Со времен опытов Галилея на Пизанской башне известно, что все тела падают в поле силы тяжести с одинаковым ускорением g .

Однако каждодневная практика указывает на другое: легкое перышко падает медленнее тяжелого металлического шарика. Понятна и причина этого - сопротивление воздуха.

Уравнения движения. Если ограничиться случаем поступательного движения невращающихся тел в неподвижной среде с сопротивлением, то сила сопротивления будет направлена против скорости. В векторном виде ее можно записать как

где - абсолютная величина этой силы, a - модуль скорости тела. Учет сопротивления среды меняет вид уравнений движения тела, брошенного под углом к горизонту:

В приведенных уравнениях учтена также выталкивающая сила Архимеда, действующая на тело: ускорение свободного падения g заменено на меньшую величину

где - плотность среды (для воздуха = 1.29 кг/м 3), а - средняя плотность тела.

Действительно, вес тела в среде уменьшается на величину выталкивающей силы Архимеда

Выражая объём тела через его среднюю плотность

приходим к выражению

При наличии сопротивления воздуха скорость падающего тела не может расти безгранично. В пределе она стремится к некоторому установившемуся значению, которое зависит от характеристик тела. Если тело достигло установившейся скорости падения , то из уравнений движения следует, что сила сопротивления равна весу тела (с учётом архимедовой силы):

Сила сопротивления как мы вскоре убедимся, есть функция скорости падения. Стало быть, полученное выражение для силы сопротивления представляет собой уравнение для определения установившейся скорости падения . Ясно, что при наличии среды энергия тела частично расходуется на преодоление её сопротивления.

Число Рейнольдса . Разумеется, уравнения движения тела в жидкости невозможно даже начать решать, пока нам ничего неизвестно о модуле силы сопротивления. Величина этой силы существенно зависит от характера обтекания тела встречным потоком газа (или жидкости). При малых скоростях этот поток является ламинарным (то есть слоистым). Его можно представить себе как относительное движение не смешивающихся между собой слоев среды.

Ламинарное течение жидкости демонстрируется на опыте, показанном на рис. 13.

Как уже отмечалось в главе 9.3, при относительном движении слоёв жидкости или газа между этими слоями возникают силы сопротивления движению, которые называются силами внутреннего трения . Эти силы обусловлены особым свойством текучих тел - вязкостью , которая характеризуется численно коэффициентом вязкости . Приведем характерные значения для различных веществ: для воздуха ( = 1,8·10 -5 Па·с), воды ( = 10 –3 Па·с), глицерина ( = 0,85 Па·с). Эквивалентное обозначение единиц, в которых измеряется коэффициент вязкости: Па·с=кг·м –1 ·с –1 .

Между движущимся телом и средой всегда существуют силы сцепления, так что непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью задерживается, как бы «прилипая» к нему. Он трется о следующий слой, который слегка отстает от тела. Тот, в свою очередь, испытывает силу трения со стороны еще более удаленного слоя и т.д. Совсем далекие от тела слои можно считать покоящимися. Теоретический расчет внутреннего трения для движения шарика диаметром D приводит к формуле Стокса :

Подставляя формулу Стокса в выражение для силы сопротивления при установившемся движении, находим выражение для установившейся скорости падения шарика в среде:

Видно, что чем легче тело, тем меньше скорость его падения в атмосфере. Полученное уравнение объясняет нам, почему пушинка падает медленнее,чем стальной шарик.

При решении реальных задач, например, вычислении установившейся скорости падения парашютиста при затяжном прыжке, не следует забывать, что сила трения пропорциональна скорости тела лишь для относительно медленного ламинарного встречного потока воздуха. При увеличении скорости тела вокруг него возникают воздушные вихри, слои перемешиваются, движение в какой-то момент становится турбулентным , и сила сопротивления резко возрастает. Внутреннее трение (вязкость) перестает играть сколько бы то ни было заметную роль.

Рис. 9.15 Фотография струи жидкости при переходе от ламинарного течения к турбулентному (число Рейнольдса Re=250)

Возникновение силы сопротивления можно тогда представить себе следующим образом. Пусть тело прошло в среде путь . При силе сопротивления на это затрачивается работа

Если площадь поперечного сечения тела равна , то тело «натолкнется» на частицы, занимающие объем . Полная масса частиц в этом объеме равна · Представим, что эти частицы полностью увлекаются телом, приобретая скорость . Тогда их кинетическая энергия становится равной

Эта энергия не появилась ниоткуда: она создана за счет работы внешних сил по преодолению силы сопротивления. Стало быть, A=К , откуда

Мы видим, что теперь сила сопротивления сильнее зависит от скорости движения, становясь пропорциональной ее второй степени (ср. с формулой Стокса). В отличие от сил внутреннего трения ее часто называют силой динамического лобового сопротивления .

Однако предположение о полном увлечении частиц среды движущимся телом оказывается слишком сильным. В реальности любое тело так или иначе обтекается потоком, что уменьшает силу сопротивления. Принято использовать так называемый коэффициент сопротивления C , записывая силу лобового сопротивления в виде:

При турбулентном потоке в некотором интервале скоростей C не зависит от скорости движения тела, но зависит от его формы: скажем, для диска он равен единице, а для шара примерно 0,5.

