確率に対する演算が必要になるのは、いくつかのイベントの確率がわかっていて、これらのイベントに関連する他のイベントの確率を計算する必要がある場合です。

確率加算は、ランダムな事象の組み合わせの確率や論理和を計算する必要がある場合に使用されます。

イベントの合計 あと B指定する あ + Bまた あ ∪ B。 2 つのイベントの合計は、イベントの少なくとも 1 つが発生した場合にのみ発生するイベントです。 だということだ あ + B- 観測中にイベントが発生した場合にのみ発生するイベント あまたはイベント B、または同時に あと B.

イベントの場合 あと Bが相互に矛盾しており、その確率が与えられている場合、1 回の試行の結果としてこれらのイベントの 1 つが発生する確率は、確率の加算を使用して計算されます。

確率の加算定理。相互に矛盾する 2 つのイベントのうちの 1 つが発生する確率は、これらのイベントの確率の合計に等しくなります。

たとえば、狩猟中に2発の銃弾が発砲されました。 イベント あ– 一発目からアヒルに当たる、イベント の– 2打目からのヒット、イベント( あ+ の) - 1 番目または 2 番目のショット、または 2 ショットからヒットします。 したがって、2つのイベントがある場合、 あと の互換性のないイベントである場合、 あ+ の- これらのイベントのうちの少なくとも 1 つまたは 2 つのイベントの発生。

例1箱には同じサイズのボールが 30 個入っています (赤 10 個、青 5 個、白 15 個)。 色付きの (白ではない) ボールが見ずに取られる確率を計算します。

解決。 というイベントがあったと仮定してみましょう あ– 「赤いボールが取られる」とイベント の- 「青いボールが取られました。」 そして、イベントは「色付きの（白ではない）ボールを取る」です。 事象の確率を求める あ:

そしてイベント の:

イベント あと の- 相互に互換性がありません。ボールが 1 つ取られると、ボールは取れなくなります。 異なる色。 したがって、確率の加算を使用します。

いくつかの互換性のない事象に対する確率の加算の定理。イベントがイベントの完全なセットを構成している場合、それらの確率の合計は 1 に等しくなります。

反対の事象の確率の合計も 1 に等しくなります。

反対のイベントはイベントの完全なセットを形成し、イベントの完全なセットの確率は 1 です。

反対の事象の確率は通常、小さな文字で示されます。 pと q。 特に、

ここから、反対の事象の確率を表す次の式が得られます。

例 2ダッシュ内のターゲットは3つのゾーンに分かれています。 特定の射手が最初のゾーンでターゲットを撃つ確率は 0.15、2 番目のゾーンでは 0.23、3 番目のゾーンでは 0.17 です。 射手が標的に当たる確率と射手が標的を外れる確率を求めます。

解決策: 射手がターゲットに命中する確率を求めます。

射手が標的を外す確率を求めます。

確率の加算と乗算の両方を適用する必要があるさらに難しいタスク - 「確率の加算と乗算のためのさまざまなタスク」のページ。

相互に同時発生する事象の確率の加算

1 つのイベントの発生が同じ観測における 2 番目のイベントの発生を妨げない場合、2 つのランダムなイベントは結合していると言われます。 たとえば、サイコロを投げるときのイベントは、 あは数字の 4 の発生と考えられており、イベントは の- 偶数を削除します。 数字の 4 は偶数なので、2 つのイベントは互換性があります。 実際には、相互に結合したイベントの 1 つが発生する確率を計算するタスクがあります。

共同事象の確率の加算の定理。共同イベントの 1 つが発生する確率は、これらのイベントの確率の合計から、両方のイベントが共通に発生する確率を差し引いたもの、つまり確率の積に等しくなります。 同時イベントの確率の公式は次のとおりです。

なぜなら、イベントは あと の互換性のある、イベント あ+ の考えられる 3 つのイベントのいずれかが発生した場合に発生します。または AB。 互換性のないイベントの加算定理に従って、次のように計算します。

