La necessità di operazioni sulle probabilità nasce quando le probabilità di alcuni eventi sono note ed è necessario calcolare le probabilità di altri eventi associati a questi eventi.

L'addizione di probabilità viene utilizzata quando è necessario calcolare la probabilità di una combinazione o una somma logica di eventi casuali.

Somma di eventi UN E B designare UN + B O UN ∪ B. La somma di due eventi è un evento che si verifica se e solo se si verifica almeno uno degli eventi. Significa che UN + B- un evento che si verifica se e solo se un evento si verifica durante l'osservazione UN o evento B, o allo stesso tempo UN E B.

Se gli eventi UN E B sono reciprocamente incoerenti e le loro probabilità sono date, quindi la probabilità che uno di questi eventi si verifichi come risultato di una prova viene calcolata utilizzando la somma delle probabilità.

Il teorema dell'addizione delle probabilità. La probabilità che si verifichi uno di due eventi reciprocamente incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:

Ad esempio, durante la caccia sono stati sparati due colpi. Evento UN– colpire una papera dal primo colpo, evento IN– colpito dal secondo colpo, evento ( UN+ IN) - colpito dal primo o dal secondo colpo o da due colpi. Quindi, se due eventi UN E IN sono eventi incompatibili, quindi UN+ IN- il verificarsi di almeno uno di tali eventi o di due eventi.

Esempio 1 Una scatola contiene 30 palline della stessa dimensione: 10 rosse, 5 blu e 15 bianche. Calcola la probabilità che una pallina colorata (non bianca) venga presa senza guardare.

Soluzione. Supponiamo che l'evento UN– “la palla rossa è presa”, e l'evento IN- "La palla blu è presa." Quindi l'evento è "viene presa una palla colorata (non bianca)". Trova la probabilità di un evento UN:

ed eventi IN:

Eventi UN E IN- reciprocamente incompatibili, poiché se viene presa una palla, non è possibile prendere le palle colori differenti. Pertanto, usiamo l'addizione di probabilità:

Il teorema dell'addizione di probabilità per più eventi incompatibili. Se gli eventi costituiscono l'insieme completo degli eventi, la somma delle loro probabilità è uguale a 1:

Anche la somma delle probabilità di eventi opposti è uguale a 1:

Gli eventi opposti formano un insieme completo di eventi e la probabilità di un insieme completo di eventi è 1.

Le probabilità di eventi opposti sono solitamente indicate in lettere minuscole. P E Q. In particolare,

da cui seguono le seguenti formule per la probabilità di eventi opposti:

Esempio 2 Il bersaglio nel trattino è diviso in 3 zone. La probabilità che un certo tiratore spari a un bersaglio nella prima zona è 0,15, nella seconda zona - 0,23, nella terza zona - 0,17. Trova la probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio e la probabilità che il tiratore manchi il bersaglio.

Soluzione: trova la probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio:

Trova la probabilità che il tiratore manchi il bersaglio:

Compiti più difficili in cui è necessario applicare sia l'addizione che la moltiplicazione delle probabilità - nella pagina "Vari compiti per l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità" .

Somma di probabilità di eventi mutuamente congiunti

Due eventi casuali si dicono congiunti se il verificarsi di un evento non preclude il verificarsi di un secondo evento nella stessa osservazione. Ad esempio, quando si lancia un dado, l'evento UNè considerata l'occorrenza del numero 4 e l'evento IN- far cadere un numero pari. Poiché il numero 4 è un numero pari, i due eventi sono compatibili. In pratica, ci sono compiti per calcolare le probabilità del verificarsi di uno degli eventi reciprocamente congiunti.

Il teorema dell'addizione di probabilità per eventi congiunti. La probabilità che si verifichi uno degli eventi congiunti è pari alla somma delle probabilità di tali eventi, da cui viene sottratta la probabilità del verificarsi comune di entrambi gli eventi, ovvero il prodotto delle probabilità. La formula per le probabilità di eventi congiunti è la seguente:

Perché gli eventi UN E IN compatibile, evento UN+ IN si verifica se si verifica uno dei tre possibili eventi: o AB. Secondo il teorema dell'addizione di eventi incompatibili, calcoliamo come segue:

Evento UN si verifica se si verifica uno dei due eventi incompatibili: o AB. Tuttavia, la probabilità che si verifichi un evento da più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità di tutti questi eventi:

Allo stesso modo:

Sostituendo le espressioni (6) e (7) nell'espressione (5), otteniamo la formula di probabilità per eventi congiunti:

Quando si utilizza la formula (8), è necessario tenere conto del fatto che gli eventi UN E IN può essere:

• reciprocamente indipendenti;
• reciprocamente dipendenti.