Подставляя формулу для силы лобового сопротивления в выражение для силы сопротивления при установившемся движении, приходим к иному, нежели ранее полученная формула, выражению для установившейся скорости падения шара (при C = 0,5):

Применяя найденную формулу к движению парашютиста весом 100 кг с поперечным размером парашюта 10 м, находим

что соответствует скорости приземления при прыжке без парашюта с высоты 2 м. Видно, что для описания движения парашютиста больше подходит формула, соответствующая турбулентному потоку воздуха.

Выражение для силы сопротивления с коэффициентом сопротивления удобно использовать во всем интервале скоростей. Поскольку при малых скоростях режим сопротивления меняется, то коэффициент сопротивления в области ламинарного течения и в переходной области к турбулентному течению будет зависеть от скорости тела. Однако прямая зависимость C от невозможна, поскольку коэффициент сопротивления безразмерен. Значит, он может быть лишь функцией какой-то безразмерной комбинации с участием скорости. Такая комбинация, играющая важную роль в гидро- и аэродинамике, называется числом Рейнольдса (см. тему 1.3).

Число Рейнольдса - это параметр, описывающий смену режима при переходе от ламинарного течения к турбулентному. Таким параметром может служить отношение силы лобового сопротивления к силе внутреннего трения. Подставляя в формулу для силы сопротивления выражение для площади поперечного сечения шара , убеждаемся, что величина силы лобового сопротивления с точностью до несущественных сейчас числовых факторов определяется выражением

а величина силы внутреннего трения - выражением

Отношение этих двух выражений и есть число Рейнольдса:

Если речь идет не о движении шара, то под D понимается характерный размер системы (скажем, диаметр трубы в задаче о течении жидкости). По самому смыслу числа Рейнольдса ясно, что при его малых значениях доминируют силы внутреннего трения: вязкость велика и мы имеем дело с ламинарным потоком. При больших значениях числа Рейнольдса, наоборот, доминируют силы динамического лобового сопротивления и поток становится турбулентным.

Число Рейнольдса имеет огромное значение при моделировании реальных процессов в меньших (лабораторных) масштабах. Если для двух течений разных размеров числа Рейнольдса одинаковы, то такие течения подобны, и возникающие в них явления могут быть получены одно из другого простым изменением масштаба измерения координат и скоростей. Поэтому, например, на модели самолета или автомобиля в аэродинамической трубе можно предугадать и изучить процессы, которые возникнут в процессе реальной эксплуатации.

Коэффициент сопротивления . Итак, коэффициент сопротивления в формуле для силы сопротивления зависит от числа Рейнольдса:

Эта зависимость имеет сложный характер, показанный (для шара) на рис. 9.16. Теоретически получить эту кривую трудно, и обычно используют зависимости, экспериментально измеренные для данного тела. Однако возможна качественная ее интерпретация.

Рис. 9.16. Зависимость коэффициента сопротивления от числа Рейнолъдса (римскими цифрами показаны области значений Re; которым соответствуют различные режимы течения воздушного потока)

Область I . Здесь число Рейнольдса очень мало ( < 1) и течение потока ламинарно. Экспериментальная кривая описывается в этой области функцией

При подстановке этого значения в найденную ранее формулу для силы сопротивления и использовании и выражения для числа Рейнольдса мы приходим к формуле Стокса. В этой области, как уже говорилось, сопротивление возникает вследствие вязкости среды.

Область II . Здесь число Рейнольдса лежит в интервале 1 < < 2·10 4 . Данная область соответствует переходу от ламинарного к турбулентному течению. Экспериментальные данные свидетельствуют, что при увеличении числа Рейнольдса достигается некоторое его критическое значение, после которого стационарное ламинарное течение становится неустойчивым. Разумеется, это критическое значение не универсально и различается для разных типов течений. Но его характерная величина порядка нескольких десятков.

При лишь слегка больших критического значения появляется нестационарное периодическое движение потока, характеризуемое некоторой частотой. При дальнейшем увеличении периодическое движение усложняется, и в нем появляются новые и новые частоты. Этим частотам соответствуют периодические движения (вихри), пространственные масштабы которых становятся все более мелкими. Движение приобретает более сложный и запутанный характер - развивается турбулентность. В данной области коэффициент сопротивления продолжает падать с ростом , но медленнее. Минимум достигается при = (4–5)·10 3 , вслед за чем С несколько повышается.

Область III . Эта область соответствует развитому турбулентному течению потока вокруг шара, а с этим режимом мы уже встречались выше. Характерные здесь значения числа Рейнольдса лежат в интервале 2·10 4 < < 2·10 5 .

При движении тело оставляет за собой турбулентный след, за пределами которого течение ламинарно. Вихревой турбулентный след легко наблюдать, например, за кормой корабля. Часть поверхности тела непосредственно примыкает к области турбулентного следа, а его передняя часть - к области ламинарного течения. Граница между ними на поверхности тела называется линией отрыва. Физической причиной возникновения силы сопротивления является разность давлений на передней и задней поверхностях тела. Оказывается, что положение линии отрыва определяется свойствами пограничного слоя и не зависит от числа Рейнольдса. Поэтому коэффициент сопротивления примерно постоянен в этом режиме.

