Storia e definizione di parte intera e frazionaria di un numero

Durante il Medioevo visse qui uno dei più grandi scienziati inglesi, il monaco francescano Guglielmo di Ockham. Nacque a Ockham, la contea inglese del Surrey, tra il 1285 e il 1300, e studiò e insegnò a Oxford e poi a Parigi. Perseguitato a causa dei suoi insegnamenti, Ockham trovò rifugio alla corte di Luigi.IVbavarese a Monaco e, saggiamente non lasciandolo, visse lì fino alla sua morte nel 1349.

Ockham è considerato uno dei predecessori dei grandi pensatori René Descartes e Immanuel Kant. Secondo le sue visioni filosofiche, la realtà è l’esistenza di una cosa concreta, quindi “è vano fare con di più ciò che si può fare con di meno”. Questa affermazione divenne la base del principio dell'economia del pensiero. William Ockham lo usò con una forza così devastante che in seguito ricevette il nome ormai così popolare di “rasoio di Occam”.

Per molte persone che non sono brave in matematica, luogo comune divennero domande come “Cos’altro si può scoprire in matematica?” Considerando la preparazione matematica di chi chiede, possiamo supporre che si parli solo di matematica di livello scolastico. Nello spirito di Ockham, offriamo agli interroganti, e prima di tutto agli studenti stessi, alcuni compiti che variano i concetti di parte intera e frazionaria di un numero a loro ben noti. Utilizzando questi problemi, mostreremo quanto sia importante considerare non ciascun problema separatamente, ma combinarli in un sistema, sviluppando un algoritmo di soluzione generale. Questa tecnica metodologica ci detta il principio di economia del pensiero di Ockham.

Definizione: la parte intera di un numero x è il più grande intero c che non supera x, cioè se [x] = c,C ≤ X < C + 1.

Per esempio: = 2;

[-1,5] = -2.

È indicata tutta la parte numero reale x con il simbolo [x] o E(x).

Il simbolo [x] fu introdotto dal matematico tedesco K. Gauss (1771-1855) nel 1808 per denotare la parte intera del numero x.

La funzione y = [x] è chiamata funzione “Antje” ( fr. entier - intero) ed è indicato con E(x). Questo segno fu proposto nel 1798 dal matematico francese A. Legendre (1752-1833). Utilizzando alcuni valori della funzione, puoi costruire il suo grafico. Sembra questo:

Le proprietà più semplici della funzione y = [x]:

1. Il dominio di definizione della funzione y = [x] è l'insieme di tutti i numeri reali R.

2. L'intervallo della funzione y = [x] è l'insieme di tutti i numeri interi Z.

3. La funzione y = [x] è costante a tratti.

4. La funzione y = [x] non è decrescente, cioè per qualsiasi x 1 e x 2 da R tale,

che x 1 ≤ x 2 ,la disuguaglianza [ x1] ≤ [x2].

5. Per ogni intero ne ogni numero reale x vale la seguente uguaglianza: = [x] + n.

6. Se x ─ è un numero reale non intero, allora vale la seguente uguaglianza: [-x] = -[x] - 1.

7. Per ogni numero reale x vale la seguente relazione:

[x] ≤ x< [x] + 1,причём равенство [x] = x достигается тогда и только тогда, когда х ─ intero, cioè x Z.

Sorge la domanda: "Se esiste una funzione per la parte intera di un numero, forse esiste anche una funzione per la parte frazionaria del numero?"

Definizione: la parte frazionaria del numero (indicata con (x)) è la differenza x - [x].

Per esempio: {3,7} = 0,7

{-2,4} = 0,6.

Tracciamo la funzione y = (x). Sembra questo:

Le proprietà più semplici della funzione y = (x):

1. Il dominio di definizione della funzione y = (x) è l'insieme di tutti i numeri reali R.

2. L'intervallo di valori della funzione y = (x) è un semiintervallo e y = (x) ti aiuterà a completare alcune attività.

COMPITI:

1) Costruisci grafici di funzioni:

UN) sì = [ X ] + 5;

b) y = (x) - 2;

c) y = |[ X]|.

2) Quali potrebbero essere i numeri xey se:

a) [x + y] = y;

b) [x - y] = x;

c) (x-y) = X;

d) (x + y) = y.

3) Cosa si può dire sull'entità della differenza x - y se:

a) [x] = [y];

b) (x) = (y).

4) Quale è maggiore: [a] o (a)?

2.1. Le equazioni più semplici

Le equazioni più semplici includono equazioni della forma [x] = a.

Equazioni di questo tipo si risolvono per definizione:

a ≤ x< а +1 , где а - целое число.

Se a è un numero frazionario, tale equazione non avrà radici.

Diamo un'occhiata ad una soluzione di esempio una di queste equazioni:

[X + 1.3] = - 5. Per definizione, tale equazione si trasforma in disuguaglianza:

5 ≤ x+1.3< - 4. Решим его. Получим -6,3 ≤ х < - 5,3.

Questa sarà la soluzione dell'equazione.

Risposta: x [-6,3;-5,3).

Consideriamo un'altra equazione che appartiene alla categoria più semplice:

[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2

Per risolvere equazioni di questo tipo è necessario sfruttare la proprietà della funzione intera: Se p è un intero, allora l'uguaglianza è vera

[x±p] = [x]±p

Dimostrazione: x = [x] + (x)

[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± p

x = K+ a, dove K= [x], a = (x)

[ K + UN ± P ] = [ K + UN ] ± P= [x]± P.

Risolviamo l'equazione proposta utilizzando la proprietà comprovata: otteniamo [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. Portiamo termini simili e otteniamo l'equazione più semplice [x] = 6. La sua soluzione è il semiintervallo x = 1

Trasformiamo l'equazione in disuguaglianza: 1 ≤ x 2 -5x+6< 2. Двойное неравенство запишем в форме системы неравенств:

x2 - 5x + 6< 2,

x2 - 5x + 6 ≥ 1 e risolvilo;

x2 - 5x + 4<0,

x2 - 5x + 5>0

Otteniamo x (1;4)

X (-∞;(5 -
)/2]
[(5 +)/2; +∞),

X (1; (5 - )/2]
[(5 +)/2;4).