イベント あ 2 つの互換性のないイベントのいずれかが発生した場合に発生します。または AB。 ただし、互換性のない複数のイベントから 1 つのイベントが発生する確率は、これらすべてのイベントの確率の合計に等しくなります。

同様に:

式 (6) と (7) を式 (5) に代入すると、共同イベントの確率式が得られます。

式 (8) を使用する場合、以下のイベントを考慮する必要があります。 あと の可能性があるのは次のとおりです:

• 相互に独立している。
• 相互に依存しています。

相互に独立したイベントの確率公式:

相互に依存するイベントの確率公式:

イベントの場合 あと のが矛盾している場合、それらの一致はあり得ないケースとなり、したがって P(AB) = 0。互換性のないイベントの 4 番目の確率式は次のとおりです。

例 3オートレースでは、1台目の車で走行した場合の勝率、2台目の車で走行した場合の勝率。 探す：

• 両方の車が勝つ確率。
• 少なくとも 1 台の車が勝つ確率。

1) 最初の車が勝つ確率は 2 番目の車の結果に依存しないため、イベントは あ（最初の車が勝ち）そして の(2 番目の車が勝ち) - 独立したイベント。 両方の車が勝つ確率を求めます。

2) 2 台の車のうちの 1 台が勝つ確率を求めます。

確率の加算と乗算の両方を適用する必要があるさらに難しいタスク - 「確率の加算と乗算のためのさまざまなタスク」のページ。

確率の足し算の問題を自分で解いて、その解法を見てみましょう。

例 4コインが2枚投げられます。 イベント あ- 最初のコインの紋章の喪失。 イベント B- 2枚目のコインの紋章の喪失。 事象の確率を求める C = あ + B .

確率の乗算

確率の乗算は、イベントの論理積の確率を計算する場合に使用されます。

この場合、ランダム イベントは独立している必要があります。 1 つのイベントの発生が 2 番目のイベントの発生確率に影響を与えない場合、2 つのイベントは相互に独立していると言われます。

独立した事象に対する確率乗算定理。 2 つの独立したイベントが同時に発生する確率 あと のはこれらのイベントの確率の積に等しく、次の式で計算されます。

例5コインは3回続けて投げられます。 紋章が 3 回すべて抜ける確率を求めてください。

解決。 コインの最初の投げ、2回目、3回目に紋章が落ちる確率。 紋章が 3 回すべて外れる確率を求めます。

確率を乗算する問題を自分で解いてから、その解法を見てください。

例6新しいテニスボールが9個入った箱があります。 ゲームではボールが 3 個取られ、試合後にボールは元に戻されます。 ボールを選ぶとき、彼らはプレー済みのボールとプレーされていないボールを区別しません。 3 試合後にボックス内に未プレイのボールがなくなる確率はいくらですか?

例 7ロシア語のアルファベット 32 文字がカットされたアルファベット カードに書かれています。 5 枚のカードがランダムに 1 枚ずつ引かれ、出た順にテーブルに置かれます。 文字が「end」という単語を形成する確率を求めます。

例8トランプ一組（52枚）から一度に4枚のカードを取り出します。 これらの 4 枚のカードすべてが同じスーツである確率を求めます。

例9例 8 と同じ問題ですが、各カードは引いた後に山札に戻されます。

確率の加算と乗算の両方を適用したり、複数のイベントの積を計算したりする必要があるより複雑なタスクについては、「確率の加算と乗算のさまざまなタスク」のページを参照してください。

相互に独立したイベントの少なくとも 1 つが発生する確率は、反対のイベントの確率の積を 1 から引くことによって、つまり次の式によって計算できます。

例 10貨物は、河川輸送、鉄道輸送、道路輸送の 3 つの輸送手段で配送されます。 貨物が河川輸送で配達される確率は 0.82、鉄道で 0.87、道路で 0.90 です。 商品が 3 つの輸送モードの少なくとも 1 つで配送される確率を求めます。

