Анализ математической стороны и основных принципов теории игр был дан Джоном фон Нейманом еще в 1928 году. В этой ранней работе Нейман не разбирал практические приложения задач, сосредоточив основное внимание на логических основах квантовой механики. В1944 году фон Нейман и Моргенштерн опубликовали свою хорошо известную работу "Теория игр и экономического поведения", положившую начало бурному развитию математического исследования игр. Эта работа явилась основным толчком для развития линейного программирования и теории статистических решений Вальда. Она открыла также новый подход к задачам выбора решений в конкурентных ситуациях. За последние годы появилось несколько книг по теории игр. В книге "Введение в теорию игр" Маккинси дает прекрасный математический анализ общей теории с основным упором на игры двух лиц. Он рассматривает связь теории игр с линейным программированием и теорией статистических решений.

Природа игр

В каждой игре есть цель или конечное состояние, к которому стремятся игроки, выбирая направления допустимых по правилам игры действий. В некоторых случаях смысл игры заключается в достижении цели с наибольшей эффективностью. Эффективность может измеряться счетом, как в гольфе и бейсболе.

Игры с одним участником - игры без конкуренции. Участник играет на счет или для достижения цели.

Нас интересуют игры с конкуренцией. Конкурентная игра - это такая игра, где существует конечное состояние (выигрыш), которого добивается каждый игрок, но не каждый может его добиться. Таким образом, по отношению к этой цели игроки находятся в противоречии. Но, благодаря правилам игры, это противоречие приводит к общему направлению действий. Каждый игрок имеет множество ходов. Выбрать один из них - значит сделать ход. Партия - это последовательность или множество ходов, которые приводят игру к конечному состоянию.

Во многих играх достижение цели (Z) сопровождается каким-нибудь выигрышем, в частности, денежным. Эти выигрыши и проигрыши (отрицательные выигрыши) являются в некотором смысле способом счета игры, т.е. служат выражением эффективности.

Игра с нулевой суммой - это такая игра, в которой сумма выигрышей участников после конца игры равна нулю.

Стратегия - это установленный игроком метод выбора ходов в течение игры. Таким образом, стратегия - это совокупность правил выбора решения.

Платежная матрица - это таблица, которая определяет, какие платежи должны быть сделаны после завершения игры.

Теория игр не пытается описывать, как могла бы быть проведена игра. Она содержит процедуру и принципы, при помощи которых можно отбирать партии. В действительности теория игр является теорией принятия решений, применимой к конкурентным ситуациям.

Прямоугольные игры

Пример. Игрок А имеет три возможных плана игры (чистая стратегия): Р, Q, R. Игрок В имеет два возможных плана игры: S, Т.

Правила игры устанавливают, что в соответствии с выбранными планами приводятся следующие платежи.

Табл. 6.2.

Какова оптимальная стратегия для игроков А и В в этой игре?

Правила платежей удобно записать в матричной форме. Пусть положительное число показывает выигрыш игрока А, а отрицательное число показывает выигрыш игрока В. Тогда мы имеем платежную "матрицу" (рис. 6.4)

Рис. 6.4.

Рассмотрим игрока В. Очевидно, что план Т для него невыгоден. Если он выбирает этот план, он всегда проигрывает. Таким образом, его оптимальная стратегия - всегда выбирать план S. В худшем случае (когда А выберет план R) он проиграет 1 грн.

Теперь обратимся к игроку А. Ему достанется наибольший выигрыш, если он выберет план Q, а В выберет план Т. Но вряд ли это произойдет, т.к. из-за предыдущих рассуждений В никогда не выберет план Т. То лучшее, что может сделать А (если выберет S),- это выбрать план R, в этом случае игрок А выиграет 1 грн.

Таким образом, мы нашли полное решение игры. Кроме того, при этом решении игрок А выигрывает 1 грн, а игрок В проигрывает 1 грн. В этом случае 1 грн является ценой игры.

Такая игра называется прямоугольной игрой, так как ее матрица выигрышей прямоугольная. Чтобы получить решение прямоугольной игры, необходимо найти оптимальное решение, т.е. определить:

• 1. Оптимальные стратегии для двух игроков.
• 2. Цену игры.

Принцип минимакса и максимина

Пример. Рассмотрим платежную матрицу прямоугольной игры.

Рис. 6.5.

Решим задачу, пользуясь рассуждениями по предыдущему примеру (рис. 6.5).

М е т о д 1. Игрок А никогда не выберет план Р, т.к. он всегда с большим успехом может выбирать Q или план R. Учитывая это, игрок В не может вообще принимать расчет в план Р. В этом случае, очевидно, он не выберет Т, так как для него всегда выбор S выгоднее. В свою очередь, А основывается на том, что В выберет S, и, таким образом, его лучшая политика в игре - план R. Итак, мы пришли к решению.

Оптимальная стратегия игрока А: план R.

Оптимальная стратегия игрока В: план S.

Цена игры для А: 1 грн (выигрыш).

Цена игры для В: 1 грн (проигрыш).

М е т о д 2. Теперь рассмотрим следующие рассуждения.