Risposta: x (1; (5 - )/2]
[(5 +)/2;4).

RISOLVI DA SOLO LE EQUAZIONI PROPOSTE:

1) = 1

2) = 0,487

3) [ X + 4] – [ X + 1] = 2

4) [x2] = 4

5) [ X] 2 = 4

6) [ X + 1,3] = - 5

7) [x2 – X + 4] = 2

8) = - 1

9) = 4,2

10) (x) – [x] + x = 0

11) x + (x) + [x] = 0

12) [4x – 5] = 7

2.2 Risoluzione di equazioni della forma [ F ( X )]= G ( X )

Equazione della forma [ F(X)]= G(X) possono essere risolti riducendoli all'equazione

[ X] = UN.

Consideriamo Esempio 1 .

Risolvi l'equazione

Sostituiamo la parte destra dell'equazione con una nuova variabileUNed esprimiamoci da quiX

11 UN = 16 X + 16, 16 X = 11 UN – 16,

Poi
=
=

Ora risolviamo l'equazione
rispetto alla variabileUN .

Espandiamo il segno della parte intera per definizione e scriviamolo utilizzando il sistema di disuguaglianze:

Di mezzo
seleziona tutti i valori interiUN: 3;4;5;6;7 ed eseguire la sostituzione inversa:

Risposta:

Esempio 2.

Risolvi l'equazione:

Dividi ogni termine del numeratore tra parentesi per il denominatore:

E

Dalla definizione di parte intera di un numero segue che (a+1) deve essere un numero intero, il che significa che a è un numero intero.Numeri a, (a+1), (a+2) - trenumeri consecutivi, il che significa che uno di essi deve essere divisibileper 2 e uno per 3. Pertanto, il prodotto dei numeri è divisibilefino a 6.

Questo ènumero intero. Significa

Risolviamo questa equazione.

a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0

(a+1)(a(a+2) - 6) = 0

a + 1 = 0 oppure a 2 + 2a – 6 = 0

a = -1 D = 28

UN= -1±
(non sono numeri interi).

Risposta 1.

Risolvi l'equazione:

2.3. Metodo grafico per risolvere equazioni

Esempio 1.[x] = 2(x)

Soluzione. Risolviamo graficamente questa equazione. Tracciamo le funzioni y = [x] e y = 2(x). Troviamo le ascisse dei loro punti di intersezione.

Risposta: x = 0; x = 1,5.

In alcuni casi è più conveniente utilizzare un grafico per trovare le ordinate dei punti di intersezione dei grafici. Quindi sostituisci il valore risultante in una delle equazioni e trova i valori x desiderati.

Risolvi graficamente le equazioni:

(x) = 1 – x; 6) [|x|] = x;

(x) + 1 = [x]; 7) [|x|] = x + 4;

3x; 8) [|x|] = 3|x| - 1;

3(x) = x; 9) 2(x) – 1 = [x] + 2;

5) (x) = 5x + 2; 10) Quante soluzioni fa

equazione 2(x) = 1 - .

2.4. Risolvere equazioni introducendo una nuova variabile.

Diamo un'occhiata al primo esempio:

(X) 2 -8(x)+7 = 0

Sostituisci (x) con a, 0 UN< 1, получим простое equazione quadrata

UN 2 - 8a + 7 = 0, che risolviamo utilizzando il teorema inverso al teorema di Vieta:Le radici risultanti sono a = 7 e a = 1. Facciamo la sostituzione inversa e otteniamodue nuove equazioni: (x) = 7 e (x) = 1. Entrambe queste equazioni non hanno radici.Pertanto, l’equazione non ha soluzioni.

Risposta: non ci sono soluzioni.

Consideriamo un altro caso risolvere l'equazione introducendone una nuova

variabile:

3[x] 3 +2[x] 2 + 5[x]-10 = 0

Facciamo la sostituzione [x] = a, az. e otteniamo una nuova equazione cubicaDietro 3 +2a 2 +5a-10=0. Troviamo la prima radice di questa equazione selezionando:a=1 è la radice dell'equazione. Dividiamo la nostra equazione per (a-1). Noi abbiamoequazione quadratica 3a 2 +5a+10=0. Questa equazione ha un negativodiscriminante, cioè non ha soluzioni. Cioè a=1 è l'unicoradice dell'equazione. Eseguiamo la sostituzione inversa: [x]=a=1. Risolviamo l'equazione risultante definendo la parte intera di un numero: x 2 +8[x]-9 = 0

3(x-[x]) 2 + 2([x]-x)-16 = 0

[X] 4 -14[x] 2 +25 = 0

(2 (x)+1) 3 – (2(x)-1) 3 = 2

(x-[x]) 2 = 4

5[x] 2 -7[x]-6 = 0

6(x) 2 +(x)-1 =0

1/([x]-1) - 1/([x]+1) = 3-[x]

12(x) 3 -25(x) 2 +(x)+2 = 0

10) 10[x] 3 -11[x] 2 -31[x]-10 = 0

2.5. Sistemi di equazioni.

Consideriamo il sistema di equazioni:

2[ X] + 3[ sì] = 8,

3[ X] – [ sì] = 1.

Può essere risolto sia per addizione che per sostituzione. Concentriamoci sul primo metodo.

2[ X] + 3[ sì] = 8,

9[ X] – 3[ sì] = 3.

Dopo aver sommato le due equazioni otteniamo 11[X] = 11. Quindi

[ X] = 1. Sostituisci questo valore nella prima equazione del sistema e ottieni

[ sì] = 2.