確率の加算と乗算の定理。
依存イベントと独立イベント

タイトルからすると怖そうですが、内容はとてもシンプルです。 このレッスンでは、イベント確率の加算と乗算の定理について学び、また、次のような典型的なタスクを分析します。 確率の古典的な定義に関するタスク間違いなく会うでしょう、あるいは、あなたが行く途中ですでに会っている可能性が高くなります。 この記事の内容を効果的に学習するには、基本的な用語を知って理解する必要があります 確率論そして簡単な算術演算を実行できるようになります。 ご覧のとおり、必要なものはほとんどないため、資産のファットプラスがほぼ保証されます。 しかしその一方で、私は、次のような表面的な態度に対して改めて警告します。 実践例- 微妙な点も十分にあります。 幸運を：

互換性のない事象の確率に関する加法定理: 2 つのうちの 1 つが発生する確率 非互換イベントとか (何があっても)、これらのイベントの確率の合計に等しくなります。

同様の事実は、より多くの互換性のないイベントにも当てはまります。たとえば、3 つの互換性のないイベントと :

夢定理 =) ただし、そのような夢も証明の対象となり、たとえば次のようになります。 学習ガイド V.E. グムルマン。

これまで見たことのない新しい概念について学びましょう。

依存イベントと独立イベント

まずは独立したイベントから始めましょう。 イベントは 独立 発生確率があれば それらのどれか 依存しない考慮されているセットの他のイベントの出現/非出現から (可能なすべての組み合わせで)。 ...しかし、一般的なフレーズを絞り出すには何が必要ですか:

独立した事象の確率の乗算の定理: 独立した事象が同時に発生する確率であり、これらの事象の確率の積に等しい。

最初のレッスンの最も単純な例に戻りましょう。この例では、2 枚のコインが投げられ、次のイベントが発生します。

- 表は最初のコインに落ちます。
- 2 番目のコインで表になります。

イベントの確率を調べてみましょう（1枚目のコインに表が出る） と 2枚目のコインにイーグルが出現します - 読み方を覚える イベントの産物!) 。 あるコインで表が出る確率は、別のコインを投げた結果には依存しないため、イベントとイベントは独立しています。

同様に:
最初のコインが表になる確率です と 2番目の尾部。
1枚目のコインに表が出る確率です と 2番目の尾部。
最初のコインが裏になる確率です と 2番目のイーグルで。

イベントが形成されることに注意してください フルグループそしてそれらの確率の合計は 1 に等しくなります。

乗算定理は明らかに、より多数の独立したイベントに拡張されるため、たとえば、イベントが独立している場合、それらの同時発生の確率は次のようになります。 で練習しましょう 具体例:

タスク 3

3 つのボックスにはそれぞれ 10 個のパーツが入っています。 最初のボックスには標準パーツが 8 個、2 番目には 7 個、3 番目には 9 個の標準パーツが入っています。各ボックスから 1 つのパーツがランダムに取り出されます。 すべての部品が標準である確率を求めます。

解決: 任意のボックスから標準部品または非標準部品が抽出される確率は、他のボックスからどの部品が抽出されるかには依存しないため、問題は独立したイベントに関するものです。 次の独立したイベントを考えてみましょう。

– 標準部品が最初のボックスから削除されます。
– 標準部品が 2 番目のボックスから削除されます。
– 標準部品が 3 番目の引き出しから削除されました。

古典的な定義によれば、次のようになります。
は対応する確率です。

興味のあるイベント (標準部品は引き出し1段目からとなります) と第2規格から と第3規格より)商品によって表現されています。

独立した事象の確率の乗算の定理によると、次のようになります。

は、3 つのボックスから 1 つの標準部品が抽出される確率です。

答え: 0,504

ボックスを使った爽快なエクササイズの後は、同様に興味深い壺が私たちを待っています。

タスク 4

3 つの壺には白玉が 6 個、黒玉が 4 個入っています。 各壺からボールが 1 つずつランダムに引き出されます。 次の確率を求めます。 a) 3 つのボールがすべて白になる。 b) 3 つのボールはすべて同じ色になります。

受け取った情報に基づいて、「be」項目の処理方法を推測します ;-) おおよそのサンプル ソリューションは、すべてのイベントの詳細な説明を含むアカデミック スタイルで設計されています。

依存イベント。 イベントの名前は、 依存 もしその確率が 依存しますすでに起こった 1 つ以上のイベントから。 たとえば、遠くに行く必要はありません。最寄りの店舗に行くだけです。

- 明日の19:00に販売されます 焼きたてのパン.