При плане Р его наименьший (min) выигрыш - 4 грн.

При плане Q его наименьший (min) выигрыш - 1 грн.

При плане R его наименьший (min) выигрыш +1 грн.

Наибольший (max) из наименьших (min) возможных выигрышей 1 грн. Значит, мы можем сказать, что "максимин для А" равен одной гривне (что соответствует выборам R, S).

При плане S его наибольший (максимум) проигрыш 1 грн.

При плате Т его наибольший (максимум) проигрыш 3 грн.

Таким образом, (минимум) из наибольших проигрышей -1 грн. Мы говорим, что " минимакс для В" равен 1 грн (что опять соответствует выборам R, S).

В математических обозначениях "максимин" для А записывается выражением max(i) min(j) aij

Седловые точки

Не всякая прямоугольная игра приводит к решениям с единственным оптимальным выбором для обоих игроков А и В. Например, задана платежная матрица (рис. 6.6.)

Рис. 6.6.

Если А берет план Р1, то В, очевидно выберет план S. Если А выберет план Q, то В выберет план Т. Мы видим, для А нет определенного лучшего плана. То же можно сказать и об игроке В.

Используя принципы минимакса, находим:

Максимин для А = -1 грн (выбор Q, Т);

Наиболее легкий прием отыскания седловой точки заключается в определении числа, наименьшего из всех чисел своей строки и наибольшего из числа своего столбца. Если такого числа нет, то нет и седловой точки. Стратегии игроков, соответствующие найденному числу,- оптимальные стратегии игроков, а найденное число - цена игры. Если существует два или больше таких чисел, то имеется два или более решений. Каждое решение соответствует седловой точке.

Аннотация: Введение. Основные понятия теории игр. Принцип оптимальности в теории игр. Смешанные стратегии. Методы вычисления оптимальных смешанных стратегий в матричных играх. Задачи.

Из рисунка 8.a . видно, что если сторона выбирает способ , то исход конфликта, характеризуемый критерием эффективности , будет целиком зависеть от выбора способа действий стороной . Аналогичный вывод можно сделать в отношении любого другого способа действий стороны . В этих условиях естественным подходом к выбору оптимального способа является сравнение между собой всех способов действия стороны при условии выбора стороной каждого из способов.

Например, сравнивая способ со способом , можно в частном случае установить, что способ обеспечивает достижение лучшего результата, если каждый элемент его строки больше соответствующего элемента (по столбцам) строки способа . Если путем подобного сравнения найдется такой способ , каждый элемент строки которого больше соответствующего элемента (по столбцам) любой другой строки, то целесообразно применить способ . В остальных случаях выбор способа стороной может быть осуществлен только для определенной гипотезы о действиях стороны .

Другой естественный подход состоит в определении математического ожидания величины критерия эффективности для -го способа действия стороны по формуле

,

где - математическое ожидание величины критерия эффективности при выборе способа действия ;

Вероятность выбора стороной способа действия .

Тогда способы действия стороны можно сравнить по величине и выбрать тот, при котором будет максимальным. При этом как в первом, так и во втором случае для обоснования решения достаточно использовать методы оптимизации.

Таким образом, для применения в условиях конфликтной ситуации обычных методов оптимизации необходимо задаться или гипотезой о действиях противника, или законом распределения их вероятностей. Однако для конфликтных ситуаций как раз характерным является то, что отдать предпочтение какой-либо гипотезе не представляется возможным, а методов определения законов распределения вероятности выбора противником своих способов действий просто не существует.

В связи с этим возникает необходимость в теории специфического класса математических моделей принятия оптимальных решений. Такой теорией является теория игр .

Теорию игр можно рассматривать, с одной стороны, как раздел исследований операций, а с другой - как его уровень. В качестве раздела исследования операций теория игр представляет теорию математических моделей принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях. Как уровень исследования операций теория игр является теорией математических моделей принятия решений в условиях неопределенности. Однако не следует полагать, будто теория игр занимается вопросами принятия решений при полном неведении об обстановке. Известные элементы обстановки определяют множество способов действий сторон и значения критерия эффективности как функции, заданной на этом множестве. Неизвестные элементы обуславливают отсутствие любой, даже вероятностной информации о возможных реализациях того или иного способа действий противника. Таким образом, любую неопределенность можно расчленить на известную и неизвестную части, построить теоретико-игровую модель, на основании которой определяется оптимальное решение.

Для применения теории игр нужна существенная схематизация конфликтной ситуации и представление ее в виде игры, в которой противники, именуемые игроками, имеют противоположные цели и располагают различными путями для их достижения. Причем обязательным является то, что достижение одним игрокам своей цели находится в непосредственной зависимости от выбора способа действий другим игроком. Более того, отличительная особенность игры по сравнению с реальной конфликтной ситуацией состоит в том, что первая ведется по заранее определенным правилам. В этом и заключается основное ограничение в применении теории игр. Ведь если теоретико-игровой подход, безусловно, правомерен в любой игре, то не всегда можно построить соответствующую математическую модель для конкретных условий обстановки .