[ X] = 1 e [ sì] = 2 – soluzioni del sistema. Questo èX= 18 anni

18-xy

3) 3[x] – 2(y) = 6

[X] 2 – 4(y) = 4

4) 3(x) – 4(y) = -6

6(x) – (y) 2 = 3.

3.1. Tracciare grafici di funzioni del modulo sì = [ F ( X )]

Sia un grafico della funzione y =F(X). Per tracciare la funzione y = [F(X)], procedi come segue:

Disegna linee rette y =N, NN, y =N + 1.

N, y =N+ 1 con il grafico della funzione y =F(X). Questi punti appartengono al grafico della funzione y = [F( X)], poiché le loro ordinate sono numeri interi (nella figura si tratta dei punti A, B, C,D).

Tracciamo la funzione y = [x]. Per questo

Disegna linee rette y =N, N= 0; -1; +1; -2; +2; ...e consideriamo una delle strisce formate dalle rette y=N, y =N + 1.

Segniamo i punti di intersezione delle linee y =N, y =N+ 1 con orario

funzioni y = [x]. Questi punti appartengono al grafico della funzione y = [x],

poiché le loro coordinate sono numeri interi.

Per ottenere i restanti punti del grafico della funzione y = [x] nella striscia indicata, proiettiamo la parte del grafico y = x che cade nella striscia parallela all'asse O A alla retta y =N, y =N+ 1. Poiché qualsiasi punto M di questa parte del grafico della funzionesì = X, ha la seguente ordinatasì 0 , Che cosaN < sì 0 < N+ 1, quindi [sì 0 ] = N

In ogni altra striscia in cui sono presenti punti sul grafico della funzione y = x, la costruzione viene eseguita in modo simile.

COMPITI PER UNA SOLUZIONE INDIPENDENTE

Rappresentare graficamente le funzioni:

3.2. Tracciare grafici di funzioni del modulo sì = F ([ X ])

Sia dato il grafico di una qualche funzione y =F(X). Tracciare un grafico della funzione y =F([x]) viene effettuata come segue:

Per ottenere i restanti punti del grafico della funzione y =F([x]) nella parte di banda indicata del grafico della funzione y =F(x) che cade in questa striscia viene proiettato parallelamente all'asse O A alla retta y =F( N).

In ogni altra striscia in cui sono presenti punti sul grafico della funzione y =F(x), la costruzione viene eseguita in modo simile.

Consideriamo di tracciare la funzione y = . Per fare ciò, disegneremo un grafico della funzione y = con una linea tratteggiata. Ulteriore

numeri.

3. In ogni altra striscia, dove sono presenti punti sul grafico della funzione y =, la costruzione viene eseguita in modo simile.

COMPITI PER UNA SOLUZIONE INDIPENDENTE

Rappresentare graficamente le funzioni:

Chiamiamo le seguenti relazioni le principali disuguaglianze con [x] e (x): [x] > B e (x) > B. Un metodo conveniente per risolverli è il metodo grafico. Spieghiamolo con due esempi.

Esempio 1.[x] ≥ B

Soluzione. Introduciamo due funzioni y = [x] ey =Be disegnano i loro grafici sullo stesso disegno. È chiaro che allora bisogna distinguere due casi:B– intero e B– non intero.

Caso 1. B- Totale

y=b(bZ)

y=b (b Z)

La figura mostra che i grafici coincidono su [B; B + 1].

Pertanto, risolvendo la disuguaglianza [x] ≥B ci sarà una trave x ≥ B.

Caso 2. B– non intero.

In questo caso, i grafici delle funzioni y = [x] ey =Bnon si intersecano. Ma la parte del grafico y = [x] che si trova sopra la retta inizia nel punto con coordinate ([B] + 1; [ B]+1). Quindi, risolvendo la disuguaglianza [x] ≥B ci sarà un raggio x ≥ [ B] + 1.

Altri tipi di disuguaglianze di base vengono studiati esattamente allo stesso modo. I risultati di questi studi sono riassunti nella tabella seguente.

Significati multipli

[X]≥ b, bZ

X≥ B

[x] ≥B,

[x]>B, B- Qualunque

X≥ [b] + 1

[X]≤ B, B- qualsiasi [x]< B, B- qualunque qualunque

X< [ B] + 1

[X]< b, bZ

X< B

{ X)≥ B, (x) >B, B≥ 1

Nessuna soluzione

(X)≥ B, (x) >B, B < 0

(-∞; +∞)

(X)≥ B, (X)> B, 0 ≤ B< 1

n+b≤ X< 1+n

n+b< X< 1 + n, nZ

{ X) ≤ B, (X)< B, B≥ 1

(-∞; +∞)

(X) ≤ B, (X)< B, B< 0

Nessuna soluzione

(X) ≤ B, (X)< B, 0 ≤ B<1

N≤ X≤ B+ N

N< X≤ B+ N, NZ

Consideriamoesempio soluzioni alla disuguaglianza:

Sostituiamo [X] alla variabile a, dove a è un numero intero.

>1 ;
>0;
>0;
>0.

Utilizzando il metodo dell'intervallo, troviamoUN > -4 [ X] > -4

UN< 1/3 [x]< 1/3.

Per risolvere le disuguaglianze ottenute, utilizziamo la tabella compilata:

x≥ -3,

X< 1. x [-3;1)

Risposta:[-3;1) .

COMPITI PER UNA SOLUZIONE INDIPENDENTE.

1) [x]< 2

2) [x]≤ 2

3) [x] > 2,3

4) [x] 2

5) [X] 2 -5[x]-6< 0

6) [x] 2 -7[x] + 6 0

7) 30[x] 2 -121[x] + 80< 0

8) [x] 2 + 3[x]-4 0

9) 3(x) 2 -8(x)-4< 0

10) 110[x] 2 -167[x] + 163 0

11)
> 2

12)
> 1

13)
0

14)
0

Esempio 1.