Formula di probabilità per eventi mutuamente indipendenti:

Formula di probabilità per eventi mutuamente dipendenti:

Se gli eventi UN E IN sono incoerenti, allora la loro coincidenza è un caso impossibile e, quindi, P(AB) = 0. La quarta formula di probabilità per eventi incompatibili è la seguente:

Esempio 3 Nelle corse automobilistiche, quando si guida con la prima macchina, la probabilità di vincere, quando si guida con la seconda macchina. Trovare:

• la probabilità che entrambe le auto vincano;
• la probabilità che almeno un'auto vinca;

1) La probabilità che vinca la prima macchina non dipende dal risultato della seconda macchina, quindi dagli eventi UN(la prima macchina vince) e IN(la seconda macchina vince) - eventi indipendenti. Trova la probabilità che entrambe le auto vincano:

2) Trova la probabilità che vinca una delle due auto:

Compiti più difficili in cui è necessario applicare sia l'addizione che la moltiplicazione delle probabilità - nella pagina "Vari compiti per l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità" .

Risolvi tu stesso il problema dell'addizione di probabilità e poi guarda la soluzione

Esempio 4 Vengono lanciate due monete. Evento UN- perdita dello stemma sulla prima moneta. Evento B- perdita dello stemma sulla seconda moneta. Trova la probabilità di un evento C = UN + B .

Moltiplicazione di probabilità

La moltiplicazione delle probabilità viene utilizzata quando deve essere calcolata la probabilità di un prodotto logico di eventi.

In questo caso, gli eventi casuali devono essere indipendenti. Due eventi si dicono reciprocamente indipendenti se il verificarsi di un evento non influisce sulla probabilità che si verifichi il secondo evento.

Teorema della moltiplicazione di probabilità per eventi indipendenti. La probabilità del verificarsi simultaneo di due eventi indipendenti UN E INè uguale al prodotto delle probabilità di questi eventi ed è calcolato dalla formula:

Esempio 5 La moneta viene lanciata tre volte di seguito. Trova la probabilità che lo stemma cada tutte e tre le volte.

Soluzione. La probabilità che lo stemma cada al primo lancio di una moneta, la seconda volta e la terza volta. Trova la probabilità che lo stemma cada tutte e tre le volte:

Risolvi tu stesso i problemi per moltiplicare le probabilità e poi guarda la soluzione

Esempio 6 C'è una scatola con nove palline da tennis nuove. Tre palline vengono prese per il gioco, dopo il gioco vengono rimesse a posto. Quando scelgono le palle, non fanno distinzione tra palle giocate e non giocate. Qual è la probabilità che dopo tre partite non ci siano palline non giocate nell'area?

Esempio 7 32 lettere dell'alfabeto russo sono scritte su carte alfabetiche tagliate. Cinque carte vengono pescate a caso, una dopo l'altra, e poste sul tavolo nell'ordine in cui appaiono. Trova la probabilità che le lettere formino la parola "fine".

Esempio 8 Da un mazzo di carte completo (52 fogli), vengono estratte quattro carte contemporaneamente. Trova la probabilità che tutte e quattro queste carte siano dello stesso seme.

Esempio 9 Lo stesso problema dell'esempio 8, ma ogni carta viene rimessa nel mazzo dopo essere stata pescata.

Attività più complesse, in cui è necessario applicare sia l'addizione che la moltiplicazione delle probabilità, nonché calcolare il prodotto di più eventi - nella pagina "Varie attività per l'addizione e la moltiplicazione delle probabilità" .

La probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi mutuamente indipendenti può essere calcolata sottraendo da 1 il prodotto delle probabilità di eventi opposti, cioè con la formula:

Esempio 10 I carichi vengono consegnati con tre modalità di trasporto: fluviale, ferroviario e stradale. La probabilità che il carico venga consegnato tramite trasporto fluviale è 0,82, su rotaia 0,87, su strada 0,90. Trova la probabilità che la merce venga consegnata con almeno uno dei tre modi di trasporto.