Область IV . Однако такой режим обтекания тела не может поддерживаться до сколь угодно больших значений . В какой-то момент передний ламинарный пограничный слой турбулизируется, что отодвигает назад линию отрыва. Турбулентный след за телом сужается, что приводит к резкому (в 4–5 раз) падению сопротивления среды. Это явление, названное кризисом сопротивления , происходит в узком интервале значений = (2–2,5)·10 5 . Строго говоря, приведенные теоретические соображения могут измениться при учете сжимаемости среды (воздуха, в нашем случае). Однако это проявится, как мы уже обсуждали, при скоростях объектов, сравнимых со скоростью звука.

Дополнительная информация

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_70.djvu - Стасенко А.Л. Физика полета, Библиотечка Квант, выпуск 70 стр. 17–28 - аэродинамические силы, действующие на крыло.

http://d.theupload.info/down/8osiz73swyx22j1icv3641f3xxe8rtdp/butikov_e_i__kondratev_a_s__fizika_dlja_uglublennogo_izuchen.djvu - Е.И. Бутиков, А.С.Кондратьев, Учебное пособие; Кн. 1, Механика, Физматлит, 2001 г. - глава V - движение жидкостей и газов.

Список дополнительных ссылок

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1998/02/kv0298fizfak.pdf - журнал «Квант» - математический маятник на наклонных поверхностях (П. Хаджи, А. Михайленко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/06/strannyj_mayatnik.htm - журнал «Квант» - математический маятник с подвижной точкой подвеса (Н. Минц);

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=physica/lect4.ch1.tex - В лекции рассматриваются гармонические колебания, фазовый портрет маятника, адиабатические инварианты.

http://www.plib.ru/library/book/9969.html - Е.И. Бутиков, А.С. Кондратьев, Учебное пособие; Кн. 1, Механика, Физматлит, 2001 г. - стр. 279–295 (§§ 42,43) - описаны затухающие колебания при сухом трении и собственные колебания в разных физических системах.

http://mechanics.h1.ru/ - Механика в школе, определения основных физических величин, решение задач.

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=mgivanov - Курс лекций по механике для физико-технической школы (М.Г. Иванов).

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant63.djvu - Асламазов Л.Г., Варламов А.А. Удивительная физика, Библиотечка Квант, выпуск 63, глава 2 - простая физика сложных явлений.

http://schools.keldysh.ru/sch1275/kross/ - Физические кроссворды.

http://www.newsland.ru/News/Detail/id/211926/22 - Обсуждается возможность создания звуковой и оптической «шапки-невидимки».

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_40.djvu - Хилькевич С.С., Физика вокруг нас, библиотечка Квант, выпуск 40, глава 1, § 5 - как действует на смесь вибрация и что происходит при встряхивании ведра с картошкой.

Инструкция

Найдите силу сопротивления движению, которая действует на равномерно прямолинейно движущееся тело. Для этого при помощи динамометра или другим способом измерьте силу, которую необходимо приложить к телу, чтобы оно двигалось равномерно и прямолинейно. По третьему закону Ньютона она будет численно равна силе сопротивления движения тела.

Определите силу сопротивления движению тела, которое перемещается по горизонтальной поверхности. В этом случае сила трения прямо пропорциональна силе реакции опоры, которая, в свою очередь равна силе тяжести, действующей на тело. Поэтому сила сопротивления движению в этом случае или сила трения Fтр равна произведению массы тела m, которая измеряется весами в килограммах, на ускорение свободного падения g≈9,8 м/с² и коэффициент пропорциональности μ, Fтр=μ∙m∙g. Число μ называется коэффициентом трения и зависит от поверхностей, входящих в контакт при движении. Например, для трения стали по дереву этот коэффициент равен 0,5.

Рассчитайте силу сопротивления движению тела, движущегося по наклонной плоскости . Кроме коэффициента трения μ, массы тела m и ускорения свободного падения g, она зависит от угла наклона плоскости к горизонту α. Чтобы найти силу сопротивления движению в этом случае, нужно найти произведения коэффициента трения, массы тела, ускорения свободного падения и косинуса угла, под которым плоскость наклонена к горизонту Fтр=μ∙m∙g∙сos(α).

При движении тела в воздухе на невысоких скоростях сила сопротивления движению Fс прямо пропорциональна скорости движения тела v, Fc=α∙v. Коэффициент α зависит от свойств тела и вязкости среды и рассчитывается отдельно. При движении на высоких скоростях, например, при падении тела со значительной высоты или движении автомобиля, сила сопротивления прямо пропорциональна квадрату скорости Fc=β∙v². Коэффициент β дополнительно рассчитывается для высоких скоростей.

Для определения силы сопротивления воздуха создайте условия, при которых тело начнет под действием силы тяжести двигаться равномерно и прямолинейно. Рассчитайте значение силы тяжести, оно будет равно силе сопротивления воздуха. Если тело движется в воздухе, набирая скорость, сила его сопротивления находится при помощи законов Ньютона, также силу сопротивления воздуха можно найти из закона сохранения механической энергии и специальных аэродинамических формул.