Dimostrare che il numero
divisibile per 5 per qualsiasi naturaleN.

Dimostrazione: LetN– un numero pari, cioèN=2 M, DoveMN, Esempio 2. , quindi (anni).

Voronova A.N. Disuguaglianze con variabile sotto il segno della parte intera // Matematica a scuola. 2002. N. 2. P.56-59.

Galkin E.V. Problemi non standard in matematica. Algebra: libro di testo. manuale per gli studenti delle classi 7-11. Čeljabinsk: “Vzglyad”, 2004.

Capitoli aggiuntivi sul corso di matematica del 10° anno per le classi opzionali: Un manuale per gli studenti / Comp. DIETRO. Eunuco. M.: Educazione, 1979.

Erovenko V.A., O.V. Mikhaskova O.V. Il principio metodologico di Occam usando l'esempio delle funzioni delle parti intere e frazionarie di un numero // Matematica a scuola. 2003. N. 3. P.58-66.

7. Kirzimov V. Risoluzione di equazioni e disequazioni contenenti un numero intero e

parte frazionaria di un numero // Matematica. 2002.№30. pp. 26-28.

8. Shreiner A.A. “Compiti delle olimpiadi matematiche regionali

Regione di Novosibirsk". Novosibirsk 2000.

9. Directory “Matematica”, Mosca “AST-PRESS” 1997.

10. Reichmista R.B. “Grafici di funzioni. Compiti ed esercizi." Mosca.

“Scuola – stampa” 1997.

11. Mordkovich A.G., Semenov P.V. e altri. “L'algebra e gli inizi dell'analisi. 10

Classe. Parte 2. Libro dei problemi. Livello di profilo" Smolensk

"Mnemosine" 2007.

Obiettivi della lezione: introdurre gli studenti al concetto di parte intera e frazionaria di un numero; formulare e dimostrare alcune proprietà della parte intera di un numero; introdurre gli studenti a un'ampia gamma di usi delle parti intere e frazionarie di un numero; migliorare la capacità di risolvere equazioni e sistemi di equazioni contenenti parti intere e frazionarie di un numero.

Attrezzatura: poster “Chi fa e pensa da solo fin dalla giovane età diventa più affidabile, più forte, più intelligente” (V. Shukshin).
Proiettore, lavagna magnetica, libro di consultazione di algebra.

Piano di lezione.

1. Organizzare il tempo.
2. Controllo dei compiti.
3. Imparare nuovo materiale.
4. Risolvere problemi sull'argomento.
5. Riepilogo della lezione.
6. Compiti a casa.

Durante le lezioni

I. Punto organizzativo: messaggio sull'argomento della lezione; stabilire l'obiettivo della lezione; messaggio delle fasi della lezione.

II. Controllo dei compiti.

Rispondi alle domande degli studenti su compiti a casa. Risolvere i problemi che hanno causato difficoltà nello svolgimento dei compiti.

III. Imparare nuovo materiale.

In molti problemi di algebra, devi considerare il più grande intero che non supera un dato numero. Un tale numero intero ha ricevuto un nome speciale "parte intera di un numero".

1. Definizione.

La parte intera di un numero reale x è il più grande intero non superiore a x. La parte intera del numero x si indica con il simbolo [x] o E(x) (dal francese Entier “antier” ─ “intero”). Ad esempio, = 5, [π ] = 3,

Dalla definizione segue che [x] ≤ x, poiché la parte intera non supera x.

D'altra parte, perché [x] è il più grande intero che soddisfa la disuguaglianza, quindi [x] +1>x. Pertanto, [x] è un numero intero definito dalle disuguaglianze [x] ≤ x< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.

Il numero α = υ ─ [x] è chiamato parte frazionaria del numero x ed è indicato (x). Allora abbiamo: 0 ≤ (x)<1 и следовательно, х = [x] + {х}.

2. Alcune proprietà dell'antie.

1. Se Z è un numero intero, allora = [x] + Z.

2. Per qualsiasi numero reale xey: ≥ [x] + [y].

Dimostrazione: poiché x = [x] + (x), 0 ≤ (x)<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.

Se 0 ≤ α<1. ς о = [x] + [у].

Se 1≤ α<2, т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и

= [x] + [y]+1>[x] + [y].

Questa proprietà si estende a qualsiasi numero finito di termini:

≥ + + + … + .

La capacità di trovare la parte intera di una quantità è molto importante nei calcoli approssimativi. Infatti, se sappiamo trovare la parte intera del valore x, allora, prendendo [x] o [x]+1 come valore approssimativo del valore x, commetteremo un errore il cui valore non è maggiore di uno , Da

≤ x – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.

Inoltre, il valore della parte intera della quantità consente di ricavarne il valore con una precisione di 0,5. Per questo valore puoi prendere [x] + 0,5.

La capacità di trovare la parte intera di un numero ti consente di determinare questo numero con qualsiasi grado di precisione. Infatti, da allora

≤ Nx ≤ +1, allora

Per N maggiori l'errore sarà piccolo.

IV. Risoluzione dei problemi.

(Si ottengono estraendo le radici con una precisione di 0,1 con carenza ed eccesso). Aggiungendo queste disuguaglianze, otteniamo

1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.

Quelli. 3.1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.

Si noti che il numero 3,25 differisce da x non più di 0,15.

Compito 2. Trova il più piccolo numero naturale m per il quale

La verifica mostra che per k = 1 e k = 2 la disuguaglianza risultante non vale per nessun m naturale, e per k = 3 ha una soluzione m = 1.

Ciò significa che il numero richiesto è 11.

Risposta: 11.

Antje nelle Eq.

Risolvere equazioni con una variabile sotto il segno della “parte intera” di solito si riduce alla risoluzione di disuguaglianze o sistemi di disuguaglianze.