Teoremi di addizione e moltiplicazione di probabilità.
Eventi dipendenti e indipendenti

Il titolo sembra spaventoso, ma in realtà è molto semplice. In questa lezione conosceremo i teoremi di addizione e moltiplicazione delle probabilità degli eventi, nonché analizzeremo compiti tipici che, insieme a compito per la definizione classica di probabilità si incontreranno sicuramente o, più probabilmente, si saranno già incontrati per strada. Per studiare efficacemente i materiali di questo articolo, è necessario conoscere e comprendere i termini di base teoria della probabilità ed essere in grado di eseguire semplici operazioni aritmetiche. Come puoi vedere, è richiesto molto poco, e quindi un plus grasso nell'asset è quasi garantito. Ma d'altra parte, metto nuovamente in guardia contro un atteggiamento superficiale nei confronti esempi pratici- ci sono anche abbastanza sottigliezze. Buona fortuna:

Il teorema di addizione per le probabilità di eventi incompatibili: la probabilità di accadimento di uno dei due incompatibile eventi o (non importa cosa), è uguale alla somma delle probabilità di questi eventi:

Un fatto simile vale anche per un numero maggiore di eventi incompatibili, ad esempio per tre eventi incompatibili e:

Teorema del sogno =) Tuttavia, un tale sogno è anche soggetto a prove, che possono essere trovate, ad esempio, in Guida allo studio VE Gmurmann.

Facciamo conoscenza con concetti nuovi e mai visti prima:

Eventi dipendenti e indipendenti

Iniziamo con eventi indipendenti. Gli eventi sono indipendente se la probabilità di accadimento nessuno di loro non dipende dalla comparsa/non comparsa di altri eventi dell'insieme considerato (in tutte le possibili combinazioni). ... Ma cosa c'è da macinare frasi comuni:

Il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti: la probabilità di accadimento congiunto di eventi indipendenti ed è pari al prodotto delle probabilità di tali eventi:

Torniamo all'esempio più semplice della 1a lezione, in cui vengono lanciate due monete e i seguenti eventi:

- sulla prima moneta cadrà testa;
- Testa sulla seconda moneta.

Troviamo la probabilità dell'evento (la testa apparirà sulla prima moneta E L'aquila apparirà sulla seconda moneta - ricorda come leggere prodotto degli eventi!) . La probabilità di ottenere testa su una moneta non dipende dal risultato del lancio di un'altra moneta, quindi gli eventi e sono indipendenti.

Allo stesso modo:
è la probabilità che la prima moneta esca testa E sulla 2a coda;
è la probabilità che appaia testa sulla prima moneta E sulla 2a coda;
è la probabilità che la prima moneta esca croce E sulla 2a aquila.

Si noti che gli eventi si formano gruppo completo e la somma delle loro probabilità è uguale a uno: .

Il teorema della moltiplicazione si estende ovviamente a un numero maggiore di eventi indipendenti, quindi, ad esempio, se gli eventi sono indipendenti, allora la probabilità del loro verificarsi congiunto è: . Facciamo pratica esempi concreti:

Compito 3

Ciascuna delle tre scatole contiene 10 parti. Nella prima scatola ci sono 8 parti standard, nella seconda - 7, nella terza - 9. Una parte viene rimossa casualmente da ogni scatola. Trova la probabilità che tutte le parti siano standard.

Soluzione: la probabilità di estrarre una parte standard o non standard da una qualsiasi scatola non dipende da quali parti verranno estratte da altre scatole, quindi il problema riguarda eventi indipendenti. Consideriamo i seguenti eventi indipendenti:

– viene rimossa una parte standard dalla 1a scatola;
– una parte standard viene rimossa dalla 2a scatola;
– Una parte standard è stata rimossa dal 3° cassetto.

Secondo la definizione classica:
sono le probabilità corrispondenti.

Evento a cui siamo interessati (La parte standard verrà prelevata dal 1° cassetto E dal 2° standard E dal 3° standard)è espresso dal prodotto.

Secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:

è la probabilità che una parte standard venga estratta da tre scatole.

Risposta: 0,504

Dopo esercizi rinvigorenti con le scatole, ci aspettano urne non meno interessanti:

Compito 4

Tre urne contengono 6 palline bianche e 4 nere. Da ogni urna viene estratta a caso una pallina. Trova la probabilità che: a) tutte e tre le palline siano bianche; b) tutte e tre le palline saranno dello stesso colore.