このイベントの確率は、明日焼きたてのパンが届くかどうか、午後 7 時までに売り切れるかどうかなど、他の多くのイベントに依存します。 さまざまな状況によっては、このイベントは信頼できる場合もあれば、不可能な場合もあります。 それでイベントは 依存.

パン...そしてローマ人が要求したように、サーカス:

- 試験では、学生は簡単なチケットを受け取ります。

あなたが一番最初に行かなかった場合、その確率はクラスメートがすでに引いたチケットに依存するため、イベントは依存します。

イベントの依存性/独立性を判断するにはどうすればよいですか?

これは問題の状態に直接示される場合もありますが、ほとんどの場合は独立した分析を行う必要があります。 ここには明確なガイドラインはなく、イベントの依存性または独立性の事実は自然な論理的推論から導き出されます。

すべてを一度にまとめてしまわないように、 依存イベントのタスク次のレッスンで取り上げますが、ここでは実際に最も一般的な一連の定理を検討します。

確率が矛盾する場合の加法定理の問題
独立した事象の確率を乗算する

私の主観的な評価によると、このタンデムは、検討中のトピックに関するタスクの約 80% で機能します。 ヒット中のヒット作であり、確率論の真の古典です。

タスク5

2人の射手がそれぞれ標的に向かって1発ずつ発砲した。 最初の射手の命中確率は 0.8、2 番目の射手の場合は 0.6 です。 次の確率を求めます。

a) ターゲットに命中する射手は 1 人だけです。
b) 射手の少なくとも 1 人が的を射る。

解決: 一方の射手の当たり外れの確率は、明らかにもう一方の射手のパフォーマンスとは無関係です。

次のようなイベントを考えてみましょう。
– 最初の射手がターゲットに命中します。
- 2番目の射手はターゲットに命中します。

条件別: 。

反対のイベント、つまり対応する矢印が外れる確率を求めてみましょう。

a) 次のイベントを考えてみましょう。 - 射手は 1 人だけが標的に命中します。 このイベントは、次の 2 つの互換性のない結果で構成されます。

1番目のシューターがヒットします と 2回目のミス
また
1位は逃すだろう と 2番がヒットします。

舌の上で 事象代数この事実は次のように書くことができます。

まず、互換性のない事象の確率の加算の定理を使用し、次に、独立した事象の確率の乗算の定理を使用します。

ヒットが 1 つだけ発生する確率です。

b) 次のイベントを考えてみましょう。 - 射手の少なくとも 1 人が標的に命中しました。

まず第一に、考えてみましょう - 「少なくとも 1 つ」という条件は何を意味しますか? の この場合これは、最初の射手が命中する（2 番目の射手が外れる）ことを意味します。 また 2回目（1回目はミス） また両方の矢印を同時に押す - 合計 3 つの矛盾した結果。

方法 1: 前の項目で準備された確率を考慮すると、イベントを次の素なイベントの合計として表すと便利です。

1つは得られます (2 つの矛盾した結果が交互に発生するイベント) また
両方の矢印が当たった場合、このイベントを文字 で表します。

したがって：

独立した事象の確率の乗算の定理によると、次のようになります。
最初の射手が命中する確率です とセカンドシューターがヒットします。

互換性のない事象の確率の加算の定理によると、次のようになります。
ターゲットに少なくとも 1 回命中する確率です。

方法 2: 逆のイベントを考えてみましょう: – 両方の射手は失敗します。

独立した事象の確率の乗算の定理によると、次のようになります。

結果として：

特別な注意 2 番目の方法に注意してください。一般的な場合は、この方法の方が合理的です。

さらに、上では触れなかった共同イベントの合計の定理に基づいた、別の 3 番目の解決方法もあります。

! 初めてこの資料を読む場合は、混乱を避けるために、次の段落をスキップすることをお勧めします。

方法 3 : イベントは結合されており、それらの合計が「少なくとも 1 人の射手が標的に命中した」というイベントを表します (図を参照)。 事象代数）。 に 共同事象の確率の加算定理そして独立した事象の確率の乗算の定理：