Compito 3. Risolvi l'equazione:

Compito 4. Risolvi l'equazione

Per la definizione di parte intera, l'equazione risultante è equivalente alla doppia disuguaglianza

Compito 5. Risolvi l'equazione

Soluzione: se due numeri hanno la stessa parte intera, allora la loro differenza in valore assoluto è inferiore a 1, e quindi la disuguaglianza segue da questa equazione

E quindi, in primo luogo, X≥ 0, e in secondo luogo, nella somma al centro della doppia disuguaglianza risultante, tutti i termini, a partire dal terzo, sono uguali a 0, quindi X < 7 .

Poiché x è un numero intero, non resta che controllare i valori da 0 a 6. Le soluzioni dell'equazione sono i numeri 0,4 e 5.

c) marcatura.

VI. Compiti a casa.

Compito aggiuntivo (facoltativo).

Qualcuno ha misurato la lunghezza e la larghezza di un rettangolo. Moltiplicò tutta la parte della lunghezza per tutta la parte della larghezza e ottenne 48; moltiplicò l'intera parte della lunghezza per la parte frazionaria della larghezza e ottenne 3,2; moltiplicato la parte frazionaria della lunghezza per la parte intera della larghezza e ottenuto 1,5. Determina l'area del rettangolo.

giorni (mesi, anni) ore (minuti, secondi)

Il tipo di separatore tra gli elementi della data è determinato dalle impostazioni locali del sistema operativo Windows. Nella versione russa, per gli elementi della data questo è solitamente un punto (se si utilizzano le icone “–” o “/” durante l'immissione, verranno convertiti in punti anche dopo aver premuto il tasto Invio); per gli elementi temporali è i due punti. I giorni sono separati dalle ore da uno spazio.

L'unità di tempo di base in Excel è un giorno. Ogni giorno ha un numero di serie, che inizia con 1, che corrisponde al 1 gennaio 1900 (l'inizio del conteggio della data in Excel). Ad esempio, 1 gennaio 2001 memorizzato come numero 36892, poiché è il numero di giorni trascorsi dal 1 gennaio 1900. Il metodo descritto di memorizzazione delle date consente di elaborarle esattamente allo stesso modo dei numeri ordinari, ad esempio per trovare una data che è distante da qualsiasi altra data del numero desiderato di giorni nel futuro o nel passato, per trovare l'ora intervallo tra due date, ad es. implementare l'aritmetica della data.

I formati della data consentono di visualizzarli, ad esempio, in una delle solite visualizzazioni: 1.01.98; 1.Gen.98; 1 gennaio; Gennaio '98 e verrà descritto più avanti. C'è da dire che se si inseriscono i dati direttamente sotto forma di data, in automatico verrà assegnato il formato appropriato. Quindi, il valore inserito nella cella 5.10.01 verrà correttamente percepita dal sistema come 5 ottobre 2001. Quando si immettono le date, sono consentite solo le ultime due cifre dell'anno. In questo caso vengono interpretati come segue a seconda dell'intervallo in cui si trovano:

00¸29– dal 2000 al 2029; 30¸99– dal 1930 al 1999

È consentito non indicare l'anno della data. In questo caso viene considerato l'anno corrente (anno di sistema del computer). Quindi, inserisci mi piace 5.10 metterà nella gabbia il 5 ottobre dell'anno in corso, ad esempio il 2004.

Il tempo è la parte frazionaria della giornata. Poiché in un giorno ci sono 24 ore, un'ora corrisponde a 1/24, 12 ore corrispondono a un valore di 0,5, ecc. Analogamente all'inserimento di una data, è possibile inserire l'ora direttamente nel formato ora. Ad esempio, inserendo il modulo 10:15:28 corrisponderà a 10 ore 15 minuti 28 secondi il 0 gennaio 1900, che in formato numerico è pari a 0,420138888888889. L'aritmetica della data è, ovviamente, supportata a livello temporale.

Puoi ignorare i secondi e i minuti quando specifichi l'ora. In quest'ultimo caso è necessario inserire i due punti dopo le ore. Ad esempio, se inseriamo i caratteri 6: , nella cella troveremo 6:00 (ovvero 6 ore e 0 minuti). È possibile abbinare data e ora, separate da uno spazio. Sì, inserisci 7.2.99 6:12:40 corrisponde al 7 febbraio 1999, 6 ore 12 minuti e 40 secondi.

Esiste un modo rapido per inserire la data e l'ora correnti memorizzate sul computer: queste sono le scorciatoie da tastiera Ctrl+; E Ctrl+Maiusc+: rispettivamente.

DATI LOGICI hanno uno dei due significati - VERO O MENZOGNA. Vengono utilizzati come indicatori della presenza/assenza di qualsiasi caratteristica o evento e possono anche essere argomenti per alcune funzioni. In molti casi è possibile utilizzare rispettivamente i numeri 1 o 0 al posto di questi valori.

ARRAY non sono in realtà un tipo di dati, ma formano solo un insieme organizzato di celle o costanti di qualsiasi tipo. Excel tratta un array (possibilmente contenente molte celle) come un singolo elemento a cui generalmente è possibile applicare operazioni matematiche e relazionali. Un array può contenere non solo molte celle, ma anche molte costanti, ad esempio l'espressione (7;-4;9) descrive un array di costanti di tre elementi numerici. Torneremo più avanti sulla questione dell'elaborazione degli array.

Creazione di formule

La potenza dei fogli di calcolo risiede nella capacità di inserirvi non solo dati, ma anche formule.

Tutte le formule devono iniziare con il segno “=" e possono includere costanti, segni di operazione, funzioni, indirizzi di cella (ad esempio =5+4/35, =12%*D4, =12*A4-SIN(D3)^2) .

In Excel sono validi i seguenti operatori:

Operatori aritmetici(elencati in ordine di priorità):

– inversione (moltiplicando per meno 1), ^ esponenziazione,

% è l'operazione percentuale, *, / moltiplicazione, divisione, +, – addizione, sottrazione.