Sulla base delle informazioni ricevute, indovina come gestire l'elemento "essere" ;-) Una soluzione di esempio approssimativa è progettata in uno stile accademico con una descrizione dettagliata di tutti gli eventi.

Eventi dipendenti. L'evento è chiamato dipendente se la sua probabilità dipende da uno o più eventi già accaduti. Non devi andare lontano per gli esempi: vai al negozio più vicino:

- domani alle 19.00 sarà in vendita pane fresco.

La probabilità di questo evento dipende da molti altri eventi: se il pane fresco verrà consegnato domani, se sarà esaurito prima delle 19:00 o meno, ecc. A seconda di varie circostanze, questo evento può essere sia affidabile che impossibile. Quindi l'evento è dipendente.

Pane ... e, come chiedevano i romani, circhi:

- all'esame lo studente riceverà un biglietto semplice.

Se non vai per primo, l'evento dipenderà, poiché la sua probabilità dipenderà da quali biglietti hanno già estratto i compagni di classe.

Come determinare la dipendenza/indipendenza degli eventi?

A volte questo è indicato direttamente nelle condizioni del problema, ma molto spesso devi condurre un'analisi indipendente. Non esiste una linea guida univoca qui e il fatto della dipendenza o dell'indipendenza degli eventi deriva dal ragionamento logico naturale.

Per non gettare tutto in un mucchio, attività per eventi dipendenti Metterò in evidenza la prossima lezione, ma per ora considereremo il gruppo di teoremi più comune nella pratica:

Problemi sui teoremi di addizione per probabilità inconsistenti
e moltiplicando le probabilità di eventi indipendenti

Questo tandem, secondo la mia valutazione soggettiva, funziona in circa l'80% dei compiti sull'argomento in esame. Un colpo di colpi e un vero classico della teoria della probabilità:

Compito 5

Due tiratori hanno sparato un colpo ciascuno al bersaglio. La probabilità di colpire per il primo tiratore è 0,8, per il secondo - 0,6. Trova la probabilità che:

a) un solo tiratore colpirà il bersaglio;
b) almeno uno dei tiratori colpirà il bersaglio.

Soluzione: La probabilità di colpi/fallimenti di un tiratore è ovviamente indipendente dalla prestazione dell'altro tiratore.

Considera gli eventi:
– il primo tiratore colpirà il bersaglio;
- Il secondo tiratore colpirà il bersaglio.

Per condizione: .

Troviamo le probabilità di eventi opposti - che le frecce corrispondenti mancheranno:

a) Si consideri l'evento: - un solo tiratore colpisce il bersaglio. Questo evento è costituito da due esiti incompatibili:

Il primo tiratore colpirà E 2 mancati
O
1 mancherà E Il 2 colpirà.

Sulla lingua algebre di eventi questo fatto può essere scritto come:

Innanzitutto, usiamo il teorema dell'addizione delle probabilità di eventi incompatibili, quindi - il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:

è la probabilità che ci sia un solo colpo.

b) Considera l'evento: - almeno uno dei tiratori colpirà il bersaglio.

Prima di tutto, PENSIAMO: cosa significa la condizione "ALMENO UNO"? IN questo caso questo significa che il 1° tiratore colpirà (il 2° mancherà) O 2° (1° mancato) O entrambe le frecce contemporaneamente - un totale di 3 risultati incompatibili.

Metodo uno: data la probabilità preparata dell'elemento precedente, è conveniente rappresentare l'evento come la somma dei seguenti eventi disgiunti:

uno otterrà (un evento costituito a sua volta da 2 esiti incompatibili) O
Se entrambe le frecce colpiscono, indichiamo questo evento con la lettera .

Così:

Secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:
è la probabilità che colpisca il primo tiratore E Il secondo tiratore colpirà.

Secondo il teorema della somma delle probabilità di eventi incompatibili:
è la probabilità di almeno un colpo sul bersaglio.

Metodo due: considera l'evento opposto: – entrambi i tiratori mancheranno.

Secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:

Di conseguenza:

Attenzione speciale presta attenzione al secondo metodo: nel caso generale è più razionale.

Inoltre, esiste un terzo modo alternativo di risolvere, basato sul teorema della somma di eventi congiunti, che era silenzioso sopra.