Вам понадобится

• дальномер, весы, спидометр или радар, линейка, секундомер.

Инструкция

Перед измерением сопротивления б/у резистора обязательно выпаяйте его из старой платы или блока. Иначе он может быть шунтирован другими деталями схемы, и вы получите неправильные показания его сопротивления .

Видео по теме

Чтобы найти электрическое сопротивление проводника, воспользуйтесь соответствующими формулами. Сопротивление участка цепи находится по закону Ома. Если же известен материал и геометрические размеры проводника, его сопротивление можно рассчитать при помощи специальной формулы.

Вам понадобится

• - тестер;
• - штангенциркуль;
• - линейка.

Инструкция

Вспомните, что подразумевает собой понятие резистора. В данном случае под резистором надо понимать любой проводник или элемент электрической цепи, имеющий активное резистивное сопротивление. Теперь важно задаться вопросом о том, как действует изменение значения сопротивления на значение силы тока и от чего оно зависит. Суть явления сопротивления заключается в том, что атомы вещества резистора формируют своего рода барьер для прохождения электрических зарядов. Чем выше сопротивление вещества, тем более плотно расположены атомы в решетке резистивного вещества. Данную закономерность и объясняет закон Ома для участка цепи. Как известно, закон Ома для участка цепи звучит следующим образом: сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению на участке и обратно пропорциональна сопротивлению самого участка цепи.

Изобразите на листе бумаги график зависимости силы тока от напряжения на резисторе, а также от его сопротивления, исходя из закона Ома. Вы получите график гиперболы в первом случае и график прямой во втором случае. Таким образом, сила тока будет тем больше, чем больше напряжение на резисторе и чем меньше сопротивление. Причем зависимость от сопротивления здесь более яркая, ибо она имеет вид гиперболы.

Обратите внимание, что сопротивление резистора также изменяется при изменении его температуры. Если нагревать резистивный элемент и наблюдать при этом за изменением силы тока, то можно заметить, как при увеличении температуры уменьшается сила тока. Данная закономерность объясняется тем, что при увеличении температуры увеличиваются колебания атомов в узлах кристаллической решетки резистора, уменьшая таким образом свободное пространство для прохождения заряженных частиц. Другой причиной, уменьшающей силу тока в данном случае, является тот факт, что при увеличении температуры вещества увеличивается хаотичное движение частиц, в том числе заряженных. Таким образом, движение свободных частиц в резисторе становится в большей степени хаотичным, чем направленным, что и сказывается на уменьшении силы тока.

Видео по теме

Введение

Разработка законов (функций) сопротивления воздуха имеет длительную историю. Этим занимались выдающиеся ученые и артиллеристы, и в результате проведения многочисленных полигонных стрельб были получены зависимости коэффициента лобового сопротивления от числа Маха, которые в сильной степени зависят от особенностей обтекания снаряда встречным потоком воздуха, т.е. главным образом от конфигурации головной части. Однако даже при наличии этой зависимости вычисление параметров траектории артиллерийского снаряда всегда представляла собой чрезвычайно сложную задачу, особенно если учитывать такие факторы, как кривизна поверхности и вращение Земли.

Для расчета траектории снаряда необходимо численно интегрировать систему дифференциальных уравнений внешней баллистики с помощью чрезвычайно трудоемкого метода конечных разностей, а в начале прошлого века в распоряжении вычислителей были только арифмометры и счеты. Для нового типа орудия требовались свои таблицы, составлять их приходилось годами, предварительно проведя полигонные стрельбы для определения параметров принятого закона сопротивления воздуха (главным образом, коэффициента формы снаряда). Известно, что первые внешнебаллистические расчеты немцы проводили, считая плотность воздуха постоянной и равной среднему значению в пределах высоты траектории.

Именно для быстрого составления баллистических таблиц по заказу армии США в Лаборатории баллистических исследований. в 1946 г. была создана первая вычислительная машина «Эниак» (ENIAC - Electronic Number Integrator And Computer - Электронный цифровой интегратор и вычислитель). Вычисления на «Эниаке» велись в десятичной системе, а для изменения программы требовалось установить в определенное положение тысячи переключателей и соединить сотни кабелей, и поэтому в среднем на подготовку машины к вычислению одной таблицы уходило два дня кропотливой ручной работы .

Таким образом, ускорение процесса вычисления параметров траектории всегда было актуальной задачей в ствольной, а затем и ракетной артиллерии. Для получения адекватных результатов необходимо соответствующее математическое описание закона сопротивления. Наиболее популярным в этом смысле длительное время являлся закон (функция) Сиаччи в виде эмпирической формулы, важным достоинством которой является непрерывная зависимость от скорости снаряда. Однако формула выведена применительно к устаревшим тупоголовым снарядам, использованным в качестве эталонных. После появления современных снарядов дальнобойной конфигурации были созданы новые законы сопротивления воздуха. Однако, в отличие от формулы Сиаччи, они заданы в дискретной (чаще всего в табличной) форме.