チェックしてみましょう: イベントと (それぞれ 0、1、2 ヒット)完全なグループを形成するため、それらの確率の合計は 1 に等しくなければなりません。
、それを検証することになりました。

答え:

確率論を徹底的に研究すると、軍国主義的な内容のタスクが数十個も出てきます。典型的なことですが、その後は誰も撃ちたくなくなります。タスクはほとんど贈り物です。 テンプレートをもっとシンプルにしてみてはいかがでしょうか? エントリを短くしてみましょう。

解決: 条件に応じて: は、対応するシューターに命中する確率です。 その場合、それらのミス確率は次のようになります。

a) 矛盾する確率の加算と独立した事象の確率の乗算の定理によると、次のようになります。
射手 1 人だけが標的に命中する確率です。

b) 独立した事象の確率の乗算定理によると、次のようになります。
両方の射手がミスする確率です。

すると、 は射手の少なくとも 1 人が標的に命中する確率です。

答え:

実際には、任意のデザイン オプションを使用できます。 もちろん、多くの場合、それらは短い方法で進みますが、最初の方法を忘れてはなりません - 長くなりますが、より意味があり、その方がより明確です。 何が、なぜ、そしてなぜ合計して乗算します。 場合によっては、ハイブリッド スタイルが適切な場合があります。 大文字一部のイベントのみを表示するのに便利です。

独立したソリューションの同様のタスク:

タスク6

火災警報用に独立して動作するセンサーを2台設置しています。 火災時にセンサーが動作する確率は、1 番目と 2 番目のセンサーでそれぞれ 0.5 と 0.7 です。 火災が発生する確率を求めてください。

a) 両方のセンサーが故障します。
b) 両方のセンサーが機能します。
c) を使用して 完全な群を形成する事象の確率に関する加法定理、火災時に 1 つのセンサーだけが動作する確率を求めます。 この確率を直接計算して結果を確認してください (加算定理と乗算定理を使用).

ここでは、デバイスの動作の独立性が条件に直接明記されていますが、これは重要な説明です。 サンプル ソリューションはアカデミック スタイルで設計されています。

同様の問題で、同じ確率、たとえば 0.9 と 0.9 が与えられた場合はどうなるでしょうか。 まったく同じように決める必要があります。 (実際、これは 2 つのコインの例ですでに実証されています)

タスク 7

最初の射手が一発で標的に命中する確率は 0.8 です。 1 番目と 2 番目の射手が 1 発撃った後に標的に当たらない確率は 0.08 です。 2 番目の射手が 1 発で標的に命中する確率はいくらですか?

そして、これは短い方法で組み立てられた小さなパズルです。 条件をより簡潔に再定式化することもできますが、オリジナルを作り直すつもりはありません。実際には、より凝った捏造を掘り下げる必要があります。

彼に会いましょう - 彼はあなたのために計り知れない量の詳細を切り取った人です =):

タスク8

作業員は 3 台の機械を操作します。 シフト中に最初のマシンが調整を必要とする確率は 0.3、2 番目のマシンは 0.75、3 番目のマシンは 0.4 です。 シフト中に次のことが起こる確率を求めます。

a) すべての機械は調整が必要です。
b) 調整が必要なマシンは 1 台だけです。
c) 少なくとも 1 台のマシンは調整が必要です。

解決: この条件は単一の技術プロセスについては何も述べていないため、各マシンの動作は他のマシンの動作とは独立して考慮される必要があります。

タスク No. 5 と同様に、ここでは、シフト中に対応するマシンの調整が必要になるという事実からなるイベントを考慮に入れ、確率を書き留め、反対のイベントの確率を見つけることができます。 しかし、オブジェクトが 3 つある場合、そのようなタスクを作成することはあまり望ましくありません。長くて退屈になるでしょう。 したがって、ここでは「クイック」スタイルを使用する方が明らかに収益性が高くなります。