Le operazioni vengono eseguite da sinistra a destra in ordine di priorità, che può essere modificato tra parentesi. Esempi di formule:

formule in notazione regolare: formule cellulari:

=7+5^3/(6*8)

=A5/(C7-4)+(4+F4)/(8-D5)*2,4

2 + SinD32 =2+(SIN(D3))^2.

Note sul segno %.

Se inserisci un numero con il segno % in una cella, il suo valore effettivo sarà 100 volte più piccolo. Ad esempio, se viene inserito 5%, verrà ricordato il numero 0,05. Pertanto, viene inserita la percentuale e il coefficiente viene memorizzato. Questa azione equivale a impostare il formato della cella percentuale su 0,05.

L'immissione di percentuali in una formula (ovvero in un'espressione che inizia con un segno di uguale) può essere utile per maggiore chiarezza. Diciamo che devi ottenere il 5% del numero 200. Puoi scriverlo in questo modo =0,05*200 oppure =5%*200 o =200*5%. In entrambi i casi il risultato sarà lo stesso: 10. Il segno di percentuale può essere applicato anche alle celle, ad esempio =E4%. Il risultato sarà un centesimo del contenuto di E4.

Operatore di testo–&. L'operatore viene utilizzato per concatenare due stringhe in una. Quindi, ad esempio, il risultato dell'applicazione dell'operatore di concatenazione nella formula = “Peter”&” Kuznetsov” sarà la frase “Peter Kuznetsov”.

Operatori relazionali:=, <, >, <=, >=, < >. Gli operatori possono essere utilizzati sia con dati numerici che di testo. Il loro significato è ovvio, tranne forse i segni < > . Significano un rapporto di disuguaglianza.

Utilizzando i segni di relazione, puoi creare formule come ="F">"D" e =3>8.

Il loro risultato nel primo caso sarà la parola VERO, poiché la lettera F viene dopo la lettera D nell'alfabeto (il codice della lettera F è maggiore del codice della lettera D). Nel secondo caso, per ovvi motivi, la parola è FALSO.

L'uso di tali formule nella pratica sembra essere di scarsa utilità, ma non è così. Supponiamo, ad esempio, che tu debba scoprire il fatto che tutti i numeri contenuti nella tabella nelle celle A1, A2, A3 e A4 sono maggiori di zero. Questo può essere fatto utilizzando una semplice espressione della forma (sono richieste le parentesi) =(A1>0)*(A2>0)*(A3>0)*(A4>0).

Se è davvero così, il risultato dei calcoli lo sarà

VERO*VERO*VERO*VERO=1*1*1*1=1.

Poiché nelle operazioni aritmetiche il valore logico VERO viene interpretato come 1 e FALSO come 0, qui otterremo il numero 1. Altrimenti - 0. Successivamente (all'interno della funzione IF()), questa circostanza può essere elaborata correttamente.

Un altro esempio. Scopri il fatto che solo uno tra A1, A2, A3, A4 è maggiore di zero. In questo caso è utile l'espressione =(A1>0)+(A2>0)+(A3>0)+(A4>0).

Se, ad esempio, solo A2 è maggiore di zero allora = FALSO + VERO + FALSO + FALSO = 0 + 1 + 0 + 0 = 1.

Se tutti i numeri sono negativi, il risultato sarà 0. Se c'è più di un numero positivo, il risultato sarà maggiore di 1 (da 2 a 4).

Commento. In Excel è possibile confrontare lettere e numeri tra loro ed è accettato che una lettera sia sempre “maggiore” di un numero. Quindi, ad esempio, il valore di una cella contenente uno spazio sarà maggiore di qualsiasi numero. Se non si presta attenzione a ciò, potrebbe verificarsi un errore difficile da riconoscere perché una cella contenente uno spazio appare uguale a una cella vuota il cui valore è considerato zero. Oltre agli operatori, Excel ha molte funzioni che costituiscono lo strumento informatico più importante dei fogli di calcolo. Questi saranno discussi nel capitolo 4.

I riferimenti alle celle possono essere inseriti direttamente dalla tastiera, ma possono essere specificati in modo più affidabile e veloce con il mouse, che viene utilizzato come puntatore. Qui è garantito l'inserimento corretto, poiché l'utente vede direttamente (gli oggetti selezionati sono incorniciati da una linea tratteggiata) e seleziona esattamente i dati che desidera includere nell'espressione.

Supponiamo di dover inserire una formula della forma =A2+D4·C1 nella cella A1. Qui (Fig. 2.4-1) dovresti eseguire la seguente catena di azioni:

Allo stesso modo, puoi includere collegamenti ai blocchi nelle formule. Supponiamo che in A1 sia necessario inserire la seguente funzione di somma (Fig. 2.4-2): =SOMMA(A2:D8;E3). Il nome della funzione è inserito in lettere russe e gli indirizzi delle celle, naturalmente, in latino.

La barra degli strumenti di Excel dispone di strumenti speciali che semplificano l'immissione delle formule. Sono accessibili tramite icone Procedura guidata delle funzioni E Somma automatica(per sommatoria).

Considerata la sua grande importanza, consideriamo ora quest'ultimo. La somma automatica è disponibile tramite il pulsante å sulla barra degli strumenti. Con il suo aiuto, puoi implementare molto facilmente la funzione di somma, praticamente senza toccare la tastiera. Sia (riga 2 in Fig. 2.4-3) dobbiamo calcolare nella cella G2 la somma delle celle adiacenti dell'area B2:F2. Per fare ciò, posizionati sulla cella G2 e fai clic sul pulsante di somma automatica. Excel stesso inserirà il nome della funzione e i suoi argomenti in G2 e evidenzierà anche l'area di somma prevista con una linea tratteggiata, quindi tutto ciò che devi fare è premere il pulsante Invio. Excel include (cerchi con una linea tratteggiata) nell'area di somma una sezione continua della tabella fino al primo valore non numerico in alto o a sinistra.