Основное значение теории игр состоит в том, что она дает ориентацию тогда, когда применение другого математического аппарата невозможно из-за отсутствия необходимой информации о действиях противника, а времени и, самое главное, других эффективных способов нет.

Применение теории игр для обоснования оптимального решения требует представления конфликтной ситуации в виде некоторой игры, которая по своему содержанию и форме является ее математической моделью.

Для построения модели конфликтной ситуации прежде всего должны быть сформулированы правила игры, то есть система условий, которая определяет возможные варианты действий игроков, последовательность ходов, объем информации каждого игрока о поведении другого и о функции выигрыша .

Возможные варианты способов действий вытекают непосредственно из анализа конфликтной ситуации.

Выбор одного из возможных вариантов в процессе игры называется ходом .

Заранее определенная последовательность ходов в зависимости от информации о ходах противника и о случайно изменяющихся параметрах, законы распределения которых считаются заданными, называется стратегией игрока . Каждая стратегия предопределяет поведение игрока во все моменты игры, когда он должен делать выбор одного из всевозможных способов действий. Она может быть очень плохой или очень хорошей, но для анализа игры существенно описать все возможные планы или стратегии каждого игрока .

Совокупность сделанных игроками ходов в соответствии с выбранными ими стратегиями определяет ситуацию игры, которая является моделью складывающейся обстановки в результате конкретных действий, предпринятых противоположными сторонами. Ситуация, на основании которой определяется исход игры, называется заключительной .

Каждой заключительной ситуации всегда соответствует определенное значение критерия эффективности. Правило, по которому каждой заключительной ситуации ставится в соответствии величина критерия эффективности, называется функцией выигрыша . Это название обусловлено тем, что каждое ее значение можно представить как выигрыш, получаемый игроком в зависимости от сделанных ходов. На величину выигрыша оказывают влияние не только действия игроков, но и факторы, которые не находятся под их управлением. К таким факторам относятся эффективность, или стоимость имеющихся в распоряжении игроков сил и средств, их количество, гидролого-метеорологические условия и так далее. Поэтому при описании функции выигрыша учитываются не только возможные способы действий игроков, но и факторы, независимые от игроков. Однако по своей сущности функция выигрыша представляет выигрыш каждого игрока только как функцию стратегий, применяемых игроками. В этом смысле выигрыш является связующим звеном между множеством стратегий одного игрока и множеством стратегий другого; функция же выигрыша указывает, сколько один игрок может выиграть у другого, если первый выбирает конкретную какую-либо стратегию из множества стратегий, а другой игрок выбирает какую-либо стратегию из своего множества .

Таким образом, выигрыш – это оценка ожидаемых результатов всех возможных сочетаний стратегий одного игрока со стратегиями другого. Для получения таких оценок могут применяться методы теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории управления запасами, теории поиска и различные экономические показатели. Следовательно, теория игр исходит из заранее определенных значений того или иного критерия эффективности для конкретного сочетания стратегий обоих игроков, то есть принимается, что функция выигрыша задана.

Теоретико-игровые модели боевых действий классифицируются в зависимости от числа последовательных ходов и возможных способов действий игроков, характера и объема информации, доступной каждому игроку относительно действий другого, а также отношения каждого из игроков к значению функции выигрыша .

В зависимости от числа возможных способов действий игры подразделяются на конечные и бесконечные . Конечной называется игра , в которой у каждого игрока имеется конечное число возможных способов действий. В бесконечной игре по крайней мере один из игроков имеет бесконечное множество возможных способов действий.

Число последовательных ходов у любого из игроков определяет подразделение игр на одноходовые и многоходовые , или позиционные . В одноходовой игре каждый игрок делает только один выбор из возможных вариантов и после этого устанавливает исход игры.

Многоходовая, или позиционная, игра развивается во времени, представляя собой ряд последовательных этапов, каждый из которых наступает после хода одного из игроков и соответствующего изменения обстановки.

В рассмотренных выше моделях одной из исходных предпосылок было то, что ожидаемые состояния среды от собственных действий не зависят. Это не всегда соответствует реальности, особенно относительно конкурентов. Теория игр позволяет лучше понять связи между действиями и соответствующими изменениями внешней среды и тем самым улучшить стратегии принятия решений.

В теории игр различают два основных вида игр: игры против природы и игры против противника. Для первых применяются статистические модели и методы, основанные на теории вероятностей, при которых случайные влияния (капризы природы) влияют на результаты решений.

Вторая группа игр предполагает осмысленную реакцию противника, которая существенно ограничивает поле результатов ЛПР. При этом различают случаи с разным числом участников: два, несколько, много и почти бесконечное число. Концепции для случая большого числа участников значительно сложнее, поскольку

Отличают игры с однозначно определенными правилами, для которых имеется полная информация об игровых ситуациях и правилах, и игры с неоднозначными правилами. В первых существует стратегия, которая каждому участнику обеспечивает принципиальную

возможность успеха независимо от поведения второго участника. Для игр с неоднозначными правилами таких стратегий не существует. Поэтому эти игры характеризуются определенной нестабильностью, и каждый участник пытается заранее распознать поведение другого.