Наиболее распространенным в России (ранее - в СССР) законом сопротивления воздуха, используемым при расчете траекторий артиллерийских снарядов, является закон 1943 г. Однако до сих пор отсутствует представление этого закона в виде непрерывной зависимости от скорости снаряда, что затрудняет проведение расчетов на ЭВМ. В данной работе предлагается способ приведения закона Сиаччи к закону 1943 г. с помощью соответствующего коэффициента согласования в виде функции, непрерывно зависящей от скорости снаряда. Показано, что расхождение результатов расчета по предлагаемой аппроксимации с табличными данными не превышает допустимого с практической точки зрения.

Применение методики проиллюстрировано на конкретном примере.

1 Общая формула для силы сопротивления воздуха

На рисунке 1 показана схема сил, приложенных к снаряду на траектории: - сила тяжести; - равнодействующая аэродинамических сил, т.е. сила сопротивления воздуха. Она приложена в центре давления С , не совпадающем с центром массы O . Расстояние между этими точками определяется по формуле Гобара . На рисунке δ - угол атаки, т.е. угол между осью снаряда и касательной к траектории в данной точке (на касательной лежит вектор скорости снаряда ); - угол между вектором скорости и горизонтом. Если силу перенести в центр масс О и одновременно приложить к этой точке уравновешивающую силу (), то возникает пара сил, создающая опрокидывающий момент (его учитывают при исследовании движения снаряда как твердого тела). Силу , приложенную в центре масс, раскладывают на две составляющие: - сила лобового сопротивления (она лежит на касательной к траектории и направлена в сторону, обратную по отношению к вектору скорости) и - подъемная сила. В дальнейшем рассматриваем упрощенную схему приложения указанных сил, полагая и считая, что сила направлена по оси снаряда; в этом случае и .

Рисунок 1 - Силы, приложенные к снаряду на траектории

Структуру фундаментального выражения для силы сопротивления воздуха получают с помощью теории подобия и размерностей, лежащей в основе методов физического моделирования:

где - плотность воздуха; - площадь миделевого сечения снаряда (d - калибр); - скоростной напор; - коэффициент лобового сопротивления; - число Маха; a - скорость звука в данной точке траектории; - число Рейнольдса; - кинематический коэффициент вязкости.

Зависимость определяют опытным путем для снарядов типовой («эталонной») формы. Подобие процессов обтекания снарядов воздушным потоком чаще всего не обеспечивается из-за различия конфигурации головной части, и, для того чтобы иметь возможность использовать имеющиеся опытные данные, вводят коэффициент формы снаряда

,

учитывающий неполноту условий подобия. Данный коэффициент сравнительно слабо зависит от скорости снаряда, и его удобно использовать в качестве коэффициента согласования расчета по определению дальности стрельбы с опытом. В этом случае учитываются как форма снаряда, так и другие физические факторы, влияющие на движение снаряда.

Преобразуя формулу (1), получают выражение для «ускорения сопротивления воздуха»

где q - масса снаряда. Далее вводят функцию

где y - высота; - плотность воздуха на поверхности Земли в точке выстрела. Кроме того, для получения более удобных для практических расчетов значений соответствующих величин, вводят множитель

где кг/м 3 - плотность воздуха для нормальных артиллерийских условий. Тогда (2), с учетом (1), будет иметь вид

В этом выражении фигурирует баллистический коэффициент

..

Обычно принимают, что , т.е.

.

Здесь введен коэффициент относительной массы («поперечная нагрузка») , где d - в дециметрах. Видно, что баллистический коэффициент (а, следовательно, и сила сопротивления воздуха) изменяется обратно пропорционально калибру.

носит название закона сопротивления воздуха, так часто называют и зависимость . Опуская постоянный множитель в (4), можно записать пропорциональное соотношение

.

Как известно , скорость звука

где - показатель адиабаты для воздуха, обычно принимаемый равным 1,4; R - универсальная газовая постоянная; - «виртуальная» температура, учитывающая влажность воздуха; T - абсолютная температура; e - давление водяного пара; h - давление влажного воздуха/

Эталонные законы сопротивления воздуха приведены к скорости звука в нормальных условиях м/с, поэтому аргумент преобразуют:

.

-

так называемая виртуальная скорость. Таким образом,

Соответственно,

.

Зависимость обычно задают по :

Проведя довольно громоздкие вычисления, связанные с интегрированием соответствующих выражений, получим

2 Законы сопротивления воздуха

Л. Эйлер при решении задачи о полете снаряда пользовался функцией , установленной Ньютоном и применяемой в основном для дозвуковых скоростей. Одной из первой была степенная функция Маиевского-За-буд-ско-го

При составлении этой формулы в качестве эталонного был принят снаряд старой формы, имеющий короткую головную, длинные цилиндрическую и запоясную части. Коэффициенты выбирались так, чтобы на границах областей значения сопротивления были одинаковы, но при этом на графике появляются угловые точки, вследствие чего производные сопротивления по скорости терпят в этих точках конечные разрывы. Кроме того, при расчете траектории ее неудобно делить на ряд участков по скорости. В настоящее время на практике этот закон не используется.