条件別: - シフト中に対応するマシンのチューニングが必要になる確率。 この場合、注意を必要としない確率は次のようになります。

読者の 1 人がここで素晴らしいタイプミスを見つけました。私はそれを修正するつもりもありません =)

a) 独立した事象の確率の乗算定理によると、次のようになります。
シフト中に 3 台のマシンすべてが調整を必要とする確率です。

b) 「シフト中、1 台のマシンのみが調整を必要とする」イベントは、3 つの矛盾した結果で構成されます。

1) 1号機 必要になります注意 と 2号機 必要ありません と 3号機 必要ありません
また:
2) 1号機 必要ありません注意 と 2号機 必要になります と 3号機 必要ありません
また:
3) 1号機 必要ありません注意 と 2号機 必要ありません と 3号機 必要になります.

互換性のない確率の加算と独立した事象の確率の乗算の定理によると、次のようになります。

- シフト中に 1 台のマシンのみが調整を必要とする確率。

この表現がどこから来たのかはもうお分かりいただけると思います

c) 機械が調整を必要としない確率を計算し、次にその反対の事象が起こる確率を計算します。
– 少なくとも 1 台のマシンで調整が必要になるという事実。

答え:

項目「ve」は、合計によって解くこともできます。ここで、 は、シフト中に 2 台のマシンのみが調整を必要とする確率です。 このイベントには、3 つの互換性のない結果が含まれており、これらは「be」項目との類推によって署名されます。 等式を利用して問題全体をチェックする確率を自分で見つけてみてください。

タスク9

３門の銃が目標に向けて一斉射撃を行った。 最初の銃からのみ一発で命中する確率は0.7、2番目からは0.6、3番目からは0.8です。 1) 少なくとも 1 つの発射体がターゲットに当たる確率を求めます。 2) ターゲットに当たる発射体は 2 つだけです。 3) ターゲットは少なくとも 2 回攻撃されます。

レッスンの最後に解答と答えを示します。

そして再び偶然についてです。条件により、初期確率の 2 つまたはすべての値が一致する場合 (たとえば、0.7、0.7 と 0.7)、まったく同じ解法アルゴリズムに従う必要があります。

この記事の最後に、もう 1 つの一般的なパズルを分析します。

タスク 10

射手は各ショットで同じ確率でターゲットに命中します。 3 発のうち少なくとも 1 発がヒットする確率が 0.973 の場合、この確率はいくらになるでしょうか。

解決: 各ショットでターゲットに命中する確率を - で示します。
そしてスルー - 各ショットのミスの確率。

イベントを書き留めてみましょう。
- 3 発の射撃で、射手は少なくとも 1 回ターゲットに命中します。
- 射手は 3 回失敗します。

条件に応じて、反対の事象が起こる確率は次のようになります。

一方、独立した事象の確率の乗算定理によれば、次のようになります。

したがって：

- 各ショットのミスの確率。

結果として：
各ショットが当たる確率です。

答え: 0,7

シンプルかつエレガント。

考慮されている問題では、ターゲットに 1 回のみヒットする確率、2 回のみヒットする確率、および 3 回ヒットする確率について追加の疑問を提起することができます。 解決策のスキームは、前の 2 つの例とまったく同じになります。