! Se stai leggendo il materiale per la prima volta, per evitare confusione, è meglio saltare il paragrafo successivo.

Metodo tre : gli eventi sono congiunti, il che significa che la loro somma esprime l'evento “almeno un tiratore colpisce il bersaglio” (vedi Fig. algebra degli eventi). Di teorema della somma delle probabilità di eventi congiunti e il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:

Controlliamo: eventi e (rispettivamente 0, 1 e 2 risultati) formano un gruppo completo, quindi la somma delle loro probabilità deve essere uguale a uno:
, che doveva essere verificato.

Risposta:

Con uno studio approfondito della teoria della probabilità, ti imbatterai in dozzine di compiti di contenuto militaristico e, cosa tipica, dopo non vorrai sparare a nessuno: i compiti sono quasi un regalo. Perché non rendere il modello ancora più semplice? Accorciamo la voce:

Soluzione: secondo la condizione: , è la probabilità di colpire i corrispondenti tiratori. Quindi le loro probabilità di errore sono:

a) Secondo i teoremi di addizione di probabilità di incompatibilità e moltiplicazione di probabilità di eventi indipendenti:
è la probabilità che un solo tiratore colpisca il bersaglio.

b) Secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:
è la probabilità che entrambi i tiratori manchino.

Allora: è la probabilità che almeno uno dei tiratori colpisca il bersaglio.

Risposta:

In pratica, puoi utilizzare qualsiasi opzione di design. Certo, molto più spesso vanno per la via breve, ma non bisogna dimenticare il primo metodo - sebbene sia più lungo, è più significativo - è più chiaro in esso, cosa, perché e perché si somma e si moltiplica. In alcuni casi, uno stile ibrido è appropriato quando lettere maiuscoleÈ conveniente indicare solo alcuni eventi.

Compiti simili per soluzione indipendente:

Compito 6

Per l'allarme antincendio sono installati due sensori a funzionamento indipendente. Le probabilità che il sensore funzioni durante un incendio sono rispettivamente 0,5 e 0,7 per il primo e il secondo sensore. Trova la probabilità che in un incendio:

a) entrambi i sensori falliranno;
b) entrambi i sensori funzioneranno.
c) usare teorema di addizione per le probabilità di eventi che formano un gruppo completo, trovare la probabilità che un solo sensore funzioni durante un incendio. Controlla il risultato calcolando direttamente questa probabilità (utilizzando teoremi di addizione e moltiplicazione).

Qui, l'indipendenza del funzionamento dei dispositivi è esplicitata direttamente nella condizione, che, tra l'altro, è un importante chiarimento. La soluzione di esempio è progettata in uno stile accademico.

E se, in un problema simile, fossero date le stesse probabilità, ad esempio 0,9 e 0,9? Devi decidere esattamente lo stesso! (cosa che, infatti, è già stata dimostrata nell'esempio con due monete)

Compito 7

La probabilità che il primo tiratore colpisca il bersaglio con un solo colpo è 0,8. La probabilità che il bersaglio non venga colpito dopo che il primo e il secondo tiratore hanno sparato un colpo è 0,08. Qual è la probabilità che il secondo tiratore colpisca il bersaglio con un solo colpo?

E questo è un piccolo puzzle, che è inquadrato in modo breve. La condizione può essere riformulata in modo più conciso, ma non rifarò l'originale: in pratica, devo approfondire fabbricazioni più elaborate.

Incontralo - è lui che ha tagliato una quantità smisurata di dettagli per te =):

Compito 8

Un operaio aziona tre macchine. La probabilità che durante il turno la prima macchina richieda una regolazione è 0,3, la seconda - 0,75, la terza - 0,4. Trova la probabilità che durante il turno:

a) tutte le macchine dovranno essere regolate;
b) solo una macchina richiederà la regolazione;
c) almeno una macchina dovrà essere regolata.

Soluzione: poiché la condizione non dice nulla su un singolo processo tecnologico, allora il funzionamento di ciascuna macchina dovrebbe essere considerato indipendente dal funzionamento di altre macchine.