Базируясь на работах Маиевского-Забудского и опытах конца XIX века, итальянский баллистик Франческо Сиаччи предложил новую функцию сопротивления воздуха , носящую его имя (1888 г.). Сиаччи также принял за эталонный снаряд старой формы, но сгладил угловые точки на графике . Большой заслугой Сиаччи является эмпирическая аппроксимация закона сопротивления воздуха в предложенной им форме (5) :

Этот закон многократно апробирован на практике и находит широкое применение при расчете траекторий, при соответствующем значении коэффициента формы. При малых скоростях закон Сиаччи близок к квадратичному, а при больших - к линейному.

С развитием артиллерии основным становится современный снаряд дальнобойной формы, имеющий удлиненную головную часть и сравнительно короткую хвостовую часть. Опыты по созданию новой функции проводились после Первой мировой войны в ряде стран, например, в 1921-1923 гг. во Франции (законы Гарнье и Дюпуи).

В нашей стране был создан закон сопротивления воздуха 1930 г. На его основе составлены таблицы внешней баллистики АНИИ, однако выяснилось, что данный закон дает неточные результаты при расчете траектории с большими начальными скоростями; кроме того, коэффициент формы современных снарядов по отношению к функции 1930 г. заметно колеблетсяпри различных скоростях.

3 Закон 1943 г.

Перед Великой Отечественной войной в СССР были начаты работы по установлению новой функции сопротивления воздуха на основе обработки результатов стрельб современными снарядами дальнобойной формы. Эти работы были закончены в 1943 г., новая функция получила название закон Артиллерийской академии им. Ф.Э. Дзержинского, или просто закон 1943 г. При этом. была обнаружена ошибка функции Сиаччи, проявляющаяся при скорости снаряда более 1410 м/с. Закон 1943 г. принят в нашей стране в качестве основного. Применительно к этой функции проводятся все баллистические расчеты, хотя ввиду наличия таблиц находят применение также функции 1930 г. и Сиаччи.

Полная таблица закона 1943 г. содержится в книге ; в сокращенном виде она приведена в , наряду с законами Сиаччи и 1930 г. В функция 1943 г. задана в пределах ограниченного диапазона (), разбитого на участки:

В имеется следующее описание закона 1943 г.:

Таблица 1 - Переходный множитель

Видно, что переходный множитель заметно зависит от скорости, так что усреднение его в пределах того или иного диапазона скоростей может привести к ошибкам расчета в другом диапазоне.

Коэффициенты формы для современных снарядов (ОФ) по отношению к закону 1943 г. изменяются в пределах , а по отношению к функции Сиаччи .

Таким образом, известные способы описания закона 1943 г. задают его дискретно (по точкам или по поддиапазонам), эмпирического описания в виде единой непрерывной функции скорости в пределах всего диапазона изменения числа Маха, подобного закону Сиаччи, закон не имеет. Дискретность описания закона 1943 г. неудобна при вычислении траекторий на ЭВМ, в связи с чем его пытаются выражать через закон Сиаччи, вводя корректирующий переходный множитель, однако и этот множитель задан дискретно. Поэтому на практике часто предпочитают использовать именно закон Сиаччи, но при некотором коэффициенте формы i , определяемом по известным условиям стрельбы.

4 Аппроксимация закона 1943 г.

Можно предложить такой способ коррекции закона Сиаччи и приведения его к закону 1943 г. . Определив по табличным данным (дискретную) зависимость коэффициента формы от скорости, затем аппроксимировать ее как некую непрерывную функцию скорости и затем производить пересчет следующим образом:

Результаты реализации этой идеи в среде пакета MathCAD представлены на рисунке 2, где 1 - ; 2 - табличный закон 1943 г, ; 3 - функция согласования ; 4- аппроксимация функции согласования ; 5 - .

Функция согласования аппроксимируется полиномом 3-го порядка:

коэффициенты которого определены с помощью функции MathCAD linfit , относящейся к линейной комбинации аппроксимирующих формул:

; ; ; .

Рисунок 2 - Аппроксимация закона 1943 г.:

Из рисунка 2 видно, что аппроксимирующая кривая в целом достаточно близка к табличной зависимости, за исключением участка в районе максимума, однако это не должно привести к существенной ошибке, особенно при высоких скоростях снаряда ().

Таким образом, принимаем следующее эмпирическое описание закона 1943 г.:

В таблице 2 дано сравнение данных, приведенных в работе , с получаемыми по предлагаемой аппроксимации: 1 - табличные значения ; 2 - расчет по данной методике; 3 - отклонение, %.

Таблица 2 - Сравнение аппроксимирующих и табличных значений

Видно, что отличие результатов расчета по аппроксимации от табличных значений с практической точки зрения вполне допустимо.

5 Пример расчета

Применение предложенной аппроксимации проиллюстрируем на примере расчета параметров траектории снаряда линкора «Бисмарк», который был проведен автором при математическом моделировании обстрела английского линейного крейсера «Худ» 24 мая 1941 г. Подробное описание «дуэли» двух выдающихся кораблей приведено в .

В работе читаем: «…коэффициент формы i следует рассматривать как параметр, позволяющий согласовывать результаты теоретических расчетов с опытными данными. Например, пусть на основании стрельб снарядами определенного типа при фиксированных значениях начальной скорости и угла бросания найдена опытная дальность стрельбы Х. …По величинам Х , и можно определить коэффициент формы снаряда i . Если расчет траектории проводить с использованием коэффициента , удовлетворяющего выражению при тех же значениях и , то получим дальность стрельбы, совпадающую с опытной. Этот способ применяется для определения коэффициента формы при составлении таблиц стрельбы для конкретного орудия».