ただし、基本的な実質的な違いは次のとおりです。 独立したテストを繰り返した、これらは互いに独立して同じ結果の確率で順番に実行されます。

タスク 2。 4つのサイコロを投げます。 出たサイコロのそれぞれで同じ数の点が得られる確率を求めます

解決。 各ボーンには合計 6 つの面があります。 各面のフォールアウトの可能性は同じです。 最初に振ったサイコロが 1 の場合、残りは同じになるはずです。 特定の面が 4 つすべて外れる確率は、4 つのサイコロすべてに特定の面が現れる確率の積です。 6 つの異なる数字があるため、結果には面の数を乗算する必要があります。目的のイベントを「サイコロで 1 つ落ちた」とすると、すべての立方体で 4 つの 1 が失われると、 となります。 問題の解決策を見つけるには、結果を 6 で乗算する必要があります。 「すべてのサイコロで 2 つ出た」、「すべてのサイコロで 3 つ出た」というイベントは、問題の条件を満たします。 したがって、問題の解決策は次のようになります。

タスク 3。 訓練生は銃で缶を撃つように教えられた。 一発で瓶に当たる確率は0.03です。 0.94 の確率で缶が地面に叩きつけられるためには、何発のカートリッジを準備する必要がありますか?

解決。 事象が発生する確率を求める方程式を書きます。 これを行うには、同じイベントを複数回繰り返す場合に使用されるベルヌーイの公式を使用します。 缶が最初の打撃で地面に叩きつけられたと仮定すると、その前に（ミスはありましたが）発砲されています。 すべての銃声が発砲されました。 当たる確率が の場合、外れる確率は です。 ミスと 1 つのヒット イベントの確率は次のように書くことができます。

既知のデータを最後の式に代入し、結果として得られる式から次のように表します。

最後の式の対数を取ってみましょう。

どこ

確率は正の値のみであるため、ここでは絶対値が使用されます。 。 ショット数は整数にできないので、最終的には

タスク 4。 サイコロは6回投げられます。 6 つの異なる顔が得られる確率はどれくらいですか?

解決。 各ボーンには合計 6 つの面があります。 各面のフォールアウトの可能性は同じです。 イベントは順番に発生しますが、順序は関係ありません。 特定の面が外れる確率は 1 (サイコロが投げられて 1 つの面が出現する) です。したがって、2 回目は、外れた番号 (確率) を除き、任意の番号が表示されます。3 回目は、すべての番号が表示されます (確率)。最初の 2 つ (確率) など。 目的のイベントが発生する確率は次のとおりです。

タスク5。 同種の サイコロ正四面体の形をしています。 その表面には 1、2、3、4 の数字がマークされています。少なくとも 1 回は 0.9 を超える確率で 3 の目が出ると予想するには、何回サイコロを投げる必要がありますか?

解決。 骨には合計4つの顔があります。 各面が抜ける可能性は同等ですが、数回投げる必要があるため、ベルヌーイの公式の使用に基づきます。 回目のテストで必要な数が出現したため、それまでの時間はすべて異なっていたとします。 この場合、顔は 4 つしかないので、特定の顔が出現する確率は等しくなります。「必要な顔が出現せず、必要な顔が 1 回出現した」という事象の確率は次のように書くことができます。

既知のデータを最後の式に代入し、得られた式から式を表します。

最後の式の対数を取ってみましょう。

どこ

確率は正の値のみであるため、ここでは絶対値が使用されます。 。 ロールの数は整数以外にすることはできないため、最も近い整数に切り上げてください。 条件によると、確率は 0.9 より大きくなければならないため、答えは >6 になります。

タスク6。 2 人のハンターが 1 つのターゲットに向けて互いに独立して射撃し、それぞれが 1 発の射撃を行います。 最初のハンターがターゲットに命中する確率は 0.8、2 番目のハンターは 0.4 です。 射撃後、標的に穴が一つ見つかった。 それが最初の射手のものである確率を求めますか?