Выбор стратегии может зависеть еще и от того, одновременно или последовательно выполняют игроки свои ходы. Решение будет зависеть от того, первый или ответный ход делает участник. Решение будет

зависеть и от того, имеет ли участник только один ход или ряд ходов.

Для выбора стратегии имеет также значение, является ли игра

«игрой с постоянной суммой», называемой также «игрой с нулевой суммой», или общей игрой двух лиц. В первом случае для каждой пары альтернатив сумма выплат остается постоянной – сумма проигрыша равна сумме выигрыша. Здесь также важно, имеет ли игра точку

равновесия (седловину). Если такая седловина существует, то при отклонении от нее каждый игрок рискует ухудшить свое положение.

В общей игре двух лиц существует по крайней мере одна пара альтернатив (комбинация действий двух игроков), при которой сумма пользы игроков больше или меньше, чем при других парах альтернатив. Примером общей игры двух игроков является так называемая «дилемма заключенного».

Теория игр нашла применение в самых различных областях

человеческой деятельности. Теория показала, что везде, где возникает соревнование за ограниченные ресурсы, длительное и стабильное равновесие может установиться только в том случае, если игроки применяют смешанные стратегии, т.е. когда в игре применяется многообразие отдельных линий поведения, стилей мышления и стратегий решения проблем. Использование стратегии теории игр позволяет во многих случаях оптимизировать решение. В 1994 г. за успехи в развитии теории игр трем ученым, J.F. Nash, J.C. Harsanyi и R. Selten, была присуждена Нобелевская премия по экономике.

Надо помнить, что теория игр ориентируется только на

рациональность целей. Рациональность ценностей ею не учитывается.

5.1. Долларовый аукцион

В 1971 г. Мартин Шубик (Martin Shubik) предложил игру, которая может служить моделью многих реальных ситуаций. Сущность игры заключается в следующем. Проводится аукцион, на котором предлагается один доллар, с минимальной ставкой в 1 цент. Игра проводится по обычным правилам аукционов, за исключением одного дополнения: платит не только предложивший максимальную сумму и получающий доллар, но и тот, кто платит названную им сумму, но выигрыша не получает.

Многочисленные эксперименты в разных аудиториях показали, что взрослые интеллигентные люди готовы за доллар отдать сумму, в несколько раз большую. Иррациональность такого решения очевидна, тем не менее, если участников десяток человек, игра почти всегда удается.

Игра имеет три критических момента. Первый связан с ее запуском. Легче всего игру удается начать под общее веселое настроение. Но как только сделано два предложения, игра продолжается автоматически. Второй критический момент связан с достижением

предложения 50 центов. Теперь нужно предложить более 50 центов, и предлагающему становится ясно, что ведущий аукциона уже выиграл. Но для предлагающего повышение ставки все еще имеет финансовый

смысл. Когда игроки перешли границу 50 центов, игра практически всегда бодро продолжается до 99 центов. Третий критический момент достигается, когда ктото готов заплатить 100 центов за доллар. При этом он, возможно, надеется завершить игру без проигрыша. Но его противник знает, что он потеряет 99 центов, если завершит игру, а если предложит 101 цент, то, возможно, проиграет лишь один цент. Он понимает, что ведет себя нерационально, но обычно игра продолжается.

В большинстве случаев в начальной стадии игры принимает участие большее число игроков, а к концу остается всегда двое.

Исследования показали, что при пересечении границы в 100 центов характер игры меняется, и у игроков проявляются сильные эмоции. У них, к примеру, как у парашютистов перед прыжком, внезапно

замедляется пульс.

Игра идет аналогично и в случае, когда на аукцион предлагается какойлибо предмет. И тогда находятся люди, которые готовы заплатить за него сумму, значительно превышающую его стоимость. Однако прелесть продажи именно доллара состоит в том, что здесь в явном виде предстает иррациональность решений игроков.

С помощью опросов и анкет было выяснено, что с некоторого

момента у игроков меняется мотивация игры. Если в начале они хотели выиграть доллар, то в конце дело идет о престиже, доминировании и т.п.

Шубик предложил свою игру как модель, демонстрирующую бессмысленность эскалации войны во Вьетнаме, в момент, когда она велась наиболее ожесточенно и была в наиболее безнадежном состоянии.

Ученые, которые проанализировали содержание речей президента США Л. Джонсона в период между 1964 и 1968 годами, в которых он затрагивал тему войны во Вьетнаме, обнаружили изменение его аргументации по ходу войны. В начале войны президент при

формулировании ее целей использовал такие термины, как

«демократия», «свобода», «справедливость». Впоследствии он стал говорить преимущественно о чести, о необходимости остановить

продвижение коммунизма, о том, что США не должны выглядеть слабыми и т.п.

Рассмотренный феномен в литературе называют также «Ловушка “Конкорд”». Связано это название со следующим. Затраты англичан и французов на создание сверхзвукового пассажирского самолета

«Конкорд» по мере разработки резко возрастали. Еще когда затраты

были не очень высоки, стало ясно, что это предприятие никогда не даст прибыли. Но правительства все глубже увязали в проекте, и к его завершению плановые суммы были многократно превышены. Даже

после окончания проекта дешевле было оставить самолет как музейный экспонат, т.к. с этого момента он непрерывно приносил только убытки. Но самолет стал престижным объектом, которым англичане и французы могли гордиться, и поэтому он продолжал летать до недавнего времени.