Соответствующие вычисления проводят, используя известную систему уравнений, описывающих движение снаряда как материальной точки :

где - угол наклона касательной к траектории (вектора скорости) относительно горизонта.

Именно так был определен коэффициент i для снарядов «Бисмарка», На линкоре были установлены восемь 380-мм орудий (по два в каждой из четырех башен) 38cm /52 SK C /34. Известно, что максимальная дальность 35 550 м достигается при массе снаряда 800 кг, дульной скорости 820 м/с и угле возвышения . Методом подбора, пользуясь соответствующей программой численного решения системы (9), было определено и .

В работе приведены параметры траектории при стрельбе с различными углами возвышения; в таблице 3 дается сравнение этих данных с результатами расчета, полученными с помощью закона Сиаччи при (в знаменателе). Расхождение между этими данными составляет единицы и доли процента. Закон Сиаччи был использован, поскольку расчеты, проведенные немцами, могли быть получены только с помощью именно этого закона. Это подтверждается сведениями в статье , в которой представлены результаты расчетов внешней баллистики «Бисмарка», выполненные в 1939-1940 гг. во время достройки линкора на судоверфи «Блом и Фосс» . Данные результаты также представлены и в графической форме на Интернет-сайте линейного крейсера «Худ» .

Таблица 3 - Сравнение данных с результатами расчета по предлагаемой методике

Расхождение между требуемыми значениями угла возвышения , а также конечными параметрами траектории невелико. Ближе всего к немецким данным результаты расчета по закону Сиаччи, что свидетельствует об использовании именно этого закона. Коэффициент формы для закона 1943 г. несколько меньше единицы, т.е. снаряды «Бисмарка» имели «более дальнобойную» форму по сравнению с эталонными снарядами, использованными при получении закона 1943 г.

Заключение

Основные результаты работы сводятся к следующему.

1) Рассмотрена возможность приведения закона сопротивления воздуха 1943 г., принятого в России как основного при расчете траекторий артиллерийских снарядов, к закону Сиаччи. Достоинством последнего является непрерывная зависимость от скорости снаряда, однако данный закон получен для устаревших, тупоголовых снарядов и не может быть непосредственно использован при расчете современных, т.е. дальнобойных, снарядов.

2) Корректирующий множитель предложен в виде аналитической аппроксимации последовательности дискретных коэффициентов согласования, представляющей собой непрерывную функцию числа Маха. Благодаря применению предлагаемой аппроксимации упрощается вычисление параметров траектории на ЭВМ.

3) Показано, что отличие результатов расчета по предложенной методике от табличных значений не превышает допустимое с практической точки зрения.

4) Приведен пример использования предложенной аппроксимации.

Список литературы

1. Ефремов А.К. Реконструкция проектирования сверхдальнобойного орудия - «Парижской пушки» // Известия РАРАН. 2010. Вып.3(65). С. 105-116.

2. Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н. Внешняя баллистика: учеб. для вузов. 4-е изд. М.: Машиностроение, 2005. 608с.

3. Вентцель Д.А., Окунев Б.Н., Шапиро Я.М. Внешняя баллистика. Ч. I . Л.: Арт. акад. им. Ф.Э.Дзержинского, 1933.

4. Шапиро Я.М. Внешняя баллистика. М.: Оборонгиз, 1946.

5. Гантмахер Ф.Р., Левин М.А. Теория полета неуправляемых ракет. М.: Физматгиз, 1959. 360с.

6. Правдин В.М., Шанин А.П. Баллистика неуправляемых летательных аппаратов. Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 1999. 496с.

7. Ефремов А.К. Автономные информационные и управляющие системы. В 4 т. Т. 4 / Под ред. А.Б. Борзова. М.: ООО НИЦ «Инженер», ООО «Онико-М», 2011. 330 с.

8. Мюлленгейм-Рехберг Б.Б., фон. Линкор «Бисмарк»: пер. с англ. / под ред. А.К. Ефремова. М.: Эксмо, 2006.

9. Баллистика ствольных систем / РАРАН; под ред. Л.Н. Лысенко и А.М. Липанова. М.: Машиностроение, 2006.

10. Campbell J. Naval Weapons of World War Two. London: Conway Maritime Press, 2002.

11. Jurens W.J. The Loss of HMS Hood - a Re-Examination // Warship International. 1987. Vol. 24, no 2. P. 122-180.

12. Obercommando der Kriegsmarine, Unterlagen und Richtlinien zur Bestimmung der Hauptkampfentfernung und der Geschoswahl. Berlin. 1940.

Георгий Александров

При падении в воздухе тело движется под действием двух сил: постоянной силы земного притяжения, направленной вертикально вниз, и силы сопротивления воздуха, увеличивающейся по мере падения и направленной вертикально вверх. Равнодействующая силы тяжести и силы сопротивления воздуха равна их разности и в начале падения направлена вниз.