解決。 ベイズの公式を使ってみましょう。 ベイズの公式によれば、分子には必要なイベントが発生する確率が含まれ、分母には可能な結果の合計確率が含まれます。これにより、ターゲット内の 1 つの穴の出現が決まります。 ハンターの 1 人が命中し、2 人目が外れた場合。 ハンターは2人なので、選択肢は「1回目ヒット、2回目は外れる」と「1回目は外れ、2回目はヒット」の2択しかありません。 両方のイベントは同時に発生することはできないため、確率の合計について話しています。 必要なイベントが発生する確率は、「最初は外れ、2 番目はヒット」です。 イベント「最初のヒット、2 番目の失敗」の確率は次と等しいです。 、そして 2 番目のイベント「最初は外れ、2 番目はヒット」の確率は次と等しいです。 。 推奨される式を使用してみましょう。

タスク 7。 それほど高くないところを飛んでいるアヒルに向かって 3 発の銃弾が発射されます。 1 番目、2 番目、3 番目のショットを打つ確率はそれぞれ 0.1 です。 0.2と0.4。 アヒルに少なくとも 2 回ヒットする確率を求めます。

解決。 ショットは順番に発射されるため、1 回目、2 回目、3 回目を逃す可能性を考慮する必要があります。 問題の状況に応じて、アヒルには少なくとも 2 回のヒットが必要です。これは、2 ヒットまたは 3 回のいずれかを意味します。「2 ヒット」イベントは 3 つ存在する可能性があります。「ヒット、ヒット、ミス」。 「当たる、外れる、当たる」。 「ミス、ヒット、ヒット」だから。 どのショットがミスだったのかは事前には分かりません。 したがって、同時に発生できない 4 つのイベントがあるため、イベントの確率の合計について話しています。 合計確率の計算式について。 イベント「ヒット、ヒット、ヒット」の確率は次のとおりです。 ; イベント「ヒット、ヒット、ミス」の確率は ; イベント「当たり、外れ、当たり」の確率は ; ミス、ヒット、ヒット イベントの確率は です。 ここで、望ましい確率を計算します。

タスク8。 化学分析を行う研究室助手は、2 台の冷蔵庫にある試薬を使用します。 最初の冷蔵庫では、保管されているすべての試薬のうち期限切れになっている試薬は 10% だけであり、2 番目の冷蔵庫では 20% です。 研究助手が冷蔵庫から取り出した試薬が十分に新鮮である確率を求めます

解決。 このイベントを A とします。実験助手が冷蔵庫から十分に新鮮な試薬を取り出します。 研究助手は冷蔵庫から試薬を取り出しますが、問題の状態に応じて 2 種類あります。 なぜなら この問題は冷蔵庫について何も述べていないので、冷蔵庫のいずれかを選択する可能性は同等です。 は に等しい。 したがって、必要なイベントの確率は、「冷蔵庫の選択と試薬の選択」の 2 つが同時に発生することにあります。 「最初の冷蔵庫から新しい試薬を取り出す」確率は、 ; 「2 番目の冷蔵庫から新しい試薬を取り出す」確率は、 。 研究助手は試薬を一度しか取りません。そのため、「最初の冷蔵庫から新しい試薬を取り出す」と「2 番目の冷蔵庫から新しい試薬を取り出す」という両方のイベントは同時に発生することはできません。したがって、確率の合計について話しています。 。 合計確率の公式を使ってみましょう。 この場合、望ましい確率は次のようになります。

タスク9。 装飾石のマラカイトと大理石が入ったボックスが 5 つあります。 2 つの箱には大理石 2 個とマラカイト 1 個が含まれ、1 つの箱にはマラカイト 10 個が含まれ、他の箱には大理石 3 個とマラカイト 1 個が含まれます。 職人が選んだ箱からランダムに取り出したピースが大理石である確率を求めてください。

解決。 合計確率の公式を使う問題です。 マスターは、「ランダムに選択された」ボックスから装飾石を選択します。 合計 5 つのボックスがあり、それらは同じであると想定されているため、いずれかのボックスを選択する確率は です。 したがって、必要なイベントの確率は、「箱の選択とビー玉の選択」の 2 つが同時に発生することにあります。 最初の箱からビー玉が取れる確率は ; 2 番目の箱からビー玉が取れる確率は ; 3 番目の箱からビー玉が取れる確率は 0 です。 マラカイトしかない場合、4 番目の箱から大理石が取れる確率は です。