Ситуации, соответствующие модели долларового аукциона, встречаются на каждом шагу и в обыденной жизни. Чем дольше мы ждем автобус, тем труднее нам сесть на такси, даже если вначале мы были готовы поехать на такси. Чем дольше мы смотрим плохой фильм, тем вероятнее мы досмотрим его до конца, хотя вероятность того, что в нем еще будет чтото интересное, становится все меньше. Это обстоятельство используют на телеканалах, включая больше рекламы в конце фильма, поскольку вероятность того, что зрители переключатся на другой канал, будет невелика. По этой же логике проходят забастовки. Нередко ущерб от забастовки для обеих сторон много больше, чем если бы сразу удовлетворить требования бастующих. В этих случаях опытный посредник может вывести ситуацию из тупика, предложив обсудить сначала другой вопрос, например о новой спецодежде. Этот вопрос решается быстро, после чего противоборствующие стороны могут выйти из противостояния без потери лица.

Долл а ровый а укц ио н в ж ивотно м мире

Животные, которые конфликтуют изза территории или изза самки, зачастую не вступают сразу в драку, а определенное время стоят в угрожающей позе друг напротив друга. В какойто момент одно из животных отступает, и второму достается желаемое. Ситуация полностью соответствует ситуации долларового аукциона: оба животных «инвестируют» в конфликт одинаковый ресурс (время), а выигрывает только один. Некоторым животным этим заниматься просто некогда, и они вынуждены разрешать конфликты в гораздо более опасном для них открытом бою. Например, синицы во время вскармливания птенцов должны приносить им корм два раза в минуту. В этом случае ситуация долларового аукциона невозможна.

Животные с панцирем, хищники, а также многие другие представители животного мира, для которых открытый бой слишком

опасен и может быть смертельным, практически всегда решают

проблемы в духе долларового аукциона.

Можно предположить, что животные угрожают ровно столько времени, т.е. инвестируют столько своего ресурса, сколько для них

стоит объект (самка, территория и др.). Если конкретная особь будет

угрожать меньшее время, у нее будет меньше шансов на продолжение

рода. Если она будет угрожать дольше, чем следовало бы с учетом истинной ценности объекта, то в конечном счете она тоже будет в проигрыше, т.к. популяция, участвующая в играх, завершающихся всегда с дефицитом, не имеет шансов на выживание. Если животное угрожает ровно столько времени, сколько соответствует средней ценности объекта, то его поведение становится предсказуемым, и оно будет проигрывать по этой причине. Таким образом, ситуация оказывается патовой.

Математики исследовали эту задачу, привлекая для ее интерпретации интересные эксперименты с рыбкой колюшкой, которую

часто используют для экспериментов психологи, так же как генетики муху дрозофилу. Задача состоит в нахождении пути избежание ловушки

долларового аукциона.

Если бы рыбка угрожала в течение заранее установленного, но случайного промежутка времени, то проблема предсказуемости была бы решена. Это могло бы быть реализовано за счет некого датчика случайных чисел, который выдавал бы плановое время ожидания. А чтобы не платить нереально высокую цену, датчик случайных чисел должен бы быть отградуирован так, чтобы среднее время ожидания в

точности соответствовало истинной ценности объекта, за который происходит борьба. Такое рассуждение представляется логичным, и интересно было проверить, насколько это соответствует реальной жизни. Конечно, здесь возникают проблемы экспериментальной проверки:

− невозможно определить ценность того блага, за которое борются животные;

− трудно учесть, что ценность блага может отличаться для отдельных индивидов, например для животного, уже занимающего данную освоенную территорию, она может быть более ценной, чем для претендующего на нее и т.д.

В связи с этими проблемами прямое экспериментальное доказательство оказывается затруднительным, однако результаты проведенных экспериментов в целом не противоречили рассмотренной модели. Действительно, животные разрешают проблемы, развивающиеся по логике долларового аукциона, рациональнее, чем люди. Их, казалось бы, иррациональное поведение в высшей степени рационально. Образно говоря, животное никогда не заплатит за доллар много больше, чем он стоит, а люди потеряли один из существующих в природе эволюционных механизмов. Как отмечает Л. Меро (László Mérö): «Человек за способность иногда вести себя морально заплатил высокую цену потери своей животной рациональности» .

Тео́рия игр - математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Теория игр - это раздел прикладной математики, точнее - исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках - социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции . Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

История.

Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии, которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и Ж.Бертраном. В начале XX в. Э.Ласкер, Э.Цермело, Э.Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов.

Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики . Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение»(англ. Theory of Games and Economic Behavior ).

Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума ». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe », «Alias» или «NUMB3RS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.

Дж. Нэш в 1949 году пишет диссертацию по теории игр, через 45 лет он получает Нобелевскую премию по экономике. Дж. Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами - бакалавра и магистра - поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. В своих трудах Дж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Дж. Нэша сделали серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Дж. Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А.Смита, когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.

