу последовательных шагов (дереву игры). Нормальный способ заключается в явном представлении совокупности стратегий игроков и платежной функции . Платежная функция в игре определяет для каждой совокупности выбранных игроками стратегий выигрыш каждой из сторон.

Теория игр - теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Поскольку стороны, участвующие в большинстве конфликтов, заинтересованы в том, чтобы скрыть от противника свои намерения, принятия решений в условиях конфликта, как правило, происходит в условиях неопределенности. Наоборот, фактор неопределенности можно интерпретировать как противника субъекта, принимающего решение (тем самым принятие решений в условиях неопределенности можно понимать как принятие решений в условиях конфликта). В частности, многие утверждения математической статистики естественным образом формулируются как теоретико-игровые.

Теория игр - раздел прикладной математики, который используется в социальных науках (всего в экономике), биологии, политических науках, компьютерных науках (главным образом для искусственного интеллекта) и философии. Теория игр пытается математически зафиксировать поведение в стратегических ситуациях , в которых успех субъекта, делающего выбор зависит от выбора других участников. Если сначала развивался анализ игры, в которых один из противников выигрывает за счет других (игры с нулевой суммой), то впоследствии начали рассматривать широкий класс взаимодействий, которые были классифицированы по определенным критериям. На сегодняшний день «теория игр то вроде зонтика или универсальной теории для рациональной стороны социальных наук, где социальные можем понимать широко, включая как человеческих так не-человеческих игроков (компьютеры, животные, растения)» (Роберт Ауманн, 1987)

Эта отрасль математики получила определенное отражение в массовой культуре. В 1998 году американская писательница и журналисткаСильвия Назар опубликовала книгу о жизни Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике за достижения в теории игр, а в 2001 по мотивам книги снят фильм «Игры разума». (Таким образом, теория игр - одна из немногих отраслей математики в которой можно получить Нобелевскую премию). Некоторые американские телевизионные шоу, например, Friend or Foe , Alias или NUMBERS периодически используют в своих выпусках теорию игр.

Джон Нэш - математик,нобелевский лауреат известен широкой общественности благодаря фильму Игры разума.

Понятие теории игр

Логической основой теории игр является формализация трех понятий, входящих в ее определение и являются фундаментальными для всей теории:

• Конфликт,
• Принятие решения в конфликте,
• Оптимальность принятого решения.

Эти понятия рассматриваются в теории игр в самом широком смысле. Их формализации отвечают содержательным представлением о соответствующих объектах.

Если назвать участников конфликта коалициями действия (обозначив их множество как D, возможные действия каждой из коалиции действия - ее стратегиями (множество всех стратегий коалиции действия K обозначается как S ), результаты конфликта - ситуациями (множество всех ситуаций обозначается как S ; считается, что каждая ситуация складывается вследствие выбора каждой из коалиций действия некоторой своей стратегии, так, что ), заинтересованные стороны - коалициями интересов (их множество - I) и, наконец, говорить о возможных преимуществах для каждой коалиции интересов K одной ситуации s " перед другим s "(этот факт обозначается как ), то конфликт в целом может быть описан как система

Такая система, представляющая конфликт, называется игрой . Конкретизации составляющих, задающих игру, приводят к различным классам игр.

Классификация игр

Отдельными классами бескоалиционный игр есть:

• антагонистические игры, включая матричные игры и игры на единичном квадрате.
• динамичные игры, в том числе дифференциальные игры,
• рекурсивные игры,
• игры на выживание

и другие, также относятся к бескоалиционный игр.

Математический аппарат

Теория игр широко использует различные математические методы и результаты теории вероятностей, классического анализа, функционального анализа (особенно важны теоремы о неподвижные точки), комбинаторной топологии, теории дифференциальных и интегральных уравнений, и другие. Специфика теории игр способствует разработке разнообразных математических направлений (например, теория выпуклых множеств, линейное программирование, и т.д.).

Принятием решения в теории игр считается выбор коалицией действия, или, в частности, выбор игроком некоторой своей стратегии. Этот выбор можно представить себе в виде одноразового действия и возводить формально к выбору элемента из множества. Игры с таким пониманием выбора стратегий называются играми в нормальной форме . Им противопоставляются динамичные игры, в которых выбор стратегии является процессом, который происходит в течение некоторого времени, которое сопровождается расширением и сужением возможностей, получением и потерей информации о текущем состоянии дел, и т.п.. Формально, стратегией в такой игре есть функция, определенная на множестве всех информационных состояний субъекта, принимающего решения. Некритическое использование «свободы выбора» стратегий может приводить к парадоксальным явлениям.

Оптимальность и развязки

Вопрос о формализации понятия оптимальности является весьма сложным. Единое представление об оптимальности в теории игр отсутствует, поэтому приходится рассматривать несколько принципов оптимальности. Область возможности применения каждого из принципов оптимальности, используемых в теории игр, ограничивается сравнительно узкими классами игры, или же касается ограниченных аспектов их рассмотрения.

В основе каждого из этих принципов лежат некоторые интуитивные представления о оптимум, как о чем-то «устойчивое», или «справедливое». Формализация этих представлений дает требованиях, предъявляемых к оптимуму и имеющих характер аксиом.

Среди этих требований могут оказаться такие, которые противоречат друг другу (например, можно показать конфликты, в которых стороны вынуждены довольствоваться малыми выигрышами, поскольку крупных выигрышей можно достичь только в условиях неопределенных ситуаций); поэтому в теории игр не может быть сформулирован единый принцип оптимальности.

Ситуации (или множества ситуаций), которые удовлетворяют в некоторой игре те или иные требования оптимальности, называются решениями этой игры. Так как представление об оптимальности не однозначны, имело развязки игр в разных смыслах. Создание определений решений игры, доведение их существования и разработка путей их фактического поиска - три основные вопросы современной теории игр. Близкими к ним есть вопросы о единственности решений игр, о существовании в тех или иных классах игр решений, которые имеют некоторые заранее определенные свойства.

История

Как математическая дисциплина, теория игр зародилась одновременно с теорией вероятностей в 17 веке, но в течение почти 300 лет почти не развивалась. Первой существенной работой по теории игр следует считать статью Дж. фон Неймана «К теории стратегических игр» (1928), а с выходом в свет монографии американских математиков Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944), теория игр сформировалась как самостоятельная математическая дисциплина. В отличие от других отраслей математики, имеющих преимущественно физическое, или физико-технологическое происхождение, теория игр с самого начала своего развития была направлена на решение задач, возникающих в экономике (а именно в конкурентной экономике).

В дальнейшем, идеи, методы и результаты теории игр стали применять в других областях знаний, имеющих дело с конфликтами: в военном деле, в вопросах морали, при изучении массового поведения индивидов, имеющих различные интересы (например, в вопросах миграции населения, или при рассмотрении биологической борьбы за существование). Теоретико-игровые методы принятия оптимальных решений в условиях неопределенности могут иметь широкое применение в медицине, в экономическом и социальном планировании и прогнозировании, в ряде вопросов науки и техники. Иногда теорию игр относят к математическому аппарату кибернетики, или теории исследования операций.