Per analogia con l'attività n. 5, qui puoi prendere in considerazione eventi consistenti nel fatto che le macchine corrispondenti richiederanno aggiustamenti durante il turno, annotare le probabilità , trova le probabilità di eventi opposti, ecc. Ma con tre oggetti, non voglio davvero elaborare il compito in questo modo: risulterà lungo e noioso. Pertanto, è notevolmente più vantaggioso utilizzare lo stile "rapido" qui:

Per condizione: - la probabilità che durante il turno le macchine corrispondenti richiedano la messa a punto. Quindi le probabilità che non richiedano attenzione sono:

Uno dei lettori ha trovato un bel errore di battitura qui, non lo correggerò nemmeno =)

a) Secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:
è la probabilità che durante il turno tutte e tre le macchine richiedano aggiustamenti.

b) L'evento "Durante il turno, solo una macchina richiederà la regolazione" consiste in tre esiti incompatibili:

1) 1a macchina richiederà Attenzione E 2a macchina non richiederà E 3a macchina non richiederà
O:
2) 1a macchina non richiederà Attenzione E 2a macchina richiederà E 3a macchina non richiederà
O:
3) 1a macchina non richiederà Attenzione E 2a macchina non richiederà E 3a macchina richiederà.

Secondo i teoremi di addizione di probabilità di incompatibilità e moltiplicazione di probabilità di eventi indipendenti:

- la probabilità che durante il turno una sola macchina richieda la regolazione.

Penso che ormai ti dovrebbe essere chiaro da dove viene l'espressione

c) Calcolare la probabilità che le macchine non richiedano aggiustamenti, e quindi la probabilità dell'evento opposto:
– il fatto che almeno una macchina richiederà la regolazione.

Risposta:

L'elemento "ve" può essere risolto anche attraverso la somma , dove è la probabilità che durante il turno solo due macchine richiedano la regolazione. Questo evento, a sua volta, include 3 esiti incompatibili, che sono firmati per analogia con l'elemento "essere". Prova a trovare tu stesso la probabilità di verificare l'intero problema con l'aiuto dell'uguaglianza.

Compito 9

Tre pistole hanno sparato una raffica al bersaglio. La probabilità di colpire con un solo colpo dalla prima pistola è 0,7, dalla seconda - 0,6, dalla terza - 0,8. Trova la probabilità che: 1) almeno un proiettile colpisca il bersaglio; 2) solo due proiettili colpiranno il bersaglio; 3) il bersaglio verrà colpito almeno due volte.

Soluzione e risposta alla fine della lezione.

E ancora sulle coincidenze: nel caso in cui, per condizione, due o anche tutti i valori delle probabilità iniziali coincidano (ad esempio, 0,7; 0,7 e 0,7), allora dovrebbe essere seguito esattamente lo stesso algoritmo di soluzione.

In conclusione dell'articolo, analizzeremo un altro enigma comune:

Compito 10

Il tiratore colpisce il bersaglio con la stessa probabilità ad ogni colpo. Qual è questa probabilità se la probabilità di almeno un colpo su tre colpi è 0,973.

Soluzione: denota con - la probabilità di colpire il bersaglio con ogni colpo.
e attraverso - la probabilità di un errore con ogni colpo.

Scriviamo gli eventi:
- con 3 colpi il tiratore colpirà il bersaglio almeno una volta;
- il tiratore mancherà 3 volte.

Secondo la condizione, quindi la probabilità dell'evento opposto:

D'altra parte, secondo il teorema della moltiplicazione delle probabilità di eventi indipendenti:

Così:

- la probabilità di un errore con ogni colpo.

Di conseguenza:
è la probabilità di colpire ogni colpo.

Risposta: 0,7

Semplice ed elegante.

Nel problema considerato, possono essere sollevate ulteriori domande sulla probabilità di un solo colpo, solo due colpi e sulla probabilità di tre colpi sul bersaglio. Lo schema della soluzione sarà esattamente lo stesso dei due esempi precedenti:

Tuttavia, la differenza sostanziale fondamentale è che ci sono test indipendenti ripetuti, che vengono eseguiti in sequenza, indipendentemente l'uno dall'altro e con la stessa probabilità di risultati.