Хотя теория игр первоначально и рассматривала экономические модели, вплоть до 1950-х она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.

В 1960-1970 гг. интерес к теории игр угасает, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20 - 30 лет значение теории игр и интерес значительно растет, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.

Большим вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т.Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (это психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). В психологии и других науках используют слово «игра» в других смыслах, нежели чем в математике. Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других смыслах, сложившихся ранее. Культурологическое понятие игры было дано в работе Йохана Хёйзинга «Homo Ludens» (статьи по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике.. говорит о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют. Понятие игры встречается в концепции Эрика Бёрна «Игры, в которые играют люди, люди, которые играют в игры». Это сугубо психологические игры, основанные на трансакционном анализе. Понятие игры у Й.Хёзинга отличается от интерпретации игры в теории конфликтов и математической теории игр. Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г. П. Щедровицкого, основоположника организационно-деятельностного подхода. Во время Перестройки в СССР Г. П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР. Сейчас в России сложилось целое движение ОДИ. Критики отмечают искусственную уникальность ОДИ. Основой ОДИ стал Московский методологический кружок (ММК).

Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако математический аппарат теории игр затратен. Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т. п. Ряд известных ученых стали Нобелевскими лауреатами по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Дж. Нэш, благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны», что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.

Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали: Роберт Ауманн , Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц , Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон, Ллойд Шепли, Элвин Рот.

Применение теории игр.

Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой анализ был впервые использован для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал идеи теории игр без формального обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по существу выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр». Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения, высказывались ещё Платоном.

Описание и моделирование.

Первоначально теория игр использовалась для описания и моделирования поведения человеческих популяций. Некоторые исследователи считают, что с помощью определения равновесия в соответствующих играх они могут предсказать поведение человеческих популяций в ситуации реальной конфронтации. Такой подход к теории игр в последнее время подвергается критике по нескольким причинам. Во-первых, предположения, используемые при моделировании, зачастую нарушаются в реальной жизни. Исследователи могут предполагать, что игроки выбирают поведения, максимизирующее их суммарную выгоду (модель экономического человека), однако на практике человеческое поведение часто не соответствует этой предпосылке. Существует множество объяснений этого феномена - нерациональность, моделирование обсуждения, и даже различные мотивы игроков (включая альтруизм). Авторы теоретико-игровых моделей возражают на это, говоря, что их предположения аналогичны подобным предположениям в физике. Поэтому даже если их предположения не всегда выполняются, теория игр может использовать как разумная идеальная модель, по аналогии с такими же моделями в физике. Однако, на теорию игр обрушился новый вал критики, когда в результате экспериментов было выявлено, что люди не следуют равновесным стратегиям на практике. Например, в играх «Сороконожка», «Диктатор» участники часто не используют профиль стратегий, составляющий равновесие по Нэшу. Продолжаются споры о значении подобных экспериментов. Согласно другой точке зрения, равновесие по Нэшу не является предсказанием ожидаемого поведения, но лишь объясняет, почему популяции, уже находящиеся в равновесии по Нэшу, остаются в этом состоянии. Однако вопрос о том, как эти популяции приходят к равновесию Нэша, остается открытым. Некоторые исследователи в поисках ответа на этот вопрос переключились на изучение эволюционной теории игр. Модели эволюционной теории игр предполагают ограниченную рациональность или нерациональность игроков. Несмотря на название, эволюционная теория игр занимается не только и не столько вопросами естественного отбора биологических видов. Этот раздел теории игр изучает модели биологической и культурной эволюции, а также модели процесса обучения.

Нормативный анализ (выявление наилучшего поведения).

С другой стороны, многие исследователи рассматривают теорию игр не как инструмент предсказания поведения, но как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального игрока. Поскольку равновесие Нэша включает стратегии, являющиеся наилучшим откликом на поведение другого игрока, использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения выглядит вполне обоснованным. Однако, и такое использование теоретико-игровых моделей подверглось критике. Во-первых, в некоторых случаях игроку выгодно выбрать стратегию, не входящую в равновесие, если он ожидает, что другие игроки также не будут следовать равновесным стратегиям. Во-вторых, знаменитая игра «Дилемма заключенного » позволяет привести ещё один контрпример. В «Дилемме заключенного » следование личным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в худшей ситуации в сравнении с той, в которой они пожертвовали бы личными интересами.

Типы игр

Кооперативные и некооперативные.

Игра называется кооперативной, или коалиционной , если игроки могут объединяться в группы, взяв на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.

Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.

Симметричные и несимметричные.

Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков - симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя », «Ястребы и голуби». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум » или «Диктатор ».

В примере справа игра на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так - ведь выигрыш второго игрока при профилях стратегий (А, А) и (Б, Б) будет больше, чем у первого.

С нулевой суммой и с ненулевой суммой.

Игры с нулевой суммой - особая разновидность игр с постоянной суммой , то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо - числа означают платежи игрокам - и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство .

Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме - это делается введением фиктивного игрока , который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств.