Supponiamo che in G4 sia necessario riassumere i dati dell'intervallo di celle B4:F4, tra le quali ci sono (per ora) quelle vuote. Facendo clic su un pulsante å nella cella G4 creerà una funzione di somma solo per le celle E4:F4. Tuttavia è semplice correggere la situazione selezionando immediatamente con il mouse l'area di sommatoria desiderata B4:F4 e premendo Invio. Se la cella in cui viene calcolata la somma non è adiacente alla parte superiore/sinistra di alcuna cella candidata alla somma (riga 6 nella figura), il pulsante Somma automatica inserirà solo il nome della funzione. Qui dovresti procedere come prima: puntare l'oggetto somma con il mouse (qui B6:F6).

Elaborazione di array. Le formule che utilizzano la rappresentazione dei dati come matrici vengono solitamente inserite in un blocco in tutte le sue celle contemporaneamente. Ad esempio, supponiamo che nella colonna C (Fig. 2.4-4) si desideri ottenere il prodotto degli elementi delle colonne A e B. Un metodo tipico consiste nell'inserire una formula della forma =A1*B1 in C1 e quindi copiare giù. Tuttavia, puoi farlo diversamente. Seleziona l'area C1:C3 del lavoro futuro, inserisci la formula =A1:A3*B1:B3 e premi i tasti Ctrl+Maiusc+Invio. Ti accorgerai che in tutte le celle dell'area C1:C3 sono stati ottenuti i prodotti a coppie corrispondenti, e nella barra della formula vedrai per tutte la stessa espressione (=A1:A3*B1:B3).

Parti intere e frazionarie di un numero reale.
T.S. Karmakova, professore associato, Dipartimento di Algebra, Università pedagogica statale di Kharkiv
In varie questioni di teoria dei numeri, analisi matematica, teoria delle funzioni ricorsive e altre questioni di matematica, vengono utilizzati i concetti di parte intera e frazionaria di un numero reale.
Nel programma delle scuole e delle classi con studio approfondito La matematica include domande relative a questi concetti, ma solo 34 righe sono dedicate alla loro presentazione nel libro di testo di algebra per la nona elementare. Diamo uno sguardo più da vicino a questo argomento.
Definizione 1
La parte intera di un numero reale x è il più grande intero non superiore a x.
La parte intera di un numero si indica con il simbolo [x] e si legge così: “parte intera di x” oppure: “parte intera di x”. A volte la parte intera di un numero è indicata con E(x) e viene letta come segue: “antier x” o “antier da x”. Il secondo nome deriva da Parola francese intero: intero.
Esempio.
Calcola [x] se x assume i valori:
1,5; 3; -1.3; -4.
Soluzione
Dalla definizione di [x] segue:
= 1, perché 1 Z, 1 1.5
[ 3 ] = 3, perché 3 Z, 3 3
[-1.3]=-2, perché -2 Z, -2 -1.3
[-4] =-4, perché -4 Z, -4 -4.
Proprietà della parte intera di un numero reale.
1*. [x] = x se xZ
2*. [ x ] x * [ x ] + 1
3*. [ x + m ] = [ x ] + m , dove m Z
Diamo un'occhiata ad esempi di utilizzo di questo concetto in vari compiti.
Esempio 1
Risolvi le equazioni:
1.1[x] = 3
[ x + 1,3 ] = - 5
[ x + 1 ] + [ x - 2] - = 5
1.4 [x] - 7 [x] + 10 = 0
Soluzione
1.1 [ x ] = 3. Per la proprietà 2*, questa equazione è equivalente alla disuguaglianza 3 x * 4
Risposta: [ 3 ; 4)
[ x + 1.3 ] = - 5. Per proprietà 2*:
- 5 x + 1,3 * - 4 - 6,3 x * - 5,3
Risposta: [ -6.3 ; -5.3)
[ x + 1 ] + [ x - 2 ] - [ x + 3 ] = 5. Per proprietà 3*:
[x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 5
[ x ] = 9 9 x * 10 (2* ciascuno)
Risposta: [ 9 ; 10)
1.4 [x] - 7 [x] + 10 = 0 Sia [x] = t, allora t - 7 t + 10 = 0, cioè

Risposta: [ 2 ; 3) [5; 6)
Esempio 2.
Risolvere le disuguaglianze:
2.1[x]2
[X] > 2
[x] 2
[x] [x] - 8 [x] + 15 0

Soluzione
2.1 Secondo la definizione di [ x ] e 1*, questa disuguaglianza è soddisfatta da x
Risposta: [ 2 ;).
2.2 La soluzione a questa disuguaglianza: x.
Risposta: [ 3 ;).
2.3 x 2.4 x 2.5 Sia [ x ] = t, allora questa disuguaglianza è equivalente al sistema
3
Risposta: [ 3; 6).
2.6 Sia [x] = t, allora otteniamo.
Risposta: (- .
Esempio 4.
Rappresentare graficamente la funzione y = [ x ]
Soluzione
1). OOF: xR
2). MZF: e Z

3). Perché in x*[m; m + 1), dove m * Z, [ x ] = m, quindi y = m, cioè il grafico rappresenta una raccolta di un numero infinito di segmenti orizzontali, da cui sono escluse le loro estremità destre. Ad esempio, x * [ -1 ; 0) * [ x ] = -1 * y = - 1 ; x*[0; 1) * [ x ] = 0 * y = 0.
Nota.
1. Abbiamo un esempio di una funzione specificata da diverse espressioni analitiche in diverse aree.
2. I cerchi contrassegnano i punti che non appartengono al grafico.
Definizione 2.
La parte frazionaria di un numero reale x è la differenza x - [x]. La parte frazionaria di un numero x è rappresentata dal simbolo (x).
Esempio.
Calcola ( x ) se x assume il valore: 2.37 ; -4; 3.14. . .; 5 .
Soluzione
(2,37) = 0,37, perché (2,37) = 2,37 - [2,37] = 2,37 - 2 = 0,37.
, Perché
( 3,14...) = 0,14... , perché ( 3.14...) = 3.14...-[ 3.14...] = 3.14...-3= 0.14...
(5) = 0, perché (5) = 5 - [5] = 5 - 5 = 0.
Proprietà della parte frazionaria di un numero reale.
1*. ( x ) = x - [ x ]