Compito 2. Lancia 4 dadi. Trova la probabilità di ottenere lo stesso numero di punti su ciascuno dei dadi lanciati

Soluzione. Ci sono 6 facce in totale su ogni osso. La ricaduta di ogni faccia è ugualmente probabile. Se il primo dado ha lanciato, diciamo, 1, il resto dovrebbe essere lo stesso. La probabilità che una particolare faccia cada in modo che tutte e 4 identiche cadano è il prodotto delle probabilità dell'apparizione di una particolare faccia su tutti e 4 i dadi. Il risultato deve essere moltiplicato per il numero di facce, poiché ci sono 6 numeri diversi Indichiamo l'evento desiderato - "uno è caduto sul dado", - , quindi la perdita di quattro uno su tutti i cubi sarà . Per trovare una soluzione al problema, devi moltiplicare il risultato per 6, perché gli eventi "due tirati su tutti i dadi", "tre tirati su tutti i dadi"... soddisfano la condizione del problema. Quindi la soluzione al problema sarà:

Compito 3. A uno studente tirocinante è stato insegnato a sparare a una lattina con una pistola. La probabilità di colpire un barattolo con un solo colpo è 0,03. Quante cartucce devi preparare in modo che con una probabilità di 0,94 una lattina venga fatta cadere a terra?

Soluzione. Scrivi un'equazione per trovare la probabilità che si verifichi un evento. Per fare ciò, usa la formula di Bernoulli, che viene utilizzata se vengono eseguite più ripetizioni dello stesso evento. Se assumiamo che la lattina venga fatta cadere a terra al primo colpo, prima che i colpi venissero sparati (con un errore), ad es. tutti i colpi sono stati sparati. Se la probabilità di colpire è , allora la probabilità di mancare è . La probabilità di un evento miss e 1 hit può essere scritta:

Sostituiamo i dati noti nell'ultima formula: ed esprimiamo dall'equazione risultante:

Prendiamo il logaritmo dell'ultima espressione:

Dove

Il valore assoluto viene utilizzato qui perché le probabilità possono essere solo positive. . Il numero di scatti non può essere intero, quindi finalmente

Compito 4. Si lancia un dado 6 volte. Qual è la probabilità di ottenere 6 facce diverse?

Soluzione. Ci sono 6 facce in totale su ogni osso. La ricaduta di ogni faccia è ugualmente probabile. Gli eventi si verificano in sequenza, ma non importa in quale ordine. La probabilità che una faccia particolare cada è 1 (il dado viene lanciato e una faccia apparirà sicuramente), quindi, la seconda volta dovrebbe apparire qualsiasi numero, tranne quello che è caduto (probabilità), la terza volta - qualsiasi, ad eccezione dei primi due (probabilità), ecc. La probabilità dell'evento desiderato è:

Compito 5. Omogeneo dado ha la forma di un tetraedro regolare. Sulle sue facce sono segnati i numeri 1, 2, 3 e 4. Quante volte è necessario lanciare un dado per aspettarsi che almeno in un caso esca un 3 con una probabilità maggiore di 0,9?

Soluzione. Ci sono 4 facce in totale sull'osso. Ogni faccia ha la stessa probabilità di cadere, ma dovrà essere lanciata più volte, quindi ci baseremo sull'uso della formula di Bernoulli. Supponiamo che nella esima prova sia apparso il numero richiesto, quindi tutte le volte precedenti erano diverse. In questo caso, la probabilità dell'apparizione di una particolare faccia sarà uguale, poiché ci sono solo 4 facce.La probabilità dell'evento "la faccia richiesta non è apparsa e la faccia richiesta è apparsa una volta" può essere scritta:

Sostituiamo i dati noti nell'ultima formula: ed esprimiamo dall'equazione risultante.

Prendiamo il logaritmo dell'ultima espressione:

Dove

Il valore assoluto viene utilizzato qui perché le probabilità possono essere solo positive. . Il numero di lanci non può essere non intero, quindi arrotonda per eccesso all'intero più vicino. Per condizione, la probabilità deve essere maggiore di 0,9, quindi la risposta è >6.

Compito 6. Due cacciatori sparano indipendentemente l'uno dall'altro su un bersaglio e ognuno di loro fa un colpo. La probabilità di colpire il bersaglio per il primo cacciatore è 0,8 e per il secondo - 0,4. Dopo aver sparato, è stato trovato un buco nel bersaglio. Trova la probabilità che appartenga al primo tiratore?