Ещё игрой с отличной от нуля суммой является торговля , где каждый участник извлекает выгоду. Широко известным примером, где она уменьшается, является война .

Параллельные и последовательные.

В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических , играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной , например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.

Различия в представлении параллельных и последовательных игр рассматривались выше. Первые обычно представляют в нормальной форме, а вторые - в экстенсивной.

С полной или неполной информацией.

Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр - с неполной информацией. Например, вся «соль» Дилеммы заключённого или Сравнения монеток заключается в их неполноте.

В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: «Ультиматум», «Многоножка ». Сюда же относятся шахматы, шашки, го, манкала и другие.

Часто понятие полной информации путают с похожим - совершенной информации . Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.

Игры с бесконечным числом шагов.

Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов.

Задача, которая обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии . Используя аксиому выбора, можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами - «выиграл» или «проиграл» - ни один из игроков не имеет такой стратегии. Существование выигрышных стратегий для некоторых особенным образом сконструированных игр имеет важную роль в дескриптивной теории множеств .

Дискретные и непрерывные игры.

Большинство изучаемых игр дискретны : в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов и т. п. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно - шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные игры также рассматриваются в теории оптимизации, находят своё применение в технике и технологиях, физике.

Метаигры.

Это игры, результатом которых является набор правил для другой игры (называемой целевой или игрой-объектом ). Цель метаигр - увеличить полезность выдаваемого набора правил. Теория метаигр связана с теорией оптимальных механизмов .

по материалам wikipedia.org

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две стороны преследуют различные цели и результаты действия каждой из сторон зависят от мероприятий противника (или партнера).

Ситуация, в которой эффективность принимаемого одной стороной решения зависит от действий другой стороны, называется конфликтной . Конфликт всегда связан с определенного рода разногласиями (это не обязательно антагонистическое противоречие).

Конфликтная ситуация называется антагонистической , если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину, и наоборот.

В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. Например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Каждый из них имеет свои интересы и стремится принимать оптимальные решения, помогающие достигнуть поставленных целей в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера и учитывать решения, которые эти партнеры будут принимать (они заранее могут быть неизвестны). Чтобы в конфликтных ситуациях принимать оптимальные решения, создана математическая теория конфликтных ситуаций, которая называется теорией игр . Возникновение этой теории относится к 1944 г., когда была издана монография Дж. фон Неймана «Теория игр и экономическое поведение»

Игра - это математическая модель реальной конфликтной ситуации . Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Исход конфликта называется выигрышем. Правила игры - это система условий, определяющая варианты действий игроков; объем информации каждого игрока о поведении партнеров; выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. Игроки обозначаются A и B .

Игра называется антагонистической (с нулевой суммой ), если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.

Выбор и осуществление одного из вариантов действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.

Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из вариантов действий (например, в шахматах).

Случайный ход - это случайно выбранное действие (например, бросание игральной кости). Мы будем рассматривать только личные ходы.

Стратегия игрока - это совокупность правил, определяющих поведение игрока при каждом личном ходе. Обычно в процессе игры на каждом этапе игрок выбирает ход в зависимости от конкретной ситуации. Возможно также, что все решения приняты игроком заранее (т.е. игрок выбрал определенную стратегию).

Игра называется конечной , если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.

Цель теории игр - разработать методы для определения оптимальной стратегии каждого игрока.

Стратегия игрока называется оптимальной , если она обеспечивает этому игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш независимо от поведения противника).

Раздел Теория игр представлен тремя онлайн-калькуляторами :

• 1. Решение матричной игры . В таких задачах задана платежная матрица. Требуется найти чистые или смешанные стратегии игроков и, цену игры . Для решения необходимо указать размерность матрицы и метод решения.
• 2. Биматричная игра . Обычно в такой игре задают две матрицы одинакового размера выигрышей первого и второго игроков. Строки этих матриц соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы матриц - стратегиям второго игрока. При этом в первой матрице представлены выигрыши первого игрока, а во второй матрице - выигрыши второго.
• 3. Игры с природой . Используется, когда необходимо выбрать управленческое решение по критериям Максимакса, Байеса, Лапласа, Вальда , Сэвиджа , Гурвица .

Пример 1. Каждый из игроков, A или B , может записать, независимо от другого, цифры 1, 2 и 3. Если разность между цифрами, записанными игроками, положительна, то A выигрывает количество очков, равное разности между цифрами. Если разность меньше 0, выигрывает B . Если разность равна 0 - ничья.

У игрока A три стратегии (варианта действия): A1= 1 (записать 1), A2= 2, A3= 3, у игрока тоже три стратегии: B1, B2, B3.

Задача игрока A - максимизировать свой выигрыш. Задача игрока B - минимизировать свой проигрыш, т.е. минимизировать выигрыш A . Это парная Основные понятия теории игр

В экономической практике часто имеют место конфликтные ситуации. Игровые модели - это, в основном, упрощенные математические модели конфликтов. В отличие от реального конфликта игра ведётся по четким правилам. Для моделирования конфликтных ситуаций разработан специальный аппарат - математическая теория игр. Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками.