Сила сопротивления вызывается, во-первых, трением воздуха о поверхность тела и, во-вторых, изменением движения потока, вызванным телом. В воздушном потоке, измененном присутствием тела, давление на передней стороне тела растет, а на задней - понижается по сравнению с давлением в невозмущенном потоке. Таким образом, создается разность давлений, тормозящая движущееся тело или увлекающая тело, погруженное в поток. Движение воздуха позади тела принимает беспорядочный вихревой характер.

Легко убедиться в том, что сопротивление воздуха существенно влияет на характер падения тел. Если одновременно выпустить из рук камень и кусок ваты примерно одинакового объёма, то камень упадёт на Землю быстро, в то время как вату будет опускать гораздо медленнее. Если же сказать из этого куска ваты плотный шарик, то скорость его падения увеличиться. Аналогичную ситуацию можно наблюдать и при падении двух одинаковых листов бумаги, один из которых смят в комок – он упадёт быстрее.

Во многих случаях сопротивление воздуха оказывает незначительное влияние на падение тел и им можно пренебречь. Но если падение происходит с очень большой высоты то сопротивление воздуха будет оказывать заметное влияние на падение даже очень тяжёлых тел.

Для небольших твёрдых тел сопротивление воздуха у поверхности Земли невелико. Но если пронаблюдать за падением лёгких тел большого объёма, то можно заметить, что они движутся равноускоренно и очень недолго. При падении скорость таких тел постепенно возрастает, но одновременно растёт и действующая на эти тела сила сопротивления воздуха. Это продолжается до тех пор, рока, сила сопротивления воздуха не уравновесит силу тяжести. В этот момент рост скорости прекратиться, и тело будет падать дальше с постоянной скоростью, т. е. равномерно. Такую скорость можно назвать предельной скоростью падающего тела.

Значение этой скорости зависит от размеров, формы и массы тел. Лёгкие капельки воды, пылинки пушинки, достигают предельной скорости очень быстро, пролетев немногим больше пяти метров, - и с этой установившейся скоростью опускается дальше уже равномерно. Скорость капель дождя у поверхности Земли обычно составляет 7-8 м/с; чем меньше капля, тем меньше и скорость ее падения; если бы капли дождя падали в безвоздушном пространстве, то при падении на землю с высоты 2 км они достигали бы, независимо от их размеров, скорости 200 м/с; такой же скорости при падении с той же высоты в безвоздушном пространстве достигло бы и всякое другое тело. При такой скорости удары капель дождя были бы весьма неприятны! Для парашютиста в затяжном прыжке предельная скорость составляет примерно 50 м/с, а при раскрытом парашюте предельная скорость парашютиста снижается до 5-6 м/с.

Различие в предельной скорости разных тел одинаковой формы, но разных размеров объясняется зависимостью сопротивления среды от размеров тела. Оказывается, что сопротивление приблизительно пропорционально поперечным размерам тела. Диск, шар и сигарообразное тело одинакового поперечного сечения при одной и той же скорости падения будут испытывать совершенно разные по величине действия сил сопротивления воздуха: для диска оно будет в 25, а для шарика – в 5 раз больше, чем для сигарообразного тела.

Поэтому различным телам, в зависимости от их назначения, придают соответствующую форму: авиационным бомбам придают специальную обтекаемую форму, при которой сопротивление воздуха мало; делается это с той целью, чтобы бомба достигала земли с возможно большей скоростью и лучше пробивала препятствия (блиндаж, палубу корабля и т. д.). Наоборот, парашютист должен достигать земли с небольшой скоростью. Поэтому парашюту придают такую форму, при которой сопротивление воздуха его движению было бы возможно больше. Предельная скорость падения человека с раскрытым парашютом составляет 5-7 м/сек. Достижение предельной скорости парашютистом происходит иначе, чем при простом падении тела. Вначале парашютист падает с закрытым парашютом и, ввиду малого сопротивления воздуха, достигает скорости в десятки метров в секунду. При раскрытии парашюта сопротивление воздуха резко возрастает и, превосходя во много раз силу тяжести, замедляет падение до предельной скорости.

Сопротивление воздуха несколько меняет характер движения.При движении тела вверх и сила земного притяжения, и сила сопротивления воздуха направлены вниз. Поэтому скорость тела убывает быстрее, чем при отсутствии сопротивления воздуха. Поэтому скорость такого тела уменьшается до нуля на высоте, меньше той, на которую бы тело поднялось в отсутствие сопротивления воздуха. При последующем падении сопротивление замедляет нарастание скорости тела, и поэтому тело возвращается на Земля не с той скоростью, с которой оно было брошено, а с меньшой. Поэтому время подъёма вверх в реальных условиях меньше времени падения.

Влияние сопротивления воздуха на характер движения тел особенно велико при больших скоростях. Так, пуля, вылетевшая из ружья вертикально вверх со скоростью 600 м/с, могли бы достичь при отсутствии сил сопротивления воздуха почти 18-километровой высоты, но на самом дело взлетает «всего» на 2-3 км.

D = 1/2(р x cd x A x V 2 )

D - сопротивление воздуха;
р - (произносится "ро") - плотность воздуха;
А - площадь сечения;
cd - коэффициент сопротивления;
V - скорость воздуха.