Soluzione. Proviamo ad usare la formula di Bayes. Secondo la formula di Bayes, il numeratore contiene la probabilità che si verifichi l'evento richiesto e il denominatore contiene la probabilità totale di possibili risultati, che determineranno la comparsa di un buco nel bersaglio, ad es. situazioni in cui uno dei cacciatori ha colpito e il secondo ha mancato. C'erano due cacciatori, quindi sono possibili solo 2 opzioni: "il primo colpo, il secondo mancato" e "il primo mancato, il secondo colpo". Entrambi gli eventi non possono verificarsi contemporaneamente, quindi stiamo parlando della somma delle probabilità. La probabilità che si verifichi l'evento richiesto è "first miss, second hit". La probabilità dell'evento "primo colpo, secondo mancato" è uguale a , e la probabilità del secondo evento "il primo mancato, il secondo colpito" è uguale a . Usiamo la formula consigliata:

Compito 7. Vengono sparati tre colpi a un'anatra che vola non molto in alto. Le probabilità di colpire il primo, il secondo e il terzo colpo sono rispettivamente di 0,1; 0,2 e 0,4. Determina la probabilità di almeno due colpi sulla papera.

Soluzione. Poiché i colpi vengono sparati in sequenza, bisogna considerare la possibilità di mancare la prima volta, o la seconda, o la terza. A seconda delle condizioni del problema, devono esserci almeno due colpi sulla papera, il che implica 2 colpi o 3. Possono esserci tre eventi "2 colpi": "colpito, colpito, mancato"; "colpisci, manca, colpisci"; "mancare, colpire, colpire", perché non si sa in anticipo quale colpo sia stato mancato. Quindi, abbiamo 4 eventi che non possono verificarsi contemporaneamente, quindi stiamo parlando della somma delle probabilità degli eventi, cioè sulla formula della probabilità totale. La probabilità dell'evento "hit, hit, hit" è uguale a ; la probabilità dell'evento "hit, hit, miss" è ; la probabilità dell'evento "hit, miss, hit" è ; La probabilità di un evento miss, hit, hit è . Ora calcoliamo la probabilità desiderata:

Compito 8. L'assistente di laboratorio, eseguendo analisi chimiche, utilizza i reagenti in piedi in due frigoriferi. Nel primo frigorifero, di tutti i reagenti immagazzinati, solo il 10% è scaduto e nel secondo il 20%. Trova la probabilità che qualsiasi reagente prelevato da un assistente di laboratorio da qualsiasi frigorifero sia abbastanza fresco

Soluzione. Indichiamo l'evento come A: un assistente di laboratorio estrae un reagente sufficientemente fresco da qualsiasi frigorifero. L'assistente di laboratorio preleva un reagente da un qualsiasi frigorifero, di cui ce ne sono due a seconda della condizione del problema. Perché il problema non dice nulla sui frigoriferi, quindi la scelta di uno di essi è equiprobabile, ad es. è uguale a . La probabilità dell'evento richiesto, quindi, consiste nel verificarsi simultaneo di due: "la scelta del frigorifero, la scelta del reagente". La probabilità di "prendere un reagente fresco dal primo frigorifero" è pari a ; la probabilità di "prendere un reagente fresco dal secondo frigorifero" è pari a . L'assistente di laboratorio preleva un reagente solo una volta, quindi entrambi gli eventi in "prelevare un reagente fresco dal primo frigorifero" e "prelevare un reagente fresco dal secondo frigorifero" non possono verificarsi contemporaneamente, quindi stiamo parlando della somma delle probabilità . Usiamo la formula della probabilità totale. Quindi la probabilità desiderata sarà pari a:

Compito 9. Sono presenti 5 scatole con pietre ornamentali malachite e marmo. Due scatole contengono 2 pezzi di marmo e 1 pezzo di malachite, una contiene 10 pezzi di malachite e le altre contengono 3 pezzi di marmo e 1 pezzo di malachite. Trova la probabilità che un pezzo preso a caso da una scatola scelta dall'artigiano sia di marmo.

Soluzione. Questo è un compito per utilizzare la formula della probabilità totale. Il maestro seleziona una pietra ornamentale da qualsiasi casella "selezionata a caso". Ci sono 5 caselle in totale, si presume che siano uguali, quindi la probabilità di scegliere qualsiasi casella è . La probabilità dell'evento richiesto, quindi, consiste nel verificarsi simultaneo di due: "la scelta della scatola e la scelta della biglia". La probabilità di prendere la biglia dalla prima scatola è ; la probabilità di prendere la biglia dalla seconda scatola è ; la probabilità di prendere la biglia dalla terza casella è 0, perché c'è solo malachite, la probabilità di prendere il marmo dalla quarta scatola è ;