Каждая формализованная игра (модель) характеризуется:

• 1. количеством субъектов - игроков, участвующих в конфликте;
• 2. вариантом действий для каждого из игроков, называемых стратегиями;
• 3. функциями выигрыша или проигрыша (платежа) исхода конфликта;

Игра, в которой участвуют два игрока A и B называется парной. Если же количество игроков больше двух, то это игра множественная. Мы будем рассматривать модели только парных игр.

Игра, в которой выигрыш одного из игроков точно равен проигрышу другого, называется антагонистической игрой или игрой с нулевой суммой. С рассмотрения моделей антагонистических игр мы и начнём.

Смоделировать (решить) антагонистическую игру - значит, для каждого игрока указать стратегии, удовлетворяющие условию оптимальности , т.е. игрок A должен получить максимальный гарантированный выигрыш, какой бы своей стратегии не придерживался игрок B, а игрок B должен получить минимальный проигрыш, какой бы своей стратегии не придерживался игрок A. Оптимальные стратегии характеризуются устойчивостью, то есть ни одному из игроков не выгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Примечание. Различают игры кооперативные и некооперативные, с полной информацией и не полной. В игре с полной информацией перед каждым ходом каждый игрок знает все возможные ходы (стратегии поведения) и выигрыши. В кооперативных играх допускается возможность предварительных переговоров между игроками. Мы будем рассматривать некооперативные игры с полной информацией.

Математическая теория игр является разделом математики, изучающей принятие решений в конфликтных ситуациях.

Определим основные понятия теории игр.

Игра - упрощенная формализованная модель конфликтной ситуации. Игрок - одна из сторон в игровой ситуации. В зависимости от постановки задачи, стороной может выступать коллектив или даже целое государство. Каждый игрок может иметь свои стратегии. Стратегией i-го игрока x2 называется одно из возможных решений из множества допустимых решений этого игрока.

По количеству стратегий игры делятся на конечные , в которых число стратегий ограничено, и бесконечные , которые имеют бесконечно много различных стратегий.

Каждый из n участников игры может выбирать свою стратегию. Совокупность стратегий x=x1,x2,…,xn, которые выбрали участники игры, называется игровой ситуацией .

Оценить ситуацию x с точки зрения преследуемых ЛПР целей можно, построив целевые функции (или критерии качества), ставящие в соответствие каждой ситуации x числовые оценки f1(x),f2(x),…,fn(x) (например, доходы фирм в ситуации x или их затраты и т. д.).

Тогда цель i- го ЛПР формализуется следующим образом: выбрать такое свое решение xi, чтобы в ситуации x=x1,x2,…,xn число fi(x) было как можно большим (или меньшим). Однако достижение этой цели от него зависит лишь частично, поскольку другие участники игры влияют на общую ситуацию x с целью достижения своих собственных целей (оптимизируют свои целевые функции). Значение целевой функции в той или иной игровой ситуации можно назвать выигрышем игрока в этой ситуации.
По характеру выигрышей игры можно разделить на игры с нулевой и ненулевой суммой. В играх с нулевой суммой сумма выигрышей в каждой игровой ситуации равна нулю. Игры двух игроков с нулевой суммой называются антагонистическими. В этих играх выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

В играх с ненулевой суммой в выигрыше или проигрыше могут оказаться все участники игры.

По виду функции выигрышей игры можно разделить на матричные, биматричные, непрерывные, сепарабельные и т. д.

Матричными играми называются конечные игры двух игроков с нулевой суммой. В этом случае номер строки матрицы соответствует номеру стратегии Ai игрока 1, а номер столбца - номеру стратегии Bj игрока 2.

Элементами матрицы aij является выигрыш игрока 1 для ситуации (реализации стратегий) AiBj. В силу того, что рассматривается матричная игра с нулевой суммой, выигрыш игрока 1 равен проигрышу игрока 2.

Можно показать, что всякая матричная игра с известной матрицей платежей сводится к решению задачи линейного программирования.

Поскольку в прикладных задачах экономики и управления ситуации, сводящиеся к матричным играм, встречаются не очень часто, мы не будем останавливаться на решении этих задач.

Биматричная игра - это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. В этом случае для каждой игровой ситуации AiBj каждый из игроков имеет свой выигрыш aij для первого игрока и bij- для второго игрока. К биматричной игре сводится, например, поведение производителей на рынках несовершенной конкуренции. Анализу этой проблемы посвящена тема 6 настоящего учебного пособия.

По степени неполноты информации, которой обладают ЛПР, игры делятся на стратегические и статистические.

Стратегические игры - это игры в условиях полной неопределенности.

Статистические игры - это игры с частичной неопределенностью. В статистической игре всегда имеется один активный игрок, имеющий свои стратегии и цели. Другим игроком (пассивным, не преследующим своих целей) является природа. Этот игрок реализует свои стратегии (состояния природы) случайным образом, причем вероятность реализации того или иного состояния можно оценить с помощью статистического эксперимента.

Поскольку с теорией статистических игр тесно связана теория принятия экономических решений, то в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только этого класса игр.