2*. 0 ( x ) 3*. (x + m) = (x), dove m * Z
4*. ( x ) = x se x * [ 0 ; 1)
5* Se ( x ) = a, a * [ 0 ; 1), allora x =a +m, dove m * Z
6*. (x) = 0 se x * Z.
Diamo un'occhiata ad esempi di utilizzo del concetto ( x ) in vari esercizi.

Esempio 1.
Risolvi le equazioni:
1,1(x) = 0,1
1,2(x) = -0,7
(x) = 2,5
( x + 3 ) = 3,2
(x) - (x) +
Soluzione
Per 5* le soluzioni saranno tante
x = 0,1 + m, m * Z
1.2 Per 2* l'equazione non ha radici, x * *
1.3 Per 2* l'equazione non ha radici, x * *
Per 3* l'equazione è equivalente all'equazione
( x )+ 3 = 3,2 * ( x ) = 0,2 * x = 0,2 + m , m * Z
1.5 Un'equazione è equivalente a un insieme di due equazioni
Risposta: x =
x =
Esempio 2.
Risolvere le disuguaglianze:
2,1(x)0,4
2,2(x)0
( x + 4 )
( x ) -0,7 ( x ) + 0,2 > 0
Soluzione
2,1 Per 5*: 0,4 + m x 2,2 Per 1*: x * R
Per 3*: (x) + 4 Per 5*: m 2.4 Poiché (x) 0, allora (x) - 1 > 0, quindi, otteniamo 2 (x) + 1 2.5 Risolvi l'equazione quadratica corrispondente:
( x ) - 0,7 ( x ) + 0,2 = 0 * Questa disuguaglianza equivale alla combinazione di due disuguaglianze:
Risposta: (0,5 + m; 1 + m) (k; 0,2 + k),
m*Z,k*Z
Esempio 3.
Rappresentare graficamente la funzione y = ( x )
Costruzione.
1). OOF: x*R
2). MZF: y * [ 0 ; 1)
3). La funzione y = (x) è periodica e il suo periodo
T = m, m * Z, perché se x * R, allora (x+m) * R
e (x-m) * R, dove m * Z e per 3* ( x + m ) =
(x - m) = (x).
Il periodo positivo più piccolo è 1, perché se m > 0, allora m = 1, 2, 3, . . . e il valore positivo più piccolo è m = 1.
4). Poiché y = ( x ) è una funzione periodica con periodo 1, è sufficiente tracciare il suo grafico su un intervallo di lunghezza 1, ad esempio sull'intervallo [ 0 ; 1), quindi sugli intervalli ottenuti spostando quello selezionato di m, m*Z, il grafico sarà lo stesso.
UN). Sia x * [ 0 ; 1), allora (x) = x e y = x. Lo otteniamo sull'intervallo [ 0 ; 1) il grafico di questa funzione rappresenta il segmento bisettrice del primo angolo di coordinata, da cui è esclusa l'estremità destra.

B). Utilizzando la periodicità otteniamo un numero infinito di segmenti che formano con l'asse del Bue un angolo di 45*, da cui è esclusa l'estremità destra.
Nota.
I cerchi contrassegnano i punti che non appartengono al grafico.
Esempio 4.
Risolvi l'equazione 17 [ x ] = 95 ( x )
Soluzione
Perché (x)*[0; 1), quindi 95 ( x )* [ 0 ; 95), e, di conseguenza, 17 [ x ]* [ 0 ; 95). Dalla relazione
17 [ x ]* [ 0 ; 95) segue [ x ]* , cioè [x] può essere 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Da questa equazione segue che ( x ) = , cioè tenendo conto dell'insieme di valori risultante per
[ x ] concludiamo: ( x ), quindi, può essere uguale a 0;
Poiché dobbiamo trovare x e x = [ x ] + ( x ), troviamo che x può essere uguale a
0 ;
Risposta:
Nota.
Un'equazione simile è stata proposta nel 1° turno delle Olimpiadi regionali di matematica per gli alunni della decima elementare nel 1996.
Esempio 5.
Rappresentare graficamente la funzione y = [ ( x ) ].
Soluzione
OOF: x * R, perché (x)* [0; 1) e la parte intera dei numeri dell'intervallo [ 0 ; 1) è uguale a zero, allora questa funzione è equivalente a y = 0
sì
0x

Esempio 6.
Costruisci un insieme di punti sul piano delle coordinate che soddisfino l'equazione ( x ) =
Soluzione
Poiché questa equazione è equivalente all'equazione x = , m * Z per 5*, allora sul piano delle coordinate si dovrebbe costruire un insieme di linee verticali x = + m, m * Z
sì

0x
Bibliografia
Algebra per la terza media: libro di testo. manuale per gli studenti delle scuole e delle classi avanzate. studiare matematica /N. Y. Vilenkin et al., ed. N. Ya.
V. N. Berezin, I. L. Nikolskaya, L. Yu Berezina Raccolta di problemi per lezioni elettive ed extracurriculari in matematica - M. 1985
A. P. Karp Do lezioni di matematica - M., 1982
Rivista “Kvant”, 1976, n. 5
Rivista “La matematica a scuola”: 1973 n. 1, n. 3; 1981 n. 1; 1982 n. 2; 1983 n. 1; 1984 n. 1; 1985 n. 3.